Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ состояния проблемы 7
1.1. Существующие методы решения задач оптимального управления динамическими системами 7
1.1.1. Возможные постановки задачи оптимального управления транспортным средством 7
1.1.2. Возможные методы оптимизации программ ведения поезда 9
1.1.3. Принцип максимума Л.С. Понтрягина 18
1.1.4. Применение аппарата нелинейного программирования 26
1.1.5. Оптимизация на специальных вычислительных структурах 34
1.1.6. Динамическое программирование и многошаговые схемы 36
1.2. Расчетные схемы и математические модели, используемые в тяговых расчетах и динамике поезда 46
1.2.1. Модели теории тяги поездов 46
1.2.2. Модели продольной динамики поезда 52
1.3. Методы решения и способы упрощения математических моделей динамических систем 61
1.3.1. Трудности, связанные с интегрированием уравнений движения поезда 61
1.3.2. Фракционный анализ динамических систем и возможность разделения движений 66
1.3.3. Асимптотические методы упрощения нелинейных систем 71
1.4. Цель и задачи исследования 73
2. Разработка математической модели поезда для задач оптимального управления 75
2.1. Применение теоремы А.Н. Тихонова к математическим моделям поезда 75
2.2. Моделирование движения поезда 88
2.2.1. Моделирование тягового электродвигателя 88
2.2.2. Определение касательной силы тяги как функции проскальзывания колесных пар локомотива по рельсам 93
2.2.3. Упрощенная модель движения локомотива. Элементарная операция для многошаговых схем оптимизации 103
1.2.4. Движение состава с жестко закрепленными грузами 110
2.2.4. Особенности наливных поездов 112
2.2.6. Моделирование тормозных сил 115
2.3. Вычисление ограничений, накладываемых на переменные состояния системы 118
3. Постановка задачи и разработка алгоритма оптимизации ведения поезда по участку 122
3.1. Поезд как управляемая динамическая система. Постановка задачи... 122
3.2. Выбор и обоснование критерия оптимизации 129
3.3. Разработка алгоритма оптимизации ведения поезда по участку 132
3.4. Влияние случайных факторов на реализацию оптимальной траектории 135
4. Некоторые особенности реализации 144
4.1. Разработка программного обеспечения для задач оптимизации, имитационного моделирования и динамики поезда 144
4.2. Аппроксимация сложных функциональных зависимостей и эмпирических данных полиномами и рациональными функциями 151
5. Оценка экономической эффективности внедрения программного обеспечения 157
5.1. Показатели экономической эффективности 157
5.2. Расчет капитальных вложений и эксплуатационных расходов 159
5.3. Оценка экономического эффекта 161
Выводы 163
Библиографический список 165
- Возможные методы оптимизации программ ведения поезда
- Определение касательной силы тяги как функции проскальзывания колесных пар локомотива по рельсам
- Выбор и обоснование критерия оптимизации
- Аппроксимация сложных функциональных зависимостей и эмпирических данных полиномами и рациональными функциями
Введение к работе
Железнодорожный транспорт для поддержания своей эффективности требует постоянного совершенствования всех технологий, обеспечивающих перевозочный процесс. В последние годы особое внимание уделяется технологиям вождения поездов с позиций ресурсосбережения. Задачи, решаемые с использованием математических моделей сложных динамических систем, таких как поезд, благодаря постоянному росту быстродействия вычислительных машин, становятся все более привлекательными для исследователей и разработчиков с точки зрения получения конечного результата. При этом широко привлекается математический аппарат, сравнительно новый или ставший традиционным в других областях науки и техники.
Экономика России, в силу ее географических, особенностей, в значительной степени зависит от состояния железных дорог и тарифов на железнодорожные перевозки. В транспортной системе страны железнодорожный транспорт занимает ведущее место, выполняя 84,8% грузооборота и 37,5% пассажирооборота транспорта общего пользования (по данным 1999 г.) [45].
