Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор проблемы 9
1.1. Обзор и анализ работ по расчету систем с выключающимися связями
1.2. Обзор работ по исследованию (расчету) нелинейных систем с конечным числом степеней свободы 21
ГЛАВА 2. Метод, алгоритмы и примеры расчета систем с конечным числом степеней свободы с выключающимися связями 29
2.1. Основные положения метода на примере системы с одной степенью свободы 29
2.2. Алгоритм и расчет системы с конечным числом степеней свободы 34
2.3. Расчет двухпролетной неразрезной балки с выключающейся связью 38
2.4. Расчет «эталонной» фермы при внезапном разрушении раскоса .48
2.5. Оценка несущей способности стропильной фермы из проекта реконструкции при мгновенном разрушении отдельных элементов 55
2.6. Расчет трехпролетной рамы с разрушающейся колонной 61
2.7. Анализ результатов 66
ГЛАВА 3. Метод, алгоритмы и примеры расчета нелинейных систем с одной степенью свободы на произвольную нагрузку
3.1. Общие положения метода и алгоритма расчета 67
3.2. Амплитудно-частотная характеристика нелинейной системы с одной степенью свободы 75
3.3. Виброизолированная система с нелинейной характеристикой 76
3.4. Система с одной степенью свободы с выключающейся связью 81
3.5. Влияние продолжительности выключения связи на характер и уровень колебаний системы 84
3.6. Анализ результатов 88
ГЛАВА 4. Метод, алгоритмы и примеры расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы на произвольную нагрузку 89
4.1. Общий алгоритм расчета нелинейных систем с двумя степенями свободы 89
4.2. Алгоритм расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы 97
4.3. Виброизолированная система с нелинейным динамическим гасителем колебаний 105
4.4. Анализ результатов 112
Заключение 113
Список литературы
- Обзор работ по исследованию (расчету) нелинейных систем с конечным числом степеней свободы
- Алгоритм и расчет системы с конечным числом степеней свободы
- Амплитудно-частотная характеристика нелинейной системы с одной степенью свободы
- Алгоритм расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы
Введение к работе
Актуальность темы. Динамические системы, в частности системы виброзащиты, часто включают в себя элементы с нелинейными характеристиками. Эти элементы в некоторых динамических системах вводятся специально и являются необходимой частью системы (виброизоляции, динамических систем с нелинейными элементами) или возникают естественно в процессе деформирования конструкций: системы с разрушающимися или выключающимися связями и т. п.
Развитие методов расчета систем с выключающимися связями актуально при проектировании адаптирующихся систем сейсмозащиты. В этом случае выключающиеся связи - конструктивные элементы, повышающие жесткость сооружения в начальном состоянии и выключающиеся при достижении некоторого порогового уровня амплитуд сейсмических колебаний сооружения, в результате чего изменяются частотные характеристики сооружения и режим колебаний. Такая система виброзащиты во многих случаях позволяет существенно снизить ущерб, материальный и людской, в частности, при землетрясениях.
Исследование систем с выключающимися связями является также первым и одним из важных этапов расчета на прогрессирующее обрушение. В связи с необходимостью проверки жизнестойкости сооружений с целью снижения числа аварийных ситуаций при эксплуатации строительных конструкций появилось много работ, в которых исследуется прогрессирующее обрушение. Толчком для развития этого направления стали аварийные разрушения зданий Ронан Пойнт (1969) и особенно ВТЦ (2001). Важной составляющей этой проблемы является задача расчета сооружений с разрушающимися элементами, в частности, вычисления усилий в конструкции непосредственно после разрушения некоторых элементов. Подобные задачи рассматривались в большом количестве исследовательских работ с использованием различных методов - аналитических, приближенных и МКЭ. Часто, однако, решения, построенные по различным методам, противоречат друг другу. Возможно поэтому до сих пор не существует однозначного аналитического подхода для расчета систем с выключающимися связями.
Исследованию, построению методов и алгоритмов расчета систем с выключающимися связями посвящена первая часть работы.
