Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современная робототехника и проблематика точности манипуляционных роботов
Классификация роботов по назначению 11
Показатели точности роботов. Первичные погрешности промышленных роботов и их суммирование 20
Нормирование показателей точности промышленных роботов 24
Постановка задач исследования в диссертации. 39
Выводы по главе 1 , 41
Глава 2. Метод приближенного расчета динамических погрешностей роботов 42
Исходные положения 43
Приближенное представление погрешностей роботов при контурном управлении 47
Преимущества и недостатки предлагаемого подхода 53
Переход от вектора погрешности к погрешности отработки траектории 55
Методика анализа и схема алгоритма анализа динамических погрешностей отработки программной траектории 57
Определение основных значений геометрических погрешностей... 60
Выводы по главе 2 66
Глава 3. Расчет погрешностей отработки типовых траекторий для манипуляторов работающих в разных системах координат 68
Динамические погрешности манипулятора, работающего в прямоугольной системе координат 69
Динамические погрешности манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат 80
Динамические погрешности антропоморфного манипулятора, работающего в ангулярной системе координат 91
Учет ориентирующих степеней подвижности манипулятора 104
Способы определения коэффициентов скоростных погрешностей по результатам испытаний 107
Выводы по главе 3 109
Заключение
Публикации автора по теме диссертации 113
Использованная литература
- Показатели точности роботов. Первичные погрешности промышленных роботов и их суммирование
- Приближенное представление погрешностей роботов при контурном управлении
- Методика анализа и схема алгоритма анализа динамических погрешностей отработки программной траектории
- Динамические погрешности манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. К настоящему времени разнообразие роботов, классифицируемых по назначению, характерным признакам принципиального, схемного и конструктивного решений, чрезвычайно широко, что лишь отчасти отражено в монографической и учебной литературе [1, 6 - 9, 15, 36, 39, 40, 44, 51, 66, 67, 68, 69, 83] и в стандартах [19, 21, 24]. Обзору современного типажа роботов в данной диссертации уделяется определенное внимание. Однако вне зависимости от назначения за последние десятилетия в робототехнике вполне определилась приоритетная научная проблематика. Проблема обеспечения требуемой или предельно возможной точности промышленных роботов (ПР) была одной из центральных в робототехнике, начиная с ее рождения, она полностью сохраняет актуальность и в наше время. За два последних десятилетия в монографической и учебной литературе, в публикациях в периодических изданиях, в сборниках и трудах научных конференций проблематике точности ПР неизменно уделяется большое внимание [12, 16, 26, 38, 39, 41, 45, 51, 56, 63, 72]. В большинстве случаев это теоретические исследования, но в ряде источников [22, 80, 81] основное внимание уделяется экспериментальному определению точностных характеристик.
Расширение вычислительных возможностей общедоступного стандартного программного обеспечения современных компьютеров привело к весьма спорному представлению, что анализ точности ПР всегда необходимо строить на основе максимально сложных математических моделей, в которых учитывается как можно больше влияющих факторов. Из этого как будто следовал некорректный вывод, что задачи анализа точности в робототехнике, приводимые к простым математическим моделям, не представляют интереса.
Последовательная реализация этих представлений приводила к тому, что центр тяжести переносился на процедуры составления больших систем дифференциальных уравнений движения. Новизна теоретических исследований определялась преимущественно тем, что в математических моделях учитывалось все большее число факторов и вводилось все большее
число параметров. Составление уравнений даже с учетом упругости звеньев, погрешностей геометрических параметров, погрешностей в кинематических парах механизмов, зазоров, свойств следящих приводов и т.п. принципиальных трудностей не представляет [14, 26, 52, 61], математические методы и соответствующие методики хорошо разработаны [10, 12, 39, 41, 51, 52, 56, 60, 71, 82]. При этом основой являются известные методы теоретической механики и теории механизмов [3, 4, 11, 12, 13, 49, 50, 74, 77]. Также представляется полезным и необходимым использование положительного опыта анализа точности оборудования в машиностроении и станкостроении [70, 75, 76].
