Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1 Анализ методов исследования устойчивости полиномов и их обобщения для
исследования неустойчивости полиномов 10
1.1 Графические методы 10
1.2 Аналитические методы 16
1.3 Дискретные полиномы 28
1.4 Полиномы с комплексными коэффициентами 34
Глава 2 - Аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов
2.1 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов 39
2.2 Интервальные полиномы с вещественными коэффициентами 41
2.3 Интервальные полиномы с комплексными коэффициентами 44
2.4 Дискретные интервальные полиномы 52
2.5 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований 54
Глава 3 - Графические критерии робастного поведения интервальных полиномов
3.1 Графические критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов 59
3.2 Графические критерии робастной устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами 60
3.3 Графические критерии робастной устойчивости интервальных полиномов с комплексными коэффициентами 64
3.4 Графические критерии принадлежности интервальных полиномов классам (п,к)-эквивалентности 67
3.5 Критерии робастной устойчивости и неустойчивости интервального полинома с двумя размахами неопределенности 70
3.6 Расширение области робастного поведения интервального семейства полиномов 75
3.7 Применение визуализации при анализе робастного поведения интервального семейства полиномов 77
Глава 4 - Построение характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с
заданной локализацией нулей 78
4.1 Методы построения характеристических полиномов 78
4.2 Метод построения минимальных полиномов 96
4.3 Методы построения устойчивых и неустойчивых полиномов 100
Заключение 102
Литература 103
Приложение
Введение к работе
Развитие науки, техники и технологий на современном этапе является причиной ускорения фундаментальных исследований в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Поэтому, необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надёжного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.
Существующие научные публикации и тематика международных научных конференций, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед цивилизацией в XXI веке является создание новых космических, нетрадиционных энергетических технологий; общемировой системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем; решение транспортной проблемы; создание новых биотехнологий, многофункциональных гибких автоматизированных систем, нанотехнологий; систем управления климатом. Это, конечно, не полный перечень.
Как следствие, появляется необходимость разработки управления для контроля и минимизации негативных последствий развития цивилизации. Создание управления и технологий для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как климатические, биологические, сверхточное ракетно-космическое и психотропное оружие. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий.
Решение этих проблем не может быть осуществлено без серьёзной научной проработки, создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учётом надёжности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью.
В настоящее время, в промышленпо развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в нервую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на энергосистем, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.
Таким образом, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.
Теория автоматического управления находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды как на предмет, так и основные проблемы этой теории, также как и используемый математический аппарат. Проблемы устойчивости возникли в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в III и II столетиях до н. э. Однако первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644 г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести; достаточные условия Лагранжа (1788 г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.
Главным объектом исследования в XIX веке были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышнсградский, Гурвиц, Стодола). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.
В теории Ляпунова задача об устойчивости движения решается в общей математической форме - как задача об устойчивости решений (процессов, движений) систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы являются математическими моделями не только в механике, но и служат для описания многих явлении в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин "устойчивость движения" понимается в широком смысле и используется для изучения устойчивости изменяющихся во времени процессов различной природы.
С появлением телефонии и радиосвязи в 30-е годы XX века, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзсрман, Попов).
Теории управления вновь обновилась в конце 1950-х годов. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления -описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности - выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина, который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.
В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).
Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы. Возникла так называемая //00-теория (Зеймс, Френсис, Доил, Гловер); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н -норме. Появились и
другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей - //-анализ
(Доил, [100). Помимо //°°-теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой /,-оптимизации (Барабанов-Граиичин, Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс,); позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.
Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.
Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, II. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, 51.3. Цыпкин).
Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.
Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц.-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).
Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, 1-І.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.
Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники и не только. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.
Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.
Наибольшее количество новых результатов по исследованию робастной устойчивости и неустойчивости интервальных семейств полиномов было получено в 2002-2009 гг. именно этой исследовательской группой. Других разработок непосредственно в области исследования устойчивости интервальных полиномов в последние годы ведется сравнительно немного. И современные результаты появляются, как правило, при исследовании смежных тем теории управления. К таким темам относятся развитие техники построения D-разбиений для полиномиальных семейств специального вида [26], позволяющей строить многомерные области устойчивости для данных классов полиномов. Другие подходы основаны на исследовании поведения корневого годографа полиномов Харитонова [93] и локализации корней устойчивого интервального семейства полиномов в секторе [20, 21]. Исследуется также экспоненциальная устойчивость интервальных систем с применением подхода основанного на втором методе Ляпунова [116].
