Содержание к диссертации
Введение 5
1 Современная теория чувствительности к рискам 14
1.1 Ключевые этапы развития 14
Первые результаты 14
Обобщение на другие классы систем и применение в прикладных задачах управления 17
Установление связей с детерминированной теорией ро-бастногоНсо-управления 19
1.2 Выводы 23
2 Современная теория диссипативности 24
2.1 Детерминированные системы управления 24
Первые результаты 24
Дальнейший прогресс теории 29
2.2 Стохастические системы управления 34
Стабилизация и 2-упРавление 34
Мультидиссипативность и робастное управление 36
Эргодическое управление 38
Теория Нос -управления 39
Одновременная стабилизация множества детерминированных систем с неопределенными параметрами 42
2.3 Выводы
Стохастическая диссипативность с функцией накопления, чувстви
тельной к рискам 46
3.1 Основные результаты 46
Диссипативность с функцией накопления без рисков ... 47
Диссипативность с функцией накопления, чувствительной к рискам 54
Линейная система с функцией запаса в виде квадратичной формы 58
3.2 Примеры 61
Скалярная линейная система с квадратичной функцией запаса 61
Численная оценка верхней границы области допустимых интенсивностей в линейно-квадратическом случае .... 65
3.3 Выводы 67
Диссипативность с функцией накопления, чувствительной к рискам,
и задачи синтеза систем различной структуры 68
4.1 Основные результаты 68
Задача стабилизации в смысле существования единственной инвариантной вероятностной меры 68
Задача синтеза субоптимального управления, чувствительного к рискам, и стохастическая дифференциальная игра 73
Задача ослабления возмущений и детерминированная дифференциальная игра 80
4.2 Примеры 86
Скалярная линейная система с квадратичной функцией запаса 86
Линейная система с функцией запаса в виде квадратичной формы 94
4.3 Выводы 100
Заключение 101
Библиографический список 103
Введение к работе
Данная диссертационная работа посвящена решению задачи обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, для стохастических систем управления, а также основанному на этом свойстве единому подходу к решению задач синтеза законов управления детерминированными и стохастическими системами по принципу сравнения.
Актуальность темы. Чувствительность к рискам была введена в пионерской работе D. Н. Jacobson [90] при решении т. н. «задачи линейно-экспоненциально-квадратичного регулятора» (LEG problem). Оказалось, что использование экспоненциального критерия качества позволяет получить регулятор, который зависит от статистики (ковариационной матрицы) аддитивного гауссовского шума. Таким образом, «принцип полной эквивалентности» оптимальных управлений, который имеет место в задачах линейно-квадратичного регулятора и линейно-квадратичного регулятора с гауссовским шумом [41], не выполняется. Позднее новый регулятор был эффективно применен при решении прикладных задач наведения ракет [149], экономических задач [89], групповых задач (team problem) [150], задач «синтеза попятного регулятора» (backstepping controller design) [131] и синтеза адаптивной следящей системы (adaptive tracker) [39], а также задач планирования производства в производственных системах [174]. Именно благодаря экономической интерпретации это направление в теории управления получило название теории чувствительности к рискам.
Исследования 90-х гг. прошлого века показали, что теория чувствительности к рискам служит «мостиком» между стохастическим и детерминированным подходами к моделированию возмущений. В частности, в книге [44] доказано, что «задача ослабления возмущений» (disturbance attenuation problem), как один
из примеров синтеза робастного управления детерминированными системами, эквивалентна дифференциальной игре «с мягким ограничением» (soft-constrained differential game). Стохастической альтернативой является указанная выше задача LEG, которая сводится к аналогичной игре. В результате дальнейшего анализа были установлены похожие связи между стохастическим и робастным подхо-дамрі к задаче ослабления возмущений в более общих случаях (нелинейные системы или неквадратичные критерии качества) [64,166,167]. Связь задачи синтеза чувствительного к рискам управления и стохастических дифференциальных игр была выявлена авторами [137] и [44].
В настоящее время теория чувствительности к рискам представляет собой интенсивно развивающееся направление теории управления и достаточно мощный инструмент решения задач управления (см., например, [57,108,109]).
