Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих подходов к задаче рассеяния радиоволн на шероховатых поверхностях 10
1.1. Рассеяние радиоволн хаотически неровной поверхностью без растительности 11
1.2. Модель с фрактальными высотами неровностей 20
1.3. Радиолокационные рассеивающие характеристики в модели с фрактальными высотами неровностей 22
1.4. Модель с фрактальными наклонами неровностей 23
1.5. Фрактоидная модель рассеяния волн 23
1.6. Обобщённое рэлеевское решение задачи рассеяния волн фрактальной поверхностью 24
1.7. Индикатрисы рассеяния фрактальных поверхностей в приближении Кирхгофа 27
1.7.1. Моделирование фрактальных поверхностей 27
1.7.2. Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров 28
1.7.3. Индикатрисы рассеяния 30
1.7.4. Особенности рассеяния плоской волны 32
1.7.5. Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью 34
1.8. Рассеяние импульсов фрактальной поверхностью 35
1.9. Дополнительные замечания, другие подходы 36
2. Фрактальная поверхность 40
2.1. Фрактальная модель двумерной хаотической поверхности 40
2.2. Соотношения между статистическими параметрами шероховатости и параметрами фрактальной поверхности 40
3. Фрактальная модель рассеяния и индикатрисы 43
3.1. Модель рассеяния 43
3.2. Усреднённое поле рассеяния 45
3.3. Индикатриса рассеяния по полю 45
3.4. Индикатриса рассеяния по усреднённой интенсивности 46
3.5. Приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране 47
3.6. Результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ—диапазоне 49
4. Поле рассеяния 51
4.1. Поле рассеяния 51
4.2. Частотная функция когерентности 52
Заключение 55
Список цитируемой литературы 57
Приложение 66
- Модель с фрактальными высотами неровностей
- Обобщённое рэлеевское решение задачи рассеяния волн фрактальной поверхностью
- Дополнительные замечания, другие подходы
- Индикатриса рассеяния по полю
Введение к работе
Актуальность темы
При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн - от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это — увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации.
В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (MB) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) [5, 6, 162]. Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т.е. совокупность мелкой ряби (расчет методом MB) и крупных неровностей (расчет на основе МКП).
Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. В.А. Котелышкова РАН, можно уверенно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра. Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ - диапазоне.
Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д.ф.-м.н. А.А. Потаповым, начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург).
К настоящему времени большое количество работ иностранных авторов посвящено взаимодействию волн с фрактальными структурами. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей множества масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия "лучевая траектория" и "эффекты геометрической оптики". Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят "топотезу" фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным.
С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) — Модель с фрактальными наклонами неровностей. Таким образом, модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия "луча".
Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. [164] и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности.
Цель и задачи исследования
Анализ литературных источников показал, что тема диссертации является, несомненно, актуальной, а исследования в данном направлении проведены исключительно иностранными авторами. Необходимо отметить, что на данный момент в ИРЭ им. В.А Котельникова РАН под руководством д.ф.-м.н. А.А.Потапова ведутся интенсивные исследования по радиофизическим применениям теории фракталов, скейлинговых эффектов и дробных операторов. Таким образом, целью исследования было численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения и описании фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W(x,y) с расчётом индикатрис рассеяния для широкого спектра различных фрактальных поверхностей:
Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа.
Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W(x,y) и переход к диапазонно ограниченной функции Wn(x,y) для практических расчетов.
Расчёт индикатрис рассеяния g(6i, 9г) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см.
Научная новизна работы
Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики -исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. [186]. После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью.
Практическая значимость работы
Практическая значимость работы связана с более точным описанием процессов рассеяния при учёте фрактальных характеристик земных покровов. Учёт фрактальности земных покровов позволяет более точно и доказательно интерпретировать экспериментальные данные по рассеянию радиоволн. Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению современных радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблем мониторинга сред на различных пространственно - временных масштабах.
Положения, выносимые на защиту
Численно решены задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа.
Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса W(x,y). Так как в реальных расчётах использование педифференцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение W(x,y) диапазонно ограниченной функцией }н(х,у).
Численный расчёт соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности.
Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (Q\, О2) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности D, стремящейся к целочисленной, полученные значения приближаются к классическим.
