Содержание к диссертации
Введение
І; Обзор литературы 12
I Динамические процессы в резонансных средах 12
II Задача о синхронизации лазеров 24
III Проблема динамического хаоса. 36
2. Эффекты многоволнового взаимодействия в резонансных средах 59
1 ВКР в неоднородно уширенных резонансных средах 59
2 Четырехволновое зеркало при многочастотной накачке 67
3 Линейная теория гипер-ВКР коротких световых импульсов . 76
4 Отражение монохроматического сигнала от движущейся : поляризации резонансной среды 83
5 Отражение излучения от движущейся области поляризации в резонансных брэгговских структурах . 93
3. Синхронизация лазеров 101
6 Фазовая синхронизация лазеров на общей нелинейной ячейке 101
7 Исследование распространения излучения в многоканальном волокне 105
8 Влияние возмущений геометрии каналов на дискриминацию мод многоканального волоконного лазера с пространственным фильтром . 117
4. Синхронизация хаотических лазеров и хаотическая дипамика 131
9 Фазовая синхронизация лазеров с периодической накачкой.. 131
10 Вычисление ляпуновской размерности двух связанных лазеров с периодической накачкой . 134
11 Синхронизация хаотических лазеров при отстройке частот... 137
12 Синхронизация двухчастотпых хаотических диодных лазеров 145;
13 Динамика полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью. 158
14 Декодирование информации в схеме хаотических лазеров. 170"
Заключение 174
Литература 180
- Линейная теория гипер-ВКР коротких световых импульсов
- Отражение излучения от движущейся области поляризации в резонансных брэгговских структурах
- Влияние возмущений геометрии каналов на дискриминацию мод многоканального волоконного лазера с пространственным фильтром
- Вычисление ляпуновской размерности двух связанных лазеров с периодической накачкой
Введение к работе
Актуальность темы
Взаимодействие нескольких волн в нелинейной среде — одна из основных проблем в теории лазеров и лазерной спектроскопии. Она же играет исключительную роль в задаче по синхронизации лазеров. Исследования по резонансным эффектам при взаимодействии двухуровневой системы с бигармоническим излучением [1] показали, что в спектре поглощения пробного поля прослеживаются дополнительные "сверхузкие" резонансы, вызванные динамическим эффектом Штарка. Положение дополнительных резонансов определяется совпадением комбинационных частот биений гармоник с частотой Раби, которая зависит от интенсивности излучения. Особый интерес вызывает динамическое изменение спектра излучения на связанных состояниях среды и поля, вызванных прохождением по резонансной среде когерентных 2д-имулъсов (солитонов) [2]. В случае двухуровневых сред солитонные решения нелинейной задачи могут быть получены аналитически методом ОЗР - обратной задачи рассеяния. Двухчастотный аналог 2л-имульса для трехуровневой среды требует определенного соотношения сил осцилляторов резонансных переходов. В остальных случаях вместо явного описания эволюции импульсов можно находить только асимптотику нелинейных решений или проводить численный анализ. В приближении заданного поля 2я-импульса можно исследовать задачу вынужденного рассеяния (ВКР) слабого стоксова сигнала от поляризации, наведенной в среде. Резонансные пики коэффициента отражения пробной волны при ВКР и захват стоксова сигнала областью инверсии вызваны многочастотным характером поля накачки. Групповая скорость 2я-имульсов отличается от скорости света в среде и характеризуется замедлением, пропорциональным квадрату длительности импульса. Это приводит к разному числу резонансных пиков для попутного и встречного распространения стоксова поля. Процессы вынужденного рассеяния света в нелинейной ячейке могут оказаться важными при синхронизации излучения двух и более лазеров.
Исследования по фазовой синхронизации лазерного излучения [3] имеют большое значение для получения высокого качества излучения. Для сфазированных лазеров максимальная яркость излучения пропорциональна квадрату их числа. Разброс параметров лазеров приводит к ограничению на максимальное число сфазированных элементов в одномерной или двухмерной решетке лазеров. При превышении порога набор лазеров разбивается на домены с разными фазами. Одним из популярных методов по фазовой синхронизации лазеров является использование пространственных фильтров Тальбо. В этом случае синфазная мода может обладать повышенной добротностью, что приводит к подавлению генерации остальных мод. В некоторых конструкциях имеется вторая мода с близкой добротностью (часто антифазная), тогда требуются специальные меры по селекции одной из них.
Интерес представляет изучение синхронизации лазеров не только для стационарных или импульсных режимов генерации, но и для более сложных динамических режимов. На основе однонаправленной связи хаотических лазеров можно конструировать новые схемы защищенной связи [4]. Идея хаотической синхронизации [5,6] вызывает повышенное внимание к исследованиям по динамике связанных хаотических лазеров. Хаотическое излучение позволяет эффективно маскировать полезный сигнал, в то время как ведомый лазер способен отделить его, так как он синхронизируется с исходным хаотическим излучением [7]. Степень крипто-защиты определяется размерностью странного аттрактора системы. Для повышения защиты используется гиперхаос [8] -хаос высокой размерности, возникающий в лазерах с запаздывающей обратной связью. Частота собственных релаксационных колебаний лазера определяет диапазон частот, вблизи которого будет развиваться сценарий перехода к хаосу. И чем она выше, тем больше полезная ширина полосы частот. Поэтому, реальный кандидат на использование в оптической криптографии - полупроводниковые лазеры.
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ| БИБЛИОТЕКА СПет«рбрфГ/л, 09 Ш[шш^4
Цель работы
Рассмотрение, на примере целого класса явлений, многочастотной и многоволновой динамики, имеющей место в резонансных средах. Такие процессы могут порождаться как динамическим эффектом Штарка при резонансном взаимодействии, так и эффектами, возникающими при оптической связи набора лазеров или при запаздывающей обратной связи.
