Содержание к диссертации
Введение
1. Общие вопросы учета и прогнозирования электропотребления на участке железной дороги. теоретические шинципы построения прогноза тягового энергопотребления на базе линейной динамической модели 15
1.1. Задачи и организационные структуры управления электропотреблением в ОАО «РЖД» 15
1.2. Общие вопросы организации энергоснабжения на участке железной дороги 19
1.3. Описание автоматизированной системы контроля и учета электроэнергии на базе счетчиков «ЕвроАльфа» 21
1.4. Постановка задачи идентификации и прогнозирования тягового энергопотребления на базе линейной динамической модели с использованием данных перевозочного процесса 27
1.5. Структуры моделей передаточных функций 34
1.5.1. Структура модели ошибки уравнения 36
1.5.2. Структура модели выходной ошибки 39
1.5.3. Структура модели при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах 40
1.6. Методы идентификации 42
Выводы по главе 1 50
2. О состоятельности оценок модифицированного метода наименьших квадратов 51
2.1. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах 51
2.2. О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах 60
2.3. О состоятельности оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах 65
Выводы по главе 2 ' 71
3. Численные методики построения оценок параметров линейных многомерных по входу разностных уравнений 72
3.1. Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах 72
3.2. Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах 77
3.3. Численный метод построения оценок параметров авторегрессии при наличии помех наблюдения в выходных сигналах 81
3.4 Тесты для численных методов нелинейного МНК 84
3.5 Тесты на базе временной модели в форме авторегрессии 84
3.6 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения в выходных сигналах 89
3.7 Тесты на базе временной модели в форме линейных разностных уравнений при помехах во входных и выходных сигналах 93
Выводы по главе 3 97
4. Применение прикладного программного обеспечения к задаче прогноза тягового энергопотребления 98
4.1. Постановка задачи прогноза тягового энергопотребления 98
4.2. Тестирование программы для идентификации модели и построения прогноза 100
4.3. Применение прикладного программного обеспечения для решения задачи оперативного прогноза тягового энергопотребления на различные промежутки времени 103
Выводы по главе 4 117
Основные результаты и выводы 118
Библиографический список использованной литературы 120
Приложение 131
- Задачи и организационные структуры управления электропотреблением в ОАО «РЖД»
- О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах
- Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах
- Постановка задачи прогноза тягового энергопотребления
Введение к работе
Актуальность работы. Математическое моделирование процессов и их исследование,, основанное на математическом описании, достаточно давно используется в технике.
Одной из сфер применения математического моделирования является анализ, планирование и прогноз все возрастающих потребностей промышленности и транспорта в услугах Топливно-энергетического комплекса (ТЭК).
Железнодорожный транспорт, выполняя технологические функции перемещения большого объёма грузов на значительные расстояния, является энергоёмкой сферой промышленного производства. Тем не менее, среди других видов транспорта по удельным расходам топливно-энергетических ресурсов (ТЭР) на единицу производимой работы, он является наиболее экономичным видом транспорта, обеспечивая подавляющие объёмы грузоперевозок и до половиньь пассажирооборота. Кроме перевозочного процесса, что является основой его деятельности, железнодорожный транспорт расходует энергоресурсы на обеспечение работы обслуживающей перевозки инфраструктуры, ремонтное производство и, частично, - на социальную сферу работников железнодорожного транспорта.
Осуществляя основные для государства объёмы перевозок, железнодорожный транспорт России, естественно, является одним из крупных и стабильных транспортных потребителей энергоресурсов, ежегодно расходуя 5-6% вырабатываемой в стране электроэнергии и до 6% дизельного топлива, или в натуральных показателях: свыше 40 млрд. кВтч электроэнергии, 3 млн. т дизельного топлива, 4,5 млн. т угля, до 1 млн. т мазута, почти 1 млн. м сжатого газа и 170 тыс. тонн бензина. Кроме того, до 20 млрд. кВтч электроэнергии дополнительно перерабатывается системами электроснабжения железных дорог для собственного потребления, транзита и снабжения сторонних (не железнодорожных) потребителей [77].
Затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов составляют в целом, по сети. 11,2% от общесетевых эксплуатационных расходов (около 60,0 млрд. руб.) по данным за 2003г. и 12% (более. 72,0 млрд. руб.) по итогам 2004 г., из них непосредственно на тягу поездов расходуется- 72,2% и 27,8% на не тяговые нужды.
Превалирующим: энергоносителем; для тяги. И эксплуатационных нужд в энергобалансе отрасли является; электроэнергия (более 50%), дизельное топливо: составляет - 18%, уголь.и.мазут - 20%, (соответственно1- 14,6% ш 5,3%); Ориентация железнодорожного транспорта1 в основном на электропотребление совпадает с общей направленностью энергетики страны.
Анализ;: основных направлений; развития: ТЭК, продиктованных «Энергетической стратегией России на период до 2020 года», с позиции прогноза обеспечения перспективных потребностей железнодорожного транспорта энергетическими; ресурсами/ показывает, что наиболее устойчивым энергоносителем; как. по; объёмам, так и по: динамике.. роста выработки в стране на ближайшую и отдалённую перспективы является электрическая энергия: [60]:
В связи с реформированием электроэнергетики, страны во взаимоотношениях ОАО «РЖД» с ТЭК возникло много технических, финансовых, правовых вопросов,, ранее не имеющих места. Это- выход на оптовый рынок, тарифы за электроэнергию, ценообразование за транзит электроэнергии, за протекание по тяговым сетям; уравнительных токов энергосистем; прием энергосистемами рекуперативной энергии, обеспечение энергобезопасности перевозочного процесса и др. Они требуют детальной проработки и подготовки соответствующих взаимосогласованных нормативных актов [56].
Вместе с тем, ежегодные финансовые затраты на приобретение топливно-энергетических ресурсов по всем составляющим имеют положительную динамику, что свидетельствует об опережающих темпах роста цен на энергоносители в стране над темпом снижения их потребления железнодорожным транспортом.
Ответом на сложившуюся ситуацию стало принятие на основании распоряжения от 01.10.2004 г. ОАО «РЖД» такого документа как «Энергетическая стратегия на период до 2010 года и на перспективу до 2020 года» (далее Энергетическая стратегия) и Программы по ее реализации [96].
Целями Энергетической стратегии железнодорожного транспорта на ближайшую и отдалённую перспективу являются:
• полное и надежное энергообеспечение перевозочного процесса железных дорог в объёмах, определяемых развитием экономики России и её внешнеэкономическими связями, как по мощностным параметрам, так и по энергоносителям;
• гармоничное и эффективное врастание отрасли в цивилизованный энергетический-рынок страны при не дискриминационных экономических взаимоотношениях между его субъектами и государством в условиях реформирования, как железнодорожного транспорта, так и энергетики России;
• коренное улучшение структуры управления энергетическим комплексом отрасли на основе современных автоматизированных информатизационных технологий, систем учета и мониторинга расходования энергоресурсов,
• взаимовыгодных систем взаимодействия производителей и потребителей энергоресурсов отрасли;
• снижение энергоёмкости перевозочного процесса, и удельных затрат на энергопотребление во- всех сферах деятельности железнодорожного транспорта (тяга, инфрастуктура, эксплуатация, ремонт, производство, социальная сфера);
• снижение потребности в энергоносителях и затрат на их приобретение;
• минимизация техногенного воздействия железнодорожной энергетики на окружающую среду. В связи со значительными финансовыми затратами, расходуемыми на приобретение энергоресурсов, становится актуальной задача разработки системы управления энергетическими ресурсами. Первоочередным этапом сознания данной системы является разработка систем и процедур планирования, приобретения и мониторинга потребления энергоресурсов [69,70].
Реализация вышеперечисленных задач в ОАО «РЖД» возложена на организационную структуру - сеть дорожных центров планирования и контроля потребления электроэнергии (ЦИК). В качестве технологических средств-работы ЦПК предполагается использовать единую корпоративную автоматизированную систему управления покупкой и потреблением электроэнергии (АСУ ППЭ), в структуру которой интегрированы: система планирования потребления электроэнергии на оптовом и региональном рынке электроэнергии (ОРЭМ) и система управления потреблением электроэнергии. Однако отсутствие в. технологии АСУ ППЭ методов идентификации эксплуатационных факторов, дестабилизирующих характер фактического и планового электропотребления, может приводить к существенным финансовым потерям компании [69,70].
