Содержание к диссертации
Введение
1. R-функции и атомарные функции в задачах аппроксимации и численного анализа 19
1.1. Основные понятия теории R-функций. Структуры решения краевых задач 19
1.2. Почти R-функции. Сингулярные R-функции. -функции в полярных координатах 37
1.3. Уравнения границ фрактальных областей 47
1.4. Атомарные функции и новые методы аппроксимации на их основе 57
2. Алгебрологические методы и алгоритмы решения внутренних краевых задач электродинамики 75
2.1. Постановки краевых задач и классический вариант метода R-функций 75
2.2. Глобальный базис. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева 88
2.3. Локальный базис. Структурный метод на основе аппроксимации функции области финитными функциями 106
2.4. Совместное использование обобщенного метода Шварца и метода R-функций 120
2.5. Расчет электромагнитных полей в областях фрактальной геометрии 128
3. Применение метода R-функций к задачам излучения и дифракции электромагнитных волн 133
3.1. Излучение из открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения 133
3.2. Метод R-функций и обобщенный метод собственных колебаний для решения скалярных задач дифракции 148
3.3. R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям 158
4. Атомарные функции и R-функции в задачах анализа и синтеза линейных антенн 175
4.1. Обобщенные ряды Котельникова, полиномы Левитана и ядра Фейера в задачах теории антенн 175
4.2. Аппроксимация атомарными функциями fupn(jc) в задаче синтеза линейного излучателя 196
4.3. Синтез безлепестковых и секторных диаграмм направленности 202
4.4. Конструирование самоподобных антенных решеток 218
5. Алгебрологические методы в задачах анализа и синтеза плоских излучателей 225
5.1. Постановка задачи анализа и синтеза антенн с плоским раскрывом 225
5.2. Амплитудно-фазовый синтез антенн с плоским раскрывом 226
5.3. R-функции и соотношение неопределенности в теории антенн 229
Заключение 252
- Почти R-функции. Сингулярные R-функции. -функции в полярных координатах
- Глобальный базис. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева
- Совместное использование обобщенного метода Шварца и метода R-функций
- R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям
Введение к работе
Разработка численных и численно-аналитических методов решения задач электродинамики имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, при проектировании антенн и устройств СВЧ. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появились широкие возможности моделирования радиофизических процессов в телах сложной формы. Существующие вычислительные методы можно условно разбить на три класса: аналитические, численные и численно-аналитические. Первые пригодны для решения задач в узком классе областей канонической формы (метод Фурье в системах координат с разделяющимися переменными); вторые универсальны, но дают решение в виде набора чисел, неудобном при качественном анализе результатов. Кроме того, численным методам свойственно накопление погрешности вследствие того, что в общем случае приближения к точному решению априори не удовлетворяют ни дифференциальному уравнению, ни краевым условиям. Этих недостатков можно избежать, используя численно-аналитические методы. Особое распространение получили вариационные и проекционные методы решения краевых задач (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др).
Благодаря своей простоте, гибкости и универсальности, метод R-функций (структурный метод), предложенный В.Л. Рвачевым в 60-х гг. XX в., занимает особое место в ряду других численно-аналитических методов решения краевых задач. Его основной особенностью является использование идей алгебры логики в комбинации с известными вариационными и проекционными методами. Разработка метода R-функций применительно к внутренним и внешним задачам электродинамики (расчет полей в волноводах и резонаторах, включая сверхпроводящие, дифракция электромагнитных волн на объектах сложной формы) выполнялась в работах В.Ф. Кравченко. Определенный вклад в развитие этого направления внесли также другие исследователи. Вместе с тем, многие вопросы использования теории R-функций в радиофизических приложениях до сих пор недостаточно хорошо разработаны в силу сложностей математического и вычислительного характера. Особенно это касается решения внешних задач дифракции на объектах сложной формы. Решение внутренних краевых задач классическим вариантом метода R-функций также не всегда эффективно и зачастую уступает в быстродействии методам конечных или граничных элементов.
Еще одна сложность заключается в появлении в последние десятилетия принципиального нового объекта исследований - областей с фрактальной геометрией границ. Метод R-функций изначально был разработан как метод описания границ объектов хоть и сложной, но классической конфигурации. В этой связи, для решения указанных задач возникла необходимость существенного обобщения и развития метода R-функций в комбинации с другими средствами вычислительной математики.
К наиболее актуальным проблемам электродинамики можно отнести задачи анализа и синтеза антенн простой и сложной геометрии. При этом особый интерес представляют задачи синтеза антенн со специальной формой диаграммы направленности (ДН), малым уровнем боковых лепестков, высоким коэффициентом направленного действия (КНД) и т.п. Основы математической теории синтеза антенных излучателей были заложены в работах отечественных ученых Л.Д. Бахраха, Л.С. Бененсона, Л.А. Вайнштейна, Е.Г. Зелкина, Г.Т. Маркова, Б.М. Минковича, А.А. Пистолькорса, Д.М. Сазонова, Я.Н. Фельда, А.З. Фрадина, Я.И. Хургина, А.Ф. Чаплина, А.В. Чечкина, Я.С. Шифрина, В.П. Яковлева и др. Для строгого и приближенного решения задач синтеза антенн ими широко были использованы результаты классической теории аппроксимации, теории целых функций экспоненциального типа, гармонического анализа, специальных функций, теорий функций вещественного и комплексного переменного. Существенный прогресс в данной области оказался возможен благодаря классическим работам Н.И.Ахиезера, С.Н.Бернштейна, Н.Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова, Р. Пэли, Е. Титчмарша, А.Н. Тихонова, Э.Т. и Дж.М. Уиттекеров, К. Шеннона и др. Была отмечена также глубокая связь между такими об ластями, как радиофизика, теория связи, оптика, теория управления, цифровая обработка сигналов, основанная на общности применяемого в них математического аппарата.
Последние десятилетия XX в. ознаменовались появлением таких новых (неклассических) конструктивных средств теории аппроксимации, как сплайны, вейвлеты, а также атомарные функции (АФ). Последние представляют собой бесконечно-дифференцируемые финитные решения функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и могут в некотором смысле рассматриваться как сплайны бесконечной гладкости, а также предшественники вейвлетов. Простейшая базовая АФ ир(лг) была введена В.Л. Рвачевым в 1971 г. Впоследствии были обнаружены другие классы АФ и изучены их основные свойства. Практические вопросы приложения АФ (в том числе в комбинации с другими известными функциями) к решению ряда задач вычислительной математики, радиофизики и цифровой обработки сигналов рассматривались в работах В.Ф. Кравченко. Благодаря своим уникальным аппроксимативным свойствам, АФ позволяют по-новому взглянуть на постановку и решение различных задач анализа и синтеза антенн. Актуальной является разработка и обоснование методов и быстродействующих алгоритмов на основе АФ для решения этих задач.
В области теории антенн за последние годы произошли существенные перемены, связанные с прогрессом как в области антенной технологии, так и в сфере математического и компьютерного моделирования. Это касается разработки волноводных и рупорных излучателей сложной формы, а также антенных решеток на их основе, антенн фрактальной геометрии и т.д. При синтезе таких излучателей многие из классических аналитических подходов оказались неприемлемыми либо малоэффективными, в то время как прогресс вычислительных технологий позволил выйти на первый план численным и численно-аналитическим методам и алгоритмам. Принципиально задача анализа антенн заключается в приближенном (например, по Кирхгофу) нахождении поля вокруг излучателя при известном способе подвода электромагнитной энергии и конструкции излучателя и сводится к решению уравнений Максвелла при определенных граничных условиях.