Во второй части диссертации рассматривается более общая задача - расчет и исследование динамических систем (в частности систем виброзащиты) с элементами с нелинейными характеристиками. Проблема уменьшения уровня колебаний зданий, их отдельных элементов, машин и приборов является важной и актуальной во многих областях техники - промышленном и гражданском строительстве, судостроении, в энергетическом и транспортном машиностроении. Эта проблема связана как с повышением прочности, надежности и долговечности конструкции, так и с выполнением все более жестких технологических и санитарных требований, предъявляемых различными условиями эксплуатации.
Важно отметить, что исследованию динамических систем с нелинейными характеристиками, относящихся к строительным конструкциям и системам виброзащиты, посвящено относительно мало работ. В связи с чем остается большое количество неизученных задач в этой области: исследование переходных (пуско-остановочных) режимов, построение амплитудно-частотных характеристик, в том числе систем с конечным числом степеней свободы, и связанные с этим возможности изменения динамических характеристик систем в зависимости от изменения внешних параметров (частоты воздействий, жесткости оснований и т.п.).
Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов и программ расчета систем с конечным числом степеней свободы с выключающимися связями и различными видами физической и конструктивной нелинейности на произвольную динамическую нагрузку, а также анализ полученных решений и некоторых особенностей деформирования нелинейных систем. С помощью предложенных подходов и разработанных алгоритмов выполнены расчеты ряда систем, в частности: неразрезной балки; ферм с разрушающимся раскосами при действии статической и произвольной динамической нагрузки; си-
стемы с одной степенью свободы с нелинейной жесткостью в переходном и эксплуатационном режимах; нелинейного динамического гасителя колебаний в конструкциях, которые могут рассматриваться как системы с одной степенью свободы.
Методы исследований опирались на использование современных научных положений, относящихся к расчету систем с выключающимися связями, нелинейных систем виброзащиты и строительных конструкций с нелинейными характеристиками и результаты изучения научно-технической литературы по проблемам, связанным с задачами, поставленными в работе. Анализируются также работы, содержащие теоретические и практические результаты исследований подобных систем. Расчеты выполняются в системе компьютерной математики и в программах, основанных на применении МКЭ.
Научная новизна:
развит метод расчета систем с конечным числом степеней свободы с выключающимися связями и на его основе разработаны эффективный алгоритм и программа расчета. Метод основан на последовательном решении двух линейных систем с конечным числом степеней свободы, начальные условия для второй системы (без связи) определяются из расчета первой системы (со связью) с учетом изменения положения статического равновесия. Рассмотрен ряд практических задач;
развит метод расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы при произвольных динамических воздействиях, основанный на решении нелинейных интегральных уравнений, к которым сводятся уравнения движения. Решение представляется в виде разложения по собственным формам исходной линейной системы, нелинейность учитывается как некоторая фиктивная нагрузка. Рассмотрен ряд практических задач, решение которых позволяет выявить некоторые существенные особенности, характерные для нелинейных колебаний.
Достоверность работы определяется корректностью постановки задач,
строгостью применяемых методов динамики сооружений, теории колебаний и теории виброзащитных систем. Результаты разработанных алгоритмов подтверждаются сравнением с результатами, полученными с использованием некоторых существующих методов расчета (в частности, метода гармонического баланса). Алгоритмы, разработанные в работе, дают одинаковые результаты при решении верификационного примера - системы с одной степенью свободы с выключающейся связью.
Практическая ценность. Разработанный алгоритм расчета систем с выключающимися связями на произвольную динамическую нагрузку может использоваться в инженерной практике для оценки эффекта, связанного с разрушением отдельных элементов конструкции. Последовательное применение этого метода может во многих случаях использоваться в качестве процедуры расчета на прогрессирующее обрушение. Алгоритм расчета систем с общим видом нелинейности на произвольную нагрузку может использоваться для исследования нелинейных систем и, в частности, для подбора оптимальной нелинейной виброизоляции и нелинейного динамического гасителя колебаний.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:
- Международной молодежной конференции «Оценка рисков и безопас
ность в строительстве. Новое качество и надежность строительных материалов и
конструкций на основе высоких технологий» (г. Москва, 2012);
- X Российской национальной конференции по сейсмостойкому
строительству и сейсмическому районированию (с международным участием).