Изучение динамики связанных лазеров, что позволяет понять условия устойчивой сфазированной генерации таких наборов, смену динамических режимов при изменении параметров и критичность ряда параметров для конкуренции различных мод.
Исследование сложных динамических и хаотических режимов лазеров, изучение синхронизации в системе хаотических лазеров и анализ феномена декодирования информации из хаотического излучения при однонаправленной связи.
Разработка ряда простых моделей, позволяющих глубже понять динамику связанных лазеров, оптимизировать их конструкцию на основе эффектов, предсказанных при теоретическом изучении.
Научная новизна работы
-
Выведены выражения, описывающие усиление слабого стоксова сигнала на двухфотонном резонансе когерентного импульса накачки в четырехуровневой среде. Определены параметры, при которых происходит захват стоксовой волны.
-
Найдены зависимости коэффициентов отражения лазерного монохроматического сигнала от движущейся области поляризации в резонансной трехуровневой среде. Найдены условия для сильного отражения поля, выявлена роль частотной дисперсии.
-
Найдены коэффициенты отражения от поляризации, наведенной импульсом света, в резонансных брэгговских структурах, состоящих из трехуровневых частиц, в зависимости от отстройки частоты сигнала от частоты резонансного перехода и от разности волновых векторов периодической структуры и излучения.
-
Впервые построены стационарные решения задачи для внутрирезонаторной связи двух лазеров при четырехволновом взаимодействии на общей нелинейной ячейке. Получены условия устойчивой одночастотной синхронизации с компенсацией расстройки собственных частот резонаторов.
-
Получена теоретическая оценка константы связи между одномодовыми волноводами для экспериментов по распространению поля внутри многоканального оптоволокна с кольцевым квазиодномерным расположением каналов.
-
Выведены формулы для дополнительных потерь и сдвигов собственных частотот мод в многоканальном лазере с пространственным фильтром в форме кольцевого волокна с длиной, равной половине или четверти длины Тальбо, возникающих при отступлении от идеальной структуры.
-
Построена бифуркационная диаграмма динамических режимов лазеров с периодической 100%-но модулированной накачкой, исследован синхронный хаос, оценена ширина спектра, доступная для кодирования информации.
-
Изучено явление "странной" синхронизации двух хаотических лазеров с расстройкой частот при однонаправленной инжекции хаотического сигнала.
-
Аналитически найдена критическая интенсивность накачки, при превышении которой возникает ненулевая средняя разность частот в выходном излучении пары оптически связанных полупроводниковых лазерных диодов (двухчастотный режим). Получены приближенные формулы для частоты автоколебаний системы в зависимости от интенсивности накачки.
10. Исследованы режимы генерации диодного лазера с внешним зеркалом на основе
модели Лэнга-Кобаяши (Ж) в зависимости от числа стационарных решений Ж и
фазы запаздывающей ОС. Точки неустойчивости и бифуркации решений находятся с помощью техники вычисления положения полюсов на комплексной плоскости, а спектр показателей Ляпунова исходной бесконечномерной системы рассчитывается в пространствах вложения размерности, которые, по крайней мере, в два раза плюс один больше размерности исследуемого аттрактора.
Практическая ценность
Предложенная схема фазовой синхронизации лазеров за счет четырехволнового смешения сохраняет свою актуальность до настоящего времени. Разработанные методы позволяют подобрать оптимальные параметры конструкции многоканального волоконного лазера с пространственным фильтром, оценить допуски на искажения геометрии идеальной конструкции, в пределах которых сохраняется стабильная одномодовая генерация в таком наборе оптически связанных волноводных лазеров.
Исследования по хаотической динамике позволяют предсказывать режимы синхронного хаоса в наборе связанных лазеров. Найдено, что диапазон динамической синхронизации излучения оптически связанных лазеров может быть шире, чем область стационарного фазового захвата. Полученные результаты позволяют выбирать режимы хаотической динамики, достигаемые методами модуляции накачки, оптической связи соседних полупроводниковых лазеров в двухэмиттерной конструкции, а также введением запаздывающей обратной связи для диодных лазеров с внешним зеркалом. Разные методы инициирования хаоса дают разные диапазоны размерности хаоса системы. Построенные диаграммы бифуркаций в динамике изученных систем позволяют выбирать нетривиальные режимы генерации, например, с квазипериодическим профилем излучения, а также предсказывать области параметров, где сосуществуют несколько аттракторов (в том числе странных) в фазовом пространстве системы. Метод синхронного хаоса нашел применение для новых систем защищенной связи по открытым оптическим каналам. Проведенный анализ позволяет оценить влияние параметров модуляции сигнала и расстройки резонаторов на эффективность декодирования сигнала из хаоса, а также оценить максимальную ширину полосы канала. Системы связанных хаотических полупроводниковых лазеров могут использоваться как источник экстремально широкополосного шума.
На защиту выносятся следующие положения:
-
В процессе гипер-ВКР двухквантового резонансного импульса накачки коэффициент прохождения стоксова сигнала через область накачки имеет полюса, отвечающие возникновению новой связанной стоксовой моды, локализованной в окрестности импульса накачки.
-
Взаимодействие монохроматического сигнала в среде Л- конфигурацией уровней, по которой распространяется импульс самоиндуцированной прозрачности, определяется полюсами коэффициентов прохождения и отражения как в случае попутного, так и встречного взаимодействия. Если коэффициент прохождения сигнала (в схеме попутного взаимодействия) имеет резонансные пики при определенных отношениях сил осцилляторов, то коэффициент отражения в зависимости от частоты имеет два пика на резонансных частотах как по падающему, так и по отраженному сигналам. При встречном взаимодействии наряду с изолированным резонансом по отраженной волне присутствует целый ряд экстремумов, число которых пропорционально отношению сил осцилляторов, на разных частотах по соседству с резонансом по падающей волне.
