Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие аспекты проблемы нелинейности и дифракции в ультразвуковых измерениях 12
1.1. Нелинейные явления, возникающие при распространении ультразвуковых волн 12
1.2. Основные закономерности нелинейного распространения акустических волн в жидкостях и газах 20
1.3. Нелинейные стоячие волны в резонаторах 31
1.4. Распространение волн, возбуждаемых источниками конечных размеров 43
Глава 2. Исследование влияния нелинейных эффектов на результаты ультразвуковых измерений в одномерном жидкостном резонаторе ...51
2.1. Нелинейные колебания в слое, возбуждаемые периодическим движением его границы 51
2.2. Амплитудно-частотная характеристика ультразвукового жидкостного резонатора с плоскими пьезопреобразователями 57
2.3. Экспериментальное исследование нелинейных эффектов в ультразвуковых измерениях 64
Глава 3. Исследование влияния дифракционных явлений на ультра звуковые измерения 83
3.1. Дифракционное поле круглой пьезопластины 83
3.2. Исследование влияния диаметров электродов на дифракционное поле круглой пьезопластины 94
Глава 4. Неодномерные ультразвуковые волны конечной амплитуды 105
4.1. Ограниченные пучки большой интенсивности 105
4.2. Неодномерные стоячие волны конечной амплитуды в ультразвуковом резонаторе с плоскими пьезопреобразователями 109
4.3. Исследование влияния диаметра электродов пьезопластин на амплитудно-частотную характеристику нелинейного резонатора 120
4.4. Неодномерные стоячие волны конечной амплитуды в ультразвуковом резонаторе с вогнутыми пьезопреобразователями 127
Заключение 139
Список использованных источников 140
- Основные закономерности нелинейного распространения акустических волн в жидкостях и газах
- Амплитудно-частотная характеристика ультразвукового жидкостного резонатора с плоскими пьезопреобразователями
- Исследование влияния диаметров электродов на дифракционное поле круглой пьезопластины
- Исследование влияния диаметра электродов пьезопластин на амплитудно-частотную характеристику нелинейного резонатора
Введение к работе
Измерения скорости и коэффициента поглощения ультразвука содержат важную информацию об упругих свойствах твердых, жидких и газообразных сред, кинетике молекулярных процессов, фазовых переходах, протекании различных технологических процессов. Среди большого многообразия методов измерения акустических параметров веществ в настоящее время наибольшее распространение получили импульсный и резонансный методы.
В методе ультразвукового резонатора диапазон исследуемых частот лежит в пределах 0,1...30 МГц, при этом существенно меняется интенсивность возбуждаемого ультразвукового сигнала. Вместе с тем, распространение звуковых волн большой интенсивности - т. н. волн конечной амплитуды - сопровождается возникновением нелинейных эффектов, приводящих к прогрессивному искажению профилей и спектров волн по мере их распространения в жидкой среде. Нелинейные явления проявляются тем сильнее, чем больше величина упругих возмущений в веществе; они отсутствуют в линейном приближении, где выполняется принцип суперпозиции. Исследование акустических параметров в условиях проявления нелинейных свойств среды является в настоящее время актуальной задачей прецизионной ультразвуковой спектроскопии.
Экспериментальные исследования дифракции в поле ультразвукового излучателя показали, что в некоторых случаях их результаты и достаточно точные теоретические расчеты для поля поршневого излучателя совпадают только по порядку величины. Это указывает на то, что распределение амплитуд колебаний в реальном пьезоэлектрическом преобразователе отличается от распределения для поршневого излучателя. В связи с этим возникает необходимость исследования дифракции в поле, создаваемом ко 5 леблющейся пьезопластиной, и вычисления зависимости дифракционного затухания ультразвукового сигнала от параметров измерительной системы.
Целью работы является:
1. Формулировка краевой задачи для стоячих волн конечной амплитуды в ультразвуковом резонаторе с плоскими пьезопреобразователями.
2. Учет в развиваемой модели нелинейных эффектов в слое исследуемого вещества, диссипативных потерь ультразвука в нем, наличия пьезоэлектрического эффекта в кристаллах преобразователей.