Учет этих условий и нахождение поля в апертуре может быть выполнен с помощью теорий R-функций и АФ. Значительно более сложными являются обратные задачи синтеза антенных излучателей. Разработка новых методов и алгоритмов их решения является одной из актуальных проблем, исследуемых в данной работе.
Целью работы является развитие и обобщение конструктивных теорий R-функций и АФ, создание новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов на их основе для решения следующих типов внутренних и внешних задач электродинамики:
- задачи электростатики на двумерных объектах сложной конфигурации, включая области с фрактальной геометрией границ; учет сингулярно-стей решения в окрестности входящих углов;
- расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах и волновод-ных резонаторах сложного поперечного сечения; учет особенностей решения в окрестности угловых точек (условия Мейкснера);
- моделирование излучения электромагнитных волн из открытого конца волновода произвольного поперечного сечения; анализ волноводных излучателей и антенных решеток;
- решение задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике, помещенном в закрытый или открытый резонатор сложной формы и на идеально проводящих цилиндрических экранах со сложной формой образующей;
- анализ и синтез линейных и двумерных антенных излучателей и антенных решеток.
В качестве методологической основы полученных в работе результатов следует выделить широкое использование результатов и средств следующих научных направлений:
- вычислительная электродинамика;
- теория анализа и синтеза антенн;
- цифровая обработка сигналов;
- алгебра логики и теория функций вещественного переменного;
- теория аппроксимации и интерполяции функций, в частности, теория целых функций экспоненциального типа и спектральный анализ;
- численный анализ: приближенные методы решения интегральных уравнений (ИУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП);
- фрактальная геометрия и фрактальная электродинамика.
В соответствии с поставленными в работе проблемами, использовался единый универсальный подход к их решению с помощью конструктивных теорий R-функций и АФ. На основе этих теорий были предложены и обоснованы новые методы и алгоритмы одномерной и многомерной аппроксимации функций (атомарная квазиинтерполяция, интерполяция обобщенным рядом Котельникова и полиномами Левитана), а также решения ряда задач численного анализа (ДУЧП, ИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода). Новые подходы совместно с методами теории целых функций и фурье-анализа были использованы в задачах синтеза антенных излучателей по заданной диаграмме направленности. Часть основных результатов диссертации получена путем распространения методов теорий R-функций и АФ на новые классы задач, в частности это относится к нахождению излучения из открытого конца волновода регулярного произвольного поперечного сечения, а также исследованию электродинамических свойств объектов фрактальной геометрии методом R-функций. Эти задачи решались путем совместного использования R-функций с вариационными и проекционными методами.
Правомерность теоретических результатов работы основывается на строгости использования математического аппарата. Достоверность численных результатов подтверждается их сравнением с данными, полученными с использованием других приближенных методов, а также результатами численных экспериментов, опубликованными в отечественной и зарубежной литературе. Все используемые в работе алгоритмы и программы тестировались на модельных задачах, имеющих известные точные решения.
Научная новизна работы состоит в создании новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов решения задач электродинамики, включая задачи анализа и синтеза антенных излучателей сложной формы. Она заключается в - развитии теории R-функций, создании новых конструктивных средств на ее основе с целью повышения точности и быстродействия структурного метода решения внешних и внутренних краевых задач электродинамики, включая области фрактальной геометрии;
- развитии и обобщении аппроксимативного аппарата теории АФ, создании новых конструктивных средств на основе АФ и их применению к решению задач анализа и синтеза антенн;
- распространение аппарата теории R-функций на новую предметную область - анализ и синтез апертурных излучателей сложной геометрии, включая волноводные антенны и антенные решетки.
На защиту выносятся следующие основные положения и результаты диссертационной работы:
-метод квазиинтерполяции дифференцируемых функций одного и многих переменных на основе базисов сплайнов и АФ; метод решения ИУ Фредгольма 2-го рода с помощью представления ядра вырожденным на основе базиса АФ и алгоритма атомарной квазиинтерполяции; метод решения задачи Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции R-функции границы области базисом АФ;
- новые классы сингулярных и локально-сингулярных R-функций и структуры решения краевых задач электродинамики на их основе, учитывающие геометрические особенности (условия Мейкснера); алгоритм совместного использования обобщенного метода Шварца и метода R-функций для учета особенностей в угловых точках;
- алгебрологический метод конструктивного описания областей фрактальной геометрии (ковер и салфетка Серпинского, остров Коха) и решения краевых задач электродинамики в областях с фрактальными свойствами границ;
- новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры решения краевых задач для ДУЧП электродинамики вариационными и проекционными методами на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа;
- гибридный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике в закрытых и открытых резонаторах на основе обобщенного метода собственных колебаний и метода R-функций;
- метод построения уравнений контуров сложной геометрии с помощью R-функций в полярной системе координат; алгоритм расчета электромагнитных полей в гофрированных волноводах сложного поперечного сечения с помощью R-операций в полярной системе координат; алгоритм построения вспомогательных контуров метода решения задач дифракции путем разложения по неортогональным функциям; алгоритм амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями;
- метод расчета ДН антенного излучателя в виде открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения на основе теории R-функций;
- методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа обобщенными рядами Котельникова и полиномами Левитана на основе АФ, а также алгоритмы синтеза антенн на их основе; новые конструкции ядер типа Фейера с использованием АФ;
- проекционные методы решения задачи синтеза линейного излучателя с помощью разложения искомого тока по базису АФ и алгоритма неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода;
- синтез оптимальных безлепестковых, разностных и секторных ДН линейных антенн с использованием АФ в качестве токового распределения; новый тип самоподобной антенной решетки с распределением токов на основе рекуррентной последовательности, определяющей чередование знаков производных АФ.
Теоретическая и практическая значимость результатов работы заключается в развитии и совершенствовании теорий R-функций и АФ, разра ботке новых конструктивных средств на их основе, позволяющих повысить их эффективность при решении задач теории аппроксимации и математической физики. Обоснованные и разработанные методы и алгоритмы могут найти широкое применение при решении широкого класса задач электродинамики и техники СВЧ, включая задачи анализа и синтеза излучателей сложной формы и фазированных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиоастрономии, дистанционном зондировании Земли и др. Все предложенные методы доведены до численной реализации, что позволило выявить некоторые закономерности и особенности электродинамических процессов, происходящих в ранее неизученных или слабоизученных областях сложной формы, включая объекты с фрактальной геометрией границ.
Автором самостоятельно определена проблематика исследований и предложены методы решения задач, представленных в главах 1 (разделы 1.2-1.4), 2, 5 а также разделах 3.3, 4.3-4.4 диссертационной работы. Постановки задач, описанных в разделах 3.1, 3.2, 4.1, 4.2 были определены совместно с д.ф.-м.н. проф. В.Ф. Кравченко и частично (раздел 4.1) с д.т.н. проф. Е.Г. Зелкиным. Методы и алгоритмы решения данных задач, а также их обоснование и численная реализация выполнены лично автором.
Основные результаты исследований, составляющих содержание диссертационной работы, прошли апробацию на международных научных конференциях и семинарах. В общей сложности по теме диссертации представлен, доложен и опубликован 31 доклад. Основные результаты диссертации опубликованы в 67 научных работах (из которых 13 выполнено лично автором и 54 - в соавторстве), включая 1 монографию, 35 статей в ведущих отечественных и международных научных журналах, 21 материалов и 10 тезисов докладов международных научных конференций.