В настоящее время системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений для типовых промышленных роботов при математическом моделировании обычно имеют порядок 10-20, но бывает и значительно больше. Универсальное программное обеспечение в этом плане обеспечивает вполне достаточные возможности [29 - 32, 54, 62]. При этом проблема задания большого числа параметров систем этих дифференциальных уравнений лишь в небольшой части решалась теоретически, определение многих коэффициентов по существу требовало больших объемов целенаправленных экспериментальных исследований, что крайне редко реализовывалось на практике. Кроме того, использование максимально полных громоздких математических моделей при численных расчетах динамических процессов приводило к тому, что анализ результатов с выявлением раздельного влияния факторов требовал серьезной самостоятельной научно-исследовательской работы.
В восьмидесятых годах, в связи с разработкой комплекса государственных стандартов «Роботы промышленные» (часть этих стандартов представлена в списке литературы [19 - 25]) явно обнаружилось противоречие между сложными процедурами расчета показателей точности и требованиями представления в технической документации этих показателей немногими, простыми по форме и достаточно просто контролируемыми нормируемыми характеристиками. Если для ПР с цикловым управлением эти трудности, по крайней мере в основном, были
преодолены, то для ПР с контурным управлением были даже неясны пути сближения теоретических исследований с идеологией испытаний и нормирования показателей точности. Представляется, что такое сближение практически возможно на пути не формального усложнения математических моделей, а их обоснованного упрощения.
Применительно к нормированию показателей точности оказался важным вид автоматического управления. В семидесятых-восьмидесятых годах XX века программное управление (иногда его называли жестко программным) не только роботами, но и другого автоматического и автоматизированного оборудования противопоставлялось более совершенным: адаптивным, интерактивным, интеллектуальным. Предполагалось, что со временем сферы применения жестко программного управления будут сужаться, а более совершенных — расширяться.
Однако опыт последующего периода показал, что реальные возможности и эффективность применения того или иного вида систем автоматического управления в значительной мере определяется не возможностями запоминания и воспроизведения очень сложных программ, не адаптивностью и наличием элементов искусственного интеллекта, а надежностью преимущественно в условиях стабильности и определенности конкретных требований к выполняемым операциям.
На крупносерийных и среднесерийных машиностроительных и
приборостроительных производствах с хорошо отлаженными
производственными циклами и стабильным качеством заготовок и
комплектующих наибольшее распространение получили
самобалансирующиеся манипуляторы с автоматическим уравновешиванием груза и ПР с программным (жесткопрограммным) управлением. Проблема точности оказалась наиболее сложной при контурном управлении, когда задаются траектории движения рабочего органа, законы изменения углов его ориентации, а также линейные и, возможно, угловые скорости.
Объектом рассмотрения в данной диссертации являются ПР с автоматическим контурным программным управлением, к точности перемещения рабочих органов которых предъявляются высокие
требования. Предполагается, что для рабочих точек рабочих органов (например, лазерных головок для резки листового материала, сварочных электродов, резцов, силовых головок с инструментом для фрезерования или гравировки и т.п.) тем или иным способом задаются программные траектории. По этим траекториям и скоростям перемещения из решений обратной задачи геометрии рассчитываются законы координированного изменения во времени обобщенных координат механизма манипулятора ПР и выходных звеньев приводов. Эти программы должны с высокой точностью отрабатываться приводами по степеням подвижности.
В данной диссертации исследование точности представляется целесообразным строить на основе обобщения и доработки разработанной в два последних десятилетия общей методологии нормирования и наглядного представления показателей статической точности ПР [42, 43, 80, 81]. Чтобы получать результаты в обозримом виде, необходимо максимально простое описание динамики ПР, которое позволяло бы достаточно просто описывать динамические погрешности и устанавливать их зависимость от основных параметров ПР. Поэтому задачи разработки приближенных методов анализа динамики роботов, при ориентации на оперативное получение результатов с возможностью простого оценивания влияния различных факторов и требований нормирования являются актуальными.
Основной целью в диссертации является разработка и опробование такого приближенного метода анализа динамических погрешностей воспроизведения программных траекторий рабочим органом ПР, который не требует интегрирования системы дифференциальных уравнений движения, а позволяет оценивать отклонения формы и параметров программных траекторий только по кинематическим параметрам. При этом динамические характеристики системы в целом, независимо от сложности, задаются единообразно немногими коэффициентами.
