Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Фрактальные множества 24
1.1. Фрактальная размерность 24
1.2. Геометрические фракталы 30
1.2.1. Канторово множество 30
1.2.2. Салфетка Серпинского 31
1.2.3. Кривая Коха 32
1.2.4. Дерево Кейли 32
1.2.5. Кольцевые структуры 34
1.3. Алгебраические фракталы 34
1.3.1. Множество Мандельброта 34
Глава. 2. Антенны на основе фрактальной салфетки Серпинского 36
2.1. Монопольная антенна Серпинского 36
2.2. Дипольная антенна Серпинского 43
2.2.1. Частотная зависимость 44
2.2.2. Распределение токов 45
2.2.3. Распределение поля 45
2.2.4. Полоса пропускания 49
Глава. 3. Антенны на основе Дерева Кейли 50
3.1. Дерево Кейли в ЭДЕМ 50
3.1.1. Расчетная сетка 51
3.1.2. Частотная зависимость 52
3.1.3. Распределение токов 54
3.1.4. Диаграмма направленности 56
3.1.5. Полоса пропускания 57
3.2. Дерево Кейли в AntSoft HFSS v.10 58
3.2.1. Полоса пропускания 62
Глава. 4. Кольцевые структуры 63
4.1. Первая итерация, А1 63
4.2. Вторая итерация кольцевого монополя, А2 68
Глава. 5. Фрактальные частотно-избирательные поверхности 74
5.1. Необходимость фрактальных частотно-избирательных структур 74
5.2. Характеристики двухслойной структуры 74
Заключение 79
Библиографический список 81
Список авторских работ 85
- Канторово множество
- Монопольная антенна Серпинского
- Дерево Кейли в AntSoft HFSS v.10
- Вторая итерация кольцевого монополя, А2
Введение к работе
В.1. Актуальность темы
Одной из основных задач современной радиоэлектроники является синтез широкополосных радиосистем и широкополосных радиосигналов с последующей их обработкой.
Расширение полосы частот обусловлено современными тенденциями в развитии радиолокации, телекоммуникаций, радиотехники [1-42] с целью повышения скорости передачи информации, повышения уровня помехозащищенности и емкости радиосистем, а также защищенности передаваемой информации.
Применение новых методов в радиофизике на основе математического аппарата дробных операторов, а так же понятия фрактал [2], введенного Б. Мандельбротом [Mandelbrot, 1975], позволило расширить класс широкополосных радиосистем за счет скейлинговых эффектов таких фрактальных структур. Радиофизические направления, связанные с применением теории дробной размерности, эффектов сксйлинга открывают новые пути совершенствования действующих радиосистем и обеспечивают переход к принципиально новым фрактальным радиосистемам.
Неотъемлемым устройством любой радиосистемы являются антенные устройства. Фрактальные антенны обладают чрезвычайно интересными свойствами в области широкополосное и многодиапазонности. Первые упоминания о фрактальной антенне и фрактальной решетке появились в работе Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986,Т.74,№9,с.124-126.
Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблемам мониторинга сред на различных пространственно -временных масштабах. В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие ДН антенны, в основе теории синтеза фрактальных
антенн заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике (термин введен D.L. Jaggard, США, 1990). С этого времени поток публикаций по анализу и синтезу многообразных фрактальных антенн начал расти лавинообразно. К примеру, в известном журнале IEEE Trans. «Antennas and Propagation» каждый год публикуется не менее 5-8 статей по фрактальным антеннам, особенно в последнее десятилетие. В России широкое применение в радиофизике, радиотехнике и электронике фрактальный подход получил в ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН, начиная с 1979 г. [д.ф.-м.н., профессор А.А. Потапов].
Анализ литературных источников показывает, что тема диссертации является актуальной; а исследования в данном направлении проводятся по большей части исключительно иностранными авторами. Следует заметить, что в 1992 году А.А. Потапов совместно с ЦКБ "Алмаз" проводил разработку таких необычных (для того времени) фрактальных антенных структур (конкретно был изготовлен действующий макет фрактальной щелевой решетки в диапазоне ММВ). На данный момент в лаб. №343 ИРЭ РАН ведутся интенсивные исследования по всем возможным применениям теории фракталов, дробных операторов и скейлинговых эффектов в радиофизических задачах.
Основной задачей, в частности, является анализ и синтез таких «фрактальных радиосистем» [А.А. Потапов, 2002] и фрактальных элементов, получивших название «фрактальные импедансы». В широком понятии к «фрактальным импедансам» следует относить и фрактальные антенны, которые при их микроминиатюрном исполнении могут служить весьма эффективными частотно-избирательными поверхностями и средами. В частности, применение элементарных фрактальных рассеивателсй, позволяет создавать новые типы киральных сред и магнонных кристаллов.
Таким образом, работа относится к одному из перспективных направлений современной радиофизики - исследование электродинамических свойств
фрактальных (с дробной размерностью Хаусдорфа) пространственно-распределенных и частотно-избирательных структур.
