Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные принципы виброзащиты высокоточного оборудования от внешних вибрационных воздействий 10
1.1. Проблема техногенной вибрации 10
1.2. Принципы проектирования систем кинематической виброзащиты 18
1.3. Обзор методов расчёта виброзащитных систем 26
1.4. Виброзащита технических объектов виброизоляторами квазинулевой жесткости 34
1.6. Выводы по главе 42
Глава 2. Методы расчёта параметров виброизолятора квазинулевой жесткости при статическом нагружении 45
2.1. Конструкция виброизолятора квазинулевой жесткости 45
2.2. Статический расчёт корректора жёсткости 47
2.3. Аппроксимация жесткостной характеристики виброизолятора 82
2.4. Выводы по главе 85
Глава 3. Методы расчёта параметров виброизолируемого оборудования при динамических воздействиях 86
3.1. Свободные колебания виброизолированной массы на ВСКЖ 86
3.1.1. Аппроксимация упругой кривой кубическим полиномом 87
3.1.2. Аппроксимация упругой кривой полиномами высокой степени. 93
3.1.3. Гистерезисное трение в ВСКЖ 96
3.1.4. Вязкое трение в ВСКЖ 103
3.2. Вынужденные колебания 107
3.2.1. Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии 108
3.2.2. Вынужденные колебания при случайном внешнем воздействии 115
3.3. Практическая оценка эффективности виброзащиты 121
3.4. Выводы по главе 124
Глава 4. Экспериментальные исследования 126
4.1. Сравнение результатов расчётов с точным аналитическим решением. 126
4.2. Определение упругой кривой закритически сжатого стержня переменного поперечного сечения. 131
4.2.1. Сравнение результатов расчётов с численным моделированием в ПК MSC Nastran 131
4.2.2. Сравнение результатов расчётов с данными эксперимента 134
4.3. Определение функции 0(А) для материала стали 65Г 138
4.3.1. Построение функций (А) 138
4.3.2. Построение функции 0(А) для материала — стали 65Г 141
4.4. Выводы по главе 142
Основные результаты работы и выводы 143
Список литературы 145
- Обзор методов расчёта виброзащитных систем
- Виброзащита технических объектов виброизоляторами квазинулевой жесткости
- Аппроксимация жесткостной характеристики виброизолятора
- Вынужденные колебания при случайном внешнем воздействии
Обзор методов расчёта виброзащитных систем
Характер внешнего воздействия носит нестационарный случайный характер, на спектрограмме рис. 1.3 б отчетливо видны моменты прохождения по улице трамваев, а также тяжелогруженного транспорта, наибольший уровень вибрации достигается также в области низких частот – 3 – 25 Гц. Кроме того на уровень вибрации грунта площадки застройки оказывает сильное влияние пешеходная активность в здании, а также импульсные воздействия от открывания / закрывания дверей. Для таких площадок данные, представленные в таблице 1 могут оказаться некорректными в связи с неопределённостью характеристик и состава грунтов основания, а также наличия специфических источников вибрации.
При подборе виброизоляции необходимо стремиться к тому [35], чтобы, в частности, амплитуды колебаний виброизолированной установки не превышали допускаемых значений, устанавливаемых технологами и заводами изготовителями машин, что обеспечивало бы нормальную работу виброизолированного агрегата.
Сейчас на многих предприятиях машино- и станкостроительного комплекса происходит переоснащение на новое высокоточное оборудование отечественного и зарубежного производства. Так, современные фрезеровальные станки и многокоординатные центры имеют точность позиционирования режущего инструмента 0,03 мкм и менее, при этом скорость вращения заготовки может достигать 20000 об/мин и более. На предприятиях станкостроительного комплекса существуют также метрологические лаборатории, оснащённые высокоточными профилогра-фами, интерферометрами, измерителями шероховатости для контроля качества обработки деталей.
По результатам как натурных замеров, так и обработки научно – технической документации на станки можно выделить ориентировочные допускаемые максимальные амплитуды вибрации основания станка. Они составляют от 0,1 до 0,45 мм/с в диапазоне частот 1 – 100 Гц в зависимости от его точности.
