Содержание к диссертации
Введение
1. Конструирование математических моделей нелинейных технических систем с использованием функциональных рядов 16
1.1 Функциональные ряды Вольтерра (Винера) - аппарат идентификации и моделирования технических систем 16
1.2 Определение динамических характеристик в виде ядер Винера..24
1.3 Основные проблемы практического применения Винеровского подхода 27
Выводы 30
2. Математическое обеспечение для конструирования моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками 31
2.1 Конструирование моделей случайных процессов с заданными статистическими свойствами 31
2.2 Коррекция элементов ПСП на основе градиентного метода 39
2.3 Коррекция ПСП с помощью ортогональных многочленов 44
2.4 Конструирование моделей случайных процессов с заданными многомерными автокорреляционными функциями 48
2.5 Конструирование моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками для идентификации многомерных систем 52
2.6 Конструирование моделей случайных процессов с заданным частотным диапазоном 55
2.7 Определение весовой функции обратной системы 61
2.8 Преобразование ПСП в заданном частотном диапазоне без изменения спектральной плотности 63
Выводы 65
3. Экспериментальные исследования 66
3.1 Конструирование моделей случайных процессов с заданными оценками центральных моментов 66
3.2 Конструирование моделей случайных процессов с заданными оценками многомерных автокорреляционных функций 72
3.3 Влияние статистических характеристик моделей случайных процессов на результаты идентификации одномерных и многомерных систем 81
3.4 Конструирование моделей случайных процессов в заданном частотном диапазоне 88
3.5 Конструирование моделей случайных процессов в заданном частотном диапазоне без изменения спектральной плотности 94
Выводы 99
4. Математическое моделирование системы автоматического регулирования газотурбинного двигателя на основе Винеровского подхода 100
4.1 Требования к комплексу программно-технических средств, реализующему Винеровский подход 100
4.2 Система автоматического регулирования газотурбинного двигателя. Предварительные исследования 108
4.3 Система автоматического регулирования газотурбинного двигателя. Идентификация динамических характеристик 112
Выводы 118
Заключение 119
Литература 123
- Основные проблемы практического применения Винеровского подхода
- Конструирование моделей случайных процессов с заданными многомерными автокорреляционными функциями
- Конструирование моделей случайных процессов с заданными оценками многомерных автокорреляционных функций
- Требования к комплексу программно-технических средств, реализующему Винеровский подход
Введение к работе
В условиях рыночной экономики создание и применение в промышленности сложных динамических систем, рост интенсивности их использования и повышение требований к их надежности усиливают значимость задачи их испытаний на этапах производства и опытной эксплуатации. Такие системы являются типичными в технологических машинах, функционирующих в различных режимах их эксплуатации. Одной из важнейших проблем является описание исследуемой системы соответствующей математической моделью (/3/,/5/,/58/,/63/), для успешного решения которой требуются априорные сведения. Возможность использования адекватной математической модели существенно повышает эффективность управления реальной динамической системой.
При проведении научных и производственных испытаний значительное место занимает проблема конструирования математических моделей сложных непрерывных динамических систем с целью изучения и описания особенностей и свойств, присущих этим системам. Получение таких моделей преследует такие важные цели как (/64/,/66/):
выявление причинно-следственных связей между внешними воздействиями окружающей среды и изменениями свойств исследуемой системы;
установление качественного и количественного соотношения между комплексом выявленных связей путем наблюдения серии подобных (однотипных) воздействий на систему, сопоставление полученных реакций с многочисленными систематически повторяющимися фактами;
выделение ряда возможных различий в поведении изучаемой системы, что позволяет осуществлять комплексное формирование и многоцелевое использование накопленной информации о функционировании системы в многочисленных задачах, относящихся к производственно-исследовательской тематике.
Особую актуальность для установления причинно-следственных зависимостей между входной и выходной информацией приобретает развитие методов идентификации (/47/,/48/,/31/), базирующихся на конструировании или оценивании структуры и параметров математической модели исследуемой системы по экспериментальным данным, полученным в ходе стендовых или эксплуатационных испытаний.