С точки зрения структуры и объема работы диссертация содержит 289 страниц машинописного текста, 80 рисунков, 42 таблицы. Состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (включающего 162 наименования отечественных и зарубежных источников, в том числе ссылки на 28 работ автора) на 13 страницах, приложения на 23 страницах.
В первой главе дан краткий обзор современного состояния теорий R-функций и АФ, очерчен круг задач, решаемых с их помощью. Приведены конструктивные особенности и свойства R-функций и АФ с точки зрения их применимости к решению внешних и внутренних краевых задач электродинамики.
Численно-аналитический метод R-функций решения краевых задач заключается в представлении искомого решения в виде ряда по базисным функциям, удовлетворяющим краевым условиям (линейным однородным), после чего неопределенные коэффициенты разложения находятся из условия удовлетворения основному уравнению (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др.). Основная трудность здесь заключается в выборе базиса, что является сложной задачей в случае области произвольной геометрии, так как необходимо уметь описывать в аналитическом виде уравнение границы сложной области. Эффективное решение этой задачи возможно с использованием метода R-функций.
Имея уравнение границы области, можно сконструировать структуру решения краевой задачи, т.е. выражение, точно удовлетворяющее краевым условиям и зависящее от неопределенной компоненты. Известны структуры решений основных типов краевых задач (Дирихле, Неймана, 3-го рода и смешанных) для ДУЧП, возникающих в задачах электродинамики: Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Неопределенная компонента структур решения аппроксимируется рядом с неопределенными коэффициентами по некоторой полной системе базисных функций (полиномы, сплайны, АФ и т.д.). Коэффициенты ряда находятся одним из вариационных или проекционных методов из условия удовлетворения исходному ДУЧП.
Операции основных систем R-функций содержат радикал, т.е. имеют корневую особенность, наличие которой может существенно исказить характер поведения искомого решения краевой задачи. Один из путей уменьшения погрешности аппроксимации при решении краевых задач в невыпуклых областях заключается в сглаживании входящих углов и последующем добавлении к структуре решения членов, отличных от нуля в окрестности особых точек и учитывающих особенности поведения иско мого решения. Для сглаживания углов в работе предложено использовать почти R-операции. В главе подробно изучены их свойства, в частности, получены выражения для радиуса закругления, а также введены локальные почти R-операции. Другой путь учета геометрических сингулярностей (условий Мейкснера) заключается в использовании нового аппарата сингулярных и локально-сингулярных R-функций.
При решении многих классов задач электродинамики с помощью ИУ (дифракция волн, синтез плоских и криволинейных излучателей и др.) часто необходимо иметь уравнение границы сложной области в полярных координатах. В главе впервые рассмотрен метод построения таких уравнений, основанный на R-операциях. Предложены схемы сглаживания углов областей и получения бесконечно дифференцируемых (аналитических) контуров.
В настоящее время большой интерес вызывают задачи расчета физических полей на объектах фрактальной природы. Метод R-функций позволяет легко строить уравнения границ областей фрактальной (точнее, пред-фрактальной) геометрии, что дает возможность осуществить эффективную численную реализацию вариационных методов применительно к областям такого рода. В главе рассмотрены вопросы построения методом R-функций уравнений границ известных областей фрактальной геометрии: ковер и салфетка Серпинского, остров Коха. Уравнения базируются на простых рекуррентных процедурах, использующих свойство самоподобия таких структур- Аналогично вышесказанному, можно провести сглаживание углов предфракталов либо воспользоваться сингулярными R-операциями.
Другим неклассическим средством теории аппроксимации, развиваемым в данной работе, являются АФ, представляющие собой финитные решения ФДУ с постоянными коэффициентами. Наиболее простой и в тоже время фундаментальной в классе АФ является функция up(x). На ее основе строятся АФ fup„(x). Рассмотрены новые алгоритмы квазиинтерполяции одномерных и многомерных функций с помощью базиса сдвигов сжатий этих АФ. С помощью разработанных алгоритмов предложен и обоснован способ решения ИУ Фредгольма 2-го рода с помощью аппроксимации ядра вырожденным. Известно сравнительно небольшое число способов такой аппроксимации и, как следствие, недостаточная приспособленность метода приближенных вырожденных ядер в численной реализации. Эффективный алгоритм разложения ядра по АФ по количеству операций сопоставим с простейшим методом коллокации. Кроме метода аппроксимации ядра вырожденным, рассмотрены также другие проекционные методы решения ИУ Фредгольма 2-го рода на основе АФ: моментов, коллокации, наименьших квадратов.
Во второй главе предложены и обоснованы новые варианты метода R-функций применительно к решению ДУЧП, возникающих при решении внутренних скалярных задач электродинамики. Для определенного, достаточно широкого класса областей предложены новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, позволяющие существенно повысить быстродействие вариационных методов и их точность. На основе обобщенной интерполяционной формулы Лагран-жа разработан также широкий класс структур решения краевых задач с условиями дифференциального типа. На численных примерах показана их эффективность.
В главе рассматривается также метод решения задачи Дирихле с помощью аппроксимации функции границы области финитными функциями. Для области достаточно сложной геометрии, функция границы со, построенная с помощью R-операций, будет представлять собой громоздкое выражение, что усложняет многократное вычисление интегралов, определяющих компоненты матриц СЛАУ. Чтобы избежать этого, функция двух переменных со аппроксимируется с помощью (квази-) интерполяции той же системой координатных функций, которая используется при построении исходной структуры решения. В результате получим приближенную функцию области w и приближенную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения неизвестных коэффициентов разложения. В силу финитности координатных функций, значительное число компонент матриц этой СЛАУ будут зависеть не от геометрии области, а лишь от комбинации некоторой системы целочисленных индексов. Эти стандартные интегралы для каждой системы базисных финитных функций могут быть затабулированы и использованы в дальнейшем при решении однотипных краевых задач в различных областях.
На основе обобщенного метода Шварца и метода R-функций предложен новый гибридный метод, позволяющий учесть геометрические особенности в виде входящих углов. При этом исходная сложная область Q разбивается на две частично перекрывающиеся области: секториальную Ql с центром в вершине входящего угла, и область Q2 без входящего угла. В секториальной решение находится точно, а в сложной области Q2 структурным методом R-функций. Далее осуществляется рекуррентная процедура, позволяющая за несколько итераций с высокой точностью получить приближенное решение, удовлетворяющее условию Мейкснера.
Исследованы возможности метода R-функций в задачах моделирования физических процессов в областях с фрактальными свойствами границ. Известно, что граница среды существенно влияет на структуру электромагнитного поля и характер распространения волн, так как вследствие их взаимодействия с поверхностью раздела сред возникают явления полного либо частичного отражения, дифракции и т.п. Один из путей моделирования реальных поверхностей раздела сред заключается в использовании идей фрактальной геометрии. В качестве примера решались задачи электростатики в области «ковер Серпинского» и рассчитывались ТЕ- и ТМ-волны в регулярном волноводе с поперечным сечением в виде предфрак-тала острова Коха. Для последнего исследованы различные типы колебаний и отмечено вырождение некоторых мод, а также возникновение эффектов типа волн шепчущей галереи.
Предложен алгоритм моделирования поверхностей гофрированных волноводов сложного поперечного сечения с помощью R-операций в полярной системе координат. Алгоритм позволяет получать аналитические выражения для боковых поверхностей волноводов и путем замены переменных перейти к решению задачи для регулярного цилиндрического волновода с переменным заполнением.
