Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Регуляризирующие алгоритмы решения одномерных обратных измерительных задач 11
1.1. Одномерные обратные измерительные задачи и дискретное преобразование Фурье 11
1.2. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Вольтерра 27
1.3. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Фредгольма 39
1.4. Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы 47
Выводы по главе 56
ГЛАВА 2. Выбор параметра регуляризации и ошибки регуляризированных решений 58
2.1. Обобщенный критерий оптимальности регуляризирующего алгоритма 58
2.2. Алгоритмы оценивания оптимального значения параметра регуляризации 65
2.3. Сравнение алгоритмов выбора параметра регуляризации 72
2.4. Числовые характеристики ошибки регуляризированного решения 80
Выводы по главе 86
ГЛАВА 3. Регуляризирующие алгоритмы восстановления изображения 88
3.1. Регуляризирующий алгоритм восстановления изображения 88
3.2. Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений 104
Выводы по главе 116
ГЛАВА 4. Пакет прикладных программ «DEC0NV 1D» 117
Назначение и системные требования 117
Интерфейс и решаемые задачи 118
Выводы по главе 126
ГЛАВА 5. Идентификация параметров схемы замещения электрического разряда 127
5.1. Функция переходной проводимости схемы замещения электрического разряда 127
5.2. Алгоритм устойчивого вычисления производной напряжения 130
5.3. Регуляризирующий алгоритм идентификации функции переходной проводимости 134
5.4. Алгоритм идентификации параметров схемы замещения 135
5.5. Результаты эксперимента по идентификации параметров
схемы замещения 137
Выводы по главе 139
Заключение 140
Библиографический список 141
Приложение 150
- Одномерные обратные измерительные задачи и дискретное преобразование Фурье
- Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы
- Обобщенный критерий оптимальности регуляризирующего алгоритма
- Регуляризирующий алгоритм восстановления изображения
Введение к работе
Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются разработка регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач в постановках, когда и правая часть и ядро интегрального уравнения заданы со случайными погрешностями.
Актуальность работы. По ориентации задач относительно причинно-следственной связи в науке и технике можно выделить широкий класс задач, которые называются обратными задачами. В этих задачах по следствию необходимо определить причину наблюдаемого явления. К таким задачам относятся задачи восстановления сигналов и изображений, регистрируемые измерительными системами, описываемые интегральными уравнениями I рода с разностным ядром вида:
jk(t-T)(p(r)dT = f(t).
Из-за инерционности измерительной системы (функции к(т) не является 8-функцией) выходной сигнал (или изображение) f(t) может существенно отличаться (по амплитуде или фазе) от входного <р (т). Поэтому возникает задача
восстановления входных сигналов или изображений: по зарегистрированным (или заданным) значениям функции f(t), к(т) необходимо оценить значения
функции р(т). Особенно часто такая возникает при обработке изображений,
полученных с систем космических или астрономических наблюдений. К обратным задачам можно отнести и задачу идентификации импульсной функции динамической системы: по зарегистрированным значениям входного (р (т) и
выходного f{t) сигналов необходимо оценить импульсную функцию к (г).
Такая задача часто возникает при описании стационарного линейного объекта моделью «черного» ящика с одним входом и одним выходом.
Рассмотренные задачи в зарубежной литературе объединяются одним названием - деконволюция интегрального уравнения. В отечественной литературе применяется термин обратные измерительные задачи, что подчеркивает необходимость решения обратных задач с использованием экспериментальных (измерительных) данных. Заметим, что при строгой постановке задач обработки и интерпретации экспериментальных данных большинство исследователей сталкивается с необходимостью решать обратные измерительные задачи.
Задачи деконволюции интегральных уравнений I рода относятся к классу некорректно поставленных задач - решение таких задач может не существовать или не иметь единственного решения или отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных (другими словами, небольшим погрешностям исходных данных могут соответствовать существенные погрешности получаемых решений).
