Содержание к диссертации
Введение
Задачи с фазовыми и смешанными ограничениями 2
Аналитические модели 6
Необходимые условия экстремума 27
Задачи оптимального управления в модели хищник-жертва 41
Модель Лотки-Вольтерра 41
Управляемые модели хищник-жертва 42
Индивидуум-ориентированные модели популяции леммингов 48
Первая модель 48
Вторая модель 63
Заключение 76
Список работ по автора по теме диссертации 77
Список литературы 78
Приложения 84
Введение к работе
Задачи с фазовыми и смешанными ограничениями
Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.
В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.
Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи тина равенств и неравенств.
В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Кош и для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения тина неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.
Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован JI.C. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.[1-19]
Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемновые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.
Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной.
Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.
Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федорепко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системі,] ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.).
Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новіли алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. І Іемировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.
В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод
Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). ІО.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи МП.
Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ 10.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые, как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушипский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мапгасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.
Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко ІО.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.
Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов А.В. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы Дикусара В.В., который применил методы регуляризации структуры ограничении, что позволило распространить принцип максимума По на невырожденные задачи.
Аналитические модели
Экология изначально возникла в результате синтеза знаний из различных биологических и ряда небнологическпх дисциплин, и является удачным примером системного подхода к описанию и пониманию биологического мира в целом. В силу ее системности в экологии существует потребность в количественных методах: в модельных подходах, в использовании опыта анализа сложных явлении, разработанных в физико-математических дисциплинах.
Экологические модели неизбежно весьма приближенно описывают моделируемое явление, и основное задача моделирования как раз заключается в выборе степени и разумного упрощения, в пересмотре в случае необходимости, исходных предпосылок и уравнений; в построении иерархии взаимостыкующихся моделей разной степени детализации.
Уравнения Мальтуса и Ферхюльста.
В качестве объекта моделирования была выбрана популяция: группа особей определенного вида, обитающих в определенных условиях и занимающих определенный ареал. А показателем - численность.
Динамика численности (или биомассы) популяции определяется процессами рождаемости, смертности и миграции особей. Если считать ареал замкнутым и пренебречь влиянием особей друг па друга, т. е. конкуренцией за пищевой ресурс и пространство обитания, можно считать, что размножение и смертность пропорциональны численности. Отсюда следует, что скорость изменения численности также пропорциональна численности:
NsdN/dt=aN
где коэффициент а - называется мальтузианской скоростью роста, а само уравнение называется уравнением Мальтуса. При малой численности популяции это уравнение качественно хорошо описывает динамику популяции. Однако, бесконечный рост численности, являющийся следствием этого уравнения, невозможен, так как, начиная с некоторой численности, начинает сказываться влияние особей друг на друга (нехватка нищи, убежищ и т. п.), которое приводит к стабилизации численности популяции. Попытка учесть этот эффект была сделана Ферхюльстом, который предложил модифицированное выражение для скорости изменения численности популяции.
N=aN(l-N/K)
Параметр К, обычно называемый емкостью среды, определяет асимптотическое значение численности популяции при t— со.
Модель Лотки-Вольтерра
Поведение популяции не ограничивается режимами нарастания, спада или стабилизации. Типичными являются колебания численности популяции (чаще всего нерегулярные). Первая попытка смоделировать это явление была сделана независимо А. Лоткой и Вольтера. До этих работ колебания численности популяции связывали с периодически изменяющимися условиями среды. Вольтерра предложил, что такой причиной могут являться взаимодействия популяции типа «хищник - жертва», и для обоснования гипотезы построил и исследовал соответствующую математическую модель.
Вольтера объяснил колебания численности системой вида:
,V, =F,(,V,,,V,)
Л\ = F,(W,.A\)
, где N,N2 - численности жертв и хищников.
Конкретизируя вид функций F и F2, считалось что среда неизменна. Жертва питается продуктами среды, которые имеются в достаточном количестве. Процессы рождаемости, смертности и миграции жертв сбалансированы таким образом, что в отсутствие хищников происходит мальтузианский рост их числа со скоростью Є. Хищники питаются только жертвами. При отсутствии жертв численность хищников убывает со скоростью 8?: При наличии жертв скорость прироста хищников пропорциональна их численности. Биомасса жертв мгновенно переходит в биомассу хищников;
Тогда можем записать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
yV2=(-i-2+y2A ,)N2
в которой уі и у2 - коэффициенты «выедания» жертв и перехода биомассы жертв в биомассу хищников соответственно.
Результаты своих исследований Вольтера сформулировал в виде трех законов:
Закон периодичности цикла. Численности хищников и жертв периодически колеблются около своих нетривиальных равновесных значений. В их окрестности колебания синусоидальны и имеют одинаковый период (z&i) , не зависящий от коэффициентов взаимодействия видов. Колебания хищников отстают по фазе от колебаний жертв на тс/2, а их амплитуды соотносятся как (y2/yi)(CS2) ".
Закон сохранения средних. Средние по времени численности видов за любое число периодов равны своим значениям в положении равновесия Nj = с2/у2 и N2 = є 1 /у 1, т.е. не зависят от начальных условии и определяются для хищников параметрами уравнения для жертв, а для жертв - параметрами уравнения для хищников.