С другой стороны, в современной теории управления широкое распространение получила теория диссипативности. Понятие диссипативных систем было заимствовано из физики. Говоря физическим языком, диссипативная система теряет часть энергии, переданной ей извне (например, электрическая энергия рассеивается на резисторах в виде тепла)1. Математическая теория диссипативности была впервые предложена для детерминированных динамических систем J. С. Willems в работах [158,159]; было доказано, что диссипативность тесно связана с устойчивостью по Ляпунову. Дальнейшие исследования продемонстрировали эффективность теории диссипативности при решении задач стабилизации нелинейных детерминированных систем управления [26, 53, 56, 82, 85,124], а также при решении прикладных задач управления роботами [126], электрическими двигателями [58], электрическими преобразователями [145], судами [71], дизельными двигателями [94], химическими процессами [147], энергосистемами [133] и других задач.
Успехи детерминированной теории диссипативности привели в последние годы к интенсификации исследований по обобщению данной теории на стоха-
'Роль внутренней энергии в теории диссипативности выполняют функции накопления, в то время как роль внешней энергии, поступающей в систему — функции запаса.
стические системы. Были предложены многочисленные варианты построения подобных обобщений, благодаря которым были развиты методы решения целого ряда задач управления: для стохастических систем — стабилизация [70] и синтез /^-управления [35], синтез % -управления и робастного управления [152], синтез эргодического управления [49], синтез %оо-управления [142,175], для детерминированных систем — робастная одновременная стабилизация множества систем с неопределенными параметрами [23, 24].
Таким образом, применение понятия диссипативности позволяет создать удобный математический аппарат для исследования и синтеза широкого класса динамических систем. Тем не менее, следует отметить, что ни в одной из предложенных вариаций обобщения классической диссипативности на стохастические системы явно не рассматривались зависимости функции накопления от интенсивности возмущений («рисков»), которые, как правило, моделируются с помощью винеровских процессов.
В связи с вышесказанным актуальным является объединение свойств диссипативности и чувствительности к рискам; это предполагает, с одной стороны, анализ возможности обобщения диссипативности на стохастические системы с неотъемлемой чувствительностью к рискам функций накопления, а также, в случае положительного результата, исследование того, что могут дать в задачах синтеза управления функции накопления, чувствительные к рискам.
Цель работы состоит в расширении классического свойства диссипативности по J. С. Willems на класс стохастических систем управления с естественной чувствительностью к рискам функций накопления, а также в разработке методов решения задач синтеза управления (детерминированными и стохастическими) системами по принципу сравнения со стохастической системой, обладающей указанным свойством диссипативности.
Задача исследования заключается в:
обеспечении свойства диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, для аффинной по управлению дифференциальной си-
стемы Ито с квадратичной по управлению функцией запаса;
выводе конструктивных критериев диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, для аффинной по управлению дифференциальной системы Ито с квадратичной по управлению функцией запаса;
применении критериев диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, в задачах синтеза управления аффинными по управлению (детерминированными и стохастическими) системами по принципу сравнения с аффинной по управлению дифференциальной системой Ито, обладающей указанным свойством диссипативности.
В качестве «классического» случая исследуются линейные дифференциальные системы Ито с функцией запаса в виде квадратичной формы, поскольку на сегодняшний день созданы мощные программные средства для решения линейных матричных уравнений и неравенств в среде MATLAB.
Методы исследования, применяемые в работе, относятся к теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей, математической теории управления, теории матриц, теории дифференциальных игр и теории функционального анализа. Используются современные средства компьютерного моделирования.
Научная новизна.
Исследована и решена задача обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам (ФНЧР), для аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичной по управлению функцией запаса, сформулированы и доказаны критерии диссипативности в терминах решения обобщенных неравенств Гамильтона-Якоби-Беллмана.
Доказаны связи свойства диссипативности с ФНЧР с инвариантной вероятностной мерой, свойством чувствительности к рискам, детерминиро-
ванным Тіоо-управлением, а также с дифференциальными (детерминированными и стохастическими) играми.
3. Предложен единый подход к решению следующих задач управления:
а) задачи стабилизации стохастической аффинной по управлению си
стемы в смысле существования единственной инвариантной вероят
ностной меры (задачи обеспечения эргодичности);
б) задачи синтеза субоптимального, чувствительного к рискам управле
ния стохастической аффинной по управлению системой с экспонен
циальным квадратичным по управлению критерием качества;
в) задачи ослабления возмущений для детерминированной аффинной
по управлению системы с квадратичным по управлению критерием
качества.
Подход использует принцип сравнения со стохастической аффинной по управлению системой, обладающей свойством диссипативности с ФНЧР с квадратичной по управлению функцией запаса.