Для достижения указанной цели в диссертации ставятся и решаются следующие основные задачи:
представить в систематизированном виде основные подходы и методы представления и нормирования погрешностей позиционирования и отработки программных траекторий рабочих органов ПР;
на основе приближенного представления передаточных функций приводов в виде суммы немногих первых членов степенного ряда сформулировать процедуры и расчетные методики приближенного определения динамических погрешностей при отработке программных траекторий ПР с контурным управлением;
для типовых кинематических схем манипуляторов ПР с двумя и тремя переносными степенями подвижности по коэффициентам скоростных ошибок рассчитать законы изменения динамических погрешностей рабочих органов при отработке простейших (прямолинейных и круговых) гладких программных траекторий;
сформулировать и определить пути и разработать конкретные алгоритмы компенсации систематических погрешностей отработки гладких программных траекторий;
имея в виду гражданство автора, применительно к различным сферам применения роботов систематизировать терминологию на французском языке.
Основные положения, выносимые на защиту:
- при анализе показателей точности манипуляционных роботов, когда
ставится задача максимально полного представления свойств погрешностей
с учетом большого числа влияющих факторов, целесообразно использовать
опыт нормирования статических показателей точности станков, другого
автоматического оборудования в машиностроении и средств измерений в
метрологии;
- при оценках точности воспроизведения плавных программных
траекторий рабочими органами ПР с контурным управлением
использование только первых слагаемых разложения в ряд передаточных
функций приводов с постоянными коэффициентами ошибок позволяет
исключить процедуры интегрирования дифференциальных уравнений и
основываться только на результатах расчета кинематических параметров программного движения;
- использование коэффициентов динамических погрешностей
позволяет значительно упрощать процедуры идентификации динамических
характеристик роботов с контурным управлением и допускает логичное и
достаточно простое обобщение результатов на случай наличия
нелинейностей;
описание динамики с помощью систем коэффициентов динамических погрешностей ПР, в первую очередь, коэффициентов скоростных ошибок позволяет аналитически и наглядно графически представлять характерные искажения типовых программных траекторий и оценивать максимальные отклонения;
- использование выражений для динамических погрешностей при их
расчете по коэффициентам ошибок предоставляет возможности их
достаточно простого аппроксимирования и выработки корректирующих
поправок.
Основной материал диссертации распределен по трем главам.
В первой главе сначала приводятся минимально необходимые сведения о современном состоянии робототехники. После этого дается краткий обзор работ по методам расчета и представления погрешностей позиционирования и отработки программных траекторий. Как одна из важнейших обсуждается проблема нормирования показателей точности с учетом того, что погрешности представляют собой векторы, что они имеют систематические и случайные составляющие и зависят от ориентации осей координат, от положения точек в рабочей зоне и еще большого числа различных факторов. Обращается внимание на то, что подобная систематизация осуществляется преимущественно к погрешностям в статических и квазистатических режимах. Обсуждается классическая проблема суммирования частных погрешностей, обусловленных различными факторами. Глава заканчивается формулированием основных задач исследования в данной диссертации.
Вторая глава посвящена описанию и обоснованию предлагаемого приближенного метода расчета динамических погрешностей отработки программных траекторий. Использование в разложениях передаточных функций приводов в степенные ряды с сохранением только первых слагаемых позволяет избежать интегрирования систем дифференциальных уравнений динамики и оценивать динамические погрешности непосредственно по кинематическим характеристикам программных движений. Показывается, что метод применим в тех случаях, когда программные траектории являются гладкими, а программные движения -медленными. Обсуждаются очевидные преимущества предлагаемого подхода, который часто позволяет получать оценки в общем виде; констатируются естественные ограничения на его применение. Конкретизируется понятие динамической погрешности отработки программной траектории. Приводится обобщенная блок-схема последовательности необходимых вычислений.
Третья глава посвящена применению разработанного подхода для исследования динамических погрешностей манипуляторов ПР, выполненных по типовым схемам при воспроизведении типовых программных траекторий. При использовании универсального программного обеспечения автором проведены серии расчетов погрешностей воспроизведения прямолинейных и круговых программных траекторий в одной главной плоскости для манипуляторов, выполненных по различным схемам (работающих в прямоугольной, цилиндрической и ангулярной системах координат). Исследовано влияние на погрешности параметров положения программной траектории относительно главной оси манипулятора, длин звеньев механизма. Полученные результаты целесообразно использовать для обоснования выбора расположения объектов относительно робота, режимов функционирования ПР, даны предложения по выработке поправок на систематические погрешности.