Составлен обширный каталог разнообразных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн А, - 2,2 мм; А, -8,6 мм и X = 3,0 см.
Фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния.
7. Физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные
поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении
фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: Ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А, Котельникова РАН, 2007 и 2008 гг.);
Четвертая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007 г.);
XI Международный молодежный форум "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 2007 г.);
І* XIII и XV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация,
навигация, связь" (Воронеж, 2007 и 2009 гг.); *1* XV Международная студенческая школа - семинар "Новые информационные
технологии" (Крым, Судак, 2007 гг.);
Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Россия, Таганрог, 2007 г.);
XI Всероссийская школа-семинар в МГУ "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008 г.);
*l* VII Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения А.С. Попова (Россия, Самара, 2008 г.);
*t* 9-я Международная научно-техническая конференция "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций - ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 2008 г.);
Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK, 2007); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, 2008);
3rd European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Germany, Berlin, 2009);
2nd International Conference (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 2009).
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с известными в литературе данными, а также согласованностью результатов численного моделирования и экспериментальных исследований с результатами теоретического анализа.
Личный вклад автора заключается в следующем:
применение фрактальных методов для решения задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями при малых углах падения 0;
численное получение соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности с рельефом в виде недифференцируемой функцией Вейерштрасса;
численный расчет индикатрис рассеяния g(Q\, 62) на длинах волн 1 = 2,2 мм; X -8,6 мм и X = 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка. Она изложена на ПО страницах, включая 109 рисунков и библиографию из 186 наименований.
В первой главе рассмотрено развитие выбранного научного направления, а также его современный уровень и проблемы, которые стоят перед фрактальной радиофизикой. Приведён обзор существующих работ по рассеянию СМВ и ММВ радиоволн на фрактальных поверхностях. Поставлены цели работы.
Вторая глава посвящена моделированию фрактальной поверхности с помощью двумерной диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса. В первом разделе приводится сама функция поверхности и её графические реализации, а во втором разделе устанавливается связь классических статистических параметров поверхности с фрактальными параметрами.
В третьей главе рассматривается рассеяние радиоволн миллиметрового и сантиметрового диапазонов на построенных фрактальных поверхностях. Для расчётов параметров рассеяния используется приближение Кирхгофа. В первом разделе приведена модель рассеяния и общие формулы для расчёта для поля рассеяния. Во втором разделе приводится формула для усреднённого поля рассеяния. В третьем разделе описывается индикатриса рассеяния по полю. В четвёртом разделе приводятся
соотношения для индикатрис рассеяния по усреднённой интенсивности. В пятом разделе обсуждается приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране. В шестом разделе приведены результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ — диапазоне.
Четвёртая глава посвящена исследованию поведения поля рассеяния радиоволн на одномерных фрактальных поверхностях, а также здесь вводится понятие частотной функции когерентности.
В Заключении приведены основные результаты работы и показано их соответствие поставленным целям.
В Приложении размещены обширные примеры рассеивающих фрактальных поверхностей, индикатрисы рассеяния ММВ и СМВ.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 19 работ: 3 статьи в журнале, рекомендованном ВАК; 1 статья в журнале; 15 докладов на международных конференциях.
Статьи в научных журналах:
Лактюнькин А.В. Моделирование фрактальных недифференцируемых поверхностей и процессов рассеяния ими электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 5. С. 286 -287.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 1. С. 3 — 36.
Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Зависимость процессов рассеяния волн от статистических параметров классических и фрактальных шероховатых поверхностей // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 4. С. 231 - 233.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Динамика сложных систем. 2009. Т. 3, №1. С.25-29.
Труды конференций:
Потапов А.А., Лактюнькин А.В., Корешков Д.В. Индикатрисы рассеяния электромагнитных волн фрактальной поверхностью, синтезированной на основе модификаций недифференцируемой функции Вейерштрасса // Труды Четвертой Всероссийской конф. "Необратимые процессы в природе и технике" (29 - 31 января 2007 г.).- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007. Часть I.C. 40-43.
Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Синтез фрактальных поверхностей на основе приближений недифференцируемой функции Вейерштрасса и фрактальные индикатрисы рассеяния электромагнитного излучения // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 10-12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 245 - 246.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Об индикатрисах рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн стохастической фрактальной анизотропной поверхностью // Сб. докладов XIII Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17-19 апреля 2007 г.).- Воронеж: НПФ "Саквоее", 2007. Т. III. С. 1770 - 1833.
Potapov А.А., Laktyunkin А. V. On the Indicatrixes of Wave Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface // Proc. XIII Int. Scientific - Research Conf. "Radiolocation, Navigation, Communication" (Russia, Voronezh, 17-19 April 2007).-Voronezh: NPF "Sakvoee", 2007. P. 86 - 147.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Рассеяние радиоволн фрактальными поверхностями, синтезированными на основе недифференцируемых функций с различной дробной размерностью // Тез. докл. XV Междунар. студенческой школы -семинара"Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 20 - 27 мая 2007 г.).- М.: МИЭМ, 2007. С. 98 - 99.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. О статистических свойствах поля, рассеянного фрактальной шероховатой поверхностью //Труды Междунар. науч. конф. «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Таганрог, 25 - 30 июня 2007 г.).- Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2007. Т. 1. С. 435 - 440.
Potapov А.А., Laktyunkin А. V. Microwaves Scattering on Fractal Surfaces as a New Line of Investigations // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (11 - 16 November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. MoPP.016. pdf. 6 pp.
Potapov A.A., Matveev E.N., Potapov V.A., Laktyunkin A.V. Mathematical and Physics Modelling of Fractal Antennas and fractal frequency Selective Surfaces and Volumes for the Fractal Radio Systems // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (11-16 November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031. pdf. 6 pp.
Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО, 26 -31 мая 2008 г.).- М.: Изд. МГУ, 2008. Ч. 3. С. 68-70.
Laktyunkin A.V., Potapov А.А. Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Proc. XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7-16 August 2008).- Chicago: University of Illinois at Chicago, 2008. BP16.1(228). pdf. 4 pp. ().
Потапов A.A., Лактюнькин А.В. Рассеяние волн на фракталах // Тез. докл. VII междунар. НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения А.С. Попова (Самара, 15 - 21 сентября 2008 г.). - Самара: Гос. ун-т, 2008. С. 304 - 307.
Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Зависимость модуля поля рассеяния радиоволн от параметров фрактальной поверхности // Тез. докл. 9-й Междунар. НТК "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций — ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 — 27 ноября 2008 г.).- Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008. С. 389 - 392.
Laktyunkin A.V., Potapov А.А. Radio Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Program 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (23 - 27 March 2009, Berlin, Germany).- Berlin: EurAAP, 2009. P. 24. (.
Потапов A.A., Лактюнькин А.В. Частотные и энергетические характеристики радиоволн, рассеянных на фрактальных поверхностях // Сб. докладов,XV Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 14-16 апреля 2009 г.).- Воронеж: НПФ "Саквоее", 2009. Т. I. С. 579 - 590.
Laktyunkin А. К, Potapov А.А. Frequency and Spatial Features of Waves Scattering on Fractals // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (1-5 June 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 40. ().
Модель с фрактальными высотами неровностей
При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн - от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это — увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации. В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (MB) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) [5, 6, 162]. Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т.е. совокупность мелкой ряби (расчет методом MB) и крупных неровностей (расчет на основе МКП). Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты.
Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. В.А. Котелышкова РАН, можно уверенно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра. Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ - диапазоне. Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д.ф.-м.н. А.А. Потаповым, начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург). К настоящему времени большое количество работ иностранных авторов посвящено взаимодействию волн с фрактальными структурами. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей множества масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия "лучевая траектория" и "эффекты геометрической оптики". Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят "топотезу" фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным. С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) — Модель с фрактальными наклонами неровностей. Таким образом, модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия "луча". Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. [164] и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности. Анализ литературных источников показал, что тема диссертации является, несомненно, актуальной, а исследования в данном направлении проведены исключительно иностранными авторами. Необходимо отметить, что на данный момент в ИРЭ им. В.А Котельникова РАН под руководством д.ф.-м.н. А.А.Потапова ведутся интенсивные исследования по радиофизическим применениям теории фракталов, скейлинговых эффектов и дробных операторов. Таким образом, целью исследования было численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения и описании фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W(x,y) с расчётом индикатрис рассеяния для широкого спектра различных фрактальных поверхностей: Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа. Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W(x,y) и переход к диапазонно ограниченной функции Wn(x,y) для практических расчетов. Расчёт индикатрис рассеяния g(6i, 9г) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей. Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см. исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. [186]. После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью. Практическая значимость работы связана с более точным описанием процессов рассеяния при учёте фрактальных характеристик земных покровов. Учёт фрактальности земных покровов позволяет более точно и доказательно интерпретировать экспериментальные данные по рассеянию радиоволн.
Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению современных радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблем мониторинга сред на различных пространственно - временных масштабах. 1. Численно решены задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа. 2. Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса W(x,y). Так как в реальных расчётах использование педифференцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение W(x,y) диапазонно ограниченной функцией }н(х,у). 3. Численный расчёт соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности. 4. Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (Q\, О2) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности D, стремящейся к целочисленной, полученные значения приближаются к классическим. 5. Составлен обширный каталог разнообразных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн А, - 2,2 мм; А, -8,6 мм и X = 3,0 см. 6. Фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния. 7. Физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра. Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: Ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А, Котельникова РАН, 2007 и 2008 гг.); ? Четвертая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007 г.); ? XI Международный молодежный форум "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 2007 г.); І XIII и XV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 2007 и 2009 гг.); 1 XV Международная студенческая школа - семинар "Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 2007 гг.); ? Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Россия, Таганрог, 2007 г.); ? XI Всероссийская школа-семинар в МГУ "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008 г.);
Обобщённое рэлеевское решение задачи рассеяния волн фрактальной поверхностью
В работах [132, 133], исходя из принципов масштабной инвариантности задач классической фотометрии (случай геометрической оптики), предложен универсальный метод нахождения фотометрических функций регулярных и случайных субфрактальных структур на основе фрактоидной модели рассеяния. Данные структуры могут служить неплохими моделями для описания как антропогенных, так и природных объектов, например, земных ландшафтов и небесных тел. Обычно предполагаемая стохастичность структуры поверхности - важное обстоятельство, приближающее модель к реальности, но и оно не в полной мере отражает сложность задач рассеяния. Случайный рельеф соответствует скорее иерархическому принципу и обладает определённым самоподобием при различных масштабах его представления. Для моделирования этого фактора в [132] вводятся в рассмотрение математические объекты, называемые фрактоидами. Фрактоид -математический объект, тесно связанный с фракталами. Обычно в физике используют физические фракталы, или субфракталы. Для их описания применяют параметр ц — количество генераций образующей структуры. При /и — х субфрактал переходит во фрактал. Фрактоидами являются самоподобные структуры, имеющие бесконечное число характерных масштабов, но при этом сохраняющие равенство топологической D0n фрактальной D размерностей, т.е. для фрактоидов D = D0 даже при // -» о. Это свойство отличает фрактоиды от фракталов. По аналогии субфрактоид определяется как структура, переходящая во фрактоид при /л — оо. С точки зрения второго определения фракталов, данного Мандельбротом, фрактоид является частным случаем фрактала, но с точки зрения первого определения фракталов, фрактоид - это математический объект другого рода. 1.6. Обобщённое рэлеевское решение задачи рассеяния волн фрактальной поверхностью В качестве традиционных математических моделей неровных поверхностей ранее раздельно применялись детерминированные и случайные функции [5, 10,118].