-
В среде трехуровневых атомов, расположенных в решетке, может быть реализовано брэгговское зеркало, индуцированной 2л-импульсом света на нижнем переходе. Для создания эффективного зеркала необходимо добиваться выполнения резонансных
условий между пробным полем и верхним каскадным переходом среды. Между брэгговским и оптическим резонансом равенство должно быть слегка нарушено (Дт > 1, Дту/с< 1), но расфазировка между падающей и отраженной волнами на длине импульса мала, тогда коэффициент отражения будет определяться только отношением сил осцилляторов верхнего каскадного перехода к нижнему.
-
Эффект фазовой синхронизации двух лазеров может быть реализован при использовании четырехволнового взаимодействия на общей внутрирезонаторной нелинейной ячейке.
-
Распространение излучения по оп говолокну с многоканальной структурой может быть описано аналитическими выражениями, согласующимися с экспериментом. Начальная стадия распространения излучения хорошо описывается в приближении слабо связанных одномодовых волноводов, так что именно константа связи между полями волноводов в кольцевом квазиодномерном наборе жил определяет различие скоростей распространения для супермод излучения и постоянную туннелирования излучения между жилами, расположенными внутри такого волокна.
-
Собственные числа для оптических мод многоканального волоконного лазера с пространственным Тальбо - фильтром в рамках кольцевого квазиодномерного приближения могут быть выражены в виде рядов из теории эллиптических функций. Рассмотрены длины кольцевого фильтра в половину и четверть длины Тальбо.
-
При |Д| < Л^поля двух СОг-лазеров с периодической накачкой быстро, за время порядка М~, синхронизируются. При этом амплитуды оказываются равными друг другу в любой момент, а фаза постоянна и зависит от расстройки, даже когда параметры уравнения соответствуют хаотическому режиму генерации лазера с размерностью странного аттрактора ~ 1.1. Как следствие, система сводится к уравнениям, которые описывают некоторый эквивалентный лазер с периодической накачкой и перенормированным порогом усиления.
-
В схеме оптического информационного канала на базе двух синхронных хаотических лазеров с периодической накачкой активной среды существует предел по ширине спектра информационного сигнала. По мере приближения ширины полосы информационного сигнала к частоте собственных релаксационных колебаний в активной среде происходит рост искажений в восстановленном сигнале. Найдено, что полоса частот информационного сигнала не должна превышать 0.2 релаксационной частоты.
-
Наличие расстройки длин резонаторов двух хаотических лазеров с однонаправленной инжекцией сигнала приводит к появлению нового типа синхронизации, которая может быть названа "странной". При этом излучение управляемого лазера почти синхронизовано с инжектируемым излучением, будучи в каждый момент связано с ним по интенсивности и фазе по определенному закону, но испытывает во времени малые хаотические отклонения. Эти отклонения играют роль шума при обмене конфиденциальной информацией.
-
При увеличении тока накачки в динамике генерации двухсекционного лазерного диода прослеживается ряд перестроек режимов - от стационарного к периодическому и далее хаотическому через цепочку удвоений периода. Частоты автоколебаний и пороговой интенсивности накачки, при которой происходит переход к двухчастотным периодическим режимам, могут быть найдены в явном виде. Режим двухчастотного хаоса для такого диодного лазера описывается характерной размерностью аттрактора dr.=2.88. Для пары одинаковых двухсекционных хаотических лазеров в схеме ведущий - ведомый синхронизация оказывается неполной. Синхронизация хаоса сохраняется при периодической модуляции сигнала в канале обмена излучением. Даже при внесении небольшой разности в уровнях накачки между парами лазеров синхронизация хаоса сохраняется, однако размерность Ляпунова системы падает.
11. Для диодного лазера с внешним зеркалом разные режимы генерации возникают при изменении уровня накачки, фазы и силы обратной связи (ОС). Между разными режимами генерации и количеством и устойчивостью так называемых стационарных решений уравнений Лэнга-Кобаяши прослеживается определенная зависимость. При изменении фазы ОС в динамике лазера возникают зоны гистерезиса. При некоторых параметрах в фазовом пространстве сосуществуют два и три аттрактора, отвечающие разным динамическим режимам. Увеличение мощности накачки приводит к хаосу по классическому сценарию удвоений периода с размерностью странного аттрактора di,=3.7 выше, чем для пары связанных лазеров. Рост эффективной силы ОС увеличивает формально число стационарных решений, многие из которых при этом оказываются неустойчивыми, что создает условия для режима генерации пакетов регулярных пульсаций (ПРП) и четырехмерного хаоса (di,=4.12) на его основе при изменении фазы ОС. Режим ПРП в фазовом пространстве имеет вид трехмерного тора (с тремя нулевыми показателями Ляпунова) так, что регулярные колебания излучения дополнительно промодулированы новой, более низкой частотой.
Апробация работы
Результаты докладывались на:
семинаре по физике НП и ГЛ в ПЩ РФ Троицкого Института Инновационных и Термоядерных Исследований (руководитель: профессор А.П. Налартович),
XXX научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 24 ноября 1984,
XXXI научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 23 ноября 1985,
XV-международная кбнференция по Когерентной и Нелинейной Оптике, Санкт-Петербург, 27июня-1июля, КИНО'95,
XVII международная конференция по Когерентной и Нелинейной Оптике, Минск (Беларусь), 26июня-1июля, ICONO'2001,
XI конференция по Оптике Лазеров, Санкт-Петербург, 30июня-4июля, LO'2003 3 международном семинаре (Workshop) по динамике полупроводниковых лазеров в Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS), Берлин(Германия), 15-17сентября 2003.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и содержит 194 страницы машинописного текста, 80 иллюстраций, 6 таблиц и список литературы из 337 наименований.