В третьей главе идеи метода R-функций применены к решению задач излучения электромагнитных волн из открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения и их дифракции на диэлектрике в закрытом или открытом резонаторе и замкнутых экранах сложной формы. Расчет излучения из открытого конца волновода по А.З. Фрадину выполняется с учетом приближенного коэффициента отражения Г = {к у)/(к + у), где к - волновое число, а у - поперечное волновое число, найденное из решения внутренней краевой волноводной задачи методом R-функций. Составляющие электрического и магнитного полей, найденные внутри волновода методом R-функций, должны быть умножены на коэффициенты (1 + Г) и (1-Г), соответственно. Тангенциальные компоненты поля в дальней зоне находятся по формулам Кирхгофа или более точным векторным выражениям.
Другим классом задач, для решения которых может быть эффективен метод R-функций, являются задачи дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе сложной формы. Для их решения ранее Н.Н.Войтовичем, Б.З.Каценеленбаумом и А.Н.Сивовым был разработан обобщенный метод собственных колебаний (ОМСК). Он является развитием метода собственных частот применительно к решению широкого класса внутренних и внешних задач теории дифракции. С точки зрения численного анализа, ОМСК базируется на решении некоторой вспомогательной задачи на собственные значения в сложной области путем разложения искомого решения в ряд по некоторой системе базисных функций и нахождения коэффициентов этого ряда одним из вариационных методов. Функции базиса должны удовлетворять определенным требованиям, в частности, краевым условиям. В случае области произвольной формы проблема выбора базиса может быть осуществлена с помощью теории R-функций. В главе рассмотрено совместное использование ОМСК и метода R-функций для решения внешних и внутренних скалярных задач теории дифракции.
Чаще всего решение внешних задач электродинамики эффективно реализуется путем сведения их к граничным ИУ, чем достигается понижение размерности аппроксимируемого пространства. Одним из основных под ходов к решению задач такого рода является предложенный В.Д. Купрадзе метод дискретных источников. Он является, в свою очередь, одним из вариантов разработанного М.А. Алексидзе метода разложения по неортогональным функциям (МРНФ). В данном методе возникает необходимость аналитической деформации границы области, в результате чего вместо сингулярного ИУ получается ИУ 1-го рода с различными областями изменения аргументов ядра. Для построения уравнений границ основного и вспомогательного контуров сложной геометрии в полярных координатах использован метод R-функций. С помощью предложенных подходов решен ряд задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических экранах сложной формы.
Четвертая глава посвящена разработке новых методов аппроксимации, использующих спектральные свойства АФ, и их применению к задачам теории антенн. Предложены и обоснованы новые интерполяционные ряды (обобщенные ряды Котельникова), а также полиномы Левитана, строящиеся на основе сдвигов-сжатий преобразований Фурье АФ. В главе также рассмотрены конструкции ядер типа Фейера на основе АФ и приведены примеры использования обобщенных рядов Котельникова, Левитана для решения ряда задач синтеза антенн (аппроксимация ДН, синтез нулей ДН антенной решетки и др.)
Рассмотрены способы решения некорректных задач электродинамики, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Эти подходы используют алгоритмы саморегуляризации на основе АФ, обладающих сглаживающими свойствами. Как известно, задача синтеза линейной антенны заключается в определении поля в ее раскрыве по заданной ДН и сводится к решению уравнения Фредгольма 1-го рода. В главе приведены примеры эффективного использования указанных методов решения ИУ к задаче синтеза линейного излучателя.
Одними из важных вопросов в задачах синтеза антенн являются задачи синтеза оптимальных ДН. При этом требования в первую очередь предъявляются не к форме основного лепестка, а к некоторым параметрам ДН: минимизация уровня боковых лепестков при заданной ширине основного лепестка, оптимизация крутизны спада основного лепестка при заданном уровне бокового излучения и др. Частным случаем задач такого рода является синтез ДН, совсем не имеющих боковых лепестков. Несмотря на то, что такие ДН имеют так называемые затянутые "хвосты", задача их синтеза представляет определенный теоретический и практический интерес. При этом амплитудное распределение тока в линейных антеннах имеет вид В-сплайнов определенной степени гладкости. В главе рассмотрен метод синтеза безлепестковых ДН, основанный на использовании бесконечно дифференцируемых АФ в качестве амплитудного распределения тока непрерывного излучателя. Свойства АФ позволяют также осуществить синтез секторной плосковершинной ДН, а также реализовать конструкцию самоподобной антенной решетки. Первая строится с использованием АФ сири(х), представляющей собой и-кратную свертку АФ ир(х) с собой.
Распределение токов в элементах самоподобной равноамплитудной антенной решетки выбирается в соответствии с законом чередования знаков производных АФ ha (х).
Рассмотрены вопросы, связанные с соотношением неопределенности и его обобщениями для случая, когда исходная функция определяет распределение тока в двумерном излучателе сложной формы, а ее фурье-образ -ДН. Представлены численные методы расчета оптимальных распределений (аналогов гиперсфероидальных функций), обеспечивающих минимальный коэффициент сверхнаправленности (добротность) антенны. Методы основаны на использовании базиса АФ при решении многомерного ИУ типа свертки. С помощью аппарата R-функций осуществлен также синтез оптимальных распределений, удовлетворяющих некоторым дополнительным краевым условиям на границе излучателя.
В приложении кратко приводятся сведения по следующим вопросам: формулы упорядочения двумерных полиномов; основные типы атомарных функций; нормализованные уравнения границ поперечных сечений волноводов.
В заключении резюмируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Почти R-функции. Сингулярные R-функции. -функции в полярных координатах
Далее ограничимся случаем односвязных областей. Очевидно, можно разбить их на два класса: выпуклые и невыпуклые. Все внутренние углы выпуклой многоугольной области меньше п. Поведение решений уравнений эллиптического типа чувствительно к наличию входящих углов. В угловых точках теряет свой обычный смысл дифференцирование по нормали и касательной. Вместе с тем, можно выделить два типа невыпуклых областей: с входящими углами и без входящих углов. В последних областях градиент собственных функций краевой задачи представляет собой гладкую функцию без особенностей. R-операции системы Уіа содержат радикал, т.е. имеют корневую особенность, наличие которой может существенно исказить характер поведения искомого решения краевой задачи. Один из путей уменьшения погрешности аппроксимации при решении краевых задач в невыпуклых областях заключается в сглаживании входящих углов и последующем добавлении к структуре решения членов, отличных от нуля в окрестности особых точек и учитывающих особенности поведения искомого решения [13, 16-18]. При этом незначительно меняется геометрия области, а погрешность, вызванная такой модификацией границы существенно меньше ошибки аппроксимации, возникающей при попытке решить задачу в исходной постановке, пользуясь лишь гладкими базисными функциями. Уравнения границ, имеющих закругления в угловых точках можно строить по общей методике [3], вводя дополнительные опорные функции для каждого участка закругления. Однако, такой прием приводит к излишней громоздкости уравнения со(х,у) = 0. В [3, 18] приводятся и другие подходы к сглаживанию границ, основанные на использовании финитных функций и специальных Ке -операций. Однако предложенные методики, являясь практически приемлемыми, не дают полного решения проблемы построения уравнений границы области без особенностей в угловых точках. 1.2.2. Почти R-функции. Рассмотрим применение аппарата R-функций для сглаживания углов области. Выражение /х ла /2 - є, где є - малый параметр, не является R-конъюнкцией, так как внутри области О. найдутся точки, в которых Уі 0иу 0, но/ла/2- (). Вместе с тем, функция f\ Аа fi будет строго положительной в некоторой подобласти Q области Q, то есть на некотором множестве, содержащемся вместе со своим замыканием в Q, и, если є fx ла f2, то множество дСҐ, на котором ./іла/2- = 0,непусто.