Работа проходила апробацию на научных семинарах кафедры «Автоматы» СПбГТГУ. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, перечисленных перед общим списком использованной литературы.
Показатели точности роботов. Первичные погрешности промышленных роботов и их суммирование
Номенклатура технических показателей роботов достаточно широка и мало зависит от их назначения [25]. Во всех монографиях, учебниках и учебных пособиях [6, 12, 15, 41, 51, 56, 69, 83]подчеркивается, что показатели точности относятся к числу важнейших, определяющих «профессиональную пригодность» роботов при выполнении самых разнообразных операций. Всегда показателям точности уделяется большое внимание, в первую очередь в плане методов расчета при различных математических моделях. На этапах расчета и проектирования роботов погрешности рассчитываются на основе математических моделей, а после изготовления обязательно проверяются экспериментально.
При расчетном определении погрешностей сначала собираются и классифицируются физические эффекты, а затем для каждого эффекта строятся модели для составляющих общей погрешности. Эти составляющие по аналогии с соответствующим термином, принятом в метрологии, в [43] предложено называть частными погрешностями, их также называют первичными погрешностями.
Теоретический анализ погрешностей ПР обычно осуществляется по видам, на основе принятой классификации, У различных авторов классификации существенно различаются, однако, как правило, определяющими считаются два классификационных признака: - признак связи тех или иных составляющих погрешностей с первичными факторами (например, зазорами в кинематических парах, упругостью звеньев манипулятора, погрешностями базирования самого манипулятора или объекта производства относительно него и т.д.); признак, характеризующий проявление составляющих погрешностей (они могут быть постоянными или переменными во времени, систематическими или случайными).
Физические и технические причины появления погрешностей в связи с первичными факторами подробно обсуждались в ряде монографий (например, [41, 82]) и в большом числе статей, этот аспект здесь не рассматривается.
Степень зависимости классификационных признаков друг от друга различна, некоторые из них являются тесно зависимыми, другие практически независимыми. Так независимым можно считать разделение погрешностей, с одной стороны, на статические и динамические, а с другой — на обусловленные механикой и системой управления. Такое разделение не является общепринятым, в [41] погрешности разделяются на геометрические, обусловленные отклонениями конструктивных параметров (например, длин звеньев) от номинальных значений и кинематические, обусловленные погрешностями отработки приводами программных законов перемещений выходных звеньев приводов. Очевидно, что геометрические погрешности следует рассматривать как статические, а те, которые квалифицируются как кинематические, имеют составляющие, которые проявляются и как статические, так и динамические.
Ниже рассматриваются вопросы определения и суммирования частных погрешностей. В зависимости от полноты постановки задач погрешности положения должны рассматриваться или для концевой точки механизма манипулятора, или для определенных точек переносимого объекта или рабочего органа. Автор предлагает единую фацетную (многоаспектную) двухуровневую классификацию первичных или частных погрешностей. Она представлена на (рис.1.1). Это означает, что классификация осуществляется по нескольким независимым или частично зависимым признакам, каждый из которых отражает определенный аспект или точку зрения. Курсивом в прямоугольных рамках даны наименования самих классификационных признаков, они пронумерованы. Далее даются комментарии к классификационной таблице.
Первый классификационный признак определяет вид или тип геометрической или кинематической величины, для которой определяется классификационный признак. Первичные погрешности могут задаваться как линейные и как угловые, они могут относиться как к положению, так к скорости. Очевидно, что этим признаком определяется конкретный вид расчетной модели погрешности.
Второй классификационный признак устанавливает области определения параметров положения или состояния, для которых определяются погрешности. Так могут представлять интерес только установившиеся состояния (конечные положения вблизи заданных точек позиционирования после завершения переходных процессов), или в течение коротких интервалов времени после изменений режимов (в течение переходных процессов, возникающих вследствие включения двигателей или резкого торможения), или на больших интервалах по всей программной траектории. Этим определяется тип математических моделей: в первом случае она статическая, во втором и третьем -динамическая.
