Содержание к диссертации
Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ЗДАНИЙ И
СООРУЖЕНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ. 7
Метод предельных состояний. 7
Вероятностный подход к оценке надежности. 9
Методы расчета стохастических систем 19
Надежность сложных систем. 23
1.5 Применение метода планирования эксперимента для
исследования работы систем при многопараметрическом выходе. 31
1.6 Методы расчета строительных конструкций на
сейсмостойкость. 34
1.7 Основные положения статистической теории сейсмостойкости. 44
Выводы по главе 1. 54
Глава 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ
СЛУЧАЙНОГО МНОГОМЕРНОГО ПОЛЯ. 56
2.1 Характеристика векторного поля сейсмического движения
грунта 56
2.2. Спектральное каноническое представление случайного поля. 72
2.3 Моделирование реализаций составляющих вектора ускорения
грунтового основания. 78
Выводы по главе 2. 81
Глава 3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ЗДАНИЯ. 83
3.1 Исходные предпосылки. 83
3.2. Стохастическая пространственная расчетная динамическая
модель. 87
3.3 Методы теории надежности при решении задач сейсмостойкости
зданий. 91
1 '
Выводы по главе 3. 94
Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В
ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ПРИ
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВЫХОДЕ. 95
4.1 Расчет стохастических систем методом статистической
линеаризации. 95
Выбор математической модели планирования эксперимента. 98
Построение обобщенного отклика системы при работе зданий на сейсмостойкость. 107
Полный и дробный факторные эксперименты. 113
Пример применения методики оценки надежности систем с учетом многопараметрического выхода при сейсмическом воздействии 117 Выводы по главе 4 161
ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ 163
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 165
Введение к работе
Актуальность темы исследования обуславливается недостаточной разработкой практических методов вероятностного расчета и оценки надежности зданий, как единых пространственных систем, в результате воздействия случайных нагрузок. Существующие в настоящее время экономические отношения в нашей стране позволяют заказчику выбирать проекты с наименьшей стоимостью, при этом фактическая величина риска остается неопределенной. В связи с этим приобретают актуальность вопросы оценки надежности проектного решения. Однако для инженерной практики методы теории надежности являются достаточно сложными, поэтому сейчас применяются методы, предлагаемые существующими нормами, где подобные расчеты рассматриваются на упрощенных схемах. Подобные аналитические расчеты, основанные на теории случайных функций (в частности спектральный метод) использовали в своих работах Болотин В.В., Барштейн М.Ф., Соболев Д.Н., метод канонических разложений использовал Пшеничкин А.П.
Эти модели не могут отразить действительную работу сооружения и определяют только реакцию объекта в целом, а не отдельных его элементов. Анализ же натурных исследований в этой области показывает, что при случайных нагрузках конструкции работают как стохастические пространственные системы, для исследования поведения которых, прежде всего, необходим переход к трехмерным динамическим моделям, которые обладали бы универсальностью и эффективностью метода конечных элементов и требуемым быстродействием аналитических моделей. Таким образом, становится возможным обнаружение локальных повреждений и зон пластических деформаций, позволяющих уже на стадии упругих расчетов оценить картину сложного нагружения несущих элементов конструкции, наметить пути и методы дальнейшего совершенствования в нелинейной постановке.
К сожалению МКЭ не пригоден для практического решения вероятностных задач, в связи с тем, что дискретное решение можно осуществить только использованием метода Монте-Карло. Здесь особые сложности возникают при оценке уровня риска: при малых вероятностях требуются десятки тысяч испытаний для построения функции надежности.
Поэтому задача разработки практических методов расчета является весьма актуальной.
Целью работы является разработка практического метода оценки надежности зданий как сложных систем при многомерном пространстве качества на действие случайной нагрузки.
Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:
впервые предлагается использовать сочетание метода канонических разложений, предложенного Пугачевым B.C. с дискретной моделью сооружения;
предложена пространственная стохастическая динамическая модель, созданная на базе метода конечных элементов, находящаяся под действием стохастической нагрузки;
на основе дробного факторного эксперимента разработана методика нахождения оптимальных параметров, влияющих на безопасную работу здания при сейсмических воздействиях высокой интенсивности;
предложен принцип пошагового нахождения параметров оптимизации;
показано использование функции желательности Харрингтона в качестве критерия оценки надежности системы с заданным риском.
Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные в диссертации методики и алгоритмы могут быть рекомендованы для применения в проектных и научно-исследовательских организациях и эффективно использоваться при разработке и исследовании сооружений.
Степень обоснованности.
Научные положения, выводы, рекомендации, изложенные в диссертационной работе, подтверждаются применением известных методов расчета напряженно-деформированного состояния конструкций, тестированием используемого программного обеспечения и сопоставлением полученных результатов с результатами экспериментов других авторов.
На защиту выносятся:
пространственная стохастическая конечно-элементная модель здания;
пространственная модель сейсмического ускорения основания;
методика моделирования акселерограмм сейсмического воздействия;
методика построения плана численного эксперимента при проведении вероятностных расчетов зданий на сейсмические нагрузки;
методика построения обобщенного отклика системы при заданном уровне надежности.
Апробация работы.
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на III международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций», (Волгоград 2003 г.), на VII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области «Экология, охрана среды, строительство», (г. Волгоград 2002 г.), на ежегодных научно-технических конференциях 2000-2003 г. ВолгГАСА.
По теме диссертации написано 7 статей.
Объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов, изложена на 178 страницах текста, содержит 32 рисунка и 17 таблиц. Список используемой литературы включает 144 наименования.
1. СОВРЕМЕНОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ.
1.1 Метод предельных состояний.
Проектирование строительных конструкций всегда приходится вести в условиях неопределенности: нагрузок и воздействий, физико-механических характеристик материалов, геометрических размеров конструкций. Эти параметры являются случайными величинами или функциями, поэтому в каждом конкретном случае принимают различные значения. Методы оценки надежности строительных конструкций развивались самостоятельно и поэтому отличаются от принятых подходов в оценках надежности механизмов, машин или электротехнического оборудования.
Основы теории надежности строительных конструкций впервые были сформулированы в двадцатых годах прошлого века, но систематическая ее разработка началась несколько позже. Первыми в этой области были работы Майера М. и Хоциалова Н.Ф. [100] Они впервые подвергли критике концепцию расчета по допускаемым напряжениям и коэффициентам запаса. В своих работах авторы выдвинули идею о применении статистических методов к расчетам на прочность и сформулировали основные положения теории надежности. Позже в своих работах Стрелецкий Н.С. [116, 117] систематически изложил статистическую концепцию надежности сооружений.
Разработке метода предельных состояний и внедрению его в строительное проектирование способствовали работы Балдина В.А. [12, 13], Гвоздева А.А. [34], Келдыша В.М. и Гольденблата И.И. [51].
Метод предельных состояний нашел широкое признание в строительной практике, т.к. он позволяет производить расчеты конструкций в детерминированной форме, а случайную природу нагрузки, прочности
материалов, геометрических параметров конструкции и др. учитывать посредством системы коэффициентов надежности.
Большая заслуга в изучении статистической природы коэффициента запаса и применение теории надежности к расчету строительных конструкций принадлежит Ржаницыну А.Р. [102].
Исходным положением расчета по предельным состояниям является условие, что минимально возможная (расчетная) величина несущей способности должна всегда превышать усилие от максимально возможных (расчетных) величин нагрузок, что обуславливает определенный уровень надежности проектирования. Однако метод предельных состояний не позволяет произвести количественную оценку надежности конструкций, и тем более проектировать их с заданным уровнем надежности. При этом вполне возможны случаи, когда надежность конструкций сооружений одинакового класса ответственности оказывается различной и изменяется в достаточно широких пределах.
1.2 Вероятностный подход к оценке надежности.
