Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время математические методы бработки информации в целях оптимизации процессов в сложных системах оказали свою эффективность при решении разнообразных прикладных за-ач управления техническими, экономическими и другими реальными систе-[ами. Развитие математической теории управления идет в направлении все ольшего усложнения применяемых моделей и методов для достижения адек-атного описания реальных процессов и повышения надежности получаемых гратегий обработки информации и формирования процессов управления. Ес-и на начальной стадии развития теории управления превалировали клас-нческие детерминированные модели, то дальнейшие теоретические исследо-ания и результаты практического использования полученных методов и ал-эритмов показали, что для адекватного описания реальных процессов необ-одимо использовать модели, органической частью которых являются неоп-еделенные параметры и сигналы, значения и поведение которых заранее ельзя достоверно предсказать. Последнее привело к созданию стохастиче-кой теории управления и развитию сопутствующих вероятностно-статисти-еских методов и алгоритмов обработки информации. Естественно, основные силия были направлены на получение оптимальных по некоторым крите-иям методов идентификации, фильтрации и управления. Оптимальные ме-эды для регрессионных моделей и моделей временных рядов изучались в ра-отах ААлберта, Т.Андерсона, В.Н.Вапннка, У.Гренандера, Е.З.Демиденко, [.А. Ибрагимова, А.Кашьяпа, М.Кендалла, АСтьюарта, Р.З.Хасьминского, .Рао, Э.Хеннана, для конечномерных динамических систем - в работах .Беллмана, В.Боркара, Р.Винтера, МХАДэвиса, И.Е.Казакова, Р.Калмана, -АКрасовского, Х.Кушнера, РШЛипцера, М.Б.Колмановского, Н.В.Кры-ова, Б.М.Мяллера, П.В.Пакшина, А.В.Пантелеева, Е.Парду, В.С.Пугачева, .Ришела, В.Рунггалдиера, В.В.Семенова, Р.Л.Стратоновича, Э.Сейджа, '.Флеминга, М-М-Хрусталева, А.Н.Ширяева, Р.Эллиота, а для бесхонечно-ерных систем - в работах Н. Ахмеда, АБенсуссана, АБалакришнана, АЮ. еретенникова, М.М.Лаврентьева, В.С.Пугачева, И.Н.Синицьша, Ю.П. Пыть-за, АВ. Скорохода, AM. Федотова, Р. Куртэйн, А Причарда, АН. Тихонова.
Важнейшей причиной, затрудняющей использование оптимальных ме-эдов стохастического оценивания и управления, является отсутствие необ-одимой априорной информации о параметрах моделей и вероятностных ха-актеристиках возмущений. Последнее явилось причиной повышенного ин-:реса к исследованию задач оценивания и оптимизации процессов в стохас-іческих системах с априорной неопределенностью. В настоящее время формировались два основных подхода к разработке методов исследования істем указанного типа: минимаксный и адаптивный.
Суть первого состоит в том, что для обобщенных параметров модели ормируется некоторое множество неопределенности их значений и харак-
теристик, после чего задача оценивания и управления решается оптимальным образом в предположении, что реализован «наихудший» элемент указанного множества. При определенных условиях такое решение существует, а алгоритм его реализации обладает гарантирующими свойствами. Систематически минимаксный подход начал использоваться в работах А-Вальда, П.Хубера, Н.Н.Красовского, ААЛСуржанского, МЛ-Лидова, Я.З.Цьшкина, Ф.Л.Черно-усько, П.Е. Эльясберга. Полученные общие результаты нашли свое развитие в работах БЛ-Ананьева, БіД-Бахшияна, ТБашара, В.Ванде-Линде, Смерду, ГАГолубева, М.И.Гусева, И-Я.Каца, А.И.Кибзуна, М.Б.Колмановского, АЛ. Коростелева, МЛ.Красильщнкова, ДЛуза, В.В.Малышева, AM. Мата-сова, М. Минца, Дж.Морриса, АГ.Наконечного, В.ГЛокотило, Б.ТЛоляка, ВЛура, В.Н.Соловьева, В.ИЛ1иряева, ЕЛза.
