Содержание к диссертации
Введение
1. Пространственные осесимметричные задачи теории упругости 7
1.1 Классификация задач 7
1.1.1 По виду граничных условий 7
1.1.2 По форме возможного решения 8
1.2 Общие решения пространственных задач 9
1.3 Обзор существующих аналитических подходов по типу разрешающих уравнений 12
1.3.1 Замкнутые решения 12
1.3.2 Аналитические построения, приводящие к одному операторному уравнению 14
1.3.3 Решения, сводимые к совокупности операторных уравнений 16
Выводы по главе 18
2 Деформация слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным податливым включением 19
2.1 Постановка задачи 19
2.2 Компоненты тензора напряжений и вектора полного перемещения...20
2.3. Построение и анализ системы разрешающих уравнений 23
2.4 Исследование напряженно-деформированного состояния слоя на базе полученного аналитического решения 30
2.4.1. Четное нагружение слоя 30
2.4.2 Вариант нечетного нагружения 47
Основные результаты и выводы по главе 55
3. Полупространство с выработкой, подкрепленной податливым включением 56
3.1 Граничные условия 56
3.2 Построение совокупности разрешающих уравнений 57
3.3 Численные результаты для некоторых частных случаев нагружения дневной поверхности 67
3.3.1 Вариант действия нормальных сил, распределенных равномерно по площади кольца, внутренний радиус которого совпадает с границами выработки 67
3.3.2 Нагружение нормальными силами, распределенными равномерно по площади кольца, удаленного от границ выработки 74
3.3.3 Влияние касательных сил на распределение и величину напряжений вблизи ослабления 78
Основные результаты и выводы по главе 81
4. Осесимметричная деформация двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением 82
4.1 Постановка и общая схема решения 82
4.2 Выполнение условий совместности деформаций 86
4.3 Система разрешающих уравнений 91
4.4 Оценка достоверности нового решения 96
Выводы и результаты по главе 104
5. Анализ напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой 105
5.1. Программы определения напряжений и перемещений 105
5.1.1 Назначение и возможности программ 106
5.1.2 Используемые элементы математических вычислений 106
5.2 Случай «относительно жесткого» подкрепления 108
5.3 Вариант «относительно податливого» крепления 119
Основные результаты и выводы по главе 125
Заключение 126
Список литературы
- Общие решения пространственных задач
- Построение и анализ системы разрешающих уравнений
- Вариант действия нормальных сил, распределенных равномерно по площади кольца, внутренний радиус которого совпадает с границами выработки
- Используемые элементы математических вычислений
Введение к работе
Актуальность работы В практике строительства нередко встречаются деформируемые системы в виде слоистого массива с вертикальной цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены включением В первую очередь к ним относятся шахты и опускные колодцы При этом, конструкции надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное, или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки Это позволяет трактовать их как пространственные осесимметричные сооружения, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики В этом случае возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "слой-полупространство". Основной задачей, при этом, является определение давления массива на крепь и осадки дневной поверхности.
По проблеме осесимметричной деформации слоя с цилиндрическим отверстием известны работы- Айзенберга Д.Ю., Шапиро Г.С, Гринченко ВТ и Улитко А.Ф., Васильева В.З., Невзорова Н.И, а также публикации зарубежных авторов Stenberg Б, Sadowsky М A, Reiss Е L
Для полупространства с выработкой показательны работы Лехницкого С.Г для массива с выработкой, находящегося только под действием собственного веса. Каплуном А.С и Филиным А.П. рассмотрена задача для массива с ослаблением, подкрепленным трубой Результаты экспериментально-теоретических исследований перемещений в сыпучем изотропном массиве вблизи вертикальной выработки с податливой крепью представлены в трудах Булычева Н С.
Контактные задачи для многослойных объектов в настоящее время наиболее популярны Показательными являются работы таких авторов, как Александров ВМ, Подковалихина ЕА, Приварников А.К., Марченко В Л., Шамарин Ю Е, Заикин А.Д., Хапилова Н С , ЧебаковМИ. и Конопелько Е.В
Ввиду значительной трудоемкости расчетов, на практике подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы, которые, как известно, являются приближенными. По этой причине они не способны улавливать тонкие локальные эффекты напряженно-деформированного состояния рассматриваемых объектов Следовательно, эталоном являются результаты, полученные в рамках точных аналитических построений.