3. Нахождение и исследование амплитудно-частотной характеристики одномерного ультразвукового жидкостного резонатора с плоскими пьезопреобразователями в условиях проявления нелинейных свойств изучаемой среды.
4. Теоретическое исследование влияния параметров измерительной системы на дифракцию в ультразвуковом поле, создаваемом зажатым по краю колеблющимся пьезодиском, в импульсных методах измерения.
Научная новизна состоит в следующем:
1. Теория нелинейных стоячих волн обобщена на случай распространения акустических колебаний в ультразвуковом жидкостном резонаторе.
2. Указан новый метод определения параметра нелинейности исследуемого вещества В/А, где А, В - коэффициенты, стоящие при первой и второй степенях разложения звукового давления в ряд по малому объемному сжатию.
3. Рассмотрены дифракционные эффекты в ультразвуковом поле зажатой по краям колеблющейся пьезопластины, имеющей характерный спектр собственных частот и соответствующее ему распределение амплитуды колебаний. 4. Получена зависимость дифракционного затухания и дифракционного завышения скорости ультразвука от обобщенного расстояния между пьезопластинами, добротности пьезопластин, девиации частоты возбуждения ультразвука относительно фундаментальной частоты пьезопластины, диаметра электродов возбуждаемого и приемного пьезопреобразователя.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Результаты исследований получены на основе строгих акустических моделей. Использованные при этом методы решения краевых задач корректны с формальной математической точки зрения.
Контроль результатов осуществлялся сопоставлением теоретических и экспериментальных данных по изучению амплитудно-частотной характеристики ультразвукового резонатора.
Практическая ценность работы состоит:
• в получении амплитудно-частотной характеристики ультразвукового ре зонатора, которая может быть использована при расчете акустических параметров исследуемых веществ с учетом конечности амплитуды акустического сигнала;
• в разработке резонаторов с более высокими метрологическими характеристиками;
• в расширении высокочастотного диапазона прецизионных ультразвуковых измерений акустических параметров веществ.
Апробация работы
Результаты исследований докладывались на I Международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волно 7 вых процессов" (г. Самара, 2001 г.), 16 Международном симпозиуме по нелинейной акустике (г. Москва, 2002 г.), 3 Международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, сентябрь 2002 г.), X российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (г. Самара, 2003 г.).
Положения, выносимые на защиту:
1. Решение задачи о стационарных вынужденных колебаниях конечной амплитуды в слое жидкости, заключенном между двумя плоскими пье-зопреобразователями.
2. Амплитудно-частотная характеристика ультразвукового резонатора с учетом нелинейных поправок.
3. Метод определения параметра нелинейности жидкости В/А.
4. Расчет влияния нелинейного распространения ультразвуковых волн на измерение величины поглощения ультразвука в среде.
5. Методы расчета дифракционного затухания в ультразвуковом поле пьезопреобразователя.
6. Результаты исследования зависимости дифракционных поправок для ультразвукового поля пьезопластины от параметров измерительной системы.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе 6 статей и 3 тезисов докладов на научных конференциях. Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований. Объем диссертации составляет 147 страниц текста, в том числе 18 рисунков и 4 таблиц.
Основные закономерности нелинейного распространения акустических волн в жидкостях и газах
Коэффициент с2(] + дк/да) у 1 в уравнении (1.2.6) связан со скоростью распространения волны. Так как выражение (l + ди/да) характеризует относительный объем элемента среды, то отсюда следует, что точки с наибольшей плотностью будут распространяться с большей скоростью. Поэтому будет происходить прогрессирующее искажение профиля волны по мере ее распространения. Если рассматривается не идеальный газ, а иная среда, то должно быть найдено соотношение между р и р, отличное от (1.2.4). Иногда используется соотношение где Р, Q, у - константы, определяемые из эксперимента. Можно воспользоваться также разложением в ряд Тейлора: S - энтропия. Для наших целей достаточно ограничить этот ряд квадратичным членом. Тогда это соотношение можно записать в виде Величины А и В зависят от температуры. Сравнивая соотношения (1.2.7) и (1.2.9), можно установить, что А = уР, В = у(у-\)Р, так что у = В/А + 1. Следовательно, показатель степени у + 1 в уравнении (1.2.6) для жидкостей должен быть заменен на В/А + 2. В общем случае нелинейного распространения учет только двух первых членов разложения в ряд Тейлора (1.2.9) приводит к линейной теории или теории первого порядка.
