Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов выборочного контроля при производстве кристаллов ИМС 13
1.1. Применение статистических методов для контроля и управления качеством кристаллов 13
1.2. Анализ граничного метода контроля 21
1.3. Применение оперативных характеристик для контроля качества 29
1.4. Методы сокращения размерности факторного пространства 37
1.5. Методы статистического моделирования ТП по ретроспективным данным выборочного контроля 42
1.5.1. Предпосылки пассивного эксперимента 42
1.5.2. Модифицированный метод случайного баланса при пассивном эксперименте (ММСБП) 46
1.5.3. Метод наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией факторов (МНКО) 51
1.6. Задача повышения эффективности контроля по выборкам малого объема 60
Выводы 61
Глава 2. Повышение эффективности оценок параметров выборок малого объема 63
2.1. Метод точечных распределений 63
2.2. Вывод экспресс-формулы дисперсий выборок при групповых ТП 71
2.3. Метод упорядочения дисперсий 74
2.4. Расслоенный эксперимент с учетом метода упорядочения дисперсий 79
Выводы 87
Глава 3. Повышение эффективности контроля по выборкам малого объёма 88
3.1.Граничный метод 88
3.2. Методы оперативных характеристик 93
3.3. Критерий оценки эффективности контроля 94
Выводы 102
Глава 4. Оптимизация системы выборочного контроля параметров изделия в процессе его изготовления 103
4.1.Сокращение списка контролепригодных параметров 103
4.1.1. Последовательность работ по созданию оптимальной системы выборочного контроля 103
4.1.2. Первичное выделение списка контролепригодных параметров кристаллов 533 и 555 серий 105
4.1.3. первичное выделение списка контролепригодных параметров изделия 786 108
4.1.4. Первичное выделение списка контролепригодных параметров изделия КА1515ХМ1 110
4.2. Нахождение математических моделей технологических процессов (производственные примеры) 112
4.2.1. Математические модели 533 и 555 серий 112
4.2.2. Математические модели производства кристаллов изделия 786 118
4.2.3. Математическая модель производства кристаллов изделия КА15П5ХМ1 121
4.3. Оптимизация выборочного контроля 125
Выводы 130
Заключение 132
Литература 133
Приложения 142
- Применение оперативных характеристик для контроля качества
- Вывод экспресс-формулы дисперсий выборок при групповых ТП
- Первичное выделение списка контролепригодных параметров кристаллов 533 и 555 серий
- Нахождение математических моделей технологических процессов (производственные примеры)
Введение к работе
1.1. Актуальность работы.
При массовом производстве продукции методами групповой технологии при длительном цикле и неизбежном дрейфе условий всегда есть потери - брак. Величина этого брака напрямую зависит от сложности технологического процесса (ТП), иерархии обработки партий изделий, качества (точности выводов) выборочного контроля и качества управления ТП, которое на него опирается. Особенно остро вопросы повышения эффективности производства (повышения процента выхода годных изделий, увеличение периода стабильной работы ТП без переналадки и т.п.) стоят в микросхематехническом производстве при изготовлении кристаллов интегральных микросхем, Поэтому разработка эффективных методов и средств автоматизированного контроля и статистической обработки контрольно-измерительной информации по выборкам малого объема, является актуальной задачей.
Настоящая диссертационная работа посвящена поиску методов решения указанной задачи.
1.2. Цель работы и задачи исследования
Целью данной диссертационной работы является разработка статистических методов контроля параметров кристаллов в процессе производства микросхем на основе выборок малого объема для улучшения параметров и повышения выхода годных изделий.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
анализ существующих методов контроля по выборкам малого объема и оценка их эффективности;
разработка метода расчета параметров выборки малого объема повышенной эффективности;
разработка более эффективных методов определения доли рассеяния тиража по ступеням иерархии технологического процесса;
разработка более эффективного метода расчета коэффициентов точности тиража, партии, пластины и на их основе - периода стабильной работы ТП;
разработка новых методов и средств контроля по выборке малого объема, более эффективных по сравнению с существующими.