Закон изменения средних. Если хищники и жертвы истребляются равномерно и пропорционально их численности, то средняя доля жертв возрастает, а хищников — убывает.
Работы Вольтерра имели большое значение как для биологических исследований, так и для работ математического характера, а также и в становлении теоретической биологии. Демонстрация возможностей объяснения колебания численности за счет межпопуляционных взаимодействий заставила биологов пересмотреть свои теории, объясняющие колебания численности. Несовершенство модели Лотки-Вольтерра стимулировало математиков на поиски более совершенных моделей.
Модель Колмогорова
Колмогоров выполнил работу, в которой отказался от конкретного вида параметризации и решил проблему: при каких достаточно общих предположениях в системе «хищник - жертва», может возникнуть предельный цикл. Он рассматривал систему:
\\=г. \\)-\\\\)\\_ Л \ =К(\\)Кг
Здесь C(N) N2 описывает «собственную» динамику популяции жертв, K(N) N2 - интенсивность прироста биомассы хищников, а V(N) N2 - скорость выедания хищниками биомассы жертв.
При этом предполагалось что при добыче жертв среди хищников нет конкуренции, то есть V(N[) не зависит от N2. В процессе развития популяции хищников нет внутривидовой конкуренции, то есть K(N) не зависит от N2. Изъятие биомассы жертв и их «внутривидовое» развитие являются независимыми процессами: первая часть первого уравнения представляет собой разность двух членов, описывающих различные процессы.
Принимались естественные условия гладкости: все функции непрерывно дифференцируемы и положительны в области N 0 , N2 0.
Кроме того, были установлены биофизические ограничения на вид функций:
1. В отсутствие хищников коэффициент размножения жертв монотонно убывает с возрастанием их численности, переходя от положительных значений к отрицательным;
2. Коэффициент размножения хищников, наоборот, монотонно возрастает с ростом численности жертв, переходя от отрицательных значений к положительным;
3. Если жертва есть, то хищники их выедают; Условия 2) и 3) справедливы и для системы Лотки-Вольтерра ,) =/Л а первое - уже нет. Оно справедливо, например, для коэффициента размножения в уравнении Ферхюльста:
Решение задачи об условиях существования предельного цикла в общем, непараметрическом виде выглядит очень эффектно. Но отсутствие параметризации не позволяет использовать ее для описания реальных сообществ. В качестве компромисса используют модели промежуточного характера (одной из популярных является модель Гаузе - Витта).
Модель Костицина.
Костицин рассмотрел круговорот важнейших биогенных (необходимых для жизни) элемеЕ{тов: углерода, кислорода и азота. Описание Костицин проводил в рамках единой модели, из которой он исключил влияние океана, а также дополнительные источники поступления углекислого газа.
В модели он рассматривал следующие переменные:
1. X - масса свободного атмосферного кислорода;
2. Y - общая масса углекислоты в атмосфере и океане;
3. V - общая масса кислорода и углерода в растениях;
4. U - их общая масса в животных;
5. S - их общая масса в остатках растений и животных, рассеянных в земной коре;
Они связаны между собой дифференциальными уравнениями:
Y = a},U -a2iV + aA2V
U = arU-avU -a U + pUV
V = atiU -auV + auV + avV -a„V - filJV
Эти уравнения являются балансовыми соотношениями. Согласно первому уравнению, кислород расходуется на дыхание животных и растений и освобождается в результате питания (фотосинтеза) растений. Второе уравнение показывает, что содержание углерода в атмосфере увеличивается за счет дыхания и разложения растений и животных и убывает за счет усвоения углекислого газа растениями. В пятом уравнении учитывается увеличение количества остатков растений и животных. В третьем и четвертом уравнении проводится баланс потребления и трат растениями и животными. Член PUV отражает взаимодействие растений с животными, выедание первых вторыми. Это чисто вольтеровский член, за счет которого в системе возможны возникновения колебаний.
При анализе этих уравнений Костициным была принята гипотеза, что все коэффициенты постоянны. Это сильно огрубляет ситуацию. Таким образом Костицин претендовал лишь на качественное описание модели.
Имитационные модели
Работы Дж. Форестера
Новая волна интереса к экологии возникла после работы Форрестера и его учеников. Она была связана с деятельностью "Римского клуба" - общественной организации, основанной западными бизнесменами, обеспокоенными влиянием индустриализации на окружающую среду. В первом докладе этого клуба - "Пределы роста" был провозглашен принцип "экспоненциально растущей необратимости" надвигающегося экологического кризиса. Он был основан на работе Дж.Форрестера "Мировая динамика", в которой мир представлен как единое целое, как взаимодействие различных процессов: в основном, социально-экономических, по экологические показатели также учитывались.
На взаимосвязь природы, живой материи и человеческой активности указывали задолго до Дж.Форрестера: детально концепцию о едином, взаимосвязанном процессе развития человечества и окружающей его природы (теорию ноосферы) рассматривали В.И.Вернадский. Немалую долю в популярности работ Форрестера сыграл и способ их исследования: построение и исследование моделей большой размерности с помощью ЭВМ.