9-13 сентября 2013 года, г. Сочи.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 4 в научных журналах, входящих в список ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.
На защиту выносятся:
разработанный алгоритм и программы расчета нелинейных систем и систем с выключающимися связями как систем с конечным числом степеней свободы;
результаты расчета систем с выключающимися связями для различных расчетных случаев. Оценка на примере системы с одной степенью свободы влияния длительности разрушения связи на характер и уровень колебаний системы;
результаты расчета нелинейной виброизолированной системы как системы с одной степенью свободы: анализ колебаний в переходных (пуско-оста-новочных) режимах, амплитудно-частотная характеристика системы.
результаты расчета системы с нелинейным гасителем колебаний как системы с двумя степенями свободы; результаты анализа, из которого следует, что специальный выбор параметров гасителя позволяет расширить зону эффективного гашения; амплитудно-частотная характеристика системы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации составляет 119 страниц, в текст включены 78 рисунков и 4 таблицы.
Обзор работ по исследованию (расчету) нелинейных систем с конечным числом степеней свободы
В работе [8] рассматривается задача расчета железобетонного здания при разрушении колонны. Предлагается некоторый упрощенный метод для вычисления усилии и перемещений в результате этого разрушения. Полагают, что удаление нижней колонны в системе (рис. 1.2, а) эквивалентно внезапному приложению силы тяжести Р0 к системе без связи. Внезапное приложение нагрузки возбуждает свободные колебания (рис. 1.2, Ь). Чтобы избежать прогрессирующего разрушения, система должна быть способна сохранить несущую способность при максимальном перемещении и(1 (рис. 1.2, Ь).
Основное допущение в предложенной схеме состоит в том, что максимальная реакция системы при динамическом эффекте может быть оценена с разумной точностью при добавлении некоторого коэффициента к величине силы тяжести (ЛР0) (рис. 1.2, с). Таким образом, устраняется необходимость подробного динамического анализа.
Подход, изложенный в работах [38,8] представляется неправильным, поскольку на систему при разрушении связи дополнительно действует только часть от полного веса конструкции, равная реакции в удаляемой связи.
б) Одной из первых работ, в которой изложен также квазистатический подход - работа Г.А. Гениева [24]. Сам колебательный процесс не рассматривался. Как допущение предполагалось, что форма системы при ее максимальном перемещении после выключения связи совпадает со статической формой равновесия системы без связи. Такое допущение возможно для системы с одной степенью свободы и для некоторых симметричных систем. С увеличением числа степеней свободы погрешность этого метода становится существенной, поскольку не учитываются формы колебаний выше первой, которая в свою очередь отличается от статической формы равновесия. Усилия в данном методе определяются по формуле С,=2 ,,_,- „ (1.3) где 5( ,/,_1 - динамическое усилие в і-м элементе в системе без связи; статическое усилие в і-м элементе в системе без связи - , „_,, со связью tl.
В работе [43,42] предлагается также некоторый приближенный подход, в соответствии с которым реакция системы учитывается с помощью дополнительной нагрузки, равной удвоенной реакции перед выключением, взятой с обратным знаком. Поскольку реакция связи в процессе колебании изменяется, такой подход представляется некорректным. Также в этой работе рассматривалось дополнительное динамическое воздействие от падающих обломков выключающейся связи.
в) В некоторых работах, опубликованных за рубежом, при расчете систем с выключающимися связями также используют «квазистатический» метод учета выключающихся связей. После разрушения башен ВТЦ значительно возрос интерес к прогрессирующему разрушению со стороны государственных структур и частных компаний, эксплуатирующих высотные здания. В результате в США были разработаны нормы [15,14], в которых предлагается в частности рассчитывать строительные конструкции при внезапном удалении несущих вертикальных элементов. Приведем расчетную схему (рис. 1.3) из работы [5]. в которой анализируются эти нормы, и формулы расчета системы с внезапно разрушающейся колонной: LC\ = 2{DL + 0.25LL), (1.4) LC2 = (DL + 0.25LL), где DL, LL -соответственно длительная нагрузка (включающая собственный вес) и кратковременная нагрузка. Нагрузка LC1, учитывающая эффект разрушения колонны, вычисляется как удвоенная расчетная нагрузка LC2, собранная из двух соседних пролетов (рис. 1.3, а). В работе [13] также приведены схемы учета разрушения колонны статическом расчетом системы без связи по нормам GSA [15] (рис. 1.4). Обозначения на рис. 1.4 из формулы (1.4).
