Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Метод параболического уравнения в плавнонеоднородных средах 19
1. Вывод параболического уравнения дифракции 20
2. Метод параболического уравнения и лучевые координаты 28
3. К расширению полосы эффективности в методе параболического уравнения 43
4. Метод параболического уравнения в вол новых задачах сферически-неоднородной модельной ионосферы 51
5. Принцип подобия и полномасштабное моде лирование волновых полей методом пара болического уравнения (МПУ) 70
ГЛАВА II. Метод гауссовых пучков 7?
I. Представление гладкой функции через суперпозицию гауссовых пучков 81
2. Вывод параболического уравнения для гауссова пучка в координатах и решение полной задачи 84
3. Интегральное представление решения 91
4. Расчет поля в окрестности простой каустики методом гауссовых пучков......... 94
5. Особенности в численной реализации метода пучков в ионосфере 98
6. Численный счет (модельные задачи) 101
ГЛАВА III. Свойства конечно-разностного аналога параболического уравнения теории дифракции 106
I. Конечно-разностная аппроксимация, спектральная устойчивость 107
2. Численные оценки близости решений 114
3. Об устойчивости и сходимости конечно-разностной задачи
ГЛАВА ІV. Распространение в ионосферных волновых каналах (ивк) и механизмы захвата в них ... 121
I. Характеристики ионосферных волновых каналов и возможные способы возбуждения... 122
2. Захват на крупномасштабной неоднородности. 134
3. Захват на периодических неоднородноетях... 141
4. Численная реализация метода параболичес кого уравнения дифракции 149
5. Расчет волновых полей на больших расстояниях методом параболического уравнения... 156
ГЛАВА V. Метод Монте-Карло в статистических волновых задачах 168
I. Генераторы двумерных случайных функций.... 171
2. Методы численного определения волновых полей 183
3. Контрольный расчет дисперсии флуктуации фазы и угла прихода волны 195
4. Влияние случайных неоднородностей электронной концентрации ионосферы на напря-
женнреть поля радиоволн в области каустики 197
5. Канализация энергии волны в антиволноводном канале 200
6. Усреднение реализаций случайных волновых полей в полосе частот 205
ГЛАВА VІ. Задача нашюнноп) зондирования ионосферы с учетом механизма тепловой нелинейности 213
I. Явление захвата в рамках нелинейной геометрической оптики 214
2. Тепловой механизм нелинейного взаимо действия коротких радиоволн при на клонном распространении. 220
3. Экспериментальные исследования 226
4. Моделирование воздействия мощной волны
на ионосферу при наклонном падении 230
Заключение 237
Рисунки 238
Литература
- Метод параболического уравнения и лучевые координаты
- Вывод параболического уравнения для гауссова пучка в координатах и решение полной задачи
- Об устойчивости и сходимости конечно-разностной задачи
- Численная реализация метода параболичес кого уравнения дифракции
Метод параболического уравнения и лучевые координаты
Метод параболического уравнения в одном из своих вариантов предполагает вычисление волновых полей в координатах, совпадающих с лучами и фронтами. Они впервые были использованы Г.Д.Малюжинцем в качестве криволинейных координат, в которых исследовалось поведение параболического уравнения. Параболическое уравнение в таких лучевых координатах описывает в первом приближении эффект поперечной диффузии лучевой амплитуды из одних лучевых трубок в смежные по фронтам распространяющихся волн, что приводит к выравниванию волновых полей вдоль фронта ВОЗМУЩЕНИЯ . и, в частности, к объяснению явления отсутствия резкой геометрической тени.
Ограничимся двумерным случаем для некоторого простого поля в неоднородной среде, описываемого волновым уравнением с плавно изменяющимся от точки к точке показателем преломления a=i/S . Введем в плоскости (х,у) (см. рис Л) семейство лучей »?t и ортогональных им волновых уровней . ( j = = 12 )
Будем искать решение уравнения (2.1) в виде где U(,i2) - волновая амплитуда. В результате подстановки (2.2) в уравнение (2.1) получим: . где Н = t/n. , к=со/с , с - скорость распространения в некоторой фиксированной точке. Предполагая, что получим укороченное уравнение
Отметим, что функция U в виде (2.2) представляет частное решение дифракционной задачи, допускающее введение лучевых координат, в котором множитель e t(w к является гармонической функцией по временной и пространственной координатами главным осциллирующим множителем для UC j,y) при к—- . Однако,в большинстве задач дифракции полное поле в интересующей нас конечной области можно представить конечной суммой полей (функций вида (2.2)). Физический смысл этих решений - волны падающие, отраженные первично, вторично и т.д. от граничной области или каустик, имеющие свои подобласти существования и допускающие введение однозначной системы лучевых координат.
