Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Состояние вопроса и задачи исследования - 8
1.1. Виды малоцикловых нагрузок и их статистические характеристики - 8
1.2. Диаграммы деформирования материалов - 17
1.2.1. Исходная диаграмма деформирования бетона - 19
1.2.2. Исходная диаграмма деформирования арматуры - 32
1.2.3. Диаграммы деформирования бетона и арматурной стали при циклических нагружениях - 37
1.3. Стабилизация приращений деформаций бетона при циклических нагружениях - 51
1.4. Методы расчета конструкций на надежность - 55
1.4.1. Общие методы теории надежности - 55
1.4.2. Вероятностные методы расчета железобетонных конструкций . - 68
1.5. Основные выводы - 71
1.6. Задачи исследований .:. 72
Глава II. Экспериментальное исследование процессов деформирования тяжелого бетона при малоцикловых нагружениях - 73
II. 1. Методика исследований и образцы для испытаний - 73
П.2. Физико - механические свойства бетона при первом нагружении - 77
П.З. Диаграммы деформирования бетона при повторных нагружениях . - 83
П.4. Диаграммы деформирования бетона при разгрузках - 95
П.4.1. Диаграмма деформирования бетона при первой разгрузке - 95
П.4.2. Диаграмма деформирования бетона при повторных разгрузках . - 107
II.5. Накопление деформаций бетона при циклических нагружениях . - 110
П.6. Основные выводы по главе II - 137
Глава III. Детерминированная модель циклического деформирования бетона и арматуры - 139
III. 1. Обоснование расчетных зависимостей модели циклического деформирования бетона и арматурной стали - 139
III.2. Расчетный алгоритм получения диаграмм циклического деформирования бетона и арматуры - 157
Ш.З. Основные выводы по главе III - 160
Глава IV. Методы расчета железобетонных элементов на надежность при кратковременном малоцикловом нагружении - 161
IV. 1. Вероятностный метод расчета при однократном нагружении - 161
IV.2. Вероятностный метод расчета железобетонных элементов при циклическом режиме нагружения - 168
IV.3. Статистики физико - механических характеристик бетона - 173
IV.4. Основные выводы по главе IV - 182
Глава V. Примеры вероятностных расчетов - 183
V.I. Примеры вероятностного метода расчета при однократном нагружении - 183
V.l.l. Расчет центрально сжатого бетонного элемента - 183
V.I.2. Расчет сжато изогнутого железобетонного элемента - 185
V.2. Примеры вероятностных методов расчета при малоцикловых нагружениях - 192
V.2.I. Пример вероятностного метода расчета плиты перекрытия многоэтажного промышленного здания с учетом нагрузки от напольного транспорта методами теории надежности - 192
V.2.2. Пример вероятностного метода расчета бетонного элемента на центральное сжатие методом статистических испытаний - 196
V.3. Основные выводы по главе V - 207
Основные Выводы - 208
Список литературы
- Диаграммы деформирования бетона и арматурной стали при циклических нагружениях
- Диаграммы деформирования бетона при повторных нагружениях .
- Расчетный алгоритм получения диаграмм циклического деформирования бетона и арматуры -
- Вероятностный метод расчета железобетонных элементов при циклическом режиме нагружения
Введение к работе
В реальных условиях железобетонные конструкции в процессе эксплуатации подвергаются повторным нагружениям, которые качественно изменяют характер напряженно - деформированного состояния (НДС). Актуальность темы обоснована тем, что большинство временных нагрузок, не являющихся многократно-повторными, содержат кратковременную переменную составляющую при немногочисленных циклах повторений (от двух до нескольких тысяч). При таких малоцикловых нагрузках (МЦН) допускается относительно высокий уровень напряжений, когда заметно проявляются нелинейные свойства бетона и арматуры. В конструкции последовательно реализуются процессы нагружения и разгрузки, которые приводят к трансформации напряженно-деформированного состояния элементов, происходит накопление остаточных деформаций и повреждений, влияющих на долговечность конструкций. Результаты испытаний конструкций и обследования сооружений показывают особенно существенное влияние малоцикловых нагружений на трещиностойкость и жесткость конструкций, что в ряде случаев вызывает необходимость ремонта. В известной мере это связано с тем, что в современных нормах особенности действия малоцикловых нагрузок не учитываются.