Экологические аспекты в работах Дж.Форрестера и его последователей рассматривались лишь как неизбежный продукт развития цивилизации:
биологические блоки, как таковые, в моделях отсутствовали. Фундаментальные математические постановки были в значительно более ранней работе В.А.Костицииа,. Развитию этого подхода мешало не только отсутствие "социального заказа", но и отсутствие "инструментария" исследования.
Первые модели биосферных процессов послужили основанием Н.Н.Моисееву, для формулировки программы дальнейших исследований: нужна не одна модель, а система моделей, которая должна состоять из трех больших блоков: описывающих изменение климата, эволюцию биоты и человеческую активность, т.е. структуру антропогенных нагрузок. В каждом из блоков должны быть модели разной степени подробности и детализации.
Модели круговорота углерода е биосфере
В этой модели рассматривались только эколого-климатические процессы, а антропогенные влияния па биосферу вводились в виде внешних входных воздействий.
В модель включены следующие блоки: растительности, гумуса, углекислого газа, климатический и океанический. Вся суша разбивалась на квадраты размером 10 10° но широте и долготе. На каждом таком участке за счет процессов метаболизма растительности ( / -), а также разложения гумуса
(Б,-.-) происходит изменение концентрации углекислого газа (С), которое, за счет циркуляции атмосферы, мгновенно перемешивается. Суммарная концентрация углекислого газа, в свою очередь, изменяет распределение количества осадков и температуры.
Балансовые уравнения для некоторого участка территории с индексами (і J ), где (/ = 1, п; j = 1, m ) имеют вид :
dp,
— L=Y..Q.. -a P и (/ U .I
, / a \Lu 11l и
dSj;
-- = aaijPij-PijNij
- = Cil-C0+-Z(bauPii+/3iiNii-riiQii) си /.і j і
где /j- равна 1, если данный участок находится на суше и нулю в противоположном случае, аГі и /?;/- - коэффициенты, определяющие влияние биомассы растительности и гумуса на динамику углекислого газа в атмосфере; a, b - коэффициенты, определяющие опад и метаболизм (дыхание) растительности, // - нормировочный коэффициент, равный числу участков суши.
Антропогенный выброс углерода ( Са ) может быть выбран в различных сценариях по разному (это управление системой), исходя из существующих тенденций. Обмен с океаном (С ;Определяется на основе модели Махта. Ые раскрытыми остались процессы разложения гумуса (N) и продуктивности биоты суши (О). Гумус составляет около 90% мертвого органического вещества почвы. В его разложении активно участвуют почвенные организмы. Этот процесс еще очень плохо изучен. Конечно он зависит от многих факторов: от температурного и водного режимов и т.д. В рассматриваемой модели, как и в других моделях ВЦ АН его связь с климатом осуществлялась через "термическое разложение":
N S xpOiTj )
где Tj - современное значение температуры, г - коэффициент "термического разложения" гумуса.
Центральное место в модели круговорота углерода в биосфере занимает описание продуктивности растительности. В рамках минимальной модели было выбрано достаточно экономичное описание этого процесса:
продуктивность зависит от концентрации углекислого газа в атмосфере а{(С) и от среднегодовой температуры (Ц ) или количества осадков за годі (W/.-) в данном регионе. Функция «(С) определена в соответствии с работой
Лархера: в отсутствии ССЬ фотосинтез не возможен, а при высокой его концентрации продуктивность растительности возрастает в два раза. Функция ах{С) выбрана кусочно линейной: линейно растет от нуля, равна 1 при современной концентрации ССЬ и достигнув значения 2, принимает постоянное значение. Функция а2{ ) взята из работы А.Литта. Определяется она следующим образом. На основании обобщения большого эмпирического материала А.Литт построил две кривые: зависимость среднегодовой продуктивности I) от среднегодовой температуры и 2) от количества осадков за год. Продуктивность в данном регионе определяется но минимуму из этих двух значений.
Экосистема
Прежде всего экосистема подразделяется на абиотическую и биотическую части. К первой относятся физические факторы среды, прежде всего климатические, а также органические и неорганические соединения, участвующие в круговороте биогенных элементов в экосистеме. Вторая биота - по участию в организации потоков энергии и вещества разделяется на три типа. С точки зрения трофических отношений все живые организмы разделяются на автотрофов (продуцентов) - питающихся самостоятельно, которые производят синтез органики из неорганических соединений, большинство за счет использования солнечной энергии, и гетеротрофов -питаемых другими, питающимися органикой, и не способны к ее синтезу из неорганических соединений. Гетеротрофы подразделяются на консументов, питающихся живой органикой, и редуцентов, использующих в пищу мертвую органику. Сообщества организмов, входящих в данную экосистему, называют биоценозом. Основной характеристикой экосистемы является организация круговорота биогенных элементов. Энергию для этого процесса запасают зеленые растения (автотрофы), за счег нее осуществляются переходы биогенных элементов по трофической цепи и трансформация одного соединения в другое.