Нелинейная теория или теория второго порядка базируется на учете квадратичного члена разложения. При этом без учета потерь взаимосвязь между акустическим давлением р и флуктуациями плотности среды р описывается уравнением [37] где с0 - скорость звука. Параметр В/А обычно называют параметром нелинейности среды. Он расширяет общее линейное выражение, полученное при В/А = 0, до следующего порядка малости. При атмосферном давлении В/А зависит от типа жидкости, а для данной жидкости - от температуры. Из квадратичной зависимости акустического давления от плотности среды непосредственно следует, что волна будет распространяться с фазо 27 вой скоростью, зависящей от локальных значений колебательной скорости или давления где v - колебательная скорость частиц, с0 - скорость звука в линейном приближении, A = P0CQ . Это означает, что области сжатия, или гребни, волны распространяются с несколько большей, а области сжатия, или впадины, - с несколько меньшей скоростью по сравнению со скоростью с0, предсказываемой линейной теорией. В результате по мере распространения накапливается искажение профиля волны, который становится постепенно все круче, и волна первоначально синусоидальной формы преобразуется в пилообразную волну, если только затухание не нарушает этой картины (рис. 1.3, а-в). Соответствующее изменение формы волны, которая первоначально имела вид v(o,t) = V0smat, описывается следующим решением волнового уравнения второго порядка, полученным Фубини: Это выражение можно разложить в ряд Фурье где /- константа, зависящая от нелинейных свойств среды.
Хотя данное решение справедливо только для значений х 1, из уравнения (1.2.14) непосредственно следует, что по мере распространения волны происходит уменьшение амплитуды основной гармоники, энергия которой передается в высшие гармоники. Расстояние от излучателя до точки х = I называется расстоянием до разрыва и определяется как Это расстояние, на котором в отсутствие затухания производная dv/dx становится отрицательно бесконечной, т.е. в волне появляется разрыв, представляющий собой ударный фронт. При х = I волна приобретает все более пилообразную форму и ударный фронт нарастает. Хотя представленный анализ справедлив при отсутствии в среде диссипативных потерь, он позволяет получить ряд основных закономерностей нелинейного распространения. Во-первых, чем больше нелинейный параметр В/А, тем раньше происходит формирование ударного фронта и тем больше искажается профиль волны на заданном расстоянии от излучателя. Предварительные исследования, выполненные Лоу и др. [38,39], показывают, что нелинейный параметр линейно зависит от концентрации макромолекул и не зависит от молекулярного веса. Эти результаты позволяют предположить, что межмолекулярные и внутримолекулярные взаимодействия в растворенных веществах практически не влияют на величину В/А. Наиболее вероятным источником нелинейности следует считать взаимодействия между молекулами растворенного вещества и растворителя.
Из данных, приведенных для цельной и гомогенизированной печени, видно также, что на значение В/А оказывает влияние макроструктура ткани. Бейер [40], а также Мадгоски и др. [41] показали, что в однородных средах небиологического происхождения параметр В/А в первом приближении линейно зависит от обратной величины скорости звука. Во-вторых, нелинейные эффекты развиваются скорее на высоких частотах по сравнению с низкими. Это обусловлено накапливающимся характером этих эффектов по мере распространения волны, и при фиксированном расстоянии нелинейные эффекты будут проявляться тем сильнее, чем большее число длин волн укладывается в пределах данного расстояния. В-третьих, чем больше начальная амплитуда волны, тем короче расстояние до разрыва. И наоборот, если V0 стремиться к нулю, то / стремиться к бесконечности, что соответствует переходу к линейной теории. И наконец, чем меньше скорость звука в среде, тем короче становится расстояние до разрыва / и тем большее искажение профиля волны наблюдается на фиксированном расстоянии от излучателя. Как видно из рис. 1.3, г, наличие в среде зависящего от частоты затухания приводит к постепенному уменьшению амплитуды волны и обеднению ее гармониками, причем гармоники высших порядков исчезают первыми. В результате на некотором расстоянии от излучателя в волне останется лишь составляющая основной частоты, и дальнейшее распространение волны подчиняется линейной теории. Для каждой гармонической составляющей существует определенный интервал расстояний (называемый областью стабилизации), в пределах которого скорость передачи энергии в данную гармонику приблизительно равна скорости уменьшения ее энергии за счет затухания. Именно в этой области каждая гармоника достигает максимума и затем начинает спадать по амплитуде.