Проведение математического обоснования асимптотической близости решения приближенного уравнения (2.4) к решению точного уравнения (2.3) в общем случае достаточно сложно (см.1 Гл.1), а в целом классе задач невозможно.
Сформулируем необходимые критерии близости точного и приближенного решений. Критерий близости приближения вида (2.4) определяется практической применимостью геомоптики почти всюду, а поэтому важно сохранение в приближенном уравнении частотных производных
Отметим, что асимптотическая близость решения уравнения (2.4) к решению уравнения (2.3) при к- - предполагает слабое влияние на решение исключения определенных членов из уравнения (2.3), что является следствием монотонности коэффициентов H?(J,) и 4(5,7)= 1/НС. по Ї и 7 , а, следовательно, и монотонности решения Ш,7 по и j? , Нарушение монотонности Н? СС, ) и "-(.,7) по? и 7 происходит в областях фокусировок, где необходимо вести исследование специальным образом.
Тип уравнения (2.4) параболический. Это позволяет сформулировать корректную для этого уравнения задачу с начальными данными (при соответствующих граничных условиях) с целью проведения исследования широкого круга явлений эффективными численными методами на современных мини-ЭВМ.
Вычисление методом параболического уравнения дифракционных полей в неоднородной среде нуждается в предварительном нахождении лучевых координат и выраженных в этих координатах коэффициентов Ламе Н. и Н„ , входящих в уравнения (2.4) и (2.5).
Вывод параболического уравнения для гауссова пучка в координатах и решение полной задачи
Параболическое уравнение теории дифракции описывает однонаправленные (бегущие в заданном направлении) волновые поля посредством выделения быстро осциллирующего множителя в волновом поле. Поэтому параболическое уравнение и его модификации дают правильное описание поля вдоль этого направления до некоторых расстояний х . Однако в перпендикулярном направлении параболическое уравнение имеет тот же порядок точности, что и уравнение Гельмгольца. Такая высокая точность при определений волновых полей в неоднородных средах практически оказывается как бы лишней. К тому же приближенность уравнения теории дифракции вдоль одной из координат позволяет осуществить приближение по другой (перпендикулярной) координате. Ниже будет сформулирована задача с точностью до ОС і/к) по всем координатам. Однако эта новая постановка задачи позволит сформулировать наперед заданные граничные условия простейше-го вида ( игРаничное =0).
Известно, что при падении плоской волны на неоднородную среду отсутствует отраженное поле в геометрооптическом приближении. Отражение в волновом приближении существует и имеет порядок 0(i/k) .
Используя это свойство, мы можем на некоторой границе, почти совпадающей с направлением быстрой осцилляции поля, задать новую среду по одну из её сторон. Если к тому же эта новая среда будет отличаться только мнимой добавкой в показателе преломления и линейно нарастающей от границы вглубь новой среды, то коэффициент отражения от этой среды будет вида OU/K) . Действительно, используя схему построения решения, данную в 1 этой главы, и задавая на границах скачок в виде е.- + U,(H-Z6JH , легко получить при 2-zfeH» к коэф-фициент отражения IVI , 1 Ua . Здесь U„ -амплитуда па-дающей волны, 0 -величина на границе сред. Если же эта новая среда простирается лишь до некоторого расстояния от границы, то коэффициент отражения будет иметь вид: 0(І/К)+0(ЄХРС-К)). Прошедшая в слой $ волна при отражении от границы ослабнет на величину е /v sme , где Э -средняя величина угла между вектором "к и горизонтом. Выбором 8 и об. при заданном к и учете малых 0 эффект отражения можно сделать практически сколь угодно малым. Фактически вторым членом при больших к можно пренебречь по сравнению с первым. Второе слагаемое будет заданного вида при любых условиях на внешней границе вновь заданного 6 слоя. Физически такая постановка задачи всегда гарантирует учет энергии тех лучей, которые остаются в рассматриваемой нами области.