Общие проблемы конструирования математических моделей динамических систем рассмотрены в работах Цыпкина ЯЗ. (/82/,/83/), Красовского А.А. /75/, Эйкхоффа П. (/73/,/90/), Мелса Дж.Л. /69/, Гропа Д. /22/, В. Мармарелиса, П. Мармарелиса /42/, Музыкина С.Н. (/1/,/46/,/47/,/48/), Пупкова К.A. (/58/,/59/,/60/,/61/,/62/,/63/,/64/), Капалина В.И./33/идр.
Проблемы описания функционирования технических систем на основе экспериментальных данных, которые характерны для научных и производственных испытаний, наиболее полно рассмотрены в работах Райбмана Н.С. /66/, Дейча A.M. (/23/,/24/), Волгина Л.Н. (/11/,/12/), Щербакова М.А. (/84/,/85/,/86/,/87/,/88/,/89/).
В связи с широким использованием средств вычислительной техники как элемента автоматизированной системы управления технической системой, так и в качестве элемента регистрирующей аппаратуры, актуальными являются задачи совершенствования методов конструирования математических моделей по дискретным измерениям входных и выходных процессов. В то же время необходимо учитывать,
что при дискретизации непрерывных переменных могут иметь место нежелательные эффекты искажения и потери информации о характеристиках измеренных процессов, существенно затрудняющие идентификацию исследуемой системы.
При изучении динамики сложных производственных систем необходимо принимать во внимание, что характер их поведения подчиняется сложным нелинейным законам, а процессы, протекающие в них, очень часто могут быть отнесены к случайным. Очевидно, что классические приемы построения математических моделей таких систем оказываются трудно применимыми, поскольку размерности задачи, принципиально различающиеся свойства изучаемых процессов не позволяют в полной мере использовать аппарат дифференциальных уравнений для построения математических моделей надлежащей точности, тем более что априорная информация о структуре математической модели оказывается неполной или неточной, что, в свою очередь порождает дополнительные сложности с решением второй важной задачи изучения динамики системы - оценивания параметров в выбранной математической модели. Т.е. некорректное решение первой задачи - выбора структуры математической модели естественным образом предопределяет невозможность корректного решения всей задачи в целом. С другой стороны, процессы испытаний предполагают целенаправленный и соответствующим образом организованный сбор экспериментальных данных о функционировании исследуемой системы в различных режимах эксплуатации. Поэтому целесообразным оказывается эксплуатация такой математической модели системы, которая исключала бы решение ненужных промежуточных задач и позволяла бы применять ее для различных режимов работы исследуемой системы и для различных систем. При этом процесс построения математической модели должен производиться предпочтительно только
по экспериментальным данным и, что очень важно, структура модели должна быть универсальной для достаточно широкого класса технических систем.
Таким образом, при решении задачи эффективных испытаний сложных технических систем необходимо использовать математические модели, конструирование которых должно выполняться по экспериментальным данным на основе применения достаточно общих подходов.
В теории систем известен математический аппарат для решения задач построения математических моделей по экспериментальным данным 191, основанный на применении аппарата функциональных рядов Вольтерра (Винера), позволяющий при корректно организованных испытаниях и последующей обработке информации конструировать универсальные математические модели технических систем широкого назначения. Структура таких моделей предопределяется структурой функционального ряда, а решение задачи идентификации заключается в определении динамических характеристик, являющихся по своей сути «коэффициентами» разложения в ряд реакции технической системы на произвольное входное воздействие. Следует отметить при этом, что принципиально характеристики модели определяются для входных процессов, имеющих случайный характер, и процедура определения ориентирована на применение многомерного корреляционного анализа /47/.
При решении задач стендовых и эксплуатационных испытаний сложных динамических систем важное значение имеет повышение их эффективности, которое заключается, в частности, в сокращении времени и сроков самих испытаний, повышении достоверности результатов испытаний (имеется в виду не достоверность функционирования аппаратной составляющей испытательных стендов, ъг-
достоверность результатов идентификации динамических характеристик и достоверность эксплуатации математической модели)
Учитывая, что использование математического аппарата функциональных рядов Вольтерра (Винера) предполагает проведение высококачественной процедуры идентификации динамических характеристик, которая основывается на тестировании исследуемой системы специальными воздействиями случайного характера, повышенные требования предъявляются к свойствам применяемых тестирующих воздействий (особенности требований будут описаны ниже)/15/.