В условиях покупки электроэнергии на ОРЭМ эффективность работы ЦПК будет определяться как точностью прогнозирования предстоящих процессов электропотребления, так и качеством технологии управления фактическим электропотреблением по отношению к запланированному.
Таким образом, становится актуальным решение научно-технических проблем повышения качества прогнозирования и управления тяговым электропотреблением на иерархически структурированных подразделениях сети железных дорог посредством совершенствования структуры известных информационно-управляющих систем и разработки методов прогнозирования и управления с их расширенными функциональными возможностями. Решение задачи управления и прогнозирования самым существенным образом зависит от выбора модели, которая используется для представления исследуемой системы. Одним из средств описания систем различного вида является их входо-выходная модель. При этом к числу наиболее важных задач, относящихся к исследованию таки моделей, принадлежит построение явной зависимости между входом и выходом системы. Эта зависимость должна обеспечить адекватное приближение рассматриваемого класса систем каким-либо эффективным, с точки зрения практического применения, методом. Другими словами, в данном случае важную роль играет задача идентификации систем, являясь необходимым предварительным шагом в условиях, когда в той или иной степени модель объекта неизвестна. Традиционно задачи идентификации классифицируются как структурная идентификация, непараметрическая идентификация и параметрическая идентификация. Такая классификация обуславливается используемым объемом знаний о модели исследуемой системы, который может варьироваться в пределах определяемых отсутствием информации о структуре модели в целом и неопределенностью значений ее параметров [7 8].
Часто практическим ограничением в задачах идентификации является неизвестность модели ненаблюдаемых внешних возмущений, в то время как использование оптимальных алгоритмов обусловливает знание такой модели. При этом в одних приложениях может требоваться определение модели возмущений, а в других требуется только идентификация параметров системы. В последнем случае применение оптимальных алгоритмов не представляется необходимым и достаточно использовать алгоритмы, не требующие знания или определения модели внешних возмущений, однако и тогда для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (по свойствам получаемых оценок). Многообразие этих методов описано в трудах и работах таких ученых как Каминкас В.А., Немура А.А., Льюнг Л., Эйкхофф П., Райбман Н.С., Цыпкин ЯЗ. и других [33,65,82,92,95]. В работах А.Н. Митрофанова показано, что модель тягового1 энергопотребления может быть охарактеризована как динамическая, многофакторная система, математическое описание которой может быть произведено либо в пространстве состояний, либо в пространстве входных-выходных сигналов в операторной форме [69,70]. В этих же работах обосновывается, что эту модель можно представить в форме линейной динамической системы определенного порядка, описываемой линейным разностным уравнением. Казалось бы, определение параметров такой системы не представляет особого труда, но в реальности мы наталкиваемся на такую трудно преодолимую преграду как наличие аддитивных помех измерений во входных и выходных переменных, вызванных несовершенством применяемых технологий и средств контроля и измерения. Определение состоятельных оценок параметров в таких случаях представляет собой трудноразрешимую, а порой и вовсе не решаемую задачу, так как применение общеизвестных методов либо не возможно, либо существенно затруднено.
Анализ предыдущих работ показал, что для решения подобной задачи может быть использован модифицированный метод наименьших квадратов. Этот метод описан в работах Гущина А.В., Тренькина В.М. Однако сфера исследований данных авторов ограничивалась лишь одномерными моделями, в то время как модель тягового энергопотребления представляет собой многомерную по входу систему.
В соответствии со сказанным, интересной представляется построение модели тягового энергопотребления с применением методов и алгоритмов идентификации параметров многомерных линейных динамических объектов при априорной неопределенности (отсутствии информации о- законах распределения помех измерения), которые позволили бы получать состоятельные оценки предлагаемой модели. Таким образом, диссертационная работа, направленная на разработку модели тягового энергопотребления и ее применение к решению такой задачи как прогноз энергопотребления на участке железной дороги, представляется интересной, перспективной и отвечающей современным направлениям развития техники и технологий.
Целью диссертационной работы является повышение точности оперативного прогноза тягового энергопотребления участка железной дороги на основе моделирования процесса энергопотребления с учетом эксплуатационных параметров перевозочного процесса.
