Содержание к диссертации
Введение
2. Кусочно-постоянные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах 10
2.1 Постановка задачи управления по расходу топлива 10
2.2 Гашение колебаний одной частоты 12
2.2.1 Случай чисто мнимых собственных значений 12
2.2.2 Случай комплексных собственных значений. 18
2.2.3 Система вида х = Ах + BU(t) 22
2.2.4 Случай управления при возмущающих воздействиях 24
2.3 Гашение двух и более частот 25
2.3.1 Гашение колебаний двух частот 25
2.3.2 Гашение т частот «-частотной системы 27
2.4 Теоремы 28
3. Кусочно-постоянные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах в критических случаях 32
3.1 Постановка задачи управления по расходу топлива (критический случай) 32
3.2 Случай чисто мнимых собственных значений 34
3.3 Теорема для критического случая 39
4. Кусочно-полиномиальные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах 41
4.1 Постановка задачи 41
4.2 Гашение колебаний одной частоты 43
4.2.1 Случай чисто мнимых собственных значений 43
4.2.2 Случай комплексных собственных значений 50
4.2.3 Система вида д: = Ax + BU(t) 58
4.3 Гашение двух и более частот 60
4.3.1 Гашение колебаний двух частот 60
4.3.2 Гашение т частот «-частотной системы 65 4.4 Теоремы 68
5. Применение к конкретным задачам механики 72
5.1 Оптимальное гашение колебаний механической системы с одной степенью свободы 72
5.2 Оптимальное по "расходу" управление в задаче Лагранжа 75
5.3 Задача "спящего волчка". Задача вращательного движения тела в однородном поле тяжести 77
5.4 Задача о гашении быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ с маховиком 83
5.5 Оптимальное гашение малых колебаний маятника 86
5.6 Об управлении системой многих маятников 89
5.7 Задача об оптимальной стабилизации спутника 94
5.8 Гашение колебаний одноосного гироскопического стабилизатора 96
5.9 Учет упругой податливости элементов гиростабилизатора 103
5.10 Задача о двухосном гироскопическом стабилизаторе с роторами, вращающимися в одну сторону 108
5.11 Пример системы с периодическим возмущением: задача об одноосном гиростабилизаторе с колеблющимся основанием 114
5.12 Гашение колебаний, возникающих при быстром вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 119
5.13 Управление колебаниями гирогоризонта 123
5.14 Управление движением ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае 129
6. Приложение 141
6.1 Численная реализация в случае кусочно-постоянного управления 141
6.1.1 Алгоритм вычисления точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей комплексному собственному значению 141
6.2 Численная реализация в случае кусочно-полиномиального управления 144
6.2.1 Алгоритм вычисления точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей чисто мнимому собственному значению 145
6.2.2 Алгоритм вычисления точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей комплексному собственному значению 146
6.3 Программа вычисления точек переключения управления при га
шении одной частотной компоненты решения, соответствующей
комплексному собственному значению 152
6.4 Рисунки 160
Список литературы 168
- Случай чисто мнимых собственных значений
- Случай чисто мнимых собственных значений
- Случай чисто мнимых собственных значений
- Оптимальное гашение колебаний механической системы с одной степенью свободы
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Управляемые динамические колебательные системы широко распространены в различных областях техники. Эти объекты обычно описываются математически системами линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые содержат управляющие воздействия и имеют решения колебательного или вращательного характера. Решение задач оптимального управления для колебательных систем со многими степенями свободы представляют значительные трудности, которые обусловлены высоким порядком систем, осциллирующим характером решений и другими факторами. В большей части работ по этой тематике управление ищут в неявном задании (линии переключения в фазовом пространстве). Не менее актуальной задачей является разработка методов построения оптимального управления в виде явной функции времени, которым посвящена данная работа.
Предмет диссертационной работы - построение управлений -функций времени, оптимальных по "расходу" для задач механики, описываемых линейными автономными системами дифференциальных уравнений. Постановки рассматриваемых задач управления отличаются от традиционных: требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной автономной системы при функционале типа "расход топлива".