Анализ финансовой деятельности основного локомотивного депо (таблица) показывает, что плата за электроэнергию, израсходованную на тягу поездов, составляет порядка половины эксплуатационных расходов. Таблица В. 1. Показатели работы основного локомотивного депо в 1997-99 гг. Годы 1997 1998 1999 (10 мес.) Работа, млн ткм брутто 46,273 50,757 50,898 Средний вес поезда, тс 3899 3962 4017 Эксплуатационные расходы, тыс. руб. 243003 241484 245149
В том числе плата за электроэнергию на тягу поездов, тыс. руб. 140354 139366 101909
Удельный вес затрат на электроэнергию в эксплуатационных расходах, % 57,8 57,7 41,6
Исследованиями отечественных и зарубежных ученых установлено, что при электрической тяге расход электроэнергии на тягу поезда в основном зависит от режима его ведения по участку. Ориентировочные расчеты, выполненные в ряде отраслевых научно-исследовательских организаций, указали на возможность экономии электроэнергии за счет рационального ведения поезда по участку на 5-20%, причем, эта величина зависит от многих факторов, в том числе от продольного профиля пути, условий сцепления колесных пар с рельсами, климатических условий, технического состояния локомотива и подвижного состава и опыта машиниста. Последний факт указывает на существование энергетически оптимальной программы (режима) ведения поезда по конкретному участку при заданном времени хода. Существующие в локомотивных депо так называемые «режимные» карты, которыми должны руководствоваться машинисты при вождении поездов, получены на основании обобщения передового опыта и ряда специально организованных пробных поездок. Ясно, однако, что чисто экспериментальным путем невозможно выбрать наилучший вариант ведения поезда, поскольку число различных конкурентоспособных вариантов управления локомотивом даже для сравнительно небольшого по протяженности участка пути и фиксированного времени хода практически бесконечно. Ситуация к тому же осложняется невозможностью создания одинаковых условий для опытов. Все сказанное позволяет утверждать-, что методы вождения поездов, используемые в депо, не являются строго оптимальными и могут быть улучшены.
Особое значение задача оптимизации программ движения поезда приобретает при повышении массы поезда и для участков с тяжелыми элементами профиля. Уровень силового взаимодействия между экипажами в поездах повышенной массы и длины очень высок и может достигать величин, опасных с точки зрения безопасности их движения. Кроме того, работа на пределе использования силы тяги по сцеплению с отклонением режима движения от расчетного вызывает повышенную повреждаемость оборудования элект тровозов, приводит к усиленному износу рельсов, остановкам поездов на перегонах из-за растяжек или движению со скоростью меньше расчетной. В результате этого потери провозной и пропускной способности во многих случаях оказываются большими, чем кажущийся выигрыш от предельного использования локомотивов [2, 63, 79].
Можно выделить два направления решения задачи ресурсосбережения на железнодорожном транспорте: во-первых, оптимизировать график движения поездов; во-вторых, оптимизировать управление локомотивами при заданном графиком движения времени хода между отдельными пунктами участка железной дороги.
Первая задача может решаться только в целом для всех участков сети железных дорог. Задачи подобной размерности, при том, что модель сложна и нелинейна, не под силу современной вычислительной технике.
На сегодняшний день реальной является только вторая задача, в терминологии теории оптимального управления она формулируется как задача поиска оптимального программного движения динамической системы в пространстве состояний. Оптимальная программа ведения поезда, полученная в результате решения этой задачи должна, естественно, отвечать всем требованиям, предъявляемым Правилами тяговых расчетов для поездной работы [100] и другими документами и нормативами к безопасности движения.
Правительством и МПС РФ был принят ряд федеральных и отраслевых целевых программ, подтверждающих актуальность данного исследования, в частности [45]:
— Государственная программа по повышению безопасности движения поездов на железнодорожном транспорте России на период 1993-2000 годов (утверждена 29.10.1992 г.);
— Программа реализации основных направлений развития и социально-экономической политики железнодорожного транспорта на период до 2005 года (утверждена 04.03.1997 г.);
— Программа энергосбережения на железнодорожном транспорте в 1998-2000, 2005 годах (утверждена 09.10.1998 г.). 24-25 декабря 1999 года состоялась Коллегия МПС, посвященная ресурсосберегающим технологиям, обозначившая ряд задач, которые следует считать главными стратегическими задачами в 2000 году. В их число входит разработка методики составления режимных карт ведения поезда, обеспечивающих минимизацию топливно-энергетических ресурсов на тягу поездов с соблюдением при этом требований безопасности движения [44].