Проблема надежности и экономичности строительных конструкций относится к числу основных проблем, выдвинутых на первый план непрерывно увеличивающимся объемом строительства и возрастающими требованиями к его качеству. Анализ надежности должен основываться на строго определенных понятиях. Воздействия на строительные конструкции представляют собой случайный процесс, развертывающийся во времени. Существенным разбросом обладают свойства материалов, применяемые в строительных конструкциях, причем эти свойства могут случайным образом изменяться под влиянием окружающей среды. Опыт строительства и эксплуатации показывает, что даже для одинаковых сооружений, возводимых и действующих в аналогичных условиях, выход из строя всего сооружения или отдельных конструктивных элементов происходит в различные случайные моменты времени, т.е. нельзя точно указать срок службы строительной конструкции, а можно лишь оценить ту вероятность, с которой она будет эксплуатироваться в течение времени не меньшего, чем заданный срок службы.
Таким образом, определения надежности должны основываться на понятиях теории вероятностей. Методы теории надежности строительных конструкций наиболее правильно отражают случайную природу основных расчетных величин и взаимосвязь между внешними воздействиями и прочностью конструкций.
Уровень надежности устанавливается на этапе проектирования и соответственно при этом определяются средства, необходимые для достижения этого уровня [100].
Расчет строительных конструкций является одним из главных этапов проектирования зданий и сооружений. Для определения напряжений, деформаций и перемещений в сооружениях, подверженных действию
внешних нагрузок, используются методы строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.п.
Конечной целью расчета является решение вопроса о том, обладает ли сооружение достаточной надежностью в течение всего срока службы [100]. Под термином «надежность» понимается способность конструкции работать в течение определенного времени без отказа, т.е. случайного события в работе конструкции, последствием которого являются экономические или социальные потери (в том числе связанные с возможностью травм и человеческих жертв). Важный показатель надежности — вероятность безотказной работы, представляющая собой вероятность непревышения предельного состояния (вероятность невыхода конструкции в пространстве состояний за выбранные предельные состояния).
Определение вероятности разрушения конструкции может быть сведено к вычислению так называемой характеристики безопасности, т.е. отношению среднеожидаемого значения разности случайных величин, которое представляет собой обобщенную прочность конструкций и обобщенную нагрузку к среднеквадратичному отклонению этой разности. Принципиальные положения такого подхода были разработаны Ржаницыным А.Р [102]. В дальнейшем они получили развитие в работах Беляева Б.И., Снарскиса Б.И., Райзера В.Д. [100], Дривинга А.Я. [39], Складнева Н.Н. [108], Сухова Ю.Д. [118], Тимашева С.А. [119], Павлова Ю.А. [83], Геммерлинга А.В. [35].
Последующее развитие принципов надежности связано с переходом от методов теории вероятностей к методам теории случайных функций. В основу данного подхода легли следующие положения:
S оценка надежности и долговечности конструкций основана на использовании теории случайных функций;
S надежность системы рассматривается как вероятность нахождения параметров ее качества в некоторой допустимой области;
V' выход конструкции из строя (отказ) является следствием накопления повреждений, которое препятствует нормальной работе конструкции.
Данный подход к оценке надежности конструкций был предложен Болотиным В.В.
Согласно [22], общая схема оценки надежности с учетом физических, технических и эксплуатационных аспектов состоит из четырех этапов.
На первом этапе производится схематизация системы и действующих на нее нагрузок.
Второй этап состоит в определении стохастического поведения системы при случайных воздействиях.
Третий этап сводится к выбору пространства качества V и области допустимых состояний П0- Этот выбор проводится на основании технико-экономических соображений с учетом технологических, эксплуатационных и других требований.
Пусть каждому качеству системы соответствует элемент v єУ. Каждой траектории u(t) в пространстве U соответствует некоторая траектория v(t) в пространстве качества V. Множества состояний системы, допустимых с точки зрения качества, образует в пространстве качества V область допустимых состояний П0. Границы области Q0 соответствуют предельным состояниям. Пересечение траектории v(t) предельной поверхностью Г в направлении внешней нормали соответствует отказу системы.
На четвертом этапе определяется функция надежности Р(Т). Функция надежности определяется в результате учета ряда факторов — внешней среды, свойств системы, технологических, эксплуатационных и других требований.