1.3. Научная новизна
Научная новизна заключается:
в разработке способа повышения эффективности оценки доли, вносимой в дисперсию тиража различными ступенями иерархии группового технологического процесса и, как следствие, точности контроля стабильности отдельных операций и технологического процесса в целом;
в разработке метода контроля ТП повышенной эффективности по альтернативному признаку при выборках сверхмалого объема на основе использования способа точечных распределений;
рос. национальная! библиотека
С Петербург
в создании методов и средств контроля ТП повышенной эффективности по количественному признаку;
в сравнении качества разработанных способов контроля и выборе наиболее эффективных методов для улучшения параметров изделий и повышении процента выхода годных.
1.4. Практическая ценность работы состоит в том, что создан пакет математи
ческих методов и компьютерных программ, которые позволяют:
- по критерию минимума доли ложно принятых и ложно забракованных пла
стин в партии из-за вероятного характера контроля по выборкам малого объема объ
ективно выбрать метод и решающее правило контроля;
повысить качество контроля параметров кристаллов по выборкам малого объема (точность прогнозирования брака увеличивается в 2,0-2,5 раза);
сократить долго ложно принятых и ложно забракованных пластин на 25% по сравнению с существующими методами;
сократить общее количество контрольных операций технологического процесса производства кристаллов ИМС в 5-Ю раз, исключив дублирование информации и снизив себестоимость кристаллов не менее чем на 25%.
1.5. Реализация и внедрение результатов работы
Основные научно-технические результаты работы нашли применение при оптимизации технологических процессов производства интегральных схем на предприятиях электронной промышленности. Акты внедрения прилагаются.
1.6. Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы доложены на Международных конференциях «Моделирование электронных приборов и аппаратуры, обеспечение их качества и надежности», г. Севастополь, сентябрь 2003 и 2004 гг., «Информационные технологии в науке, технике и образовании», Аланья-Севастополь, май-сентябрь 2004 г,
1.7. Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.
1.8. Структура и объем диссертации
Применение оперативных характеристик для контроля качества
Одним из наиболее точных и удобных на практике методов приемочного (по операционного) контроля качества продукции по количественному признаку в литературе признается статистический выборочный контроль [5, 71, 81], суть которого заключается в том, что по характеристикам однократной выборки принимается решение о приемке (браковке) партий изделий. Если в партии объемом N изделий некоторое их количество М является дефектным, то относительная величина q = — есть доля дефектных изделий. Устанавливается два уровня качества: #о - приемочный уровень дефектности (допустимая доля дефектных изделий в принятой партии) и qm - браковочный уровень дефектности (недопустимая доля дефектных изделий в принятой партии). В литературе иногда используются производные величины: AQL=#0-100% и LQ=qm-\00%.
При статистическом контроле возможны ошибки I и II рода. Ошибка I рода заключается в том, что испытуемая годная партия изделий (пластина) оценивается по результатам выборки как негодная. Вероятность ошибки I рода обозначается а и часто называется риском поставщика (производителя). Ошибка II рода заключается в том, что испытуемая негодная партия (пластина) оценивается по результатам выборки как годная. Вероятность ошибки второго рода обозначается /?и часто называется риском заказчика (потребителя).
Наиболее полно вероятность Р приемки партии (пластины) по результатам выборочного контроля описывается в виде оперативной характеристики P(q), качественная интерпретация которой представлена на рисунке 1.2. Она зависит от доли дефектных изделий q и от плана контроля, т.е. от объема п выборки, приемочного q0 и браковочного qm уровней дефектности. При этом риск поставщика cc=\-P(q0), риск потребителя J3=P(qm).
При контроле по количественному признаку у каждого проверяемого изделия определяется один количественный параметр X, который в партии изделий (на пластине) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Ха и дисперсией У. Теоретическими трудами [81] доказано, что при контроле по количественному признаку самым выгодным в смысле точности и минимума выборки является контроль по линейной комбинации выборочных характеристик X и S.