Диссертационная работа является продолжением исследований Н. В. Зубова и Г.А. Зеленкова. Она посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для интервальных полиномов, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций - анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.
Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.
В первой главе сделан анализ основных методов исследования устойчивости характеристических полиномов линейных стационарных систем управления и нелинейных систем по первому приближению с целью их использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).
В п. 1. рассматриваются графические критерии принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п, к) -эквивалентности. Описана методика анализа диаграмм для определения принадлежности полиномов классам (п, к) —эквивалентности и оценки величины запаса устойчивости или неустойчивости для полинома данного класса.
В п. 2. рассматриваются группы аналитических методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов непрерывных систем основанные на подходах Ляпунова (первый метод), Гурвица (матричные методы), Рауса, Зубова Н.В. (методы понижения порядка) и переходу к форме Фробениуса (для использования методов анализа устойчивости и неустойчивости матриц, для исследования полиномов). В п. 3. рассматриваются методы анализа устойчивости и неустойчивости характеристических полиномов дискретных систем. Здесь описаны графические (аналоги подхода Михайлова) и аналитические критерии (маїричньїй мегод и метод понижения), а также описывается методика применения графических методов для систем большого порядка. Здесь же уделено внимание вопросам исследования полипомов разностных систем и сверхустойчивости дискретных полиномов.
П. 4. содержит описания методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с комплексными коэффициентами. Здесь также рассматриваются все группы методов (графические и аналитические, матричные и методы понижения) для исследования непрерывных и дискретных систем.
Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному приближению. Рассматриваемые критерии и методы исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в теории робастной устойчивости для интервальных полиномов, такие как теорема Харитонова.
До сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались достаточно редко. Развитие техники и новых технологий показали, что явление неустойчивости не является только пограничным явлением устойчивых режимов, а как показали математические исследования, становится преобладающим с ростом размерности систем. В некоторых случаях это явление может стать полезным.
В п. 2.1 приведены новейшие результаты по выпуклым множествам робастно устойчивых и неустойчивых полиномов. Приведенные критерии относятся к вариантам реберной теоремы для аффинных семейств специального вида. Причем в п. 2.2-2.4 отмечена связь этих утверждений с интервальными полиномами.
В п. 2.2-2.4 этой главы приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полипомов с интервальными ограничениями на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам (и, к) эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Здесь приведен их анализ и добавлены доказательства, которых не было в печати.
В третьей главе предлагается математический аппарат исследования робастного поведения интервальных семейств полиномов графическими методами. В рамках предложенного подхода некоторые известные критерии робастной устойчивости являются следствиями приведенных в данной главе результатов.
В п. 3.1 приведен графический критерий принадлежности выпуклых множеств полиномов, имеющих конечное число угловых точек, классу (/7,&)- эквивалентности.
Критерии робастного поведения выпуклых множеств можно использовать для исследования интервальных полиномов.
Главное преимущество графических критериев состоит в том, что с их помощью для интервального полинома достаточно проверить поведение лишь одного, а не четырех годографов для вещественного или восьми для комплексного случаев, как это делалось ранее. Кроме того, одновременно можно найти максимальный размах неопределенности, при котором сохраняется робастная устойчивость или неустойчивость.
В п. 3.2 предложено обобщение графического критерия Цыпкина - Поляка проверки устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, которые присутствовали ранее в этом критерии.
В п. 3.4 главы построены графические критерии позволяющие определить робастное поведение семейств интервальных полиномов в вещественном и комплексном случаях. Под робастным поведением понимается только устойчивость или только неустойчивость для всех полиномов семейства. Точнее, доказаны графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (п,к)- эквивалентности для полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами. Причем при к = 0 эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полипомов.
В п. 3.5 предложены новые графические критерии робастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности в отличие от критериев Цыпкина-Поляка и его обобщений.
В п. 3.6 этой главы описаны различные подходы для расширения области робастного поведения семейств полиномов.
В п. 3.7 главы рассмотрены известные и предложены новые приемы визуализации для исследования робастного поведения семейств полиномов.
Четвертая глава содержит исследование вопросов построения характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с заданной локализацией нулей.
В п. 4.1 даётся перечень основных методов построения характеристического полинома и кратко излагаются наиболее конструктивные методы вычисления коэффициентов характеристического полинома. Здесь подробно рассмотрен только метод Крылова и проведен анализ его особых случаев.
В п. 4.2 предложены методы и алгоритмы построения минимального полинома, что является полезным, если его степень намного меньше степени характеристического полинома.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
