Введение к работе
Актуальность проблемы. Проблема хеджирования (защиты от риска) платежных обязательств является одной из важных проблем системного анализа по исследованию систем, обладающих следующими особенностями: 1) безарбитражность; 2) полнота; 3) рискнейтральность. Кроме того, задача формирования хеджирующих стратегий является, с одной стороны, задачей управления капиталом, а с другой - задачей обработки информации, поступающей с фондовых рынков в виде эволюции во времени цен финансовых активов. Рынок опционов, как производных (вторичных) ценных бумаг, принадлежит к системам подобного типа, методы исследования которых опираются как на традиционные методы стохастического оптимального управления (R. С. Merton, J. Cvitanic, Е. R. Grannan, G. H. Swindle, R. Korn, S. Pliska, S. E. Shrev, С. H. Волков, В. M. Хаметов, Д. М. Чалов), так и на новые методы стохастической финансовой математики (F. Black, М. Scholes, J. С. Сох, S. A. Ross, М. Rubinstein, R. Elliott, I. Karatzas, M. Schweizer, H. Follmer, A. H. Ширяев, Ю. M. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников). Современный этап развития теории финансов, а точнее - того раздела, который занимается теорией производных ценных бумаг, связан с работами 1973г. Блэка, Шоулса, Мертона и Кокса, Росса, Рубинштейна. Предложенный в указаных работах подход (методология (В,8)-рынка) не только дал методы расчета справедливой (рациональной) цены опциона, но позволил также находить и те оптимальные биржевые операции [хеджирующие стратегии), которые должен совершать продавец опциона, с тем чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цен на рынке, были бы гарантированным образом выполнены.
Начальный период развития теории был посвящен исследованию стандартных платежных обязательств, характеризуемых двумя параметрами - рыночной ценой базисного актива (спотовая цена) и ценой исполнения (страйковая цена). Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, в которых бы учитывались дополнительные условия, вносимые как продавцом, так и покупателем опциона, что породило класс экзотических опционов (по терминологии, предложенной в работе «Rubinstein М. Exotic options», 1991г.). В настоя-
щее время теория экзотических опционов, количество которых на рынках, особенно внебиржевых, достигает несколько десятков, является малораз-работанной и расчеты при заключении по ним контрактов осуществляются на основе торга и исходя из опыта работы дилеров, а в лучшем случае на основе эвристической коррекции формул «Блэка Шоулса» и «Кокса-Росса-Рубинштейна».
Если все сказанное в полной мере относится к теории опционов на рынке акций, то тем более - к теории опционов на рынке облигаций. Достаточно сказать, что первый аналог формулы «Блэка-Шоулса» для рынка облигаций был опубликован через 16 лет в 1989г. в работе «Jamshidian F. An exact bond option formula». Эта временная задержка объясняется необходимостью построения основ теории облигаций, без которой невозможно исследование опционов, когда в качестве базисного актива используется облигация.
Таким образом, подводя итог проведенному анализу, можно утверждать, что проблема исследования экзотических опционов на рынке облигаций является актуальной.
Цель диссертационной работы. На основе опосредованного и прямого подходов к описанию цен облигаций произвести полное исследование задач хеджирования экзотических опционов купли и продажи на диффузионном рынке облигаций двух видов: опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опционов с ограничением выплаты, которые дают преимущество продавцу опциона.
Методы исследования включают в себя математическую теорию финансов, теорию вероятностей и теорию случайных процессов, стохастический анализ.
Научная новизна. 1) Для диффузионного рынка облигаций при опосредованном подходе с использованием модели Халла-Уайта для текущей процентной ставки и прямом подходе с использованием модели Хиса-Джерроу-Мортона для форвардной процентной ставки к описанию цен облигаций получены формулы, определяющие стоимости опционов, соответствующие им капиталы и портфели (хеджирующие стратегии) для экзотических опционов купли и продажи с гарантированным доходом для покупателя опциона и ограничением выплат для продавца опциона. 2) Проведено исследование свойств решений. 3) Как предельные случаи задач хеджиро-
вания экзотических опционов, получены решения задач хеджирования для стандартных опционов купли и продажи. 4) Все общие результаты для опционов купли и продажи конкретизированы для моделей краткосрочных и форвардных процентных ставок Хо-Ли и Васичека.
Достоверность научных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается математической корректностью поставленных задач, строгими математическими доказательствами с использованием математической теории финансов, теории вероятностей и теории случайных процессов, стохастического анализа, а так же тем, что известные результаты следуют из полученных в качестве частных случаев.
Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области теории экзотических опционов на рынке облигаций, например, таких, как опционы барьерного типа.
Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться для расчета стоимостей опционов на биржах и во внебиржевой торговле по заключению опционных контрактов, когда в качестве базисного актива используются облигации, при внесении дополнительных условий в платежные обязательства относительно стандартных опционов.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах: 1) VII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008 г.). 2) VIII Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2010 г.). 3) VIII международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2009 г.). 4) IX международная конференция «Финансово-актуарная математика и эвентоконверген-ция технологий » (Красноярск, 2010 г.). 5) VIII международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук (Томск, 2010 г.) Также результаты были представлены на 11-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 13 печатных работах, 4 из которых опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, че-