Исходя из выше изложенного, сформулируем цель и задачи работы. Цель работы:
Повышение эффективности испытаний автоматизированных
машиностроительных систем.
Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи, обеспечивающие проведение высокоточной процедуры идентификации динамических характеристик исследуемой системы и моделирование случайных процессов, протекающих в ней:
конструирование моделей случайных процессов с задаваемыми статистическими характеристиками в виде оценок центральных моментов;
конструирование моделей случайных процессов с задаваемыми статистическими характеристиками в виде оценок многомерных автокорреляционных функций;
конструирование низкочастотного и полосового фильтров, обеспечивающих постоянную спектральную плотность СП в заданном частотном диапазоне;
- конструирование фильтра, сохраняющего спектральную плотность входного случайного процесса в заданном частотном диапазоне.
Решение первой задачи обеспечивает высокоточную идентификацию безынерционных функциональных преобразователей; решение второй задачи — высокоточную идентификацию нелинейных систем с памятью; решение третьей задачи - высокоточную идентификацию динамических систем, функционирующих в определенном частотном диапазоне; решение четвертой задачи обеспечивает выделение компонент случайного процесса, соответствующих требуемому частотному диапазону.'
Отметим, что одновременно первые две задачи обеспечивают моделирование случайных процессов с заданными статистическими свойствами во временной области, а третья и четвертая — моделирование случайных процессов с заданными статистическими свойствами в частотной области.
Научная новизна заключается в
применении метода конструирования моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками в виде оценок центральных моментов распределения и многомерных автокорреляционных функций на основе построения взаимно обратных систем для обеспечения эффективной процедуры идентификации и моделирования динамических процессов в автоматизированных системах методом Винера;
разработке метода конструирования фильтров, обеспечивающих постоянную спектральную плотность случайного процесса в заданном частотном диапазоне для обеспечения эффективной процедуры
1 Предполагается применение процедуры идентификации методом Винера, основанным на использовании случайного процесса типа «белый» гауссовский шум
идентификации динамических характеристик автоматизированных систем методом Винера;
разработке метода конструирования фильтра, сохраняющего спектральную плотность входного случайного процесса в заданном частотном диапазоне;
конструировании динамической системы, выполняющей преобразование случайного процесса в процесс с заданными статистическими свойствами во временной и частотной области.
Практическая ценность. Практическая ценность работы заключается в обеспечении эффективного использования автоматизированных систем на основе повышения достоверности их испытаний, сокращения сроков их проведения, в том числе применительно к системе автоматического регулирования газотурбинного двигателя большой мощности.
Методы исследования. В работе использован математический аппарат теории систем, функционального анализа, численных методов, методов оптимизации интегральных и дифференциальных уравнений.
Реализация работы. Результаты работы были использованы на научно-производственном предприятии «Электронно-гидравлическая автоматика» (НІШ «ЭГА») для обработки результатов испытаний системы автоматического регулирования газотурбинного двигателя с целью идентификации динамических характеристик исследуемого объекта, конструирования моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками и выделения процессов с заданной спектральной плотностью в необходимом частотном диапазоне.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании кафедры «Информационных технологий и вычислительных
систем» МГТУ «Станкин», а также на научно-технических конференциях, в том числе:
5-я научная конференция МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН (Москва, 2002);
V международный конгресс по математическому моделированию (Дубна, 2002)
6-я научная конференция МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН (Москва, 2003);
III международная научно-практическая конференция «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003);
IV международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск, 2003).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ.
В п.1 диссертационной работы рассмотрены теоретические основы конструирования математических моделей динамических систем. Показано, что в условиях отсутствия информации о структуре математической модели системы наиболее перспективным математическим аппаратом являются функциональные ряды Вольтерра (Винера).