P(t)^P[v(r) єП0; 0
Понятие отказа является одним из основных понятий теории надежности. К отказам относятся недопустимые отклонения параметров системы от расчетных значений, временные нарушения нормальной
эксплуатации системы, полный выход системы из строя. В строительной механике этому понятию соответствует понятие предельного состояния. Отказы, как правило, носят случайный характер. Безотказность - свойство системы непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого периода времени или некоторой наработки без вмешательства для поддержания работоспособности.
Расчет на безопасность зданий и сооружений, как правило, производится по предельным состояниям первой группы. Под безопасностью понимается свойство конструкций сопротивляться в течение некоторого времени усилиям, вызываемым внешними воздействиями без создания опасности для жизни и здоровья людей или без вреда для окружающей среды. Расчетом на безопасность обеспечивается несущая способность сооружения. Величины самих воздействий являются случайными, поэтому описать их можно лишь с некоторой вероятностью, характеризующей значение возможных отклонений от принятого расчетного значения.
Ржаницын А.Р. [102] указывает, что учет случайного характера величин и функций, входящих в формулы расчета строительных конструкций, представляет собой главную задачу теории расчета их на безопасность и максимальную экономичность. При условии отсутствия корреляционной связи между параметрами нагрузки и параметрами прочности условие отказа строительных конструкций выражается неравенством:
R-Q<0 (1.2)
где - Q и R обобщенная нагрузка и обобщенная прочность конструкции. В общем случае QwR- случайные величины.
Вероятность отказа есть вероятность реализации неравенства (1.2) [100]:
Р/ = ргсь {Я - Q < 0} = ]>Л (*)/е Wdx (1.3)
где Pf— вероятность отказа; Ргоь(А) - вероятность реализации события А; Fr — функция распределения вероятностей величины R; /q - плотность распределения вероятностей величины Q. В настоящее время применяются следующие методы вычисления интеграла (1.3).
1. Метод двух моментов:
Если несущая способность R и нагрузочный эффект Q распределены по нормальному закону, то интеграл (1.3) выражается через интеграл вероятностей:
Рг=1-Ф(Р) (1.4)
R-Q
*
2 2 V'2 " инДекс надежности (характеристика безопасности); я +sq)
R и Q - средние значения величин R и Q; srusq — стандартные отклонения величин R и Q.
Преимуществом такого подхода является его простота. Недостаток метода состоит в ограниченности применимости нормального закона.
2. Метод «горячих точек»:
Если исходные величины распределены не по нормальному закону, то теоретически можно предложить такое их преобразование, чтобы привести их распределение к нормальному. Эта аппроксимация должна выполняться на границе области отказа в «горячей точке» (точка подгонки) с максимальной совместной плотностью распределения всех исходных величин, так как в окрестности этой точки сосредоточены наиболее вероятные их сочетания.
В общем случае несколько исходных величин при нелинейной границе области безотказной работы процедура «метода горячих точек» состоит в следующем.
Пусть X/, Х2, ..., хп — исходные случайные величины с известными интегральными Fxi и дифференциальными fxi функциями распределения. Граница области безотказной работы задана уравнением:
g(xj, х2, ..., Хг)=0 (1.5)
где g - функция работоспособности, выбираемая так, чтобы вероятность безотказной работы определялась как вероятность того, что g>0. Если граница области отказа g=0 нелинейна, то функция работоспособности g линеаризуется в точке подгонки.
Линеаризованная функция работоспособности запишется в виде
П{ХЇ,Х2,-.,ХП) = g{Xl ,Х2,...,Хп) + 2^~ л2 — л2 (1.6)
Т.к. точка подгонки выбрана на границе области безотказной работы, то g=0, тогда
п п п
л(*„х2 ,...,*„)=-Y,aiixi ~х")=Yjatx" ~Y,aixi (L7)
i=i /=i i=i
x.t-x1
at = — дх.
Условие безотказной работы определяется неравенством h>0. Вероятность выполнения условия безотказной работы будет
Р,="|Л(г)Л = Ф(р) (U)
Если нормализованные исходные величины стандартизировать, то в пространстве этих стандартизированных нормальных величин расстояние от центра распределения до линеаризованной границы области безотказной работы будет равно р. Точка пересечения перпендикуляра, опущенного из центра распределения к прямой h=0, с этой прямой есть «горячая точка». Итерации продолжаются до тех пор, пока выбранная в очередной раз точка подгонки не окажется «горячей точкой», т.е. расстояние до точки подгонки в пространстве стандартизованных нормальных величин от центра из распределения не окажется равным р.