Второй подход к решению задач оценивания и управления в условиях априорной неопределенности, называемый обычно адаптивным, основан на восстановлении неизвестных вероятностных. характеристик стохастических параметров модели, необходимых для построения оптимальных оценок и соответствующего управления. При определенных условиях оказывается, что адаптивная оценка асимптотически эквивалентна оптимальной оценке, однако требует для своего построения существенно меньший объем априорных данных, что достигается за счет более полного н гибкого использования имеющейся измерительной информации. Фундаментальные результаты по адаптивным методам оценивания и управления получены в работах Б. Андерсона, Я.Бар-Щалома, ГТудвина, ЛЛьюнга, А.В.Назина, М.Б.Невельсона, К.Острема, А.С Лозняка, Б.ТЛоляка, В.Г.Репина, Дж.Саридиса, Т.Содер-стрема, В.Г Сраговича, ГЛ.Тартаковского, ВЛ.Фомина, Р.З.Хасьминского, Я.З.Цыпкина. Как правило, адаптивные методы фильтрации, идентификации и управления оказываются нелинейными, что существенно затрудняет анализ их неасимптотических свойств. С другой стороны, если для конкретной модели удается строго обосновать процедуру адаптации, то получаемые оценки и стратегии управления могут быть существенно более эа^фективными, чем минимаксные (использующие только априорную информацию). Представляется актуальным как с теоретической, так и с прикладной точек зрения использовать идеи адаптации при разработке минимаксных алгоритмов оценивания и управления с целью повышения эффективности последних в использовании эмпирических данных.
Вторая проблема в реализации оптимальных методов - их сложность. Если для линейных гауссовских систем проблема оптимального оценивания и управления имеет решение, пригодное для практической реализации, то для линейных негауссовских и нелинейных систем уравнения оптимальной фильтрации в настоящее время не поддаются реализации на ЭВМ в полном объеме. Это объясняется тем, что в общем случае для апостериорного распределения фазового вектора модели отсутствует конечномерная система достаточных статистик, т.е. оптимальный нелинейный фильтр является бесконеч-
номерным. Последнее означает, что сложная нелинейная стохастическая система управления является, фактически, статистически неопределенной даже при наличии полной информации о характеристиках параметров и возмущений последней. Таким образом, актуальной является проблема построения конечномерных алгоритмов нелинейной фильтрации и управления, являющихся оптимальными в минимаксном смысле. В работе развито соответствующее направление, базирующееся на теории условно-оптимальной нелинейной фильтрации В.СПугачева и методах минимаксной оптимизации неопределенно-стохастических систем.
Анализ имеющихся результатов по оптимизации неопределенно-стохастических систем управления показывает, что минимаксные методы имеют важнейшее значение для теории и практики управления сложными техническими системами. Дальнейшая разработка минимаксных методов оптимизации указанных систем является актуальной, так как имеется значительное число проблем, требующих как теоретического исследования, так и разработки соответствующих численных методов и алгоритмов. Некоторые из указанных проблем перечислены ниже.
Целью работы является решение следующих теоретических и прикладных проблем в области минимаксной оптимизации неопределенно-стохастических систем (НСС) управления:
-
построение теории минимаксной идентификации НСС, параметры которых могут быть произвольных типов (неслучайные ограниченные и неограниченные, случайные с полностью или частично неизвестными распределениями), а сами системы - сингулярными (с вырожденными возмущениями и случайными параметрами); исследование асимптотических свойств минимаксных оценок параметров НСС; построение адаптивных минимаксных оценок;
-
разработка новых эффективных конечномерных алгоритмов оценивания и управления в нелинейных статических и динамических моделях и линейных негауссовских моделях с использованием минимаксного подхода;
-
создание методов рекуррентного оценивания процессов в динамических НСС, дающих ввозможность учитывать не только априорную, но и текущую измерительную информацию о значениях неопределенных параметров и входных процессов в модели динамики системы;
-
разработка и исследование методов оценивания случайных элементов со значениями в бесконечномерных пространствах в условиях априорной статистической неопределенности; построение минимаксных алгоритмов оценивания и оптимизации процессов в динамических НСС с бесконечномерным пространством состояний;
-
разработка численных методов и алгоритмов минимаксного оценивания и управления, пригодных для практического использования в многомерных нелинейных системах.