Конструирование математической модели, реализующей внешнее математическое описание системы, состоит из двух этапов. На первом из них (этап идентификации) проводится процедура идентификации динамических характеристик в виде ядер функционалов Вольтерра (Винера), которая включает в себя организацию эксперимента с исследуемой системой, в ходе которого регистрируются входные
воздействия и реакции системы (пассивный эксперимент), или регистрируются реакции системы на тестирующие воздействия специального вида (активный эксперимент); на втором этапе (этап моделирования) производится собственно моделирование системы с помощью рассчитанного набора ядер функционалов.
Отмечено, что винеровская модель дает наилучшее приближение к реакции исследуемой системы в смысле минимума среднеквадратической ошибки, по сравнению с аналогичными моделями такого же класса.
Приводятся основные проблемы практического применения винеровского подхода к задачам идентификации и моделирования, среди них:
конструирование моделей тестирующих воздействий,
предназначенных для проведения высококачественной
процедуры идентификации (в том числе конструирование
статистически независимых реализаций тестирующих
процессов с наперед задаваемыми значениями моментных
(многомерных автокорреляционных) функций).
Отмечается, что применение классических соотношений метода
Винера оказывается возможным после решения проблемы о
конструировании тестирующих воздействий с статистическими
характеристиками (многомерными автокорреляционными функциями),
отличающимися от характеристик «белого» гауссовского шума на
допустимую и очень малую величину.
Показана необходимость комплексного решения проблем Винеровского подхода.
В п.2 предложено решение задач, необходимых для достижения поставленной в работе цели.
Для решения задачи конструирования математических моделей случайных процессов с заданными оценками центральных моментов распределения использован метод активной коррекции реализации случайного процесса с применением ортогональных многочленов. Рассмотрены возможные варианты решения задачи, приводится расчет оптимального шага коррекции.
Для решения задачи конструирования моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками в виде многомерных автокорреляционных функций использован метод взаимно обратных систем, который существенно повышает эффективность описанной в литературе схемы коррекции реализаций случайных процессов. Рассмотрен подход к конструированию статистически независимых моделей случайных процессов с заданными оценками автокорреляционных функций.
Для решения задачи конструирования моделей случайного процесса с постоянной спектральной плотностью в заданном частотном диапазоне использовано решение задачи конструирования моделей случайных процессов с заданными автокорреляционными функциями. Определена автокорреляционная функция процесса, имеющего постоянную спектральную плотность в заданном частотном диапазоне. Показан рекурсивный характер процедуры коррекции.
Для решения задачи конструирования моделей случайного процесса с сохранением спектральной плотности исходного процесса в заданном частотном диапазоне также использовано решение задачи конструирования моделей случайных процессов с заданными автокорреляционными функциями. Определена автокорреляционная функция процесса, имеющего заданную спектральную плотность в требуемом частотном диапазоне. Показан рекурсивный характер процедуры коррекции.
Для исключения рекурсивного характера коррекции выполнено конструирование динамической системы, выполняющей преобразование процесса в процесс с заданными статистическими характеристиками. Показано, что ядро функционала, выполняющего преобразование, удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению.
В п.З рассмотрены экспериментальные исследования, позволяющие оценить правомочность применения разработанных во второй главе методов на примерах эталонных моделей.
Приводится пример конструирования модели случайного процесса, имеющего распределение, близкое к гауссовскому, с заданными оценками центральных моментов распределения до 8-го порядка включительно. Показаны закономерности коррекции. Отмечено, что производимая коррекция реализации случайного процесса не изменяет оценки плотности и функции распределения.
Приводится пример конструирования модели случайного процесса, имеющего распределение, близкое к гауссовскому, с заданными автокорреляционными функциями до 4-го порядка включительно. Выполнено сравнение эффективности предлагаемого метода с известными методами.
Приводится пример конструирования модели случайного процесса, имеющего постоянную спектральную плотность в заданном частотном диапазоне. Показано влияние точности задания оценки требуемой автокорреляционной функции на точность решения задачи.
Приводится пример конструирования модели случайного процесса, с заданной спектральной плотностью в требуемом частотном диапазоне. Показано влияние точности задания оценки требуемой автокорреляционной функции на точность решения задачи.