Практическая ценность и рекомендации по использованию результатов.
Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения широкого круга практических задач синтеза динамических систем управления, как детерминированных, так и стохастических, с позиций теории диссипативности. Кроме того, представленный в данной работе подход и ее результаты расширяют традиционные сферы применения свойства диссипативности, свидетельствуя об его универсальности при решении задач теории управления, и открывают перспективы для дальнейших исследований природы диссипативности. В линейно-квадратичном случае конечные результаты исследования сформулированы на языке линейных матричных неравенств и допускают эффективную проверку с помощью прикладного программного обеспечения среды MATLAB, что предоставляет определенные преимущества при решении практических задач.
Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом полученных соотношений, а также доказательством приведенных утверждений.
Личным вкладом соискателя в диссертацию и совместные публикации является формирование подхода к решению рассматриваемых задач, формулирование и доказательство теоретических результатов, разработка программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные результаты. Научному руководителю, д.ф.-м.н., проф. П. В. Пакшину, принадлежат постановки задач и общая схема исследования.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на VI Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2007); III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (ВМКПУ-2008) (Москва, 2008); XIV Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2008)» (Нижний Новгород, 2008); VII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2008); IV Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии (ПУИТ-2008)» (Казань, 2008); VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); XV Международной конференции по автоматическому управлению «Автоматика-2008» (Одесса, Украина, 2008); XV Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2009)» (Нижний Новгород, 2009); VIII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2009); I Традиционной Всероссийской Молодежной Летней Школе «Управление, информация и оптимизация» (Переславль-Залесский, 2009).
Доклад на конференции «Будущее технической науки-2009» удостоен диплома второй степени. Диссертация удостоена диплома на Всероссийском конкурсе
' 10
научных работ молодых ученых по теории управления и ее приложениям (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН) за 2009 год в номинации аспирантов.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 2 статьи, из них 1 в журналах из перечня ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 175 наименований. Работа изложена на 123 страницах, содержит 15 иллюстраций.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-97036_а).
Краткое содержание
В первой главе рассмотрены основные концепции современной теории чувствительности к рискам и связанные задачи управления.
Во второй главе приведен обзор современной теории диссипативности, включая становление детерминированной теории и известные подходы к ее обобщению на стохастический случай с указанием полученных результатов.
В третьей главе представлен новый подход к обобщению детерминированной диссипативности на класс аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичной по управлению функцией запаса, благодаря которому получены функции накопления, чувствительные к рискам. В явном виде решена задача обеспечения диссипативности с ФНЧР и сформулированы достаточные условия диссипативности с ФНЧР. Как частный случай, рассмотрены линейные системы с функциями запаса в виде квадратичных форм, для которых получены критерии на языке линейных матричных неравенств, допускающие эффективную проверку с помощью современного программного обеспечения среды MATLAB. Даны примеры применения предложенных критериев в линейно-квадратичном случае.
В четвертой главе установлены связи свойства диссипативности с ФНЧР с инвариантной вероятностной мерой, со свойством чувствительности к рискам, с детерминированным И^-управлением, а также с (детерминированными и стохастическими) дифференциальными играми. Благодаря обозначенным связям предложен единый подход к решению стохастической задачи обеспечения эргодичности, стохастической задачи синтеза субоптимального управления, чувствительного к рискам, а также детерминированной задачи ослабления возмущений, который использует принцип сравнения со стохастической системой, являющейся диссипативной с ФНЧР. Рассмотрены примеры применения этого подхода в линейно-квадратичном случае.
В заключении диссертации подведены итоги выполненных исследований и указаны возможные направления дальнейшей работы.
На защиту выносятся
Решение задачи обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, как одной из вариаций обобщения классической диссипативности по J. С. Willems на класс аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичными по управлению функциями запаса.
Связи свойства диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, со свойством чувствительности к рискам, дифференциальными играми и 'Ноо-управлением.
Использующий свойство диссипативности с ФНЧР единый подход к решению следующих задач управления:
а) стохастической задачи стабилизации аффинной по управлению си
стемы в смысле единственной инвариантной вероятностной меры;
б) стохастической задачи синтеза субоптимального управления, чув
ствительного к рискам, для аффинной по управлению системы с экс
поненциальным квадратичным по управлению критерием качества;
в) детерминированной задачи ослабления возмущений для аффинной
по управлению системы с квадратичным по управлению критерием
качества.