В 1999 г. на сети железных дорог страны наблюдается рост перевозок, что связано с относительным повышением конкурентоспособности железных дорог среди всех прочих видов и сетей транспорта. В 2000 г. подобная тенденция продолжается, и в ближайшее время, вероятно, произойдет возврат к практике решения проблемы пропускной способности путем повышения массы поездов на некоторых напряженных участках, что может повлечь за собой упомянутые выше нежелательные эффекты, если не автоматизировать тяговые расчеты с учетом критериев безопасности движения.
Все вышеприведенные факты позволяют считать данное направление исследований актуальным.
Целью настоящего исследования является разработка методики расчета оптимальных программ (режимов) ведения поезда по конкретному участку с учетом критериев безопасности движения.
Возможные методы оптимизации программ ведения поезда
Основой математического аппарата всех оптимизационных задач является вариационное исчисление, предмет которого — это методы отыскания экстремумов функционалов. Н.Н. Моисеев теорию оптимального управления квалифицирует как «вариационное исчисление при дифференциальных связях и ограничениях на управляющие воздействия» [76].
Функционал является естественным обобщением понятия функции, используемого в математическом анализе, то есть это числовая функция, определенная на некотором множестве функций — функциональном пространстве. Эти пространства полагаются нормированными, т.е. каждому элементу у(-) пространства поставлено в соответствие число \\у\\, называемое нормой. Нормирование функциональных пространств в задачах теории оптимального управления бывает нужно при постановке и анализе задачи для определения степени близости между функциями (расстояния между элементами функциональных пространств), как правило, на конечном интервале. Это расстояние можно определить, например, так: р(Уі У2.) = max уі-.У2І. (1.1) В функциональном пространстве С„, которое состоит из функций, непрерывных на отрезке и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка п имеет физический смысл также близость функций по про 10 изводным того или иного порядка. Действия над нормами могут определяться произвольно заданными алгебрами, в зависимости от специфики задачи и ее постановки, однако при рассмотрении задач классического вариационного исчисления нормы подчиняются следующим правилам: 1) \\у\\ 0, причем [у=0 только для у = 0; 2) \\ау\\ = \а\ \\у\\, где а — некоторое число; 3) ІІУі+угІІ [уі+[у2ІІ — неравенство треугольника.
Понятия приращения функционала и его вариации в вариационном исчислении соответствуют понятиям приращения функции и ее производной в анализе. Эти понятия и другие обобщения анализа, в частности понятие непрерывности функционала, изложены и выведены в [122].
В случае локомотива с непрерывным варьированием сил управление будет кусочно-непрерывным, что ничуть не легче. Поэтому во многих, особенно ранних, работах вводят величину и в качестве линейно входящего коэффициента при силе тяги, непрерывно изменяющегося на ограниченном с обеих сторон интервале, то есть от состояния максимального торможения до максимальной тяги. Связанные с этим проблемы будут ниже рассмотрены. Функционал (1.2) использует в качестве независимой переменной время х ода t, что для оптимизации движения поезда по участку неудобно, удобнее интегрировать по s, то есть на заданном участке, что представляется более естественным, так как s характеризует профиль пути, а время однородно (в классической механике, конечно).
Разумеется, на переменные состояния, так же как и на управление, наложены ограничения типа неравенств, вызванные требованиями безопасности и другими эксплуатационными причинами и типа равенств (изоперимет-рические) — должно выполняться заданное время хода и скорость в конце участка. Кроме того, сама функция /() существенно нелинейна, да к тому же кусочно-гладкая.
У общей нелинейной задачи, каковой наша задача является, отсутствуют те свойства линейных задач, которые позволили для последних сформулировать достаточные условия, строго доказать применимость практически всех методов и легко получать решения. Для нелинейных задач характерно следующее:
1) множество допустимых решений не обязательно выпукло, ограничения — не обязательно гиперплоскости, строго установить выпуклость и найти крайние точки (вершины) множества с помощью существующего математического аппарата невозможно;
2) поверхности уровня функционала в пространстве возможных решений не есть параллельные гиперплоскости, как для задач линейного программирования, отсюда многие выводы не работают;
3) если оптимальное значение функционала ограничено, вовсе не значит, что оптимальное решение находится на границе области допустимых решений;
4) сам функционал не обладает свойством выпуклости — локальные экстремумы не являются глобальными, возможно наличие седловых точек.