Для эталонных систем выполнены исследования, связанные с влиянием точности конструирования моделей случайных процессов с заданными статистическими свойствами на результаты идентификации их динамических характеристик. Подтверждена необходимость использования моделей случайных процессов с заданными статистическими свойствами и эффективность предлагаемых методов для конструирования моделей с такими свойствами.
В п.4 приводятся требования к программно-техническому комплексу, реализующему метод Винера. Рассмотрены результаты применения предлагаемых в работе методов к исследованию системы автоматического регулирования газотурбинного двигателя. По результатам предварительного эксперимента определены оценки полосы пропускания системы, глубины памяти системы и порядка нелинейности. Эти оценки обеспечили обоснованный выбор частотного диапазона тестирующего процесса, определение числа подсчитываемых в ядрах точек, интервала наблюдения и интервала дискретности по времени. Для всех регистрируемых испытательным стендом параметров системы автоматического регулирования и газотурбинного двигателя определены динамические характеристики в виде ядер Винера для двух случаев - до коррекции реализации случайного процесса и после коррекции, обеспечившей требуемые статистические свойства. Выполнено моделирование реакций при изменении подачи топлива, определены погрешности моделирования, показано, что учет нелинейных свойств системы существенно повышает достоверность моделирования реакций исследуемой системы.
В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.
В приложении приводится структура программного обеспечения метода Винера.
Основные проблемы практического применения Винеровского подхода
Широкое использование Винеровского подхода долгое время сдерживалось отсутствием высокопроизводительного вычислительного оборудования. Применение такого оборудования при стендовых или натурных испытаниях позволило вплотную подойти к практической реализации идей, заложенных в подходе. При этом выявились проблемы, связанные с выбором структуры математической модели, с аппаратным обеспечением испытаний, с алгоритмическим обеспечением вычислительных процедур.
Выбор математической модели - модели Вольтерра или модели Винера - определяется, в основном, условиями организации экспериментальных исследований и возможностями, предоставляемыми автоматизированными системами обработки информации и управления (АСОИУ). В частности, следует учитывать, что при организации экспериментальных исследований с использованием модели Винера необходимо аппаратное обеспечение, которое корректно воспроизведет значения псевдослучайной последовательности, имитирующей «белый» гауссовский шум, т.е. требуется дорогостоящее оборудование для генерации импульсов переменной амплитуды; при организации экспериментальных исследований с использованием модели Вольтерра требования к аппаратному обеспечению гораздо проще (известны схемы идентификации ядер Вольтерра при детерминированных воздействиях), однако необходимо учитывать, что, как правило, модель Винера имеет гораздо более высокую погрешность моделирования, чем модель Винера. В какой то степени организация взаимного перехода между моделями Вольтерра и Винера (расчет ядер функционалов Вольтерра по определенным ядрам Винера и расчет ядер функционалов Винера по найденным ядрам функционалов Вольтерра) позволяет сгладить остроту проблем, возникающих при решении задачи идентификации динамических характеристик по экспериментальным данным/15/.
В /47/ приведены требования к математическому и программному обеспечению, реализующему модели Винера. Эти требования носят комплексный характер и невыполнение хотя бы одного из них приводит к большим погрешностям при моделировании.
Приведем более подробно основные проблемы практического применения Винеровского подхода к задачам идентификации и моделирования /48/:
разработка конструктивных методов идентификации и моделирования на основе функциональных рядов с учетом реальных характеристик тестирующих процессов;
конструирование моделей тестирующих воздействий, предназначенных для проведения высококачественной процедуры идентификации (в том числе конструирование статистически независимых реализаций тестирующих процессов с наперед задаваемыми значениями моментных (многомерных автокорреляционных) функций;
конструирование моделей случайных процессов, имеющих определенные свойства в заданном частотном диапазоне (для проведения процедуры идентификации систем, не способных реагировать на широкополосный «белый» шум (постоянная спектральная плотность), и для фильтрации процессов (определенная спектральная плотность в заданном частотном диапазоне); ? создание эффективного математического обеспечения процедур идентификации и моделирования;
разработка и создание универсальных аппаратных средств для организации и проведения эффективных экспериментальных исследований, в том числе создание автоматизированных систем проведения экспериментальных исследований;
разработка методов интерпретации результатов идентификации динамических характеристик в виде ядер функционалов во временной и частотной области;
разработка методов выявления связей внешнего описания систем с описанием систем в пространстве состояний
Следует отметить, что перечисленные проблемы должны разрешаться одновременно, причем обеспечение достоверности идентификации динамических характеристик в виде ядер функционалов Вольтера (Винера) не в последнюю очередь определяется предварительными действиями по организации эффективных экспериментов с объектом исследований.