Для решения некорректно поставленных задач разработаны методы регуляризации. Фундаментальный вклад в развитие этих методов внесли советские и российские математики А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.И. Иванов, В.Я. Арсенин, В.В. Васин, А.В. Гончарский, В.А. Морозов, А.Г. Ягола и другие, а также зарубежные математики. Методы регуляризации, учитывающие разностный характер ядра уравнения (1) и использующие интегральные и дискретные преобразования были предложены в работах В.Я. Арсенина, Ю.Е. Воскобойни-кова, А.И. Гребенникова, B.C. Сизикова и других.
Несмотря на большое число публикаций по решению некорректных задач, особенности постановок современных обратных измерительных задач либо игнорируются, либо учитываются не в полной мере в известных регуляризи-рующих алгоритмах деконволюции.
Как правило, предполагается, что с погрешностями задается только правая часть уравнения (1), а импульсная функция (ядро интегрального уравнения) к (т) известно точно. Однако на практике функция к(т) известна или измеряется также с некоторой случайной ошибкой. Так в задачах идентификации
входной сигнал идентифицируемой системы измеряется с погрешностью, которая может иметь тот же уровень (или выше), что и погрешности правой части. Поэтому актуальным является учет погрешностей задания ядра, как на этапе построения регуляризированного решения, так и при выборе параметра регуляризации, от величины которого зависит точность решения задачи деконволю-ции. Актуальной остается проблема выбора параметра регуляризации при различной априорной информации о числовых характеристиках погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения. Во многих случаях у экспериментатора имеется дополнительная априорная информация о качественных характеристиках искомого решения (например, неотрицательность решения, его монотонность на некоторых интервалах и т.д.). Очевидно, что учет такой априорной информации повысит точность регуляризированного решения. Однако в литературе отсутствуют описания эффективных регуляризирующих алгоритмов деконволюции, учитывающих подобную априорную информацию. При восстановлении изображений возникает необходимость построения регу-ляризирующего алгоритма с минимальной случайной и систематической ошибками. Это требование является противоречивым и разрешения этого противоречия является актуальной задачей при восстановлении контрастных изображений.
Таким образом, разработка регуляризирующих алгоритмов, учитывающих выше названные особенности современных постановок обратных измерительных задач является важной и актуальной задачей. Успешное решение этой задачи может существенно повысит «информационную отдачу» экспериментальных исследований.
Цель работы заключается в разработке, исследовании и программной реализации эффективных регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач, учитывающих выше названные особенности постановок обратных измерительных задач.
Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:
Разработка и исследование эффективных регуляризирующих алгоритмов решения задач деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений при неточно заданных разностных ядрах.
Разработка и исследование алгоритмов выбора параметра регуляризации при неточно заданных правых частях и ядрах одномерных и двумерных интегральных уравнений.
Разработка и исследование частотно-пространственного устойчивого алгоритма восстановления контрастных изображений.
Разработка нелинейного регуляризирующего алгоритма - дескриптивного алгоритма, учитывающего качественную или количественную априорную информацию об искомом решении.
Создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе важной практической задачи идентификации функции переходной проводимости эквивалентной схемы замещения электрического разряда.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы линейной алгебры, фильтрации дискретных сигналов, решения некорректно поставленных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования. Для цифрового моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы теории алгоритмов и языков программирования, методы объектно-ориентированного программирования и современные технологии разработки программного обеспечения.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработаны эффективные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений, у которых правая часть и ядро измерены (или заданы) со случайными погрешностями.
Разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие оценить оптимальный параметр регуляризации. Построены несмещенные оценки для дисперсий погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения.
Разработан устойчивый нелинейный алгоритм восстановления контрастных изображений с заданной разрешающей способностью.
Построен эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой неравенств.
Основные положения, выносимые на защиту:
Регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.