Линейная теория гипер-ВКР коротких световых импульсов
Эллиптический интеграл F(k\ я/2) монотонно убывает от о при к = 1 до я/2 при к — 0. Отсюда следует, что нелинейные решения уравнения (2,14) возможны только при 2/3]/-(/)2 я. Это условие появления первого нетривиального нелинейного решения. При. 2Д/-(/)р Зп. таких решений уже два, и т. д. Различные решения отличаются интенсивностью прошедшей и отраженной волн. Наличие нескольких нелинейных решений при высоких уровнях накачки может приводить к мультистабильному режиму отражения от ОВФ-зеркала (смотри [309]). В работе [18] также изучена схема лазера с самонакачивающимся ОВФ-зеркалом. Контур усиления считается однородно уширенным, время релаксации населенности больше времени обхода светом резонатора Т. Кроме того считается, что ширина контура усиления COL много больше межмодового интервала. Тогда генерируемое излучение можно рассматривать как последовательность импульсов длительности х«Т. После отражения от ОВФ-зеркала сигнал слабый, и процесс насыщения усиления не существенен. Преобразование поля при прохождении усилителя можно представить в операторном виде [310-311] как: Е(г) -» E(/ exp(Go/(l - ( I/COL2) 2/ /2)), (Go- установившийся коэффициент усиления в центре линии). При вторичном прохождении усилителя, доминирующим процессом является насыщение усилителя, который описывается в рамках двухуровневой модели среды с учетом поперечного времени релаксации Т2 (аС «т. В процессе усиления с насыщением форма импульса деформируется. Для оценок параметров стационарного импульса считаем, что он усиливается как единое целое. Уравнения для интенсивности поля Гг = 2gl и коэффициента усиления g =-#(4л ц.27Ус/і2)Г интегрируются аналогично [312]. По теории возмущений получены решения в эллиптических функциях Якоби СИ для импульсов с характерной длительностью т = yjGQ /ш2 и периодом повторения 7»г.
В заключение отметим, что полученные нелинейные решения при многочастотной накачке ЧВВ зеркала выделяются условием синхронизации мод для собственного решения. Рассмотренная ситуация во многом аналогична случаю самосинхронизации мод в лазерах, содержащих насыщающийся поглотитель, [313]. Полученные результаты позволяют оценить пектрально-энергетические характеристики нелинейного решения для задачи отражения от ЧВВ зеркала с многочастотной накачкой, 3. Линейная теория гипер-ВКР коротких световых импульсов Рассмотрено усиление слабого стоксова сигнала на двухфотонном когерентном импульсе накачки в четырехуровневой резонансной среде. Найдены выраэюения для коэффициентов усиления. Определены параметры среды и импульса накачки, при которых происходит захват стоксовой волны. Полученные результаты описывают линейную стадию усиления стоксовой волны. Данный подход позволяет определить характерные длины резонансных сред, на которых происходит перекачка энергии. Длина преобразования энергии в стоксов сигнал порядка длины импульса накачки. При ВКР один квант стоксовой волны порождается одним квантом поля накачки. Аналогичным является многоквантовое вынужденное рассеяние, когда несколько квантов, поля накачки перерассеиваются в один квант стоксовой волны (так называемое гипер-ВКР) [314, 315]. Простейшим гипер-ВКР является процесс, при котором рассеяние двух квантов накачки приводит к образованию одного кванта стоксовой волны. Наиболее эффективно преобразование происходит, если частота излучения накачки попадает в двухквантовый резонанс с переходом среды. В настоящей работе [15] рассматривается когерентное гипер-ВКР при накачке достаточно короткими лазерными импульсами. Характерная схема уровней резонансной среды показана на рисунке. Импульс накачки двухквантовым образом возбуждает среду в верхнее состояние; а затем вынужденным образом переводит в исходное (двухквантовый аналог 2л-импульса).
Когерентное; распространение импульсов при двухквантовом резонансе исследовалось в [70]; Область избыточной населенности верхнего уровня 3 движется со скоростью импульса накачки, которая может быть значительно меньше скорости света. Это область является усиливающей для излучения стоксовой волны (уровень 4 полагается незаселенным). Таким образом, возможна ситуация, аналогичная ВКР на 2л-импульсе, когда усиление стоксова сигнала преобладает над выносом излучения из области инверсии (скорость стоксовой волны равна скорости света) и образуются связанные состояния импульсов гипер-ВКР и накачки. Рассмотрм взаимодействие когерентных импульсов накачки со средой при двухквантовом резонансе 2а)=Ш21+ооз2. Если времена релаксации поляризации среды много больше длительностей импульсов, то уравнения для амплитуд населенностей уровней и для плавных огибающих поля накачки Е и стоксова поля Ей имеют вид Здесь N— плотность резонансных частиц; ц, , ш, — диполъные моменты и частоты соответствующих переходов; ю, вс — частоты импульса накачки и стоксовой волны; и,- — нерезонансные показатели преломления на соответствующих частотах полей; Дю=Ш2і-ш. В дальнейшем будем рассматривать линейную стадию усиления стоксовой волны (населенность уровня 4 при взаимодействии с полем Ес много меньше единицы). В этом случае распространение импульса накачки можно описывать без учета поля стоксовой волны, а усиление при гипер-ВКР изучать в линейном приближении по слабому полю. Распространение двухквантового импульса накачки описывается базразмерными уравнениями координат рассматриваются z=xn\0/c и т=(/—xn/cJQ Стационарное решение системы (3.2) позволяет исследовать эволюцию стоксовой волны, описываемой уравнением где 1[ = 27сЛ ю34Цз4 п2 єс = 34 2Ю Система (3.2) может быть разрешена в двух предельных случаях: К,Е/Д«1 И К/Є/Д»1 —большой и малой отстройки от резонанса с промежуточным уровнем 2. Рассмотрим случай большой отстройки от резонанса: \1пЕ/2 ft Ат«1, \і2зЕ/2НАса«1. Уровень 2 заселен слабо, и его амплитуда связана с амплитудами верхнего и нижнего уровней соотношением а2 = KJE Щ/& + к2а3 /Д. Тогда для стационарных решений из (3.2) следуетЛР = (4% /т01)$т2Ч? ,аа3= sinvF , где 4і = определяется равенством с/ v0n( -1 = 2(а2зХо 2 /u i 00