Наличие ограничений, так же как и нелинейность, существенным образом усложняет задачу при использовании всех методов, кроме динамического программирования и его модификаций. В задаче с поездом, далеко не все ограничения типа неравенств, вытекающие из требований к безопасности движения и ограничивающие скорость движения и управление не могут быть априорно определены как некоторые кривые (р(х), даже кусочно-непрерывные, а должны вычисляться в процессе работы алгоритма, что делает невозможным применение к этой задаче большинства известных методов оптимизации без введения очень грубых приближений и риска не соблюсти даже необходимые условия экстремума.
В подобных случаях наиболее легким способом снять ограничения типа неравенств является метод штрафных функций. Недостаток этого способа в том, что в окрестностях границы области допустимых состояний системы в функционал вносится определенная погрешность. Несмотря на этот недостаток, требуемая точность решения, как правило, выдерживается, а сложность задачи резко сокращается. Если же требуется большая точность, метод штрафных функций комбинируется с каким-либо трудоемким методом, который способен дать точный результат при достаточно близком начальном приближении.
Для того, чтобы штрафные функции могли участвовать в формировании оптимальной траектории движения поезда, входящие в них величины, например, направляющие силы в кривой, температура перегрева тягового двигателя и другие должны зависеть от фазовых переменных (пройденного пути или скорости). Такие требования не всегда возможно выполнить.
В случае интегральных изопериметрических связей, например, фиксированного времени хода поезда по участку, множители Лагранжа превращаются просто в неизвестные постоянные. Именно при такого рода ограничениях этот способ применяется наиболее часто и, как правило, при введении только одного неопределенного множителя, тогда возможность снизить на 1 размерность пространства состояний окупает вычислительные затраты на поиск этой величины (требуется несколько раз прогнать процедуру оптимизации, в большинстве случаев за несколько итераций множитель Лагранжа с требуемой точностью подбирается). Когда заданы ограничения в форме неравенств, объем вычислений, очевидно, резко возрастает. Также очевидно, что метод неопределенных множителей гарантированно применим, если доказана единственность решения на рассматриваемом множестве. Значительное обобщение идеи множителей Лагранлса дает теория Куна—Таккера, изложенная в [11, 122, 134]. Условия применимости вышеприведенного подхода в задаче оптимизации программ (режимов) ведения поезда по заданному участку подробно рассмотрим в разделе 3; надо заметить, что во всех предыдущих работах, посвященных этой проблеме [6-9, 23, 25, 27, 40-43, 93-95], множитель Лагранжа применялся для соблюдения заданного времени хода без доказательства.
В зависимости от использования в задаче необходимых условий экстремума методы оптимизации разделяются на прямые и непрямые.
Прямыми методами вариационного исчисления называются все те методы расчета экстремалей, которые непосредственно не используют необходимых условий. Также к ним принято относить методы, использующие идею градиентного спуска и прочих видов поиска. Родоначальником прямых методов является Эйлер (и непрямых тоже), самым первым прямым методом был метод ломаных Эйлера, состоящий в том, что оптимальная кривая ищется в виде ломаной, то есть требуется разыскать конечное число узлов. Эта идея (редукция исходной задачи к некоторой конечномерной) послужила отправной точкой для большинства современных алгоритмов оптимизации.
