Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Состояние вопроса и задачи исследования 7
Глава 2. Опрещеленйе статистических характерйстж шремещщий, ускорении, напряженнй в линейных и линеаризованных моделях рельсовых экипажей 15
2.1. Вычисление динамических напряжений в неоднородно демпфированных моделях экипажей 17
2.2. Расчет экипажей с одинарным рессорным подвешиванием 22
2.3. Расчет экипажей с двойным рессорным подвешиванием 30
2.4. Учет инерционных свойств пути 35
2.5. Определение среднего числа превышений заданного уровня случайными цроцессами на выходе системы 42
ГЛАВА 3. Анализ периодических колебаний нелинейных систем с кулон0шм трением, моделирущих экипажи 51
3.1. Использование методов гармонической линеаризации и численного интегрирования 52
3.2. Эволиционный принцип построения периодических режимов колебаний 63
3.3. Периодические режимы колебаний в системе с двумя демпферами кулонова трения, моделирующей транспортныйэкипаж 74
3.3.1. Гармоническое возмущение 75
3.3.2. Возмущения от стыковых неровностей пути 85
3.4. Определение периодических режимов колебаний в много массовой модели транспортного экипажа 94
3.5. Построение в пространстве параметров границ между различными режимами колебаний 104
ГЛАВА 4. Исследование динамических напряжений в элементах надрессорного строения некоторых ддиннобазшх экипажей 112
4.1. Контейнерная платформа І ІЗ
4.2. Вагон для бестарной перевозки сыпучих грузов . 124
4.3. Универсальная платформа 131
Заключение 141
Спюок литературы
- Расчет экипажей с одинарным рессорным подвешиванием
- Определение среднего числа превышений заданного уровня случайными цроцессами на выходе системы
- Периодические режимы колебаний в системе с двумя демпферами кулонова трения, моделирующей транспортныйэкипаж
- Вагон для бестарной перевозки сыпучих грузов
Расчет экипажей с одинарным рессорным подвешиванием
Рассмотрим колебания деформируемой стержневой системы с сосредоточенными массами. Система может состоять из подсистем, имеющих конечное число степеней свободы и соединенных между собой дискретными упруго-диссипативными связями. К такому классу механических систем относятся, в частности, расчетные схемы транспортных экипажей, рассматриваемые в данной работе. В этом случае подсистемы представляют собой упругие балки или системы перекрестных балок.
При составлении уравнений колебаний неупругое соцротивление в подсистемах и связях будем описывать с помощью гипотез комплексной жесткости (Сорокина) и вязкого трения (Фойгта).
Если неупругое сопротивление в системе или некоторой /-й подсистеме распределено пропорционально жесткостям, то дифференциальные уравнения колебаний можно записать в виде Ax + a+f)cx-r t), (2.з) где X - вектор обобщенных координат системы или подсистемы; А , С " соответственно матрицы инерционных и квазиулругих коэффициентов -оператор демпфирования, равный if (при учете трения по Сорокину) или оС - (при учете трения по Фойгту); F()) - вектор внешних сил, а также реакций связей, соединяющих систему с основанием или другими подсистемами. В задаче определения динамических напряжений рассмотрим также случай, когда подсистема состоит из непрерывно соединенных частей, имеющих различные неупругие сопротивления. Такие модели могут иметь место, если, например, конструкция изготовлена из различных материалов, имеет полости о различным заполнением или на часть ее нанесено вибропоглощающее покрытие и т.п. Колебания такой неоднородно демпфированной подсистемы описываются уравнением в котором В, (C+t&) - матрицы диссипативных (при учете трения по Фойгту) и комплексных квазиупругих (при учете трения по Сорокину) коэффициентов,
Определим зависимость между динамическими напряжениями и перемещениями сосредоточенных масс. Перемещения будем считать найденными из решения дифференциальных уравнений колебаний (соответствующие алгоритмы описаны в 2.2-2.4). Для вычисления напряжений необходимо рассчитать систему на действие всех приложенных к ней сил. Если такие расчеты приходится делать многократно для различных значений параметров внешнего воздействия, то целесообразно воспользоваться матрицей влияния, элементы которой представляют напряжения в заданных сечениях при действии единичных сил, последовательно прикладываемых по направлению обобщенных координат Х- . Напряжения 6 будут равны произведению матрицы влияния L на вектор внешних сил Я . В динамическом режиме к разряду внешних сил относятся также фиктивные силы инерции. Тогда R F(t) -АХ, 22.5) &-,Л. ,[/( )-АХ], 22.6) Именно такой способ обычно применяют для вычисления дина /0 мичеоких напряжений / 120-125 /, В диооипативной системе в процессе колебаний помимо упругих развиваются ж неупругие силы, распределение которых может отличаться от распределения упругих сил. Возникает вопрос, в какой мере результатами статического расчета, в котором, естественно, не учитываются неупругие силы, можно пользоваться для определения динамических внутренних усилий.