В промышленных зданиях кратковременные малоцикловые нагрузки (КМН) возникают от напольного транспорта и подвесного кранового оборудования, технологического оборудования; в общественных, учебных, торговых и спортивных зданиях существенны нагрузки от скопления людей с циклами повторения в несколько часов. Особые КМН возникают при землетрясениях. Для сооружений емкостного типа (силосы, бункеры, резервуары и др.) характерны длительные малоцикловые нагрузки (ДМН), возникающие вследствие циклических процессов заполнения, хранения и выпуска материалов.
К настоящему времени выявлены особенности деформирования бетона: ветви разгрузки и повторных нагружений; уровень напряжений, обеспечивающих стабилизацию деформаций; влияние циклических нагружений на трещиностойкость и прочность элементов. Вместе с тем процесс стабилизации деформаций при различных режимах циклического нагружения является не достаточно изученным. В последние годы для расчета железобетонных конструкций на КМН применяются методы, основанные на использование реальных диаграмм деформирования материалов с ориентированием на компьютерное обеспечение. На сегодняшний день разработана общая фундаментальная модель деформирования железобетона, позволяющая производить расчет с учетом физической нелинейности при различных режимах циклического нагружения, однако, для решения задач
-5-надежности требуются модели циклического деформирования бетона и арматуры, ориентированные на решение вероятных задач.
В общем случае сопротивления элементов и усилия в их поперечных сечениях относятся к случайным процессам, так как с течением времени могут значительно изменяться как механические характеристики бетона и арматуры, так и интенсивность и характер нагрузки. Поэтому достижение предельных состояний конструкции носит случайный характер, и целью расчета конструкции является обеспечение ее надежности, т.е. безопасности, ремонтопригодности и долговечности с заданной обеспеченностью. Существующие методики, используемые для определения надежности конструкций, основываются на формулах СНиП и зависят только от прочностных свойств материалов конструкций. Задачей предлагаемой работы являлось разработка методик расчета стержневых железобетонных и бетонных конструкций на надежность с учетом случайных как прочностных, так и деформативных свойств бетона и арматуры, а также накопления остаточных деформаций в бетоне при КМН.
Целью диссертационной работы является разработка методов расчета стержневых железобетонных конструкций на надежность при малоцикловых нагрузках на основе вероятностных методов с учетом реальных диаграмм деформирования материалов, которая включает:
проведение экспериментальных исследований деформирования сжатого бетона при сложных режимах циклического нагружения;
разработку аналитических зависимостей между напряжениями и деформациями для диаграмм деформирования бетона и арматуры при циклических режимах одноосного нагружения;
исследование процесса стабилизации деформаций бетона при сложных режимах циклического нагружения;
выявление критерия отсутствия разрушения бетона при сложных режимах циклического нагружения;
разработку методики расчета стержневых железобетонных конструкций на надежность при однократном и кратковременном малоцикловом нагружениях с учетом реальных диаграмм работы материалов.
-6-Автор защищает:
~ результаты экспериментальных исследований диаграмм деформирования и накопления деформаций сжатого бетона при кратковременных малоцикловых нагружениях;
аналитические зависимости, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями в диаграммах деформирования бетона при сложных режимах кратковременного малоциклового нагружения;
диаграммы работы арматуры при кратковременных малоцикловых нагружениях;
методику расчета накопления остаточных деформаций в бетоне при произвольных режимах нагружения;
деформационный критерий стабилизации остаточных деформаций в бетоне при сложных режимах кратковременного малоциклового нагружения;
методику расчета стержневых железобетонных конструкций на надежность при однократном и кратковременном малоцикловом нагружениях с учетом реальных диаграмм работы материалов.