Из сказанного выше следует, что в нормах [15,14] для вычисления эффекта выключения связи в качестве рекомендуемого предложен «квазистатический» подход, основанный на использовании некоторого динамического коэффициента (чаще всего равный 2). Для различных расчетных случаев и норм [15,14] коэффициент и набор нагрузок в формуле (1.4), могут отличаться. Такой подход критику 2(DL+0.25LL) 2(DL+0.25LL) 1{DL+0.25LL) ется в ряде публикаций иностранных исследователей. В частности, в работе [1] говорится о том, что оба документа не дают ясного описания процесса прогрессирующего разрушения как динамического процесса. Отмечается, что эти документы в каком-то смысле исключают необходимость развития динамических аналитических мегодов в связи с их сложностью. В ряде работ проводятся исследования по уточнению динамического коэффициента (DLF), рекомендуемая величина которого приводится в нормах. В работе [5] на основании расчета, выполненном МКЭ, показано, что DLF равен 2 только для двухпролетной балкп. Для многопролетных балок, двух- и много пролетных рам величина этого коэффициента снижается. Структурное демпфирование, которое не рассматривалось при описанном выше расчете, также снижает на несколько процентов величину DLF. Следует отметить, что эти нормы дают рекомендации при выборе комбинации нагрузок для проведения динамических расчетов, которые использовались, например, в работе [11].
3) В последнее время появились работы, в которых учитывались диссииа-тпвные силы при расчете системы с выключающимися связями. Такой подход позволяет точнее оценить эффект выключения связи.
а) В работе [20] начальные условия для колебаний, возбуждающихся в системе после выключения связи, задавались такие же как в настоящей работе. Структура предлагаемого алгоритма не совсем удобна, так как требует отдельного вычисления инерционных сил. В этой работе рассматривался только «статический» вариант, т.е. когда выключение связи происходит при нахождении системы в положении статического равновесия.
Более общий подход для решения систем с выключающимися связями предлагался в работах [48,47,54]. Основные положения и подходы с [20] и настоящей работой близки. В [48] даны формулы для расчета систем при выключении связи как при «сіатпческом» так и «динамическом» (связь выключается в процессе колебаний) вариантах. Однако, результаты расчета системы с выключением связи при «статическом» варианте, приведенные в статье [48], при одинаковых исходных данных заметно отличаются от результатов настоящей работы и результатов работы [20]. Результаты [20] и настоящей работы для того же примера в «статическом» варианте очень близки. Результатов расчета сисіем при выключении связи в «динамическом» варианте авторами [48] приведено не было.
В работе [1] приводятся результаты динамического расчета плоской железобетонной рамы при внезапном удалении колонны. Расчет выполняется при помощи МКЭ программы SAP 2000. Отмечается, что при анализе результатов необходимо учитывать уязвимость конструкции при прогрессирующем разрушении. При динамическом расчете в качестве начальных условий [3] для системы без связи принимаются перемещения начальной системы от полезной нагрузки. Иначе говоря, в начальный момент времени система без колонны должна иметь перемещения равные перемещениям неповрежденной системы. Делается допущение о том, что перемещения в начальной (неповрежденной) системе можно предположить равными нулю, поскольку эти перемещения значительно меньше перемещений в процессе колебаний (рис. 1.5) после удаления колонны. Достаточных обоснований для выбора таких начальных условий в работе не приводится. В качестве одного из результатов приведем график колебаний верхнего узла удаленной колонны.
Алгоритм и расчет системы с конечным числом степеней свободы
В качестве следующего примера расчета рассматривается стропильная ферма из проекта реконструкции производственных мощностей ОАО «Центра судоремонта «Звездочка», изображенная на рис. 2.23.