Определение касательной силы тяги как функции проскальзывания колесных пар локомотива по рельсам
Теперь необходимо получить зависимость силы тяги от проскальзывания. Эта задача осложняется тем, что физическая природа процесса взаимодействия колеса и рельса до конца не изучена, и проблема все еще остается открытой. Чистое качение колесной пары по рельсам невозможно, поскольку колесо соприкасается с рельсом не в одной точке, а имеет место некоторая область зоны контакта, возникающая в результате деформации и, следовательно, имеющая конечную площадь. При этом происходит преобразование энергии, механизм которого еще недостаточно изучен. В непроскальзываю-щих зонах относительные деформации могут оставаться неизменными в течение конечных отрезков времени, как установил Де Патер. В зону контакта постоянно вступают и из нее выходят новые области периферии колеса. Формы зон скольжения и вопросы сопряжения деформаций на границах между зонами сцепления и зонами, свободными от нагрузки, требуют изучения. В настоящее время физические процессы, протекающие при качении колеса по рельсу, рассматриваются с позиций трех обобщенных теорий — скольжения, молекулярной и несовершенной упругости. Данная работа не ставит целью что-либо утверждать относительно природы качения колеса по рельсу, а опирается на эмпирический материал, позволяющий с удовлетворительной точностью учитывать взаимодействие колеса и рельса в нужных для данной задачи диапазонах скоростей, температур, состояний пути и других влияющих параметрах.
В теории качения рассматривается два вида движений: — стационарное качение, сопровождающееся равномерным и прямолинейным перемещением центра колеса, постоянной ориентацией его диска в пространстве и неизменной реакцией в области контакта; — нестационарное качение, при котором движение диска может быть произвольным, а реакция изменяется во времени. При этом выделяется два подхода к теории качения, в первую очередь, нестационарного — феноменологический и модельный. Феноменологический подход основывается на совокупности опытных фактов и гипотез, устанавливающих связь между константами и переменными теории. Внутренняя структура деформируемого колеса и детальный характер взаимодействия элементов деформируемой периферии колеса с рельсом не рассматриваются. Модельный подход характеризуется рассмотрением колеса с конкретным представлением деформируемой периферии в виде непрерывной совокупности элементов в форме пружин или деформируемых стержней и т.д. Описанная конструкция деформируемой периферии допускает математическое описание в форме совокупности дифференциальных уравнений.
Преимущество феноменологического подхода заключается в его относительной простоте и возможности оперировать различными гипотезами. Большинство констант теории нужно находить из экспериментов с натурными объектами.
Теория нестационарного качения применительно к железнодорожному транспорту, была развита в 1920-х годах Ф. Картером [35], который феноменологически ввел линейные соотношения для продольной и поперечной составляющих реакции в области контакта в функции от соответствующих псевдоскольжений по аналогии со стационарным качением.
В тяге поездов [12, 32, 47, 100, 118] естественным образом используется феноменологический подход и сила тяги локомотива представляется функцией скорости поступательного движения FK(v).. Для ее определения были проведены экспериментальные поездки с динамометрическим вагоном и составами различных весов, с локомотивами разных типов, на различных участках железных дорог бывшего Союза. Результаты статистической обработки даны в Правилах тяговых расчетов [100].
Примером плодотворности модельного подхода в случае стационарного качения являются работы А.Ю. Ишлинского [49], в которых деформируемое основание упругими и вязкими свойствами представляется в виде совокупности стержней и учитывается проскальзывание в области контакта.
Решение систем дифференциальных уравнений большого порядка для каждого конкурентоспособного варианта траектории затруднительно, поэтому для моделирования силы тяги как функции проскальзывания воспользуемся результатами, полученными феноменологическим направлением исследований, прежде всего, результатами экспериментов профессора А.Л. Голубе нко [30], который также уточнил методику Дж. Калкера учетом шероховатостей на поверхности колеса и рельса.
Коэффициент трения покоя /0 зависит от условий контактирования колеса с рельсом. На сегодняшний день экспериментами установлен вид зависимостей /0 от таких факторов, как [30] — давление колесной пары на рельсы; — прокат бандажа колесной пары; — состояние контактирующих поверхностей; — плотность тока, протекающего через контактное пятно (для электровозов). Регрессионное уравнение для вычисления /, имеет вид: fo=tiKbKPKl9 (2.39) где Кь — коэффициент, учитывающий износ 8 бандажа колесной пары локомотива, который, в свою очередь, зависит от пробега локомотива, Кр — коэффициент, учитывающий удельное давление колесной пары на рельсы и условия контактирования, К) — коэффициент, учитывающий зависимость коэффициента сцепления от плотности тока в зоне контакта, /0 — коэффициент, учитывающий константы и слабо влияющие, в том числе неизученные, факторы. Неизученные факторы, оказывающие заметное влияние на сцепление, включены в модель как коэффициенты at регрессионного уравнения (2.36). Поэтому коэффициент /0 принимается постоянной величиной, причем его значение следует уточнять в ходе измерений на конкретных участках дороги, или, в крайнем случае, подобрать таким образом, чтобы тяговые характеристики FK(v) из руководства по эксплуатации электровоза (полученные путем статистического анализа результатов испытаний) совпадали со значениями, которые дает математическая модель FK(e) для «средних» условий: сухие чистые рельсы без песка, нагрузка на рельс, равная статической, средние токи ТЭД (350...400 А для электровоза ВЛ10).