Доказательства эффективности поглощающих слоев приведены во второй части диссертации.
Таким образом, приведена практическая схема постановки новой задачи, эквивалентная исходной, с точностью до 0(і/к) . Приведем конкретный пример такой эквивалентной задачи.
Пусть задан приподнятый ионосферный волноводный канал, границы которого достаточно условны. Они расположены там, где волновые поля, находящиеся в волноводе, имеют характер уходящих полей из этого волновода. Там, где поля имеют уходящий из волновода характер, там и ставятся границы, от которых начинаются так называемые поглощающие слои толщиной 8 , которые описаны выше. Таким образом, исходная дифракционная задача имеет асимптотический характер 0(і/к) по поперечной координате и степенной характер по малому параметру 0-=(.- 4 по продольной координате, что соответствует числу учтенных членов в операторе Т .
Такая постановка задачи оказывается очень удобной при численном поиске волновых полей.
В качестве начальных условий целесообразно взять приближение геометрической оптики, которое также асимптотически близко к точному решению и имеет вид QU/к) . Заметим, что задание начальных условий удобно согласовать с координатной системой, в которой решается задача дифракции. Так в случае плоского волновода начальные условия удобно брать в сечении, перпендикулярном волноводу. Если же в качестве координат выбраны квазилучевые координаты, то начальное распределение поля удобно задавать в поперечном сечении лучевой трубки в виде гаус-соиды.
Таким образом, в диссертации сформулирована математически корректная задача дифракции для ионосферных волновых каналов в приближении параболического уравнения дифракции.
Об устойчивости и сходимости конечно-разностной задачи
В главе дана общая характеристика ионосферных волновых каналов и проанализированы различные способы возбуждения ИВК, изученные в диссертации тем или иным методом. К способам воз-буждения отнесены рефракционный, рассеяние на крупномасштабных неоднородноетях, дифракционный и нелинейный.
Методом малых возмущений аналитически решена задача возбуждения ИВК за счет рассеяния волны на локализованной неоднородности, помещенной в неоднородную среду. Решена также задача резонансного рассеяния на протяженной пространственной периодической структуре методом двухмасштабного разложения. Это также один из возможных эффективных механизмов возбуждения ИВК.
Методом параболического уравнения решен вопрос возбуждения (захвата) и гидирования электромагнитной волны в ИВК типа EF. Проведен численный анализ явления захвата на неоднородностях различной структуры и получены оценки погонного затухания.
В задаче полномасштабного моделирования поведения, радиоволн в канале земля-ионосфера применен новый вариант метода параболического уравнения, который связан с заменой исходной задачи распространения другой задачей с большей длиной волны, чем исходная. Показано, что основные пространственные характеристики потока энергии в обеих задачах практически идентичны.
Для исследования основных характеристик ИВК рассмотрим поведение лучей в сферически симметричной ионосфере, проницаемость которой зависит только от расстояния до центра Земли: 8=5,(г). Пусть точечный источник расположен на расстоянии г0 от центра Земли. Используя сферическую систему координат (г,9,Ч ) с началом в центре земного шара и с нполярной осью, проходящей через источник, запишем уравнение эйконала для сферически симметричного случая: производные эйконала по радиусу и полярному углу (производная по азимутальной координате у равна нулю в силу симметрии задачи).
На лучах, т.е. на характеристиках уравнения СІЛ) в результате зависимости только от г величина в сохраняется, Рз«гЧе1г)-Р ]-const. (1 3)
Если ввести угол р - Зї/2 - «с между лучом и радиусом -вектором "г" (угол падения), так что Pp=V(r)cosp, то (1.3) примет вид эйконала Снелля для сферически симметрич - 123 . ной среды: Pg - r(r) sin = const = rf s (re) sin o , (1.4) где индексом " о " отмечены величины, относящиеся к начальной точке на луче.