Третий классификационный признак определяет место воздействия фактора, вызывающего погрешности, сначала на высоком уровне (исполнительное устройство или устройство управления), а затем на последующих, более низких (эти более низкие уровни на рис.1.1 не показаны). В случае подробной проработки на нескольких уровнях этот фрагмент схемы может быть положен в основу алгоритма технической диагностики.
Четвертый классификационный признак характеризует уровень абстракции или, наоборот, конкретизации системы робота, на котором рассматриваемая погрешность может быть выявлена качественно и задана своими определенными количественными характеристиками.
Приближенное представление погрешностей роботов при контурном управлении
Рассмотрим единственную степень подвижности. Для произвольного /-го следящего привода при принятых упрощающих допущениях линейности и стационарности, когда входным параметром считается программа по перемещению выходного звена механизма, а выходом считается погрешность отработки траектории, записывается дробно-рациональная передаточная функция для суммарной погрешности Щр) - P(p)/Q(p) = фтРт +bm.lPm- + ...Л Ь0)(апрп + а ,рп1+ .. Л а0)л (2.1)
Импульсная переходная характеристика, соответствующая этой передаточной функции, определяет преобразование всех предыдущих программных значений закона в текущее значение погрешности. Дробно-рациональное выражение передаточной функции чисто формально может быть записано в виде степенного ряда # W(p) = ст +с0)р + стр 2+... (2.2) Такое разложение приводится и обсуждается во многих курсах классической теории автоматического управления или регулирования (например, [10]). Представление передаточной функции в виде степенного ряда (2.2) исключает учет переходных процессов, обусловленных начальными условиями. При отработке программной траектории переходные процессы в реальной системе могут быть существенными лишь после выполнения быстрых движений перехода в начальную точку этой траектории или при переходе с одного участка на другой, если они не имеют гладкого сопряжения. - Выражению (2.2) соответствует следующее приближенное представление погрешности є (ґ) воспроизведения программы u(t) e(t) = -[ c(0) «(f) + cwdu(t)ldt+ cmd2u(t)!di +. ..] (2.3)
Таким образом, на гладких участках траекторий погрешности приводов (в зависимости от типа двигателей линейные или угловые погрешности) можно приближенно считать пропорциональными линейной комбинации производных программного закона перемещения (соответственно линейного или углового). Постоянные коэффициенты c(t) этого выражения в теории автоматического управления [10]принято называть коэффициентами ошибок, первые из них имеют следующие наименования: с(0) - коэффициент статической ошибки, с(,) - коэффициент скоростной ошибки, с(2) - коэффициент ошибки по ускорению. Знак минус поставлен таким образом, чтобы коэффициенты с() в скобках были бы положительными. При таком представлении становится очевидной правильность принятого в [41] квалифицирования динамических погрешностей, как кинематических, поскольку их составляющие пропорциональны кинематическим величинам: скорости и ускорению. Первое слагаемое, статическая составляющая погрешности может определяться при учете большого числа различных факторов, в частности, упругими деформациями под собственным весом, геометрическими погрешностями в кинематических парах и т.п.
Появление первых двух составляющих динамической погрешности может быть также объяснено, исходя из следующих соображений. Упрощенная структурная схема распространенного варианта типовой системы автоматического электромеханического привода с отрицательными обратными связями (система считается линейной и стационарной) представляется в виде рис.2.1. Блок Пр — программное устройство, которое вырабатывает программу щ (t) перемещения выходного звена привода, и выход идеальной системы и (t) должен точно воспроизводить эту программу. tf eUl Рис.2.1. В действительности неидеальность системы приводит к тому, что возникает погрешность e(t) = и (t) - щ (t) (2.4)
В прямой цепи показан усилитель с большим коэффициентом усиления М; динамические свойства самого двигателя с усилительными устройствами представлены передаточной функцией G(p). Изображены две отрицательные обратные связи - одна по координате, а другая по скорости. Обратная связь по координате (она реализуется на основе датчика угла поворота или линейного перемещения) обеспечивает реализацию самого принципа слежения. Далее для простоты предполагается, что масштабы входного управляющего воздействия и согласованы так, что идеальной была бы единичная обратная связь, тогда разность (с (0) — 1) характеризует отклонение статического коэффициента обратной связи от единичного.