Функция, знак которой всюду в R2 отличается от знака R-функции на множестве Q достаточно малой меры juCl , называется почти R-функцией [19]. Почти R-конъюнкцию /х л „ f2- є будем обозначать fx лєа f2,a почти R-дизъюнкцию fxva f2- - соответственно fx v /2. Здесь константа є определяет меру множества Q . Приведем свойства почти R-функций /х лєа f2 и fx wea f2. 1) Если Q = [(x,y): fx леа f2 Oj , то знак почти R-конъюнкции отлича ется от знака R-конъюнкции лишь на множестве меры /z(Q\Q ). Если R-дизъюнкции отличается от знака R-дизъюнкции лишь на множестве меры //(Q \ Q"). 2) При є—»0 почти R-функции переходят в соответствующие R-функции, т.е. \imfxAaf2=fxAaf2, \imfx va f2 = fx va f2 (предельное свойство). 3) Почти R-конъюнкция fxAEaf2 положительна в подобласти Q облас ти Q, равна нулю на ее границе 6Q , и отрицательна в остальных точках пространства R2; почти R-дизъюнкция fx vsa f2 положительна в подобла сти D." области Q, равна нулю на ее границе dQ", и отрицательна в ос тальных точках пространства R2. правило де Моргана). При конструировании сложных областей с угловыми точками, вместо использования почти R-операций, можно применить следующий подход [5, 20]. Пусть функция со области Q имеет особенности в угловых точках границы dQ.. Тогда выражение обращается в ноль на границе области Ci cz Q и положительно внутри нее. Функция (1.2.1) гладкая на дСїє. Если функция со нормализована на О., то расстояние между множествами dist{Q,Qe} = 0(є). Аналогично (1.1.4), нормализованное уравнение границы области Qe имеет вид В силу нормализованное, радиус кривизны плоской кривой, описываемой неявным уравнением (1.2.2), можно найти по формуле [21] Исследуем более подробно почти R-конъюнкцию на базе R-конъюнкции системы являющейся уравнением первого квадранта. Случай почти R-дизъюнкции на базе R-дизъюнкции (часть плоскости за исключением третьего квадранта) рассматривается аналогично. С помощью операций (1.2.4), (1.2.5) строятся уравнения широкого класса более сложных областей. Уравнение (1.2.4) не дифференцируемо в начале координат. Для устранения этой особенности рассмотрим почти R-конъюнкцию Анализ (1.2.6) удобно проводить, выразив в явном виде у через х. В результате получим уравнение равнобочной гиперболы Согласно (1.2.6), нас интересует лишь одна ветвь гиперболы, лежащая в полуплоскости х + у-(1 + а)є 0. Асимптотами (1.2.7) являются прямые х = є, у = є. Радиус кривизны гиперболы Центр кривизны располагается в точке [ (і + у]2(1-а)), є[\ + 2(1-«))]. Из (1.2.9) при а = 0 следует pmin =є. В то же время, при а = 1 сглаживания области не происходит ( pmin = 0 ). Это связано с тем, что операции системы SRi не дифференцируемы на всей прямой у = х. Заметим, что при рассмотрении почти R-дизъюнкции следует взять ветвь гиперболы (1.2.7), лежащую в полуплоскости х + у - (1 + а)є 0. Основные соотношения будут аналогичны выше приведенным. Исследуем теперь ситуацию, когда исходные прямые (нормализованные) пересекаются под произвольным углом. Очевидно, достаточно рассмотреть случай пересечения областей Qj = (х к 0. Применение почти R-конъюнкции системы 9?о к нормализованным уравнениям границ этих областей даст новую область с границей, описываемой уравнением мум кривизны достигается в точке (х0,[к + \1\ + к2]х0), где х0 = є(1 + 1/V2), при этом минимальный радиус кривизны а центр кривизны находится в точке с координатами Из (1.2.11) следует, что pmin « при к .\, и pmin &єІк при »1.
Учитывая, что коэффициент к есть котангенс угла в между исходными прямыми, выражения (1.2.10), (1.2.11) можно переписать в виде Формула (1.2.13) справедлива для случая почти R-конъюнкции (а = 0) нормализованных уравнений любых двух пересекающихся прямых, независимо от их ориентации по отношению к системе координат. Определение 1.1 [5, 20]. Система У{Еа{ Р)(х,у), где Е(є,Р) = є(рр(х2 + у2), а Фр( ) (j3 0) - достаточно гладкая финитная функция такая, что (РДО) = 1, Фр (0 = 0 при 111 XIр, называется локальной системой почти R-функций. Варьируя параметр Д можно добиться того, что сглаживание будет осуществляться лишь в некоторой окрестности угловой точки, на остальных участках граница останется близкой к прежней. Вместо финитной функции можно также использовать любую другую функцию, быстро убывающую с увеличением х2 + у2. 1.2.3. Сингулярные R-функции. Пусть граница области dQ = \J d&j. Обозначим через ві угол между касательными к дСіі и dQ.M в угловой точке (xj,yi)edQi f]dQM, отсчитываемый внутри области против часовой стрелки. Известно [22], что для решения уравнений Лапласа или Гельм-гольца в окрестности угловой точки (x{,yt) имеют место представления для всякого решения задачи Дирихле, и для всякого решения задачи Неймана. Здесь rt = у]х2 + у] , q)t = arctg(_y(. Ixt) — переменные местной полярной системы координат с центром в ( ,, ,) и полярной осью, направленной по касательной к dQ.n a g(rt, p{) - некоторые функции, достаточно гладкие внутри Q и на гладких участках 8Q., и такие, что g(rt, РІ) = о(г Ів х). Рассмотрим применение системы R-функций из Я для учета особенностей в угловых точках границы области [5, 20, 23]. Пусть касательные к участкам границы дЦ и dQ.M пересекаются под внутренним углом в.. Поскольку для практики наибольший интерес представляют так называемые входящие углы (тг 0і 2ж), то без ограничения общности можно рассмотреть случай, когда Ц = {(х,у):o)t{x,у) = у 0}, Q.+1 = {(х,у):а ш(х,у) = sin0, -ycos0t 0}. Применим R-дизъюнкцию системы $И к функциям со, и сом. Учитывая, что в полярных координатах x = rcos p, у = r sirup, получим Щ va ФІ+І rW+1 Для тог5 чтобы R-дизъюнкция имела особенность вида гя1в , необходимо потребовать m = я7#, -1. В частности, т = 0 при 0І,= л, т = -\1Ъ при 0t = З/г/2 ,т- -1/2 при 0, -» 2я. Определение 1.2. Система SR при т 0 называется сингулярной системой R-функций.