Анализируя поведение функции Г Е(Г) » можно найти каналы, в которых могут распространяться лучи. Согласно (I.I) в областях канального типа должно выполняться неравенство:
Обращение величины рг в нуль отвечает горизонтальному направлению луча. Такое возможно, в частности, на границе волновода. Очевидно, что одна из границ приподнятого волновода сосредоточена в окрестности максимума функции rle(r) Для дальнейшего анализа удобно перейти от переменной г к переменной 2= г- R » где R -радиус Земли, и пренебречь величинами второго порядка относительно f/R . Следуя ИЕ.Краснушкину, представим, что вся область (рис. 17) заполнена траекториями.ьТе из них, которые заканчиваются на Земле, отвечают скачковому распространению в приземном волноводе: часть лучей поворачивает вниз, не достигнув максимума слоя Е, тогда как другие лучи пересекают слой Е и отражаются от слоя F . При этом максимальное значение Р2 =1 при г =0.
Точкой 6 на рис. 17 отмечен центр области скользящих лучей, которые сосредоточены в окрестности максимума слоя Е . Рано или поздно эти лучи покидают вершину слоя Е , опустившись на Землю или поднявшись к слою р . Если слой F прозрачен для вертикально падающей радиоволны, то на фазовой плоскости ( 2Ь Р4 ) появится еще одна седловая точка, отвечающая лучам, скользящим вдоль максимума слоя F . Кривая, проходящая через точку Ь , называется сепаратрисой.
Численная реализация метода параболичес кого уравнения дифракции
Приближенное решение системы уравнений (2.1) можно построить с помощью метода возмущений. Однако, поскольку захват траектории в ИЕК определяется изменением "импульса" Ри при прохождении луча через неоднородность, то в первом приближении теории возмущений нет необходимости решать полную систему уравнений (2.1), а достаточно исследовать решение только первой пары уравнений которая в первом приближении может быть решена независимо от остальных уравнений системы. Естественно, мы предполагаем, что траектории лучей в нулевом приближении (V=o) известны. Условия, необходимые для захвата луча в ИЕК, можно сформулировать, анализируя поведение траекторий на фазовой плоскости (u,Pu) системы уравнений (2.5). Детальный анализ лучевых траекторий в сферически-слоистой ионосфере ocu)-r 0cr; методом фазовых траекторий был проведен П.Е.Краснушкиным в работе [31].
С учетом малости эффективного размера неоднородности I аналогичное рассмотрение может быть проведено и в данном случае. На рис.18 показаны качественный ход приведенной диэлектрической проницаемости 0 Си) и соответствующие ей фазовые траекто
Различные типы траекторий определяются значением постоянной С и разделены сепаратрисами, на которых С принимает значения С% ( S =1,2,3...), соответствующие s -му каналу. Например, для случая, изображенного на рис. 18 , на фазовой плоскости имеются две точки типа центра z4 = r0ut и z5=r0u3 , соответствующие максимумам функции ЕДШ » и две седловые точки 2Z =г0цг и гА = г0 цц , соответствующие минимумам функ ции 0(и) .В окрестности центров лежат замкнутые сепаратрисы, на которых постоянная С принимает соответственно значения ci и Сг .
В области фазовой плоскости, ограниченной сепаратрисой С1 , лежат замкнутые фазовые траектории, отвечающие лучам в приземном волноводе, а внутри С2 - лучам в волноводе EF . Между сепаратрисами со значениями постоянных 0«. и С заключены фазовые траектории, соответствующие лучам, отражающимся от слоя Е , а между С2 и С3 - лучам, отражающимся от слоя F , Фазовые траектории со значением постоянной С СА отвечают лучам, проходящим через ионосферу.
Рассмотрим теперь, как изменяются фазовые траектории, если учесть влияние локализованных неоднородностей ( v - о ).
При прохождении луча через неоднородность происходит изменение "импульса" pu , которое можно описать изменением постоянной С ; если потребовать, чтобы выражение для импульса (2.6) удовлетворяло системе (2.5), считая при этом С функцией параметра т , С=С(х) . Это означает, что в некотором интервале Д2 , который определяется эффективным размером неоднородности точка на фазовой плоскости совершает переход на траекторию с новым значением постоянной С+дС . Если такой переход осуществляется внутри канала, и новое значение постоянной соответствует некоторому характерному значению для данного канала, то траектория оказывается захваченной в ИЕК. Например, для того, чтобы луч, вышедший с Земли, захватился на скользящие волновод-ные траектории, необходимо, чтобы после прохождения неоднородности точка на фазовой плоскости попала внутрь сепаратрисы с постоянной