Для анализа эволюции стоксова сигнала удобно перейти в движущуюся систему координат , = (t-x/vQ)/z0 и т = (HJX/ст0)(с/v0«2-1) Зависимость єс от координаты ті ищется экспоненциальной: Єс ехр(уп), тогда уравнение (3.3) перепишется в виде (3.4) В рассматриваемом случае a3 = 1 / л/l + 2 . Для и = f id —t c— из (3.4) следует дифференциальное уравнение второго порядка где y = axsh р.= Граничные условия для мб имеют вид и(у)— 0 щш у— -оо и du(y)/dy=ec —»0 при у—н-оо. Граничные условия вместе с (3.5) позволяют сделать вывод, что инкремент нарастания стоксова сигнала у обращается в нуль только при равенстве нулю параметра / . Связанное состояние стоксова поля с импульсом накачки образуется при сколь угодно малом значении параметра/?. По всей видимости, такая ситуация (отсутствие критического параметра обусловлена степенным характером спадания хвостов импульса накачки. Заметим, что р2 (Из4м34 / 2ц12Ц2зю)(- /к1 к2 Бшах /Д)2 много больше единицы, так как по предположению отстройка от резонанса велика: А » vKiK2smax. Для такихр существуют решения (3.5) с у»1. С помощью подстановки u=fcxp(y:ysby) избавимся в (3.5) от первой производной: где_р»1,.т. е. имеет место значительное превышение порога. Это означает, что могут существовать решения с большим инкрементом нарастания (у»1). Предположим, что для таких решений функция/будет локализована в окрестности М«1. Определив у, мы подтвердим обоснованность допущенных предположений. Для yV4»l последнее слагаемое потенциала много больше линейной по у добавки. Действительно, y2ch , ych; равносильно УїусЬ.у»1, но 1Лус1\у 1Лу»1: по предположению о большом инкременте нарастания, Приу 1 (3.6) имеет вид, аналогичный уравнению Шредингера с параболическим потенциалом. Уровни энергии параболического потенциалар - Лу =1Лу(2к+1) определяют инкремент нарастания стоксова импульса, который в размерных величинах равен Таким образом, инкремент для малых номеров
А: имеет порядок 2р»1. Собственные функции с точностью до полиномов Эрмита имеют вид ехр(—Улуьу2), что подтверждает исходное положение о быстром убывании функции уже на интервале у 1- и слабой зависимости уровней энергии от поведения функции вне указанного промежутка. Тем самым выполняется граничное условие для функции и при у—+-со. При у—и-оо множители/ и expC/iyshy) конкурируют, что приводит к немонотонному характеру убывания функции и у (ниже приведена асимптотика функции на основе уравнения (3.5); легко видеть, что второе граничное условие тоже выполнено и сама функция u— const при;у— +оо). Асимптотика (3.5) при у— -+со такова: w exp [-(/7+ + :)( ]. Огибающая стоксова импульса (tc=u y) имеет в точке =shy=p/2+(l+2ky4»l максимум. Таким образом, стоксов импульс оказывается сильно сдвинут относительно импульса накачки. Это позволяет определить его длительность. Найдем точки %І, в которых амплитуда Єс спадает вдвое. Эти точки находятся из
Отражение излучения от движущейся области поляризации в резонансных брэгговских структурах
Исследовано управление отражением сигнала от движущейся области наведенной поляризации в резонансных брэгговских структурах трехуровневых частиц. Получены выражения для коэффициентов отражения в зависимости от отстройки частоты сигнала с частотой резонансного перехода и от разности волновых векторов периодической структуры и излучения. Найдены условия, при которых коэффициенты отражения велики. Ниже рассматривается управление отражением сигнала, длина волны которого близка к пространственному периоду структуры, состоящей из резонансных трехуровневых атомов, с помощью светового импульса, [17]. Будем считать, что трехуровневые атомы с каскадной схемой уровней расположены в решетке с периодом, близким к длине волны излучения, резонансного с верхним переходом. Для определенности полагаем 0 о 12 (рис. 1). Пусть по среде распространяется световой импульс с частотой, близкой к сор-Если в исходном состоянии заселен нижний уровень І, то под действием поля в окрестности импульса происходит заселение промежуточного уровня 2. При взаимодействии с резонансной средой импульс замедляется, и область наведенной населенности уровня 2 может распространяться значительно медленнее скорости света. Для пробной волны с частотой, близкой к (023, изменение населенности промежуточного уровня приводит к изменению поляризации, на которой происходит отражение сигнала. экспериментальных условий данный доплеровскии сдвиг частоты во много раз превышает ширины контуров резонансных переходов и спектральную ширину импульса наведенной поляризации. Вследствие этого эффективность отражения значительно уменьшается [16].