В системе с пропорциональным трением распределение полных внутренних усилий совпадает с распределением упругих сил. В этом случае матрица влияния без всяких допущений может быть использована для определения динамических усилий. Из уравнения (2.5) и дифференциальных уравнений колебаний следует, что неупругие силы отнесены к внутренним силам. Динамические напряжения, определяемые по формуле (2.6), будут полными напряжениями, включающими упругую и неупругую составляющие.
В статически определимых системах распределение внутренних усилий не зависит от соотношений жесткоотей, следовательно, при колебаниях оно не будет зависеть от распределения неупругих сопротивлений и будет определяться только внешними силами. Поэтому для статически определимой или внешне статически неопределимой систем с непропорциональным трением также можно пользоваться матрицей я . В этом случае при построении матрицы влияния и вычислении напряжений рассчитывается свободно опертая статически определимая система, реакции отброшенных связей которой относятся к внешним силам.
При построении матрицы влияния для статически неопределимой подсистемы основная система метода сил должна включать в качестве опор минимальное число связей с другими подсистемами, обусловливающее геометрическую неизменяемость данной подсистемы. Реакции остальных связей рассматриваются как внешние силы,
Если подсистемы с различными значениями коэффициентов не 20 упругого сопротивления связаны между собой не дискретными упруго-вязкими элементами, а, например, с помощью балочного соединения (т.е. имеют одинаковые прогибы и углы поворота в общей точке) , то построить матрицу влияния, описывающую распределение динамических усилий, невозможно. Полученная статическим расчетом матрица влияния может быть использована лишь для приближенных расчетов динамических напряжений.
Описанный способ построения матрицы влияния обладает тем недостатком, что требует проведения специального статического расчета на действие единичных сил.
Рассмотрим другой подход, свободный от указанного недостатка, основанный на методе перемещений. Матрица влияния Lx строится таким образом, чтобы напряжения определялись умножением этой матрицы на вектор обобщенных координат. В этом случае элементы матрицы Ly представляют собой напряжения в заданных сечениях при единичных смещениях дополнительных опор в основной системе, устраняющих свободу перемещения сосредоточенных масс, следовательно матрица влияния может быть вычислена одновременно с квазиупругйми коэффициентами. При этом напряжения вычисляются с учетом только уцругих сопротивлений системы.
В системе или подсистеме с трением пропорциональным жесткос-тям появление при колебаниях неупрутой составляющей напряжений можно учесть введением перед матрицей влияния Lx множителя (/+) . Напряжения, возникающие в системе в процессе колебаний, определяются по фррмуле
Если неупругое сопротивление является неодинаковым в частях подсистемы, связанных между собой балочным соединением, трудности возникают на стадии составления уравнений - формирования мат i/ риц квазиудругих и диссипативных коэффициентов. Обойти эту трудность можно, если в местах соединения частей с различными неупрутими соцротивлениями сосредоточить массы и в число обобщенных координат ввести линейные и угловые смещения этих масс. В основной системе единичные смещения масс, расположенных по одну сторону границы, не вызывают внутренних усилий в части системы, находящейся по другую сторону, так как сечение, расположенное на границе, имеет жесткую заделку. Единичные обобщенные смещения граничной массы вызывают реакции опор, которые определяются в каждой части независимо друг от друга.
Таким образом, расчет каждой части можно производить отдельно, из получаемых при этом подматриц квазиупругих коэффициентов и диссипации формируются соответствующие матрицы для данной подсистемы в целом. Элементы подматриц, соответствующие линейному и угловому смещениям граничных масс, суммируются. На рис. 2.1 показана структура матриц для подсистемы, имеющей два участка с разными коэффициентами демпфирования.
Определение среднего числа превышений заданного уровня случайными цроцессами на выходе системы
Изложенный в предыдущем параграфе способ расчета, основанный на представлении системы в виде совокупности отдельных подсистем, ниже обобщается на экипажи с двойным рессорным подвешиванием. К таким экипажам можно отнести пассажирские экипажи, а также грузовые вагоны на специализированных тележках с упругими прокладками в буксовых узлах. В частности для контейнерных плат Зі
форм, в связи с тем, что ходовые испытания первых опытных образцов показали неудовлетворительные качества тележек ЦНИИ-ХЗ-О /87/, возникла необходимость создания таких тележек, рассчитанных на движение со скоростями до 140 км/ч.