Научную новизну работы составляют:
диаграммы деформирования бетона при сложных режимах нагружения и критерий стабилизации накопления деформаций в бетоне при сжатии;
случайные характеристики диаграмм деформирования сжатого бетона при однократном и циклических нагружениях, которые представлены в виде случайных функций;
представление стабилизации процесса накопления деформаций сжатого бетона при циклическом нагружении, как стационарный случайный процесс;
методика расчета нормальных сечений бетонных и железобетонных элементов на надежность с использованием реальных полных диаграмм бетона и арматурной стали, рассматриваемых как случайные функции деформаций.
Практическое значение работы:
Предложена методика получения диаграмм деформирования сжатого бетона и арматурной стали при сложных циклических нагружениях.
Разработан метод расчета нормальных сечений железобетонных элементов на надежность при однократном и циклических нагружениях, который позволяет оценивать надежность достижения всех предельных состояний.
Получена количественная оценка влияния изменчивости предельных деформаций бетона на надежность железобетонных элементов.
Достоверность результатов исследования обеспечивается тем, что разработанные методики и приведенные зависимости основываются на экспериментальных данных различных исследований и полученных автором.
Работа выполнена на кафедре железобетонных конструкций Московского государственного строительного университета под руководством доктора технических наук, профессора Б.С.Расторгуева.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы и содержит 225 страниц машинописного текста, 103 рисунка, 58 таблиц.
Диаграммы деформирования бетона и арматурной стали при циклических нагружениях
Исследованием поведения железобетонных конструкций при немногократно повторных (малоцикловых) нагружениях занимались многие авторы [41,42,53,59,63,64,87,90,91,146,198]. Существует много работ, посвященных поведению бетона при малоцикловых воздействиях [6,11,32,79,84,87,90,91,105,108,121,176,210], его циклическому деформированию при различных режимах нагружения [88,105,120,148,251,259]. Поведение различных типов бетона под малоцикловой нагрузкой в последнее время широко освещается в иностранной литературе [268,283].
В работах [1,148] указывается на трансформацию диаграмм работы материала при малоцикловых нагружениях, причем используется гипотеза о постоянстве предельных деформаций. Однако, существует множество работ в которых рассматривается влияние различных внешних нагрузочных факторов, а именно времени приложения нагрузки [101,175,230] или режим циклического нагружения, на предельные деформации.
Существует большое количество работ, посвященных изменению прочности бетона под воздействием нагрузочного фактора [14,20,72,101,106,127,148,211].
Изменение физико - механических свойств бетона, влияние на процесс разуплотнения бетона различных факторов при циклическом деформировании рассматривается в работах [27,49,101].
Ряд работ посвящено исследованиям процессов разрушения бетона и созданиям моделей разрушения как при статическом нагружении, так и при циклических нагрузках [30,70,153,211,231,262,263,268,269,273,276,277,278,281,282].
Множество работ [104,261,263,266,268,276,279] посвящены диаграммам повторного нагружения - разгрузки, в т.ч. с нисходящей ветви исходной диаграммы бетона.
Современный этап развития расчета железобетонных конструкций требует все более точного и полного учета всех факторов, влияющих на работу конструкции. Такой подход приводит к необходимости использовать в расчетах диаграммы работы материала и соответствующие численные методы расчета с применением ЭВМ. Для использования численных методов необходимо создание математических моделей материалов, в частности бетона, наиболее адекватно отражающих особенности деформирования в конструкциях на всех этапах сложного и, в частности, циклического режима нагружения.
В настоящее время существует множество работ [67,88,121,163,190,202,204,251,261,280], посвященных тем или иным аспектам, связанным с описанием диаграмм режимного деформирования бетона. Наиболее полно и разносторонне создана и описана математическая модель бетона в работе Н.И. Карпенко [88].