Регуляризирующий алгоритм деконволюции двумерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.
Статистические алгоритмы оценивания оптимального параметра регуляризации, построенные на основе критерия оптимальности и обобщенного принципа невязки.
Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений.
Нелинейный дескриптивный регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерных интегральных уравнений при неточно заданном ядре.
Пакет прикладных программ для моделирования и решения обратных измерительных задач.
Практическая значимость работы. Теоретические результаты диссертационной работы могут являться основой для построения и программной реализации алгоритмов решения одномерных и двумерных обратных измерительных задач, а также обратных задач большей размерности. Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения обратных измеритель-
ных задач и реализующий различные алгоритмы построения регуляризирован-ных решений и различные способы выбора параметра регуляризации. Пакет или его функциональное наполнение может быть использован в составе программного обеспечения в различных автоматизированных системах обработки экспериментальных данных. С использованием разработанных алгоритмов решена задача идентификации функции переходной проводимости схемы замещения электрического разряда. Исследована точность решения этой задачи идентификации.
Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью постановок задач деконволюции, доказательством ряда утверждений о построении регуляризирующих алгоритмов и способов выбора параметра регуляризации, а также результатами обширного вычислительного эксперимента.
Внедрение результатов работы. Разработанные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерного интегрального уравнения использовались в научных и прикладных исследованиях, проводимых в Электротехническом институте Томского политехнического университета при выполнении НИР и связанных с идентификацией параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда (имеется акт о внедрении результатов диссертационной работы). Результаты диссертации использовались в учебном процессе при чтении учебного курса «Методы решения некорректных задач идентификации», читаемого магистрантам факультета автоматики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ).
Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на:
научных семинарах направления «Математика и компьютерные технологии» НГАСУ (2005,2006,2007 годы);
научно-технических конференциях ГШС НГАСУ (2005,2006,2007 годы);
Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004);
13-й Международной Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005);
Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006);
Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публикациях, в том числе 7 научных статей, вошедших в перечень изданий, рекомендованных ВАК, 3 публикации в трудах международных конференции.4-тр. НГА(3
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименования, приложения. Объем диссертации составляет 143 страниц основного текста, в том числе содержит 27 рисунков и 4 таблицы.
Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами Министерства науки и образования:
Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2005 год;
Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2006 год;
Грант для выполнения НИР по ЕЗН 2007 год.
Одномерные обратные измерительные задачи и дискретное преобразование Фурье
Для большинства измерительных систем при обычных предложениях о линейности и стационарности связь между входным сигналом (p(t)vi. выходным f{t) описывается интегральными уравнениями Вольтерра и Фредгольма I рода с разностным ядром: jk(t-r)(p(T)dT = f(tl 0 t bf, (1.1) о f jk(t-r)(p{r)dr = /(0, af t b (1.2) где к(т) - импульсная функция измерительной системы или ядро соответствующего интегрального уравнения.
Для уравнения Вольтерра функция к(т) = 0, при г 0 т.е. она отлична от нуля только на интервале [0, Ък ]. Такая функция описывает механические и электрические системы, у которых входной сигнал (р(г) определяет выходной сигнал /(0 для моментов t r. Это свойство увеличивает "длину" (протяженность) выходного сигнала по сравнению с входным вправо на величину Ьк. Другими словами, если входной сигнал отличен от нуля на интервале (О, Ь 1, то выходной сигнал f{t) уже отличен от нуля на интервале [О, Ьр+Ьк 1. Это иллюстрируется рис. 1.1, на котором схематично показаны функции Формирование функции f(t) уравнения Вольтерра
Характерной особенностью функции к(т) для уравнения Фредгольма является отличие ее от нуля для г 0, т.е. она отлична от нуля на интервале [аА, ], где ак 0. Уравнение Фредгольма описывает динамику оптических систем и других систем, у которых входной сигнал р[т) определяет выходной сигнал f(t) для моментов t т. Это особенность увеличивает протяженность выходного сигнала f(t) не только вправо на величину Ьк (которая больше нуля), но и влево на величину ак (которая меньше нуля). Иначе, если входной сигнал ф(т) отличен от нуля на интервале їа , ЪЛ, то выходной сигнал /(/) отличен от нуля на интервале \ар + ак, ov + bk 1 (см. рис. 1.2).