Исследования ИТМ НАН Украины показали, что динамические характеристики экипажей в горизонтальной плоскости практически не зависят от выбранной модели пути и его параметров на скоростях до 100 км/ч. Поэтому усложнение модели в этом направлении не добавит точности оптимизационным расчетам, в которых необходимо определять не мгновенные, а интегральные оценки величин, следовательно, в данной работе примем допущение об абсолютной жесткости рельсового пути. Вертикальные колебания проще всего учитывать в модели силы тяги как случайные возмущения параметров стохастических дифференциальных уравнений, каковыми, разумеется, являются (2.32).
Коэффициент сцепления в модели (2.46) имеет максимум при проскальзывании, равном критическому и значениях параметров, дающих максимумы коэффициентам К. Будем называть этот максимум потенциальным коэффициентом сцепления. Его значения для шести рассмотренных условий контактирования приведены в табл. 2.4. Их можно использовать в грубых математических моделях поезда для оценки верхнего предела силы тяги при заданных условиях. Значения полученных потенциальных коэффициентов сцепления хорошо корреспондируются с оценками Л.А. Мугинштейна [78] (max (/с,,) = 0,252 для электровозов ВЛ10 и ВЛ11) и О.А.Некрасова (max (f cif) = 0,265 для ВЛ60 и ВЛ80), полученными в результате натурных экспериментов.
При реализации больших сил тяги, когда, в соответствии с моделью (2.46), значение проскальзывания близко к критическому и может его превысить, возможно боксование колес. Такое более всего вероятно на руководящем подъеме продольного профиля пути, если масса состава близка к критической для данного участка. Режимы ведения поезда, при которых возможно боксование, следует исключить из рассмотрения в процессе оптимизации путем формирования соответствующих ограничений на переменные состояния и управление. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в соответствующей главе.
Выбор и обоснование критерия оптимизации
В соответствии с соображениями, приведенными во введении, критерий оптимизации (целевая функция) должен соответствовать общему направлению научных исследований, в которое входит и данная работа — «Ресурсосберегающие технологии». До 75% расхода электроэнергии и топлива на тягу поездов, как считается, идет непосредственно на преодоление сопротивления движению локомотивов и вагонов. Анализ структуры сопротивления движению экипажей показывает, что оно зависит от факторов, значительную часть которых, в настоящий момент, трудно изменить [139]. Прежде всего, это — состояние рельсового пути, требующее больших капитальных затрат на поддержание и ремонт. Также не представляется возможным существенно уменьшить сопротивление движению за счет параметров контактирования колес с рельсами. Напротив, при существующей тенденции увеличения диаметра колес с одновременным повышением осевых нагрузок, надо ожидать увеличения сопротивления движению. Считается, что определенного снижения сопротивления движению скоростного подвижного состава можно достичь улучшением его аэродинамических характеристик.
Если режим движения поезда на каком-либо участке между двумя остановками не влияет на условия работы других участков железной дороги, что следует принять как гипотезу, иначе задача станет неразрешимой, то сумма расходов по перемещению одного поезда по перегону, связанных со скоростью движения и потреблением энергии, может быть приближенно выражена в виде [106]: Cnp=clAe +c2Aw +c3At+c4Tx, , (3.6) где С\ - стоимость 1 кВт-ч электрической энергии, затраченной на тягу поезда; Ае - расход электрической энергии на тягу поезда; с2 - стоимость ремонта железнодорожного подвижного состава и пути, приходящаяся на единицу работы сил сопротивления движению поезда; Aw- работа сил сопротивления движению поезда; Сз - стоимость ремонта подвижного состава и пути, приходящаяся на единицу работы тормозных сил; At - работа тормозных сил поезда за время его движения по перегону; Са, - стоимость одного поездо-часа; Тх - время прохождения перегона.