В основе моделей циклического деформирования [88,190,251], т.е. кривых разгрузок и повторных нагружении, лежат узловые точки 1, 2, 3, 4 (рис. 1.2.3.1), которые связаны между собой зависимостями. Под точкой 1 с координатами ( ,,0",)понимают точку, лежащую на исходной диаграмме, с которой начинается процесс первой разгрузки, а также точки пересечения кривых повторных разгрузок с исходной диаграммой. Под точкой 2 с координатами (е2,ст2), при этом сг3 =0, понимают точку полной.разгрузки текущего цикла. В литературных источниках также упоминается точка 3 с координатами {є3, 7 , которой обозначают точку пересечения кривой разгрузки с кривой повторного нагружения следующего цикла. Под точкой 4 с координатами (є4, т4) понимают точку, лежащую на исходной диаграмме и являющаяся точкой пересечения кривой повторного нагружения с исходной диаграммой. Введем понятие промежуточной точки 2/1. Под точкой 2/1 с координатами \є2і\ агі\) будем понимать точку, лежащую на кривой разгрузки, которую получаем при неполной разгрузке. Введем также точку 5. Под точкой 5 с координатами (е т5) понимают точку, лежащую на кривой повторного нагружения и являющейся точкой максимального нагружения текущего цикла.
В процессе циклического нагружения происходит увеличение остаточных деформаций, повторная нагрузка и разгрузка бетона вызывает петли гистерезиса, постепенно сужающиеся с нарастанием числа повторений. Во многих работах говорится о том, что при повторных нагружениях кривые повторного нагружения начинают в начале нагружения иметь выпуклость к оси деформаций, затем при пересечении примерно точки 3 - выпуклостью к оси напряжений, т.е. кривая постепенно начинает принимать «S» образную форму. Это объясняется тем, что с ростом напряжений в бетоне все значительнее проявляются неупругие деформации, приращения которых опережают приращения напряжений. На ветви разгрузки кривая направлена выпуклостью в сторону оси деформаций, т.к. в начале разгрузки проявляются упругие деформации, причем модуль деформаций в начале разгрузки выше, чем в начале повторного нагружения. Это объясняется тем, что в процессе нагружения произошло нарушение структуры бетона под действием нагрузки, а при разгрузке бетон с некоторым запаздыванием переходит от более плотного состояния к менее плотному. При разгрузке и при полном снятии нагрузки проявляется упругое последействие, связанное с упруго -пластическими свойствами структуры бетона. С ростом уровня напряжений от циклу к циклу происходит заметное увеличение выпуклости кривых повторного нагружения, что связано с накоплением микроразрушений.
Диаграммы деформирования бетона при повторных нагружениях .
Из данных табл. П.3.3. видно, что в образцах групп П-І-2 наблюдается незначительное увеличение прочности и значительный рост bR. В этих группах образцов осуществлялось циклическое нагружение постоянного уровня с полной разгрузкой в каждом цикле. В образцах групп П-І-3...5 наблюдался сравнительно одинаковый рост прочности, больший, чем в предыдущих группах и сравнительно одинаковый, но меньший, чем в предыдущих группах рост ebR. В данных группах образцов осуществлялось блочное нагружение со ступенчато повышающимися уровнями напряжений от блока к блоку, с одиночными выбросами нагрузки и с постоянным уровнем нагружения и неполной разгрузкой. Очевидно, это не случайно и эти режимы в большей степени, независимо от уровня напряжений при нагружении, влияют на уплотнение бетона и повышение прочности. На образцы серии II повторные нагружения оказали значительно меньшее влияние на прочность и предельную деформацию.
В результате анализа экспериментальных данных следует, что циклический режим деформаций приводит к трансформации диаграмм деформаций в основном вследствие измененной формы кривой, причем для бетонов плотной структуры (В/Ц 0,5) при Rb 40 МПа предельные сопротивления и деформации практически не изменяются. Изменение формы кривой ть - ь связано с появлением точки перегиба после некоторого числа циклов, причем до точки перегиба кривая обращена выпуклостью к оси деформаций, а выше точки перегиба -выпуклостью к оси напряжений («S» - образная кривая деформаций).
Форма кривой ть — єь влияет на значения начального модуля деформаций Е ь, соответствующего первому участку кривой (до точки перегиба). Для вычисления Е ь по результатам опытов фиксировались деформации при уровне 10% и 5% соответственно от предполагаемой прочности с выдержкой на ступени 5 мин. Фиксирование деформации на кривой нагружения проводилось через цикл, соответственно на 1, 3, 5 циклах и так далее.
Выше указанные данные были получены для образцов I серии групп П-І-2/1, П-І-2/2, П-І- 2/3, П-І-2/4, П-І-3/1, П-І-3/2, П-І-4/1, П-І-4/2 и II серии групп П-П-2/1, П-П-2/2, П-П-4/1.