Обратную измерительную задачу для объектов, описываемых уравнениями (1.1), (1.2) можно определить двумя постановками:
1. Задача восстановления входного сигнала. Необходимо построить оцен ку для функции (р{у) по зарегистрированным на соответствующих интервалах функциям к(т), f(t), т.е. нужно решить интегральные уравнения (1.1) и (1.2) относительно (p{f).
2. Задача идентификации импульсной функции. Необходимо построить оценку для функции к{т) по зарегистрированным на соответствующих интер валах функциям р(т), f(t), т.е. нужно решить интегральные уравнения отно сительно функции к(т).
В зарубежной литературе эти две задачи объединяются одним названием - деконволюцш интегральных уравнений. Поэтому далее в работе наряду с на 14 званием обратная измерительная задача будет использоваться термин деконво-люция интегральных уравнений.
Задачи деконволюции интегральных уравнений I рода относятся к классу некорректно поставленных задач [47,48] - решение таких задач может не существовать или не иметь единственного решения или отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных (другими словами, небольшим погрешностям исходных данных могут соответствовать существенные погрешности полученного решения - решение неустойчиво по отношению к погрешностям исходных данных). Для решения некорректно поставленных задач используют специальные методы регуляризации некорректных задач, а алгоритмы, реализующие эти методы называются регуляризирующими алгоритмами.
Так как решение обратной измерительной задачи находится с помощью вычислительных алгоритмов, реализуемых на компьютерах, то возникает необходимость аппроксимации исходных интегральных уравнений (1.1), (1.2) их конечномерными аналогами, в которых искомое решение уже не элемент функционального пространства, а является вектором. В данной работе используют подход, позволяющий сохранить особенность интегральных уравнений - разностный характер их ядер, и дающий возможность построить эффективные регуляризирующие алгоритмы на основе ДПФ.
Использую квадратурную формулу прямоугольников, определим конечномерную аппроксимацию интегральных уравнении (1.1), (1.2) следующей суммой: 2 ( У- (0 =/(Ф / 0-3) где tj, тт - узлы сеток по аргументам t, г с шагом дискретизации Д,. Систему (1.3) можно записать в матричном виде: K p = f, (1.4) где p, f -вектора, составленные из значений р(тт), /((/); К -матрицаразмером NfxN p с элементами {К} .m=k(tjmjAr Забегая вперед, заметим, что шаг дискретизации А, выбирается из условия малости ошибки аппроксимации интеграла суммой (1.3) по сравнению с погрешностями задания правой части интегрального уравнения.
Из-за некорректности исходной задачи деконволюции матрица К может быть вырожденной или плохо обусловленной, а погрешности задания правой части могут привести к несовместности системы (1.4). Таким образом, могут не выполняться условия корректности по Адамару.
Для вычисления нормального псевдорешения системы (1.4) используются методы регуляризации, которые, как правило, строятся на основе вариационных подходов [3,33,37,48].
Определим статистический вариант метода регуляризации А.Н. Тихонова при следующих предположениях:
1. Система (1.4) является конечномерной аппроксимацией исходных ин тегральных уравнений (1.1), (1.2), где К - матрица размером NfxN9 плохо обусловлена или вырождена, p,f - векторы размерности N9,Nf соответственно.