Это означает, что линеаризация границы области безотказной работы была проведена в точке с максимальной по этой границе плотностью совместного распределения исходных величин и погрешность от нормализации и линеаризации минимальна, т.е. индекс надежности /3=р, а вероятность безотказной работы Р5=Ф(/3).
Преимуществом метода является его универсальность и простота алгоритма. Недостаток метода состоит в том, что функция g, определяющая область отказа, должна быть всюду дифференцируемой и гладкой.
3. Метод статистических испытаний.
Если осуществляется оценка вероятности отказа по частоте события (Q>R), то производится достаточно большое число статистических испытаний по схеме Бернулли, т.е. на каждом испытании генерируются случайные реализации всех исходных величин. Выполняется детерминированный расчет значений Q и R и как функции этих реализаций и проверяется условие Q>R. Если условие выполняется - исходом испытания считается отказ. Частота v появления отказа рассматривается как оценка его вероятности Р/:
16
v=k/m*Pf (ЇЛО)
где к — число отказов;
т - общее число испытаний.
Общий алгоритм расчета строительных конструкций методом статистических испытаний следующий.
Все параметры конструкции и нагрузки, обладающие изменчивостью, считаем случайными величинами с известными законами распределения. Законы распределения задаются численно с помощью генераторов случайных чисел. Предполагается известным также детерминированный метод расчета конструкции. Отказом конструкции считается невыполнение принятого расчетного условия.
Преимуществом метода является его простота и универсальность. Недостаток метода состоит в том, что при оценке малых вероятностей Pf с приемлемой достоверностью может потребоваться большое число испытаний. И если на каждом испытании выполняется сложный детерминированный расчет, то общая потребность машинного времени становится непомерно большой и метод оказывается неэффективным.
4. Метод Монте-Карло.
Более эффективным, т.е. дающим наименьший разброс оценки вероятности отказа по сравнению с предыдущим, является метод статистического моделирования, получивший название метода Монте-Карло. Интеграл (1.3) по определению есть не что иное, как математическое ожидание функции F*, а несмещенной эффективной оценкой математического ожидания является среднее выборочное значение.
Поэтому
л т
Pf = J^W/ffWdr = ^(0«-2^(6/) (1.11)
о т /=1
На каждом испытании по плотности вероятностей величины Q моделируется ее реализация Qt и определяется значение функции
распределения величины R при аргументе Q. Затем определяется среднее из этих значений по всем проведенным испытаниям.
Преимуществом метода является его простота и повышенная эффективность по сравнению с методом оценки вероятности по частоте, т.е. меньшая потребность машинного времени.
Недостаток метода состоит в том, что в многомерном случае одна из функций распределения величин R и Q должна быть заранее задана. Кроме того, анализ точности и достоверности результата здесь приходится выполнять с использованием асимптотических распределений получаемой оценки, а не искомой вероятности как в предыдущем методе. Для этого используются более сложные и менее известные процедуры.
5. Модификация метода Монте-Карло с моделированием стратифицированных выборок.
Известно несколько модификаций метода Монте-Карло, в которых эффективность метода повышается за счет уменьшения дисперсии оценки. Одним из способов уменьшения дисперсии оценки является стратификация моделируемой выборки. Для этого интервал интегрирования разбивается на п классовых интервалов:
" Q'r " (Ql їг _ і
Pf = fa (*)/e (# = X fa (*)/(? (x)dx = \fe (x)dx [FR {Qj )) =
KQj-i
= Tp&fo(Qj)h Zpc—Z^Qj,) (1.12)
/=1 /=1 mj /=1
где Pqj - вероятность попадания величины Q в у-тый классовый интервал;
Fr(Qj) — математическое ожидание функции FR(Q) при условии
нахождения Q ву'-том классовом интервале Q j-i
rrij — число реализаций величины Q, попавших в /-тый классовый интервал;
Qy - /-тая реализация случайной величины Q в у'-том классовом интервале.
