Содержание к диссертации
Введение
1 Случай чёткого отношения предпочтения ЛПР 15
1.1 Основные определения 16
1.2 Задача многокритериального выбора 18
1.3 Известные результаты 20
1.4 Последовательный учёт набора «квантов» информации 21
1.6 Последовательный алгоритм учёта набора «квантов» информа -
1.7 Нахождение образующих двойственного конуса 28
1.8 Исключение лишних критериев 31
Случай нечёткого отношения предпочтения ЛПР 34
2.1 Нечёткие множества 35
2.2 Нечёткие конические оболочки 35
2.3 Нечёткие двойственные конусы 39
2.4 Построение образующих нечёткого двойственного конуса . . 45
2.5 Задача сужения множества Парето 54
2.6 Учёт «квантов» нечёткой информации 56
3 Программная реализация: пакет ParSetRe 63
3.1 Решение задачи многокритериального выбора 63
3.2 Структура программы 66
4 Прикладная экономическая задача 72
4.1 Постановка задачи 72
4.2 Сужение множества Парето 73
Заключение
- Задача многокритериального выбора
- Последовательный алгоритм учёта набора «квантов» информа
- Построение образующих нечёткого двойственного конуса
- Структура программы
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи принятия решения часто встречаются в различных областях человеческой деятельности. В них лицу, принимающему решение (ЛПР), необходимо выбрать одну или несколько альтернатив из множества возможных вариантов. При этом каждая альтернатива оценивается, как правило, по нескольким критериям, и варианта, оптимального с точки зрения всех критериев, не существует, что существенно осложняет выбор.
Центральную роль в задачах многокритериального выбора играет принцип Эджворта — Парето, в соответствии с которым выбор должен производиться из множества парето-оптимальных вариантов, также называемого множеством Парето. Однако на практике оно, как правило, оказывается довольно широким, причём все его элементы имеют различную значимость для ЛПР. Выбор конкретного парето-оптимального решения (или некоторого сравнительно узкого подмножества таких решений) до настоящего времени представляет собой открытую концептуальную проблему, от успешного решения которой зависит качество принимаемых решений во многих областях техники и экономики.
К настоящему времени разработано большое число подходов к решению задач многокритериального выбора. Значительный вклад в эту область внесли такие известные учёные, как Ю. Б. Гермейер, О. И. Ларичев, А. В. Лотов, В. Д. Ногин, А. Б. Петровский, В. В. Подиновский, F. Y. Edgeworth, R. L. Keeney, V. Pareto, H. Raiffa, B. Roy, T. L. Saaty и многие другие отечественные и зарубежные авторы. Предложенные подходы можно выделить в следующие группы: методы многокритериальной теории полезности (MAUT — Multiattribute Utility Theory), «outranking approaches», методы вербального анализа решений, различные итеративные процедуры принятия решений, а также аксиоматический подход к сужению множества Парето.
Многие существующие подходы являются эвристическими: предлагается правило поиска «наилучшего» решения, однако, в каком смысле оно «наилучшее» и для какого класса задач это правило применимо, не обосновывается. Поэтому актуальным представляется развитие таких методов, для которых известен класс задач, где их применение допустимо.
К числу таких методов относится развиваемый с 1980-х годов В. Д. Ноги-
ным аксиоматический подход к сужению множества Парето. Он существенно отличается от многих других методов тем, что не ставит задачу предоставить ЛПР решение, которое оно должно выбрать. Цель данного похода в том, чтобы помочь ЛПР сузить круг поиска «наилучшего» решения, которым изначально является множество парето-оптимальных вариантов. Сужение производится с помощью «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР, характеризующих готовность ЛПР пойти на компромисс. То, что при этом все исключённые при сужении варианты заведомо выбраны быть не могут, строго доказывается при условии выполнения аксиом «разумного» выбора.
Предметом исследования являются задачи принятия решений при многих критериях.
Цель диссертационной работы заключается в развитии аксиоматического подхода к сужению множества Парето.
Ставятся задачи:
-
предложить алгоритм, обеспечивающий сужение множества Парето на основе произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения ЛПР и оформить этот алгоритм в виде пакета прикладных программ ParSetRe;
-
построить и обосновать алгоритм, обеспечивающий сужение множества Парето на основе произвольного конечного набора числовой информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР;
-
разработать критерий проверки предоставленных ЛПР «квантов» на непротиворечивость, т. е. на согласованность с аксиомами «разумного» выбора.
