Введение к работе
Актуальность проблемы. В широком классе проблем электродинамики возникает необходимость построения решений граничных задач для уравнений Максвелла в областях, границы которых содержат угловые точки. Как примеры подобных вопросов могут быть приведены исследования распространения волн при наличии неоднородностей, проблемы анализа и синтеза антенных систем, генерации и передачи энергии в СВЧ диапазоне и т.д. Кратко остановимся на специфике граничных задач в случае наличия угловых точек и обзоре существующих методов их решения.
В большинстве задач исследуемая область имеет сложную структуру и выбрать в ней единое представление для искомого поля не удается. В этом случае производится разбиение всей области на подобласти, в каждой из которых искомое поле представимо в виде разложения по полной в классе решений уравнения Гельмгольца системе функций, и использование непрерывности тангенциальных компонент полей на "фиктивных" (т.е. не существующих реально, а введенных для обеспечения полноты базисной системы функций в классе решений с заданными условиями) границах частичных областей (метод частичных областей - МЧО). Далее, производя разложение условий сплгвания по полным системам функций, можно перейти к бесконечной системе алгебраических либо интегральных уравнений относительно искомых коэффициентов разложений. В зависимости от выбора базисного набора функций возможны два варианта реализации МЧО.
Во-первых, возможен такой выбор системы функций, при котором оператор бесконечной системы нормируем. Это имеет место в том случае, когда каждый член разложения правильно описывает особенность поля в окрестности угловой точки. Реализация данного подхода в общем случае
приводит к построению решения с неизвестной погрешностью (так, в работах, использующих такой метод, о величине ошибки судят по зависимости решения, полученного путем численного исследования усеченной системы, от ее размерности).
Второй вариант реализации МЧО состоит в использовании "естественных" (т.е. определяемых выбором системы координат) наборов базисных функций, не обеспечивающих, как правило, правильного поведения искомого решения в окрестности угловых точек. Это приводит к получению матричного либо интегрального уравнения первого или второго рода с оператором не обладающим конечной нормой в классах 12 или Ц соответственно. Методы, позволяющие находить решения бесконечных систем без усечения, в общем случае отсутствуют. Для уравнения первого рода построение решения методом усечения не является строгой в математическом плане процедурой и в общем случае неприменимо. Это обусловлено отсутствием у соответствующего оператора свойства вполне непрерывности. При получении бесконечной ненормируемой системы второго рода каждый элемент матричного оператора представляет собой бесконечную сумму, которая в общем случае не может быть вычислена явно. Отсюда, для систем второго рода с ненормируемым оператором помимо вопроса о способе усечения бесконечной системы следует рассматривать возможность ограничения числа слагаемых в вышеупомянутых суммах; однако, с учетом свойств оператора замена матричных элементов приближенными значениями (происходящая при ограничении числа слагаемых в вышеуказанных суммах) в большинстве задач делает невозможным как построение строгого решения, так и оценку погрешности приближенного.
Поэтому в общем случае для решения ненормируемых систем (интегральных уравнений) должны быть применены специальные методы, основанные на явном или неявном обращении сингулярной части. В ряде случаев оказывается эффективным решение системы методом вычетов (MB) в
основе которого лежит процедура построения функции с заданными свойствами, модифицированным метод вычетов (ММВ), либо методом Винера-Хопфа [1]. Однако общей чертой MB, ММВ и метода Винера-Хопфа является их применимость лишь к координатным задачам и значительное усложнение решения при модификации исследуемой области. Поэтому можно сделать вывод о предпочтительности приведения задачи к уравнению с нормируемым оператором. Это может быть достигнуто посредством выделения с последующим обращением сингулярной части матричного либо интегрального оператора (метод полуобращения - МПО).
Одним из первых примеров реализации метода полуобращения в задачах электродинамики является [2], где для обращения сингулярной части оператора использован аппарат задачи Римана-Гильберта. В ряде работ разрабатывается метод выделения и точного обращения сингулярной части матричного оператора системы, полученной в результате сшивания в МЧО.
В исследуемых в этих работах задачах обращается сингулярная часть матричного оператора, обусловленная наличием неубывающих при движении вдоль некоторых диагоналей элементов. Такой подход применяется рядом авторов в основном для исследования дифракции на открытых периодических структурах.
Несколько иной способ получения регулярных систем предложен в [3]. Здесь исходным при построении системы является не уравнение Гельмгольца, а равносильное ему интегральное, получаемое посредством точного обращения статической части оператора Гельмгольца - лапласиана. Оно может быть выполнено, например, с помощью стандартного метода, основанного на теории конформных отображений. Показано, что такая процедура соответствует обращению сингулярной части оператора Гельмгольца, связанной с наличием угловых точек на границе исследуемой области. Это позволяет предложить схему, аналогичную МЧО, но приводящую к построению регулярной алгебраической системы относительно коэффициен-
тов разложения решений в частичных областях. Данный метод получил название метода квазистатической функции Грина (МКФГ).