Амплитудно-частотная характеристика ультразвукового жидкостного резонатора с плоскими пьезопреобразователями
На основе рассмотренного случая решим задачу о нахождении нелинейной поправки к ультразвуковым волнам, распространяющимся в жидкостном резонаторе, стенки которого представляют собой плоские пьезо-преобразователи толщиной d, расположенные друг от друга на расстоянии 2L. Пусть и , Tf] - смещение и упругое напряжение для волн первой гармоники в слое с номером j, который принимает значение 1 - при L z L + d, 2 - при -L z L, 3 - при - L-d z -L; u\2 , T]2) - смещение и упругое напряжение для волн второй гармоники. Зададим граничные условия для ультразвуковых волн, распространяющихся в пьезопластинах и жидкости: где индекс / = 1 соответствует параметрам волн первой гармоники, а индекс / = 2 — параметрам волн второй гармоники. Согласно основным уравнениям пьезоэффекта для продольной моды колебаний [58] можно записать: где Ef - напряженность электрического поля в слое с номером j, D$p амплитуда электрической индукции в возбуждаемой пьезопластине, амплитуда индукции в приемной пьезопластине равна нулю, cyD - модуль упругости при постоянной индукции, /г, = /г, = h - пьезоэлектрическая постоянная, h2=0, ps = 1/єієо і относительная диэлектрическая проницаемость при постоянной деформации, є0 =8,85-Ю-12Ф/м. Для слоя жидкости величина Г2(,) = с(duf/dz) определяет звуковое давление в жидкости, с - р2с2, р2 и с2 - плотность и скорость звука в жидкой среде, соответственно. Стоячую ультразвуковую волну в резонаторе представим в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих навстречу друг другу. Тогда стационарное решение волнового уравнения для первой гармоники имеет вид: где к j - волновое число ультразвука, а; - коэффициент поглощения, At, В j - амплитуды волн. Нелинейными эффектами в пьезопластинах по сравнению с аналогичными эффектами в жидкости можно пренебречь [12]. Однако будем считать, что волны второй гармоники, распространяющиеся в жидкости, возбуждают в каждой пьезопластине стоячую волну удвоенной частоты. В результате выражение для амплитуды волн во втором приближении принимает следующий вид: получены из частного решения неоднородного уравнения (2.1.3) во втором приближении, С,, Fj -постоянные коэффициенты, j = (1,2,3). Подставляя выражения для uf и TJ0 в граничные условия (2.2.1) где Ь = ієк2/2а2, ч = с2к21с\кх - отношение акустических сопротивлений жидкости и пьезопластины. Решая каждую систему уравнений и подставляя полученные соотношения для коэффициентов Ах, Вх и С,, Fx в равенства (2.2.9) и (2.2.10), получим выражения для амплитуды смещения первой и второй гармоник, распространяющихся в приемной пьезопластине:
Амплитуду электрического напряжения, снимаемого с приемной пьезо L+d пластины, определим по формуле U\l) =- \E\ ]dz, где Е\ ] = -hdu\ ]/dz. В ре L зультате для отношения резонансных значений амплитуд первой и второй гармоник имеем следующее соотношение: Q2 = u/(a2 2) _ добротность, связанная с диссипативными потерями в слое, X2 - длина волны ультразвука в жидкости, к, - коэффициент электромеханической связи, U, - амплитуда напряжения на возбуждаемой пьезопластине, у - отношение акустических сопротивлений пьезопластины и жидкости, / - частота, fq =cJ2d, с, - скорость ультразвука в пьезопластине. Формула (2.2.15) получена при использовании обобщенного резонансного условия, опубликованного в работе [59] и имеющего вид: Из соотношения (2.2.15) следует, что относительная величина второй гармоники, являющаяся мерой нелинейного искажения, растет пропорционально амплитуде возбуждающего напряжения иг, квадрату добротности Q2 и коэффициент акустической нелинейности среды є. Поведение относительной величины второй гармоники и\2) /и\Х) электрического напряжения, снимаемого с приемной пьезопластины ультразвукового резонатора, с изменением амплитуды возбуждающего напряжения U3 Вычисления по формуле (2.2.15) для ультразвуковых волн в