Научная новизна диссертации заключается в создании новых алгоритмов сужения множества Парето при помощи произвольного конечного набора числовых «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР.
Теоретическая и практическая значимости. В работе развивается аксиоматический подход к сужению множества Парето и тем самым вносится определённый вклад в теорию принятия решений при многих критериях. Полученные результаты могут быть применены в различных задачах науки, техники и экономики. Разработан программный пакет ParSetRe, который
позволит ЛПР применять аксиоматический подход в стоящих перед ним задачах.
Достоверность научных результатов обеспечивается строгостью доказательств и согласованностью со всеми ранее полученными результатами в этой области.
Апробация результатов исследования. Приведённые в диссертации результаты докладывались на XLI, XLII, XLIII, XLIV международных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010-2013), международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 2012), VII московской международной конференции по исследованию операций ORM-2013 (Москва, 2013).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в девяти работах [1-9], из которых три [1-3] являются статьями в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, включающего 48 наименований. Объём составляет 84 страницы.
Поддержка. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 08-01-00301, 11-07-00449а, 14-07-00899).
Задача многокритериального выбора
Очевидное преимущество метода достижимых целей состоит в том, что ЛПР принимает непосредственное участие в процессе поиска наилучшего решения. Наглядное представление множества Парето позволяет визуально сравнивать парето-оптимальные варианты. Однако с ростом числа критериев количество возможных карт решений быстро растёт, что осложняет задачу ЛПР. Поэтому авторы рекомендуют применять метод в задачах с 3 — 7 критериями.
Исследования данной работы посвящены аксиоматическому подходу к сужению множества Парето [26,27]. В нём используется модель многокритериального выбора, состоящая из трёх объектов: множества возможных вариантов X, числового векторного критерия /: X ь- Ми бинарного отношения предпочтения -х. Идея подхода отличается от предыдущих тем, что множество выбираемых вариантов, обозначаемое С(Х), возможно, состоящее из одной наилучшей альтернативы, не ищется непосредственно. Более того, так как вкусы и предпочтения каждого ЛПР индивидуальны и субъективны, этому множеству даже не даётся строгого определения. Вместо того, чтобы искать само множество С(Х), предлагается строить оценки сверху на него путём исключения тех вариантов, которые заведомо не будут выбраны. Так, прежде всего в соответствии с принципом Эджворта — Парето исключаются все не парето-оптимальные варианты. Для дальнейшего сужения множества Парето необходима дополнительная информация от ЛПР.
В качестве таких дополнительных данных ЛПР может предоставлять информацию о готовности пойти на компромисс, который заключается в том, что ЛПР согласно пожертвовать несколькими пунктами по менее значимым критериям ради получения выгоды по более важным для него критериям. Такое суждение задаёт «квант» информации, который может быть использован для сужения множества Парето с помощью теоремы 1.3, доказанной В. Д. Ногиным [27].
Понятие направленного компромисса встречается в работах [39,40]. Оно совпадает по смыслу с «квантом» информации, и полученные результаты повторяют уже имеющиеся в книге [27].
В. В. Подиновским также вводятся различные определения относительной важности и равной важности критериев [22,32,33]. На их основе строятся бинарные отношения предпочтения, с помощью которых получают множества недоминируемых вариантов. Однако в данных работах речь идёт только о конечных множествах возможных вариантов, для которых ядро бинарного отношения может быть построено перебором. Кроме того, построенные множества недоминируемых вариантов не рассматриваются как оценки сверху на множество выбираемых решений, которое даже не вводится. Отсутствует аксиоматизация, позволяющая доказать, что для определённого класса задач выбор действительно лежит в построенных множествах.
Данная работа продолжает исследования, проводившиеся в [10-12,15]. В этих статьях рассматривались наборы «квантов» определённой структуры и предлагались теоремы для сужения множества Парето с использованием именно таких «квантов». Их общей идеей является вывод формул для построения нового векторного критерия, множество Парето относительно которого даст более точную оценку сверху на множество выбираемых решений, чем исходное множество Парето. В данной же работе рассматривается произвольный конечный набор «квантов» информации. Единой формулы для нового векторного критерия получить не удаётся, однако предлагается алгоритм его построения, обобщающий все полученные ранее результаты.