Важным источником таких постановок являются задачи управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических летательных аппаратов на орбите и задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях
j ЮС. НАЦИОНАЛЬНАЯ
3 БИБЛИОТЕКА
і С. Петербург
і яиЬгк
управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо и производящим тяги или моменты.
Дель диссертационной работы - решение задач:
-
Гашение одной или нескольких частотных компонент решения линейной автономной системы. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается "расход топлива" на классе кусочно-постоянных управлений с конечным числом импульсов.
-
Гашение одной или нескольких частотных компонент решения линейной автономной системы. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается "расход топлива" на классе кусочно-полиномиальных управлений с конечным числом импульсов.
-
Решение ряда реальных задач гашения колебаний механических систем.
Научная новизна. Реализован общий метод решения задачи оптимального гашения колебаний для линейных автономных систем, применение которого позволяет получить управление как явную функцию времени. Использование этого метода позволило получить новые результаты для ряда практических задач механики.
Общая методика исследования. В работе используются строгие методы математического анализа, численного анализа, теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, механики управляемого движения.
Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют находить точки переключения кусочно-постоянного и кусочно-полиномиального управления, оптимального по расходу топлива для широкого класса механики управляемого движения. Они применимы
для решения многих реальных задач гашения колебаний в многочастотных линейных механических системах.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на XXXIV научной конференции факультета ПМ-ПУ "Процессы управления и устойчивость" (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2003), на VIII Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, январь 2000 г.), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.
Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано 4 печатных работы [1-4].
Структура и объем работы. Работа состоит из 5 глав, 39 ігунк-тов и приложения. Библиография включает 57 наименований. Работа изложена на 140 страницах, содержит 14 рисунков.
Случай чисто мнимых собственных значений
В настоящей работе разрабатывается и применяется к практическим задачам механики метод нахождения управления как явной функции времени в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной системы с постоянными коэффициентами при функционале типа «расход топлива». Основным источником таких задач являются проблемы управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических летательных аппаратов на орбите и задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо и производящим тяги или моменты.
Итак, в качестве оптимизируемого функционала рассматривается величина: где uk являются компонентами вектора управления U. Такой функционал для механических систем обычно пропорционален с постоянным положительным коэффициентом величине расхода топлива [8-12]. Поэтому величина J называется функционалом типа «расход топлива» или просто функционалом расхода.
Оптимизация управления по расходу топлива была популярна в конце шестидесятых — начале семидесятых годов. Различные аспекты этой темы отражены в монографии М. Атанса и П. Фалба [12]. Тогда стало ясно, что различные постановки задачи оптимального управления по критерию расхода топлива оказались исключительно сложными и в теоретическом, и в практическом, и в прикладном аспектах даже для линейных систем с постоянными коэффициентами.
Поэтому постановки задач управления по такому критерию перестали быть предметом интенсивных исследований и авторы перешли, в основном, к исследованиям по оптимальному управлению в задачах с квадратичными функционалами.
Оптимизация по «расходу» естественна в тех задачах, где требуется удерживать механическую или другую систему в окрестности положения равновесия в течение длительного времени. Возмущающие факторы время от времени отклоняют эту систему недопустимо далеко от положения равновесия и требуется каждый раз гасить эти отклонения, расходуя на это топливо и/или другие ресурсы, запасы которых ограничены. Пока отклонения от положения равновесия малы, ее управляемое движение можно моделировать автономными линейными дифференциальными уравнениями с управлением.
Далее остановимся более подробно на тех результатах других авторов, которые непосредственно связаны с рассматриваемым методом, а затем кратко изложим результаты настоящей работы. В работах [5-10] предлагается метод нахождения оптимального управления в виде явной функции времени, в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решения линейной системы с по-стоянными коэффициентами. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается «расход топлива» на классе релейных кусочно-постоянных управлений с конечным числом импульсов.