Анализ литературных источников также показал, что тема данной диссертации является актуальной и перспективной для практического применения. Исследования в данном направлении проводятся многочисленными исследователями за рубежом, но в России представлено немногочисленными работами (в основном, работами сотрудников ИРЭ им В.А. Котельникова РАН).
В.2. Фрактальные антенны
Первые упоминания о применения фрактальных множеств в создании антенных решеток появились в работе Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986, Т.74, № 9, с. 124-126. Использование фрактальной геометрии в конструировании антенн позволяет эффективно реализовывать широкополосные и многодиапазонные свойства за счет самоподобия и миниатюрности структуры. Многообразие видов регулярных фрактальных множеств открывает дополнительные конструктивные и электродинамические возможности в проектировании антенн: см., например, кривая Минковского [Cohen, 1995; Best, 2003], салфетка Серпинского:[Риеше et al. 1996, Song et al. 2003; Anguera at al., 2004], кривая и снежинка Коха [Puente at al., 1998, Cohen. 1999; Best, 2003; Borja & Romeu, 2003], кривая Гильберта [Anguera et al, 2003; Zhu et al., 2003], кривая neaHo[Zhu et al., 2004], дерево Кейли [ A.A. Потапов и др. 2006].
Вызывает интерес предположение ученых Коена (Cohen) и Хохлфелда (Hohlfeld), выдинутое в 1999 году [1]. Они предположили, что согласно принципу Рамсея (V.H. Rumsey) все антенны, геометрическая структура которых зависит только от угла, могут быть «частотно независимыми» или постоянными по своим характеристикам независимо от частоты. Как видно из Рис. 1. это предположение так же будет верно и для логопериодической антенны. Но для фрактальных антенн этого утверждения явно не достаточно.
Под него попадают уже не только логопериодические антенны, но и спиральные, а так же волнообразные, спиральные антенн Дайсона. Класс логопериодических антенн является лишь небольшой частью большого класса самоподобных, относительно точки, геометрических структур.
Рис. 1. Множество самоподобых структур. В.З. Цель работы
Целью данной научной работы является:
исследование применимости классических фрактальных множеств и кривых для синтеза фрактальных антенн;
разработка геометрии выбранных фрактальных множеств для конструирования антенн и построение её компьютерной модели в Системах автоматизированного проектирования (САПР): EDEM 3D, HFSS.
исследование электродинамических свойств сконструированных моделей фрактальных антенн путем их численного моделирования;
анализ выявленных особенностей и зависимостей свойств антенн от параметров фрактальности выбранных фрактальных кривых и множеств.
Исходя из поставленных целей, в процессе исследовательской работы на основе соответствующих кривых были смоделированы следующие фрактальные антенны:
монополь «Серпинского» (Салфетка Серпинского) - классический случай;
диполь «Серпинского» (Салфетка Серпинского);
диполь «Дерево Кейли» (множество Кейли);
кольцевой монополь.
Также исследованы радиофизические свойства этих фрактальных структур при взаимном повороте и различном числе базовых фрактальных элементов.
В.4. Научная новизна
Научная новизна данной работы заключается в применении новых видов фрактальных структур для создания новых типов антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь и др.
Показана возможность практической реализации таких антенн в радиодиапазоне.
Выявленные электродинамические свойства (диаграмма направленности, КСВ, импеданс) исследованных фрактальных антенн позволили сделать выводы о широкополосности и многодиапазонности фрактальных антенн, а также зависимости числа резонансов от порядка итераций фрактальной кривой.
В.5. Практическая ценность
Впервые предложены новые фрактальные множества для моделирования и конструирования многодиапазонных и/или широкополосных антенн. Разработана и построена компьютерная модель для численного электродинамического анализа фрактальных антенн структур для диапазона частот 0,1 - 20 ГГц, что существенно упрощает процесс изготовления макета такой антенны.
Благодаря высокой плотности элементов антенн и их миниатюрности, а так же широкополосным и многодиапазонным свойствам, перспективно использование таких фрактальных антенн в средствах радиолокации и радионавигации, а также RFID-метках (радиочастотных идентификационных метках).
Результаты численного моделирования могут служить для более глубокого дальнейшего детального теоретического и экспериментального изучения таких структур, так как теория фрактальных антенн на данный момент в мире практически не развита.
В.6. Личный вклад
Личный вклад автора заключается:
выборе анализируемых фрактальных множеств («дерево Кейли», кольцевой монополь);
создании математических моделей фрактальных структур;
разработке текста программ для параметризации фрактальной геометрии исследуемых частотно-избирательных структур;
проведении серии численных экспериментов на основе созданных моделей в САПР AntSoft HFSS, EDEM 3D,
а так же в обработке полученных результатов.
Интерпретация полученных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.
В.7. Положения, выносимые на защиту
Методы генерации фрактальных структур и их компьютерные модели: салфетка Серпинского, дерево Кейли, кольцевые структуры.