Вычисления проводились для двух расчетных случаев: разрушение элементов 7-22 (а) и 18-31 (б). В проекте не предусмотрено динамической нагрузки на ферму, поэтому рассматривается только «статический» вариант расчета. Характеристики элементов фермы: пояса, раскосы 1-12, 12-3: двутавр 35К2 -EF = 336839.98т, EI = 7788.9 тм2; раскосы 3-16, 16-5: двутавр 26К2 EF = 195699.0T, ; стойки 1-Ю: двутавр 40Ш2: EI = 2457.0 тм2 EF = 33276.0 т, EI = 932.95 тм2; стойки 2-12, 3-14, 4-16, 5-18: квадратная труба 160x5: EF = 65100T, El = 260.93 тм2; стойки 2-12, 3-14, 4-16, 5-18: квадратная труба 160x5: EF = 65100T, EI = 260.93 тм2; стойка 15-29: квадратная труба 120x4: EF = 65100T, EI = 260.93 тм2; остальные элементы: квадратная труба 140x4: EF = 5113.6т, Е1 = 15.78тм2. Коэффициент внутреннего трения материала / = 0.03. Массой элементов пренебрегаем. В расчете учитываются 34 формы. Расчет выполняется по стандартному алгоритму, описанному в параграфах 2.2 и 2.3.
В таблицах 2 и 3 соответственно приведены результаты расчета фермы при сценарии разрушения (а) и (б). В столбцах 4 и 5 приведены сравнительные решения по приближенным методам [24,42]. В столбце 6 даны результаты динамического расчета.
И з результатов динамического расчета следует, что при расчетном случае (а) (таблица 2) элементы с сечениями двутавров 35К2,40Ш2, 26К2 и квадратной трубы 160x5 не разрушатся, поскольку максимальные динамические усилия меньше их несущей способности (соответственно 5 = 463.54т, S = 331.3т, 5 = 269.3т, S = 72.52т). Разрушатся элементы решетки фермы 22-33, 33-23 с сечением из квадратной трубы 140x5, поскольку их несущая способность S = 61.9тменьше максимального динамических усилий F()mi =-434.16т и Ft)mt - -87.42т. При наступлении расчетного случая (б) (таблица 3) разрушится элемент 19-31, в котором динамическое усилие равно FdUH = -653.71т.
В расчетном случае (а) значительный рост усилия в стержне 23-33 связан с влиянием 11-ой формы (при учете 34 форм) собственных колебаний фермы без связи. Форма 11 изображена на рис. 2.24. По этой форме происходит только вертикальное колебание узла 23, перемещения остальных узлов по этой форме приблизительно равны нулю.
Для иллюстрации влияния форм колебаний на свободные колебания после разрушения элемента приведем перемещения в главных координатах (рис. 2.25). Из графика следует, что влияние на колебательный процесс оказывают в основном 1-я, 2-я и 11-я формы. Z
Перемещения узлов 14, 18, 22, 23 На рис. 2.26 показаны эквивалентные статические силы. Узловая сила S:2i создает динамическое усилие Fdllll =-434.16т в стержне 23-33, что является причиной его разрушения.
Перемещения узлов 14, 18, 22, 23 показаны на рис. 2.27. Частота свободных колебании узла 23 также указывает на значительное влияние 1 l-оіі формы.
В расчетном случае (б) складывается аналогичная ситуация. Решающее влияние на величину динамического усилия в стержне 19-31 оказывает 10-я форма собственных колебаний (при учете 34 форм). Эта форма изображена на рис. 2.28.
Значительное влияние высших форм колебании на усилия в стержнях можно объяснить конструктивной особенностью рассматриваемой фермы. В остальных примерах расчета с более простыми схемами, в том числе «эталонной» фермы, такого влияния высших форм не было. Спектр собственных частот фермы до и после разрушения элементов р = {6.49,14.70,16.49,17.53,17.59,17.69,19.55,20.18.22.23.29.81.37.95...}рад/с, (2.58) = {9.79,12.43,22.18,24.65,24.8,24.99,27.7,31.3 1,33.03,42.12.53.67} рад/с, (2.59) /т7 = {9.77,20.89,23.74,24.8,24.87,27.26,28.34,31.43.40.. 52.6.53.64} рад/с. (2.60)
Таким образом, в обоих расчетах при мгновенном разрушении элемента начинается процесс прогрессирующего разрушения фермы по соседним элементам решетки. В случае (а) по элементам: 22-33, 23-33; в случае (б) - 19-31.