В этой связи в диссертации поставлена и решена задача о пространственной осесимметричной деформации двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением Исчерпывающего аналитического решения такой задачи до настоящего времени в теории упругости нет
Теоретическую основу выполненных в диссертации исследований составляют
классическое общее решение осесимметричной задачи теории упругости в форме К В Соляника - Красса,
решения задач для слоя с подкрепленным отверстием, полупространства с податливым включением, представленные в монографиях и статьях В.З Васильева.
Целью работы является построение аналитического решения
осесимметричной задачи для двухслойного полупространства с
подкрепленной вертикальной цилиндрической выработкой Разработка
компьютерных программ, позволяющих получать численные
результаты на базе приведенных аналитических построений.
Исследование напряженно-деформированного состояния
рассматриваемого объекта в целом и в зонах контакта слагающих тел Определение величины осадки дневной поверхности и давления породы на крепь
Научную новизну работы составляют
аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением при произвольном осесимметричном нагружении дневной поверхности массива;
совокупность разрешающих уравнений для системы "слой-полупространство",
алгоритм реализации аналитического решения для двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой,
численные результаты и выводы, способствующие более
эффективному прогнозу прочности составных объектов
Достоверность полученных результатов предопределяется.
применением классических аналитических методов математической теории упругости;
точным выполнением граничных условий,
сопоставлением новых результатов с некоторыми
классическими, которые получаются при помощи других
аналитических построений
Практическую ценность работы определяют:
аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с податливым включением, при произвольном осесимметричном нагружении дневной поверхности массива,
программы для ЭВМ, разработанные на базе полученных аналитических построений по исследованию напряженно-деформированного состояния слоя с подкрепленным цилиндрическим вырезом, полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением; двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной жестким включением;
численные результаты, определяющие основу прогноза прочности исследуемых объектов, а также характер изменения напряженно-деформированного состояния системы "слой-полупространство"
На защиту выносится;
-
Аналитическое решение пространственной задачи для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым креплением при произвольном осесимметричном нагружении.
-
Разрешающие уравнения, обеспечивающие возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса
-
Результаты исследования напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с ослаблением при различных вариантах подкрепления его стенок и нагружения дневной поверхности массива
Апробация работы.
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях
Недели науки «Шаг в будущее» ПГУПС, С-Пб 2005, 2006 и 2007г, научные семинары кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб 2005, 2006 и 2007 г.
Общегородской научный семинар по теории упругости на базе кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб 2007г
Семинар кафедры "Строительная механика и теория упругости"
Санкт-Петербургский государственный политехнический
университет, 2007г
* Научный семинар специалистов в области геомеханики, ОАО
научно-исследовательский институт горной геомеханики и
маркшейдерского дела. Межотраслевой научный центр ВНИМИ,
С-Пб, 2007г
Семинар кафедры "Строительная механика",
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный
университет, 2007 г
По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ и получено четыре свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения литературы и приложения, содержит 137 страниц текста, включая 57 рисунков и 9 таблиц Библиофафия содержит 111 наименований, из которых 20 на иностранном языке
Общие решения пространственных задач
Здесь приходится иметь дело с более сложным классом решений, приводящих к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений или к интегральному уравнению второго рода.
Бленкорн К. и Уилхойт Дж. [92] свели первую основную задачу для полупространства с глубокой выработкой к интегральному уравнению, решение которого выполнили численно, без исследования на регулярность. Авторы особо подчеркнули техническую сложность прямого решения такого уравнения. Аналогичным образом Юнгдал и Штернберг Е. [111] исследовали концентрацию напряжений около цилиндрического отверстия при нагружении полупространства на бесконечности.
Арутюнян Н.Х. и Абрамян Б.Л. [14] исследовали интегральное уравнение в задаче для полупространства с выработкой, стенки которого свободны от нагрузки. Гринченко В.Т. [39] проанализировал разрешающие уравнения в случае первой и второй основных задач для полупространства с ослаблением. В работе [23] Васильев В. 3. решил первую основную задачу для полубесконечного круглого цилиндра. Решение задачи сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
В работах Александрова А. Я. [3, 4, 5] и Соловьева Ю. И. [78] разработан метод сведения задач указанного класса к интегральному уравнению при помощи аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного.