Как уже подчеркивалось, основу жизни составляют автотрофы -зеленые растения: деревья, водоросли, фитопланктон (от греческого фито -растения, планктон - плавающий) и т.д. Автотрофы за счет солнечной энергии усваивают растворенные питательные вещества. Часть биомассы растений поедают травоядные (первичные консументы), а оставшаяся отмирает и формирует органический детрит.
На суше первичными копсументами являются растительноядные животные (фитофаги, от греческого фагос - пожирающий), в водных экосистемах - зоопланктон (животный планктон), бентосные (придонные) животные: черви, моллюски, ракообразные и т.д.
В свою очередь, первичные консументы служат пищей вторичным консументам - хищникам. В частности, в тундровой экосистеме основными фитофагами являются лемминги (вид грызунов) и олени, а их хищниками есцы и волки, в водных системах вторичными консументами являются хищные насекомые и хищные рыбы. Кроме взаимодействий типа "хищник-жертва", существуют взаимодействия "хозяин-паразит". Фактически это один тип взаимодействия, хотя с первым связывают взаимодействие крупных животных, например оленей с волками, а во втором случае в качестве хищника (паразита) выступает, например, насекомое блоха. При таком рассмотрении трофические пени могут быть достаточно длинными.
Часть биогенных элементов автотрофов и связанной с ними энергии проходит через пастбищную трофическую цепь, описанную выше, а основная часть растительности, трупы консументов и их фекалии поступают в детритную трофическую цепь, в которой происходит разложение органики до стадии растворенных питательных веществ с последующим их усвоением растительностью. Основными потребителями детрита являются бактерии и грибы. Кроме таких редуцентов имеются еще дэтритофаги - более крупные организмы (черви, клещи и т.д.), которые заглатывают детрит вместе с бактериями и грибами. Есть еще и специальные организмы - потребители бактерий и грибов. В свою очередь, такими организмами и детритофагами питаются почвенные хищники. В отличие от пастбищной цепи, детритные трофические цепи изучены плохо.
Рассмотрим теперь пути возвращения биогенных элементов. Основным является момент усвоения автотрофами (растениями) биогенов: они усваиваются только в растворенной форме, разложенные до соответствующей стадии (для азота, например, это нитраты). Каким образом происходит путь возврата биогенных элементов автотрофов в растворенную усвояемую фазу? Первый, самый короткий путь (путь Ш)-от растения к растению через симбиотические микроорганизмы. Затем возврат питательных веществ идет через экскрецию животных пастбищной цепи (путь I) и детрптной цени (путь П). Кроме того, возможен автолиз органического детрита (путь ІУ). Заметим, что выделение трофических уровней, разделение на пастбищную и детритные цепи достаточно условно.
Место в трофической цепи может меняться в зависимости от условий существования, сезона и стадии индивидуального развития: фитопланктон зимой подо льдом в отсутствие света утилизирует органическое вещество, т.е. из автотрофа переходит в гстеротрофы; в условиях нехватки азота в почве развился тип растений - хищников, которые "заглатывают" насекомых; мальки хищных рыб служат пищей взрослым особям; есть всеядные животные, например медведь. Тем не менее представление о трофических уровнях бывает полезно в экологических исследованиях. Так, Одум отмечает, что при восстановлении экосистемы прежде всего восстанавливается трофическая организация, а потом уже видовой состав. Следует отметить, что, несмотря на вроде бы очевидное различие "пастбищных" и "детритиых" видов, и тут разделение условно. Многие наземные пастбищные виды не прочь "полакомиться" почвенными организмами. В водных экосистемах такое разделение еще более условно; к каким цепям относить, например, бентосных животных?
Стоит остановиться еще на одном аспекте, связанном с переработкой пищи консументами. В кишечнике идут процессы деструкции, имеющие ряд черт, сходных с деструкцией органики в детрит-ном цикле. Разложение пищи идет как за счет биохимических реакций, так и за счет микроорганизмов кишечника. Кроме того, часть экскретов не переходит в стадию растворенных питательных веществ и поступает в дегритпый цикл. В этом случае консумеиты играют важную подготовительную роль в переработке органики и ускорении круговорота биогенных элементов. Эти аспекты еще раз подчеркивают взаимосвязанность и сходство различных, казалось бы, далеких процессов.
Биоценоз
Тундра представляет собой одну из простейших экосистем. Для нее характерны достаточно регулярные колебания численности животных -классическое явление для отработки адекватных методов математического описания экологичесих систем.
Уровень знаний (1977 г.) не позволял дать целостное описание тундры с полным учетом многообразия трофических связей, биогеохимических циклов. В связи с этим акцент с экосистемпого описания был смещен на изучение колебаний численности тундровых животных. Постановка проблемы уточнялась следующим образом: необходимо модифицировать известные подходы количественного анализа колебаний численности животных для описания реальных экологических объектов и продемонстрировать их эффективность на примере изучения свойств t тундровых объектов. С одной стороны, ставилась проблема проанализировать колебания численностей реальных популяций (т.е. по возможности учесть широкую гамму их свойств, взаимосвязей, влияющих на динамику численностей), а с другой стороны, было стремление сделать модель обозримой, не особенно удаляясь от классических моделей, хотя и используя компьютеры.
