Введение к работе
Акхуальность работы. В последние десятилетия методы функционального анализа начали широко применяться в различных разделах теории управления, оптимизации, системного анализа. Эти методы позволили не только расширить область исследуемых проблем, но и достигнуть существенного продвижения в ряде задач, уже ставших классическими.
Это обстоятельство обуславливает актуальность и важность внедрения методов современного нелинейного анализа в различные области теории управления и её приложения, в частности, в численные методы теории управления. В диссертационной работе общие методы нелинейного функционального анализа применяются к исследованию градиентных процедур приближённого решения задач бесконечномерной оптимизации.
Анализу приближённых процедур типа градиентного спуска посвящено большое число исследований. Наиболее полно эти процедуры исследованы в конечномерных случаях. В задачах бесконечномерной оптимизации анализ сходимости градиентных процедур существенно усложняется. Так, например, градиентный метод может не быть сходящимся даже в случае минимизации унимодального выпуклого функционала. К настоящему времени сходимость градиентных процедур в бесконечномерных задачах исследована лишь в жёстких предположениях о геометрической структуре изучаемого функционала (сильная выпуклость, усиленная монотонность градиента) либо в предположении невырожденности отыскиваемой точки минимума.
В ряде важных задач (например, в задаче оптимального управления с функционалом, качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления, в задачах минимизации интегральных функционалов, возникающих в задачах математической физики) изучаемые функционалы могут быть не выпуклыми.
В диссертационной работе исследуются градиентные процедуры в невыпуклых задачах бесконечномерной оптимизации, доказываются теоремы о сходимости таких процедур, исследуется диапазон применимости градиентных методов, приводятся различные приложения к конкретным оптимизационным задачам.
Цель работы. Целью работы является:
-
Обоснование применимости градиентного метода в задаче безусловной оптимизации невыпуклых функционалов, определённых на гильбертовых пространствах.
-
Исследование сходимости метода проекции градиента в задачах бесконечномерной оптимизации с ограничениями.
-
Исследование сходимости градиентных процедур в задачах классического вариационного исчисления.
-
Применение градиентного метода в конкретных задачах (задачи оптимального управления системами с сосредоточенными и распределёнными параметрами, задачи вариационного исчисления).
-
Анализ градиентных методов, применяемых в математических моделях нейронных сетей.
Общие методы исследования. D диссертации используются: математические методы теории управления, методы нелинейного функционального анализа, теория гильбертовых пространств, методы классического вариационного исчисления.
Практическая и теоретическая ценность полученных в работе результатов заключается в том, что
1. Получены эффективные признаки сходимости градиентных
процедур задачах безусловной минимизации невыпуклых
функционалов, определённых на гильбертовых пространствах.
2. Исследован диапазон применимости метода проекции граднен-
та в задачах минимизации с ограничениями.
3. Доказана локальная сходимость градиентного метода в .задаче
классического вариационного исчисления.
"4. Общие теоретические результаты применены к решению конкретных задач теории управления и инженерной практики (задачи сорбции и сушки, задачи Гурса-Дарбу. задачи Эйлера).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXVI Воронежской зимней математической школе, на конференциях "Методы функционального анализа и пх приложения" (Самара, 1994), "Математические задачи химической кинетики" (Тверь, 1995), "Устойчивость и колебания в нелинейных системах управления" (Москва, ИПУ РАН, 1996), "XXXIX научная конференция МФТИ" (Москва, 1996), а так же на семинарах Института проблем управления РАН, Института системного анализа РАН и Московского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 научных работ.
Структура работы. Работа состоит из введения, четырёх параграфов, закелючення и списка литературы, содержащего 46 названий. Обший объём работы — 101 страница.