Если резонансные атомы расположены в решетке с периодом, близким к длине волны пробного сигнала, то при отражении от движущейся брэгговской структуры сдвиг частоты будет много меньше доплеровского и эффективность отражения возрастет. В дальнейшем считаем, что длина волны управляющего поля много больше периода структуры и среда для него эквивалентна сплошной. Для описания взаимодействия пробного поля Е с движущейся областью поляризации будем исходить из волнового уравнения Здесь d—толщина слоя резонансных атомов: а — период структуры; Р — поляризация резонансных атомов. Наведенная поляризация резонансных атомов зависит от параметров среды и лазерного излучения и достаточно хорошо изучена (см., напр., [303]). Если несущая частота сигнала ш близка к частоте перехода оогз, но отстройка Дш = ю - шгз больше обратного времени фазовой памяти среды Тг (ДюГ2І» І), то поляризация в слое резонансных атомов Р - -ргз Np22(x-vt)E/hA u; где (I23 — дипольный момент перехода 2 — 3; N— плотность резонансных атомов в слое; рц — населенность промежуточного уровня, наведенная управляющим импульсом. Считая, что длина волны излучения близка к периоду а. представим решения (5.1) в виде суперпозиции двух встречных волн: медленных огибающих Е±(х, і) после усреднения но периоду структуры, аналогично [100], получим управляющего импульса. Уравнение (5.2) справедливо, если коэффициент отражения па одном слое мал, \glk\« 1.
После перехода к новым переменным % — (x vt)/l, т ы t зависимость от т можно выбрать в виде ехр(-/Дт) и асимптотика решений при 4 —» ±«э имеет вид Е+ ехр(-( Дт + ikl/(c-v))\ Е_ ехр(-/Дт - Ш ДС+У)). В исходных переменных х и / поле Е вдали от области наведенной поляризации представляется в виде Е = +ехр[-г (соо + Д/(l-v/c))f + i(ko+&/(c-v))x] + Е-Єхр[-і (со0 + Д/(1+у/с))/ - i(k0+A/(c+v))xl Отметим, что при отражении от движущейся поляризации в дискретной периодической среде выражение для доплеровского сдвига частоты отличается от обычного: где ю± — частота сигнала, распространяющегося по (+) и против (—) скорости движения наведенной поляризации. Формуле Доплера подчиняются не сами частоты падающей и отраженной волн, а их отстройки от частоты брэгговской структуры coo = 2лс/а. Выделив зависимость от т, систему (5.2) сведем к одному уравнению второго порядка: При произвольной зависимости g(4) иА 0 решения (5.4) получить не удается. Однако при Д = 0 можно определить выражение для коэффициентов отражения и прохождения при произвольной зависимости #(). Аналитически решения также удается получить при определенных зависимостях g(4) для произвольных Д 5 0. В случае точного резонанса с частотой Брэгга, Д = 0, из (5.4) и граничных условий при 4 -»±оо, -(4=+00)=0, +(4=+00)=1 (попутное взаимодействие), р+(4=-«з)=0,,р-(4 - л)=1 (встречное взаимодействие) следуют выражения для коэффициентов отражения где R± — коэффициент отражения при попутном (+) и встречном (-) взаимодействии импульсов;
Сумма коэффициентов отражения и прохождения равна единице, так как в рассматриваемом случае диссипация в среде отсутствует. Рис. 2. Коэффициент отражения слабого сигнала как функция от расстройки частоты сигнала с частотой Брэгга дискретно-периодической среды при g(jl/2n = 0,1 (J), Влияние отстройки от частоты юо на коэффициент отражения можно найти по теории возмущения, считая (Д//с) J Ig dE,«I. Рассмотрим это влияние на примере точно —ОО решаемой модели. Выберем g(Q = go/ch\, такая ситуация осуществляется, если поляризация среды управляется 2я-импульсом, резонансным с переходом /—2. Подстановка g(E,) в (5.4) приводит к уравнению (Лс2 «1) которое сводится к гипергеометрическому. С учетом граничных условий на , — +« получаем Зависимость коэффициентов отражения пробной волны от близости к частоте брэгтовской структуры представлена на рис. 2 при различных параметрах g l Значительное отражение достигается при фазовых набегах gal — 1 на длине импульса поляризации. Рассмотрим предел больших времен релаксации среды по сравнению с длительностью управляющего импульса. В этом случае справедливо когерентное описание. Введем параметр б = к 2з - мо обозначения разности между частотой перехода и брэгтовской частотой 2%с/а. Наведенная поляризация среды в этом случае определяется из уравнений
Влияние возмущений геометрии каналов на дискриминацию мод многоканального волоконного лазера с пространственным фильтром
Рассмотрен многоканальный волоконный лазер, в котором роль пространственного фильтра, выделяющего желаемую коллективную моду, играет кольцевой волновод (КБ) с длиной, равной 1/2 или 1/4 длины Тальбо. При использовании гауссовой аппроксимации для полей отдельных каналов в явном виде получены выражения для собственных чисел мод указанных резонаторов. Волоконные лазеры широко используются в системах оптической связи и обладают рядом свойств, позволяющих говорить о перспективах их использования в промышленности. Переход к многоканальным конструкциям волокна даёт возможность сделать их более компактными путём сокращения длины за счёт более эффективного поглощения накачки от лазерных диодов. Одна из перспективных конструкций многоканального волоконного лазера (МКВЛ) была предложена в работе [176]. Активные каналы располагаются по кругу вблизи внешней оболочки волокна. Фазовая синхронизация излучения всех каналов может существенно повысить выходную яркость. Исследования на эту тему в ряде работ [21, 331, 332] привели к выводу, что наиболее перспективным оказывается метод фазовой синхронизации, основанный на помещении в резонатор с активным волокном пространственного фильтра в форме кольцевого волновода (KB) с шириной, близкой к диаметру каналов. Если каналы расположены периодически по азимуту, то выходное излучение из них может воспроизводиться после двойного прохода по KB с оптической длиной, кратной длине Тальбо. Использование такого пространственного фильтра неоднократно обсуждалось в литературе (см. обзор [5]). Однако эффект Тальбо в кольцевой геометрии имеет ряд особенностей. Кроме того, технология вытягивания многоканальных волокон (МКВ) не позволяет делать их идентичными. Малый размер каналов и малая длина фильтров делают также нетривиальной юстировку системы.