Последующая детализация проблемы, приближение ее к конкретной постановке задачи проходила уже с учетом того, что выбор объекта моделирования и структуры его математического описания осуществляются сопряженно и являются результатом компромисса между экологическим и математическими требованиями. В какой-то степени разрешением этого компромисса являются три достаточно универсальных требования к моделям:
1. системность - учитывать многообразие связей внутри и вне изучаемого объекта;
2. экологичность - привлекать предположения, не противоречащие доступным экологическим данным;
3. минимальность - использовать минимально возможную структуру, необходимую для имитации изучаемого явления;
Последний принцип был определяющим. Прежде всего необходимо получить обозримую модель, к которой применим "тезис Жуковского",что нужно строить такие модели, которые можно исследовать. Поэтому мы воспользовались принципом Вольтерра-Костицына; в качестве математического каркаса была взята система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Как уже было отмечено выше, набором полных данных об экосистеме тундры в момент создания моделей разработчики не располагали, достаточно хорошо была изучена лишь пастбищная (наземная) часть тундрового биоценоза. "Минимальность" с оглядкой на принцип экологичности (а также системности) привела к следующей постановке проблемы: выделить в пастбищной части тундрового оиоценоза подсистему, существенно влияющую на формирование динамики численности популяции песцов. Для этого обратились к анализу структуры пастбищной цепи. На схеме изображены конкурентные связи в борьбе за растительность между оленями, растительноядными птицами, леммингами, связи типа "хищник-жертва" между песцами и леммингами, хищными птицами и леммингами, волками и оленями и т.д.
Песец-полифаг, он использует в качестве пищи разнообразные корма, но для нормального существования популяции песцов необходимо достаточно высокая плотность биомассы леммингов: при их низкой плотности песцы размножаются вяло, после пика численности леммингов с запаздыванием на несколько месяцев появляется пик численности песцов. Сбой такой взаимосвязи отмечается как исключительное событие.
Динамика численности леммингов, в свою очередь, зависит от состояния растительности.. В тундре есть несколько видов фитофагов, но у леммиїпов практически нет конкурентов за пищевые ресурсы: олени кочуют и срезают лишь небольшую часть растительного покрова, а птицы, как правило, имеют другие места обитания. Хотя лемминги служат пищей для многих видов хищников, роль последних в регулировании численности леммингов, по-видимому, несущественна.
Хотелось создать модель, преемственную модели Лотки - Вольтерра, точнее, использовать их основную гипотезу о возможности представления в модели взаимодействия популяций с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в которых одной переменной описывается биомасса (численность) популяции или трофического уровня (частный случай гипотезы Вольтерра - Костицина ). В соответствии с этой гипотезой модель выглядит следующим образом:
dAUlt = Ril-Da-\ta
P а с 7Г7 /./ r/? s: ./7 & // a r 777 л
Здесь величины R;1 , D;1 , M;1 описывают скорости репродукции, отчуждения и естественного отмирания, а величина Л является показателем трех выделенных трофических уровней: W, L, F (растительность, лемминги, песцы). А что общее, универсальное характеризует каждая из трех переменных? Для песцов это суммарная биомасса популяции, для леммингов - уже двух, а для растительности - суммарная биомасса нечетко выделенной группы "съедобных" для леммингов видов растительности. Можно написать уравнения, все но этапам: объект, его уточнения, запись уравнений. Но объект - то выбирался так, чтобы можно было написать уравнения этого типа. Запись модели в виде сделан под влиянием идеологии численности леммингов с запаздыванием на несколько месяцев появляется пик численности песцов. Сбой такой взаимосвязи отмечается как исключительное событие. Можно написать уравнения, все по этапам: объект, его уточнения, запись уравнений. Но объект - то выбирался так, чтобы можно было написать уравнения этого типа. Запись модели в виде сделай под влиянием идеологии имитационного моделирования Форрестера. Это - способ перевода на компьютерный язык систем обыкновенных дифференциальных уравнений, технология наполнения их конкретным содержанием. Он предлагает и структуру описания моделей и их графическое представление; последнее очень удобно при диалоге с не математиками (биологами).
Суть метода в том, что каждая из основных переменных - уровней описывается с помощью дифференциального уравнения первого порядка. Скорости изменения уровней, которые Форрестер называет темпами, могут представлять собой сложные нелинейные выражения с задержками во времени, которые, вообще говоря, могут зависеть от всех уровней и, кроме того, от вспомогательных переменных. Темпы могут декомпозироваться на ряд сомножителей, каждый из которых уже может обладать достаточно прозрачными свойствами, и вид этих зависимостей может быть выяснен в результате диалога со специалистами соответствующей области. Такая имитационная модель является своего рода обработкой, сглаживанием результатов, представлені і ых специалистами экспертами. Технически эта система включала в себя удобные для ввода в ЭВМ зависимости графического типа.