Очевидно, что дисперсия оценки в этом случае резко уменьшается, т.к. она является суммой весьма малых дисперсий случайных величин, ограниченных на одном классовом интервале. Однако, при вычислении малых вероятностей классовые интервалы, дающие основной вклад в оценку (1.12), лежат в области маловероятных значений величины Q. Поэтому значительная часть выборки оказывается ненужной и необходимое число реализаций будет довольно большим.
Для исправления этого недостатка предложена модификация метода Монте-Карло, в которой вместо того, чтобы сначала моделировать выборку значений величины Q, а затем производить ее стратификацию, сразу формируется стратифицированная выборка только на нужных классовых интервалах и заданными объемами классовых выборок.
Преимуществом метода является его очень высокая эффективность, что позволяет резко снизить потребность в машинном времени.
Недостаток метода состоит в более сложной, чем в обычном методе Монте-Карло, процедуре формирования выборки. Кроме того, при решении многомерных задач не всегда просто выделить нужные классовые интервалы для исходных величин. Анализ точности и достоверности выполняется так же, как и в обычном методе Монте-Карло и создает те же затруднения.
1.3 Методы расчета стохастических систем.
Большой вклад в совершенствования методики нормирования расчета строительных конструкций на основе вероятностного подхода и развитие теории надежности внесен работами Барштейна М.Ф. [15, 18], Бать А.А. [19], Болотина В.В. [25, 28], Булычева А.П. [31], Дривинга А.Я. [39, 40], Геммерлинга А.В. [35], Кудзиса А.П. [59], Лужина О.В. [62], Лычева А.С. [63], Отставнова В.А. [82], Павлова Ю.А. [83], Райзера В.Д. [99, 100], Складнева Н.Н. [108], Сухова Ю.Д. [118], Тимашева С.А. [119], Чиркова В.П. [124]. Основополагающее значение в развитии вероятностных методов и практических вопросов теории случайных функций и полей имеют работы Болотина В.В. [23, 24, 26, 27], Свешникова А.А. [105, 106], Пугачева B.C. [94].
Как показано Болотиным В.В. [26], внешние условия эксплуатации, а также поведение конструкции в процессе эксплуатации представляют собой стационарные и нестационарные случайные функции. Поэтому решение проблемы надежности и долговечности конструкций должно быть основано на теории случайных функций. В работах Болотина В.В. впервые обобщены вопросы теории надежности и статистической динамики строительных конструкций как стохастических систем для решения практических задач расчета сооружений.
Все вопросы, принадлежащие к классу задач статистической динамики, можно разделить на два типа.
К первому типу задач относятся те, в которых случайный элемент вносится характером внешних воздействий. Это задача нахождения вероятностных свойств выходных параметров, описывающих возможное поведение системы, при известных вероятностных свойствах входных параметров (нагрузки) и параметров системы.
Пусть внешнее воздействие характеризуется пространством Q, элементами которого q могут быть случайные функции, случайные вектора и т.д. Элементы и, образующие пространство /, описывают поведение системы. Структура и свойства системы характеризуются оператором L.
Тогда
Lu = q . (1.13)
Для данного класса задач L - стохастический линейный оператор, в правой части которого стоит случайная функция и некоторые, начальные или краевые условия. Для таких задач существует хорошо разработанный математический аппарат, позволяющий во многих случаях получить искомое решение без принципиальных затруднений.
Цель решения состоит в том, чтобы при известной связи между входными и выходными процессами в заданной форме (1.13) и известных моментных функциях входного процесса вычислить моментные функции выходного процесса.
Случайную функцию можно считать заданной, если известны законы распределения всех ординат этой функции для любых моментов времени t\,
t2, tz, ..., Например ИЗВеСТНЫ ПЛОТНОСТИ ВерОЯТНОСТеЙ p(Xi), р(Х{, Х2), р(Х], Х2,
хз) и т.д., где Xj- значение ординат функции X(tj) .
Во многих приложениях достаточно знать только моменты первого и второго порядка системы случайных величин X(tj) и X(t2) при любых значениях аргументов tj и t2 из заданного интервала изменения времени /.