Расчетную схему экипажа с двойным рессорным подвешиванием представим в виде системы, составленной из подсистем, моделирующих кузов (подсистема 0), обрессоренные и необрессоренные части тележек (рис. 2.3). Кинематические возмущения //V; передаются на сосредоточенные массы тУ} через упруго-несовершенные оле.енты о параметрами жасткости / \ и Демпфировавия;; : моделирующие упруго-диссипативные свойства пути, где л = Ї, т. ; Л = Ї, гС7) . Остальные обозначения подробно описаны в 2.2.
Дифференциальные уравнения колебаний такой системы запишем в виде Am/ Л Ъл л л л (2.22) CS) Разложив общие решения систем уравнений (2.21), (2.22) по собственным векторам каждой из подсистем в отдельности и предположив, что на А-й вход к -й подсистемы действует гармоническое возмущение УдФ 6 6 , получим выражения частотных характеристик:
Здесь А - определитель матрицы / , А. л определитель мат-рицы, полученной из F после замены в ней столбца Л столбцом свободных членов, /f - алгебраическое дополнение элемента матрицы F % стоящего на пересечении нулевой строки и столбца Л ,
Полученное решение системы уравнений (2.28) подставим в уравнения (2.23): Выделим из системы (2.31) первые т уравнений: Выражения F(0) , ІЇШ , Р приведены в формулах (2.19). Решив систему (2.32), находим первые т частотных характеристик подсистемы "О". Преобразовав выражение (2,31), получим формулу для вычисления остальных ЧХ этой же подсистемы: y,w V V j "w Для подсистемы /7 первые zf частотных характеристик оцределяются по формуле (2.30). Остальные ЧХ этой подсистемы найдем, подставив выражения (2.29) и (2.30) в уравнение (2.27):
Частотные характеристики U можно найти из уравнений (2.25) Таким образом, получены выражения ЧХ для перемещений произвольных точек транспортных экипажей с двойным рессорным подвешиванием при учете упруго-диссипативных свойств пути. ЧХ для напряжений в кузове экипажей могут быть найдены по формуле (2.9). Далее по формулам (2.1), (2.2) можно определить спектральные плотности и дисперсии соответствующих динамических процессов.
При всесторонней оценке качества проектируемой системы иногда приходится решать многокритериальные задачи, когда критериями являются процессы в различных частях конструкции (например, динамические напряжения в кузове, усилия в рессорном подвешивании ходовых частей, силы взаимодействия на контакте колеса с рельсом и т.д.). Использование нескольких критериев качества требует детализации разных частей конструкции, поэтому при решении многокритериальных задач расчетные схемы заметно усложняются. Можно рассматривать каждый из критериев в отдельности, выбирая для разных случаев простые расчетные схемы. Например, при определении динамических напряжений нет необходимости детализировать часть расчетной схемы, моделирующую ходовые части вагона и основание. Если функцией качества являются усилия в рессорном подвешивании или силы взаимодействия в точке контакта колеса с рельсом, то необходимо, помимо упруго-диссипативных, учитывать и инерционные свойства основания; надрессорное строение в этом случае может быть представлено в упрощенном виде. При рассмотрении совокупности однокритериальных задач результаты выбора рациональных параметров, как правило, оказываются цротиворечивыми, так как улучшение в процессе поиска оптимального варианта одного качества может приводить к ухудшению другого. Поэтому приходится применять многокритериальный подход, а следовательно, рассматривать более сложные расчетные схемы.
Исследование колебаний экипажа с учетом упругости кузова и инерционных свойств основания, а также различных параметров демпфирования в отдельных частях и элементах не вызовет особых затруднений, если, как и в предыдущих случаях, воспользоваться приемом /119/ разбиения полной системы на отдельные подсистемы, соединенные между собой упруго-несовершенными связями. При этом рельсовый экипаж представим в виде составной механической системы, движущейся с постоянной скоростью V по балке, лежащей на инерционном деформируемом основании. Для простоты рассмотрим экипаж с одинарным рессорным подвешиванием (рис. 2.4))
Введем следующие обозначения: г - база тележки, т5 - погонная масса балки, EJ - жесткость рельсов, і - длина шпалы, толщина слоя основания, Еос , $ - модуль Юнга и коэффи к циент Пуассона основания, СФ0С/ - коэффициент распределяющей способности основания, d - удельный вес грунта, у - ускорение свободного падения. Поскольку прогибы основания под колесами различных тележек оказывают друг на друга малое влияние, то им можно пренебречь и условие постоянства контакта колеса с рельсом записать следующим образом: Здесь и , Zj - неровности и прогиб основания под У-м колесом л-й тележки, Fez) - функция прогибов основания.