Конструирование моделей случайных процессов с заданными многомерными автокорреляционными функциями
Как уже отмечалось, соотношения (2.4), несмотря на их принципиальную значимость с точки зрения создания процедуры активной коррекции реализаций случайных процессов с целью изменения оценок кросскорреляционных функций, обладают рядом недостатков, в том числе:
- реальной неортогональностью функционалов, используемых при коррекции, что приводит к искажению ранее исправленных оценок;
- зависимостью скорости сходимости от множителя, с помощью которого реализуется метод последовательных приближений, что существенно уменьшает скорость сходимости;
- использованием разности между значениями задаваемой и реальной кросскорреляционных функций в качестве ядра ортогонального функционала, корректирующего имеющуюся реализацию случайного процесса, что неплохо работает только при малых величинах ARm, а на первых шагах процесса коррекции скорость сходимости оказывается малой.
Рассмотрим подход, свободный от имеющихся недостатков, который одновременно решает поставленную задачу коррекции реализации случайного процесса. Для построения подхода используем метод взаимно обратных систем. ( Для линейных систем метод описан в /57/)
Используем в функционале, выполняющем коррекцию, ядро системы, приближенно реализующей обратную к данной (т.е. преобразующей желаемый процесс в реально имеющийся), что должно резко повысить скорость сходимости итерационного процесса. Для линейного преобразования задача сводится к разрешению интегрального уравнения, связывающего весовые функции взаимно обратных систем: после чего предлагается последовательно реализовать взаимно обратные системы, представленные на рис.2.1(a) и на рис.2.1(6), причем (что очень важно) принципиальной необходимости построения нелинейных взаимно обратных систем с помощью ортогональных функционалов не возникает.
. Взаимно обратные системы Известно, что последовательное соединение взаимно обратных систем образует идеальную следящую систему с весовой функцией в виде S(t), которая имеет нулевые кросскорреляционные функции старших порядков. Поэтому, если X(t) есть процесс, имеющий кросскорреляционные функции, соответствующие белому гауссовскому шуму, то после преобразования из него получается процесс Y(t) с кросскорреляционными функциями реализации реального случайного процесса. (Речь идет в этом примере о кросскорреляционных .функциях до 2-го порядка включительно). Заметим, что обратная система при таком построении образуется только для линейной составляющей, а ортогональный функционал Винера (по отношению к процессу X(t)) остается без изменений. Таким образом, схема на рис.2.1(6) реализует систему, обратную к системе, формирующей процесс с кросскорреляционными функциями до 2-го порядка процесса корректируемого. С учетом того, что их последовательное соединение, как отмечалось, имеет нулевую кросскорреляционную функцию 2-го порядка, реализация процесса коррекции может быть описана следующей последовательностью действий:
- с помощью соотношения (2.21) весовая функция обратной системы определяется как решение интегрального уравнения (технология решения уравнения (2.21) будет описана в п.2.7);
- с помощью найденной весовой функции формируется выходной процесс для системы, представленной на рис.2.1(6), что позволяет произвести коррекцию последовательности с необходимым изменением кросскорреляционной функции 2-го порядка (процесс поиска линейной обратной системы повторяется до обеспечения необходимого результата для кросскорреляционной функции 2-го порядка);
- рассматриваются взаимно обратные системы содержащие уже три ортогональных функционала, и процесс коррекции повторяется.
- и т.д. (процесс продолжается до тех пор, пока не будут настроены все необходимые кросскорреляционные функции имеющейся реализации случайного процесса (рис.2.2)).