Основными задачами исследований являются:
- анализ процесса тягового энергопотребления участка железной дороги как объекта моделирования;
- анализ существующих методов идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности;
- разработка алгоритма идентификации параметров многомерных по входу линейных динамических объектов, основанного-на использовании критерия в виде отношения двух квадратичных форм, оценивающего размер ошибки предсказания;
- создание на основе предложенного критерия и алгоритма программного обеспечения (ПО), его использование для построения модели тягового энергопотребления участка железной дороги и осуществление на базе этой модели прогноза энергопотребления.
Методы исследования. В данной диссертационной работе были использованы такие инструменты как:
- методы системного анализа;
- элементы математической статистики, теории идентификации, теории матриц, линейной алгебры;
-прикладное программирование;
- математическое моделирование. Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований экспериментальным тестам и расчетам математического моделирования.
Научная новизна предлагаемой диссертационной работы заключается в реализации модели тягового энергопотребления участка железной дороги с учетом данных перевозочного процесса с использованием алгоритма идентификации параметров реализуемой модели на основании критерия, обобщающего классический метод наименьших квадратов для многомерных по входу динамических систем в условиях априорной неопределенности.
Научная новизна результатов работы заключается в следующем:
1. Для. определения параметров модели тягового энергопотребления в форме линейных разностных уравнений в условиях априорной неопределенности разработан критерий, обобщающий классический метод, наименьших квадратов для многомерных по входу динамических системой выраженный-в форме отношения двух квадратичных форм.
2. Для построения модели тягового энергопотребления разработана методика определения оценок параметров на основе минимизации предложенного критерия с учетом отношений дисперсий воздействующих помех.
3. Реализован алгоритм прогнозирования процесса тягового энергопотребления участка с использованием данных перевозочного процесса: массы поездов и времени их проследования по участку.
Практическая значимость.
Построена модель тягового энергопотребления участка железной дороги с использованием разработанного программного- обеспечения, реализующего предложенный алгоритм параметрической идентификации многомерных по входу линейных динамических объектов на основе введенного модифицированного метода наименьших квадратов. Модель применена к решению задачи прогноза тягового энергопотребления. Реализация и внедрение результатов. Разработанное программное обеспечение использовано в деятельности ЦПК «Энергосбыт» (ЦПК — центр планирования и контроля) Куйбышевской железной дороги в следующем виде:
- методик и рекомендаций для расчета моделей распределения энергопотребления, получаемых на основе анализа данных перевозочного процесса;
— программного обеспечения для идентификации моделей распределения энергопотребления во времени, реализующего разработанные в диссертационной работе алгоритмы параметрической идентификации.
Основные результаты и научные положения, выносимые на защиту:
1. Модель тягового энергопотребления участка железной дороги в виде многомерной по входу линейной динамической системы с помехами измерений» во входных и выходных переменных, использующая параметры перевозочного процесса: массу поездов и время их проследования по участку.
2. Критерий модифицированного МНК, позволяющий оценивать параметры предложенной модели без знания законов распределения воздействующих помех.
3. Алгоритм идентификации параметров линейных многомерных по входу динамических систем на основе многократного решения систем линейных алгебраических уравнений, позволяющий определять состоятельные оценки параметров лишь при априорном знании отношений дисперсий помех во входных и выходном сигналах.
4. Методика и алгоритм прогнозирования процесса энергопотребления позволяющие повысить точность получаемого оперативного прогноза за счет использования эксплуатационных данных перевозочного процесса.
Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Пущино, январь 2005 г.); 2) XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Казань, май - июнь 2005г.); 3) 5-я Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления SICPRO 06» (г. Москва, январь 2006 г.); 4) XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Воронеж, май - июнь 2006г.); 5) 3-й Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, июнь 2006 г.).
Публикации по работе. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ (в том числе и работа в издании, рекомендованном ВАК), получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов, библиографического списка использованной литературы и приложений. Объем работы: 132 страница основного машинописного текста, 30 рисунков, 9 таблиц. Библиографический список использованной литературы содержит 102 источника.
Задачи и организационные структуры управления электропотреблением в ОАО «РЖД»
В «Программе реализации Энергетической стратегии ОАО «РЖД» на период до 2010 г.» (Программа) определены ориентиры и контрольные параметры энергосбережения на период до 2010 года. Для сети дорог ОАО
«РЖД» планируется снижение удельных расходов: энергии в=тяге поездов за данный: период на 2,1% - 2,3%. При уровне электропотребления; расходуемой на тягу поездов 2005 года, составляющим свыше 36 млрд. кВтч в год, выполнение: данных нормативных показателей, позволит сократить расход электроэнергии на-тягу до 760 - 832 млн. кВтч за,период..Экономия денежных, средств; на.покупку электроэнергии при тарифных ставках 2006 годаприэтом может составить свыше:200млн: рублей в год.[69 70]і
Задача: оптимизации электропотребления - поддержания расходов электроэнергиина технологически обоснованном уровне,задача сокращения финансовых затрат на покупку электроэнергии? всегда находилась в центре внимания отраслевой швузовскойшауки. Значительный вклад в решение этой г проблемы внесли- ученые и специалисты ВНИИЖТ, ВНИИАЄ, МЕУНЄ, ОмЕУШ, ЖУИЄ, РЕУПЄ, РШТУШС, ЄамЕУИС, УрГУИО, ИрРУПО и ряда. других организаций.
Однако несмотря ; значительный объем; проведенных исследований; ю настоящему временш методология, теоретическое наполнение и? информационное- технологическое сопровождение процедуры оценки потребностей? подразделений ОАО" «РЖД» в объемах электроэнергии;;:. расходуемой на тягу поездов, реализуется- по несогласованным методикам, отражающим функционально - целевое назначения соответствующего подразделения ОАО «РЖД».
Законодательная:база и реформа энергетики,России вынуждает ОАО «РЖД» переходить.на.технологию покупки электроэнергии в соответствии с правилами оптового рынка электроэнергии и. мощности (ОРЭМ); Эти особенности: определили активную реализацию . в ОАО «РЖД» инвестиционного проекта: по внедрению: на предприятиях ОАО: «РЖД» автоматизированной системы коммерческого учета электроэнергии и мощности (АСКУЭ), как базовой составной части автоматизированной системы учета энергоресурсов.
В качестве первоочередной задачи реализуется задача создания АСКУЭ электротяги. Одновременно создаются системы АСКУЭ крупных железнодорожных узлов и энергоемких предприятий, АСКУЭ, учитывающей транзит электроэнергии [69,70].
На корпоративном» уровне весь комплекс объединяет Единая- система управления топливно-энергетическими ресурсами ОАО «РЖД» (ЕК АСУ Энерго). Она обеспечит контроль эффективности работы систем нижнего уровня, стратегическое планирование и связь с бюджетированием по всем топливно-энергетическим ресурсам компании.
Управление энергоресурсами, расходуемыми на тягу предполагается решать посредством подсистемы АСУ ЭТП. Реализация функции сокращения финансовых затрат на покупку электроэнергии предполагается решать, посредством автоматизированной системы управления покупкой и потреблением электроэнергией АСУ ППЭ.
Иерархическая структура построешшАСУ ЭТП1 и АСУ ППЭ позволяет осуществлять сбор информационно-аналитических данных с линейных структур ОАО «РЖД», консолидировать их на дорожном уровне и передавать на сетевой уровень с целью принятия оптимальных управленческих решений по приобретению, распределению и расходованию электроэнергии.
Одно из ключевых условий функционирования данных систем состоит в организации в рамках данных структур подсистем планирования и прогнозирования электропотребления на предстоящие периоды. На основании плановых показателей электропотребления ОАО «РЖД» заключает договоры с энергоснабжающими организациями на поставку электроэнергии на предстоящие периоды.
К недостаткам структуры АСУ ППЭ следует отнести однопараметрическое оценивание и прогнозирование предстоящих расходов электроэнергии (только по «историческим» данным электропотребления) [70]. В! структуре не: предусмотрены функции повышения эффективности планирования и увеличения; точности прогнозирования посредством использования - данных об электропотреблении с линейных предприятий и филиалов ОАО «РЖД», интегрируемых в АЄУ ЭТИ; - информационных баз, содержащих., информацию об объемах перевозок, о характеристиках перевозочного процессами т.д.