Развитие фрактальной геометрии даёт новое средство для систематического исследования неровных структур, так как фракталы учитывают различные пространственные масштабы и могут быть непосредственно использованы при описании и детерминированных, и случайных функций или их комбинаций. Физика волнового взаимодействия с периодической средой или структурой хорошо описывается брэгговским условием в виде закона сохранения момента между волновыми векторами падающей и дифрагированной волны, с учётом пространственного волнового вектора структурных гармоник. Метод Рэлея использует эти условия при рассеянии волн периодическими структурами. В работе [134] предпринято обобщение метода Рэлея для исследования задачи рассеяния от почти периодических поверхностей, включая фрактальные. Рассеивающая поверхность моделировалась диапазонно ограниченной непрерывной фрактальной функцией неровностей J{x), являющейся модифицированной функцией Вейерштрасса W(i), свойства которой подробно исследованы в [135]. Данная функция имеет конечный диапазон пространственных частот и проявляет свойство самоподобия в пределах конечного диапазона разрешения: где С - коэффициент контроля амплитуды; N - число гармоник (тонов); а-коэффициент масштаба неровностей (0 а 1); К — основное пространственное волновое число; Ъ 1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; рп -произвольная фаза. Коэффициент контроля амплитуды c = 2N 2(1- a2) 1-а использованы и другие периодические функции. Для функции (1.17) можно ввести несколько фрактальных размерностей, потому что она самоафинна. В общем случае фрактальная размерность функции Вейерштрасса [135] D = 2 + loga/\ogb Для точного описания формы неровностей в [134] используется фрактальная размерность в виде: D = \ + a (1.19) При D = 1 имеем гладкую периодическую кривую. С увеличением D(D 2) получаем различные хаотические кривые. Следовательно, D определяет в функции дх) меру поверхностных неровностей. Геометрия рассеяния падающей плоской волны Et = exp(zk г) на одномерной неровной, идеально проводящей фрактальной вдоль оси х поверхности представлена на рис. 4. Индексы і и s относятся к падающей и рассеянной волнам с волновыми векторами соответственно к, и ks. Одномерная квазипериодическая поверхность описывается уравнением
Здесь параметр h контролирует среднеквадратическое значение неровностей. Поле рассеяния Es в плоскости {х, z) может быть записано в форме рэлеевского обобщения где суммирование проводится по всем комбинациям пх,п2,...,пм [10].
Волновой вектор рассеяния имеет вид с углами дифракции в„п п , определяемыми из условия І 2 " М Выражение (1.21) представляет операцию суммирования всех возможных брэгговских взаимодействий между падающей и рассеянной волнами от квазипериодической поверхности. Здесь каждое взаимодействие характеризуется разными комбинациями структурных гармоник. Отметим, что доминантными взаимодействиями являются взаимодействия первого порядка, т.е. только одна из пх,п2,...,пм переменных имеет единичную величину (+1 или -1), тогда как остальные зануляются. Таким образом, в [134] показано, что обобщённый рэлеевский метод физически обоснован для решения задач рассеяния волн квазипериодическими и фрактальными поверхностями. Решение представлено в виде бесконечномерной линейной системы уравнений, которая быстро сходится при малых ка. Фрактальная размерность неровностей в логарифмическом масштабе линейно зависит от наклона, связанного с пространственными частотами. Отношение % = ЯIА и угол падения 6, определяют направление рассеянного луча. От параметра пространственно-частотного масштабирования b зависит угловое распределение интенсивности рассеяния. Относительные фазы (рт пространственных гармоник определяют фазы полей рассеяния, но не влияют на амплитуды Л. Далее будем рассматривать подход на основе приближения Кирхгофа. В методе Кирхгофа используется крупномасштабность р/Л»1, плавность а0/Я»\, пологость v /) «І- Здесь р - радиус корреляции неровностей; ай = 1 + ( ) j /"— локальный радиус кривизны, \\Т/] - среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей (штрихи означают порядок производной) [118]. Обобщённое рэлеевское рассеяние обладает быстрой сходимостью при малых высотах неровностей. Для него нет ограничений на радиус корреляции неровностей. Результаты рассеяния устойчивы в области перекрытия, где применимо как приближение Рэлея, так и приближение Кирхгофа. Объединённые вместе, они дают дополняющие друг друга методы решения задачи рассеяния волн многомасштабными неровностями. В общем случае величина D определяет угловое распределение энергии. Энергия рассеянного поля концентрируется в зеркальном направлении при малых D и диффузно распределена для больших значений фрактальной размерности неровностей.
