Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическое описание экоразвития 7
1.1. Системные основы природопользования 7
1.2. Математическое описание экологических систем 14
1.3. Описание динамики загрязнителей 19
Глава 2. Задача динамической оптимизации процессов природо пользования 21
2.1. Постановка задачи минимизации уровней загрязненности 21
2.2. Качественное исследование задачи минимизации уровней загрязненности 26
2.3. Кусочно-линейная аппроксимация модели природопользования 31
2.4. Качественное исследование линеаризованной модели динамики загрязнений 42
Глава 3. Методика численного решения задачи оптимального управления при: наличии фазовых и смешанных ограничений 44
3.1. Редукция общей задачи оптимального управления к краевой задаче 44
3.2. Метод параметризаций для решения линейных алгебраических систем уравнений с плохо обусло-ленной. и вырожденной матрицей 56
3.3. Решение нелинейных систем с плохо обусловленной матрицей Якоби 70
3.4. Методы интегрирования жестких систем обыкновен->ных дифференциальных уравнений 82
Основные результаты и выводы 98
Литература 99
- Системные основы природопользования
- Постановка задачи минимизации уровней загрязненности
- Качественное исследование линеаризованной модели динамики загрязнений
- Редукция общей задачи оптимального управления к краевой задаче
Введение к работе
В современных условиях НТР особенно остро встала проблема совместной эволюции человека и окружающей среды, связывающей, естественные динамические процессы с динамическими процессами, происходящими в обществе.
Неконтролируемые воздействия на природные системы приводят к резким нежелательным изменениям почти во всех природно-антропогенных системах. . Избежать этого явления можно только с помощью искусственного управления. К такому управлению относятся меры, направленные ,на охрану окружающей среды, в частности, на минимизацию уровней загрязненности.
Для изучения свойств динамических систем природопользования необходимо иметь математический инструментарий, в качестве которого, например, может быть успешно использована теория решения задач с фазовыми и смешанными ограничениями.
Общая теория отыскания оптимальных управлений в детерминированных динамических задачах разработана достаточно хорошо. Однако в вычислительном аспекте при применении принципа максимума для решения задач с ограничениями общего вида имеется целый ряд трудностей, например, определение геометрии оптимальной траектории.
Кроме того, известно, ічто процессы природопользования ввиду-специфики явлений - жесткие по своей структуре (часть параметров изменяется .быстро, часть - медленно), что требует, в сбою очередь, применения специальных методов исследования.
Цель работы.. Целью работы является:
- анализ динамической оптимизации процессов природопользования на минимум уровней загрязненности окружающей среды;
- разработка методики вычислительной технологии решения задачи динамической оптимизации при наличии фазовых и смешанных ограничений и при описании поведения жесткой системой обыкновенных
-дифференциальных уравнении.
Методы исследования. Основными методами, использованными в работе, являются методы оптимального управления и приближенного решения экстремальных задач, численного решения линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Научная новизна работы заключается в разработке методов численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе методов параметризации. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:
- разработан и обоснован метод параметризации для решения систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной и вырожденной матрицей;
- разработаны методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей Якоби на основе предложенного метода решения систем линейных алгебраических уравнений;
- решена задача оптимизации природопользования с целью минимизации уровней загрязненности окружающей среды;
- исследована геометрия выхода на фазовые и смешанные ограничения.
Практическая ценность. Предложенная методика численного решения задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями для процессов, описываемых жесткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяет выбрать с помощью методов параметризации наиболее целесообразную вычислительную технологию.
Предложенные в работе методы и приемы позволяют расширить границы применимости классических методов численного анализа для случая невыпуклых функционалов.
Разработанные методы численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений внедрены в Институте проблем управления и ряде других организаций.
Разработанной методики решена задача прогнозирования распределения инвестиций с Іцелью минимизации уровня загрязнений в окружающей среде.
Кроме того, разработанная методика может быть применена для исследования явлении, в которых разброс временных характеристик заложен в самой их физической природе, например, в химической кинетике, в ядерных реакторах и т.п.
Реализация результатов работы. Работа выполнена в соответствии с планом научных работ Института проблем управления.
Программы,і оформленные по модульному принципу, включены в библиотеку программ универсальной моделирующей системы в Институте проблем управления.