2. Вместо точной правой части /, задан случайный вектор / = / + , (1.5) где rj - случайный вектор с нулевым средним M[TJ] = 0N и ковариационной матрицей Vn =M\rjrjTJ. Если проекции г\} не коррелированны и имеют одина
Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы
В этом параграфе строится устойчивый алгоритм восстановления входного сигнала (р(т) динамической системы, когда имеется априорная информация о значении или поведении функции р(т). Например а) функция (р(т) не отрицательна на заданных интервалах аргумента; б) функция (р(т) монотонно возрастает или монотонно убывает на заданных интервалах аргумента т. Учет такой «качественной» априорной информации позволяет получить регуляризиро-ванное решение адекватное априорным ограничениям на функцию.
Существуют несколько подходов к построению алгоритмов решения операторных уравнений I рода, учитывающих априорную информацию о функции (р(т). Такие алгоритмы получили названия дескриптивных регуляризирующих алгоритмов. Первый подход используется в случаях, когда ограничения на функцию (р(т) определяют в пространстве решений компактное множество, на котором (при определенных условиях) обратный оператор задачи непрерывен, а, следовательно, получаемое решение устойчиво к погрешностям задания правой части [3,38,49,50]. Такими ограничениями могут являться требования выпуклости или монотонной выпуклости функции ср{т).
К сожалению, имеющаяся на практике априорная информация не гарантирует принадлежность р(т) компактному множеству (например, условие неотрицательности р(т)). В этом случае обращаются ко второму подходу, когда регуляризированное решение определяется из условия минимума сглаживающего функционала с учетом ограничений, задаваемых системой неравенств (в общем случае нелинейных). Если система ограничений линейна и сглаживающий функционал является квадратичным, то решается задача квадратичного программирования [3,9,11,15,51,56,72,78]. Различные алгоритмы решения этой задачи [1] (метод проекции градиента, метод условного градиента и т.д.) требуют большого числа вычислительных операций, что при большой размерности дискретного аналога интегрального уравнения приводит к существенным трудностям вычислительного характера.
Поэтому в данной работе строится эффективный дескриптивный регуля-ризирующий алгоритм решения обратной задачи, особенностью которого являются:
а) учет разностного характера ядра интегрального уравнения и примене ние в качестве вычислительной основы ДПФ и алгоритма БПФ, что позволяет эффективно вычислять регуляризированные решения большой размерности.
б) учет априорной информации о значениях функции р(т) (или ее произ водной), которая задается в узлах дискретизации матричными неравенствами.
Построение регуляризированного решения на основе ДПФ можно условно представить тремя этапами: 1. Формирование периодических последовательностей по апериодиче ским. 2. Вычисление коэффициентов ДПФ по периодическим последовательностям и наоборот. 3. Вычисление апериодического регуляризированного решения по периодическому регуляризированному решению.
Для компактности изложения расчетных соотношений каждый их названных этапов представим в матричном виде. Формирование, например, вектора f, состоящего из N элементов периодической последовательности /(/), по апериодической последовательности f(j) из Nf элементов будет отображаться матричной записью fPU) = SNCf) (1.121) где N - указывает период последовательности.
Обобщенный критерий оптимальности регуляризирующего алгоритма
Вновь обратимся к системе линейных алгебраических уравнений Ktp = f (2.4) с матрицей К размером N xN , полученной в результате аппроксимации исходного интегрального уравнения. Вместо вектора точной правой части / за г дан вектор / = / + т], где случайный вектор rj = ri{tx),...,r]{tN ) имеет нулевое среднее и ковариационную матрицу Vn.