Вторая глава посвящена рассмотрению случая чёткого отношения предпочтения ЛПР. После определений используемых понятий приводится математическая постановка задачи сужения множества Парето на основе произвольного конечного набора «квантов» информации об отношении предпочтения. Исследование опирается на теорему 1.3 В. Д. Ногина, позволяющую учитывать один «квант». Характерна её формулировка: так как множество выбираемых вариантов не может быть строго определено в силу субъективности вкусов ЛПР, говорится, что каким бы оно ни было, оно содержится во множестве Парето относительно нового векторного критерия.
Следующим рассматривается такой вопрос: если учесть один «квант» по теореме 1.3, что произойдёт с остальными? Выясняется, что после несложного преобразования они становятся «квантами» в задаче с построенным новым векторным критерием. При таком преобразовании возможны случаи, когда новый «квант» не подходит под определение «кванта». Доказывается, что это происходит в том случае, когда предоставленная ЛПР информация противоречива. Таким образом, появляется возможность производить учёт «квантов» последовательно, одновременно проверяя непротиворечивость суждений ЛПР. Центральный результат этой главы — алгоритм, описывающий последовательный учёт информации.
Однако простой пример показывает, что размерность нового векторного критерия может быть уменьшена. Поэтому далее ставится вопрос об исключении тех его компонент, которые не являются существенными для построения множества Парето. Эта задача решается за счёт того, что в рамках принятой аксиоматики отношение предпочтения ЛПР конусное, и преобразование векторного критерия связано с построением двойственного конуса. В конце главы приводится необходимое и достаточное условие существенности компонент векторного критерия.
Последовательный алгоритм учёта набора «квантов» информа
Отметим, что если все «кванты» информации имеют степень уверенности, равную единице, то выведенная оценка оказывается чёткой. Более того, она есть не что иное, как множество Парето относительно нового векторного критерия, компоненты g\f которого вычисляются с помощью образующих упомянутого двойственного конуса.
Если же у некоторых «квантов» степень уверенности менее единицы, компоненты glf, і = 1,... ,g, также можно считать новым векторным критерием, однако теперь с каждой компонентой g\f сопоставляется число вг Є (0; 1]. Если некоторый вариант х доминирует х только по компонентам, с которыми сопоставлены числа а или менее, то степень принадлежности х множеству выбираемых вариантов не может превосходить а. Таким образом, такое нечёткое множество представляет собой «наслоение» множеств Парето, т. е. степень принадлежности ему варианта х равна а в том и только в том случае, если х содержится во множестве Парето относительно векторного критерия с компонентами g\f для і: 9г а, но, если а 1, не содержится во множестве Парето относительно векторного критерия с компонентами дг
Наконец, коснёмся вопроса о проверке «квантов» на непротиворечивость.
Определение 2.12 [9]. Набор квантов информации и1,... ,ир с соответствующими степенями уверенности v\,...,vp называется противоречивым, если не существует такого нечёткого отношения - с функцией принадлежности /І, которое удовлетворяет всем аксиомам разумного выбора и соотношениям
Следующий критерий позволит проверять непротиворечивость «квантов» прямо по ходу работы алгоритма 2.
Доказательство. Достаточность. Предположим, что набор непротиворечив, т. е. существует нечёткое отношение предпочтения с функцией принадлежности /І, удовлетворяющее всем аксиомам и соотношениям ц(ик,0) v для к = 1, s.
Рассмотрим ядро нечёткого конуса Ls_i. Оно является чёткой конической оболочкой тех его образующих б1,... , bq, которые имеют степень принадлежности, равную единице. Предположим, что все эти образующие расположены в неположительном полупространстве, образованном гиперплоскостью с нормалью us: У к = bkus 0. Но тогда Ък (—us) 0, и вектор — us принадлежит конусу, двойственному к ядру конечнопорожденного нечёткого конуса Ls_i, который в соответствии с утверждением 2.9 есть не что иное, как суппорт нечёткого конечнопорожденного конуса К. Этот конус, в свою очередь, содержится в конусе отношения предпочтения ЛПР. Следовательно, конус отношения предпочтения не является острым, т. к. он с ненулевыми степенями принадлежности содержит векторы иа и — иа. Другими словами, /І (MS, 0) 0 и /i(— MS,0) = /i(0,Ms) 0. Но это противоречит иррефлексивности отноше ния предпочтения. Следовательно, предположение несостоятельно, и набор квантов противоречив.