Результаты работы использовались при решении ряда других прикладных задач.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались на ряде семинаров в Институте проблем управления, Всесоюзном научно-исследовательском институте системных исследований, Московском физико-техническом институте, Тульском политехническом институте. Апробация диссертации в целом проведена на семинаре Института проблем управления (май 1984 г.).
Публикации. Основное содержание работы отражено в 4-х печатных работах, из них 2 работы в соавторстве. Личный вклад автора в совместных работах следующий: /7/ - алгоритм согласования в линейных иерархических системах, /74/ - метод назначения границ на варьируемое управление.
Структура и объем работы "Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка литературы из 86 названий, всего 105 стр.
Системные основы природопользования
В современных условиях научно-технический прогресс способствует появлению кардинальных изменений в области охраны окружающей среда. В настоящее время имеет место практическое понимание единства всей системы "природа - общество". Становится очевидным, что планирование и оценка какой-либо деятельности, воздействующей на природную среду, по схемам, не учитывающим природную среду, будут давать заведомо неверные результаты в реальных условиях. "Человеческие проекты, не считающиеся с великими законами природа, приносят только бедствия" /I/.
"Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 года и на период до 1990 года" поставили следующие задачи в области экологии: "усилить охрану природы, земли и ее недр, атмосферного воздуха, водоемов, животного и растительного мира, обеспечить рациональное использование и воспроизводство природных ресурсов" /2/.
При разработке проблемы охраны окружающей среда и рационального использования природных ресурсов возникает целый ряд задач, что объясняется объективными противоречиями ввиду двойственного характера взаимодействия человека с окружающей средой. С одной стороны, окружающая природа рассматривается как среда обитания человека, а с другой - она представляет собой объект деятельности человеческого общества.
Экоразвитие в широком смысле - достижение таких социальных и природных условий жизни общества, при которых в максимально возможной степени обеспечивается его прогрессивное развитие. Мерой прогрессивности развития в общем случае может служить рост способности использования материи и энергии окружающей среда. В связи с этим в исследованиях экоразвития рассматриваются сложные эко-лого-социально-экономические системы, на основе анализа которых определяется управление экоразвитием. Проблема глобального управления осложнена множеством реальных ограничивающих факторов - социальных, экономических, политических, научно-технических, демографических и т.п. /22/. Основной целью управления процессами развития системы "природа - общество" должно быть соответствие природной среды жизненным потребностям человеческого общества /57/.
Однако управление развитием системы "природа - общество" не может быть сведено только к управлению потреблением природных ресурсов ввиду того, что это - проблема создания социальных и природных условий жизни человека, для максимально возможного прогрессивного развития его. Другими словами, под экоразвитием понимается процесс рационального преобразования окружающей природной среды в интересах человеческого общества, процесс развития системы "природа - общество".
Глобальной экологической системой является биосфера. По определению В.И.Вернадского,биосфера - область земной коры, занятая трансформаторами энергии солнечного излучения в различные виды энергии - электрическую, химическую, тепловую и т.д. /17/. Современная биосфера - среда обитания и область практической деятельности человечества. Она представляет собой продукт длительной эволюции жизни на нашей планете, в ходе которой биосфера породила множество видов живых организмов и природных комплексов.
На современном этапе развития биосферы складывается ситуация, отличительной чертой которой являются невиданные ранее темпы и размеры изменений характеристик природной среды, превышающие допустимые, с точки зрения возможностей адаптации механизмов, обеспечивающих динамическую стабильность компонентов и всей биосферы в целом.
Возрастание влияния воздействия общества на процессы,определяющие динамику биосферы и направления ее развития, позволяет предположить, что биосфера переживает период перехода от стихийной эволюции, развивающейся в соответствии с естественными законами природы, к эволюции, управляемой человеческой деятельностью. В связи с этим разработка проблемы охраны окружающей среды и рационального использования природных ресурсов является актуальной.
Одним из средств управления экоразвитием может служить долгосрочное прогнозирование взаимодействия социально-экономических и природных систем для оценки изменений в окружающей среде при реализации планов хозяйственного развития. Для этого необходимо знать особенности взаимодействия природы и общества как компонентов глобальной динамической системы " биосфера": структуры природных компонентов биосферы и механизмов их динамики; структуру взаимосвязей в процессах взаимодействия общества и природы /43/.