Цель работы [25] заключается в проведении по теории возмущений оценок разъюстировки и разброса параметров каналов, критических для осуществления фазовой синхронизации описываемой лазерной системы. Выведенные аналитические формулы сопоставляются с результатами численного решения скалярного квазиоптического уравнения. В идеальной конструкции многоканального волоконного лазера с пространственным фильтром (МКВ лазер с ПФ) активные каналы располагаются по кругу вблизи внешней оболочки волокна (Рис. 1). В отсутствие возмущений предметом рассмотрения является распространение скалярного волнового поля по кольцевому волноводу (KB), толщина которого много меньше радиуса кольца. Предполагается, что поле на выходе МКВ представляет собой периодическую по азимуту систему идентичных пучков, каждый из которых соответствует полю ОСНОВНОЙ моды канала (одномодового микро-волокна (MB)). В численных расчётах поле одной моды задавалось по известным формулам (см. [326]). Распространение по KB описьтается параболическим уравнением. Численный метод прямого моделирования излучения в составном волокне описан в работе [23]. Для тонкого кольца радиальный оператор может быть сведён ко второй производной по переменной, изменяющейся в пределах толщины кольца. В таком случае трехмерное уравнение формально совпадает с двухмерным квазиоптическим уравнением для плоской геометрии с периодическим условием по азимуту. Если дополнительно предположить, что KB удерживает только одну моду по радиусу, то после разделения переменных возникнет параболическое уравнение, описывающее распространение излучения с одномерной дифракцией по азимуту.
Таким образом, задача о распространении излучения по KB, удерживающему одну радиальную моду, сводится к одномерной задаче дифракции с периодическим условием на поле, соответствующим обходу по азимуту на 2я. На вход KB излучение поступает из N одномодовых микроволокон (MB) с фиксированной поперечной структурой в каждом из них, описываемой функцией ,). В качестве,/ рассматриваются только вещественные и нормированные ( \f2(r)dr = 1) функции, обращающиеся в ноль па расстоянии, меньшем периода структуры. В аналитических расчётах распределение поля на выходе микроволокна аппроксимируется гауссовым пучком. Хотя поле не обращается строго в ноль на конечном расстоянии, его величина в центре соседнего MB пренебрежимо мала для рассматриваемых условий. Задача о распространении периодического набора пучков рассматривалась неоднократно. Мы будем следовать подходу, изложенному в [138], где она сводится к решению системы уравнений для амплитуд поля отдельных пучков. Поле от N излучателей на входе в KB представляется в виде: Здесь р — тангенциальная переменная; R„=2KR I/N =bn координата и-го канала; R- — средний радиус кольца; a C(Rn) - амплитуда поля. На расстоянии z от входа проекция полного поля ua,f(r) в точке расположения микро-волокна может быть записана в виде: Здесь, ко=2тто/Х; щ показатель преломления среды; z=2L — длина распространения; L — длина КВ. В рассматриваемой геометрии излучение отражается от дальнего торца KB и возвращается в МКВ, возбуждая моды микро-волокон. После двойного обхода по MB поле вновь переизлучается в КВ. Полагая, что для пассивного МКВ проход по каналам приводит только к набегу фаз, одному и тому же для всех каналов, можно записать условие воспроизведения поля после кругового обхода по резонатору в виде: где у - собственное число. Уравнение (8.3) при периодическом расположении излучателей (поскольку матрица Д/(ЛИ,Л„.)разностная) имеет решения в виде Cm(R„) = exp(iqmR„), где qm=27um/(Nb), т - номер коллективной моды, b=RJn — период решетки МКВ. Подставляя решения в систему уравнений (8.3), легко получить следующее выражение для собственных значений ут = M(qm) данной системы (см. [138]): где f{?{$)= Г/(р)ехр(/ 7р) р является образом Фурье функций/ Суммирование выполняется с помощью известной формулы из теории обобщенных функций в результате чего интегрирование легко выполняется: Для длины KB, равной половине длины Тальбо zj=hjb /л = 2пф А, это равносильно следующей формуле в координатном представлении:
Для длины KB в четверть расстояния Тальбо, можно получить следующее выражение: В частности, при использовании аппроксимации поля одного канала гауссовым пучком можно найти явные выражения для собственных чисел на основе преобразований [333] из теории тета-функций, позволяющих, в частности, рассчитать дробный эффект Тальбо: где параметры С, и т связаны с параметрами задачи (8.5) соотношениями C,/n = -(bq/2n)[l + (b2i)/(2na2)) и (V1 )"1 = 2(a/6)Vrt . Тогда явные выражения для собственных чисел yw при При выводе формул (8.6) и (8.7) предполагалось, что функция/ обращается строго в ноль на конечном расстоянии. Для гауссовой аппроксимации это не выполняется, поэтому в формуле (8.10) следует опускать члены ниже порядка ехр(-(Ь/2а)), возникающие из-за, перекрытия полей соседних MB. При z—zj собственные числа уо (синфазная мода) и уып (антифазная мода) с указанной выше точностью равны 1 и —; соответственно. Это означает, что обе моды не имеют потерь (точное самовоспроизведение) и различаются частотой, При нечетном N и z =zj воспроизводится только синфазная мода, которая представляет очевидный практический интерес. При этом минимальными потерями обладают моды с номерами т = (N±\)12, для которых Іу ііузі - exp{-[b/(2Na)]2}. Таким образом, в этом случае вырождение по потерям снимается, а дискриминация НежелатеЛЬНЫХ МОД Определяется ВеЛИЧИНОЙ У(Лііу2І Антифазная мода с дополнительной фазовой пластиной, выпрямляющей фазовый фронт, также может представить интерес. Для KB с длиной zjlA при четном N лишь антифазная, мода имеет собственное число, по модулю равное 1, у /2 =ехр(-/я/4). Модуль собственного числа двух ближайших к антифазной мод равен \у?т±і\= exp{-[b/(2Na)] .}-Таким образом, одну моду можно выделить двумя способами: использовать KB длиной zj/2 и МКВ с нечётным числом каналов (синфазная мода); использовать KB длиной zj/4 и МКВ с чётным числом каналов (антифазная мода). Селективность при этом оказывается одинаковой. Отметим также, что моды с номерами т и N-m имеют строго равные собственные числа. Физически это очевидно, так как огибающие поля Ст(Л„) и Cff.m(R„) с номерами т и (N-m) отличаются лишь направлением изменения фазы.