Спектр используемого оборудования различными НИИ и лабораториями достаточно широк. Сюда следует отнести и различные виды сканирующих и атомных электронных микроскопов, литографические стенды, повторители, интерферометры, профилографы и т.д. Точность современных электронных микроскопов достигает долей нанометра, интерферометров и профилографоф составляет порядка нескольких нанометров в зависимости от модификации. Технологии измерения шероховатости поверхности, основанные на высокоточном позиционировании зонда – такие как сканирующая туннельная микроскопия и атомно – силовая микроскопия произвели коренное изменение в изучении поверхностей объектов, размером в несколько нанометров. Для обеспечения стабильного положения исследуемой поверхности и достижения высокой разрешающей способности оборудования такие эксперименты проводятся в условиях ультра высокого вакуума, при котором давление в исследуемой камере варьируется от 10-7 Па до 10-9 Па [111]. Более того, такие установки должны быть изолированы от внешних колебаний основания и хорошо демпфированы [55, 56]. Например, для получения высокого разрешения, сканирующий туннельный микроскоп должен быть оборудован системой виброзащиты, которая способна снижать внешние колебания для получения высокой стабильности туннельного перехода [111]. Внешнее воздействие, к которому в первую очередь относится техногенная вибрация, сильно ограничивает нормальную эксплуатацию оборудования такого типа.
В работе [113] рассматривается вопросы виброзащиты высокоточного оптического оборудования. Так, разрешающая способность и точность оптических систем с множественными компонентами (например, оптикаторов), которые должны быть установлены с высокой точностью, напрямую зависит от уровня вибрации основания. Поскольку видимый свет имеет длину волны 0,5 мкм, эксперименты, на основе интерферометрии (включая голографию), невозможно производить при наличие вибрации основания установки даже субмикронного уровня. Применение лазеров включает в себя фокусировку светового луча на мишени, радиусом в несколько микрон. Т.к. необходимо обеспечить неподвижное положение этой мишени, вибрации в микронном диапазоне могут погубить весь эксперимент. Также следует учитывать, что во время проведения экспериментов, некото 16 рые установки сами являются источниками колебаний (например, вакуумные насосы в электронных микроскопах [108]), поэтому их тоже необходимо изолировать от остальных приборов.
Ещё одним направлением, требовательным к вибрации основания являются испытательные стенды для высокоточной аппаратуры. На работу космических телескопов, аппаратов геопозиционирования, а также спутников-шпионов сильно влияет наличие даже микронной вибрации на борту. Так, если радиотелескоп занимается изучением сверх далёкой звезды, то вибрация на борту, вызванная работой систем наведения антенн или солнечных батарей может привести к огромным погрешностям в измерении расстояний высокоточного дальномера. Для этих целей разрабатываются стенды, которые в условиях земной атмосферы, в вакуумных и заглушенных камерах позволяют симулировать орбитальную эксплуатацию спутников. К ним относятся стенды, разработанные компанией в НАСА в лаборатории реактивного движения (JPL NASA) и оснащенные низкочастотными виброизоляторами компании “Minus K” для проверки работы систем орбитального телескопа [81].
В отечественной практике конца 80-х – начала 90-х годов установились ориентировочные критерии виброзащиты различных типов высокоточного оборудования, указанные в «Рекомендациях» [35]. В настоящее время ориентировочные значения максимальных допустимых уровней вибрации основания под указанное оборудование, представленное в «Рекомендациях» считаются устаревшими. В мировой практике применяют базовые критерии виброзащиты для исследовательской лаборатории или предприятия, основанные на требованиях наиболее чувствительного к вибрации оборудования. Компания “Colin Gordon & Associates” опубликовала такие рекомендации [55, 56, 74], основанные на многолетних наблюдениях и экспериментах.