Отношения человека с природой имеют два аспекта. Как и другие виды живых организмов, человек находится в состоянии непрерывного вещественного и энергетического обмена с окружающей средой. Этот обмен реализуется в процессе жизнедеятельности человека и в утилизации природной средой ее продуктов. Человеческий организм, вовлеченный в трофические цепи экосистем, использует поступающую в них солнечную энергию. Природная среда и регуляторные системы организма способны в определенной степени обеспечить его жизнедеятельность. При таком рассмотрении отношений нет никаких различий между человеком и любыми другими представителями живого мира. При рассмотрении материально-производственной деятельности человека обнаруживается еще один специфический вид его отношений с природной средой, присущий только человеку, человеческому обществу, который коренным образом отличает человеческое общество от других природных образований.
Как известно, живые организмы, сталкиваясь с неблагоприятными условиями существования, приспосабливаются к ним, изменяясь в пределах возможной адаптации, или погибают. Люди способны приспосабливать предметы окружающей среды к своим жизненным потребностям в процессе труда и с помощью орудий труда. Человеческое общество существенно расширяет способы обеспечения необходимых для него условий жизнедеятельности, преобразуя природу, производя в процессе труда требуемое из природных предметов.
Производство средств жизнеобеспечения, которые доставляются человеку окружающей средой в готовом виде или в достаточном количестве и качестве, не только отличает человека коренным образом от других живых организмов, но и в известной степени отличает общество от природы.
Целенаправленное приспособление предметов природы и их преобразование в соответствии с человеческими потребностями - одна из сторон отношения человека с природой в сфере хозяйственной деятельности. Другой стороной является преобразование человеком самой природной среды. Последствия этих преобразований могут быть как благоприятными, так и неблагоприятными для человека и/или природной среды.
Эта взаимосвязь обуславливает такое важное обстоятельство, при котором общество в результате широкой хозяйственной деятельности существенно направляет эволюцию природной среды, оказывая тем самым воздействие на процессы собственной эволюции.
Постановка задачи минимизации уровней загрязненности
При анализе систем исследуются, как правило, два динамических качества систем: способность противостоять внешним воздействиям и внутренним возмущениям. Первое свойство называется устойчивостью или стабильностью, второе - равновесием.
Проблема совместной эволюции человека и окружающей среды связывает естественные динамические процессы с теми динамическими процессами, которые, происходят в обществе. Решением этой проблемы является выработка научно обоснованных рекомендаций по оптимизации (гармонизации) этого взаимодействия с целью дальнейшего развития человеческого общества. Для этого необходимо знать, каким образом процессы активного воздействия человека меняют характер динамических процессов, происходящих в окружающей среде, и каким образом изменение характеристик биосферы влияет на социальную эволюцию человека /55/.
Теория и практика воздействия человека на природную среду в процессе ее хозяйственного использования рассматривается.в природопользовании. Научной основой рационального природопользования и охраны живых организмов служит экология.
Человечество в ходе освоения природы экологически (сукцесси-онно) омолаживает и структурно значительно упрощает экосистемы. В составе экосистем уменьшается количество видов, сложность и число подсистем, климаксовые и длительнопроизводные экосистемы сменяются кратковременнопроизводными; по-новому складываются соотношения между компонентами. Антропогенное воздействие резко изменяет динамические качества экосистемы. Получение полезной продукции осуществляется за счет привнесения дополнительной энергии в виде агрокультурных работ и за счет жертвования динамическими качествами и надежностью природных систем.
Увеличение использования энергии ограничено энергетическим балансом экосферы Земли и региональными балансами вплоть до биогеоценоза. Превышение энергетического оптимума ведет к упадку природной системы и в итоге к потере продукции. При этом имеет место потеря динамических качеств, что приводит к экономически неблагоприятным явлениям. Для того, чтобы избежать этих фактов, необходимо развивать природоохранное дело, которое представляет собой одну из форм природопользования.
Один из важных практических выводов, вытекающих из динамических свойств природных систем, заключается в том, что снижение этих свойств приводит к резким изменениям почти во всех природ-яо-антропогенных системах. Избежать этого явления можно лишь с помощью искусственного управления. К такому управлению относятся меры, направленные на охрану окружающей среды, в частности, минимизацию уровней загрязненности.