Результаты численного моделирования антенн с фрактальной геометрией (дерево Кейли, салфетка Серпинского, кольцевые структуры) в диапазоне частот 0,1 -20 ГГц.
Зависимость числа резонансов фрактальной структуры от числа итераций, элементарной фрактальной структуры.
Результаты исследования характеристик фрактальных частотно-избирательных структур на основе дерева Кейли.
В.8. Апробация работы
Основные результаты проведенных исследований данной диссертации были представлены расширенными тезисами на следующих международных конференциях: XII Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка, МЭИ (ТУ), 2003); XIV и XV Международная студенческая школа-семинар (Судак, МИЕМ, 2006 и 2007); XI Международный молодежный форум (Харьков, ХНУРЕ, 2007); Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP-2007 (Edinburgh, UK, The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007); XIV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, НПФ "Саквоее", 2008); 2nd Internationl Conference "CHAOS-2009" on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, National and Kapodistrian University, 2009); "Progress in Electromagnetics Research Symp. (PIERS 2009)" (Moscow, MIREA, 2009); International Radar Symposium 2009 (IRS-2009) (Hamburg, Germany, TUHH, 2009);
а также на следующих всероссийских конференциях: XLVI и XLVIII научная конференция МФТИ, (Долгопрудный, МФТЩГУ), 2003 и 2005); IX Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, МГУ, 2004); конкурс молодых ученых им. И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А. Котельникова, 2006);VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем "ДНДС-2009" (Чебоксары, ЧГУ, 2009).
B.9. Публикации
Основные результаты работы отражены в 3 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и 16 тезисах Международных и Всероссийских конференций. Общее количество работ - 19. Список работы приведен в конце диссертации под индексами Al - А19.
В.10. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 102 страницы, в том числе 50 рисунков, 14 таблиц, библиографический список цитированных источников из 61 наименований, в том числе 19 публикаций автора по теме диссертации.
В.11. Методы приближенных расчетов электрических полей
Рассмотрим кратко основные методы, применяемые на сегодняшний день в большинстве программных пакетов, работающих с расчетом электромагнитных полей
1. Метод моментов
Метод моментов (МоМ) предусматривает следующие этапы решения электродинамической задачи. Металлические элементы анализируемой структуры заменяются эквивалентными поверхностными электрическими токами. Затем решается задача возбуждения окружающей среды данными токами. При этом среда может быть сложной, то есть может содержать магнито-диэлектрические слои.
Решение задачи возбуждения среды осуществляется с помощью аппарата тензорных функций Грина. После того как задача возбуждения решена, и электрическое поле найдено, на него накладываются граничные условия на металлических элементах. Последнее условие используется для определения эквивалентных токов. Важным моментом решения является
разбиение поверхности металла на элементарные площадки и аппроксимация
электрического тока в пределах площадки (Рис. 2).
Для аппроксимации тока могут
используются постоянные, линейные и
треугольные функции, которые
принято называть базисными
функциями. В результате выполнения
граничных условий в дискретных
точках получается система линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
относительно коэффициентов при
базисных функциях, которые имеют Рис. 2. Разбиение поверхности
смысл амплитуд токов, текущих в металла на элементарные площадки.
пределах элементарной площадки.
Данная СЛАУ решается ЭВМ с помощью известного метода исключения
Гаусса.
Точность МоМ тем выше, чем меньше размер элементарной площадки.
Считается, что для получения приемлемой точности размер площадки не
должен превышать Л/10, где X - длина волны в свободном пространстве.
Количество уравнений в СЛАУ равно числу элементарных площадок N,
которое неизбежно увеличивается при увеличении размеров анализируемого
объекта или при увеличении частоты. Поэтому легко увидеть, что
непосредственное решение задачи типа рассеяния радиоволн на автомобиле с
помощью МоМ потребует решения СЛАУ огромной размерности. На практике
оно просто невозможно из-за ограниченной оперативной памяти ЭВМ.
2. Метод физической оптики
Метод физической оптики (МФО) - это классический метод приближенного решения электродинамических задач, который еще называют методом Кирхгофа. В рамках этого метода задача поиска токов на
металлических поверхностях исключается, а ток приближенно вычисляется через магнитное поле падающей на объект волны. Далее рассеянное поле вычисляется с помощью аппарата функций Грина через заданное распределение токов. МФО хорошо работает при решении задач рассеяния плоских волн на объектах больших размеров. При уменьшении размеров объекта аппроксимация тока магнитным полем падающей волны становится неверной.
Сложные объекты, с размеры которых значительно больше длины волны, можно численно просчитать, используя однородную теорию дифракции.
2. Однородная теория дифракции
Однородная теория дифракции (ОТД) - это более современный метод приближенного решения задач рассеяния волн на больших объектах. В рамках этого метода поверхность объекта представляется набором плоских многоугольников, имеющих общие ребра. Поле, рассеянное многоугольником, разделяется на две составляющие: геометрооптическая часть, порожденная плоской поверхностью, и поле, порожденное ребрами. Метод ОТД считается более точным, чем МФО и имеет примерно те же пределы применимости.