Виброзащита технических объектов виброизоляторами квазинулевой жесткости
На основе балок постоянного поперечного сечения разработаны некоторые типы виброизоляторов с крайне низкими значениями собственной частоты [102]. В случае переменного поперечного сечения балки, решение уравнения (2.4) можно найти численно. При расчете будем применять следующие предположения, учитывающие основные особенности работы виброизолятора. Считаем, что размеры поперечного сечения балки корректора значительно меньше её длины. В качестве упругой линии выбирается ось, соединяющая центры масс поперечных сечений. Будем использовать гипотезу Бернулли, согласно которой сечения, плоские и перпендикулярные изогнутой оси до деформации, остаются после деформации плоскими и перпендикулярными изогнутой оси. Перемещения точек упругой линии могут быть большими, но при этом деформации остаются линейно 52 упругими. Таким образом, наша задача рассматривается в геометрически нелинейной, физически линейной постановке.
Рассмотрим прямолинейный стержень, ось которого после приложения нагрузки становится плоской кривой. На рис. 2.5 изображен элемент балки в деформированном состоянии с приложенными к нему внутренними усилиями. По нормали к нему действует распределённая нагрузка fn, по касательной – f. Любую внешнюю нагрузку можно свести к указанным нормальной и касательной составляющим. Спроецировав все силы, действующие на деформированный элемент балки, на направления векторов fn и f, рассмотрим равновесие элемента.
Данная система может быть сведена к уравнению (2.4), однако она намного удобнее для решения в случае статически неопределимых задач. Здесь принято ds - длина деформированного элемента стержня, связана с начальной длиной ds0 соотношением ds = (1 + s1)ds0; \ - относительное удлинение упругой линии. При рас 53 чете гибких стержней обычно принимают, что i=0, т.е. принимается, что линия, соединяющая центры масс поперечных сечений не удлиняется. Уравнения равновесия (2.12) дополняют соотношениями: стержня при изгибе; 7(5) = Eljis); dx и dy - проекция дуги ds на оси координат, совпадающие с продольной и поперечной осями неде-формированного стержня.
Система уравнений (2.12), (2.13) является полной. Она может быть проинтегрирована при известных граничных условиях. Для удобства дальнейших исследований приведём уравнения (2.12), (2.13) к безразмерному виду. Новые безразмерные переменные введём следующим образом: поперечного сечения) Параболическое изменение поперечного сечения (изменение ширины поперечного сечения по закону квадратной параболы) L d " Изменение поперечного сечения по закону кубической параболы (линейное изменение высоты поперечного сечения) L Следует отметить, что с технической точки зрения особый интерес представляют линейное и параболическое изменение ширины поперечного сечения, т. к. их проще изготовить в металле. Более того, с увеличением гладкости поперечного сечения (изменение от линейного до параболического и т. д.) происходит увеличение расчетных параметров сечения, что в результате позволяет проводить более гибкую многокритериальную оптимизацию параметров виброизолятора под конкретную задачу.
В связи с тем, что у балки с изменением ширины сечения по параболическому закону (тип сечения №2) вместо одного неизвестного параметра, как в случае сечений типов №№1 и 3, возможно проводить изменение сразу четырёх параметров сечения – ширины левого конца a, ширины правого конца b и ширины b сечения, расположенного на расстоянии d от левого конца. Для определения общих закономерностей поведения корректора жесткости с указанным поперечным сечением балки рассмотрено три вида сечений, приведённых в таблице 2.3.
Существует множество методов решения системы нелинейных уравнений (2.16), многие из которых широко освещены в монографии [27]. Обычно такие уравнения решаются методами сплайн-коллокаций [15], методом Бубнова [1], методом конечных разностей и конечных элементов [1, 47], а также методом продолжения по параметру [9, 47 – 49, 52]. К преимуществам методов сплайн-коллокаций и других проекционных методов следует отнести относительную простоту последовательности решения, возможности получения аналитических выражений интересующих параметров в зависимости от нагрузки. Однако основным «узким местом» таких подходов является сложность выбора базисных функций и ограничений, ими накладываемых. К преимуществам МКР и МКЭ следует отнести возможность учёта разнообразных факторов нагружения, способов приложения нагрузки и характера сечения и кривизны элементов. Однако матрица таких систем может оказаться плохо обусловленной, что может привести к некорректному решению. Более того, процесс построения решения достаточно трудоёмок и затратен с вычислительной точки зрения при обсчёте большого числа конструкций.