В этом случае свободными параметрами будут jU [t l, \f L1(j \ , двенадцать свободных параметров позволяют в принципе выполнить внутренние условия (2.20) и краевые условия типа (2..5). Размерность краевой задачи при двух нерегулярных точках равна восемнадцати. Решение нелинейных краевых задач является далеко нетривит альной проблемой. Эти трудности значительно увеличиваются (за исключением специальных случаев) при наличии на оптимальной траектории нерегулярных точек. Если в регулярных задачах нет экстремальных ситуаций: жесткие системы, большие времена интегрирог вания, большие требования к точности решения и т.д., то краевые задачи сравнительно легко решаются. В задачах понтрягинского тит па для получения решения в рассмотренных задачах можно применять прямые методы в пространстве управлений. Однако перечисленные методы целесообразно применять в двух случаях: I) имеются модели, которые достаточно адекватно описывают реальную ситуацию; 2) использование точных решений для проверки приближенных методов на стадии получения модели функционирования сложных систем целесообразно применять инженерные методы оптимизации, которые затем можно использовать в качестве первого приближения для получения точных решений.
Качественное исследование линеаризованной модели динамики загрязнений
Хотя формально фазовые ограничения являются частным случаем смешанных ограничений, между ними имеется различие. Эти различия проявляются в двух аспектах.
Первый аспект связан с вычислением полной производной по т. в силу уравнений движения. Поскольку в ограничения (3.32) не входит явно управление U(tl , то вычисление производной упрощается.
Второй аспект связан с анализом чувствительности решения по отношеншо к нерегулярным точкам. Для фазовых ограничений не сказывается влияние нерегулярной точки в сколь угодно малой окрестности оптимальной траектории, при этом предполагается, что фазовая точка не принадлежит оптимальной траектории. Совершенно другая картина наблюдается для смешанных ограничений. Уже в достаточно малой окрестности начинает сказываться влияние н ерегулярной точки. Этот факт отражается в дифференциальной системе для сопряженных переменных. Для фазовых ограничений типа (3.32) мера появляется только в нерегулярной точке. В сопряженной системе для смешанных ограничений наблюдается абсолютный рост множителей Лагранжа full и fll [{] по мере приближения к разовой точке, что, в свою очередь, приводит к резкому изменению правых частей дифференциальных уравнений.
Сравнительно просто определяется геометрия оптимальной траектории для ограничений, у которых первая производная по I содержит управление и для указанной точки t выполнено условие регулярности, то есть определяет дальнейший характер оптимальной траектории справа от фазовой точки. Если Піщ ( X-,U) = 0 » то необходима дальнейшая расшифровка принципа максимума.
Не представляет труда рассмотреть другой крайний случай, кода любая производная по і от Qi(x) в силу уравнений движения приводит к условию типа GUj [К] - О .В этом случае будут только изолированные одноточечные выходы.
Возможны такие случаи, когда специфика задачи определяет априори геометрию оптимальной траектории. При решении конкретной задачи вопросом исследования является задача о числе выходов на фазовое ограничение. Аналогичная задача также возникает для смешанных ограничений при определении числа нерегулярных ситуаций. Практическая реализация на ЭВМ задачи со счетным числом фазовых точек невозможна, и для таких задач необходимо рассматривать их аппроксимативные аналоги. Большую трудность также представляют задачи с конечным, но достаточно большим числом нерегулярных точек. Для задач с фазовыми ограничениями типа неравенства необходимо определить характер выхода оптимальной траектории на ограничение Q U)=0)jll4(X) . При этом оптимальная траектория может иметь как одноточечные изолированные выходы, так и целые отрезки времени Т. , на которых Q U)=0 . В общем случае определение геометрии оптимальной траектории представляет довольно сложную задачу. Однако при решении таких задач необходимо сначала исследовать число выходов на фазовые ограничения QA()()=0 Если число выходов конечно, то в каждой точке выхода необходимо выполнить условия i U)]=0. (3.36) Возможность движения по ограничению определяется системой соотношений где индекс К определяет число полных производных по і в силу уравнений движения, и управляющая функция появляется в fyj -й производной. Если система (3.37) имеет решение при К= Q i" и hi ЦІ (x,u) ф 0 » то возможно движение по фазовому ограничению Q (K)s О І6 K-i(X) Следовательно, такие режимы необходимо включать в расчетные. Время движения определяется условием (3.34) - (3.35). Если точка выхода является одновременно и точкой схода, то в такой точке следует выполнять условия (3.32) и исследовать последующую нерегулярную точку. При h іл (X)U) = 0 опять возникает нерегулярная ситуация для смешанных ограничений. Функции переключения. При решении краевых задач с заданной степенью точности, а также для устойчивости итеративных процедур необходимо с соответствующей степенью точности определять моменты разрыва управляющих функций в зависимости от времени "t , моменты выхода и схода с ограничений, фазовые точки, момент окончания процесса "ч и т.д. Другими словами, необходимо, например, контролировать нули функций Поскольку X=X(t), U = U () ,то процесс поиска нулей функций вида (3.1) фактически сходится к поиску корней одномерных функций, зависящих от параметра т . Методы поиска нулей одномерных функций изложены в /II/. Укажем еще на одну особенность, возникающую при итеративном поиске нулей функций за счет выбора шага численного интегрирования. При поиске нуля функции в точке т. , то есть Чч К) = О в окрест-ности поиска может существовать точка t такая, что при It -I \ (где 0 _ характеризует окрестность поиска нуля функции) (iU) 7 0, (lu) = 0 .При этом не исключается воз можность существования и других точек t , принадлежащих окрестности точки х , в которых и т.д.