Анализируя полученные данные по Е ь при уровне нагружения 0,05..0,1 было получено, что для получения единой зависимости для E b, независимо от режима циклического нагружения, ее необходимо определять в зависимости от нормированной остаточной деформации J = е г jsbR , где е\ = е .
В зависимости от 02 опытные значения Е ь для образцов I серии приведены на рис. 11.3.13.
Учитывая существенный разброс внутри групп образцов, не было выявлено какого-либо влияния режима нагружения на характер снижения Е ь.
На рис. И.3.14. приведены точки, полученные при анализе данных образцов П серии вместе с данными образцов I серии. Как видно, прочность бетона, характеризующая структуру материала не оказала влияния на характер снижения E h.
Учитывая все выше изложенное, предлагается определять снижение начального модуля деформации Е ь при уровне напряжений 0,05- 0,1 относительно накопленной к моменту повторного нагружения относительной остаточной деформации 2 по полученной, используя обобщенный регрессионный анализ гиперболической зависимости
Проведенные испытания показали, что при действии циклических нагрузок происходит постоянное накопление деформаций в бетоне и увеличение кривизны диаграммы разгрузки к оси деформаций, что проявляется, в частности, в росте модуля деформаций бетона в начале разгрузки Е . Степень кривизны после конечного числа циклических нагружений, как уже было сказано, также можно характеризовать коэффициентом КЕ , = Е /Е .
Для уточнения КЕІ" . опытные образцы I и И серий при последней разгрузке перед последующем нагружением до разрушения разгружались равномерно снижающейся нагрузкой со скоростью, аналогичной первой разгрузке, с выдержкой на каждой ступени, составляющей 10% от предполагаемой прочности, 5 мин.
Изменение диаграммы разгрузки после циклических нагружений контролировалось для образцов групп П-І-2/1, П-І-2/2, П-І-2/3, П-І-2/4, П-І-3/1, П-І-3/2 I серии и П-П-2/1, П-И-2/2, П-П-4/1II серии.
Опытные значения КЕ для образцов определялись косвенным путем, определяя предварительно модуль деформации в начале разгрузки Elf аналогичным способом, что и модуль деформации в начале первой разгрузки Еы .
Для анализа изменения коэффициента КЕ)" К при циклических нагружениях рассматривалось отношение данного коэффициента, полученного по диаграмме разгрузке после циклического нагружения КЕ{ Ш, к коэффициенту, полученному по диаграмме первой разгрузки КЕЬ ceit.
Рис. 11.4.2.1. Зависимость КЕ С,К1 КЕЬса. от уровня нагружения г/ Как видно из рис. П.4.2.1,, до уровня нагружения TJ 0,6 циклические нагружения не приводят к изменению кривизны диаграммы разгрузки по сравнению с диаграммой первой разгрузки. Далее, при больших уровнях нагружения происходит увеличение кривизны, т.е. отношения модуля деформации бетона в начале процесса разгрузки к секущему модулю, причем в опытах было зафиксировано увеличение модуля деформации при уровне нагружения =0,93 в 1,9 раза.
Для исследования процесса накопления деформаций в бетоне и установления условий стабилизации деформаций при циклических нагружения сложного режима бетонные призмы испытывались при различных режимах согласно табл.П. 1.1.
Стабилизацию деформаций в бетоне принято фиксировать по остаточной деформации е г (рис.Ц.5.1.), являющейся отражением деструктивных процессов в материале, которая замерялась после разгрузки на заданный уровень. Под стабилизацией понимался момент стабилизации среднего приращения остаточной деформации Ає 2 = - є , т.е. постоянство его значения.
Расчетный алгоритм получения диаграмм циклического деформирования бетона и арматуры -
Перегрузка возможна при начальном нагружений или после повторного нагружения, что, как показала II глава, существенно влияет на процесс последующего деформирования бетона.