3. Метод конечных разностей во временной области
В сравнении с алгоритмами МоМ - Method of Moments и FEM - Finite Elements Method, алгоритм метода конечных разностей во временной области (FDTD - Finite Difference Time Domain) (Yee-ячейка) решает уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей. Алгебраические уравнения записываются во временной форме и решаются в каждой временной точке анализа и дают широкополосную частотную характеристику. FDTD имитаторы могут обрабатывать сложный диэлектрик, структурируя его и описывая отдельные объекты, составленные из ячеек
B.12. Среда моделирования САПР EDEM 3D
Программа EDEM/ЭДЭМ (Электродинамика Элементов из Металла) предназначена для специалистов в области прикладной электродинамики и позволяет исследовать электродинамические свойства структур, допускающих аппроксимацию набором проводящих поверхностей.
Рис. 3. Пример расчетов в программе EDEM 3D.
Это металлические тела, рефлекторы, экраны, замкнутые и незамкнутые оболочки произвольной формы, а также системы из них с характерными размерами от долей до нескольких длин волн.
Для аппроксимации таких структур можно использовать плоские треугольники и четырехугольники, спирали, диски, кольца и их сектора, замкнутые и незамкнутые поверхности вращения, цилиндрические поверхности, образованные кривыми второго порядка и двумерными сплайн -линиями, а также поверхности, «натянутые» на трехмерные сплайн линии.
Анализируемые объекты могут находиться в свободном пространстве или над проводящей бесконечной плоскостью (Рис. 3.) Если исследуемая
структура обладает симметрией, это можно эффективно использовать для сокращения требуемого объема оперативной памяти и времени решения.
Источниками возбуждения могут быть плоские волны, точечные источники в виде дельта - функций, элементарные электрические и магнитные вибраторы, апертуры с заданными распределениями источников, линейные вибраторные излучателя, а также любые их комбинации.
ЭДЭМ позволяет находить электрические и магнитные поля, возникающие в окрестности таких структур как в ближней, так и в дальней волной зоне. Найденные распределения плотностей токов, наведенных на анализируемых структурах, могут изображаться в виде линейных диаграмм, в трехмерных задачах, а также в виде карты амплитуд и с помощью, получившей в настоящее время распространение, цветовой шкалы. Отображение распределения компонент полей реализовано в виде линейных диаграмм, в виде двумерных рельефов или с помощью цветовой шкалы, а также с помощью комбинации этих способов.
Решение задачи на основе строгой постановки гарантирует учет всех физических явлений, которые могут возникнуть в той или иной системе и обеспечивает высокую точность.
Можно использовать кусочно-постоянную аппроксимацию подлежащих определению функций (плотностей наведенных токов), а в трехмерном случае и более сложные функции, известные как функции Рао-Уилтона-Глиссона.
Для решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводятся задачи, в данной версии реализованы как прямые, так и итерационные методы.
К прямым относится: метод Гаусса, а также метод оптимального исключения, дающий четырехкратную экономию объема оперативной памяти по сравнению с методом Гаусса.
К итерационным относятся две разновидности метода минимальных итераций, родственные методу сопряженных градиентов, но применимые к системам с матрицами произвольного вида, а также обобщенный
(многослойный, или многошаговый) метод минимальных невязок, известный также как GMREZ и показывающий в большинстве случаев наилучшую сходимость.
Анализ задач для сложных структур может быть организован на основе метода последовательных приближений, когда результаты решения для части структуры используются как возбуждающее поле для другой части.
Программа содержит средства для оптимизации исследуемых структур по заданному критерию (Рис. 4). Это может быть, например, коэффициент направленного действия антенны, КИП и т.п. Для этого используются алгоритмы численного поиска экстремумов многопараметрических функций
Программа обладает также средствами для приближенного решения задач на основе метода физической оптики и позволяет визуализировать результаты расчетов полей и токов, получать диаграммы направленности. Она позволяет не только проектировать антенну и определять её частотные характеристики, но и также определять распределение поля на любом расстоянии от антенны, и распределение токов по поверхности антенны. Что дает понимание о нагрузках и потерях, и позволяет сделать вывод о скоплениях токов по поверхности и частях антенны, так как это играет важную роль в формировании свойств антенны. Программа ЭДЭМ позволяет визуально наблюдать распространение электромагнитного поля в пространстве вокруг антенны
Основой численного метода решения электромагнитных задач в программе ЭДЕМ является решение уравнение вида [15],[16 ]
^#(M0) х lim {fTgrad/VX7,graaV G)dsP -tf \\jGdsP} = -п(М0)хЁ(М0), (1)
s s
M0eS,
e-ikR(M,P)
где G - ,aR- расстояние между точкой наблюдения М и
кЛ(М ,г)
точкой истока (интегрирования) Р.