Если величины Тв (Т„) и # зафиксированы, то уравнениями (1.9) и (1.10) определяется линейная зависимость между Х0 и о; при которой обеспечивается постоянная вероятность q выхода величины Xза пределы Тв (Т„).
Однако на практике величина Х0 оценивается как среднее арифметическое по формуле (1.5), а величина а оценивается как выборочное среднеквадра-тическое значение (СКО) по формуле (1.9), т.е. условия приемки (1.11) и (1.12) перепишутся в виде где ks - некоторая постоянная, зафиксированная в нормативном документе на контроль данного изделия при соответствующих рисках поставщика и заказчика. Партия изделий (пластина) принимается при выполнении условий (1.15) и (1.16) и бракуется при их невыполнении. Изложенная методика широко распространена в промышленности стран СНГ [72] и по всему миру [71]. Однако для пооперационного контроля качества кристаллов ИМС в процессе прохождения пластинами техпроцесса такая методика в своем классическом виде применена быть не может.
Дело в том, что из-за случайной реализации контролируемой величины X параметры выборочного распределения х и S отличаются от истинных Х0 и сг, что в свою очередь приводит к отличию полученного оценочного уровня дефектности q в партии изделий (на пластине) от истинного q. В зависимости от того, какую долю объема контролируемой партии изделий JV составляет объем выборки п, ГОСТом [72] предусмотрены 6 уровней контроля, для каждого из которых четко обозначено отличие величин q и q. При контроле электрофизических и других параметров соотношение между числом кристаллов на пластине (N=400 4000) и объемом выборки п=5 (или п=Щ не подходит ни под один уровень контроля и все нормативы надо рассчитывать специально, учитывая искажения в оценках из-за малости объема выборки.
В работе Я.Б. Шора [81] выведены условия и решающие правила выборочного приемочного контроля по количественному признаку с учетом ограничений на малый объем контрольной выборки.
При помощи уравнений (1.18) и (1.19) легко найти объем выборки п и норматив ks по заданным or, Д q0u qm . Если же объем выборки п задан, как в нашем случае, то для полного определения всех параметров достаточно значений а, Д q0 или а, Д qm .
Кроме формул (1.17)-(1.19) норматив к3 и заодно необходимый объем выборки можно рассчитать при заданных a,p,q0»qm и другим способом [71]
Так при л=5; а=0,10; /f=0,IO; /о=0Д0 с учетом величины поправочного коэффициента «=j=l,0640 получим ,=0,680; #m= 0,50 и зона неопределенности д„ - q0= 0,40 или 40%. Аналогично, при и=10; а=0,10; Д=0,10; (/„=0,10 с учетом величины поправочного коэффициента „=/0=1,0280 получим ks= 0,971; qm= 0,33 и зона неопределенности qm - q0= 0,23 или 23%. При сравнении отчетливо видно, что зона неопределенности с ростом объема выборки существенно уменьшается, но все еще остается слишком большой для успешного применения оперативной характеристики в качестве метода выборочного контроля качества пластин кристаллов ИМС. Однако метод контроля по линейной комбинации X и S имеет существенное преимущество перед любыми методами контроля по выборочным характеристикам, так как здесь риски а и Д да и вообще оперативная характеристика P(q) не зависит от генеральных параметров распределения контролируемой величины X в испытуемой партии изделий (пластине). Поэтому имеет смысл посмотреть, нельзя ли каким-либо образом уменьшить зону неопределенности до приемлемого уровня.