Глобальный базис. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева
Одним их недостатков метода R-функций является громоздкость получаемого аналитического выражения для со. Рассмотрим подход, позволяющий во многих случаях существенно упростить численную реализацию вариационных процедур реше- ния краевых задач вида (1.1.24) [77-79]. Будем полагать, что Q - двумерная ограниченная область с липшицевой границей. В качестве оператора А возьмем двумерный оператор Лапласа или Гельмгольца, а I - тождественный оператор (условия Дирихле). Пусть в области Qci?2 с липшицевой границей дО. требуется найти решение уравнения Пуассона с известной правой частью/или задачи на собственные значения для оператора Лапласа с краевыми условиями Предположим, что область Q представима в виде теоретико-множественного пересечения некоторой канонической области Q с другой областью Q0 (Q = Q ПП0), т.е. QcQ .a собственные значения (СЗ) Л к и соответствующие собственные функции (СФ) щ ( = 1,2,...) краевой задачи вида (2.2.1), (2.2.2)-(2.2.3) в области Q известны: Для СФ ик справедлив следующий результат [80]. Теорема 2.1 (теорема разложимости Стеклова). Всякая непрерывная в замкнутой области Q =Q UdQ функция g, обращающаяся в нуль на границе дС1 , разлагается в ряд Фурье по СФ щ краевой задачи (2.2.4)-(2.2.5). Из Теоремы 2.1 аналогично Теореме 1.2, следует возможность при любом є 0 разложения всякой функции g, непрерывной вместе с производными вО и обращающейся в нуль на 5Q , в конечный ряд Фурье T N по СФ щ краевой задачи (2.2.4) - (2.2.5), такой, что Пусть известна функция со0{х,у) границы 5Q0 области Q0, причем о)0 0 в Q0 (а также со0 0 внутри Q), со0 0 в R2 \Q0, а 0=0 и VcoQ 2 0 на SQ0. Методика построения таких функций для выпуклых областей описана в [10], а для произвольных областей выражение для а 0 строится с помощью теории R-функций. При этом возможно получение функции а 0, обладающей достаточно высокой степенью гладкости на всей числовой плоскости за исключением, быть может, конечного числа нерегулярных точек границы 5Q0. Составим далее систему функций Очевидно, Покажем, что при указанных условиях решение задачи (2.2.1), (2.2.2) -(2.2.3) представимо в виде линейной комбинации функций рк. Теорема 2.2. [77]. Система функций (2.2.8) полна в энергетическом пространстве НА невырождающегося положительно определенного эллиптического оператора Доказательство. Пусть и(х,у) - непрерывная в О. функция, равная нулю на дО., производные которой непрерывны внутри Q, и такая, что интеграл конечен.
На основании существования последнего интеграла, контур 8Q и линии внутри Q, на которых и = 0, можно заключить в такую открытую область Q,, что Обозначим через 8 0 минимум и(х,х) в 2 = \Ц- Выберем достаточно малые Sx, 82 такие, что Аналогичное неравенство выполняется и для частных производных по у. В соответствии с условием 1, функция й = 0 вблизи контура сЮ, поэтому, так как а 0 О внутри Q, функция v = її/а 0 непрерывна вместе с частными производными в области Q. Эти обстоятельства не нарушатся, если положить v s 0 в области Q \ Q. Тогда v будет непрерывна вместе с частными производными в области Q . Можно подобрать такой полином (2.2.8), что будут выполняться неравенства (2.2.6). Для функции к = 0)QT N справедливы неравенства что доказывает полноту системы функций вида (2.2.8) в пространстве НА, а следовательно и в пространстве НА, так как эти пространства состоят из одних и тех же элементов. В качестве НА могут в частности выступать пространства W\ (Q) либо L2(Q). В [10] аналогичная теорема была доказана для случая аппроксимации с помощью системы функций где Хк элементы некоторой полной в Q функциональной системы, а со -функция области Q. Введем следующую классификацию. Будем называть общую структуру решения краевой задачи, образованную базисом вида (2.2.8), структурой Фурье-Канторовича (FK-структурой), в отличие от обычной структуры Канторовича (К-структуры) (2.2.11). Частные разновидности структур Канторовича и Фурье-Канторовича, полученные с помощью R-функций, назовем структурами Канторовича-Рвачева и Фурье—Канторовича-Рва-чева соответственно (KR- и FKR-структуры). Поскольку последние строятся с использованием частных аналитических решений краевой задачи в канонической области, будем называть их полуаналитическими структурами решений. Преимущество системы (2.2.8) перед системой (2.2.11) заключается в том, что выражение для функции со0 существенно проще, чем для со, так как граница области Q как правило образована меньшим числом элементарных кривых. Это приводит к уменьшению времени счета и повышению точности вычислений.
Пример 2.1. Пусть область О. - уголок, образованный удалением из исходного квадрата [0,я]х[0,а] меньшего квадрата [b,a]x[b,a] (0 b a) (так называемая задача об L-мембране). Данная задача широко исследовалась многими авторами, и известны результаты расчета, полученные с гарантированно высокой точностью методами конечных элементов [81] и частичных областей [44]. Этот пример также интересен наличием особенности в виде входящего угла Зя72, учет которой в структурных формулах может повысить точность результатов. Уравнение границы области, полученное обычным методом R-функций, имеет вид допустимо использование обычных произведений: coK{x,y) = [{al2f -{x-al2)2\(al2f -(у-а/2)2]й)0(х,у) = 0. В качестве базисных функций Хи в (2.2.11), выберем тригонометрические полиномы: целое, не превосходящее х; М - наивысший порядок многочлена. Базисные функции метода Фурье для прямоугольной области имеют вид на равномерной сетке. Результаты расчетов с помощью метода Бубнова-Галеркина (при а = 1, /3 = 1/2) приведены в табл. 2.1. Для сравнения, в [44, 81] с высокой точностью получено Xj « 6,2096, /1 «12,8801. Из таблицы видно, что скорость сходимости FJCK-структуры к точному решению значительно выше, чем у К- и FX-структур, а время счета меньше. В свою очередь, Л7?-структура в целом дает более точные результаты по сравнению со своим аналогом без использования R-операций, однако время счета при этом существенно выше. Таким образом, преимущества FAjR-структуры очевидны. Анализ табл. 2.1 подтверждает эффективность /ЖЯ-структуры, однако точность при этом недостаточна высока в сравнении с результатами [44, 81] из-за того, что не производился учет особенности в виде входяще-го угла. Для устранения этого недостатка, вместо обычной R-дизъюнкции следует воспользоваться ее сингулярным аналогом (см. гл. 1): Хорошо видны преимущества дифференциально-разностной структуры на основе обобщенной формулы Лагранжа перед традиционной структурой метода R-функций.
Совместное использование обобщенного метода Шварца и метода R-функций
Для учета геометрических особенностей в виде входящих углов рассмотрим следующий подход [20, 85, 86]. Вблизи вершины входящего угла, в некотором секторе круга используем известное аналитическое решение, а в остальной области задачу решим численно. Сопряжение этих решений осуществляется с помощью итерационной процедуры разделения области, представляющей собой обобщенный альтернирующий метод Шварца [10, 80]. Применяется схема с перекрытием, рассмотренная в [85] для решения задачи Дирихле. В отличие от этих работ, в качестве численного метода решения задачи в сложной области предлагается использовать метод R-функций [20, 86]. Метод легко распространяется на случай произвольных граничных условий и любое количество входящих углов. Пусть Q - конечная односвязная плоская область, ограниченная кусочно-гладким контуром 8Q. = (J._ дС1,; составляющие его гладкие звенья 5Q,, дС1м соединяются между собой под углами лвх 0. Для начала рассмотрим случай, когда существует единственное натуральное п такое, что 1 вп 2, то есть область Q содержит лишь один входящий угол. Обозначим вп в дальнейшем через в. Без ограничения общности будем считать, что вершина этого угла находится в начале координат, его стороны образованы прямолинейными участками границы 5Q, и 5Q2, причем область ориентирована так, что дС1{ лежит на положительной полуоси ОХ. Требуется в области Q решить уравнение Пуассона Область Q2 представляет собой круговой сектор, а задача (2.4.4) может быть решена аналитически. Задача (2.4.3) решается численно. С помощью метода R-функций можно строить решения u\l), точно удовлетворяющие краевым условиям произвольного типа на различных участках границы. При этом осуществляется продолжение граничных условий внутрь области Qj. Алгоритм решения исходной задачи (2.4.1)-(2.4.2) следующий: 1) на дуге Tj задается функция g(0); 2) в области Q, решается задача (2.4.3) методом R-функций при / = 1; 3) вычисляется функция Mj(1) на дуге Г2; 4) аналитически решается задача (2.4.4) в секториальной области Q2; 5) вычисляется функция Uj] на дуге Г,; 6) по формуле (2.4.5) вычисляется функция gw; Зафиксируем следующие геометрические параметры: г, =0.1, г2=0.2, a = b = c = d = 0.5. Сначала с помощью обобщенной формулы Лагранжа перейдем к задаче с однородными краевыми условиями.