Как следует из II главы, диаграмма деформирования, зависящая от числа циклов нагружения, уровня нагружения и разгрузки и последовательности циклов нагружения, ф трансформируется в процессе нагружений. Трансформация диаграммы выражается, в большей степени, в изменении деформативных характеристик, а именно: модуля деформации в начальный момент нагружения, начального модуля упругости и накопления остаточных деформаций. Исходя из выше указанного для описания трансформированных диаграмм деформирования бетона наиболее подходят зависимости, в которых для определения параметров используются условия прохождения кривой через характерные точки и производные в них. Для аналитического описания и нахождения решения наиболее удобны зависимости единые на всем диапазоне изменения деформации, например, многочлены третьей и большей степеней (см. табл. І.2.1.1.п.2,3,4). В используемых зависимостях необходимо подставлять не деформацию е, а разность деформаций є-єп.к, где etes - накопившаяся за предыдущие циклы деформирования остаточная деформация. При использовании численных методов функции диаграмм деформирования могут задаваться любыми способами и функциями, наиболее точно описывающими диаграммы. В этом случае также достаточно точно диаграммы деформирования могут быть описаны зависимостью, приведенной в табл. 1.2.1.1.П.8.
Как показали результаты испытаний, приведенные в II главе, исходные диаграммы деформирования и диаграммы после повторных нагружений могут быть представлены как случайные функции деформаций. Учитывая, что для арматурной стали характерен разброс прочностных и деформативных характеристик, принимаем, что диаграммы работы арматурной стали являются случайными функциями деформаций.
Для оценки надежности работы железобетонных конструкций предлагается применять вероятностный подход для получения стохастического напряженно - деформированного состояния нормальных сечений во всех стадиях работы с использованием реальных полных диаграмм а-є бетона и арматурной стали, рассматриваемых как случайные функции деформации. Усилия в сечениях задаются в виде случайных величин. Определяемые функции распределения деформаций элемента применяются для оценки меры надежности предельных 4- состояний.
Подобная постановка задачи вероятностного расчета конструкций предложена в работе [196], в которой приведен вероятностный анализ параллельно работающих стержней со случайными идеально хрупкими и упруго - пластическими диаграммами и в виде кубической параболы со случайным параметром.
Как известно, диаграммный метод расчета конструкций обеспечивает высокую точность для параметров сопротивления элементов. Поэтому не требуется вводить функции погрешностей, как в применяемых в настоящее время вероятностных методах расчета на основе детерминистических формул СНиП П-21-75 [114,214].
Предлагается рассматривать в общем случае железобетонный элемент прямоугольного сечения Ь х h с двойной арматурой As}, As2 (арматура площадью Asl расположена в растянутой или менее сжатой зоне). Внешние случайные усилия N и М определены расчетом элемента по недеформируемой схеме и зависят только от случайных постоянных и временных нагрузок, а также от усилия предварительного обжатия. Изгибающий момент М принят относительно некоторой оси (моментной) на расстоянии z0 от верхней (более сжатой) грани, продольная сила N приложена вдоль моментной оси (рис. IV. 1.1). Считается известной совместная плотность вероятности усилии P(N,M).
Вертикальная ось OZ координат сечения с началом на моментной оси направлена в сторону центра кривизны деформированной оси. Координаты нижнего и верхнего волокон сечения принимаются равными z, = -\h - z0), z2 = z0 ; координаты соответствующей арматуры - z11 = zt+a , zs2 = z2-a .
Диаграмма деформаций сжатого бетона УЬ\ЄЬ) определяется характеристическими случайными величинами: модулем упругости Еь , сопротивлениями и деформациями в конце " восходящей Rb, sbR; в конце нисходящей Rbu, єЬн ветвей. Известны плотности распределения: p(Rb Eb ebR); р(КЬг,,єЬи); p(Rb,hli,Rbll,sbu).
Аналогично диаграмма растянутого бетона аы уеы) определяется случайными величинами Eb, Rbl, єш, Rbw, еЫи и соответствующими плотностями вероятности.
Диаграммы деформаций растянутой и сжатой арматуры т,(«;,), TK.(Jt) из стали с площадкой текучести определяются случайной деформацией siV = a /Et (а1Т - предел текучести) с плотностью вероятности рієіуу, из стали без площадки текучести может быть определена величиной а02, если использовать аналитическую зависимость (табл.1.2.1.l.n.8) при ае1 = /? т02, ее( = SeljEs. Модули упругости Es всех сталей приняты детерминированными.