Стоит отметить, что рассматриваемый процесс мгновенного разрушения связи - «идеальный» и наихудший случай разрушения элемента. Такой случай может моделировать, например, взрыв [11] или хрупкое разрушение. Если же элемент разрушается в результате превышения расчетной нагрузки, то процесс разрушения имеет несколько большую длительность, что может заметно уменьшать динамические усилия. В частности, это показано на примере системы с одной степенью в параграфе 3.5.
В качестве последнего примера расчета в этом параграфе рассмотрен расчет трехпролетной рамы с разрушающейся колонной. Такой пример был выбран, поскольку является «эталонным» примером в статьях иностранных исследователей [7,11,13,5,8], посвященных изучению прогрессирующего обрушения.
Рассмотрим расчёт системы, находящейся в положении статического равновесия, с выключающейся связью [46]. Приведем алгоритм расчета:
1. Выполняется статический расчёт системы 1 (система со связью) и системы 2 (система без связи) МКЭ. Записываются начальные условия, определяющие свободные колебания.
2. Производится модальный анализ МКЭ системы 2. Определяются законы движения масс в главных координатах.
3: Вычисляются эквивалентные статические силы и напряженно-деформированное состояние системы 2.
Исходные данные. Трёхпролетная рама (рис. 2.29) с жестким закреплением колонн. Выключающаяся связь показана па рис. 2.31. Сечение колонн - двутавр 35К1, с характеристиками А=139,7см2, EF=293370T, Е1=6638,1Т-М2; сечение балок -двутавр 35Б1, с характеристиками А=49,53см2, EF= 104013т, Е1=2112,6т-м2. Решение. Распределённая масса редуцируется точечными массами. В результате получены расчётные схемы системы 1 (рис. 2.30) и системы 2. В расчете учитываются 64 степени свободы, массами колонн пренебрегаем. На рис. 2.31 показана система 2 и пронумерованы расчетные сечения усилий. 28
Амплитудно-частотная характеристика нелинейной системы с одной степенью свободы
В качестве второго примера была рассчитана нелинейная система с одной степенью свободы в пуско-остановочном и эксплуатационном режимах [29,49].
Основные параметры системы принимались как и в предыдущем примере, кроме того: со = 78.5рад /с - частота вынужденных колебаний установки в рабочем режиме; tnycK = 6с, tocm = 30с, t =90с - соответственно время пускового, остановочного и эксплуатационного режимов при работе оборудования (рис. 3.7). Система была рассчитана при двух видах нелинейности: а) с характеристикой вида из параграфа 3.2, при параметре а - 1500; б) симметричная ломаная характеристика (рис. 3.2) с параметрами: к} = 55\ЗкН Iм, к, = 2.6&J, z() = 7х 10" м. Закон изменения нагрузки. Закон изменения нагрузки во времени для машин с вращающимися частями задается в виде: Г \2 2 sin —, 0 / / где а и b - скорости нарастания и убывания числа оборотов машины, которые вычисляются по формулам:
На рис. 3.8 и рис. 3.9 приведены перемещения оборудования в течение рабочего цикла при нелинейной жесткой (график 1) связи виброизолятора - кубической и ломаной. На рис. 3.9 пунктиром показано перемещение z0, при превышении которого жесткость системы становится равной кг (3.30)-(3.32), рис. 3.2.
Из результатов расчета (рис. 3.8 и рис. 3.9) в частности следует: применение нелинейной виброизоляции позволяет заметно снижать максимальные значения динамических перемещений в переходных режимах. При этом возможное небольшое увеличение перемещений в режиме пуска компенсируется значительным снижением перемещений в режиме остановки (до 40%). Кроме того, в режиме остановки заметно (до 30%) уменьшается резонансная зона, что также снижает риск усталостного разрушения виброизоляторов. Пиковые значения в режиме пуска и остановки практически уравниваются. При применении кубической жесткой связи перемещение оборудования в резонансных на 20% меньше, чем при ломаной жесткой связи. Это объясняется гибким перестраиванием характеристик системы в резонансных зонах при использовании кубической связи.