Это уравнение эквивалентно гиперсингулярному интегральному
JJ(7V)VG& + 2JJ7G&
-ux*,
(2)
,где значок «*» над знаком интеграла указывает, что этот интеграл следует понимать в смысле конечной части по Адамару.
7 проекта окно заОачи
окно Онагиаммы
окно сводной таблицы
панель инструментов главного окна панель инструментов активного окна
Рис. 4. Интерфейс программы EDEM 3D
Определение неизвестной плотности тока выполнено на основе метода Галеркина, с помощью которого осуществлялся переход от интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений. Запись интегрального уравнения в форме (1) позволяет представить получающиеся
после его дискретизации выражения в таком виде, что при нахождении коэффициентов системы предел в левой части уравнения будет вычисляться аналитически. Это позволяет уменьшить количество вычислений и реализовать эффективные алгоритмы численного решения.
При численном решении уравнений для фрактальной структуры использовались базисные функции вида [17 ].
ВЛЗ. Среда моделирования САПР AntSoft HFSS
Анализ и исследование электромагнитных свойств фрактальных антенн были выполнены в программной среде моделирования САПР HFSS v. 10 компании AntSoft (Рис. 5).
Рис. 5. Интерфейс программы Antsoft HFSS v.10
Программная среда Antsoft HFSS для моделирования электромагнитных полей использует метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM),
включающий адаптивное генерирование и деление расчетных ячеек. Полученные из уравнений Максвелла решения для электромагнитного поля позволяют точно определить все характеристики СВЧ устройства. HFSS предоставляет возможность выполнить моделирование антенн, волноводньгх элементов, а так же СВЧ-фильтров и трехмерных неоднородностей. Описание моделей сводиться к созданию чертежа структуры, точному заданию материала, заданию портов и требуемых характеристик. Программа предоставляет возможность находить поля внутри и вне структуры, а также многомодовые S-параметры.
Решающее устройство HFSS с доказанной надежностью обеспечивает получение верных и точных результатов. Проектирование с использованием HFSS дает высокую гарантию того, что измеренные характеристики будут такими же, как и при моделировании. Но для этого необходимо корректно и правильно выбрать параметры расчета. HFSS позволяет моделировать только линейные структуры.
Большая библиотека стандартных структур, упрощающих их моделирование, а также базу данных материалов с заданными значениями диэлектрической и магнитной проницаемости, с электрическими и магнитными тангенсами угла потерь для всех материалов.
Программа HFSS включает так же модули адаптивного разбиения расчетной сетки, постпроцессорный модуль поля, позволяющий визуализировать и анимировать чертежи на любой поверхности. Кроме того, мощный макрокомандный язык с возможностью записи и модификации позволяет эффективно выполнить параметрический анализ и оптимизацию структуры, изменяя форму и размеры входящих в неё элементов.
Основу решения трехмерных и двумерных задач электродинамики в HFSS составляет метод конечных элементов, смысл которого состоит в том, что пространство, в котором распространяются электромагнитные волны, разбивается на простейшие объемные элементы, имеющие форму тетраэдров. В результате электродинамическая задача сводиться к системе линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов, найденных из уравнения максвелла и граничных условий.
Ключевым моментом метода конечных элементов является представление неизвестной функции ф(х,у) в виде разложения по известным базисным функциям с неизвестными коэффициентами в пределах каждой элементарной ячейки:
Ф(х,У) = ^Аі^(х>У^ (1)
(=1
где Aj - неизвестные коэффициенты, /,(х,у)- базисные функции. Особенностью
метода конечных элементов является то, что в качестве неизвестных
коэффициентов Aj берутся значения неизвестной функции ф(х,у) в вершинах
треугольников для самой простой аппроксимации потенциала. Таким образом,
в методе конечных элементов используется следующее представление
неизвестной функции
Ф(х,У) = ^иі^(Х>УЇ> (2)
где U, - значение потенциалов в характерных точках, М- количество характерных точек.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору, Александру Алексеевичу Потапову за богатый научный кругозор и умелое руководство, представление полученных совместно результатов на международных конференциях и симпозиумах. Благодаря более, чем 6-летним исследованиям фрактальных структур автора под научным руководством Александра Алексеевича, эта диссертационная работа увидела свет.
Канторово множество
Использование фрактальных антенн становиться на сегодняшний день новым скачком в развитии радиофизики. Открытие некоторых специфических, а порой и уникальных свойств некоторых типов фрактальных антенн порождает ещё больший интерес к этой тематике, и, как следствие, более глубокое и тщательное изучение всех возможных и реализуемых на практике антенн с фрактальной геометрией. Попытка охватить, как можно большее число возможных типов фракталов требует большого времени и работы научных лабораторий. Изучение же таких антенн путем первоначального компьютерного моделирования позволяет сократить это время многократно. Антенны, которые были исследованы ранее и свойства которых уже изучены, сейчас воплотили свой уникальный потенциал в реальных фрактальных антенных. Таким образом, рассматриваемая тематика является достаточно перспективной для применения и новой с точки зрения выявленных свойств.