В рамках таким образом определенной структуры происходило, дальнейшее наполнение информацией модели. При моделировании тундрового сообщества было построено несколько вариантов модели. Основная структура почти не менялась. Выбор версии модели сводился к определению набора функций, от которых зависят темпы: задание списка переменных, определение функционального вида функций.
В соответствии с динамикой температуры были выделены два сезона: зима и лето. Соответствующие коэффициенты модели зависели от сезона. Без учета выедания, динамика биомассы растительности описывалась уравнением Ферхюльста. Скорость прироста биомассы (репродукции) и леммингов, и песцов была пропорциональной биомассе ресурса (корма), а песцов, кроме того} определялась и функцией, зависящей от плотности популяции. Эта функция описывала влияние переуплотнения песцов на процессы их репродуктивное™, монотонно убывала и обращалась в нуль при некотором значении плотности песцов.
Смертность и леммингов, и песцов определялась обеспеченностью кормами и была выбрана пропорциональной соответствующим функциям. Численно эти функции отличались, но имели одинаковый качественный вид: максимум при отсутствии кормов и затем монотонное стремлеииэ к некоторой константе при увеличении обеспеченности кормами.
Взаимодействие между трофическими уровнями (растительностью, леммингами и песцами) описывалось с помощью обобщений гипотезы встреч Вольтерра отчуждение было пропорционально произведению биомасс "хищников и жертв" и некоторой функции, зависящей от обеспеченности кормами. Качественно эти функции имели следующий вид: монотонный рост от нуля при отсутствии кормов-до некоторого асимптотического значения. В модели также учитывалось отчуждение песцов за счет охоты, которое считалось пропорциональным биомассе песцов.
В соответствии с идеологией Форрестера, все функции были выбраны в безразмерном виде: за единицу принималось, в зависимости от вида функций, или асимптотическое, или максимальное, пли минимальное значение. Числовые значения для констант и функций (как указано выше) выбирались из литературы и экспертных оценок. Безразмерный вид функций существенно облегчал жизнь. Во-первых, легко было решиться подкорректировать их в процессе "диалогового моделирования", во-вторых, это успокаиволо оппонентов при обсуждении результатов моделирования, когда они интересовались, откуда взяты данные. Да и биологам было легче смириться с такоіі формой подачи материала: она как бы снимала с них ответственность, создавала иллюзию формализованной объективности.
Итак, сформирован некоторый "экологический конструктор": динамика биомасс каждого из трех трофических уровней определяется тремя аддитивными компонентами.
В первой главе диссертации изложены различные постановки задач оптимального управления, сюда включены задачи с фазовыми и смешанными ограничениями, излагается схема Дубовицкого-Милютина
Вторая глава диссертации посвещена различным постановкам задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями в моделях хишник-жертва. Для поставленных задач формулируются различные теоремы связанные с существованием принципа максимума, существованием решения, а также доказывается наличие особых режимов и нерегулярных точек.
В третей главе рассматриваются две индивидуум - ориентированные модели популяции леммингов. 11а основании проведенных вычислительных экспериментов, доказывается существование трех годичных циклов в динамике численности популяций.
В приложениях приведены результаты расчетов п код програмы расчета годичных циклов.
Аналитические модели
Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи тина равенств и неравенств.
В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Кош и для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения тина неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.
Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован JI.C. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.[1-19]
Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемновые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.
Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной.
Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.
Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федорепко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системі,] ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.).
Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новіли алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. І Іемировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.
В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод
Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). ІО.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи МП.
Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ 10.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые, как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушипский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мапгасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.
Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко ІО.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.
Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов А.В. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая.
Управляемые модели хищник-жертва
В соответствии с условиями на полуострове Таймыр, год в модели разделен на два периода. Первый - период размножения с 1 февраля по 31 августа. Оставшуюся часть года занимает второй период - в течение которого зверьки не размножаются. В модели лемминги описываются возрастом, иолом, координатами норы и потенциалом жизнестойкости. Вводятся три стадии развития для самок - неполовозрелые, половозрелые небеременные и половозрелые беременные и две - для самцов - неполовозрелые и половозрелые. Потенциал жизнестойкости представляет собой некогорую переменную с областью изменения от пуля до единицы, которая описывает физиологическое состояние особи и изменяется при различных процессах. Если значение потенциала достигает пулевого значения, особь гибнет.
В течение жизни лемминги участвуют в следующих процессах и событиях: движение, питание, поиск норы, столкновения с другими особями, беременность, рождение потомства, рост и смерть. Рассмотрим эти процессы и события и их моделирование более подробно.
В поисках корма животные, выйдя из норы, перемещаются на фиксированное расстояние. Место для перемещения выбирается не случайно, а на основе понятия «благоприятности». Выбирается наиболее благоприятное место для кормления, более подробно о понятии «благоприятности» и процессе передвижения будит описано ниже.
Двигаясь в поисках пищи, особь сталкивается с другими особями популяции. Такая встреча имеет месго всякий раз, когда две или более особей одного пола оказываются в одной ячейке за время одной итерации. В модели считалось, что в столкновении участвуют все однополые особи. Каждая такая встреча порождает уменьшение потенциала жизнестойкости участников, величина которого фиксирована. После столкновения потенциал столкнувшихся особей постепенно восстанавливается, и это восстановление прерывается только новой стычкой.