В работах [22, 24, 30] Васильев В.З. рассмотрел первую основную и основную смешанную задачи об осесимметричной деформации упругоизотропного полупространства с бесконечной вертикальной цилиндрической выемкой при произвольном нагружении взаимно ортогональных поверхностей. Решения задач сводятся к интегральному уравнению второго рода.
При разработке незамкнутых решений, авторы сталкиваются с проблемой численной реализации полученных решений. Это объясняется техническими трудностями, возникающими при прямой разработке интегро-сумматорных уравнений, ядра и коэффициенты которых определяются бесконечными рядами и интегралами.
Необходимо отметить публикации Гринченко В. Т. и Улитко А. Ф. [38, 39], Соловьева Ю. И. [78], ЧемерисаВ. С. [89], Ийенгара и Йоганда [97], АгуфаЕ. А., Васильева В. 3. [24, 22, 1, 25, 28]. В этих работах, наряду с аналитическим решением, приводятся результаты численной разработки задач. В трудах [1, 24, 25] при численной реализации решений задач был применен метод неполных решений. Этот метод предложил Васильев В. 3. для численной разработки решений конкретных прикладных задач строительной механики подземных сооружений и приборостроения. В цикле работ [24 - 30] Васильев В. 3. сформировал и обосновал данный метод.
Смешанные задачи (контактные) с круговой линией раздела граничных условий, расположенной в пределах одной поверхности также относятся к рассматриваемому классу задач. Решения таких задач приводят к парным интегральным или сумматорным уравнениям, которые, однако, можно преобразовать в одно разрешающие уравнение.
Для цельного массива типичная контактная задача - это задача о вдавливании жесткого штампа в полупространство или слой. В настоящее время по этому вопросу имеется достаточно много публикаций в периодической печати. Среди них сошлемся лишь на обобщающие работы Л.А. Галина [35], Снедцона [105] и другие.
Решение задач для полупространства с выработкой, где следует учитывать взаимодействие полупространства с упруго - деформируемым включением, представляет интерес не только в теоретическом, но и в практическом плане. Арутюнян Н.Х. и Абрамян Б.Л. [15] показали возможность сведения сме шанной задачи для полупространства к интегральному уравнению вто рого рода, когда линия раздела условий лежит на поверхности полости и по всей поверхности отсутствуют касательные напряжения. Васильев В.З. в работе [30] решил задачу для полупространства с подкрепленной выработкой упругим включением. Решение доведено до численных результатов. Проведена оценка влияния деформируемости крепления на характер напряженно-деформированного состояния объекта. Эти результаты получены, когда, отсутствует трение между массивом и вставкой, и когда, на плоских гранях действуют только нормальные силы.
Главная характеристика задач данного класса - это полное сцепление составляющих тел (частей) по всей поверхности контакта плоской или цилиндрической. Их решения, при точном подходе, приводят к двум и более связанным между собой интегро-сумматорным уравнениям.
Простейший вариант подобных задач - это осесимметричная деформация слоя или полупространства с выработкой, подкрепленной упруго-деформируемым включением. Здесь можно отметить работы Филина А. П. И Каплуна А. С. [47, 48], Клюкина А. А. [53] и другие.
В [47, 48], при весьма общей постановке контактной задачи для полупространства, получена система связанных между собой интегральных уравнений, которая не исследована на регулярность. Также отсутствуют численные результаты.
Первая основная задача для слоистого полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой решена Васильевым В.З. [32]. При использовании метода декомпозиции, рассматриваются задачи в напряжениях для слоя и для полупространства с их последующим сопряжением.
Такая схема решения задачи приводит к двум громоздким интегро-сумматорным уравнениям. По этой причине, для численного исследования напряженно - деформированного состояния объекта, расчеты выполнены методом неполных решений.
Более сложный класс осесимметричных задач, в которых число разрешающих интегро-сумматорных уравнений превышает два, составляют задачи для тел со сложной геометрией или же для объектов, имеющих большее число составляющих.
Постановка подобного рода задач вызвана реальными запросами строительной механики подземных сооружений и машиностроения.
В работах Кизымы Я. М. [50, 51, 52] рассмотрены задачи о взаимодействии упругого цилиндра с полупространством и слоем.
Исследование деформации упругого изотропного массива с цилиндрической выемкой конечной глубины, при осесимметричном нагружении равномерно распределенными силами проделано в работе Васильева В.З. [32].Решение этой задачи представляется в виде суммы решений несколько сравнительно простых задач. Получена в конечном итоге система двух интегральных уравнений второго рода, свободные члены которой связаны с бесконечной системой линейных алгебраических уравнений. В этой же работе автором выполнены условия регулярности.