Определим решение (pT=Tf, где Т - матричный оператор размера N xNj. Точность этого решения будем характеризовать функционалом (в дальнейшем называемый среднеквадратической ошибкой (СКО)): Д(7 Рт Р+ (2.5) где р+- нормальное псевдорешение, а математическое ожидание М7[ ] берется по всему ансамблю случайных векторов г]. Требуется определить оптимальный оператор Topt, доставляющий минимум (2.5) среди всех других матричных операторов [ 6, стр. 159-162]. Для этого введем вектор невязки eT=ff (2.6) и оператор невязки E(T) = INf-KT, (2.7) где IN - единичная матрица размером NfxNf, позволяющий записать вектор невязки в виде еТ = E(T)f. В работе [6] доказано:
Утверждение 2.1.1. Необходимым и достаточным условие оптимальности оператора Т, строящего решение pT = Tf, где / = К(р + г/, является матричное тождество: Ve{T) = Vr,ET{T), (2.8) где V - ковариационная матрица вектора TJ . Заметим, что в это условие не входит априорная информация об искомом решении (матрица вторых моментов V, вектора Ш+). Соотношение (2.8) труд но использовать для априорного построения оптимального оператора Тор1, так как оно включает вектор невязки, определяемый по построенному оператору Т. Однако его можно использовать для ответа на вопрос: «Оптимален или нет построенный оператор 77». Поэтому соотношение (2.8) можно рассматривать как критерий оптимальности решающего оператора Т.
Применение изложенного выше критерия оптимальности для вычисления значения аорП минимизирующего среднеквадратическую ошибку (2.5) связано с двумя трудностями. Во-первых, оценка матрицы вторых моментов Ve (а), вычисленная по одной реализации вектора невязки еа = f - К(ра, непригодна для проверки тождества (1.8) из-за малой точности оценивания. Во-вторых, в силу параметризации оператора Т (например, T(a) = (KTV 1K + aWl/ ylKTV l) условие (2.8) становиться только достаточным. Действительно, найдется величина а, доставляющее минимум СКО, но при этом а не будет точно выполняться (2.8). Следовательно, целесообразно в качестве aopt взять такое значение ccw, при котором принимается основная статистическая гипотеза: Н,- Ve(a) = VvET(cc). (2.9) Альтернативную гипотезу определим как: Я,: Ve(a) ET(a). (2.10)
Эта гипотеза принимается, если невыполнение тождества (2.8) обусловлено не случайными ошибками, возникающими из-за оценивания Ve [а) по одной реализации, а систематическими, обусловленными не оптимальностью параметра регуляризации. Таким образом, значение aw можно рассматривать как оценку оптимального параметра регуляризации aopt.
Для проверки гипотезы (2.9) вводится статистика [12] Ptv(a) = eTa[Vr?ET(a)] lea, (2.11) где еа = /-К ра - вектор невязки, зависящий от параметра а. Существование матрицы уЕт (cm позволяет переписать pw {а) в виде pw(a) = fV;\. (2.12) Доказано [12], что гипотеза (2.9) принимается, если статистика pw(cc) подчиняется х2 - распределению с Nf степенями свободы, где Nf размерность вектора правой части СЛАУ. Следовательно, проверка гипотезы (2.9) сводиться к проверке предположения: подчиняется ли величина Рру((х) X2 распределению с m = Nf степенями свободы. Для этого строится интервал где #m(/?/2) -квантиль х2 -распределения уровня /512. Если pw(a) попадает в интервал (1.13), т.е. выполняется неравенство 3m{Pl2) pw{a) &m{\-Pl2), (2.14) то гипотеза (2.9) может быть принята с вероятностью ошибки первого рода, равной Р, и значение aw, при котором выполняется (2.14), является оценкой для а0,. Показано [12], что при достаточно малой величине дисперсии огц величина aw имеет порядок т и при уменьшении дисперсии изменяется с такой же скоростью, что и aopt.
Регуляризирующий алгоритм восстановления изображения
В этой главе строятся регуляризирующие алгоритмы восстановления входных изображений измерительных систем, описываемых двумерным интегральным уравнением Фредгольма I рода с разностным ядром, когда правая часть и ядро заданы со случайной ошибкой. Особое внимание уделяется алгоритмам выбора параметра регуляризации (как из условия минимума средне-квадратической ошибки решения, так и по заданным точностным характеристикам). Оценивается точность регуляризированных решений. Также приводятся регуляризирующие алгоритмы идентификации импульсных функций уравнения Фредгольма.
Регуляризирующий алгоритм восстановления изображений
Как отмечалось в главе 1 для большинства регистрирующих изображения систем при обычных предложениях о стационарности и линейности связь между измеряемым (исходным) изображением (p(Tvr2) И зарегистрированным изображением f{tvt2) описывается интегральным уравнением Фредгольма I рода с разностным ядром вида: \\k{txvt22)(p{TvT2)dT2dTx =f(tvt2), (3.1) где к(тх,т2) - импульсная (аппаратная) функция регистрирующей системы. В зарубежной литературе функцию к(тх,т2) часто называют функцией рассеяния точки (ФРТ).
Для задачи восстановления изображения остаются не решёнными вопросы, связанные с эффективной численной реализации регулирующего алгоритма восстановления изображения. Для одномерного уравнения-свёртки разработа ны эффективные численные алгоритмы, основанные на дискретном преобразовании Фурье и алгоритме быстрого преобразования Фурье (см. главу 1). Что касается двухмерного уравнения, то в литературе приводится только общий вид регуляризирующего алгоритма в частотной области [27,39,41]. При этом остаются без внимания алгоритмы формирования периодических последовательностей, к которым применяется двумерное ДПФ. Так же не определены условия, при выполнении которых искомое регуляризированное апериодическое изображение однозначно определяется элементами вычисляемой (с использованием БПФ) регуляризированной периодической двумерной последовательности. Решению этих вопросов и посвящен данный параграф диссертации.
Используя формулу прямоугольников, аппроксимируем интегральное уравнение (1.1) конечномерным аналогом NnNn
Шаги дискретизации А, (по первой переменной гх) и А2 (по второй переменной т2) задаются или выбираются из условия малости погрешности аппроксимации интеграла (3.1) квадратурной формулой (3.2) по сравнению с уровнем погрешности задания правой части. Таким образом, в данной постановке задача восстановления изображения заключается в вычислении значений изображения (р{тх,т2) в узлах ущ ту) двумерной прямоугольной сетки размером JV xNn, другими словами необходимо найти решение двухмерной дискретной свертки (1.2) относительно сеточной функции р(т ,т ).
Для построения регуляризированного решения на основе ДПФ примем следующие предположения: 1. Функция (р(тх,т2) ограничена и определена в узлах на прямоугольной области [яр х , ]. Тогда N = ent\{bx -ах)/A,],N = ent[(b2-a2)/A2], где ent\z\ - целая часть числа z. 2. Импульсная функция к(тх,т2) непрерывна, ограничена и определена на прямоугольной области [с,,dx]х [с2,а?2]. Тогда JV. = ent[(dx -сх)/А,], А 2 =e tf[(df2-c2)/A2]. Следует отметить, что для уравнений Фредгольма с, 0, с2 0, т.е. аппаратная функция определена для отрицательных значениях аргументов.
При предположениях 1,2 зарегистрированное изображение f{tx,t2) также является финитной функцией, обращающейся в нуль вне области [хх,ух]х[х2,у2], где х, = ах + с,, х2 = а2 + с2, = bx + dx, у2 = Ь2 + d2. Тогда NfX=ent[{yx -хх)/Ах], Nf2 =ent[(y2 - 2)/А2].
В силу инвариантности уравнения (1.1) к сдвигу по оси абсцисс (следствие стационарности динамической системы) сделаем замену переменных, аналогичную рассмотренной в пункте 1.1.2:
Тогда в новых переменных правая часть будет определена на прямоугольной области [0,ух -хх]х[0,у2 -х2], а восстанавливаемое изображение (решение уравнений (1-1)) - на прямоугольной области NCJI J - д, +с,]х[с2, Ъ2 -а2 +с2]. Такая замена переменных упростит формирование двумерных периодических последовательностей, участвующих в построении регуляризированного решения.