Методика анализа и схема алгоритма анализа динамических погрешностей отработки программной траектории
При контурном управлении, когда рабочий орган должен отрабатывать программную траекторию, важен не вектор погрешности рабочего органа, а лишь его составляющие по нормали и бинормали к программной траектории, т.е. в плоскости, нормальной касательной. Производится разложение вектора Аг(/) погрешности по направлениям осей сопровождающего трехгранника (т - орт касательной, п - орт нормали, Ь -орт бинормали). В первом приближении составляющая погрешности по оси (касательной) означает лишь запаздывание в движении концевой точки механизма, а две другие составляющие (по нормали и бинормали) собственно представляют собой погрешности отработки программной траектории. Для плоской задачи интерес может представлять только одна составляющая Агп (/) — в плоскости, по нормали.
В динамическом режиме определение погрешностей положения может быть произведено для множества всех точек заданной программной траектории, при этом результат удобно представить в векторной форме следующим образом; Дг = Ar (s), где s - длина дуги траектории. Формально также возможно представление уже рассчитанной погрешности в виде векторной функции векторного аргумента Дг = Аг{г). Но необходимо иметь в виду, что в исходной постановке, до решения задач динамические погрешности не являются лишь функциями координат, а зависят от траектории, и от закона движения по траектории, т.е. могут быть представлены в виде функционала от r(f).
Однако при введенном в п.2.2 приближенном способе представления в исходной постановке суммы статической и динамической погрешностей в виде (2.3) можно представить Дг не как функционал, а как функцию трех векторных аргументов Дг = Аг {г, V ,W), где V и W - соответственно скорость и ускорение концевой точки механизма манипулятора. Как отмечалось ранее, в зависимости от г, линейной или нелинейной, могут быть учтены любые факторы, в том числе и чисто механические (например, влияние упругих прогибов под собственным весом). Если достаточно учитывать только скоростную погрешность, то Аг = Аг (г, V). Оба варианта представления справедливы, когда решение обратных задач геометрии и кинематики однозначно, т.е. когда число степеней подвижности манипулятора не больше, чем у переносимого объекта, т.е. манипулятор не имеет «лишних» степеней подвижности.
Ниже описанный подход к анализу динамических погрешностей конкретизирован в виде типовой методики расчета и исследования.
На основе разработанного подхода предлагается следующая методика анализа динамических погрешностей. 1. Формулирование требований к законам изменения координат рабочей точки и углов ориентации рабочего органа во времени (может быть, в различных системах координат и разных способах: координаты прямоугольные или иные, как функции времени, скорости, как функции времени или координат, или длины дуги, или координаты, как функции длины дуги, преимущества и недостатки представлений). 2. Решение обратных задач геометрии и кинематики, определение программ изменения обобщенных координат и обобщенных скоростей тоже в различных формах (в зависимости от времени, условного параметра, длины дуги, друг от друга, что упрощает реализацию). 3. Переход к законам перемещения выходных звеньев двигателей, определение законов перемещения выходных звеньев двигателей и соответствующих скоростей. 4. Расчет составляющих вектора погрешностей для двигателя каждого привода в зависимости от времени. 5. Расчет составляющих вектора погрешностей по программной траектории в зависимости от длины дуги или координат концевой точки. 6. Расчет отклонений (в том числе максимальных), по заданным направлениям (в частности, по нормали и бинормали реальной траектории от программной траектории). 7. Определение таких программных скоростей, при которых максимальные отклонения лежат в допустимых пределах. 8. Определение отклонений от программной скорости по траектории вследствие динамических погрешностей. 9. Расчет компенсирующих динамические погрешности поправок на координаты по траектории. 10. Определение приемлемых или наилучших законов аппроксимации реальных траекторий кривыми, принадлежащими тому же семейству для реализации вычисленных поправок. 11. Окончательный выбор параметрических поправок к программным траекториям, при которых получается достаточная или наилучшая для выбранного класса аппроксимация (в разных вариантах, например, вписанной и описанной окружностей, при односторонних допусках). 12. Анализ остаточных погрешностей после введения поправок.