ацетоне при у = 0,065, А:, =0.1 (пьезокварц Х-среза), Q2=56-\04, /, = 0,01м, d «1,44-10"3 м , є = 5,6 показали, что амплитуда второй гармоники достигает 10% от амплитуды первой при значениях возбуждаемого напряжения иъ = 3.14 В (рис. 2.2). При данных условиях влияние нелинейных эффектов становится заметным и конечность амплитуды колебаний необходимо учитывать в ультразвуковых измерениях. Точное решение для плоской синусоидальной волны конечной амплитуды, распространяющейся в газах и жидкостях без учета диссипации, было получено Риманом более 100 назад. Однако экспериментальное обнаружение искажения формы волны и измерение амплитуды второй гармоники (ее зависимость от расстояния, нелинейного параметра, начальной интенсивности, частоты и др.) были сделаны сравнительно недавно. Л.Л. Мясников [60] экспериментально исследовал явление искажения в трубе, заполненной газом, создавая в ней интенсивные звуковые плоские синусоидальные волны. В жидкостях первые эксперименты для плоских синусоидальных волн достаточно большой интенсивности были проведены на ультразвуковых частотах в работах [61-63]. Было обнаружено искажение формы синусоидальной у излучателя звуковой волны по мере ее распространения и превращения ее (при определенных интенсивностях) в слабую периодическую пилообразную ударную волну, а также возникающее при этом нелинейное поглощение. Было показано, что нелинейные свойства жидкости играют существенную роль при распространении даже не слишком интенсивного звука вопреки распространенному представлению о не существенности влияния нелинейности уравнения движения и состояния жидкости на процесс распространении звука. Остановимся кратко на методах, которые широко применяются для изучения особенностей распространения плоских волн конечной амплитуды в жидкостях и газах (подобные методы применяются также и для твердых тел).
На рис. 2.3 представлена блок-схема таких экспериментов с использованием спектрального метода. Генератор Гю синусоидальных колебаний ультразвуковой частоты со модулируется генератором прямоугольных импульсов Гп с частотой повторения Q (выбор Q определяется расстоянием L, на котором проводятся измерения (обычно это 50 - 1000 Гц)). Импульсы с частотой повторения Q и несущей синусоидальной частотой со имеют продолжительность х, которая выбирается из условия х « Т, где Т - время распространения волны на длине L, и чтобы переходные процессы, возникающие в элементах установки (в особенности в резонансном усилителе, настроенном на вторую гармонику несущей, т.е. на 2со), успевали закончиться в течение трех-четырех колебаний несущей частоты со. Такого рода импульсы с генератора Гю подаются на фильтр-пробку ФП2(й, не пропускающей возможную вторую гармонику от генератора. Далее импульсный сигнал подается на кварцевую пластинку Иа (имеющей резонанс на частоте со), помещенную в кювету с водой. Волна второй гармоники в жидкости принимается кварцевым приемником Я2со с собственной частотой 2со. После этого приемника стоит фильтр-пробка ФПа, которая не пропускает частоту со (кварцевая пластинка в воде с собственной частотой 2со имеет широкую полосу пропускания и может принимать частоту со). После фильтра-пробки сигнал 2со попадает далее на
Исследование влияния диаметров электродов на дифракционное поле круглой пьезопластины
В предыдущем разделе приведено строгое решение задачи о дифракции ультразвукового поля, созданного зажатым по контуру колеблющимся пьезодиском. В связи с этим появилась возможность исследовать дифракционное затухание ультразвука в импульсных методах измерения с учетом влияния диаметра электродов пьезопреобразователей, что является важным для многих практических применений. Рассмотрим ультразвуковое поле, создаваемое колебаниями круглой зажатой по контуру пьезопластиной радиусом а и толщиной d. На расстоянии L соосно данной пьезопластине расположим аналогичную пьезо-пластину, которую будем использовать для приема колебаний.