Дополнительные замечания, другие подходы
Исключительно интересным с точки зрения обнаружения новых эффектов может быть рассмотрение вопросов рассеяния модулированной волны фрактальной поверхностью. Работа [142] - единственная в этом направлении. Фрактальная рассеивающая поверхность моделировалась как фрактал размерностью в диапазоне 2 -3. Это означает, что неровности настолько экстремальны, что конечная область поверхности имеет бесконечную площадь, но нулевой объём. В [122] для волн, падающих на фрактальный экран, рассматривался новый режим волновой теории, характеризующейся тем, что приближение геометрической оптики никогда не выполняется. Для фракталов коротковолновый предел характеризуется D-зависимьши волновыми свойствами, т.е. скейлингом. Средняя мощность / (т) сигнала, рассеянного фрактальной случайной поверхностью, имеет форму, значительно отличающуюся от формы сигнала, рассеянного классической поверхностью [118, 143-151]. Более того, в слабофрактальном случае и параксиальном приближении форма "хвоста" отражённого сигнала описывается степенным законом, зависящим от фрактальной размерности поверхности, и инвариантна её типу. В сочетании с данными экспериментов по дистанционному зондированию данная теория может быть использована для нахождения фрактальных размерностей неровных поверхностей естественного происхождения, которые хорошо описываются случайными фракталами. При этом следует также учитывать эффекты поляризации, изменяющиеся удельные ЭПР ландшафтов [118, 152, 153] и расширенный угловой диапазон измерений. Рассеяние электромагнитных волн на фрактальных поверхностях детально исследовалось в [122, 134, 135, 136, 141, 142]. В работе [122] показано, что дифракция на фрактальных поверхностях принципиально отличается от дифракции на традиционных случайных поверхностях, а некоторые классические статистические параметры, такие как длина корреляции и среднеквадратичное отклонение, стремятся к бесконечности. Это объясняется самоподобием фрактальной поверхности. В работе [172] была применена частотно-ограниченная функция Вейерштрасса, на которую налагалось меньше ограничений, чем на функции, изучаемые в [122]. Предложенная функция обладала как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных на отдельно взятом рассматриваемом диапазоне. Это смягчение условий использования функции Вейерштрасса позволило выполнить аналитические и численные расчеты.
В большинстве работ по рассеянию на шероховатых поверхностях используются, как уже было сказано, метод возмущений и метод Кирхгофа. Укажем также на другие подходы к проблеме, основываясь в первую очередь на работе [5]. 1. Рассеяние электромагнитных волн отличается от скалярного случая только учётом поляризации. Для первичной волны, заданной в приближении геометрической оптики, вывод динамических соотношений в принципе не отличается от скалярной задачи, но выкладки становятся более громоздкими, поскольку приходится применять векторный вариант формулы Грина. Кроме того, при расчётах по методу Кирхгофа необходимо учитывать различие локальных френелевских коэффициентов отражения для двух ортогональных поляризаций поля падающей волны. Наиболее простые формулы получаются при рассеянии на идеально проводящей поверхности. 2. Учёт затенений в методе Кирхгофа. С увеличением высоты неровностей и с уменьшением угла скольжения рано или поздно начинается затенение отдельных элементов поверхности: часть шероховатой поверхности оказывается неосвещённой (рис. 10), а часть освещенных участков не будет видна из точки наблюдения. Нетрудно оценить диапазон углов скольжения ц/, в котором ещё можно не учитывать эффект затенения: очевидно, если 1 - размер неровностей, а т4 - их среднеквадратичная высота, то затенениями можно пренебречь и при условии у/ » Рис. 10. Геометрия рассеяния при затенении. Вследствие затенений отдельных элементов поверхности происходит уменьшение сечения рассеяния ст. Величина фактора ослабления определяется отношением площади освещенной части поверхности к полной поверхности, причём освещенные участки можно вьщелить, исходя из простых геометрических соображений: на освещенных участках падающий луч пересекает неровную поверхность один раз, тогда как затенённым участкам отвечает трёх-, пяти- и т.д. кратное пересечение. Таким образом, дело сводится к нахождению вероятности того, что луч пересечёт заданную случайную поверхность только один раз. Несмотря на простоту постановки задачи, её решение оказывается довольно сложным. Результаты исследований этого вопроса (и ряда других аспектов проблемы) суммированы в книге [5]. 3. Рассеяние при наложении мелкомасштабных и крупномасштабных неровностей (комбинированный подход). Реальные поверхности часто содержат как мелкие Ш «1, так и крупные кЦ »1 неровности. Такие поверхности можно рассматривать как крупномасштабные образования, на которые наложена мелкая рябь ("шероховатый рельеф"). В то время как у крупных неровностей диаграмма рассеяния сравнительно узкая, мелкие неровности рассеивают практически во все стороны и их влияние в направлении зеркального луча пренебрежимо мало. Но под малыми углами скольжения рассеяние обусловлено именно мелкомасштабной компонентой.