Построение и анализ системы разрешающих уравнений
Аналитическое решение, изложенное в п.2.1 настоящей главы, позволяет исследовать объемное напряженно - деформированное состояние вблизи включения при произвольном нагружении слоя относительно плоскости z=0. Однако, использование полученного решения инженерами - расчетчиками, вне всякого сомнения, возможно только при наличии простой для освоения и удобной для использования программы. Поэтому, автором была составлена программа для Windows, на языке Delphi, которая на самом современном уровне использует принципы объектно-ориентированного программирования. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ (см. приложение 1). Тем самым мы снимаем тот разрыв, который до настоящего времени существует между точными аналитическими подходами и возможностями их реального использования в инженерных расчетах.
Границы приложения внешней нагрузки здесь выбраны неслучайно. Во-первых, такой вид нагружения исследовался Васильевым В.З. в работе [30], для слоя с жестким включением. Такая задача имеет более простое решение по сравнению с вышеизложенным. Напряжения и перемещения в этом случае представляются только интегральной частью формы (2.3), в которой к тому же необходимо положить С (у) = С (у) = 0.В нашем случае, при устремлении относительной податливости крепления к нулю, происходит переход к указанному решению, а следовательно и полученные численные результаты должны совпадать с представленными в работе [30]. Такое соответствие было достигнуто. Во-вторых, имеет смысл пояснить, почему внешний радиус принят именно г = 2.61а. В начале исследований был рассмотрен более простой вид нагружения, при котором грузовая функция задавалась так: р(г) = р0, а г 2а, при z = ±t. Абсолютная величина нагрузки Р, действую ]=4.71-р0. щая на слой по плоскостям z = ±, ровнялась: Для сохранения абсолютной величины нагрузки Р и ее интенсивности р0, при отдалении от границ выработки на величину г = 2а, необходимо верхний предел при 2,67 2 нятьравным г = 2,67а. Получим: Р= \рд -n-rdr = pQ-n — І -4.71-рд. Процесс численной реализации задачи основан на использовании метода последовательных приближений, подробно изложенным в работе [30] В.З. Васильева. Сутью данного метода является следующее: на каждом шаге приближения контролируется поведение конкретной физической величины; итоговое значение равно сумме всех пошаговых значений. В нашем случае, во всех расчетах количество приближений принималось не менее 10. Граничные условия при этом удовлетворялись с точностью до 5%. Численное интегрирование проводилось в конечном промежутке с верхним пределом не ниже 100, шаг интегрирования про помощи квадратурной формулы Гаусса по у а и Ла не превышал 0,05. Это соответствует гарантии в конечных результатах до третей значащей цифры. Основной целью исследования было изучение влияния относительной податливости подкрепления q на характер напряженно-деформированного состояния в слое. Величина q бралась из достаточно широкого диапазона: от 0,01 до 100. Как уже было отмечено, это дает возможность оценки достоверности полученных результатов при переходе к двум частным случаям, рассмотренным В.З. Васильевым [25,30]. Если податливость включения устремить к оо, то в пределе мы переходим к первой основной задаче для слоя с вырезом, а при q - 0, к случаю абсолютно жесткого крепления. Следует также отметить, что данный вид загружения (2.20), Указанным автором исследован не полностью. Получены лишь графики распределения касательных напряжений т п и нормальных напряжений а . Исследование влияния податливости крепления вообще не производилось. В работах особо подчеркивается трудность численной реализации для данного вида нагружения.
Итак, по указанной выше программе нами найдены в различных сечениях значения компонентов тензора напряжений и проекции вектора полного перемещения при варьировании величины относительной податливости подкрепления (рис 2.3-2.12).