Рассматриваемый подход, естественно, имеет свои проблемы, как теоретического, так и вычислительного характера, которые связаны с особенностями решения интегральных уравнений вида (2.21), однако полученные в работе результаты показывают, что дополнительные сложности, вносимые применением подхода в процесс коррекции порождают существенно более эффективные результаты.
Конструирование моделей случайных процессов с заданными оценками многомерных автокорреляционных функций
В п.3.2 рассматриваются экспериментальные исследования по конструированию моделей случайных процессов с заданными статистическими характеристиками в виде многомерных автокорреляционных функций до 4-го порядка включительно.
Как отмечалось в п.2, эволюция конструирования моделей случайных процессов прошла несколько этапов - от использования физических генераторов с нестабильными характеристиками до применения цифровых генераторов, основанных на свойствах последовательностей чисел, эмулируемых с помощью относительно простых формул, преобразующих ранее сформированные числа по вполне определенному закону. Переход от пассивных схем эмуляции ПСП к активным схемам коррекции позволил существенно улучшить статистические свойства ПСП и, тем самым, обеспечить резкое повышение качества экспериментальных исследований с применением последовательностей такого вида. Преобладавшие ранее активные схемы коррекции с применением ортогональных функционалов, изменяющих элементы ПСП с помощью т.н. разностных ядер, обладали существенными недостатками: имел место большой рост временных затрат на формирование последовательностей с заданными статистическими свойствами; возможные вариации таких схем использовали лишь изменение весовых коэффициентов в методе последовательных приближений, обеспечивающем решение задачи. с Переход к технологии взаимно обратных систем позволил существенно изменить временные затраты в сторону уменьшения с одновременным повышением качества моделирования.
Несмотря на широкие возможности, предоставляемые этой технологией, в смысле генерации ПСП с заданными статистическими характеристиками в виде многомерных автокорреляционных функций, а, значит, и конструирования реализаций ПСП, обладающих необходимыми исследователю свойствами, ограничимся рассмотрением конкретной задачи, сформулированной в работе, - конструирования реализаций ПСП со свойствами, близкими с заданной точностью к реализациям «белого» гауссовского шума, в частности, это означает, что должны быть выполнены условия для многомерных автокорреляционных функций в следующем виде и т.д.
Предполагается, что нулевое среднее и единичная дисперсия получены предварительным преобразованием последовательности по известным правилам.
Выполнение приведенных условий обеспечивает корректное определение ядер функционалов Винера до 2-го порядка включительно. Ограничимся рассмотрением и реализаций этих условий исключительно только с точки зрения относительно удобной графической формы представления результатов, т.к. визуализация поверхностей, соответствующих многомерным автокорреляционным функциям более высоких порядков затруднена и в смысле графическом, и в смысле цифровом.
Предположим, что стандартными средствами сформирована последовательность псевдослучайных чисел размера N = 2048, над которой должна быть выполнена активная процедура коррекции с целью обеспечения необходимого качества статистических характеристик (установленная погрешность коррекции є= 10 6 для всех характеристик последовательности). Коррекцию будем проводить двумя способами: известным в литературе - с помощью разностных ядер
Оценки автокорреляционной функции последовательности до и во время коррекции (после первых 2-х итераций) приведены на рис.3.6. (отображаются первые 64 значения из 256). Для сохранения масштаба не приводятся значения Rxx [0).Оценки автокорреляционной функции 3-го порядка R , \тх,т1) до и после выполнения коррекции приведены соответственно на рис.3.9(a) и рис.3.9(6). В силу сохранения масштаба поверхность на рис.3.9(6) выглядит плоскостью, однако в действительности флуктуации ее значений существуют, но не превышают заданной величины є-ИҐ (На рис.3.9 отображены 8 из 32 корректируемых точек).