Вычисление ляпуновской размерности двух связанных лазеров с периодической накачкой
Вычисление ляпуновской размерности двух лазеров ,с ПН На практике, время релаксации верхнего лазерного уровня т оказывается много больше времени обхода резонатора гд т» Тц, В этом случае число управляющих параметров может быть сведено к двум: О=о?т/с%,& и G=fg-gnJ/gnb где со есть частота модуляции накачки, g—усиление слабого сигналами, - пороговое усиление, с - скорость света. Поэтому нами изучаются динамические режимы генерации лазера с периодической накачкой, и строится бифуркационная г диаграмма в двумерном пространстве управляющих параметров.-Полученные характеристики -позволяют предсказать режимы синхронизации для двух оптически связанных лазеров с внешней периодической накачкой. В ряде публикаций было найдено, что лазер с периодической накачкой на частоте со, которая близка к частоте релаксационных колебаний системы, демонстрирует сложное динамическое поведение с областями динамического хаоса при вариации параметров [278]. С другой стороны, в нашей работе [26] показано, что систему двух лазеров с достаточно сильной связью между ними, чтобы вызвать их синхронизацию, можно математически свести к системе одного лазера, параметры которого определенным образом связаны с величиной расстройки между собственными частотами резонаторов и: коэффициентом оптической связи исходных лазеров-
Предложение [6]; по использованию эффекта синхронизации оптически связанных лазеров в режиме динамического хаоса для задач кодирования/декодирования информации, вызвало особый интерес к детальному изучению динамических свойств лазеров с периодической модуляцией накачки. Знание бифуркационной диаграммы в пространстве управляющих параметров системы позволит сделать лучший выбор положения рабочего режима лазера: Динамический хаос в лазере легче всего создать, модулируя мощность накачки на частоте близкой к частоте релаксационных колебаний для активной среды внутри резонатора. Было показано [121], что оптическая связь между лазерами может также инициировать режим хаотической генерации. С другой стороны, если лазеры с модулированной-накачкой оптически связаны, то диапазон возможных динамических сценариев может быть значительно расширен. Существует особый интерес к ситуации, обсуждаемой в работах [26,277], когда излучение двух лазеров, каждый из которых генерирует хаотический сигнал, синхронизируется. Чтобы описать поведение системы таких двух лазеров, мы используем модель, описываемую уравнениями (9.1) для комплексных полей и вещественных коэффициентов усиления. Эти уравнения хорошо описывают ситуацию, если изменения полей за время обхода резонатора достаточно невелико. Как время, так и константа релаксации верхнего лазерного уровня т измеряется в единицах времени обхода резонатора XR. Для примера мы ссылаемся на экспериментальную реализацию [276] хаотического СОг лазера с накачкой переменным током. Естественно, что глубина модуляции накачки в этом случае равна 100%. Как это было показано в работе [26], малая расстройка собственных частот резонаторов приводит к синхронизации динамики связанных лазеров. Чтобы уменьшить число управляющих параметров, мы сейчас рассмотрим случай, когда величина расстройки частот равна нулю [27]. Тогда, через время порядка М лазерные поля будут идентичными.
В пределе больших времен релаксации т»1 верхнего лазерного уровня можно определить ключевые параметры для уравнений (9.1), (здесь I =\Е\2, G = (g — gth)lсо, и для времени используется подстановка / =«/): И при равенстве управляющих параметров ms2/gth и (gv-gth)lgth частота модуляции ш соответствует известной частоте малых релаксационных колебаний Qr = ((g0 - glh) / т) . В окрестности этой частоты (нормированной на TR" ) справедливо отношение o«gth. Следовательно, в уравнении (10.1) вклад последнего слагаемого пренебрежимо мал. А значит, система описывается только двумя комбинациями управляющих параметров. Чтобы описать характеристики выходного излучения лазера, мы исследовали показатели; Ляпунова для системы нелинейных уравнений (вида х = fix)). Для этого численно интегрировались данные уравнения (9.1), а на полученном решении вычислялось решение линеаризированной задачи для вектора возмущений ( у = ( /L.) lx=x(t) У)- Размер матрицы линейной задачи равен пяти, по числу возмущаемых параметров (2 для амплитуд полей, I для разности фаз и 2 для вещественных коэффициентов усиления). Мы построили стандартную процедуру для получения 5 ляпуновских показателей [279 (с. 227)]. Первый ляпуновский показатель определяется как среднее арифметическое логарифма коэффициента растяжения для длины d вектора возмущения у за единицу времени в направлении максимального растяжения Ind(Atj)/Atf (когда imax ). Остальные характеристические экспоненты Ляпунова определяются с помощью алгоритма ортогонализации Грамма-Шмидта, так что индексы Ляпунова упорядочены в порядке убывания: А,і А.2 з— Если первый индекс положителен, то лазеры генерируют хаос. Размерность аттрактора системы по Ляпунову ііітл определяется как л = 1 + Х{ 1\г, пока