Она же определяет форму спектра рассеянного поля в направлениях, не совпадающих с зеркально отражённым лучом. Эти и некоторые другие соображения позволяют качественно объяснить ряд экспериментальных данных, в частности, особенности рассеяния на взволнованной морской поверхности. Однако теоретический анализ рассеяния волн на поверхности типа "шероховатый рельеф" наталкивается на определённые трудности: исследование здесь не может быть проведено ни методом возмущений (поскольку высота крупных неровностей не мала), ни методом Кирхгофа (поскольку имеется мелкомасштабная компонента). Б.Ф. Курьянов [86] предложил комбинированный метод расчёта, в котором в качестве нулевого приближения взято Кирхгофово решение, отвечающее плавным крупномасштабным неровностям, а влияние мелкой ряби учтено в первом порядке теории возмущений, причём оба типа неровностей считаются статистически независимыми. Этот метод был развит в дальнейшем в работах [156, 157]. Несколько иной подход применён в [89, 90], где использована формула сложения интенсивностей полей, рассеянных мелкомасштабными неровностями. Возможности комбинированного подхода ограничены двумя условиями: во-первых, результаты расчёта не должны зависеть от способа разбиения отклонения ( ) на независимые части, и, во-вторых, должны выполняться условия применимости метода возмущений для расчёта рассеяния на мелкомасштабной компоненте. Оказывается, что эти требования удовлетворяются не для всех видов волнения [5]. 4. Учёт многократного рассеяния. Как в методе Кирхгофа, так и в методе малых возмущений (если ограничиться первым приближением) рассматриваются только однократно рассеянные (или однократно отражённые) поля. Это допустимо, пока неровности достаточно пологи и сравнительно невысоки. С ростом высоты неровностей а. и (или) с увеличением их наклона а // необходимо учитывать многократное рассеяние волн. Учёт многократного рассеяния удобно осуществить на основе интегрального уравнения для функции Грина [5]. Если линеаризовать интегральное уравнение по возмущению , то из него можно вывести уравнение Дайсона для средней функции G( Грина (G) И уравнение Бете-Солпитера для функции когерентности r15r0)G (r2,r0)). Оба уравнения можно далее решить приближённо, первое - в приближении Буре, а второе - в лестничном приближении. Как и в случае объёмного рассеяния, эти способы решения указанных уравнений эквивалентны приближённому (частичному) суммированию бесконечного ряда теории возмущений.
Описанный подход оказался весьма эффективным при решении ряда задач, в частности при рассмотрении волноводов с шероховатыми стенками. Здесь удаётся вычислить коэффициенты затухания нормальных волн, коэффициенты трансформации из одной моды в другую и вывести уравнение переноса излучения в волноводе, учитывающее взаимную трансформацию волн [5]. Кроме того, при учёте многократного рассеяния можно обосновать и уточнить так называемые "нелокальные" граничные условия для среднего поля, которые были ранее выведены иным способом [5]. 5. Крутые неровности. Несмотря на значительные успехи теории рассеяния волн на плавных шероховатых поверхностях, трудной задачей остаётся случай рассеяния на плавных, но крутых неровностях, к которому нельзя подойти при помощи существующих приближённых методов. Вполне естественны, поэтому, попытки модельного описания подобных неровностей - либо в виде хаотически разбросанных по плоскости полусфер, полуцилиндров и т.д. (типичная модель такого рода описана, например, в [158]), либо в виде плоских площадок со случайным распределением наклонов. Вторая модель широко используется , в частности, в оптических расчётах отражения света как при помощи метода геометрической оптики [159, 160], так и с поправками на дифракцию, которая учитывается введением индикатрис рассеяния элементарных площадок [161]. Модельному описанию присущи, по крайней мере, два недостатка. Во-первых, область применимости результатов, полученных при помощи конкретных моделей, сильно ограничена. Во-вторых, погрешности результатов, возникающие из-за упрощающих предположений при расчётах, с трудом поддаются оценке. Тем не менее, к модельному описанию крутых неровностей прибегают довольно часто — просто в силу отсутствия более общих методов. Более того, иногда прибегают к моделированию не формы поверхности, а самого закона рассеяния, то есть функции т(в, ф) . Наиболее известной моделью такого рода является закон Ламберта, согласно которому сг(0) = const - cos в. Этот простой закон, однако, принадлежит к числу наименее обоснованных - как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения.