Из изложенного следует, что существуют по крайней мере два решающих правила контроля (на самом деле их больше). 1) Определяется некоторая величина Q, такая, что при выполнении неравенства партия изделий (пластина) считается принятой, а при Qe ks или Q„ ks , или если одна из величин Qe или Q„ отрицательна, партия (пластина) считается забракованной. При этом в нормативе ks сосредотачивается весь план контроля, однако, если необходимо одновременно определить не только "годен/негоден", но и долю дефектности (уровень качества) принимаемой продукции, то надо воспользоваться вторым решающим правилом. 2) По найденным QB и Q» определяются фактические доли дефектности Чв и qH (в процентах), такие, что при выполнении неравенства партия изделий (пластина) считается принятой, а при qB +qH Ms партия (пластина) считается забракованной. При этом в нормативе Ms сосредотачивается весь план контроля (Ms=qs - 100%).
Норматив Ms=qs -100% легко рассчитать из уравнения (1.17) при известных kj, объеме выборки п и соблюдении равенства iYqyH ,5 (см. рисунок 1.2). Так как при нормальном законе распределения вероятность равна 0,5 только при равенстве квантиля нулю, то, следовательно можно записать
Оценку фактической доли дефектности q можно подсчитать по выражению (1.17), однако оно довольно трудоемко и его стоит заменить аппроксимирующим полиномом [70]
Вывод экспресс-формулы дисперсий выборок при групповых ТП
Безусловно, использование формул (2.2) и (2.3) было большим достижением, позволившим существенно снизить непроизводительные экономические потери от ложной приемки и ложной браковки пластин [21], а также улучшить точность прогноза момента разладки ТП (см. раздел 2.3). Однако громоздкость формулы (2.3) и произвольное назначение числа интервалов к заставило задуматься о более скоростной процедуре.
В основу предлагаемого метода положен тот факт, что производство кристаллов ИМС является групповым ТП, причем в обрабатываемой партии находится от 20 до 50 пластин, проходящих одновременно одинаковую режимную обработку. Так как материал пластин в одной партии подбирается практически идентичным, то логично предположить, что выборки, полученные при измерениях одноименных параметров кристаллов на тестовых ячейках каждой пластины такой партии являются коррелированными с высокой степенью тесноты свя зи, а большая часть ошибок вычисления параметров выборок малого объема относится за счет несовершенства самих методов расчета. Проверим, так ли это с помощью имитационного моделирования.
С этой целью была сформирована исходная совокупность в 80000 чисел с известным математическим ожиданием и дисперсией, принятая за генеральную совокупность, из которой формировались выборки объемом п = з, ю в количестве 1000 штук для каждого объема. Для каждой малой выборки определялись значения X = —YXi по известной формуле Гаусса, дисперсия S по формуле
Бесселя (1.9) и дисперсия // по формуле (2.3). Затем полученные значения исследовались на парную корреляцию для каждого объема выборки, а полученный ряд коэффициентов корреляции исследовался на однородность общей совокупности с помощью z-преобразования Фишера и критерия однородности Пирсона [61].
Корреляционная зависимость рг и S2 имеет наивероятнейший коэффициент корреляции 7 = 0,895, что дает основание для представления этой зависимости в виде как линейного так и квадратичного уравнения. Исходя из известного выражения для линейного регрессионного уравнения [61] в случае выборочных дисперсий можно записать где =5 =02 как средние, вычисленные по тысячам выборок, стремящиеся к своему генеральному параметру; / ш - первый основной момент парной выборки, численно равный коэффициенту корреляции; величина {"i/ fi/i aV) ОД Тогда выражение (2.11) преобразуется в
Поскольку величина ст2 на практике не может быть получена иначе как в виде среднего арифметического эмпирических дисперсий, т.е. Для оценки точности аппроксимированных уравнений было проведено сравнение дисперсий S\ ft, «,,,, Й,, полученных по формулам (1.9), (2.3), (2.14) и (2.16) по одним и тем же выборкам объемом п, причем выборок для расчета каждого вида дисперсий и каждого объема было по 1000 штук. Сравнение проводилось путем сопоставления дисперсий рассматриваемых величин (т.е. дисперсии дисперсий), результаты сравнения приведены в таблице 2.4.