Для описания основания воспользуемся гипотезой Власова /22, 63/. В этом случае функция прогибов для бесконечной балки, лежащей на инерционном основании, имеет /50/ вид: F(x)=e eCcX(i LsmjSacx + cos а х) (х ф, где oCoc m/oc - действительная и мнимая части корней биквадратного характеристического уравнения, соответствующего дифференциаль-ному уравнению изгиба валки на власовском основании,
Периодические режимы колебаний в системе с двумя демпферами кулонова трения, моделирующей транспортныйэкипаж
Описанные в главе 2 алгоритмы могут быть использованы для расчета линеаризованных систем, моделирующих экипажи с демпферами сухого трения. Рассеяние энергии в демпферах сухого трения приближенно описывается законом Кулона. Поскольку характеристика кулонова трения разрывна, в таких системах допустимы движения, не имеющие аналога в системах с гладкими характеристиками. В математически эквивалентных задачах автоматического управления эти движения получили название скользящих режимов. Скользящие режимы характеризуются тем, что в течение некоторого интервала времени (участка скольжения) трущиеся поверхности оказываются сцепленными, обычно при этом изменяется число степеней свободы или, как говорят, структура системы. На участке скольжения изображающая точка скользит по поверхности разрыва в фазовом пространстве системы. При анализе скользящих режимов систем с кулоновым трением методы линеаризациH в ряде случаев не отражают основных особенностей динамических процессов и не всегда приводят к приемлемым результатам. В 3.1 на примере использования метода гармонической линеаризации для исследования колебаний многомассовой модели конкретного экипажа проиллюстрирована возможность получения в отдельных случаях значительных и не контролируемых погрешностей. С другой стороны описание скользящ х режимов движения представляет самостоятельный интерес и может оказаться полезным при выборе оптимальных значений параметров демпфирования. Так в задачах автоматического регулирования показано что во многих случаях скользящие режимы в системах с РРЛРЙНЫМИ характеристиками реализуют оптимальные или бличкир к оптимальныл процессы
Использование методов численного интегрирования уравнений колебаний /б, 26, 129-132/ является громоздким, кроме того, с помощью этих методов трудно выявить содер7 ательные закономерности рассматриваемых процессов. Поэтому наряду с приближенным! разрабатываются точные методы анализа вынужденных колебаний. В данной главе развивается эволюционный принцип, позволяющий с заданной точностью строить периодические режимы движения в механических системах с демпферами кулонова трения. В соответствии с эволюционным принципом отыскание изолированного периодического режима заменяется отысканием семейства периодических режимов, непрерывно зависящих оо тарамvтра aренияя Поээому у процессе построения периодического режима одновременно может решаться задача оптимизации, дополнительные затраты в случае решения этой задачи минимальны.
В работе показано ( 3.5) как, используя этот же метод, можно построить в пространстве параметров границы между областями с существенно различными режимами движения.
Структура эволюционного принципа построения решения описана на примере осциллятора с сухим трением ( 3.2). В последующем рассматривается применение этого способа для анализа более сложных механических систем, моделирующих транспортные экипажи.
Обычно при анализе вынужденных колебаний экипажей с фрикционными демпферами пользуются различными методам1 линеаризации или обращаются к методам численного интегрирования уравнений движения.
Исследуем на примере конкретной системы возможности того и другого подходов. В качестве объекта исследования рассматривается длиннобазныи вагон для перевозки сыпучих грузов, ходовые части которого содержат фрикционные демпферы в рессорном подвешивании . Расчетная схема вагона (рис. 3.1) состоит из упругой невесомой балки с сосредоточенными массами (кузова), связей (рессорного подвешивания), содержащих нелинейные элементы с характеристикой кулонова трения, и упруго-вязких элементов, моделирующих деформируемое основание. Параметры расчетной схемы даны в Приложении I . Примем, что на входы системы синхронно поступают гармонические кинематические возмущения с амплитудой Z и частотой со .
В системах с кулоновым трением возможны разнообразные режимы движения: безостановочные колебания, колебания с полностью запертыми демпферами, с одной или многократныди остановками (участками скольжения) на полупериоде колебаний. Реализация каждого из описанных режимов зависит от соотношения параметров системы и внешнего воздействия, в частности от отношения И/2 , соотношения собственных частот системы и частоты со
Метод численного интегрирования является универсальным способом, позволяющим исследовать любые типы колебаний нелинейной системы. Подбирая определенным образом шаг интегрирования и интегрируя от произвольных начальных условий до выхода на установившийся режим, можно получить достаточно точное решение уравнений колебаний.