Современное понятие размерности давно уже оперирует понятиями выше 3 х привычных евклидовых измерений. Однако понятие размерности все это время являлось целочисленной величиной. Для успешного дальнейшего развития математики потребовалось ввести новое понятие дробной размерности изучаемых геометрических множеств. Понятие дробной размерности опирается на анализ Евклидовой геометрии Е известной также как топологическая размерность D0. Таким образом, точка имеет топологическую размерность Do = 0, прямые и окружности - D0 = 1, поверхность D0 = 2, а размерность объемных тел равна D0 = 3. Понятие дробной размерности началось с работ таких известных ученых как Пуанкаре, Лебег, Брауэр, Урысон и Менгер [3], и связано с определением меры исходя из геометрических соображений, с одной стороны, и теории информации с другой.
Основные понятия дробной размерности, которыми пользуются сегодня -это дробная размерность Реньи (Renyi) [4], размерность Хаусдорофа [5] и Безиковича [6]. Первое пробное определение фрактала привел Бену а Мандельброту в 1982 году в [7]. Он ввел термин фракталъностъ [8],[9] (от слова fractional —дробный) на основе понятия размерности Хаусдорфа-Безиковича D, которое строго больше топологической размерности множества[2]. Это определение характеризует степень усложнения множества и позволяет различать понятия гладкий и хаотичный, но не проводит различий между категориями «нерегулярный, но самоподобный» и «геометрически хаотический».
До сих пор нет строгого и полного определения фрактала. Попытка уточнить определение фрактала, предпринятая Мандельбротом позже звучит как структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле самоподобны целому [10]. Гораздо легче описать фракталы, чем определить их. Неизменным и объединяющим их свойством является самоподобие и дробная размерность. Самоподобие означает, что набор элементов, из которых состоит фрактал, остается неизменным при любом масштабе. Таким образом, математические фракталы можно увеличивать до бесконечности.
Понятие фрактал, несомненно, основано на классических математических работах, выполненных Кантором, Вейерштрассом, Пеано, Лебегом, Хаусдорфом и другими учеными. Мандельброту же удалось найти реальное и наглядное применение фракталов, ввести его в обиход и популяризировать. Нельзя забывать, что этому предшествовало развитие теории размерности - одной из самых мощных инструментов для обращения с фрактальными множествами и объяснения их сингулярностей. Использование фрактальных множеств неразрывно связано с математическим аппаратом дробного интегродифференцирования и теории размерности.
Дробная размерность является математическим понятием, содержащим смысл промежуточного состояния структуры между точкой и прямой, между прямой и плоскостью, между плоскостью и 3-х мерным объектом. Как уже говорилось, точка имеет размерность, равную 0, размерность линии равна 1, плоскости - 2, а куба -3. Чтобы определить размерность фрактала, достаточно разбить пространство, занимаемое фракталом на площадки со сколь угодно малой длиной стороны е; тогда фрактальное множество будет покрыто минимальным числом таких площадок - N(e). Исходя из определения, фрактальная размерность [11] можно выразить в следующем виде:
Поскольку при уменьшении 0, N(s) 0 неограниченно возрастает, то при достаточно малом є зависимость числа площадок принимает вид N(s) VsD, где V= const - объем, покрываемый в )-мерном пространстве площадками.
Таким образом, удалось измерить дробную размерность не только классических математических фракталов, приведенных ниже, но и вполне реальных природных объектов, таких как береговая линия, точечную структуру облаков, структуру плазмы. Удалось создать классификацию некоторых видов кожных заболеваний благодаря фрактальному анализу полученных изображений кожного покрова.
Фрактальный анализ используется также при анализе свойств поверхностей материалов нано масштабов.
Монопольная антенна Серпинского
Научная новизна данной работы заключается в применении новых видов фрактальных структур для создания новых типов антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь и др.