Релейные импульсные управления в конкретных практических задачах могут быть единственно приемлемым дешевым вариантом управления. Кроме того, такие управления оказываются оптимальными при решении многих задач в различных других постановках [8—14].
В данной диссертации изложенный в работах [5-10] алгоритм обобщается и развивается на случай кусочно-полиномиального управления. Задачи, рассмотренные в работах [8-10] приводятся в качестве примеров как частный случай применения метода в пятой главе диссертации.
Все полученные в диссертации результаты объединяются единым подходом, используемым для их получения.
Случай чисто мнимых собственных значений
В этой главе рассматриваются механические системы с различным числом степеней свободы, которые были исследованы в случае кусочно-постоянного управления в работе [8]. Для всех этих систем ставится задача о нахождении точек переключения оптимального по расходу управления на классе разновысотных кусочно-постоянных управлений, обращающих в момент Т избранные частотные компоненты решения в нуль. Рассмотрим две системы координат с началом в центре масс С, обращающегося по круговой орбите спутника: орбитальную (JC0 ,y0,z0) с ортами i0,j0,k0, ось Cz0 направлена по продолжению радиус-вектора центра масс гс, ось Сх0 — в сторону движения центра масс в плоскости орбиты ортогонально Cz0, ось Су0 ортогональна плоскости орбиты, а также жестко связанную со спутником систему (x,y,z) главных центральных осей инерции с ортами (i,j,k) (рис.1) и моментами инерции Ix,Iy,Iz [11]. В настоящем рассмотрении ограничимся изучением колебаний спутника в плоскости его орбиты, т.е. предположим, что оси Су0 и Су совпадают. Движение спутника относительно центра масс будет иметь одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол в между осями Сх0 и Сх или, что то же самое, между осями Cz0 и Cz. Имеем вращение тела относительно поступательно движущейся и проходящей через центр масс оси CyQ. Уравнение вращательного движения относительно оси у под действием гравитационного момента принимает вид Для ф = 2в уравнение (5.3) совпадает с уравнением движения математического маятника. Колебания около положения равновесия ср = О будут незатухающими. При техническом использовании спутника часто требуется, чтобы он был ориентирован в орбитальной системе, т.е. угол в был возможно меньшим. После отделения от носителя ввиду неидеальности работы толкателей патрона отделения спутник получает существенную закрутку с угловой скоростью порядка 100о0. Затем включается так называемая система "предварительного успокоения", использующая обычно реактивные двигатели, которая переводит спутник в режим малых колебаний по углу 9. Дальнейшее гашение колебаний может выполняться с помощью реактивных микродвигателей, обладающих весьма ограниченным запасом энергии, временем работы и допустимым числом включений. Два двигателя могут создать пару сил с моментом, направленным в положительную сторону оси у, два других — соответственно момент, направленный в отрицательную сторону этой оси. Обозначим через и отношение разности величин указанных моментов к моменту инерции Iу спутника. Получаем, исходя из (5.3),
Случай чисто мнимых собственных значений
Управляемые уравнения малых колебаний идеализированной гироскопической системы (при неработающем двигателе стабилизации), расположенной на неподвижном основании, можно представить в виде [47] где IА — экваториальный момент инерции ротора гироскопа; Н — его собственный кинетический момент; а и у/ — соответственно углы поворота вокруг оси стабилизации ротора и кожуха гироскопа (последнего вместе с внешним кольцом подвеса, стабилизируемым телом и ведомым колесом редуктора) по отношению к основанию; К — жесткость, соответствующая упругому смещению а - у/ ротора гироскопа относительно кожуха; W — сумму моментов инерции внешнего кольца, стабилизируемого тела и ведомого колеса редуктора относительно оси стабилизации; 9 — приведенный к оси стабилизации угол поворота ротора двигателя (т.