О состоятельности оценок параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах
В первой главе было установлено, что в рассматриваемой модели помехи измерений воздействуют как на входные, так и на выходные сигналы. А потому необходимо рассмотреть применение модифицированного метода наименьших квадратов на случай присутствия помех во входных и выходных каналах [36,38,41,44].
Рассмотрим стационарную линейную динамическую систему,-которая описывается следующим стохастическим уравнением; заданного порядка с дискретным временем
Все структуры моделей ошибки уравнения соответствуют тому случаю, когда в знаменателях передаточных функций G и Я имеется общий множитель в виде многочлена B{q). Может показаться более естественной независимая параметризация этих передаточных функций.
Если предположить, что связь между входными и не зашумленным выходным сигналами представляется в форме линейного разностного уравнения и что помехи не что иное, как белый шум измерений то можно получить следующее описание:
Естественным путем развития модели выходной ошибки (1.17) является усложнение модели ошибки на выходе системы. Если описать ошибку на выходе с помощью ARMA-модели, то окажется, что:
В каком-то смысле это наиболее естественная конечномерная параметризация, отправляющаяся от описания (1.10): передаточные функции G и Я параметризуются независимо как рациональные функции. Поскольку данное множество моделей было предложено и изучено в книге Бокса и Дженкинса [8] такая модель получила название BJ-модели.
Рассмотрим стационарную линейную динамическую систему при наличии аддитивных помех во входных и выходных переменных, описываемую уравнением (1.3). Напомним, что именно такая система отвечает поставленной задаче построения модели тягового энергопотребления на участке железной дороги на основе параметров перевозочного процесса.
Напомним, что система многомерна по входу и входной вектор Как видно из рисунка 1.11. на систему воздействуют следующие типы помех: вектор входных помех . = [ и выходная помеха %и. В зависимости от того, какие помехи действуют в системе, возникают следующие типы задач: Задача 1. = 0, _, (). Система принимает вид структуры модели выходной ошибки: Оценивание параметров [b m),alm)) происходит по наблюдениям сигналов w, я у,. Очевидно, что для построения модели тягового энергопотребления предстоит решать именно вторую, наиболее сложную задачу.
Общие требования к методам идентификации заключаются в том, что определяемые оценки параметров модели должны удовлетворять таким определенным свойствам: состоятельность, несмещенность, эффективность. Методы оценивания параметров согласуются с этими требованиями, если они [1]: 1) формализуемы в достаточно общем виде; 2) легко реализуемы и обеспечивают приемлемую скорость сходимости; 3) приводят к оптимальным оценкам.
В данном разделе будут рассмотрены методы параметрического оценивания. Рассмотрим основные принципы формирования этих методов.
Пусть выбрана определенная структура модели М, описываемая уравнением (1.1) с конкретными моделями М(в), определяемыми вектором параметров в є Du с Rd, где DM - множество значений вектора параметров в рамках модельной структуры М. Каждая модель представляет способ предсказания будущих значений выходной переменной.
Модель М(6) может также учитывать предположения о характере соответствующих ошибок предсказания, как, например, их дисперсия т2 или их распределение вероятностей fe(0). Рассматриваемая ситуация состоит также в том, что мы имеем или будем иметь группу данных системы
Рассмотрим задачу определения критерия, с помощью которого можно было бы оценивать возможность различных моделей «описывать» данные наблюдения. Выше подчеркивалось, что сущность модели заключается в ее способности предсказания, и судить о ее характеристиках следует также в этом отношении. Тогда пусть ошибка предсказания для определенной модели M(0t) задается равенством [65]: е{і,в.) = у,-Кі\Є.)- (1.21) Если набор данных ZN будет известен, эти ошибки можно вычислить для / = 1,2,..../ . Таким образом, основной принцип параметрического оценивания следующий: - на основе Z можно вычислить ошибку предсказания е, используя (1.21). - в момент времени i = N выбираем такие 3N, чтобы ошибки предсказания e(i,N) были по возможности малы.
Численный метод оценивания параметров линейных разностных уравнений при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах
В данной главе разрабатываются и описываются численные методики определения состоятельных оценок параметров на основании критерия, описываемого во второй главе для рассматриваемых выше моделей.