Редукция общей задачи оптимального управления к краевой задаче
Как отмечалось выше, при решении динамической задачи оптимизации возникает проблема решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.
Наиболее распространенными методами решения нелинейных уравнений являются градиентные методы и различные модификации метода Ньютона /21, 28, 30, 31, 32, 37, 40, 47, 49, 53, 69, 75, 76, 77, 80/. В градиентных методах поиск корня нелинейной функции сводится к поиску минимума соотвествующим образом составленной функции. В методе Ньютона производится итерационный поиск решения линеаризованной системы уравнений.
Градиентные методы характеризуются тем, что сходятся достаточно быстро к окрестности решения нелинейного уравнения и сходятся очень медленно в окрестности корня, а также в овражной ситуации .
Методы Ньютона, наоборот, требуют достаточно хорошего начального приближения. Индикатором успешного применения метода Ньютона является обусловленность матрицы Якоби. Плохая обусловленность или;вырожденность указанной матрицы приводит к весьма существенному затруднению получения решения. В градиентных методах таким индикатором служит матрица Гессе - матрица вторых производных.
Если матрица Гессе плохо обусловлена или вырождена, то йто свидетельствует, как правило, о наличии овражной ситуации. Это же обстоятельство не позволяет локализовать область сходимости и для метода Ньютона. Область сходимости градиентных методов не перекрывает области сходимости методов Ньютона. Здесь возникает проблема расширения границ применимости указанных методов. С другой стороны, существуют другие методы решения нелиней ных систем: метод хорд, метод центров, метод простои итерации /13/ Однако их эффективность также является чрезвычайно низкой в экстремальных ситуациях (плохая обусловленность матриц Якоби и Гессе или их вырожденность). Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Несмотря на то, что они решаются одними и теми же методами, целесообразно решение их рассматривать раздельно. К трансцендентным уравнениям относится задача по подбору начальных значений в краевой задаче. Определяемый формулой (3.68) метод последовательных приближений -метод Ньютона-Канторовича. Исследование этого метода содержит несколько аспектов. Во-первых, интересны эффективно проверяемые условия применимости этого метода. Во-вторых, важны, как оценки быстроты сходимости, так и априорные оценки погрешности. В-третьих, важно уметь находить такие начальные приближения X » начиная с которых метод Ньютона-Канторовича сходится. Наконец, важно знать, насколько устойчив метод по отношению как к случайным ошибкам в вычислениях, так и в приемах, заключающихся в замене в формуле (3.68) каким-либо методом решения уравнения (3.67). В общем случае не существует эффективно проверяемых условий применимости метода Ньютона. В отдельных случаях, когда производная вычисляется, явно можно оценить обусловленность матрицы Якоби, а также указать начальное приближение X » начиная с которого метод сходится. Однако класс таких систем чрезвычайно узок, в большинстве случаев не существует эффективных методов априорной проверки применимости метода Ньютона. Практическое применение метода показало, что если матрица Якоби хорошо обусловлена и сравнительно мало меняется вблизи решения, то метод Ньютона сходится достаточно быстро при достаточно близком к решению начальном приближении. Метод начинает плохо работать (вообще не сходится) при плохом выборе начального приближения в случае плохо обусловленной матрицы Якоби или в случае быстрого изменения элементов матрицы Якоби. При решении трансцендентных уравнений метод Ньютона умеренно устойчив к замене производных конечно-разностными отношениями. Вопрос выбора конечно-разностной аппроксимации в методе Ньютона является вопросом исследования. Например, метод инвариантен по отношению к замене производных конечными разностями при числе
