Введение к работе
Актуальность темы. Разностные системы широко применяются для описания динамических систем. Они являются основным математическим аппаратом при изучении управляемых систем с дискретными регуляторами и нелинейных импульсных систем, они используются в теории нелинейных колебаний (преобразование Пуанкаре) и при численном интегрировании дифференциальных уравнений.
Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений. Основным методом анализа устойчивости нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова. Главная трудность, возникающая при применении этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. К сожалению, общих способов их построения не существует.
В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной, В. И. Зубова, А. А. Мартынюка, А. И. Климушева и многих других ученых. В работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д.
Теория управления является одним из важнейших разделов современной науки. Она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со строны человека. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем.
При исследовании различных биологических, физических и технических моделей необходимо рассматривать сложные системы разностных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.
При управлении различными реальными системами в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и обеспечить ограниченность движений исследуемых систем.
На практике часто встречаются системы, у которых из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными. Особый интерес представляет случай, когда диссипатив-
ность является равномерной по отношению к начальным данным.
При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Значимые результаты представлены в трудах Т. Иошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Иошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.
Одной из важных задач качественной теории дифференциальных и разностных уравнений является определение условий существования и устойчивости вынужденных почти периодических колебаний, возникающих в нелинейных системах под действием внешних возмущений. С практической точки зрения, особый интерес представляет ситуация, когда указанные колебания асимптотически устойчивы в целом. Такое явление называют конвергенцией.
В. И. Зубовым была доказана теорема об условиях почти периодической конвергенции для систем дифференциальных уравнений. Эти условия формулировались в терминах существования функций Ляпунова, обладающих определенными свойствами. С помощью данной теоремы была доказана конвергентность некоторых классов нелинейных систем. В то же время следует заметить, что до сих пор не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова, удовлетворяющих требованиям теоремы Зубова. В работе И. А. Атаевой теорема В. И. Зубова распространена на системы разностных уравнений.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию задач устойчивости, диссипативности, конвергенции и стабилизации нелинейных разностных систем.
Целью диссертационной работы является системный анализ нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости, конвергенции и равномерной диссипативности, а также условий существования управлений, стабилизирующих заданные программные движения.
Методы исследования. В работе используются методы теории управления, теории устойчивости, теории разностных уравнений. Основным аппаратом исследования является прямой метод Ляпунова.
Результаты, выносимые на защиту.
условия асимптотической устойчивости решений многосвязных си-
стем разностных уравнений по нелинейному приближению;
достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем;
новые условия существования управлений, стабилизирующих программные движения дискретных динамических систем;
условия конвергенции одного класса нелинейных разностных систем;
условия абсолютной устойчивости, диссипативности и конвергенции дискретных моделей популяционной динамики.
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту и перечисленные выше, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят вклад в развитие качественной теории разностных систем. Результаты работы могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и конвергенции дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а также при проектировании и разработке управляемых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2008-2011, 2013 гг.), на семинарах кафедры управления медико-биологическими системами.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, одна из которых [1] в журнале, рекомендованном ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем диссертации составляет 92 страницы машинописного текста. Список литературы включает 63 наименования.