Если встреча двух особей происходит в репродуктивный период и встречаются разнополые половозрелые особи, небеременная самка с некоторой вероятностью оеременеег. Через положенное время появляется на свет потомство. Потенциал жизнестойкости самки после родов не уменьшается. Новорожденной особи присваивается некоторое начальное значение потенциала жизнестойкости. В течение заданного промежутка времени взросления потенциал возрастает, если не происходит столкновений с другими особями. Новорожденные две недели не покидают пору, а выйдя из нее в поисках пищи начинает искать свободную нору. Если особь в течении одной итерации не находит свободную пору-она погибает. Гибель особи происходит в следующих случаях: если особь достигла предельного возраста; если значение потенциала жизнестойкости стало пулевым; если самка принесла третье потомство, если гибнет кормящая самка, то вместе с ней погибает и все потомство; если особь, выйдя из норы самки, не находит свободной норы; Распределения кормового ресурса происходит в вегетативный период согласно уравнению Ферхюльсста. В исвегетативный период, при большой плотности популяции возникает «бескормица», во время которой потенциал жизнестойкости каждой особи уменьшается на некоторое значение (подробнее о уменьшении жизненного потенциала описано ниже). Ниже приводится более детальное описание некоторых важных функциональных блоков и механизмов модели: Инициализация В блоке инициализации модели происходит присвоение начальных значений каждой ячейке. Присваивается первоначальное значение для величины кормового ресурса ячейки случайным образом в интервале от 0,25 до 1,0. В два средних столбца таблицы, образующих ареал, помещаются 20 особей разного пола (10 самок и 10 самцов). Понятие благоприятност Особое внимание в модели уделяется понятию «БЛАГОПРИЯТНОСТИ» клетки. Эта величина зависит от величины кормового ресурса в ячейке и от наличия в соседних ячейках других особей. Величина «благоприятности» клетки является определяющей в процессах передвижения особи в поисках пищи п поиска свободной ячейки молодой особи.
Первая модель
Поэтому самые существенные изменения во втором варианте модели касались именно порождающих эти недостатки положений. Модель излагается сразу для леммингов, хотя большинство ее составляющих могут оказаться пригодными при построении моделей и для других животных. Для целостности описания, несмотря на неизбежные повторы, сохраним стиль изложения, который был использован для первой модели.
Как и впервой модели лемминги описываются возрастом, полом, координатами норы и потенциалом жизнестойкости. Вводятся три стадии развития для самок - неполовозрелые, половозрелые небеременные и половозрелые беременные п две - для самцов - неполовозрелые и половозрелые. Потенциал жизнестойкости представляет собой некоторую переменную с областью изменения от нуля до единицы. Если значение потенциала достигает нулевого значения, особь гибнет. В течение жизни лемминги участвуют в следующих процессах и событиях: движение, питание, поиск норы, столкновения с другими особями, беременность, рождение потомства, рост и смерть.
В поисках корма животные, выйдя из поры, перемещаются на фиксированное расстояние. Место для перемещения выбирается случайно. Двигаясь в поисках пищи, особь сталкивается с другими особями популяции. Такая встреча имеет место всякий раз, когда две или более особей одного пола оказываются в одной ячейке за время одной итерации. В модели считалось, что в столкновении участвуют не только однополые особи. В модели появляется понятие «ЭЛИТНЫХ» особей. Об этом будит рассказываться ниже.
Если встреча двух особей происходит в репродуктивный период и встречаются разнополые половозрелые особи, пебеременная самка с некоторой вероятностью беременеет. Через положенное время появляется на свет потомство. Потенциал жизнестойкости самки после родов не уменьшается. Новорожденной особи присваивается некоторое начальное значение потенциала жизнестойкости. В течение заданного промежутка времени взросления потенциал возрастает, если не происходит столкновений с другими особями. Новорожденные две недели не покидают пору, а выйдя из нее в поисках пищи начинает искан, свободную пору. Если особь в течении одной итерации не находит свободную нору-она погибает.