Все возможные стадии деформирования сечения сгруппированы в двух состояниях: состояние 1 - все сечение сжато; состояние 2 - часть сечения растянута.
Деформация любого волокна сечения согласно закона плоских сечений равна (рис. IV. 1.1) є(г) = Ц + хг, (IV.1.1) где 0 - деформация волокна вдоль моментной оси, % = 1/г - кривизна сечения. Случайные величины е0 и % приняты в качестве характеристических параметров для обоих состояний деформирования сечения. Состояние 1 реализуется, если
В формулах (IV.1.4)...(IV.1.7) напряжения и деформации сжатого бетона приняты со знаком «+», а растянутой арматуры и бетона - со знаком «-».
Здесь деформации Єь , Shl ОПредеЛЯЮТСЯ ПО формуле (IV; 1.1), Є = 0 + XZS\ , Є5г = Єа + Xzx2 zl находится из соотношения (IV. 1.3).
Как видно, уравнения равновесия содержат случайные функции от случайных аргументов и интегралы от случайных функций, причем в уравнениях (IV.1.6), (IV. 1.7) пределы интегрирования являются случайными величинами.
Из полученных систем уравнений находятся совместные плотности вероятности деформаций pw(eQ,z) РУ2\и %) соответственно для состояний 1 и 2 и по ним полная плотность вероятности деформаций элемента с учетом возможной работы в состояниях 1 и 2 p( x) = Pi ,(el ,x)ql+p{2 { ,x)q2, (IV. 1.8) где 7, - вероятность реализации состояния 1, q2 вероятность состояния 2. Система уравнений (IV.1.4), (IV. 1.5) и (IV. 1.6), (IV.1.7) согласно терминологии работы [35] относится к вырожденным системам с входными параметрами N, Ми выходными параметрами є0, х Данные системы, характеризуемые случайными диаграммами деформаций материалов, зависящими от некоторых случайных параметров r];r2,..,rk (Еь, Rb, sbR, єЬи, Rs и т.д.), являются стохастически вырожденными.
Вероятностный метод расчета железобетонных элементов при циклическом режиме нагружения
Теперь рассмотрим наиболее общий пример расчета изгибаемого железобетонного элемента с одиночной арматурой. Принимаем, что в расчетном сечении элемента возникают как изгибные усилия, так и усилия продольного сжатия.
Рассматривается пример расчета железобетонной балки прямоугольного сечения с одиночной арматурой.
Диаграмма деформаций сжатия бетона принята в виде квадратного многочлена (V. 1.1.1). Предельная деформация еЬи определяется как деформация, превышающая EbR, при которой напряжение, вычисленное по (V. 1.1.1) равно остаточной прочности 0 ,,=0,85. .
Предельная деформация sbR определяется из формулы (IV.3.4.), тогда величину єЬи можно определить из соотношения ebll= 1,387.
Диаграмма деформаций сжатого бетона &е\єь) (V. 1.1.1) определяется характеристическими случайными величинами: сопротивлением, и деформацией в конце восходящей ветви Rb и еья соответственно. Считаем, что известна плотность распределения Р(И Ш)
Для преднапряженной плиты принимаем арматуру класса A-IV, т.е. с условным пределом текучести. Для описания диаграммы высокопрочной арматурной стали принимаем кубическую параболу следующего вида а(ї = Ч+ Ч3=— --W (V.l.2.1) л 2є„ 2s3„ Предельную деформацию при растяжении арматуры принимаем детерминированной и равной для арматуры A-IV esu =0,06+ -р-. Модуль упругости стали Es принимаем Es детерминированным. При расчете принимается, что при сжатии напряжения и деформации берутся со знаком «+», а при растяжении со знаком «-».
При расчете равновесия усилий в сечении учитывается зона растянутого бетона jbl, а также вводится условное напряжение растяжения бетона а в зоне возникновения трещины, согласно работе [190], позволяющее получать при расчете средние деформации бетона и арматуры.