Индикатриса рассеяния по полю
Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения А.С. Попова (Россия, Самара, 2008 г.); t 9-я Международная научно-техническая конференция "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций - ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 2008 г.); Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK, 2007); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, 2008); 3rd European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Germany, Berlin, 2009); 2nd International Conference (CHAOS 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 2009). Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с известными в литературе данными, а также согласованностью результатов численного моделирования и экспериментальных исследований с результатами теоретического анализа. Личный вклад автора заключается в следующем: применение фрактальных методов для решения задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями при малых углах падения 0; численное получение соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности с рельефом в виде недифференцируемой функцией Вейерштрасса; численный расчет индикатрис рассеяния g(Q\, 62) на длинах волн 1 = 2,2 мм; X -8,6 мм и X = 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей. Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций. Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка. Она изложена на ПО страницах, включая 109 рисунков и библиографию из 186 наименований. В первой главе рассмотрено развитие выбранного научного направления, а также его современный уровень и проблемы, которые стоят перед фрактальной радиофизикой.
Приведён обзор существующих работ по рассеянию СМВ и ММВ радиоволн на фрактальных поверхностях. Поставлены цели работы. Вторая глава посвящена моделированию фрактальной поверхности с помощью двумерной диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса. В первом разделе приводится сама функция поверхности и её графические реализации, а во втором разделе устанавливается связь классических статистических параметров поверхности с фрактальными параметрами. В третьей главе рассматривается рассеяние радиоволн миллиметрового и сантиметрового диапазонов на построенных фрактальных поверхностях. Для расчётов параметров рассеяния используется приближение Кирхгофа. В первом разделе приведена модель рассеяния и общие формулы для расчёта для поля рассеяния. Во втором разделе приводится формула для усреднённого поля рассеяния. В третьем разделе описывается индикатриса рассеяния по полю. В четвёртом разделе приводятся соотношения для индикатрис рассеяния по усреднённой интенсивности. В пятом разделе обсуждается приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране. В шестом разделе приведены результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ — диапазоне. Четвёртая глава посвящена исследованию поведения поля рассеяния радиоволн на одномерных фрактальных поверхностях, а также здесь вводится понятие частотной функции когерентности. В Заключении приведены основные результаты работы и показано их соответствие поставленным целям. В Приложении размещены обширные примеры рассеивающих фрактальных поверхностей, индикатрисы рассеяния ММВ и СМВ. Публикации По теме диссертации опубликовано 19 работ: 3 статьи в журнале, рекомендованном ВАК; 1 статья в журнале; 15 докладов на международных конференциях. Статьи в научных журналах: 1. Лактюнькин А.В. Моделирование фрактальных недифференцируемых поверхностей и процессов рассеяния ими электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 5. С. 286 -287. 2. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 1. С. 3 — 36. 3. Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Зависимость процессов рассеяния волн от статистических параметров классических и фрактальных шероховатых поверхностей // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 4. С. 231 - 233. 4. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Динамика сложных систем. 2009. Т. 3, №1. С.25-29. Труды конференций: 1. Потапов А.А., Лактюнькин А.В., Корешков Д.В. Индикатрисы рассеяния электромагнитных волн фрактальной поверхностью, синтезированной на основе модификаций недифференцируемой функции Вейерштрасса // Труды Четвертой Всероссийской конф. "Необратимые процессы в природе и технике" (29 - 31 января 2007 г.).- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007. Часть I.C. 40-43. 2. Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Синтез фрактальных поверхностей на основе приближений недифференцируемой функции Вейерштрасса и фрактальные индикатрисы рассеяния электромагнитного излучения // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 10-12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 245 - 246. 3. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Об индикатрисах рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн стохастической фрактальной анизотропной поверхностью // Сб. докладов XIII Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17-19 апреля 2007 г.).-