Приводятся также результаты тестирования получаемых с помощью предлагаемых численных методик оценок параметров, путем задания различных объемов выборки N и различных отношений дисперсий помех во входных и выходных сигналах моделей. Аналогичное тестирование проводиться также для оценок, получаемых классическим МНК. Тестирование доказывает, что оценки, получаемые с помощью модифицированного МНК являются сильносостоятельными.
Пусть имеет место стационарная линейная динамическая система, которая описывается следующим стохастическим уравнением заданного порядка с дискретным временем / = ...,-1,0,1,... [35,36,37,38,39,41,44],
В данной главе разрабатываются и описываются численные методики определения состоятельных оценок параметров на основании критерия, описываемого во второй главе для рассматриваемых выше моделей.
Приводятся также результаты тестирования получаемых с помощью предлагаемых численных методик оценок параметров, путем задания различных объемов выборки N и различных отношений дисперсий помех во входных и выходных сигналах моделей. Аналогичное тестирование проводиться также для оценок, получаемых классическим МНК. Тестирование доказывает, что оценки, получаемые с помощью модифицированного МНК являются сильносостоятельными.
Пусть имеет место стационарная линейная динамическая система, которая описывается следующим стохастическим уравнением заданного порядка с дискретным временем / = ...,-1,0,1,... [35,36,37,38,39,41,44], Отсюда вытекает справедливость утверждений 1, 2 и достаточность 3. Необходимость 3 вытекает из экстремальных свойств регулярного пучка форм [2]. і —. »а0п.н.
Утверждение 3.1. [18,38,40]. Пусть выполняются все условия утверждения 2.1, тогда с вероятностью 1 при N - со существует корень 0(N)e[o,lmm(N)] и единственная оценка (3.4), которая является одновременно решением задачи (3.2) и b(N)—N_yx b0 п. н.; a(N)-
Доказательство утверждения 3.1 следует из утверждения 2.1 и леммы
На основании утверждения 3.1 предлагается численный метод, который позволяет: ответить на вопрос существует ли единственная оценка b(N), a(N); определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного процесса к единственной оценке b(N), a(N); вычислить с любой наперед заданной точностью оценку b(N), a(N). Утверждение 3.2. [18,38,40]. Пусть последовательность }# (/)} определяется следующим алгоритмом: ШагО. 0 (о)=О; Шагі. Шаг 2. Вычислить b[N,e (i)), a[N,9 (i)) из системы линейных уравнений (3.4); Тогда если уравнениеVN[e (i))= Оимеет корень 0l(N)e[O,Xmm(N)), то последовательность ё {о),3 (\),...в(о)- конечна и e(o)e[l(N),Amn(N)) , в противном случае последовательность бесконечна. Доказательство утверждения 3.2 непосредственно следует из леммы 3.1. Этот алгоритм позволяет определить начальное приближение 9(о), необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона или определить, что корень 9[{N) не существует. Утверждение 3.3. [18,38,40]. Пусть существуют e(o)e[l(N),Zmm(N)), тогда Ит0(/) = 0;(ЛО, limb(i,e(i))=b(N), \ima(i,e(i))=a(N), где 3{і), ь[і,в(і)) и а(/,#(/)) определяется совместно со следующим алгоритмом:
Лемма 3.2. [38]. Для функции VN{9) связанной с задачей (3.7) справедливо следующее утверждение: 1) все корни уравнения VN(6) = 0 неотрицательны. 2) уравнение (ЗЛО) на полусегменте [0,lmm(iV)) имеет не более одного корня, где /tmin(7V)- минимальное собственное число регулярного пучка форм, то есть наименьший корень уравнения: fe\\fiAY -(AYAX\A\AX\[ATYAY)-61\} = 0. 3) существование корня 6(N) на полусегменте [o,Amm(iV)) является необходимым и достаточным условием существования единственного решения (3.7). Доказательство леммы 3.2 аналогично доказательству леммы 3.1.
Утверждение 3.4. [38]. Пусть выполняются все условия утверждения 2.2, тогда с вероятностью 1 при N- оосуществует корень в{ії)є[0,Лтт(ії)] и единственная оценка (3.9), которая является одновременно решением задачи (3.7) и b(N) N b0 п. н.; a(N) N а0п.н.