Вагон для бестарной перевозки сыпучих грузов
Обобщим эволюционный принцип анализа вынужденных колебаний на более сложные модели транспортных экипажей - многомассовые системы в двумя (по числу тележек) демпферами кулонова трения. Итак, пусть имеется механическая система с п степенями свобода (рис. 3.10), на которую действует периодическое кинематическое возмущение, поступающее на ее входы с транспортным запаздыванием.
Запишем уравнения колебаний. Присвоим массам, на которые передаются кинематические возмущения, номера I, 2; остальные массы пронумеруем в произвольном порядке. Тогда
Здесь хи (а=7 71)- обобщенные координаты системы; т и С с индексами - инерционные и квазиупругие коэффициенты; к и Л -жесткость и величина сухого трения упруго-фрикционных демпферов. Рассмотрим два типа воздействий: изменяющееся по гармоническому закону и цредсгавленное в виде периодической последовательности мгновенных импульсов. При гармоническом возмущении в уравнениях колебаний (3.33)
При импульсном воздействии 96 где Ти - длительность кратковременного кинематического возмущения; скорость относительного смещения трущихся поверхностей демпферов в промежутках между поступлениями импульсов определяется соотношением Перейдем в уравнениях (3.33) к нормальным координатам линейной системы. Перенесем нелинейные члены в правую часть и сделаем замену переменных /7 где S. (=/, /г ) - коэффициенты распределения амплитуд цри колебаниях с собственной частотой v s линейной системы. После несложных преобразований /116/ получим разделившиеся в линейной части уравнения i-b-ft Ur , Uv (3.34) /г z возмущении; й. - o,s , - пр импульсном возмущении. Здесь Ht-mX ; 4-=LC& , - при гармоническом
У Определим периодические решения этой системы. Так же как и в более простых системах, будем полагать, что при значениях силы сухого трения Н близких к нулю периодический режим системы (3.32) близок к периодическому режиму линейной системы, т.е. при малых значениях Н существует не скользящий, а обычный режим движения. Запишем уравнения припасовывания для безостановочного режима колебаний. Уравнения припасовывания удобно записывать в исходных координатах, так как в дальнейшем при движении с остановками придется сопрягать решения для системы с разным на отдельных интервалах числом степеней свободы, а следовательно, разными главными координатами. При гармоническом возгущении достаточно записать условия црипасовывания на полупериоде колебаний (3.35) d.(t.)-0, xj(t) - xfctj), xfy ) -x+fy При импульсном возмущении уравнения припасовывания имеют вид х.(0)«х(п, 4 -4 у, L(t )=0, x7(t.)-xt(t ), хГ(ї0 )«х+(ґ, ), (С.36) / Pj P/ Pj pj c f Xj(t)-xt(t), x7(T) + S. - x/rn V-й; /-/, ; рґ7Г У В уравнениях (3.35), (3.36) t. , tp - точки переключения функции son J. ; п - число точек переключения функции на периоде колебаний; xj(t) , zf(t) - значения функции x/(t) в моменты времени t- 0 , t+O . Решение уравнения колебаний (3.34) на каадом из интервалов с постоянными значениями сил сухого трения будем искать при гармоническом возмущении в виде fs Ч « Ь t , « -jfp-f/fi У" 4 (3-37) 9& z Li, к Ms(1sl-a)z) Z при импульсном возмущении в виде н $s(t)=AsCOS ist +В$ sen у -—г ZS.$ уа А. + + — - [S/ssen 1tt + 6(t-r)Szsлп (t-r)] (3.38) где 6(t -) - функция Хевисаида. В уравнениях (3.35)-(3.38) коэффициенты А$ t3s и моменты переключения t - неизвестные параметры движения, которые находятся из припасовнвания.
Уравнения (3.35), (3,36), определяющие безостановочный режим колебаний, будут справедливы до тех пор, пока число корней уравнений i.(t) 0 (/=/,) остается постоянным при возрастании параметра сухого трения. Увеличение корней приводит к появлению более сложных режимов движения с остановками. Граничный режим движения относится как к одному, так и другому типу колебаний; параметры движения этого режима являются начальными условиями для построения режима движения с остановками.
Если на периоде колебаний оба демпфера имеют участки скольжения, то эти участки могут перекрываться. Рассмотрим вначале более простой случай, когда на каком-то интервале времени закрыт один из демпферов. На интервале скольжения