Требования к комплексу программно-технических средств, реализующему Винеровский подход
Как отмечалось в п.1, эффективная реализация Винеровского подхода возможна только после решения комплекса теоретических, программных и технических проблем. Одностороннее решение отдельно взятых проблем приводит, как правило, к возникновению ложных выводов о практической применимости самого Винеровского подхода. Использование Винеровского подхода для конструирования математических моделей процессов в сложных динамических системах (или отдельных подсистемах) требует создания комплекса аппаратных средств, обеспечивающих высококачественное проведение экспериментальных исследований и высокоточную обработку полученных результатов. Состав и конкретное содержание необходимого для выполнения этих задач оборудования зависит от целого ряда факторов и определяется в основном (/1/,/46/,/47/,/48/): - физической природой исследуемой системы или систем (типом технической, гибридной или биологической системы, в частности, тем, каков характер их входных и выходных сигналов и т. п.);
- условиями проведения экспериментальных исследований (в стендовых или натурных испытаниях, в штатных или нештатных ситуациях);
- целью, поставленной исследователем (задачами моделирования, требованиями к качеству модели, например, величиной желаемой глубины памяти системы1, значением требуемой степени адекватности модели и т. п.);
- имеющимся в наличии оборудованием.
Совокупностью этих требований определяется сложность и необходимый вид структуры аппаратных средств. Техническая реализация приводит к созданию универсального программно-технического комплекса (ПТК), предназначенного для исследования процессов в различных системах, или к созданию ПТК, предназначенного для исследования процессов в системах конкретного вида с заранее определенными целями идентификации и моделирования.
Однако в любом случае при их создании должны соблюдаться основные принципы построения таких ПТК. Эти принципы следуют из теоретических основ Винеровского подхода и из технологии его применения. Как показано в (/1/,/46/,/48/), исследование систем на основе использования функциональных рядов в самом общем случае требует реализации следующих этапов:
I этап. Проведение предварительного эксперимента с исследуемой системы. Он включает:
а) формирование требуемых для решения указанных задач входных воздействий (гармонических, ступенчатых и импульсных);
б) предъявление на вход (входы) системы этих воздействий;
в) регистрацию реакций на предъявленные воздействия;
г) преобразование полученных экспериментальных данных (при необходимости).
II этап. Обработка предварительных данных эксперимента, заключающаяся:
а) в оценке полосы пропускания системы, что позволяет определить требуемый частотный диапазон тестирующего воздействия;
б) в определении глубины памяти системы;
в) в уточнении интервала дискретности по времени для входного воздействия и реакции системы;
г) в оценке порядка нелинейности и выбора на ее основе сложности математической модели;
д) в оценке стационарности процессов, что предопределяет выбор процедур обработки результатов экспериментального исследования.
III этап. Проведение эксперимента с целью идентификации объекта исследования. Он включает:
а) конструирование требуемой для решения задачи идентификации модели случайного процесса (одномерного, многомерного, со статистически независимыми компонентами, в заданном частотном диапазоне);
б) предъявление на вход (входы) системы этого тестирующего процесса;
в) регистрацию реакций системы на тестирующий процесс;
г) преобразование экспериментальных данных в цифровой вид с требуемым качеством.
IV этап. Обработка экспериментальных данных, заключающаяся:
а) в вычислении соответствующего исследуемой системе набора ядер функционалов Винера;
б) в анализе и сохранении рассчитанных динамических характеристик;
в) в определении степени адекватности полученных характеристик реальному объекту;
г) в документировании и отображении полученных данных.
V этап. Конструирование моделей процессов в исследуемой системе на основе полученных характеристик. Этот этап включает:
а) конструирование модели исследуемой системы с помощью ортогональных функционалов;
б) моделирование интересующей исследователя внешней ситуации;
в) подключение, если это входит в задачу исследования, реальной части сложной исследуемой системы к моделируемой системе (при полунатурном моделировании);
г) прогнозирование поведения математической модели применительно к рассматриваемой внешней ситуации;
д) документирование и отображение полученных в результате исследования модели данных.
VI этап. Реализация по построенным моделям процедур анализа и синтеза, состоящих из:
а) процедуры оценки структуры (декомпозиции) исследуемой системы;
б) решения задачи реализации (т. е. перехода от внешнего описания системы к внутреннему);
в) формирования структуры (объединение моделей различных подсистем и блоков в модель системы);