Рассмотрим конусное нечёткое отношение /І с конусом Lp — нечёткой конической оболочкой векторов е1,..., ет,и1,... ,ир со степенями принадлежности 1,... , 1, z/1,... , vv. Так как среди образующих этого конуса есть все кванты ик, то /І (uk,0 j v . Поскольку образующими также являются орты пространства, /І (efc,0) = 1 для всех индексов к. Отсюда с учётом конусности следует выполнение третьей аксиомы. Конусность же этого отношения влечёт справедливость четвёртой аксиомы. Транзитивность этого отношения напрямую следует из выпуклости конечнопорожденного конуса Щ,.
Рассмотрим конус Ls_i и обозначим его образующие за Ьк, к = l,q. Покажем, что если для некоторого s ранг набора образующих конуса Ls_i с единичными степенями принадлежности равен т и хотя бы одна из них удовлетворяет bkus 0, то ранг набора образующих конуса Ls с единичными степенями принадлежности также равен т. С учётом утверждения 2.11 образующими конуса Ls с единичными степенями принадлежностью являются те векторы Ьк, для которых bkus 0, и (usb Ъ — {usV Ьг для Ь % Ь3 : b%us 0 Vus. Предположим, что ранг этих векторов меньше т. Тогда есть ненулевой вектор v, ортогональный им всем. Среди них есть образующая Ьг: Ьгиа 0. Т. к. vb% = 0, то для всех
Следовательно, все образующие bk ортогональны вектору -и, и их ранг не может быть равен т, что противоречит предположению.
Рассмотрим векторы ж, у Є Шт: /І (Ж, у) 0. Тогда вектор х — у имеет ненулевую степень принадлежности конусу Кр. Предположим, что вектор у — х также имеет ненулевую степень принадлежности этому конусу. Тогда двойственное к суппорту Щ, ядро конуса hp лежит в гиперплоскости, ортогональной вектору х — у. Следовательно, ранг образующих конуса hp с единичной степенью принадлежности меньше т. Однако ранг образующих ко нуса Lo с единичной степенью принадлежности — ортов пространства Ш.т — равен т. Но по предположению при каждом s группа образующих из положительного полупространства относительно иа содержала образующие с единичной степенью принадлежности, следовательно, ранг образующих конуса hp с единичной степенью принадлежности должен быть равен т. Это противоречие показывает, что вектор у — х не может принадлежать конусу Кр. Таким образом, Уж, у Є Шт: /І (Ж, у) 0 = /І (у, х) = 0, и нечёткое отношение /І иррефлексивно.
Таким образом, нечёткое отношение, удовлетворяющее всем аксиомам и соотношениям /І, (tifc, О) Vk, существует, а следовательно, набор квантов непротиворечив, что не согласуется с условием утверждения. Следовательно, предположение неверно.
Таким образом, для решения задачи сужения множества Парето в случае «квантов» нечёткой информации следует применить алгоритм 2 для нахождения образующих конуса, двойственного к конической оболочке «квантов» и ортов критериального пространства, по ходу его работы проверить непротиворечивость предоставленной информации и воспользоваться утверждением 2.15 для получения оценок степеней принадлежности вариантов множеству выбираемых решений.
Построение образующих нечёткого двойственного конуса
Первый в качестве параметра принимает файл, из которого следует загрузить сохранённую задачу принятия решения. Если переданный файл не существует, не доступен для чтения или в процессе загрузки происходит какая-либо иная ошибка ввода-вывода, возбуждается исключение IOException. Если содержимое файла не соответствует ожидаемому формату сохранения задачи, выбрасывается ProblemFormatException. В случае успешной загрузки сохранённых данных задачи создаётся объект, описывающий её.
Второй конструктор не имеет параметров и используется для создания новой задачи принятия решения. Списки критериев, вариантов и квантов в ней изначально пусты; их предстоит заполнять, пользуясь методами соответствующих классов, которые будут описаны ниже.