Решение вышеперечисленных проблем позволяет существенно расширить область обоснованного применения минимаксных методов оценивания и оптимизации, повысить их эффективность и прикладное значение.
Методы исследований. В работе используются методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории игр, оптимизации, функционального анализа, а также методы компьютерного статистического моделирования.
Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты в области минимаксной оптимизации неопределенно-стохастических систем, среди которых отметим следующие:
-
построены минимаксные оценки параметров многомерной линейной неопределенно-стохастической сингулярной регрессионной модели при различных уровнях информированности о природе оцениваемых параметров и характеристиках возмущений;
-
исследованы асимптотические свойства минимаксных оценок и предложены способы адаптации алгоритмов минимаксного оценивания:
-
разработан метод условно-минимаксной нелинейной фильтрации процессов в нелинейных разностных и дифференциальных стохастических системах, предложены численные методы синтеза условно-минимаксных фильтров;
-
построен алгоритм робастной условно-минимаксной рекуррентной фильтрации процессов в системах с аномальными ошибками наблюдений;
-
решена задача минимаксного управления в линейной системе с нега-уссовскими возмущениями, доказан аналог теоремы разделения для минимаксной стратегии управления;
-
разработаны методы и алгоритмы фильтрации и сглаживания процессов в линейных стохастических динамических системах с частично наблюдаемыми неопределенными входными воздействиями;
-
решена задача минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в сепарабельных гильбертовых пространствах в условиях неполной априорной информации о распределениях оцениваемого и наблюдаемого элементов;
-
построен алгоритм рекуррентного оценивания статистически неопределенных процессов в гильбертовых разностных системах, найдена оптимальная в минимаксном смысле стратегия управления.
Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они являются основой для создания эффективного программно - алгоритмического обеспечения ЭВМ, предназначенного для обработки информации и принятия решений в условиях значительной априорной неопределенности в описании параметров и процессов в моделях исследуемых систем . Последнее
характерно для большинства прикладных задач, связанных с обработкой результатов летных испытаний, управлением движением ЛА, эксплуатацией сложных измерительных комплексов, обработкой изображений, планированием экспериментов при исследовании новой техники.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования эксперимента при исследовании случайных процессов и полей» (Севастополь, Россия, 1985 г.), Симпозиуме ГРАС по стохастическому управлению ( Вильнюс, Литва, 1986г.), Международной конференции по стохастическому анализу (Кембридж, Великобритания, 1987г.), Всесоюзной конференции «Непараметрические и робаст-ные методы в кибернетике и информатике» (Томск, Россия, 1990г.), Всесоюзной школе-семинаре «Динамика, управление полетом и исследование операций» ( Клин, Россия, 1990г.), на 30-й (Брайтон, Великобритания, 1991г.), 34-й (Нью-Орлеан, США, 1995г.) и 35-й (Кобе, Япония, 1996г.) Международных конференциях ШЕЕ по принятию решений и управлению (ШЕЕ CDC), Международной конференции ШАС по системному анализу и управлению (Нант, Франция, 1995г.), 3-й Европейской конференции IFAC по управлению (Рим, Италия, 1995г.) и Международной конференции ШАС SSPCS-97 (Переяславль-Залесский, Россия, 1997г.) а также на научных семинарах под руководством проф. Б.В.Гнеденко (МГУ, мех-мат.), акад. В.СПугачева (ИЛУ РАН), акад. С.В. Емельянова (МГУ, ВМК), проф. НА. Парусникова (МГУ, мех-мат.), проф. И.Н.Синицина (ИЛИ РАН), проф. В.В. Малышева (МАИ), проф. AJL Кибзуна (МАИ), проф. MJCA. Дэвиса (Imperial College, Лондон), проф. В.Б.Колмановского (МИЭМ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из семи глав, списка литературы и приложения. Общий объем работы - 235 м.п.с. В основной текст включены 10 таблиц и 2 рисунка. Библиография - 230 названий.