Вариант действия нормальных сил, распределенных равномерно по площади кольца, внутренний радиус которого совпадает с границами выработки
В итоге решение сведено к двум несвязанным между собой бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Однако в них фигурирует неизвестная функция f(z), определяющая нормальные напряжения, возникающие на поверхности контакта деформируемой породы и податливой крепи. Условием, используемым для отыскания f(z), как и в случае для слоя с подкреплением, является условие совместности радиальных перемещений поверхности цилиндрической выемки и радиальных перемещений рабочей поверхности крепи (2.16). в оценке для а (у) имеем а(у) = F2(Aa)+a(l-v)K1(Aa)/M2 Причем условие регулярности выполняется с тем большим запасом, чем меньше ці, т.е. чем ниже податливость крепления. Вместо решения уравнения (3.18) в диссертации используется схема наложения неполных решений, идентичная решению двух операторных уравнений. В отличие от решения В.З. Васильева [28] здесь учитываются силы трения q{r), действующие на дневной поверхности:
В работе [28] В.З.Васильевым были получены выражения для реальных физических величин, осадки дневной поверхности и давления массива на крепь, связанные с С(у) и D(A) такими соотношениями Ew(r) = 2д-ра C{y)W0 {у, r)yad{ya); О f{z) = p \D(A) cos Azd(Aa). О
Там же проведены численные результаты для f(z). Расчеты велись по схеме неполных решений. Автор доказал сходимость процесса и показал, что для практических расчетов достаточно трех-четырех приближений. Однако для определения напряжений и перемещений в самом общем случае (3.1) необходимо учитывать оба оператора С(у) и D{X) системы (3.23). Таких выражений автором получено не было. В данной работе этот недостаток устраняется. Компоненты тензора напряжении и проекции вектора полного перемещения записываются следующим образом:
В результате получена регулярная система разрешающих уравнений, что дает возможность использования ее для получения численных результатов, при гарантированной сходимости процесса. 3.3 Численные результаты для некоторых частных случаев нагружения дневной поверхности
На основе аналитического решения, изложенного в данной главе, была составлена программа для Windows на языке Delphi. Программа предназначена для инженеров-расчетчиков, работающих в областях шахтостроения, фунда-ментостроения, горнодобывающей промышленности. На этапе проектирования выработки, в условиях относительно слабых пород, она позволяет определять осадки дневной поверхности массива, давление на крепь, искажение цилиндрической поверхности ствола, а также все остальные напряжения, возникающие в массиве. При этом возможно варьирование вида функции внешней нагрузки, ее интенсивности, коэффициента Пуассона v2 полупространства, и характера его подкрепления. Возможен переход к жесткому креплению и к варианту, когда подкрепление отсутствует. Результаты представляются в удобной графической форме и в виде таблиц. Поэтому тот разрыв, который до настоящего времени существует между точными аналитическими подходами и возможностями их реального использования в инженерных расчетах снимается. Как и в случае со слоем, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ (см. приложение 1).
Возможности программы продемонстрированы на нескольких задачах для полупространства с выработкой.
Основной целью исследования было изучение влияния относительной податливости подкрепления ; на осадку дневной поверхности, величину и характер давления массива на крепь, а также на радиальные перемещения ствола выработки. Величина с, бралась из достаточно широкого диапазона: от 0,01 до
100. Критерием достоверности полученных результатов является следующее. Если податливость включения устремить к со, то в пределе мы переходим к первой основной задаче-для полупространства с выработкой, а при q - 0, к случаю абсолютно жесткого крепления. Первая задача изучена Арутюняном Н.Х., Абрамяном Б.Л [14], Blenkarn К.А., Wilhoite I.C.[92], Васильевым В.З. [22,24], Каплуном А.С., Филиным А.Щ48], вторая - Конопелько Е.В. [54] и Васильевым В. 3. [21]. Однако численных результатов в данных работах очень мало. Исключением являются лишь работы Конопелько Е.В.[54] и Васильева В.З. [21,28]. При решении контактных задач Конопелько Е.В вообще переходит на метод конечных элементов. Автор особо подчеркивает трудности численной разработки аналитических решений, приводящих к операторным уравнениям. Следует отметить, что изучение влияния податливости крепления на характер напряженно-деформированного состояния полупространства ни одним из вышеуказанных авторов не производилось.