Из таблицы видно, что линейная аппроксимация (2.14) имеет наименьшее расхождение с величинами, вычисленными по исходной формуле (2.3), и не превышает 2% (чаще около 1%), в то время как квадратичная аппроксимация (2.16) имеет по крайней мере в 3 раза большее расхождение с исходной формулой (2.3), не говоря уже о прямой оценке эмпирической дисперсии по формуле Бесселя (1.9), которая имеет еще большее расхождение.
Таким образом, можно считать установленным, что наиболее точные значения дисперсий выборок малого объема при одновременной простоте вычислительной процедуры (а, значит, с наименьшим временем вычисления) можно получить при использовании формулы линейной аппроксимации (2.14). Практическое использование показало, что первые 2-3 пластины партии фактически оцениваются с точностью, установленной формулой (1.9), и только с четвертой и последующих пластин точность оценок приближается к точности формулы (2.14). Поэтому в случае браковки первых пластин следует вернуться к ним после просмотра и измерения всей партии с учетом накопленной точности величины S2.
Что же касается формулы (2.2) расчета оценки математического ожидания, то из того же имитационного эксперимента выяснилось, что расхождение между формулой (2.2) и классической формулой Гаусса вычисления среднего арифметического (1.5) не превышает 0,2%, поэтому впредь будем использовать формулу (1.5).
Однако применение формулы (2.14) на практике натолкнулось на некото рые трудности. Дело в том, что пластина, первой поданная на контроль, имеет выборочную дисперсию по формуле (2.14) такую же, как и по формуле (1.9), вторая пластина уже имеет скорректированную дисперсию, третья - еще более скорректировашгую и т.д. При благоприятных обстоятельствах стабилизация значений р-2 по формуле (2.14) начинается примерно с 5-ой пластины, а при неблагоприятных (очень большая дисперсия в первой или во второй пластине) -после 10-й пластины или не наступить вовсе. Проиллюстрируем это на небольшом примере.
В таблице 2.5 приведены неупорядоченные данные по одной из неблагополучных партий, а также расчеты по формуле (1.9) и (2.14). Поскольку по существующим нормативам отбраковка каждой пластины осуществляется индивидуально с привлечением формул (1.5) и (1.9), то пластины с номерами 1 и 4 были забракованы. Применение формулы (2.14) не спасло ситуацию, мало того, средняя дисперсия ц2ср стало хуже средней дисперсии, рассчитанной классическими методами.
Первичное выделение списка контролепригодных параметров кристаллов 533 и 555 серий
Существующая технология изготовления кристаллов ИМС 533 и 555 серий «Игналина» предусматривает раз браковочный контроль нескольких десятков как ЭПФ, так и ЭП, по результатам которого устанавливается процент выхода годных изделий. Однако заводскими исследованиями установлено, что пластины, забракованные по ЭФП, часто оказываются пригодными по ЭП и дают большое значение ПВГ. Поскольку именно ЭП (а, следовательно, и ПВГ) являются объективной характеристикой работоспособности кристаллов ИМС, то наблюдаемое несоответствие между браком по ЭФП и годностью по ЭП может означать: 1) слишком жёсткие (узкие) нормы по ЭФП; 2) некоррелированность между ЭП и контролируемым ЭФП; 3) сочетание первой и второй причин.
С целью установления объективной картины связи между ЭП и ЭФП, соотношения между нормой и реальным распределением, определения списка контро лепригодных параметров для последующего математического моделирования была составлена исходная таблица данных с 211 строками и 218 столбцами (исследовано 211 пластин с общим объёмом 250 тыс. измерений). Сопоставление норм по КД и фактических размахов выборок показало, что по многим параметрам фактические размахи либо значительно превышают норму, либо смещены от неё. В силу того, что при этом на пластинах сохраняется достаточно высокий процент выхода годных кристаллов, следует сделать вывод о неверном значении соответствующей нормы.