Для этого представим функцию и в виде суммы двух функций где v имеет вид v = coABCDE l{coABCDE + соЕОА) и удовлетворяет условиям (2.4.32), aw - уравнению (2.4.1) с правой частью f = -Av. Выберем нулевое начальное приближение в (2.4.3): g{0) =0. Решение (2.4.3) будем искать методом Бубнова-Галеркина с помощью структуры (2.4.18), где ) = 0. Учитывая симметрию, в качестве базисных функций у/к возьмем полиномы у/к{т п) = (х + у)2т (х-у)", т + п = 0, М, где функция расстановки к(т,п) = п + (т + п)(т Решив (2.4.3) и вычислив м,(1) Гг, перейдем к (2.4.4), предварительно сведя ее к задаче с однородными условиями заменой и = v + w , где coVi + соЕОА a w удовлетворяет в секториальной области Q2 уравнению Пуассона с правой частью -v . Решив задачу (2.4.4) по формулам (2.4.6), (2.4.9), определяем g(1) согласно (2.4.5) и повторяем весь процесс рекуррентно до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность вычислений. При получении окончательного решения следует учесть замену (2.4.25). На рис. 2.18я ,б изображены линии уровня функций со, сох, а на рис. 2.18в - решение поставленной задачи после 3-х итераций. Достигнутая погрешность (разность между последовательными приближениями в норме Z,2(Q)) составила менее 0.1%. 2.5. Расчет электромагнитных полей в областях фрактальной геометрии 2.5.1. Решение задач электростатики в области «ковер Серпинского». Рассмотрим задачу Дирихле для предфрактала 2-го уровня ковра Серпинского, изображенного нарис. 1.1 (2) [27, 28]. Зададимся следующими краевыми условиями: т.е. на внешней части границы dQ0 области Q задан нулевой потенциал, а к внутренним участкам границы dQ = 8Q\8QQ приложен единичный потенциал. Уравнения соответствующих участков границ имеют вид (1.2.26) и (1.2.29) ( = 2). Сначала сведем неоднородную задачу Дирихле к однородной. Для этого представим искомое решение в виде суммы двух функций v и w, первая из которых удовлетворяет краевым условиям (2.5.1), а вторая - уравнению Пуассона с однородными условиями первого рода на всей границе dQ: Функцию v строим с помощью обобщенной формулы Лагранжа: Приближенное решение задачи (2.5.2) находим методом R-функций с использованием структуры Канторовича w = соФ, где со = сог в (1.3.5), а Ф -неопределенная компонента структуры вида (1.1.29). После нахождения коэффициентов разложения (1.1.29) одним из вариационных или проекционных методов, окончательное решение будет иметь вид Пример 2.11. Пусть в (2.5.1) /0 = 0, fx = 1, геометрический размер а = 1. В качестве базисных функций у/к выберем двумерные полиномы Лежандра порядка 2М, ограничившись, в силу симметрии, лишь четными степенями по обеим переменным: Неопределенные компоненты ск найдем методом Бубнова-Галеркина, путем решения системы линейных алгебраических уравнений где С - вектор столбец коэффициентов ск, а элементы матрицы А и вектора-столбца В имеют Интегралы в последних выражениях находятся численно по двумерным квадратурным формулам. В данном примере использовались простейшие формулы прямоугольников на сетке 150 х 150 узлов. На рис. 2.19 показаны линии уровня приближенного решения при М = 4, опорной функции v, а также график поверхности м(4). В табл. 2.13 приведены относительные погрешности разности между последовательными приближениями и{М) - и{М Х) в равномерной, энергетической и L2 -нормах: Функция области строилась с помощью R-операций систем 9t0 и 9 3. В качестве грубой оценки, для сравнения в первой и последней строках табл. 2.14 приведены собственные значения для мажорирующих круговых областей радиусами R = h/\J3 и г = /z/3. Интересно отметить практическое вырождение собственных значений, соответствующих парам собственных функций 6-е и г-д. Данный эффект наблюдается при различных параметрах фрактальности К. Выводы Основные результаты, полученные в главе 2, следующие. 1. Предложены и обоснованы новые типы гибридных полуаналитических структур решения Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также структур на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа.
Основное преимущество новых структур перед традиционными заключается в более простом виде аналитических выражений, позволяющих существенно повысить быстродействие метода R-функций в комбинации с вариационными процедурами, а также снизить вычислительную погрешность. 2. Предложен численный алгоритм моделирования поверхностей и нахождения полей гофрированных волноводов со сложной формой поперечного сечения. 3. На основе аппроксимации функции области описан новый вариант метода R-функций с финитными функциями (сплайны, АФ) в качестве базисных. В отличие от обычной схемы метода Бубнова-Га-леркина, количество вычисляемых кратных интегралов матриц систем линейных алгебраических уравнений значительно меньше. 4. На основе методов Шварца и R-функций предложен и обоснован новый гибридный метод для учета геометрических особенностей. 5. Методом R-функций впервые решены задачи электростатики и электродинамики в таких областях предфрактальной геометрии, как «Ковер Серпинского» и «остров Коха». Анализ результатов численных экспериментов показывает эффективность введенных в главах 1 и 2 новых конструктивных средств теории R-функций применительно к решению широкого класса внутренних скалярных задач электродинамики в областях сложной формы. Решение внешних задач электродинамики, как правило, сопряжено с существенными трудностями, вызванными тем, что функции, аппроксимирующие точные распределения полей должны удовлетворять условиям излучения (Зоммерфельда) на бесконечности. Это ограничивает класс допустимых базисных функций. Кроме того, процедуры вариационных методов должны осуществляться в неограниченных или достаточно больших областях. При этом сохраняются сложности, присущие внутренним задачам, в частности, необходимо учитывать геометрические сингулярности границ і областей (условия Мейкснера). В главе рассматриваются 3 задачи: излучение из открытого конца волновода, дифракция на диэлектрическом теле в закрытом или открытом резонаторе, а также дифракция на бесконечно длинном цилиндре сложного поперечного сечения.