Введем цилиндрическую систему координат так, чтобы ось z проходила через центры пьезопластин, поверхности излучающей пьезопластины лежали в плоскостях z--d и z = 0, а поверхности приемной пластины - в плоскостях z-L и z-L + d. Из всех колебаний пьезодиска наиболее сильное влияние на излучение и прием ультразвука будут иметь колебания, образованные продольными волнами. Для нахождения ультразвукового поля воспользуемся стандартным решением волнового уравнения в цилиндрической системе координат для волн, распространяющихся в возбуждаемой пьезопластине, соответствующее колебательное смещение в которой обозначим щ, приемной пьезопластине (колебательное смещение щ) и слое жидкости (колебательное смещение и2): где волновые числа &2 = к] - v2„, I a1,k] = &02 - v]n la2 определяют собственные частоты колебаний излучающей и приемной пьезопластин, к0,к - волновые числа для пьезопластины и жидкости, соответственно, v0„,v0m - корни функции Бесселя нулевого порядка; р2=2-а2, а- независимая переменная, /(a) - функция распределения амплитуды радиальных волн, определяемая из граничных условий; An,Bn,Em,Fm,C(r,z) и D(r,z)- величины, связанные с амплитудами волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси z. В граничные условия (3.1.1) для смещения частиц излучающей пьезопластины с учетом того, что радиус электрода может быть меньше радиуса пьезопластины, необходимо включить следующее требование: где Dx - индукция электрического поля в излучающей пьезопластине, а{-радиус электрода излучающей пьезопластины.
Дополнительные граничные условия, которым должны удовлетворять решения (3.2.1)-(3.2.4), будут иметь вид: где Тх,Тг - упругие напряжения в излучающей и приемной пластинах, величина Т2 =c2D(dn2/dz) определяет звуковое давление в жидкости, с2 =рс22, р, с2 - плотность и скорость звука в жидкой среде, соответственно. Учитывая граничные условия (3.2.6)-(3.2.11), можно определить неизвестные коэффициенты An,Bn,Em,Fm,C(r,z) и D(r,z), определяющие амплитуды волн в каждой среде. Подставим выражение (3.2.1) в формулу (3.2.6), затем умножим обе части полученного равенства на (r/a2)J0\y0mr/a2J и проинтегрируем его по г от 0 до а. С учетом свойства ортогональности функций Бесселя получим: где введено обозначение Подставляя (3.2.1) в (3.2.7) и (3.2.8), найдем второе уравнение для коэффициентов Ап,Вп, которое вместе с (3.2.12) дает Выражение для смещения частиц излучающей пьезопластины щ принимает вид: Используя граничное условие (3.2.7), определим амплитуду для и1х на границе z = 0: Запишем граничное условие для z = 0 со стороны жидкости согласно (3.1.1) в следующем виде: Применяя к выражению (3.2.2) интегральные преобразования Ханкеля с учетом условия (3.2.16) и вычислив известный интеграл для функций Бесселя, получим Отсюда следует выражение для и2 \ согласно (3.2.4): Данное выражение описывает дифракционое поле, создаваемое колеблющейся пьезопластиной. Используя граничное условие (3.2.9)-(3.2.11), найдем выражения для Em,Fm. Подставим формулы (3.2.3), (3.2.4) в равенства (3.2.9)-(3.2.11), а затем, предварительно умножив полученные выражения на (r/a2)J0\v0mr/a2J, проинтегрируем по г от 0 до а. В результате для смещения частиц приемной пьезопластины будем иметь:
Исследование влияния диаметра электродов пьезопластин на амплитудно-частотную характеристику нелинейного резонатора