Ниже приводятся основные отличия в алгоритмах модели. Понятие «элитности» особи Это понятие лежит в основе механизмов потребления кормового ресурса и механизме столкновения особей. 11 является базовым понятием для осуществления состязательного механизма взаимодействия особей. При столкновении нескольких особей в одной ячейке происходит выделение самого сильного самца (потенциал жизнестойкости которого больше чем у всех остальных самцов в данной ячейке) и самой сильной самки (потенциал жизнестойкости которой больше чем у всех остальных самок в данной ячейке). В результате столкновения жизненный потенциал этих особей не уменьшается, им присваивается признак «элитности». Понятие элитности не постоянно. В последующие итерации признак «элитности» может быть утерян, если «элитная» особь встретятся с более сильной особью такого же пола (если потенциал жизнестойкости «элитной» особи окажется меньше чем жизненный потенциал другой особи в пределах одной ячейки). В результате такого столкновения признак «элитности» получит наиболее сильная особь. Инициализация В задачах рассматриваемого типа существует проблема выбора начальных данных. В данной модели подобная проблема решается следующим образом: Модель запускается один раз па счет, чтобы ареал полностью заполнился; Все промежуточные данные (жизненный потенциал, возраст) сохраняются в файл для каждой итерации; Блок инициализации открывает сохраненный файл п выбирается момент времени в фазе пика численности. После первого пика численности, в ареале остается минимально -необходимое количество особей; Модель запускается на счет; Таким образом, уже примерно через год соответствующие значения преобразуются и становятся близкими к естественным для данного состояния модели. В связи с этим, анализ модели начинают с изучения второго года или даже «второго цикла». Передвижение особи в процессе кормления Передвижение особи по пространству связано только добыванием пищи. С наступлением активного периода суток (первый такт итерации) особь покидает гнездо. Перемещение происходит в одну из соседних 24 ячеек . Особь потребляет некоторое количество растительности . После этого особь не может переместиться в одну из соседних ячеек если дневная потребность в кормовом ресурсе не удовлетворена.
Вторая модель
Поэтому самые существенные изменения во втором варианте модели касались именно порождающих эти недостатки положений. Модель излагается сразу для леммингов, хотя большинство ее составляющих могут оказаться пригодными при построении моделей и для других животных. Для целостности описания, несмотря на неизбежные повторы, сохраним стиль изложения, который был использован для первой модели.
Как и впервой модели лемминги описываются возрастом, полом, координатами норы и потенциалом жизнестойкости. Вводятся три стадии развития для самок - неполовозрелые, половозрелые небеременные и половозрелые беременные п две - для самцов - неполовозрелые и половозрелые. Потенциал жизнестойкости представляет собой некоторую переменную с областью изменения от нуля до единицы. Если значение потенциала достигает нулевого значения, особь гибнет. В течение жизни лемминги участвуют в следующих процессах и событиях: движение, питание, поиск норы, столкновения с другими особями, беременность, рождение потомства, рост и смерть.
В поисках корма животные, выйдя из поры, перемещаются на фиксированное расстояние. Место для перемещения выбирается случайно. Двигаясь в поисках пищи, особь сталкивается с другими особями популяции. Такая встреча имеет место всякий раз, когда две или более особей одного пола оказываются в одной ячейке за время одной итерации. В модели считалось, что в столкновении участвуют не только однополые особи. В модели появляется понятие «ЭЛИТНЫХ» особей. Об этом будит рассказываться ниже.
Если встреча двух особей происходит в репродуктивный период и встречаются разнополые половозрелые особи, пебеременная самка с некоторой вероятностью беременеет. Через положенное время появляется на свет потомство. Потенциал жизнестойкости самки после родов не уменьшается. Новорожденной особи присваивается некоторое начальное значение потенциала жизнестойкости. В течение заданного промежутка времени взросления потенциал возрастает, если не происходит столкновений с другими особями. Новорожденные две недели не покидают пору, а выйдя из нее в поисках пищи начинает искан, свободную пору. Если особь в течении одной итерации не находит свободную нору-она погибает.
Ниже приводятся основные отличия в алгоритмах модели. Понятие «элитности» особи Это понятие лежит в основе механизмов потребления кормового ресурса и механизме столкновения особей. 11 является базовым понятием для осуществления состязательного механизма взаимодействия особей. При столкновении нескольких особей в одной ячейке происходит выделение самого сильного самца (потенциал жизнестойкости которого больше чем у всех остальных самцов в данной ячейке) и самой сильной самки (потенциал жизнестойкости которой больше чем у всех остальных самок в данной ячейке). В результате столкновения жизненный потенциал этих особей не уменьшается, им присваивается признак «элитности». Понятие элитности не постоянно. В последующие итерации признак «элитности» может быть утерян, если «элитная» особь встретятся с более сильной особью такого же пола (если потенциал жизнестойкости «элитной» особи окажется меньше чем жизненный потенциал другой особи в пределах одной ячейки). В результате такого столкновения признак «элитности» получит наиболее сильная особь. Инициализация В задачах рассматриваемого типа существует проблема выбора начальных данных. В данной модели подобная проблема решается следующим образом: Модель запускается один раз па счет, чтобы ареал полностью заполнился; Все промежуточные данные (жизненный потенциал, возраст) сохраняются в файл для каждой итерации; Блок инициализации открывает сохраненный файл п выбирается момент времени в фазе пика численности. После первого пика численности, в ареале остается минимально -необходимое количество особей; Модель запускается на счет; Таким образом, уже примерно через год соответствующие значения преобразуются и становятся близкими к естественным для данного состояния модели. В связи с этим, анализ модели начинают с изучения второго года или даже «второго цикла». Передвижение особи в процессе кормления Передвижение особи по пространству связано только добыванием пищи. С наступлением активного периода суток (первый такт итерации) особь покидает гнездо. Перемещение происходит в одну из соседних 24 ячеек . Особь потребляет некоторое количество растительности . После этого особь не может переместиться в одну из соседних ячеек если дневная потребность в кормовом ресурсе не удовлетворена.