Приравнивая часть коэффициентов с, нулю, можно получить, таким образом, целевые функции для оптимизации расхода электрической энергии, быстродействие (максимальную пропускную способность перегона) или «приведенных» народнохозяйственных затрат на перевозки.
Минимум функции вида (3.7) примем основным критерием оптимизации. Очень важно, что этот критерий скалярный (измеряется денежной единицей), поскольку неопределенность целей в задаче поиска оптимальной программы ведения поезда приведет к резкому росту вычислительных затрат.
В настоящее время точно не могут быть определены значения величин стоимостей С2 — с4, время хода по перегону оптимизировать не будем, так как оно по условию задачи считается заданным. Стоимость электроэнергии С\ может, в общем случае, быть разной на различных участках перегона. Такая ситуация сложилась, например, на Октябрьской железной дороге, а также на перегонах, пересекающих государственные границы. Многошаговые методы оптимизации, благодаря способности работать с «динамическим» профилем, могут данную ситуацию в целевой функции учитывать.
Кроме величины с\, в критерий оптимизации введем стоимость тормозных колодок с5. Возможность учесть стоимость торможения поезда появляется благодаря выполненным ЦНИИ МПС [51] исследованиям по износу тормозных колодок, который зависит от работы тормозных сил и твердости чугуна или материала, из которого состоит колодка. Найдены коэффициенты пропорциональности износа колодок (в мм) и работы, совершаемой тормозной силой за время хода поезда:
Также в целевую функцию введем искусственный «штраф» сб за каждое переключение силовой установки локомотива, позволяющий получать расчетные программы ведения поезда с достаточно низким числом переключений, похожие по этому параметру на традиционные «режимные» карты.
Установлено, что оптимальные программы ведения поезда содержат слишком большое число переключений, чтобы машинист стал их реализовы-вать. Стоимость переключения зависит от каждой конкретной ситуации, более того, она доллша определяться через интенсивности отказов отдельных узлов локомотива, которые на сегодняшний день неизвестны, как и корреляционные отношения отказов. Поэтому, величину ( будем считать постоянной и заложим в программу возможность искусственно подбирать и изменять ее в соответствии с текущими требованиями.
Очевидны проблемы, связанные с точностью определения при оптимизационных расчетах некоторых входящих в (3.9) величин, таких как, например, Up. Учитывая тот факт, что в задаче оптимизации критерий качества вычисляется прежде всего для сравнения режимов ведения поезда между собой, а не для точного определения затрат на ведение поезда по участку, подобные неточности допустимы. В частности, следует оперировать средними по множеству реализаций значениями напряжения в контактной сети, полученными для конкретных перегонов экспериментально.
Схема работы алгоритма оптимизации показана на рис. 3.2. В качестве базового алгоритма используется «киевский веник», уже описанный в п. 1.1.
Для поезда и динамических систем вообще «киевский веник» обладает еще одним преимуществом перед исходной постановкой динамического программирования, связанной с тем что уравнения движения возможно интегрировать от прошлого к будущему, а не «задом наперед», а процесс счета начинается в начале участка, а не в конце. В частности, при «правильном» направлении интегрирования для поезда появляется возможность учитывать переходные режимы в силовой установке локомотива, если того потребует задача.
Формулировка аддитивной задачи связана с разбиением области определения функционала (1.39) на гиперплоскости (рис. 1.3) и задания элементарной операции (1.35) для всех возможных участков траектории между смежными гиперплоскостями.
Задача оптимального управления поездом сводится к аддитивной только в том случае, если исключить из рассмотрения пневматическое торможение (которое не может моделироваться элементарной операцией, соответственно становится бессмысленным аддитивный критерий), что некорректно. Поэтому алгоритм «киевский веник» в чистом виде применить к данной задаче невозможно. В настоящей работе используется алгоритм, расширяющий возможности «киевского веника» введением неаддитивных «включений». Из-за этого затраты машинного времени несколько растут.