Показана возможность практической реализации таких антенн в радиодиапазоне. Выявленные электродинамические свойства (диаграмма направленности, КСВ, импеданс) исследованных фрактальных антенн позволили сделать выводы о широкополосности и многодиапазонности фрактальных антенн, а также зависимости числа резонансов от порядка итераций фрактальной кривой. Впервые предложены новые фрактальные множества для моделирования и конструирования многодиапазонных и/или широкополосных антенн. Разработана и построена компьютерная модель для численного электродинамического анализа фрактальных антенн структур для диапазона частот 0,1 - 20 ГГц, что существенно упрощает процесс изготовления макета такой антенны. Благодаря высокой плотности элементов антенн и их миниатюрности, а так же широкополосным и многодиапазонным свойствам, перспективно использование таких фрактальных антенн в средствах радиолокации и радионавигации, а также RFID-метках (радиочастотных идентификационных метках). Результаты численного моделирования могут служить для более глубокого дальнейшего детального теоретического и экспериментального изучения таких структур, так как теория фрактальных антенн на данный момент в мире практически не развита. Личный вклад автора заключается: выборе анализируемых фрактальных множеств («дерево Кейли», кольцевой монополь); создании математических моделей фрактальных структур; разработке текста программ для параметризации фрактальной геометрии исследуемых частотно-избирательных структур; проведении серии численных экспериментов на основе созданных моделей в САПР AntSoft HFSS, EDEM 3D, а так же в обработке полученных результатов. Интерпретация полученных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций. В.7. Положения, выносимые на защиту 1. Методы генерации фрактальных структур и их компьютерные модели: салфетка Серпинского, дерево Кейли, кольцевые структуры. 2. Результаты численного моделирования антенн с фрактальной геометрией (дерево Кейли, салфетка Серпинского, кольцевые структуры) в диапазоне частот 0,1 -20 ГГц. 3. Зависимость числа резонансов фрактальной структуры от числа итераций, элементарной фрактальной структуры. 4. Результаты исследования характеристик фрактальных частотно-избирательных структур на основе дерева Кейли. Основные результаты проведенных исследований данной диссертации были представлены расширенными тезисами на следующих международных конференциях: XII Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка, МЭИ (ТУ), 2003); XIV и XV Международная студенческая школа-семинар (Судак, МИЕМ, 2006 и 2007); XI Международный молодежный форум (Харьков, ХНУРЕ, 2007); Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP-2007 (Edinburgh, UK, The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007); XIV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, НПФ "Саквоее", 2008); 2nd Internationl Conference "CHAOS-2009" on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, National and Kapodistrian University, 2009); "Progress in Electromagnetics Research Symp. (PIERS 2009)" (Moscow, MIREA, 2009); International Radar Symposium 2009 (IRS-2009) (Hamburg, Germany, TUHH, 2009); а также на следующих всероссийских конференциях: XLVI и XLVIII научная конференция МФТИ, (Долгопрудный, МФТЩГУ), 2003 и 2005); IX Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, МГУ, 2004); конкурс молодых ученых им. И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А. Котельникова, 2006);VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем "ДНДС-2009" (Чебоксары, ЧГУ, 2009). Основные результаты работы отражены в 3 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и 16 тезисах Международных и Всероссийских конференций. Общее количество работ - 19. Список работы приведен в конце диссертации под индексами Al - А19.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 102 страницы, в том числе 50 рисунков, 14 таблиц, библиографический список цитированных источников из 61 наименований, в том числе 19 публикаций автора по теме диссертации. Рассмотрим кратко основные методы, применяемые на сегодняшний день в большинстве программных пакетов, работающих с расчетом электромагнитных полей
Дерево Кейли в AntSoft HFSS v.10
Одним из современных направлений в анализе и синтезе фрактальных антенн является конструирование на их основе новых типов частотно-избирательных поверхностей и объемов [22]. Важность этого научного направления вызвана тем, что современные и перспективные радиопоглощающие покрытия и материалы должны обеспечивать ослабление широкого спектра электромагнитного излучения при произвольных углах зондирования и поляризации падающего излучения. Поэтому фрактальные частотно-избирательные поверхности и объемы (особенно в микроминиатюрном исполнении) перспективны для этих целей, а так же для создания новых искусственных композитов и метаматериалов с использованием понятия «фрактальных лабиринтов» с элементами теории перколяции. При этом одним из наиболее перспективных на сегодняшний день является эволюционное проектирование на основе генетических алгоритмов в задаче синтеза фрактальных частотно-избирательных поверхностей [22]. Заманчивым представляется рассмотрение и применение таких фрактальных объектов в нанотехнологиях.
В связи с этим исследовались электродинамические свойства некоторых типов фрактальных частотно-избирательных поверхностей на основе «Дерева Кейли» (Рис. 26) в САПР Antsoft HFSS.
Для моделирования двух пластин с выбранной фрактальной геометрией Дерева Кейли 6-го порядка, мы развернули их друг относительно друга на 90 относительно оси, перпендикулярной обеим поверхностям, и расположили на расстоянии 3 мм друг от друга, как показано на Рис. 46. Фрактальная структура облучалась плоской волной с вектором Е параллельным оси ОХ.
По сравнению с классическими частотно-избирательными структурами [31], где присутствует в основном один диапазон пропускания и отражения электромагнитных волн, в двухслойной фрактальной пластине на основе Дерева Кейли 6-го порядка мы наблюдаем наличие нескольких самоподобных окон пропускания и отражения [22, А6]. Данные окна аналогично фрактальной пластине обладают свойством самоподобия. Каждый элементарный участок Дерева Кейли вносит свой вклад в общую картину распространения и отражения электромагнитных волн. (б) двухслойной фрактальной структуры Дерево Кейли 6-го порядка от частоты.