Столбцы таблицы исходных данных были проверены на корреляцию между собой по принципу «каждый с каждым», коэффициенты корреляции образовали 213x213 корреляционную таблицу, которая послужила основанием для выделения 43 корреляционных плеяд (техника, методология и пример исследования изложены в главе 2), список которых с указанием номеров вошедших параметров представлен в табл.4 Л.
Из каждой плеяды, содержащей более одного параметра, одним из методов экспертных оценок [7,36] были выделены контролепригодные параметры, которые и составили первоначальную основу моделирования. При этом принималась во внимание иерархия параметров, а именно: ПВГ зависит только по ЭП, которые, в свою очередь, зависят от ЭФП. С учётом этой иерархии на первоначальном этапе моделирования принимались во внимание только ЭП, выделенные из плеяд: ПО, 114, 152, 163, 182, 191, 194, 211, 212. Повторная проверка на корреляцию между ними показала пренебрежимо малые значения коэффициентов корреляции, что обусловило возможность признать их максимальным списком коптролепригодных электрических параметров, на ском коїггролепригодньїх электрических параметров, на базе которых можно искать математическую модель.
Для исследования на АО «Ангстрем» (г. Зеленоград) был представлен массив контрольно-измерительной информации по 66 параметрам, измеренным на 380 пластинах 12 партий изделия 786 (диаметр пластины 150 мм). При первичном исследовании массива выяснилось, что параметры 38, 45, 47, 56 не имеют раскачки, то есть, не могут быть использованы в качестве информативных факторов, поэтому они были исключены из дальнейшего рассмотрения. К 62 оставшимся параметрам присоединён ещё один столбец - процент выхода годных кристаллов на каждой пластине. Проверка этого столбца на вид закона распределения показала, что ПВГ имеет распределение, отличное от нормального. Чтобы привести его к нормальному виду, как это положено для ВПК при математическом моделировании, было проведено преобразование Хм= 3б9- Таким образом, исходная таблица данных содержит 64 столбца и 380 строк.
Затем была сформирована корреляционная таблица 64x64, элементы которой представляют собой меру тесноты линейной связи между каждой парой параметров. С помощью уже упомянутой методики эта таблица была разбита на слабо коррелированные между собой плеяды (таблица 4.2), внутри которых связь между параметрами велика,
Из каждой плеяды были выбраны по одному представителю. Критериями выбора остались прежние условия: максимальная мера тесноты связи с ВПК (процентом выхода годных кристаллов), максимальная внутренняя связь, слабая коррелированность с представителями других плеяд - всего 18 наименований (напомним, что из исходной таблицы данных исключены 4 параметра, следовательно, количество параметров и их нумерация не совпадают).
Таким образом, мы получили 18 информативных параметров и ВПК, которые несут ту же информацию о качестве изделия в процессе его изготовления, что и первоначальные 66. Сокращение количества информативных параметров приводит к сокращению отбраковочных контрольных операций, что уже дает значительный экономический эффект. Однако для получения оптимального комплекса информативных параметров необходимо продолжить работу по их сокращению с помощью математического моделирования технологического процесса.
Технологический маршрут изготовления кристаллов изделия КА1515ХМ1 (СЭМЗ, г. Солнечногорск) предусматривает 167 операций, из которых 37 являются контрольными. Анализ природы этих контролируемых параметров показал, что все они являются количественными, однако обладают разными статистическими свойствами. Параметры с Х\ по Хп измеряются на спутнике, содержат 200-240 кристаллов, т.е. имеется выборка объемом 1, которая должна характеризовать исходную совокупность объемом 10000-12000 кристаллов (0,01% от объема исходной совокупности). Такое положение является следствием того, что большинство из указанных контрольных операций носят разрушающий характер и не могут осуществляться на рабочей пластине.
Параметры с Х по Х& измеряются на пластинах, причем делается по 1 измерению на 3-х пластинах из партии. По действующей технологии считается, что если эти три значения укладываются в норму, то и все остальные десятки тысяч аналогичных размеров тоже укладываются в норму. Другими словами, и эти параметры дают выборку объемом не более 0,01% от объема исходной совокупности.