На рис. 3.10 показано изменение жесткости системы с кубической характеристикой в течение рабочего цикла. В режиме остановки начальная жесткость системы увеличивается примерно в 2,5 раза до значения 8000кН / м. Можно заметить, что подобное увеличение жесткости достигается в резонансных режимах при ломаной характеристике.
На рис. 3.11 показана амплитудно-частотная характеристика системы с нелинейной связью при квадратной зависимости амплитуды внешней нагрузки от вынужденной частоты. Т.е. амплитуда меняется также как в течение рабочего цикла оборудования по закону (3.38). Метод построения графика на рис. 3.11 аналогичен построению графина на рис. 3.5. Резонанс на амплитудно-частотной характеристике (рис. 3.11) и графике перемещений (рис. 3.8) происходит на одном и том же значении частоты.
Нарис. 19 показаны перемещения нелинейной и линейной системы при пуске оборудования в области срыва амплитуды. Как видно из графика, срыв амплитуды колебания можно рассматривать как выключение связи, после которого дополнительно возбуждаются свободные колебания. 3.4. Система с одной степенью свободы с выключающейся связью
В качестве третьего примера, цель которого оценить точность описанного выше метода, была рассчитана система с одной степенью свободы (рис. 3.13.) со связью, выключающейся в процессе колебаний системы при гармонических воздействиях [44].
Исходные данные: /;? = 10т - масса установки; к, =0.98х 104 Кн/ и J /м /с, = 0.6x104 Кн/ - жесткости системы до и после выключения связи; 7 = 0.05 / м коэффициент внутреннего трения материала; q(t) = Q0s m(cL t), 0=50кН, (У = 62рад/с - соответственно закон изменения, амплитуда и частота внешней нагрузки. Нелинейность в данном примере связана мгновенным выключением связи. Согласно (3.33) и (3.34) фиктивная нагрузка в этом случае определяется зависимостями: 0, / /0 (3.40) /(-") = —[( ,- , )z + ,AzCT], t t0 и» Разность в положениях центров масс системы до и после выключения связи Дгс вычисляется по формуле (2.1): AzCT = mg /С, /C-) V M: J = 6.34-10 3м. (3.41) Подставив «фиктивную» нагрузку (3.40) в решение (3.19), можем записать закон движения системы с выключающейся связью: Zr (t), t L it) "Л) . (3.42) Jt) + w(t), t t0 Время выключения связи примем t0 =3.5с. Выражение для w(t) следует принять в виде (3.17), поскольку второй член этого выражения будет давать некоторое уточнение. Интегралы (3.19), вычисляются на каждом шаге по времени методом трапеций с итерациями на каждом шаге и суммируются со значениями интегралов, вычисленных на предыдущих шагах по времени (рис. 3.1).
Алгоритм расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы
Параметры динамической нагрузки: закон изменения q2{t) - Q{co)s m{cot) ; эксплуатационная частота сое = $2,5рад / с ; величина амплитуды, зависящая от частоты, равна Q(co) = 3S6,6(co/ сос)" кИ .
Временные параметры рабочего цикла принимались такими: t = 8с, tocm = 20с, tiiihi - 60с - соответственно время пускового, остановочного и эксплуатационного режимов при работе оборудования. Закон изменения нагрузки во времени для машин с вращающимися частями принят согласно формуле
Для оценки эффективности нелинейного гасителя система на рис. 4.2 была рассчитывается без гасителя и с линейным гасителем. {10, 58 000. 76.1577) 1 100 80 2 2 40 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 ш, рад/с Рис. 4.4. Амплитудно-частотная характеристика системы без гасителя На рис. 4.3 изображено перемещение оборудования в течение рабочего цикла, в случае когда система на рис. 4.2 принимается как система без гасителя, т.е. как система с одной степенью свободы.