Основываясь на данном опыте, в работе принято решать краевую задачу (2.16) методом пристрелки путём сведения её к начальной задачи Коши. Для вычисления невязок используется метод Ньютона или метод продолжения по параметру.
Как показано в работах [9, 47, 52], а также в монографии по нелинейной строительной механике [85] наиболее мощным средством решения подобных задач продолжения является метод Рикса. При выборе параметра продолжения в виде длины дуги кривой равновесных состояний повышается обусловленность матрицы решения, что было доказано в работах [9, 52]. Примем, что и решение задачи q и множитель нагрузки являются функциями длину дуги кривой s: q = q(s), = (s). Тогда число неизвестных увеличивается на одно, до п + 1. Поскольку уравнения равновесия должны выполняться на дуге s при всех значениях параметра , получаем: /(q(s),A(s)) = 0. (2.17) Когда точка решения (q(s),(s)) перемещается по кривой равновесных состояний от s до s+ = s + As, то новая точка решения (q(s+),(s+)) также должна удовлетворять уравнению равновесия, т.е. f(q(s+),A(s+)) = [fq(q,A)-qs + fz(q,A)-As]As + O(As2) = 0. (2.18) где индекс s означает дифференцирование по s. Выбрасывая члены второго порядка малости, (2.18) может быть представлено в матричной форме как результат перемножения (п+1)х(п+1) матрицы Г/?,/Л с матрицей а = [д[д], т.е.
Аппроксимация жесткостной характеристики виброизолятора
Для получения упругой характеристики балки с начальной кривизной будем использовать результаты, полученные в предыдущей задаче. Поскольку в процессе решения задачи 1 определялись на каждом шаге приложения нагрузки недостающие значения опорных реакций, то в задаче №2 они будут использоваться как начальное приближение для тех же опорных реакций на левой опоре, но уже при другом краевом условии на правой опоре. В силу симметрия задачи расчёт производится для половины балки, а внешняя нагрузка задаётся через граничные
В связи с тем, что значения углов и его производной известны только в фиксированном числе точек, с шагом, определяемым решателем задачи Коши из предыдущего расчета, может возникнуть ситуация, что для получения решения второй задачи с заданной точностью, решатель задачи Коши вынужден будет изменить количество шагов в решении или их величину, что приведёт к тому, что значений 0О, d0o/ds в отдельно взятых точках может не оказаться. Поэтому указанные величины берутся из предыдущего расчёта с точностью, указанной в задаче 1 и далее производится сплайн-интерполяция этих величин для получения необходимых значений в промежуточных точках. Выбор сплайн-интерполяции обосновывается тем, что решение задачи достаточно гладкое — гибкий стержень не имеет скачков (вплоть до второй производной), более того сплайн-функция является математической моделью гибкого изогнутого стержня [15].
Задача решается методом продолжения по параметру, поперечная нагрузка прикладывается в диапазоне [0,P ]. При этом, для ненагруженного состояния решение берётся из предыдущего расчёта в зависимости от заданного значения предварительного поджатия б0. Результатом расчёта является таблица значений нагрузка - прогиб середины балки для различных типов поперечных сечений, по которой строится упругая кривая балки для различных значений высоты начальной кривизны балки.
Анализ результатов расчёта рис. 2.14 показывает, что при достижении в балки нагрузки в 23,05 (точка А) происходит скачкообразное изменение формы балки - «перескок» или «хлопок» до точки В. В этот момент изначальный выгиб, который присутствовал на стержне распрямляется и в дальнейшем происходит распрямление кривой стержня и снижение вертикального прогиба правой опоры. Такие системы широко используются на практике в различных выключателях бытового и промышленного назначения [34, 79]. В нашем случае системы со скачкообразным изменением формы можно применять для виброзащиты оборудования.