Доказательство утверждения 3.4 следует из утверждения 2.2 и леммы 3.2. На основании утверждения 3.4 предлагается численный метод, который позволяет: ответить на вопрос существует ли единственная оценка b(N), a(N); определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного процесса к единственной оценке b(N), a(N); вычислить с любой наперед заданной точностью оценку b(N), a(N); Утверждение 3.5. [38]. Пусть последовательность ]# (/)} определяется следующим алгоритмом:
Постановка задачи прогноза тягового энергопотребления
Как уже было сказано в 1 главе; процесс энергопотребления;на железнодорожном транспорте можно рассматривать как; некоторую математическую модель, входными переменными которой являются; параметры? перевозочного процесса, а выходными - значения потраченной; на.этот процесс электроэнергии: Возникает задача; прогноза; этой модели, а именно значений энергопотребления на участке. В? своих работах [69,70] А.Н; Митрофанов определяет, что модель энергопотребления может быть охарактеризована; как динамическая, многофакторная управляемая система, математическое описание которой может быть произведено в; пространстве входных-выходных сигналов; в. операторной форме.. Предлагается выбрать эту модель в форме линейной динамической стационарной системы определенного порядка при наличии помех наблюдений (измерений) во входных и выходных переменных.
Для определения параметров рассматриваемой модели тягового энергопотребления на участке железной дороги предлагается оригинальный метод параметрической идентификации основанный на обобщении классического метода наименьших квадратов. В качестве критерия оценивания параметров предложен критерий, представляющий собой дробно-рациональную функцию, в которую входят как экспериментальные данные, так и неизвестные параметры. На основании указанного критерия можно получать состоятельные оценки параметров разностных уравнений.
После построения модели тягового энергопотребления участка железной дороги становиться возможным на ее основе осуществить прогноз. Обобщая вышесказанное можно определить следующую постановку задачи: необходимо идентифицировать модель тягового энергопотребления и получить на ее основе прогноз, т.е. определить необходимый расход электроэнергии1 с заданной вероятностью на предстоящий интервал времени на основе данных перевозочного процесса.
При этом решаются следующие задачи: 1. Выбор структуры модели тягового энергопотребления участка железной дороги. 2. Выбор и обоснование или разработка критериев и алгоритмов для параметрической идентификации динамической модели тягового энергопотребления. 3. Разработка и применение необходимого программного обеспечения для построения указанной модели. 4. Определение объемов энергопотребления на предстоящие заданные интервалы времени с использованием построенной модели. 5. Определение точности получаемых прогнозов электропотребления на указанные интервалы времени. Решение поставленных задач позволяет анализировать изменение энергопотребления во времени, а также получить прогноз энергопотребления на основе данных перевозочного процесса.
Подпрограмма предназначена для построения оптимального типа модели и осуществлению на основе этой модели прогноза. Расчеты тестов, численные и графические результаты получены системой Mathcad версии 11.0а. Тесты проводились при разных дисперсиях помех в определенный момент времени. Исходные данные тестов получены функцией генерации случайных величин с равномерным распределением на заданном интервале. Порядок и содержание проведенных тестов заключались в следующем: 1) генерация значений имитируемых измерений N={500}; 2) расчет «истинного» сигнала z, с параметрами bS\bi2\a ,a ,af 2\aS-2\a ДЛЯ выборкиN; 3) генерация шумов на входах ((1)(0_ помеха 1-го входного сигнала со средней дисперсией a2(i), (2)(0" помеха 2-го входного сигнала со средней дисперсией 72(2),) и на выходе ((/)- помеха наблюдения в выходном-сигнале со средней дисперсией а\ ) для получения- «наблюдаемого» сигнала. Отно шение дисперсий ст2(1),о\2(2),о 2 может изменяется в зависимости от у {а] =— —, ст2(1) =о\2(2), параметр у в ходе тестов дискретно принимает значения 0.5, 1, 2, 4, 10); 4) расчет модифицированным МНК оценок параметров временной мо дели, и вычисления по этим оценкам выходного сигнала z, по (3.12) при за данных условиях помех и выборке N, где у дискретно изменяется в указан ном диапазоне;