Для растянутого бетона аы, в силу несущественности влияния формы диаграммы на расчет, принимаем линейную диаграмму растяжения, проходящую через вершину диаграммы с предельной деформацией при растяжении еЬы и напряжением, равным прочности бетона при растяжении Rbl. Напряжения от растянутого бетона рассчитываются при
Согласно [18] Rbl = 0.233 /2 , тогда єЬш = — . Модуль упругости бетона Еь принимается детерминированным и вычисляется по формуле (табл. 1.2.1.2.п.8). Напряжение ijfo рассчитывается по формуле Э]Т = 0.5R. - - на участке образования трещины соответственно при напряжениях в арматуре et eblu. Случайными параметрами системы являются Rh, ebR, Rs. Остальные величины принимаются функционально зависимыми по выше приведенным зависимостям поскольку коэффициенты корреляции данных величин близки к 1 или -1. Рассматриваются два случая расчета (рис. IV.1.L), то есть без и с растянутой зоной в сечении.
При расчете принимается, что произвольная моментная ось (z = 0) совпадает с точкой приложения продольной силы и начальной деформации и располагается на расстоянии z0 от нижней грани сечения.
Уравнения равновесия (IV. 1.4)...(IV.1.7) при численном решении задачи можно записать в единой виде, используя условные переходы для зависимостей, из которых состоит выражение. Для этого необходимо вычислить координату положения нейтральной оси z, (pHC.IV.l.l) по формуле 2,=-8 1% при -0/ .-г0, иначе z, =-г0 и записать условия использования формул для подсчета каждого члена выражения.
Для лучшего понимания запишем выражения для состояния 1 и 2 раздельно. Выражения для подсчета слагаемых стали для состояния 2 аналогичны соответствующим выражениям для состояния 1.
Рассмотрен случай, когда все величины подчиняются нормальному закону распределения. Величину Д( принимают стохастически независимой от всех остальных случайных величин.
Величины Rb, єьр приняты стохастически зависимыми с коэффициентом корреляции r{Rb}ebR)=cov{Rb,sbR)/(S Rb-S ebR), где cov[Rb,єЬ!(), S Rb, S ebR - ковариации и стандарты прочности, предельной деформации бетона на восходящей ветви. Из уравнения (IV.1.12) следует, что Л c{N, М) Р( Х)= \\\№,М) p{Rb,sbR)p(Rs)dRbdsbRdRs, (V.1.2.6) где якобиан преобразования определяется по (IV. 1.10), где N и М выражено через s0, х и \К еыг К) из уравнений (V.1.2.2)...(V.1.2.5) и в качестве p(N, М) принимаем нормальный закон распределения на плоскости со случайными величинами N и М , средними EN, ЕМ, стандартами SN, SM и коэффициентом корреляции r(N,Ad).
Плотность вероятности деформаций (IV.1.1) волокон сечения для состояний 1 и 2 можно определить по формулам P »(s) = ]f{e-xz,x)dx; р,2 {е)= )р[е-х ,хУіх-(Ул.г.Г) о о Для упрощения алгоритма рассчитываем значения рт\ ,х) и рі2)\єй,%) для 1 и 2 состояний отдельно, при численном интегрировании получая две матрицы.
Функцию распределения деформаций волокон можно рассчитать по формулам (IV. 1.14), (IV.1.15).
Вероятность состояния 1 определяется согласно выражения (IV. 1.16). Вероятность состояния 2 определяется согласно выражения (IV. 1.17).
По найденным совместным плотностям вероятности деформаций pW{sQ,x), Р(2,(-50-ж) соответственно для состояний 1 и 2 определяем полную плотность вероятности деформаций элемента с учетом возможной работы в состояниях 1 и 2 по формуле (IV.1.8.).
Функция распределения (IV-1.14) позволяет определять вероятности ненаступления отдельных предельных состояний, которые можно классифицировать как частные меры надежности элемента.
Вероятность безотказной работы элемента, т.е. обеспечение ненаступления предельного состояния по несущей способности определяется из условия недопустимости разрушения бетона сжатой зоны согласно неравенства (IV. 1.18).