Для акустического резонатора спектральная плотность частот и ширина резонансных пиков пропорциональна квадрату частоты. При повышении рабочей частоты происходит слияние резонансных пиков, что делает измерение ширины пиков невозможным. Это существенно ограничивает предел частотного диапазона или приводит к значительным ошибкам при измерениях акустических параметров исследуемых сред. В настоящем разделе проводится исследование влияния условий возбуждений и регистрации колебаний резонатора на его метрологические характеристики. Рассмотрим ультразвуковой резонатор, состоящий из двух плоских пьезопластин, пространство между которыми заполнено исследуемым веществом. Одна из пьезопластин является возбуждаемой, а другая - приемной. Пусть а - радиус пьезопластин, d - их толщина, 2L - расстояние между ними. Возбуждение и прием колебаний осуществляется при помощи электродов, на которые подается переменное электрическое поле. Поставим краевую задачу для колебательной скорости стоячей волны v{r,z,t) в таком резонаторе. Условия на внутренних границах пьезопластин имеют вид: где ах - радиус электрода излучающей пьезопластины. Решение волнового уравнения для колебательной скорости в первом приближении представляется следующим образом: Для нахождения Сп1 и Сп2 умножим выражение (4.3.3) на где / = (1,2) - индекс, характеризующий порядок приближения, M,(,)(r,z), T l){r,z) - смещение и упругое напряжение в приемной пьезопластине, u (r,z), T \r,z) - смещение и давление в жидкости, u (r,z), TJ \r,z) смещение и упругое напряжение в возбуждаемой пьезопластине.
Подставляя выражения для смещений и упругих напряжений в первом (4.2.19-21), (4.2.22-24) и втором (4.2.38-40), (4.2.41-43) приближениях в граничные условия (4.3.10-15), получим две системы уравнений относительно неизвестных, связанных с амплитудами волн первой и второй гармоник. Умножая каждое уравнение системы на /2 о v и интегрируя полученные ра / а \ /а) венства по г от нуля до оо, получаем следующие алгебраические системы где 6 = isk2s/2a2 , у = c2 k2/cl kx . Решим каждую такую систему. Подставляя полученные выражения для постоянных Аи, Ви, Съ, Gu в равенства для амплитуд волн первой и второй гармоник (4.2.19), (4.2.37) и дифференцируя их по переменной z, получаем амплитуды деформации в приемной пьезопластине где соответствующие выражения для Ат, Sm, R\m, i?2m можно найти в комментариях к формулам (4.2.38) и (4.2.44). Амплитуду электрического напряжения первой и второй гармоник, снимаемого с приемной пьезопластины, определим с помощью соотношения ,(г) = -ha\l) (І = 1,2) по формуле где а2 - радиус электрода приемной пьезопластины. Подставляя в нее выражение для a\l), а также E\I) , приходим к следующему результату: Первые члены суммы в формулах (4.3.18) и (4.3.19) соответствуют вкладу в выходной сигнал, даваемый основными резонансными пиками, а остальные члены - соответствующих сателлитов. Анализ выражений (4.3.18), (4.3.19) показывает, что при а = ах и а = а2 все сателлиты имеют одинаковую по знаку амплитуду с соответствующими основными пиками. Однако с уменьшением а12 функция Бесселя J\{vona 2/a) от максимального значения стремиться к нулю и имеет в дальнейшем знакопеременное поведение. При этом вклады различные сателлитов в результирующую амплитуду становится так же знакопеременным, а значит, их влияние может компенсироваться.
Нули функции Бесселя J\{v0nal2/a) соответствуют условиям: где У\р — р- ый корень функции Бесселя 1-го порядка, р = \,2,...,п-\. При выполнении условия (4.3.20) вклады р- го сателлита становятся равными нулю. Следовательно, подбирая диаметр электрода можно исключить влияние любого сателлита и уменьшить погрешность измерений, связанную с сателлитами, в результате чего она становиться меньше, чем обычная погрешность измерений резонатора. Ультразвуковые резонаторы с вогнутыми пьезопреобразователями [99-101], [102-105] получили широкое распространение для исследования акустических параметров жидких сред. По сравнению с резонаторами, исследующими плоские пьезопластины, они имеют на порядок большую добротность колебаний на низких частотах рабочего диапазона и исследование их физических основ имеет важное значение для дальнейшего развития ультразвуковой техники.