Предложена для общего случая оптимизации ведения поезда по участку многофазная схема, состоящая из следующих фаз, конечное состояние на каждой фазе при этом является начальным условием для следующей фазы: 1) Разгон поезда с места. Алгоритм оптимизации для этой фазы разработан в [82].
Аппроксимация сложных функциональных зависимостей и эмпирических данных полиномами и рациональными функциями
Практически любые оптимизационные расчеты требуют значительных затрат машинного времени, причем основную часть этого времени занимает вычисление значений функций, входящих в математическую модель объекта оптимизации. Если объект имеет физическую природу, эти функции чаще всего представляют собой эмпирические формулы, полученные в результате экспериментов и регрессионного анализа, область определения каждой из них представляет достаточно узкий интервал, и на этом интервале функция ограничена. Подобные обстоятельства дают возможность в ряде случаев аппроксимировать исходные, сложные для вычисления, зависимости более простыми (например, полиномами), обеспечить при этом достаточную близость функций и значительный выигрыш в быстродействии.
Задача аппроксимации сложных зависимостей и эмпирических данных преследует две противоречащие цели: точность и быстродействие. Возможны две постановки: 1) достичь максимального быстродействия при заданной величине ошибки; 2) обеспечить минимальную ошибку при заданном максимальном времени вычисления функции. Вторая задача возникает при проектировании систем реального времени, в том числе оптимальных регуляторов, или физических моделей различных функциональных зависимостей. При разработке математической модели поезда для использования алгоритмом оптимизации ведения поезда по участку, необходимо решение первой задачи. Здесь хорошие результаты [82] дает метод ортогональных полиномов Чебышева [66, 138], поскольку дисперсия ошибки аппроксимации этим методом постоянна на всем интервале изменения аргумента.
Идеальным решением задачи, в данном случае, минимакса будет набор коэффициентов р и q, минимизирующий г. Из некоторых положений алгебры следует [138], что если рациональная функция R(x) невырожденная, существует единственное решение задачи, при котором г(х) имеет т+к+2 экстремумов на отрезке [а,Ь], по абсолютной величине равных г и с переменным знаком (поскольку Дх) может быть в точности равна R(x) в т+к+\ точках). Здесь прослеживается полная аналогия с полиномами Чебышева. Первый отбрасываемый полином Чебышева, так же как г(х), характеризует погрешность и имеет такие же экстремумы. Можно несколько облегчить вычисления, если не требовать равенства .Дх)= R(x) в узлах аппроксимации, а вместо этого обеспечить заданный конечный уровень отклонения,- равный г.
Системы типа (4.20) хорошо сходятся при решении любым стандартным методом. Остается подобрать приемлемую точность аппроксимации (величину максимального отклонения) путем увеличения числа коэффициентов р и q, а также местонахождения экстремумов функции, для чего можно воспользоваться следующим итерационным методом: 1) задаться в первом приближении рациональной функцией R {x) с т+к+1 экстремумами, не обязательно равными по абсолютной величине; 2) решить систему (4.20) для точек экстремума x j функции R (x); 3) подставить результат в R(x) и найти настоящие экстремумы; 4) заменить каждую из точек предыдущего приближения ближайшей точкой из найденных экстремумов (того же знака); 5) вернуться к шагу (2) и повторять итерации.
Этот метод, принимая во внимание некоторые допущения, касающиеся вырожденных случаев, сходится. Если отказаться от точного решения задачи минимакса, метод можно упростить следующим образом: 1) первым приближением R(x) является решение системы (4.20), в которой г=0, для точек х1? расположенных аналогично корням полинома Чебышева высокого порядка; 156 2) найти среднее абсолютное значение отклонения г, решить систему (4.20). Повторять этот шаг до сходимости. Для того, чтобы наиболее высокие значения отклонения снижались быстрее, можно решать эту систему, вводя весовые коэффициенты.
Аппроксимация подобным методом ряда характеристик локомотивов дает коэффициенты корреляции свыше 0,96 при достаточно малом числе коэффициентов рациональной функции. Примером успешного применения может служить зависимость магнитного потока тяговых электродвигателей от тока якоря. При аппроксимации многочленами в области малых токов образуются корни, то есть исчезает против оЭДС, и математическая модель силы тяги перестает работать.