Как и в случае со слоем, процесс численной реализации задачи основан на использовании метода последовательных приближений, при котором на каждом шаге приближения контролируется поведение конкретной физической величины, а итоговое значение равно сумме всех пошаговых значений
Используемые элементы математических вычислений
Полученные результаты показывают, что вертикальные перемещения по величине и характеру распределения существенно зависят от р(г). Материал верхнего слоя «выпучивается» вне зоны действия нагрузки, и стремительно убывает за ее пределами. Видно, что осадка максимальна при первом варианте нагружения. При втором и третьем вариантах осадка уменьшается на 40% и 55% соответственно. В остальных случаях это уменьшение становится не столь значительным. Из этого следует практический вывод: максимальный эффект уменьшения вертикальных перемещений дневной поверхности достигается при использовании 2-го, либо 3-го вариантов нагружения. Однако выбранные указанным автором исходные данные (v,=v2=0,5) вряд ли отвечают реальным условиям задач механики грунтов и расчета оснований, так как для большинства грунтов коэффициент Пуассона лежит в пределах от 0,2 до 0,3. Поэтому нами были построены соответствующие графики, для v,=v2=0,3; = а, при различных значениях со (рис. 5.2-5.4). Характерно, увеличиваются с уменьшением коэффициента Пуассона. Это, на первый взгляд, кажется противоречивым здравому смыслу, но, переходя к реальной физиче-ской величине осадки w, все встает на свои места. Так для песков средней крупности v « 0.3, Е « 50М7д, ц 20МПа; для тяжелого бетона v 0,16 - 0,18, Ея\1-40ГПа, ц«7-17Л7а. Т.е. коэффициенты Пуассона отличаются менее чем в 2 раза, в то время как модули сдвига - в 1000 раз. Поэтому решающую роль играют именно модули сдвига.
Характер распределения осадки, при переходе к v, = v2 = 0,3, также меняется. Видно, что уже при со = 0,01, эффект «выпучивания» резко снижается, а
Как уже было отмечено, в случае расположения грузовой функции на некотором удалении от границ выработки, осадка дневной поверхности значительно уменьшается. Что касается напряжений, то в существующей литературе ответа на этот вопрос нет. Поэтому нами были получены графики распределения нормальных и касательных контактных напряжений, действующих по плоскости контакта слоя и полупространства, а также график давления верхнего слоя на подкрепление (рис.5.5-5.9 ). Величина со , принималась из диапазона от 10"1 до 10+2. На всех этих рисунках определенный номер кривой отвечает конкретному значению со : со =0.01 обозначено номером 1; со =0.1-2; со =1-3; со =10-4; со =100-5. Коэффициент Пуассона v, =v2 =0.3, как и в предыдущем случае. Функция нагрузки была задана в форме 2.
Из графиков рис.5.5 видно, что нормальные напряжения на поверхности выработки в случае жесткого верхнего слоя становятся знакопеременными по высоте. Нижняя часть слоя стремиться оторваться от подкрепления. Это естественный результат для слоя, лежащего на податливом основании. Данное обстоятельство указывает на границы применимости данной расчетной модели к практическим задачам механики грунтов и расчета оснований. Эта модель удовлетворительна, по-видимому, при со 1. Эффект возникновения отрицательных напряжений тг в случае жесткого верхнего слоя хорошо виден и на рис.5.6. Здесь уже показано распределение аг по границе контакта слоя и полупространства. Примечательно, что для всех случаев кроме 5, радиальные напряжения имеют наибольшее по модулю значение в центре прикладываемой нагрузки. Для случая 5 максимальные аг появляются на цилиндрической поверхности выработки.
Результаты для контактных напряжений о2 представлены на рис. 5.7. Из этого графика следует, что контактные напряжения по величине и характеру распределения при изменении со меняются значительно. Когда сверху располагается слабый слой (со = 0.01), контактные нормальные напряжения az хорошо «следят» за характером поверхностных сил. В середине приложения нагрузки они имеют максимальное значение, а за ее границами быстро уменьшаются. Если же верхний слой жесткий (со =100), на глубину z = t = a передаются нормальные напряжения менее 20% от интенсивности нагрузки. Однако эти же напряжения по мере удаления от шахты убывают весьма медленно. Происходит перераспределение поверхностного давления, что сказывается на достаточном удалении от границ выработки.
По касательным напряжениями (рис. 5.8 ) сохраняется правило: максимальные тппоявляются при тех значениях г, где обрывается нагрузка на днев-ной поверхности. В данном случае, при г = 2а, г = За.
В заключении данного исследования на рис. 5.9 представлен график для нормальных напряжений av. Хотя они и не являются основными при анализе напряженно-деформированного состояния, тем не менее позволяют инженеру-расчетчику более качественно представить работу системы. В процессе численной разработки оказалось, что напряжения а при со 1 имеют положительные значения на всем протяжении координаты а г оо, а при со -1 полностью находятся в отрицательной зоне. Примечательно, что в отличие от напряжений а2 или г , которые имеют максимум при со =0.01, эти напряжения достигают максимального значения при со =100, т.е. в случае жесткого верхнего слоя.