Нахождение математических моделей технологических процессов (производственные примеры)
Как показано в разделе 1.5, наиболее удобным для первоначального моделирования по пассивным данным является модифицированный метод случайного баланса ММСБП, который не только учитывает особенности производства (гетероскедастичность, наличие грубых промахов и т.п.), но и имеет удобный для дальнейшего анализа вид: коэффициенты регрессии являются одновременно весовыми и коэффициентами факторов, а выходная величина представляется в именованном виде. При этом факторы модели (входные величины) должны быть представлены в кодированном виде (-1; 0; +1), для чего требуется таблица перехода из именованных величин в код. Таблица эта делается по правилу, наглядно видному из рисунка 1.5. Заменив в таблице исходных данных числовые значения соответствующих электрических параметров их кодовыми обозначениями и выделив нужные столбцы в отдельную таблицу, получим план эксперимента. Обработка этого плана по правилам ММСБП [67] привела к отсеиванию незначимых факторов. В результате найдены модели: для ПВГ 533 серии Доказано, что найденные математические модели адекватны условиям эксперимента (исходным числовым данным). Анализ выражений (4.1) и (4.2) показывает, что ПВГ обеих серий зависит только от трех ЭП каждый, причем два из них повторяются с одинаковыми знаками, остальные ЭП в исследуемом технологическом процессе выполняются оптимальным образом. Для повышения величины ПВГ в обоих случаях необходимо иметь Л (т.е. 7(0)вх) -240 мкА, Хш (т.е. ФК) 4,5 В, Хт (т.е. /0) Б -80 мкА, Х2п (т.е. LU-зш) 741 мВ (рисунок 4.2). Тогда без дополнительных затрат на модернизацию производства величины ПВГ могут быть повышены до 65-70%. Для определения условий, при которых значение ЭП будет находится в нужном диапазоне, необходимо найти математические модели также и для них.
С этой целью в качестве факторов использовались ЭФП, выделенные из корреляционных плеяд. При этом всякий раз, когда в плеяде находился ЭП, выделенный в качестве значимого в моделях (4.1)-(4.2), соответствующий ЭФП выделялся из числа наиболее сильно коррелированных с ним. В результате проделанных аналогично предыдущим расчетов были получены следующие уравнения: Доказано, что эти математические модели адекватны исходным числовым данным. Использовав список выделенных ЭФП в качестве списка исходных факторов и опустив вошедшие в модели (4.1)-(4.2) ЭП как промежуточные, вся работа по моделированию ПВГ была проделана заново. В результате найдены адекватные модели: В выражении (4.4) значимый фактор хц заменен на тесно коррелированный с ним JC5O из тех соображений, чтобы весь спектр выделенных факторов укладывался в одну измерительную программу PRTK20, действующую на предприятии. Анализ моделей (4.3)-(4.4), представленный в виде таблицы 4.4 и рисунка 4.3, показывает, что список значимых факторов сократился до 3-5 ЭФП и поя вилась теоретическая возможность повысить ПВГ кристаллов по крайней мере до 60-65%, или, при некоторых дополнительных условиях, до 70%. Следует отметить, что смещение фактического распределения для Х и Х35 и перекрытие нормы для 50 не приводит к забракованию кристаллов и в ряде случаев способствует повышению процента выхода годных. Следует также отметить, что нормы тХм иХи значительно завышены. Модели (4.3)-(4.4) удобны для определения и последующего анализа, так как их коэффициенты есть веса факторов, однако неудобны для оперативной работы непосредственно на рабочих местах, так как факторы представлены в кодированном виде. Имеет смысл повторить работу по моделированию другим методом - МНКО, - в котором величины факторов представлены в именованном виде. Обработка того же экспериментального материала производилась по программному обеспечению [70]. После завершения всех расчетных процедур искомые адекватные математические модели имеют окончательный вид