Для этой же системы амплитудно-частотная характеристика, которая важна, в частности, для оценки колебаний оборудования в случае изменения эксплуатационной частоты показана на рис. 4.4. Для случая линейного гасителя [32,27,50] его жесткость /г, выбиралась из условия равенства парциальной частоты гасителя и эксплуатационной частоты внешней нагрузки, т.е. д/А , / тх - сос = /с, = 6806/сЯ / м. На рис. 4.5 и рис. 4.6 изображены перемещения оборудования и гасителя в течение рабочего цикла в случае нелинейного и линейного гасителей. Рабочие циклы даны для случая эксплуатационной частоты сос = В2,5рад/ с и для случаев изменения эксплуатационной частоты на ±5%, ±10%, ±15%, т.е. при сос] =70.\25рад / с, со = 74.25рад / с, сос5 = 7&375рад /с. у,4 = Я6.625рад I с, сае5 = 90.75рад I с\ сос6 = 94.875рад I с.
В шапке графиков на рис. 4.5 указаны: значение эксплуатационной частоты в рад I с (70.125), значение коэффициента а (40 ),начальная линейная жесткость гасителя к] в кН І м (5513), максимальные значения перемещений при режимах пуска, эксплуатации, остановки в л/л/ (48.01,18.28, 56.01),величина амплитуды внешней нагрузки в эксплуатационном режиме в кН (279).
В шапке графиков на рис. 4.6 указаны: значение эксплуатационной частоты в раді с (70.125), собственные частоты системы в рад I с
(66.97, 93.82), жесткость гасителя в кН / м (6806). Следующие значения соответствуют значениям, указанным на рис. 4.6
Для оценки перемещений оборудования и гасителя в случае изменения эксплуатационной частоты в более широком диапазоне, на рис. 4.7 и рис. 4.8 построена амплитудно-частотная характеристики систем с линейным и нелинейным гасителем. Этот график строился с шагом \рад/с, на каждом шаге фиксировалась амплитуда установившихся колебаний, т.е. эксплуатационного периода. 107
Перемещения оборудования и не- рис. 4.6. Перемещения оборудования и линей линейного гасителя в течение рабочего ного гасителя в течение рабочего цикла при цикла при различных эксплуатационных ча- различных эксплуатационных частотах стотах
Дополнительно была на рис. 4.9 и рис. 4.10 построена амплитудно-частотная характеристика для пуско-остановочных (резонансных) режимов. График строился также с шагом 1 радIс, и на график наносилось максимальное значение перемещения при пусковом (рис. 4.9) и остановочных (рис. 4.10) режимах.
Перемещения оборудования и не- Рис. 4.6. Перемещения оборудования и линей линейного гасителя в течение рабочего ного гасителя в течение рабочего цикла при цикла при различных эксплуатационных ча- различных эксплуатационных частотах стотах
Из рис. 4.5 и рис. 4.6 следует, что в системе с нелинейным гасителем по сравнению с линейным гасителем, заметно снижаются его перемещения при возможном изменении эксплуатационной частоты (в диапазоне 70-100 рад/с), однако в эксплуатационном режиме незначительно увеличиваются перемещения оборудования [34] (рис. 4.5, г и рис. 4.6, г).
Амплитудно-частотные характеристики систем с нелинейным и линейным гасителем. Обозначения: , - амплитуды колебаний масс /я,, т2 системы с нелинейным гасителем; А, А -амплитуды колебаний масс тх, т2 системы с линейным гасителем
Таким образом, специальный выбор нелинейного гасителя позволяет расширять зону эффективного гашения при изменении эксплуатационной частоты. Следует также остановиться на виде амплитудно-частотной характеристик системы (рис. 4.7, рис. 4.8), на которых в частности выявлен срыв колебаний гасителя характерный для нелинейных систем. Также на рис. 4.7 и рис. 4.8 можно видеть полный диапазон зоны эффективного гашения подобранного нелинейного гасителя.
Применительно к пуско-остановочным резонансным режимам можно сказать, что в результате применения гасителя немного увеличивается пиковая амплитуда при пусковом режиме (рис. 4.5, рис. 4.6, рис. 4.9) и уменьшается при остановке оборудования (рис. 4.5, рис. 4.6, рис. 4.10). Т.е. можно сказать, что в данном, случае нелинейная характеристика не оказывает существенного влияния на пиковые амплитуды в пуско-остановочных режимах.