е. угол поворота по отношению к статору, уменьшенный в j раз, где j — передаточное число редуктора); N — жесткость редуктора, также отнесенная к оси стабилизации, и 0 — приведенный к оси стабилизации момент инерции ротора двигателя вместе с ведущим колесом редуктора(суммарный момент инерции этих тел относитель ну но оси ротора двигателя, увеличенный в) раз). Вектор управления в системе (5.91) имеет вид U(t)= {и1,и2,и3), где щ — управляющий момент относительно оси стабилизации, и2 — управляющий момент относительно оси вращения кожуха гироскопа, м3 — управляющий момент относительно оси вращения ротора двигателя. Рассмотрим теперь расположенные на одной прямой три массы: IА и 0, отклонения которых от положения равновесия обозначим соответственно через а, у/ и в (рис.10). Пусть масса IА связана с массой Ч пружиной жесткости К, а масса Ч с массой 0, в свою очередь, — пружиной жесткости N. Пусть, кроме того, масса ІА связана с некоторым неподвижным телом очень большой массы (с "инерциальным" пространством) посредством пружины, жесткость которой равна величине Ц-. Очевидно, что совокупность уравнений, описывающих колебания такой системы, состоит из тех же уравнений, что и совокупность (5.91). Отсюда следует, что лишенный трения, "обесточенный" гироскопический стабилизатор допускает механическую аналогию в виде системы трех последовательных, упруго связанных друг с другом масс ІА,4f и 0, первая из которых дополнительно связана своеобразной "гироскопической" пружиной с "инерциальным" пространством. Приведенный аналог и ему подобные позволяют применять к исследованию гироскопических явлений приемы и методы теории колебаний упругих систем с сосредоточенными массами. Пусть, например, /4«0 ХР, (5.92) как обычно и бывает у гироскопических стабилизаторов. В этом случае можно ожидать, что масса ІА не должна сколько-нибудь ощутимо влиять на величины низших частот колебаний рассматриваемой системы. Почти очевидно, что самой низкой частоте о)х соответствует синфазное движение всех трех масс (рис.11); следующей частоте CD2 синфазное движение масс ІА и Ч?, а движение массы 0 — им в противофазе [47].
Оптимальное гашение колебаний механической системы с одной степенью свободы
Для нахождения точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей чисто мнимому собственному значению, вернемся к задаче минимизации функции по Лу, /І2 и всем переменным tk, АА, 7к, Ак. Для численной реализации этой задачи найдем начальное приближение величин / , А , tk, Ак 1к, Ак с помощью теоремы 2.1 гл.2. Разобьем алгоритм численного решения этой задачи на этапы.
Этап 1. Так как в приведенной в главе 2 теореме 2.1 применяется кусочно-постоянное управление, а мы используем управление в виде кусочно полиномиальной функции, то в качестве высоты ступени hk и hk возьмем величины: Таким образом, задача нахождения начального приближения для / , Л и всех переменных Ак свелась к решению системы (6.16), состоящей из « + 2 уравнений. За начальное приближение для tk и Ак возьмем Ак = Ак, tk=tk. Этап 3. Численно решаем задачу безусловной минимизации функции (6.13) по Л,, Aj и всем переменным ґА, Ад., ГА, Ак, где за начальное приближение взяты значения, полученные на этапе 2. Алгоритм вычисления точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей комплексному собственному значению. Для нахождения точек переключения управления при гашении одной частотной компоненты решения, соответствующей комплексному собственному значению, необходимо численно решить уравнения (4.37), (4.39)-(4.42), численно найдем Bki pk,Xx X2y S ,St ,Of,0t для того, чтобы затем по формулам (4.38) получить значения точек переключения ґ , т , 7 , г, . Разобьем алгоритм численного решения на этапы. Сначала методом перебора проведем предварительный выбор промежутка, содержащего решение, после этого предварительные результаты уточним, например, методом секущих.
Этап 1. Предположим, что первой включается положительная ступень управления {Вк 0). В качестве фиксируемых параметров используются две переменные из набора Вх,В2,...,Вп, которые обозначим Вп и Вц. Границы изменения этих параметров — (0, Втах ), где Втах — значение Вк, соответствующее точке 0тах, являющейся точкой локального максимума для функции на промежутке (0,л).
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