Для получения компонентов задачи принятия решения применяются следующие методы: public Criteria getCriteria (); public Choices getChoices (); public Quanta getQuanta (); Объекты класса Criteria хранят информацию о списке критериев, по которым оцениваются доступные варианты. Для добавления критерия в конец списка следует использовать метод public void addCriterion (final String name);
В качестве параметра указывается название добавляемого критерия. Количество критериев можно проверить с помощью метода public int count (); Для переименования критериев применяется метод public void rename (final int index, final String name); Наконец, метод public void removeCriterion (final int index); позволяет удалить критерий из списка, указав его индекс. Следует отметить, что добавление и удаление критериев может привести к перестройке внутренних структур данных ассоциированных с этим набором критериев вариантов и квантов, поэтому рекомендуется составить список критериев до начала работы со списками вариантов и квантов.
Класс Choices хранит возможные варианты в виде векторов, размерность которых равна количеству критериев. Класс Quanta содержит список квантов информации, которые можно будет использовать для сужения списка вариантов. Каждый квант — вектор той же размерности, что и вариант. Поэтому методы добавления, изменения и удаления вариантов и квантов вынесены в общий базовый класс FuzzyVectorList.
Добавление векторов производится с помощью метода public void addVector (final double [] components, final Certainty certainty); Размерность компонент вектора должна совпадать с количеством критериев, в противном случае возбуждается IllegalArgumentException. При добавлении варианта второй параметр роли не играет: исходное множество возможных вариантов считается чётким. При добавлении же квантов этот параметр характеризует степень уверенности ЛПР в готовности пойти на компромисс, описываемый данным квантом.
Класс Certainty также используется для описания степени желательности выбора того или иного варианта после сужения множества Парето. С математической точки зрения он хранит степень принадлежности вектора тому или иному нечёткому множеству. Объекты этого класса неизменяемы: любые операции с ними возвращают новый объект. В классе предусмотрен конструктор public Certainty (final double value); Параметр value должен иметь значение в сегменте [0;1], иначе выбрасывается исключение IllegalArgumentException. Предопределены константы Certainty.MINIMUM и Certainty.MAXIMUM для соответственно наименьшей и наибольшей степеней уверенности.
Для удаления вектора класс FuzzyVectorList предусматривает метод public void removeVector (final int vector);
Параметром является индекс удаляемого вектора в этом списке. Для изменения векторов используются методы public void setComponent (final int vector , final int criterion , final double value); public void setCertainty (final int vector, final Certainty certainty);
Здесь vector — индекс вектора в списке, criterion — номер критерия, компоненту по которому необходимо изменить, последний параметр — новое значение компоненты или степени уверенности. Упомянем, что предусмотрены методы и для чтения векторов: public double getComponent (final int vector, final int criterion); public Certainty getCertainty (final int vector);
Может возникнуть вопрос, почему степень уверенности хранится вместе с вектором несмотря на то, что она является характеристикой не вектора, а нечёткого множества. Такое решение было принято в связи с тем, что кванты по сути задают образующие нечёткого конуса, с которыми, если вспомнить определение 2.5, ассоциируются степени уверенности. Возможны ситуации, в которых один и тот же вектор используется в качестве образующей несколько раз, притом необязательно с одинаковыми степенями принадлежности. Если набор образующих считать конечным нечётким множеством, такие ситуации представить невозможно.
Рассмотрим теперь отличительные особенности классов Quanta и Choices. Так как учёт квантов приводит к перестройке векторного критерия, метод public FuzzyVectorList computeTransform (); возвращает список векторов, компоненты каждого из которых суть коэффициенты, с которыми надо суммировать исходные критерии, чтобы получить новый. При этом доминирование по такому критерию гарантирует варианту степень принадлежности не меньшую, чем степень уверенности, ассоциированную с этим новым критерием. С другой стороны, эти векторы являются образующими конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке квантов и ортов критериального пространства. Если же набор квантов противоречив, метод возвращает null.
Структура программы
В этой главе будет рассмотрен пример применения последовательного алгоритма учёта «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР в одной экономической задаче. Исследуется случай взаимосвязанных «квантов», который не подпадает ни под одну ранее доказанную теорему для учёта набора «квантов» той или иной структуры.
Первый параграф содержит общую постановку задачи, описывает множество возможных решений и критерии. Во втором параграфе приводится пример сужения множества Парето за счёт учёта трёх «квантов» информации. По ходу рассуждений автоматически выводится и критерий их непротиворечивости.