Основные проблемы, возникающие при реализации этого метода, обусловлены необходимостью вычислять сложные интегралы кратности от двух до четырех - суть коэффициенты разложения функции Грина уравнения Пуассона в рассматриваемой области в ряд Фурье. Данный метод использовался автором для рассмотрения дифракции на периодической структуре. Впоследствии он был применен для исследования разветвления в волноводе [4], и распространен на случай наличия в одной из подобластей диэлектрического заполнения.
Остановимся еще на одном способе сведения граничной задачи при наличии угловых точек к регулярному уравнению 2-го рода. Суть его состоит в использовании в качестве регуляризатора оператора (Дху+т)2(х,у))"1 (здесь (Аху - оператор Лапласа в переменных (х,у)), где функция л(х>У) выбирается таким образом, чтобы оператор (Дху+іг^х^У^Дху+к2) был регулярен (очевидно, что МКФГ является частным случаем этого метода, соответствующим выбору п(х,у)=0 ). Преимуществом такого способа является получение решения, по построению удовлетворяющего условию на бесконечности.
В этом случае ключевым моментом решения является построение регу-ляризующего оператора (Дху+п.2(х,у)) '> которое в двумерных задачах может быть выполнено на основе теории конформных отображений. К настоящему времени этот метод был использован для решения задач волноводного типа (дифракция на изломе и т.п.).
Итак, основное внимание при исследовании задач в случае наличия угловых точек уделялось задачам дифракции в волноводах и на открытых периодических структурах. В связи с этим представляет интерес разработка методов исследования задач с угловыми точками в открытых областях в случае непериодических структур. Кроме того, актуальной проблемой яв-
ляется также применение существующих методов решения дифракционных задач (в частности - метода полуобращения) для нахождения самосогласованного электромагнитного поля. Это позволит как вычислять поля, создаваемые реальными антеннами, так и исследовать параметры антенн в случае наличия угловых точек на поверхности рассеивающей области.
Цель работы. Целью работы является модификация существующих методов полуобращения для решения самосогласованных и дифракционных задач в открытых областях с непериодическими границами. Важным моментом является получение формул для поля и входных характеристик в виде, допускающем извлечение физических следствий. Существенный интерес представляет исследование вопроса о возможности увеличения мощности, излучаемой антенной (при фиксированном токе) в случае ее расположении в окрестности угловых точек границы раздела сред.
Научная новизна. Исследованы поля, создаваемые как идеализированными источниками, так и излучателями, учитывающими геометрию и свойства реальных антенн. Задачи, содержащиеся в работе, содержат принципиальную новизну: приближение самосогласованного поля при наличии угловых точек, рассмотрение открытой непериодической структуры (в том числе в некоординатном случае, т.е. когда границы раздела сред не являются поверхностями одной системы координат), задача со сферической геометрией при наличии углов ранее не являлись предметом исследований. В работе произведена оценка погрешностей, возникающих при редукции нормируемых матричных и интегральных операторов.
Научная и практическая ценность работы. Предложен способ применения МКФГ при наличии подобластей, в которых затруднен выбор функций, удовлетворяющих требуемым граничным условиям. В отличие от разработанной недавно автором МКФГ схемы, в которой построение решения в области сложной формы достигается "ценой" увеличения кратности ин-
тегралов, входящих в коэффициенты системы, предлагаемый способ приводит к увеличению числа этих интегралов (на единицу для каждой области сложной формы). В ряде случаев это может являться предпочтительным; кроме того, при таком подходе отпадает необходимость во введении дополнительных представлений для поля в переходных областях.
Производится модификация МКФГ, позволяющая производить частичное обращение оператора Лапласа, при которой выделяется и точно обращается часть оператора, связанная с угловыми точками, и игнорируется часть, связанная с гладкими границами. Это позволяет существенно упростить процедуру построения регуляризующего оператора в областях с несвязными границами.
Предложен метод позволяет свести задачу о вычислении возмущения поля, создаваемого малой (в терминах длин волн) неоднородностью к нахождению конформного отображения исследуемой области на полуплоскость.
На примере рассмотренной в гл.3 задачи иллюстрируется схема, позволяющая при соответствующем обосновании применять метод полуобращения в ряде статических задач со сферической геометрией.
Это не только представляет интерес в самостоятельном плане, но и может быть использовано при решении задачи статики как ключевой (например, в МКФГ).
Положения, выносимые на защиту:
- решение задачи о нахождении самосогласованного электромагнитного поля для антенны над открытой непериодической структурой. Основой решения является частичное обращение оператора Лапласа, при котором выделяется и точно обращается часть оператора, связанная с наличием угловых точек на границе рассматриваемой области.
новый способ реализации метода квазистатической функции Грина в областях сложной формы. Предложенный способ позволяет искать решение в областях произвольной формы в виде разложения по произвольной полной системе функций.
эффективный метод исследования влияния малых неоднородностей на параметры антенны.
- решение трехмерной статической задачи со сферической геометрией
при наличии углов.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения общим объемом 112 стр. Работа содержит 14 рисунков и диаграмм, 1 таблицу. Библиография включает 81 наименование.