R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям
В общем виде граничная задача для стационарных уравнений математической физики может быть сформулирована следующим образом [100]. Пусть в и-мерном евклидовом пространстве R" многомерная многосвязная область Q ограничена (гипер-) поверхностью 5Q. В области Q. определено дифференциальное уравнение в частных производных где А - линейный дифференциальный оператор; и(х), f(x) - искомый и известный элементы некоторых функциональных пространств i?,(Q) и i?2 (Q), например, пространства Соболева W\ (Q). Пусть оператор L определен на поверхности 8Q. соотношением где у/{у) - заданный элемент функционального пространства R3 (8Q.). Будем искать решение граничной задачи (3.3.1), (3.3.2) в виде ряда с неопределенными коэффициентами по некоторой системе базисных функций {%} =1: В отличие от главы 2, сведем неоднородную задачу (3.3.1), (3.3.2) к граничной задаче с неоднородными краевыми условиями и однородным уравнением При решении задачи (3.3.4) следует заботиться об удовлетворении граничным условиям, не учитывая при этом основное уравнение. Основным преимуществом такого подхода является то, что коэффициенты разложения (3.3.3) находятся с помощью граничных аналогов вариационных и проекционных методов (Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов, коллокации и др.), реализуемых на многообразиях меньшей размерности (по границе дО. вместо области Q). Следовательно, значительно уменьшается количество арифметических операций. При этом, на базисные функции рк налагаются следующие требования: 1) Рк удовлетворяют однородному уравнению А(рк =0; 2) система функций {Lcpk} линейно независима и полна в R3 (dQ.). Существует два основных подхода к решению задачи (3.3.4) методом разложения по неортогональным функциям (МРНФ) [47,57,100-102]. В первом способе решение ищется в виде ряда (3.3.3), базисные функции (фундаментальные решения) которого удовлетворяют однородному уравнению граничной задачи, а коэффициенты c[N) минимизируют невязку и находятся из решения линейной системы уравнении где {Wj} - некоторая тотальная в R3(Q) система функционалов, когда Vgei?j(Q) из условий Wjg метода коллокации имеет вид где _уу — узлы коллокации на поверхности 8Q.. Второй способ решения граничных задач с помощью разложения по фундаментальным решениям основан на интегральных тождествах для решения (3.3.5) где F(x), K{x,y) - известные функции, v(y) - неизвестная функция, подлежащая определению из интегрального уравнения (3.3.9).
Берется вспомогательная поверхность Г и всюду плотная на ней система точек {zk }=1. Показывается, что система функций {K(zk,y)}=] является полной в подпространстве L2(dQ) функций из R3(dQ) (v(y)є (dQ)), которые обеспечивают существование и единственность решения уравнения (3.3.9). Система состоит из фундаментальных решений R{zk,y) оператора Л. Приближенное решение уравнения (3.3.9) ищется в виде разложения по произвольной полной в R2 (Ш) системе {%к }"=1, причем коэффициенты разложения находятся из линейной системы Правая часть (3.3.12) может быть вычислена из (3.3.9), если функционалы Wj определить следующим образом: Принципиальной особенностью такого способа решения краевых задач является получение из ядра K(z,y) уравнения (3.3.9) полной системы функций (3.3.10). Перепишем уравнение (3.3.9) в операторной форме: Оператор Р переводит пространство функций, определенных на дО. в пространство функций, определенных на Г. Чтобы получить систему алгебраических уравнений для приближенного решения (3.3.12) уравнения (3.3.9), вводится система функционалов {Фу }"=1, определенных на вспомогательной поверхности Г. Первые N этих функционалов на разности PvN(y) - F(z) должны обращаться в ноль: Метод разложения по неортогональным функциям пригоден для решения как внутренних, так и внешних задач. При этом возможно получение апостериорных оценок погрешности, так как единственным ее источником является приближенное удовлетворение граничным условиям. Трудности МРНФ аналогичны трудностям численной реализации вариационных методов и связаны с решением системы алгебраических уравнений относительно неизвестных компонент c[N). Фундаментальные решения не образуют и почти ортогональной системы, поэтому исследовать традиционными методами бесконечные системы, соответствующие фундаментальным решениям, не удается. Особенностью систем фундаментальных решений является их свойство быть неминимальными, т.е. оставаться полными после выбрасывания любого числа функций, лишь бы в итоге оставалось бесконечное число функций. Неминимальность приводит к большим вычислительным трудностям при нахождении коэффициентов наилучшего разложения. Поэтому в методе разложения по неортогональным функциям основной акцент смещен в сторону нахождения коэффициентов, дающих почти наилучший порядок аппроксимации. При практическом использовании МРНФ возникают и сложности геометрического характера, т.к. существует большой произвол в выборе вспомогательного контура Г. Один из способов устранения этой неопределенности путем аналитической деформации контура дО. описан в [103,104]. Кроме того, при решении ИУ (3.3.9) часто целесообразно осуществить параметризацию контура дС1, переходя, например, в двумерном случае к полярным координатам. В следующем пункте рассматривается геометрический подход к устранению указанных сложностей с помощью метода R-функций (см. раздел 1.2). Ранее метод R-функций использовался в качестве вариационного для решения внешних задач теории дифракции [5,97,98,105-110]. 3.3.2. Численная реализация МРНФ в комбинации с R-функциями в задачах дифракции на замкнутом цилиндрическом экране. Рассмотрим цилиндрический экран с идеально проводящей бесконечно тонкой поверхностью S, образованной плоской замкнутой гладкой (или кусочно-гладкой) кривой дО. Пусть Q - внутренняя область, ограниченная кривой дО [111].
Направим ось Oz вдоль образующей поверхности S и положим, что падающее на экран поле не зависит от координаты z. В этом случае электромагнитная задача дифракции на экране состоит в определении скалярной функции (рассеянного поля) и, являющейся решением однородного уравнения Гельмгольца удовлетворяющей краевым условиям Дирихле или Неймана да на дО и условиям излучения Зоммерфельда Кроме указанных условий поле должно удовлетворять требованию ограниченности энергии в любом конечном объеме пространства, что приводит к дополнительному условию для любой ограниченной области G. Вопросы существования и единственности поставленных задач подробно рассмотрены в [111-113]. При этом единственное решение задач (3.3.21)-(3.3.25) ищется в виде потенциалов для задачи Дирихле и для задачи Неймана. Здесь гмм обозначает евклидово расстояние между точками М,М0; Н 2)(г) - функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, а потенциалы принадлежат соболевским пространствам: реН и2(дО.), у/єНи2{дО). В силу непрерывности операторов (3.3.26), (3.3.27) получаем, что всех к {\тк 0,кфО), за исключением дискретного множества характеристических чисел, лежащих на вещественной оси, с единственной предельной точкой на бесконечности. Численное решение уравнений (3.3.28), (3.3.29) вблизи точек спектра может оказаться неустойчивым, поэтому для обоснования сходимости и повышения ее скорости в проекционных методах используют специальные приемы [111-114]. В качестве примера рассмотрим алгоритм решения ИУ (3.3.28) с помощью МРНФ [103, 104]. Будучи вещественно-аналитической, функция и{гШо) может быть аналитически продолжена за пределы своей первоначальной области определения R2 \0, т.е. внутрь дО. Пусть граница дО при этом перейдет в некоторый замкнутый вспомогательный контур Г" внутри дО. Пусть также дО, Г" - звездные контуры Ляпунова. Функция и(гШо) ,отличная от тождественного нуля, с учетом условий Зоммерфельда (3.3.24) и на основании теоремы Лиувилля, имеет особенности, лежащие в Q. Следовательно, контур Г- должен охватывать все особенности аналитического продолжения функции и(гММо) в область внутри дО, и, кроме того, к не должно являться собственным значением внутренней однородной краевой задачи для области внутри Г" (т.е. Г" - нерезонансный контур) [111].