Пусть некоторая фирма столкнулась с проблемой увеличения выпуска произведённой продукции при одновременном стремлении сократить затраты на ресурсы. Ясно, что увеличение объёма продукции невозможно без ресурсных затрат, поэтому стремление максимизировать объём продукции входит в противоречие с желанием сокращения ресурсов. Подобного рода ситуация типична для многокритериальной оптимизации. Поэтому имеет смысл формализовать данную проблему в виде некоторой задачи многокритериального выбора. Перейдём к этой формализации.
Во многих экономических задачах связь между выпуском продукции и затраченными ресурсами моделируется степенными производственными функциями вида z = ах х 2 х п [19]. Здесь z — объём произведённой продукции, xi,... , хп — объёмы затраченных ресурсов, а а, «і,..., ап — некоторые положительные параметры. Так же, как и в работе [13], ограничимся двумя видами ресурсов: трудовыми и основными производственными фондами. Таким образом, объём выпускаемой продукции z связан с затратами на трудовые ресурсы х\ и капиталом Х2 формулой z = ах х 2 для некоторых положительных параметров а, «і, а : OL\ + (У.2 1.
Поставим следующую многокритериальную задачу. Множеством возможных вариантов будем считать все пары (жі, Ж2), для которых х\ 0 и Х2 0. В качестве критериев возьмём стоимости трудовых ресурсов, основных производственных фондов и выпущенной продукции. Первые две величины необходимо минимизировать, поэтому для согласованности с постановкой общей задачи принятия решения, где критерии максимизируются, возьмём их с обратным знаком. Таким образом, критерии задаются формулами f\ = —р\Х\, /2 = —Р2Х2, /з = P2.Z, где рі,Р2іРз задают цены соответствующих ресурсов и продукции.
Множество возможных векторов Y является поверхностью, описываемой уравнением уз = \2 {—уі)0л{—у2)2 при ограничениях у\ 0, у2 0. Нетрудно убедиться, что эта поверхность вогнутая, следовательно, множество Парето совпадает со всем множеством возможных векторов Y.
Рассматривается задача многокритериального выбора, включающая множество возможных вариантов, числовой векторный критерий и не вполне известное бинарное отношение предпочтения ЛПР. Развивается аксиоматический подход к сужению множества Парето, предложенный В. Д. Ногиным [27]. Согласно принципу Эджворта — Парето выбираемые варианты должны лежать во множестве Парето. Сам подход заключается в построении оценки сверху на множество выбираемых решений более точной, чем всё множество Парето, за счёт учёта дополнительной информации об отношении предпочтения ЛПР. В качестве такой информации используется произвольный конечный набор «квантов», описывающих готовность ЛПР к определённого рода компромиссу.
В первой главе изложен последовательный подход к учёту произвольного конечного числа «квантов» информации. Основным результатом этой главы является алгоритм построения нового векторного критерия, множество Парето относительно которого будет оценкой сверху на множество выбираемых решений. В первоначальном виде он приводит к появлению лишних критериев, поэтому далее рассмотрена связь между учётом «квантов» и задачей построения двойственного конуса, с помощью которой удаётся получить необходимое и достаточное условие того, что критерий не лишний.
Вторая глава посвящена обобщению результатов первой главы на случай нечёткой информации об отношении предпочтения. Рассмотрена задача нахождения образующих нечёткого двойственного конуса в частном случае, когда среди образующих исходного конуса есть все орты пространства. Центральный результат — алгоритм построения образующих нечёткого двойственного конуса, который затем применяется для построения оценки сверху на множество выбираемых решений в задаче учёта «квантов» нечёткой ин формации. По ходу работы алгоритм проверяет и непротиворечивость предоставленных ЛПР сведений.
В третьей главе описана программная реализация последнего алгоритма. В программе можно выделить ядро, отвечающее за решение задачи многокритериального выбора, и графическую оболочку, назначение которой — предоставление пользователю удобного доступа к ядру.
Четвёртая глава содержит пример расчёта сужения множества Парето на основе учёта трёх «квантов» информации, к которым неприменима ни одна из известных теорем. Показано, как производится пересчёт критериев, получено необходимое и достаточное условие непротиворечивости этого набора «квантов».
Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:
1. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о чётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация;
2. Оценка сверху для множества выбираемых вариантов, построенная на основе конечного набора «квантов» нечёткой информации (утверждение 2.15);
3. Критерий противоречивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР (утверждение 2.16);
4. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация.
Тематика диссертации соответствует пунктам 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления).