Таким образом, данные численные эксперименты позволяют сделать вывод о многодиапазонности частотно-селективных поверхностей синтезированных на основе фрактальных множеств. Кроме того такие фрактальные структуры можно использовать как радиолокационные экраны, искажающие радиопортретьт исследуемых объектов.
Вторая итерация кольцевого монополя, А2
Однородная теория дифракции (ОТД) - это более современный метод приближенного решения задач рассеяния волн на больших объектах. В рамках этого метода поверхность объекта представляется набором плоских многоугольников, имеющих общие ребра. Поле, рассеянное многоугольником, разделяется на две составляющие: геометрооптическая часть, порожденная плоской поверхностью, и поле, порожденное ребрами. Метод ОТД считается более точным, чем МФО и имеет примерно те же пределы применимости.
В сравнении с алгоритмами МоМ - Method of Moments и FEM - Finite Elements Method, алгоритм метода конечных разностей во временной области (FDTD - Finite Difference Time Domain) (Yee-ячейка) решает уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей. Алгебраические уравнения записываются во временной форме и решаются в каждой временной точке анализа и дают широкополосную частотную характеристику. FDTD имитаторы могут обрабатывать сложный диэлектрик, структурируя его и описывая отдельные объекты, составленные из ячеек
Программа EDEM/ЭДЭМ (Электродинамика Элементов из Металла) предназначена для специалистов в области прикладной электродинамики и позволяет исследовать электродинамические свойства структур, допускающих аппроксимацию набором проводящих поверхностей.Это металлические тела, рефлекторы, экраны, замкнутые и незамкнутые оболочки произвольной формы, а также системы из них с характерными размерами от долей до нескольких длин волн.
Для аппроксимации таких структур можно использовать плоские треугольники и четырехугольники, спирали, диски, кольца и их сектора, замкнутые и незамкнутые поверхности вращения, цилиндрические поверхности, образованные кривыми второго порядка и двумерными сплайн -линиями, а также поверхности, «натянутые» на трехмерные сплайн линии.
Анализируемые объекты могут находиться в свободном пространстве или над проводящей бесконечной плоскостью (Рис. 3.) Если исследуемая структура обладает симметрией, это можно эффективно использовать для сокращения требуемого объема оперативной памяти и времени решения. Источниками возбуждения могут быть плоские волны, точечные источники в виде дельта - функций, элементарные электрические и магнитные вибраторы, апертуры с заданными распределениями источников, линейные вибраторные излучателя, а также любые их комбинации. ЭДЭМ позволяет находить электрические и магнитные поля, возникающие в окрестности таких структур как в ближней, так и в дальней волной зоне. Найденные распределения плотностей токов, наведенных на анализируемых структурах, могут изображаться в виде линейных диаграмм, в трехмерных задачах, а также в виде карты амплитуд и с помощью, получившей в настоящее время распространение, цветовой шкалы. Отображение распределения компонент полей реализовано в виде линейных диаграмм, в виде двумерных рельефов или с помощью цветовой шкалы, а также с помощью комбинации этих способов. Решение задачи на основе строгой постановки гарантирует учет всех физических явлений, которые могут возникнуть в той или иной системе и обеспечивает высокую точность. Можно использовать кусочно-постоянную аппроксимацию подлежащих определению функций (плотностей наведенных токов), а в трехмерном случае и более сложные функции, известные как функции Рао-Уилтона-Глиссона. Для решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводятся задачи, в данной версии реализованы как прямые, так и итерационные методы. К прямым относится: метод Гаусса, а также метод оптимального исключения, дающий четырехкратную экономию объема оперативной памяти по сравнению с методом Гаусса. К итерационным относятся две разновидности метода минимальных итераций, родственные методу сопряженных градиентов, но применимые к системам с матрицами произвольного вида, а также обобщенный (многослойный, или многошаговый) метод минимальных невязок, известный также как GMREZ и показывающий в большинстве случаев наилучшую сходимость. Анализ задач для сложных структур может быть организован на основе метода последовательных приближений, когда результаты решения для части структуры используются как возбуждающее поле для другой части. Программа содержит средства для оптимизации исследуемых структур по заданному критерию (Рис. 4). Это может быть, например, коэффициент направленного действия антенны, КИП и т.п. Для этого используются алгоритмы численного поиска экстремумов многопараметрических функций
Программа обладает также средствами для приближенного решения задач на основе метода физической оптики и позволяет визуализировать результаты расчетов полей и токов, получать диаграммы направленности. Она позволяет не только проектировать антенну и определять её частотные характеристики, но и также определять распределение поля на любом расстоянии от антенны, и распределение токов по поверхности антенны. Что дает понимание о нагрузках и потерях, и позволяет сделать вывод о скоплениях токов по поверхности и частях антенны, так как это играет важную роль в формировании свойств антенны. Программа ЭДЭМ позволяет визуально наблюдать распространение электромагнитного поля в пространстве вокруг антенны
Похожие диссертации на Многодиапазонные и широкополосные свойства фрактальных антенн и частотно-избирательных структур на их основе