Основным способом увеличения зоны перескока А-В, при которой жесткость системы имеет отрицательные значения, является увеличение предварительного поджатия стержня, что выражается в увеличенной стреле подъёма у правой опоры (0 на рис. 2.3.). В дальнейшем рассматриваются случаи различного предварительного поджатия. Для общности результатов в работе рассмотрены случаи предварительного поджатия на 1%, 5%, 10% и 20% от длины балки (L = 1). Балка с начальной кривизной 0 = 0,01 выбрана в связи с тем, что данные значения поджатия, хоть и являются малыми по абсолютной величине, однако уже должны описываться в рамках геометрически нелинейной теории (2.34). При этом значения предварительного поджатия 0 0,2 оказываются трудно реализуемыми на практике, из-за снижения устойчивости всей конструкции. При большом предварительном поджатии 0 0,2 происходит особо сильный выгиб сжатого элемента, который при дальнейшем нагружении поперечной нагрузкой может деформироваться не симметрично.
Анализ рис. 2.15 показывает, что величина предварительного поджатия влияет на критическую силу перескока, при этом жёсткость системы меняется не сильно — угол наклона кривой в момент прощелкивания (область А – В на графике рис. 2.15) имеет приблизительно равные значения. С увеличением предварительного поджатия происходит увеличение длины зоны прощелкивания — расстояния между верхней критической и нижней критической нагрузками (расстояния между точками А и В по оси абсцисс).
При изменении ширины левого конца балки упругая кривая сохраняет качественную картину деформирования, однако график перескока становится менее симметричным относительно центрального положения балки. Сравнительная упругая характеристика балки с n=0,5, 0,8 и n=1 представлена на рис. 2.16 при предварительном поджатии 0=0,05.
Сравнительный анализ упругих кривых балок различного поперечного сечения при одинаковом предварительном поджатии показывает, что при увеличении ширины левого конца балки (тип поперечного сечения №1) происходит повышение её жесткости, о чём свидетельствует больший угол наклона графика в зоне прощёлкивания. Более того верхняя критическая нагрузка изменяется с ростом ширины сечения. С увеличением асимметрии сечения повышается асимметрия графика перескока. Так, увеличивается нижняя критическая нагрузка. Это возникает в связи с тем, что сечение стержня у левого конца оказывается выше, а значит и энергия накопленная в нём больше. Во время «перескока» центральная узкая часть балки сначала изгибается по двум волнам синусоиды, а затем распрямляется в одну. В этот момент энергия деформации, накопленная в левой части балки освобождается и «дожимает» центральную часть балки, что приводит к повышению нижней критической нагрузки (по абсолютной величине).
Увеличение жесткости балки при повышении ширины левого конца по сечению типа №1 позволяет, не менять толщину металла для изготовления коррек 70 тора, а лишь менять ширину сечения при проектировании виброизолятора под различное оборудование. Это позволяет использовать один и тот же тип стали и упростить процесс производства.
Упругая кривая балки с переменным поперечным сечением по схеме №2.1. Балка с переменным поперечным сечением по схеме №2.1 имеет схожие характеристики – при увеличении предварительного поджатия происходит увеличение зоны прощёлкивания, однако по сравнению с результатами, полученными для балки с линейным изменением ширины поперечного сечения (схема №1) можно отметить, что характер упругой кривой между верхней и нижней критическими нагрузками имеют более криволинейный характер, по сравнению с балкой с переменным сечением по схеме №1. Кривая прощёлкивания не имеет симметричного характера: достижение верхней критической нагрузки происходит более плавно, чем нижней. Процесс распрямления балки после достижения нижней критической нагрузки происходит более резко, чем в балке с переменным сечением типа №1, что связано с меньшей изгибной жесткостью системы (среднее сечение балки ослаблено).
Вынужденные колебания при случайном внешнем воздействии
Как было отмечено ранее, точное решение уравнения Дуффинга позволяет построить АЧХ виброизолятора с двумя участками, отвечающими «мягкой» и «жесткой» характеристикам в зависимости от амплитуды колебаний, тогда как при решении методом гармонического баланса получается АЧХ с характеристикой «жёсткого» типа. В связи с ограниченностью данного метода, полученная на рис. 3.13 б АЧХ системы имеет «жёсткую» характеристику, о чём свидетельствует наклон кривой графика вправо.
Следует отметить, что не все точки кривой рис. 3.13 являются устойчивыми. При уменьшении частоты колебаний от 0,98 до 0,9 возможен срыв колебаний и при дальнейшем уменьшении частоты, амплитуды будут меняться по нижней ветви графика. Такое явление широко исследовано в литературе [10, 20, 80]. Здесь же приведём анализ для случая кинематического возбуждения основания.
