Содержание к диссертации
Введение
1. Устойчивость сложных систем 10
1.1 Однородные и обобщенно-однородные функции 12
1.2 Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями 17
1.3 Устойчивость сложных систем по нелинейному приближению 21
1.4 Оценки решений сложных систем 25
1.5 Системы с мультипликативными связями центрального типа 28
1.6 Системы с мультипликативными связями циклического типа 35
1.7 Системы с аддитивными связями центрального типа 38
1.8 Системы с аддитивными связями циклического типа 40
1.9 Системы каскадного типа 42
2. Устойчивость по первому, в широком смысле, приближению 44
2.1 Постановка задачи 44
2.2 Анализ устойчивости каскадных систем 48
2.3 Условия абсолютной устойчивости систем со специальной структурой связей 53
2.4 Оценки решений 59
2.5 Устойчивость нелинейных систем с нестационарными возмущениями 65
2.6 Условия диссипативности некоторых моделей динамики популяций 75
2.7 Построение стабилизирующих управлений для нелинейных систем 79
3. Устойчивость нелинейных колебательных систем 86
3.1 Системы нелинейных осцилляторов 86
3.2 Условия асимптотической устойчивости положения равновесия 92
3.3 Оценки решений 95
Заключение 102
Приложения 104
Приложение 1. Программа, реализующая метод линейного программирования 104
Приложение 2. Программа, реализующая явные методы . 105
Литература 114
- Однородные и обобщенно-однородные функции
- Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями
- Анализ устойчивости каскадных систем
- Системы нелинейных осцилляторов
Введение к работе
Актуальность темы. Теория управления входит в число важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека. Исследование различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.
На любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.
Для решения большинства практических задач теории управления необходимо определять условия, при которых гарантирована устойчивость программных движений рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены указанные условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований приводит к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет и получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы и алгоритмы линейного и нелинейного программирования. К сожалению, большая часть подобных алгоритмов определяет только общий способ решения задачи. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, и, в дальнейшем, комплексы программ, приводящие к получению оценок в явном виде.
Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является второй метод Ляпунова, базирующийся на использовании специально построенных функций. Предложенный A.M. Ляпуновым метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зу-
бова, Н.Н. Красовкого, И.Г. Малкина, А.А. Мартынюка, К.П. Персидского и других ученых. Вместе с тем, общие конструктивные способы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания.
Таким образом, актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью сложных систем дифференциальных уравнений в части определения условий устойчивости и получения оценок решений.
Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, различные методы оптимизации, в частности, метод линейного программирования.
Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми или уточняют известные результаты.
Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.
Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для анализа системных связей, определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.
Положения, выносимые на защиту
Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.
Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.
Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.
Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.
Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.
Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях:
6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).
2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).
Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005).
3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).
40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).
41-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010).
Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕН_а.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ, одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; она включает 121 лист машинописного текста, одно приложение, 7 рисунков, список цитируемой литературы состоит из 61 наименования.
Однородные и обобщенно-однородные функции
К основным проблемам теории управления относятся задачи исследования устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем [9, 10, 16, 33]. Подобные задачи, связанные также с построением и совершенствованием управления, возникают пррі изучении широкого класса электромеханических, биологических, экономических систем [12, 30, 32, 39, 59]. Сложность таких объектов заключается в многомерности, наличии большого числа различных связей между подсистемами, а также в нелинейном характере описывающих их уравнений. Все это приводит к возникновению существенных трудностей, заставляющих при синтезе управляющих систем искать пути упрощения исследуемых уравнений. Поэтому при анализе сложных систем часто применяется метод декомпозиции, то есть разбиения системы на не влияющие друг на друга блоки [48, 50, 51]. Таким образом можно значительно понизить порядок систем. Для каждого блока подбирается своя функция Ляпунова, затем с их помощью строится общая функция, которая применяется для исследования устойчивости всей сложной системы.
Для разбитой на блоки системы можно построить ориентированный граф, в котором г-тая вершина соединена направленным ребром с j -той, если г-тый блок действует на j -тый. Подобное представление при исследовании сложных систем позволяет широко использовать методы и алгоритмы теории графов [34].
В первой главе диссертации рассматриваются существенно нелинейные мпогосвязные системы, проводится обзор основных подходов к определению условий устойчивости, поставлена задача поиска наиболее точных оценок решений.
Показано, что оценки решений исследуемых систем зависят от выбора функции Ляпунова через набор определенных параметров, причем сами эти параметры должны удовлетворять некоторым дополнительным ограничениям. Таким образом, возникает задача поиска допустимых значений параметров, при которых оценки решений становятся наиболее точными. Показано, что в общем случае эта задача сводится к решению задачи линейного программрірования. Так как явное решение задачи линейного программирования в общем случае получить не удается, далее рассмотрено несколько типов сложных систем со специальной структурой связей. С помощью второго метода Ляпунова проведен анализ устойчивости, получены оценки решений. Для каждого класса рассмотренных систем эти задачи решены конструктивно, предложен алгоритм выбора параметров функции Ляпунова, условия устойчивости РІ ОЦЄНКРІ решений получены в явном виде. Кроме того, разработаны программы, реализующие предложенные алгоритмы.
Первые три параграфа настоящей главы являются вспомогательными, в них введены определенргя и прріведеньї основные использованные в диссертацрюнной работе подходы к изучению устойчивости нелинейных систем.
Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями
Рассмотрим систему с однородной правой частью Xi = fi(x), г =1,...,71, (1.6) где функции /i(x) непрерывно дифференцируемы при всех X Є К и являются однородными функциями порядка /1,Ц 1.
Система (1.6) имеет нулевое решение х = 0. Известно [17], что нулевое решение может быть асимптотически устойчиво только если \х -рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. При этом из асимптотической устойчивости нулевого решения следует, что имеет место асимптотическая устойчивость в целом.
В работе [17] В. И. Зубов доказал, что если нулевое решение системы (1.6) асипмтотически устойчиво, то для любого числа 7, такого, что 7 /л существует положительно-определенная непрерывно дифференцируемая положительно-однородная порядка 7 _ М + 1 функция Ляпунова V(x), причем dV/dt\(i_Q) отрицательно определена. Величину 7 можно выбирать произвольным образом, поэтому ее целесообразно использовать в качестве параметра. При этом для всех х Є Rn справедливы неравенства dV дх ахр-/х+1 У(х) &х7-"+1, схГ , XW«(x) -dxp. Здесь а, 6, с, d — положительные постоянные. Тогда dV dt -dx7 _eyr/(7-M+i)5 е о. (і.7) (і.б) Интегрируя неравенство (1.7), нетрудно показать [17], что существуют числа аі, 22,аз,ад 0 такие, что для любых t to,to Є Ми любых хо Є Шп справедливы оценки 1130)11( +0211 11 ( -))-17 -11 x(i,X0,to) xo(a3 + МхоІГЧ - io))-1/(Ai-1}. (1.8) Рассмотрим теперь возмущенную систему ХІ = /І(Х) + ГІ(І,Х), г = l,...,n, (1.9) где функции Vi(t,x) определены и непрерывны в области t О, х Л", Н 0, и удовлетворяют неравенствам r i( ,x) Ьхст, і = 1,...,га, L 0, сг 0. (1.10) Предположим, что нулевое решение невозмущенной системы асимптотически устойчиво. Тогда [17, 23, 27] если справедливо неравенство а /І, то нулевое решение системы (1.9) также асимптотически устойчиво. Таким образом, если порядок возмущений больше порядка функций невозмущенной части, то возмущения не влияют на асимптотическую устойчивость нулевого решения. Пусть теперь система (1.6) является обобщенно-однородной. Будем считать, что /г(х) - непрерывно дифференцируемые обобщенно-однородные функции класса (#i,..., вп) порядка /х+#г и нулевое решение системы (1.6) асимптотически устойчиво. В. И. Зубов доказал [16], что если функции ГІ(Ь,Х) удовлетворяют при t 0 в некоторой окрестности точки х = 0 неравенствам n( ,x) Lza+9i(-x.), і = l,-...,n, L 0, сг 0, (здесь JZ(X) = S?=i l31 !1 )» т0 ПРИ выполнении условия а [і нулевое решение системы (1.9) также асимптотически устойчиво. На практике часто встречаются системы, у которых из-за физических свойств системы (наличие трения, потери энергии на нагрев и т.п.) каждое движение по истечении достаточно большего времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы были названы диссипативными [55]. Рассмотрим нелинейную систему x = F( ,x). (1.11) Здесь векторная функция F(i,x) непрерывна при t 0, х Є М.п. Определение 4 [55]. Система (1.11) называется диссипативной, если все ее решения х(, to,хо) бесконечно продолоюимы вправо, и существует число R 0 такое, что Ит +00х( , о,хо) R. (1-12) Условие (1.12) означает, что найдется такой момент времени t\ = to + T(to, хо, R) (b после которого решение навсегда попадает в сферу радиуса R, то есть х(Мо,Хо) Дпри і. (1.13) Определение 5 [61]. Система (1.11) называется равномерно диссипа-тивной, если все ее решения х(, о, Хо) бесконечно продолоюимы вправо, и существует число R 0 такое, что для любого А 0 найдется число Т(А) 0, такое, что для любого to О, хо А и любого t to-\- Т(А) справедливо х(, 0,х0) R Одним из наиболее эффективных методов исследования нелинейных систем на диссипативность является метод функций Ляпунова. Будем говорить, что функция V(, х), определенная и непрерывно дифференцируемая в области Z = {( ,х) t 0, х М, М 0}, обладает свойствами А), В): С), если: A) существует положительная непрерывная неубывающая функция а(г), г М, а(г) — +со при t — +оо, такая, что V(t,x) а(х) при (, х) Є Z; B) существует положительная непрерывная неубывающая функция b{r),r М, такая, что V(t,x) Ь(х) при (, х) Є Z\ C) существует положительная непрерывная функция с(г), г М, такая, что % - -с(х)при(і,х)є2. аг (1.11) Известна следующая теорема Иосидзавы.
Теорема 1 [61]. Если существует, функция У(,х), определенная и непрерывно дифференцируемая в области Z, удовлетворяющая условиям А), В), С), то система (1.11) равномерно диссипативна. Для однородных систем известен следующий результат [16]. Рассмотрим систему (1.9). Пусть функции /г(х) являются непрерывно дифференцируемыми в области х Є Ш г и однородными порядка /І 1, а функции ri(t, х) определены и непрерывны в области t О, х Є W1 и удовлетворяют неравенствам (1.10) в области 0, х Н, Н 0. Предположим, что нулевое решение невозмущенной системы асимптотически устойчиво. Тогда невозмущенная система равномерно диссипативна. Если справедливо неравенство а /І, ТО система (1.9) также равномерно диссипативна.
Пусть задана система дифференциальных уравнений вида х» = fi(xf) + R;(,x), г = 1,...,71. (1-14) Здесь х = (xftt),... , (t)) , ХІ Є RN\ fi(xi) — непрерывно дифференцируемые однородные порядка \i{ 1 функции. Вектор-функции Rj(,x) непрерывны при 0, х І7 (Н - положительная постоянная). В (1.14) функции Rj(, х) характеризуют связи между подсистемами, определяемыми системами ХІ = (ХІ), і = 1,..., п. (1.15) Будем предполагать, что нулевые решения изолированных систем (1.15) асимптотически устойчивы. Предположим также, что вектор-функции Rz-(t,x) при t 0, х Н удовлетворяют неравенствам llRi ll CiillXlll - -IIXnll . 3=1 Здесь dj О, х? 0, J2p=iaij 0- Тогда система (1.14) имеет нулевое решение. Совокупность изолированных подсистем (1-15) можно рассматривать как обобщенно-однородную систему. Это следует из того, что функции /и j..., /шц 5 fni, - /плг„ являются обобщенно-однородными функциями класса (9ц,..., 01 ,..., #ni,..., впмп) порядка ц + 0tj, где Oij = /л/ (ЦІ — 1), г — 1,..., in, j = 1,..., iVj, а величина // выбирается так, чтобы /І, % были рациональными числами с нечетными знаменателями.
Критерий устойчивости В. И. Зубова по обобщенно-однородному нелинейному приближенно приводит к неравенствам п. п а -- -г + У]— — 0, 1 = 1,...,71, j = l,...,mi. (1.16) М - 1 рї fJ-P 1 Данные условия не учитывают независимость изолированных подсистем. А.А. Косов в работе [22] предложил новый способ исследования устойчивости систем вида (1-14), позволяющий получить более ппірокую область асимптотической устойчивости в пространстве параметров рц и oq . Он рассматривал случай, когда связи между подсистемами удовлетворяют оценкам Rj(i,x) X I JIIXJII M — 1,..., п, и использовал метод векторных функций Ляпунова. Была доказана теорема. Теорема 2 [22]. Если существуют положительные постоянные hi,..., hn, удовлетворяющие системе неравенств - тЫ + onjhj О, г = 1,..., п, j = 1,..., гщ, (1-17) то нулевое решение системы (1.14) асимптотически устойчиво. А.Ю. Александров и А.В. Платонов развили подход А.А. Косова для более широкого класса связей [1, 35]. В работе [1] функции Ляпунова для системы (1.14) строились в скалярном виде п V(x) = ( ). (1.18) г=1 Здесь Vi(xf) - непрерывно дифференцируемые положительно-определенные положительно-однородные порядка 7г — Mi + 1 функции (7?: Дг)5 такие, что производные dVi/dt\(i.i5) отрицательно определены. Величины 7г можно выбирать произвольным образом, поэтому они используются в качестве параметров. Справедлива следующая теорема. Теорема 3 [1]. Если существуют положительные постоянные hi,..., hn, удовлетворяющие системе неравенств п - liihi + Y 0$hP » г = 1,...,п, j = l,...:mi, (1.19) P=I то нулевое решение системы (1.14) асимптотически устойчиво. Доказательство теоремы основано на том, что, дифференцируя функцию (1.18) в силу системы (1.14), при всех t 0, х Н получим dV dt п п тщ -аIMP+ь]гімг Еімі" кК = W (1.14) j i j=l j=l (1.20) Здесь a 0, b 0. Предположим, что условия теоремы выполнены и положительные постоянные hi,..., hn удовлетворяют системе (1.19).
Анализ устойчивости каскадных систем
Частичное отсутствие зубов — широко распространенное явление в Российской Федерации. Установлено, что с возрастом в структуре индекса КПУ начинает преобладать компонент «У» - удаленные зубы. Если в 50-59 лет на одного человека приходится 8,12±0,28 удаленных зубов, в 60-69 лет -12,17±0,68, то в 70-79 и после 80 лет - соответственно 18,12±0,71 и 24,02±1,12 зуба. Полностью отсутствуют зубы в 50-59 лет у 5,6±0,7% населения, в 60-69 лет у 9,9±0,9%, в 70-79 и после 80 лет - соответственно у 29,5±1,5% и 40,2±3,4%. При этом увеличивается частота потери зубов в результате пародонтита, а не осложнений кариеса, как у молодых людей [79, 154, 155].
Калининская А.А., Сорокин В.Н., Трифонов Б.В. в ходе эпидемиологического стоматологического обследования прикрепленного контингента ЦЛПУ МВД России, получили следующие данные: из числа обследованных 13,4±0,7% нуждались, но никогда не обращались за ортопедической стоматологической помощью. Среди мужчин доля таких пациентов была выше (15,7%), чем среди женщин (11,1%). С возрастом этот показатель снижается, т.е. протезирование становится более востребованным для лиц старших возрастных групп. Анализ анкетного опроса показал, что основной причиной несвоевременного обращения за стоматологической ортопедической помощью является пассивное отношение пациентов к своему здоровью - 48,5% (причем у женщин этот показатель выше, чем у мужчин), далее идут боязнь препарирования зубов - 41,7% (показатель выше у женщин) и материальные затруднения - 9,9%. При этом установлено, что в возрастных группах от 20 до 40 лет в числе причин позднего обращения превалирует боязнь препарирования зубов, колебание показателей от 57 до 65% от числа опрошенных. В возрасте после 40 лет главной причиной позднего обращения по поводу протезирования является пассивное отношение к здоровью - от 54,8 до 68% от числа опрошенных. В ходе опроса пациентов авторы выяснили, что 69% из них нуждались в ортопедическом лечении: 40%) - в протезировании, 29% - в срочной замене имеющихся протезных конструкций, 54% опрошенных не видели необходимости в протезировании и длительное время не обращались за помощью, хотя это не означало, что они не нуждались в ней. 18% респондентов сообщили, что в течение длительного времени (до 20 лет) не посещали стоматолога. Главной причиной отказа от стоматологической помощи (60% случаев) был страх перед лечением [61]. Проведенная экспертиза показала, что нуждаемость в изготовлении одиночных коронок составляет 38%, у женщин этот показатель выше (40,03%) чем у мужчин (36,1%). Наибольший показатель востребованности этого вида ортопедического лечения отмечен в возрасте 40-49 лет (51,14%). Нуждаемость прикрепленного контингента в изготовлении мостовидных протезов весьма высока (53,75%). В возрастной группе 30-39 лет показатель составил 66,22% и достиг максимума в возрасте 40-49 лет (69, 26%). В более старших возрастных группах показатель снижается. У женщин он несколько ниже, чем у мужчин (55,12% и 63,38% соответственно). В целом нуждаемость в стоматологических ортопедических конструкциях разных видов составила 69,08% при этом у мужчин показатель нуждаемости выше (75,9%), чем у женщин (62; 21%). В возрастной группе до 20 лет показатель нуждаемости в стоматологической ортопедической помощи составил 39,23%). В возрасте 30-39 лет происходит резкое возрастание показателя нуждаемости до 85,67%, которое сохраняется на достаточно высоком уровне в более старших возрастных группах [18, 66].
Показатель объёма ранее оказанной стоматологической ортопедической помощи составил 52,23%, при этом у мужчин он составил 53,5%, а у женщин 51,74%. Наибольшая численность среди получивших ранее специализированную стоматологическую ортопедическую помощь приходилась на возрастную группу 60 лет и старше (76,53%). Установлено, что доля протезов, не отвечающих критериям качества, составила 3,4% ; в возрастных группах 20-29 лет и 30-40 лет отмечается наибольшее количество зубных протезов имеющих дефекты (5,3 и 8,8% соответственно). Годные одиночные коронки и частичные съёмные протезы в среднем превышают 4 половину всех имеющихся зубных протезов. Количество годных мостовидных и полных съёмных протезов составляет менее 50% от имеющихся протезов; данного вида, что в определенной мере указывает на низкое качество их изготовления. Наибольшая доля коронок и мостовидных протезов подлежала замене через 7 лет, частичных съёмных протезов - через 4 года и полных съемных протезов - через 6 лет [82, 97].
Системы нелинейных осцилляторов
Так, доля хирургической обращаемости в общей структуре обращаемости по ОМС составила: в 2003 году - 21,9%, в 2004 году - 21,7%, в 2005 году - 20,3%, в 2006 году - 24,3%, в 2007 году - 18,5% (в среднем 21,3%). На терапевтическую обращаемость в рамках ОМС-приёма приходилось 4/5 всех обращений (в среднем 78,7%).
Это же показал и анализ средних посуточных показателей обращаемости по ОМС (табл. 2): в 2003 году среднее число обращений в день составило 1515 (при этом по терапии - 1319, по хирургии - 196, или 14,8% и 85,2%), в 2004 году - 1574 обращений (по терапии - 1325, по хирургии - 249, или 84,2% и 15,8% ), в 2005 году - 1737 (1517 по терапии и 220 по хирургии, или 87,3% и 12,7%), в 2006 году - 2210 обращений (1911 по терапии и 299 по хирургии, или 86,5% и 13,5%), в 2007 году - 1953 обращений (1749 по терапии и 204 по хирургии, или 89,6% и 10,4%). В целом, анализ посуточных показателей нагрузки врачей по ОМС показал увеличение обращаемости населения (по данным 5-летнего наблюдения); при этом более 4/5 всех обращений составили обращения по терапии, остальные — обращения по хирургии.
Доля первичных обращений от общего числа обращений за терапевтической стоматологической помощью составила (рис. 1, 2): в 2003 году - 30,4%, в 2004 году - 31,8%, в 2005 году - 29,7%, в 2006 году - 30,7%, в 2007 году - 30,6% (в среднем 30,6%), то есть первично в каждом календарном году за терапевтической стоматологической помощью обращался каждый третий пациент, повторно - не менее 2/3 пациентов.
Другими словами, показатель санированности на терапевтическом стоматологическом приёме в течение календарного года от момента первичного обращения достигает не менее 2/3 от числа пациентов (рис. 4), обратившихся первично. Показатель доли пломбирования зубов (наложение постоянной пломбы) на ОМС-приёме достигал довольно высоких значений (табл. 3): в 2003 году были запломбированы зубы у 90,4% всех пациентов, обращавшихся к терапевтам-стоматологам, в 2004 году - 77,3%, в 2005 году - 78,8%, в 2006 году - 87,5%, в 2007 году - 83,5% (в среднем 83,5%). При этом более 2/3 всех пломб было наложено по поводу кариеса зубов (в 2003 году — 62,5%, в 2004 году - 56,7%, в 2005 году - 57,4%, в 2006 году - 62,5%, в 2007 году - 59,9%), а другую треть всех пломб составляли случаи законченного лечения пульпита, периодонтита (в 2003 году - 27,9%, в 2004 году - 20,6%, в 2005 году - 21,4%, в 2006 году - 25,0%, в 2007 году - 23,6%). Лечение данных заболеваний (пульпит, периодонтит) в одно посещение осуществлялось примерно у каждого десятого пациента на ОМС-приёме (2003 год - 13,6%, 2004 год - 8,4%, 2005 год - 7,6%, 2006 год - 12,4%, 2007 год - 15,0%).
По поводу заболеваний пародонта (табл. 4) обращался примерно каждый десятый пациент: в 2003 году - 10,9%, в 2004 году - 10,2%, в 2005 году — 9,9%, в 2006 году - 14,1%, в 2007 году - 12,2%. Почти в 2,5-3 раза меньше данного показателя была обращаемость по поводу заболеваний слизистой оболочки полости рта: в 2003 году доля пациентов с заболеваниями слизистой оболочки рта на терапевтическом стоматологическом приёме по ОМС составила 4,7%, в 2004 году - 4,9%, в 2005 году - 4,1%, в 2006 году -3,1%, в 2007 году- 3,2%.
Говоря о структуре (по клиническим составляющим) терапевтического стоматологического приёма, отметим следующее (рис. 5). Обращаемость по поводу неосложнённого кариеса зубов на протяжении 5 лет наблюдения составляла в среднем 55,0-62,5% в общем количестве обращений и была наибольшей среди других причин обращений. Обращаемость по поводу осложнённого кариеса зубов (пульпит, периодонтит) имела место у каждого четвёртого-пятого пациента, составляя в среднем 17,2-24,9%. Окончательное пломбирование (наложение постоянной пломбы) отмечено у 72,2-87,5% всех пациентов терапевтического стоматологического приёма, то есть пломбирование зубов производилось не менее чем у 4/5 всех обратившихся больных. Заболевания пародонта в структуре обращений на терапевтическом стоматологическом приёме занимали более скромное место: по этому поводу обращался в среднем каждый десятый пациент (6,4-14,1%).