Динамические погрешности манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат
Обозначим через / постоянное расстояние от главной оси манипулятора до центра (отрезок ОС), через 0 - угол радиуса, проведенного из центра окружности программной траектории в концевую точку механизма. Имеем тригонометрические соотношения R sin(Q + ф) = I sin ф ; р sin ф = R sin 9. (3.27) В результате дифференцирования получаем кинематические соотношения R (dQ/dt + dy/dt) cos(Q +ф) = I d p/dt cos p; (3,28) dp/dt sin ф + p d pfdt cos p=R dQ/dt cos 9. (3.29)
Для случая постоянства контурной скорости V0 = R d9 /dt из уравнения (3.28) получаем угловую скорость со = dipfdt, а из уравнения (3.29) -линейную скорость dpldty как функции углов ф и 9. При этом нужно учитывать, что угол ф выражается через угол 9 из первого из уравнений (3.27). Таким образом, составляющие скорости получаются, как функции угла в, и, следовательно, длины дуги программной траектории. После этого из соотношений (3.21) находятся сначала составляющие вектора динамической погрешности, а после перепроектирования — нормальная составляющая.
Полученная расчетно реальная траектория концевой точки для конкретного случая при с\ Ф с2 представлена на рис. 3.8 пунктирной линией. Важнейшей качественной особенностью является то, что по замкнутому контуру нормальная составляющая погрешности изменяет знак, проходя через нуль четыре раза, в точках 1, 2, 3 и 4. Точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через центры О и С, а точки 2 и 4 получаются после проведения касательных к программной траектории из точки О. Видно, что форма реальной траектории сильно отличается от эллиптической, представленной на рис.ЗАд (она была получена для манипулятора, работающего в прямоугольной системе координат), хотя сохраняется важное топологическое свойство изменения знака нормальной составляющей погрешности четыре раза.
Точное выражение для максимального значения нормальной (радиальной) составляющей погрешностей в конечном виде не может быть получено, однако с приемлемой точностью приближенно можно считать, что экстремальные значения достигаются на серединах интервалов между парами соседних точек 1, 2, 3 и 4. Более грубая, но более простая оценка дает следующее выражение Ar„ MAX V2 (ct - с2) V0(J+ Уг М). (3.30)
Форма реальной траектории определяется одним параметром — безразмерным отношением R/L Чем меньше значение этого параметра, тем ближе форма реальной траектории к эллиптической. Таким образом, при воспроизведении концевой точкой окружностей малых размеров для оценки погрешностей можно пользоваться формулами, полученными для манипулятора, работающего в прямоугольной системе координат.
В главе 2 было отмечено, что может быть существенным фактор нелинейности характеристик приводов по скорости. Рассмотрим влияние этого фактора при воспроизведении прямолинейной траектории. Типичной следует считать нелинейность типа насыщения, когда зависимость погрешности отработки привода, например, вращательного, по углу р характеризуется негладкой функцией вида
Здесь со - значение угловой скорости со = dtp/dt, при котором вступает в действие ограничение. В рассматриваемой задаче воспроизведения прямолинейной траектории в первую очередь необходимо установить, происходит ли выход на ограничение. Если at d V0, то ограничение не вступает в действие нигде по траектории и поэтому никак не проявляется.
Следовательно, необходимо рассмотреть случай a d VQ . При таком условии, когда концевая точка механизма перемещается справа налево, угловая скорость и = dtyldt изменяется так, как показано на рис.3.9.
Тогда неограниченная программная прямолинейная траектория разбивается на три симметричных интервала с граничными значениями — х\ и + х\ . Значения Х\ и соответствующие значения ср; определяются из условия со (d2 + x?)=V0d. (3.32)
На крайних интервалах (-со,- х\) и (jt,+) ограничение не вступает в действие, и на этих интервалах остаются справедливыми формулы (3.22) -(3.23). На среднем интервале, где d p/dt \ со и достигаются экстремальные значения нормальных составляющих погрешностей, исходными выражениями для погрешностей отработки траектории следует считать выражения соответственно первой и третьей строк (3.31). Максимальное значение определяется приближенной оценкой
Похожие диссертации на Приближенный метод расчета погрешностей отработки роботами программных траекторий