Из анализа рис. 3.13 можно отметить, что в силу особенности графика АЧХ, система имеет либо одно положение равновесия, когда пара чисел (О, С/) может быть определена из графика АЧХ единственным образом (в диапазоне частот (0,Qв) j(Qн,oo)), либо три возможных состояния - в диапазоне частот (Qв,Qн).
Принято [65] такие положения равновесия называть точками бифуркации частоты. Когда мы попадаем в область, где одновременно могут существовать частот, выбор каждой из них определяется начальными условиями. Для дальнейшего анализа динамики виброзащитной системы нам необходимо определить область устойчивости. Для этого воспользуемся методом возмущений, приложив возмущение к отклику системы и изучим эволюцию системы во времени.
Можно также показать, что поскольку след матрицы Якоби равен нулю, положения равновесия уравнения Дуффинга могут быть как устойчивыми седлами, так и неустойчивыми седловыми точками.
Поскольку частоты срыва в уравнении Дуффинга играют значительную роль при описании динамики виброизолированной системы, желательно для них найти аналитические выражения, с приемлемой для инженерного расчёта точностью.
Частота нижнего срыва может произойти при частоте, на которой Y = Ymax. На самом деле, разница между этой частотой и частотой, которая получается, как касательная к графику резонансной кривой уменьшается при снижении демпфирования. Простое аналитическое выражение может быть получено при подстановке выражения (3.70) в (3.68). В итоге получим:
В работе [64] приведён вывод формулы для нижней частоты срыва. Вывод основан на том, что уравнение (3.67), рассматриваемое как кубическое уравнение относительно и2, имеет либо один действительный и два комплексных либо три действительных корня. В точках бифуркации, особенно при частоте Пв, мнимая часть комплексной пары становится равной нулю и остаются два действительных корня. Использую программные средства для символьных вычислений оказывается возможным найти аналитическое решение для тех значений частоты Q, которые дают нулевое мнимую часть. Простое выражение для частоты срыва вниз Qн получается в предположении, что частота не зависит от демпфирования. Учитывая ограничения на величину коэффициента (3.72), приближенное аналитическое выражения для Qн может быть выражено в виде:
При больших амплитудах вынужденных колебаний или при аппроксимации упругой характеристики виброизолятора полиномами высокого порядка, приближенные методы дают значительные погрешности. В таком случае предлагается использовать численные методы
При аппроксимации упругой характеристики виброизолятора полиномами высокого порядка, уравнение, описывающее вынужденные колебания виброизолированной массы, примет вид: ВСКЖ применяется преимущественно для виброзащиты высокоточного исследовательского оборудования. В связи со спецификой эксплуатирующих его организаций (НИИ, отдельные лаборатории и исследовательские центры) расположены в городской черте в условиях сложившейся застройки. Колебания основания в таких сооружениях носят случайный характер. Они могут быть расположены вблизи линий метрополитена, железнодорожных или трамвайных путей, но практически всегда существует автомобильное сообщение вблизи указанных зданий. В связи с этим особую важность представляет анализ ВСКЖ при действии случайных колебаний основания. При рассмотрении случайных воздействий на ВСКЖ входное воздействие обычно считается стационарным и подчиняющимся нормальному закону распределения [54].
Если виброзащитная система имеет слабую нелинейность и распределение входного сигнала близко к нормальному, то мы можем воспользоваться методом статистической линеаризации для нахождения характеристик случайных процессов отклика системы. Однако такой метод является недостаточно точным при сильной нелинейности упругой характеристики виброизолятора, что достигается при использовании стержней корректора по схемам №2 и №3. В связи с этим воспользуемся методом сведения стохастического дифференциального уравнения к уравнению Ито. Рассмотрим опять вынужденные колебания массы на пружине с нелинейной восстанавливающей силой и линейным коэффициентом демпфирования при действии на систему случайных колебаний, заданных гауссовым белым шумом со спектральной плотностью S. Уравнение вынужденных колебаний такой системы запишем в виде:
