Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Численные методы анализа автоколебательных систем . 16
1.1 Метод медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения. Аналитический вариант 16
1.2 Численная реализация метода ММА 24
1.3 Метод ММА и цифровая фильтрация сигналов 38
1.4 Метод усреднения для дискретных автоколебательных систем 41
1.5 Полуразностная модель автогенератора с распределенной обратной связью 42
1.6 Выводы 48
Глава II. Моделирование автоколебаний в струнном генераторе 52
2.1 Экспериментальные исследования резонанса в ЭМР 52
2.2 Линейная эквивалентная схема струнного ЭМР и численная обработка результатов эксперимента 60
2.3 Модель струнного автогенератора 64
2.4 Разностный метод моделирования автоколебаний 69
2.5 Модовый анализ автоколебаний в струнном автогенераторе 74
2.6 Выводы 81
Глава III. Нелинейный резонанс в струнном элетромехаиическом резонаторе 84
3.1. Модель нелинейных колебаний струны 84
3.2 Модовый анализ эффекта нелинейного резонанса 86
3.3 Нелинейная фазочастотная характеристика струнного ЭМР 95
3.4 Исследование уравнения Дюффинга численным методом ММА . 99
3.5 Выводы 101
Глава IV. Детектирование доплеровских смещений частоты в дискретном автогенераторе 103
4.1 Модель ДВ-автогенератора 103
4.2 Синхронизация ДВ-автогенератора гармоническим сигналом . 105
4.3 Стохастизация автоколебаний неавтономного ДВ-генератора . 117
4.4 Динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации ДВ-автогенератора 120
4.5 Выводы 125
Заключение 128
Список использованных источников
- Численная реализация метода ММА
- Линейная эквивалентная схема струнного ЭМР и численная обработка результатов эксперимента
- Нелинейная фазочастотная характеристика струнного ЭМР
- Стохастизация автоколебаний неавтономного ДВ-генератора
Введение к работе
Изучение колебательных процессов имеет большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики и техники. Предметом теории колебаний является рассмотрение общих закономерностей колебательных процессов в различных динамических системах. Колебательные процессы в системах с постоянными параметрами (в линейных системах) изучены уже сравнительно давно, и математическая их теория развита с большой полнотой. Однако изучение общих закономерностей колебаний в системах с параметрами, зависящими от состояния системы (в нелинейных системах), началось значительно позднее, и долгое время рассматривались лишь отдельные частные задачи без обобщения полученных результатов на широкие классы динамических колебательных систем и протекающие в них процессы.
Среди нелинейных систем особое место занимают «автоколебательные системы». Термины «автоколебания» и «автоколебательные системы» предложены более 70 лет тому назад А.А. Андроновым. Эти термины являются в настоящее время общепринятыми: автоколебательной системой обычно называют систему, преобразующую энергию постоянного источника в энергию колебаний [1], или, другими словами, это системы с самоподдерживающимися колебательными процессами [2]. Необходимыми элементами всякой автоколебательной системы являются: 1) собственно колебательная система, 2) источник постоянной энергии, 3) элемент, управляющий поступлением энергии в колебательную систему, который можно условно назвать клапаном, 4) цепь обратной связи между колебательной системой и клапаном [1-5]. Благодаря наличию обратной связи (так называемой положительной обратной связи) в автоколебательных системах при определенных условиях может происходить нарастание малых колебаний. В пассивных системах (системах, не содержащих источников энергии) колебания всегда затухают, например, за счет механического трения, выделения тепла на электрическом сопротивлении и т. п. Поскольку, в противоположность этому, в автоколебательных системах колебания не затухают, то такие системы часто называют системами с отрицательным трением, отрицательным сопротивлением, отрицательной температурой и т. п. За счет нелинейности нарастание колебаний в автоколебательных системах не происходит до бесконечности, а ограничивается некоторой стационарной величиной, т. е. в таких системах могут возникать и поддерживаться незатухающие колебания - автоколебания. Период этих колебаний определяется характерными временными параметрами системы. Во многих системах возникающие автоколебания по форме оказываются близкими к гармоническим, а их частота близка к одной из собственных частот колебательного элемента. Такая ситуация характерна для весьма обширного и важного класса автоколебательных систем, получивших название квазилинейных и квазиконсервативных.
Автоколебательные системы можно разделить еще на два класса систем: сосредоточенные системы или системы с сосредоточенными параметрами — системы, которые можно заменить моделями с конечным числом степеней свободы, и распределенные системы или системы с распределенными параметрами — системы, которые заменяют моделями с бесконечным числом степеней свободы. Для описания процессов в сосредоточенных системах используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Процессы же в распределенных системах описываются уравнениями в частных производных либо интегральными уравнениями.
Автоколебания различной природы имеют большое разнообразие и играют большую и важную роль в различных областях науки и техники. Характерные свойства автоколебательных систем обусловлены нелинейностью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение таких систем [6], А поскольку эти правые части этих дифференциальных уравнений принципиально содержат нелинейные функции, то не существует общих методов точного их решения, таких как для линейных дифференциальных уравнений [3-5, 7, 8]. Среди всех нелинейных систем можно выделить системы, достаточно близкие к линейным - квазилинейные системы, для которых соответствующие дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат некоторый параметр є, входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении є они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр є является «малым», т. е. может принимать лишь достаточно малые по абсолютной величине значения.
Актуальность работы
Для квазилинейных квазиконсервативных колебательных систем к настоящему времени разработано достаточно много приближенных асимптотических методов исследования [1, 2, 6, 9, 10, 11]. Все они сводятся к получению с использованием ряда приближений неких укороченных уравнений, описывающих исходную квазилинейную систему, причем тем точнее, чем меньше параметр є и чем меньшее количество приближений было сделано. Во многих случаях получение укороченных уравнений очень трудоемкий процесс, даже при не очень сложном виде нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь приходят на помощь другой способ решения - численные методы решения дифференциальных уравнений. При использовании данных методов характер нелинейной части не играет существенной роли, а необходимая точность задается лишь объемом вычислений [12-14]. В связи с бурным ростом мощности вычислительной техники в последние годы, численные методы все чаще используются для решения нелинейных дифференциальных уравнений, а их использование в совокупности с приближенными асимптотическими методами выводит исследования автоколебательных систем на новый уровень.
Одним из важных применений автоколебательных систем с распределенными параметрами является их использование в сфере измерений различных физических величин. Причем одним из перспективных направлений является создание преобразователей различных физических величин в частоту. Это обусловлено тем, что погрешность воспроизведения эталона частоты лежит на уровне (5-ї-8)-10'13, и на современном уровне развития науки и техники частота является одной из наиболее точно измеряемых физических величин. Стандартные цифровые электронно-счетные частотомеры позволяют в обычных условиях производить измерение частоты с погрешностью не более 10*-10" . Кроме того, высокая помехоустойчивость и помехозащищенность частотопередающих трактов позволяет организовать дистанционные системы измерения и контроля, надежно работающие в промышленных условиях. Частотный выходной сигнал может быть преобразован в код практически без потери точности. Из всего многообразия частотных измерительных преобразователей одними из перспективных являются струнные измерительные преобразователи. Струнный преобразователь представляет собой высокодобротную механическую колебательную систему с линейно распределенными параметрами. Частота собственных поперечных колебаний струны обусловлена силой ее продольного натяжения. Преобразуя любую измеряемую физическую величину в изменение силы продольного натяжения струны, можно получить изменение частоты колебаний струны, являющееся мерой измеряемой величины. Для получения непрерывного выходного сигнала обычно реализуется струнный автогенератор, в котором струна является частотозадающим элементом.
Первые попытки использовать струнный метод для целей измерения деформаций элементов конструкций были предприняты в 1919 г. О. Шифером. Начало практического использования струнного метода измерений в нашей стране относится к 1928 г. и связано с именем акад. Н.Н. Давиденкова, который одним из первых описал преимущества струнных датчиков [15]. Но повышенный интерес к данному методу измерений был проявлен лишь во второй половине XX века. Было разработано много конструкций струнных датчиков для измерения различных физических величин: силы, давления, температуры, и др. [16-28], проведено много исследований различных погрешностей датчиков: температурных погрешностей, погрешностей, обусловленных упругими несовершенствами материала струн, влияние внешних инерционных сил, и др. [18, 22, 26, 27, 29-35]. Исследования по оптимальному режиму возбуждения струнных резонаторов можно найти в работах [34, 36], выбор различных параметров струны (материала, размеров и т.д.) описан в работе [37], одну из наиболее удачных схем усилителя колебаний с комбинированной обратной связью для использования со струнным резонатором для получения автогенератора можно найти в работе [38]. Однако проблемы улучшения метрологических характеристик, эксплуатационных показателей и конструктивных усовершенствований притягивали к себе большую часть интереса исследователей [15-45], в то время как частотным характеристикам колебаний струны уделялось не так много внимания. Тем не менее, можно найти работы, в которых отражены как линейные [46], так и нелинейные частотные характеристики [21, 47]. Тем не менее, вопросам нелинейных фазочастотных характеристик и модового анализа колебаний струны в магнитном поле в струнных резонаторах практически не уделялось внимания. Достижение минимального времени реагирования, дальнейшее повышение точности и совершенствование конструкции виброчастотных датчиков возможно лишь на основе детальных исследований переходных процессов и флуктуационных явлений в струнных автогенераторах.
Использование новой элементной базы для материалов струн -нитевидных кристаллов полупроводников, обеспечивающих лучшие механические характеристики [25, 28, 34], обусловило вновь возрастающий интерес к струнным датчикам в настоящее время [48], особенно с возможностью современной цифровой обработки частотных сигналов виброчастотных датчиков.
Цифровая обработка сигналов как направление развития науки и техники зародилась в 1950-х годах и поначалу представляла собой довольно экзотическую отрасль радиоэлектроники, практическая ценность которой была далеко не очевидной. Однако за прошедшие пятьдесят лет благодаря успехам микроэлектроники системы цифровой обработки сигналов не только воплотились в реальность используются в промышленности, но и вошли в нашу повседневную жизнь. Более того, во многих прикладных областях цифровая обработка сигналов стала вытеснять «традиционную» (аналоговую). В этой связи все более важным является вопрос о проектировании дискретных во времени систем (и цифровых систем как частного случая дискретных) с заданными характеристиками [49-57]. При этом особое внимание следует уделять исследованию нелинейных дискретных систем в связи с их широкими возможностями для обработки сигналов. Так, нелинейные рекурсивные системы второго порядка демонстрируют широкое многообразие периодических движений и могут быть использованы как генераторы сигналов. При этом они часто обладают новыми свойствами и особенностями, которых нет у аналоговых систем-прототипов [58-61]. Возникает вопрос разработки приближенных асимптотических методов для описания подобного рода систем. Для этого в качестве базы с большим успехом может использоваться обширный аппарат классических асимптотических методов для НВ-систем с модификациями применительно к ДВ-системам.
Цель работы
Целью настоящей работы является разработка математических моделей и численных алгоритмов анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков, включающая в себя решение следующих задач: разработка компьютерной версии метода ММА; разработка математических моделей струнного электромеханического резонатора и автогенератора на его основе, решение их численными и приближенными методами, сопоставление решений с данными эксперимента; разработка численных методов исследования дискретных и распределенных автогенераторов; исследование процесса синхронизации дискретного осциллятора гармоническим сигналом; — разработка динамического алгоритма детектирования сигналов с угловой модуляцией на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора.
Методы исследования.
Основу работы составляют методы теории колебаний и волн, методы математического моделирования, асимптотические методы теории нелинейных колебаний, численные методы теории динамических систем. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием математических пакетов.
Научная новизна работы определяется - разработкой численного метода медленно меняющихся амплитуд и его применением для расчета характеристик автоколебательных систем; — модификацией метода усреднения для дискретных автоколебательных систем и использованием его для расчета характеристик дискретных автогенераторов; методикой и результатами численного моделирования ряда автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями; разработкой математической модели струнного автогенератора и модовым анализом автоколебаний; — исследованием амплитудных и фазовых характеристик нелинейных колебаний струнного резонатора; - исследованием эффекта синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом; — построением алгоритма частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного осциллятора.
Положения, выносимые на защиту:
Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд.
Математическая модель автогенератора на основе струнного электромеханического резонатора, позволяющая выявить эффект стабилизации частоты, обусловленный взаимодействием мод и гармоник автоколебательной системы.
Амплитудные и фазовые характеристики нелинейных колебаний струнного резонатора - результаты моделирования и эксперимента.
Динамический и стохастический режимы синхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.
Динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации ДВ-автогенератора.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтв ержд аются: использованием математически обоснованных численных методов решения рассматриваемых задач; количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента; соответствием приведенных результатов численных расчетов их аналогам, полученным другими авторами; соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.
Практическая ценность работы
1. Предложенные в диссертационной работе численные методы исследования автоколебаний могут найти применение при решении ряда прикладных задач: для анализа и оптимизации режимов колебаний радиочастотных автогенераторов; для анализа автоколебаний в дискретных автогенераторах и разработкой нелинейных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов; для проектирования автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями.
Математические модели струнного резонатора и автогенератора на его основе, а также результаты численного моделирования могут использоваться для дальнейшего повышения точности и совершенствования конструкции виброчастотных датчиков.
Дискретный осциллятор Ван дер Поля и динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации автогенератора целесообразно использовать для реализации быстродействующих цифровых систем частотного детектирования сигналов с угловой модуляцией, в том числе в составе цифровых устройств измерения физических величин на основе частотных датчиков.
База исследования
Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались:
I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.);
IX Российской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, ПГАТИ, 12-22 февраля 2002 г.); - Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов, посвященной 107 годовщине Дня радио (г. Красноярск, 7-8 мая
2002 г.);
Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.);
II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 7-13 сентября
2003 г.); - 8-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (г. Нижний Новгород, 23 сентября
2003 г.); - III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 6-12 сентября
2004 г.); конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);
IV международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 3-9 октября 2005 г.).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени докторов наук и 10 тезисов докладов и сообщений различных научно-технических конференций и семинаров.
Содержание работы
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
В первой главе представлен ряд методов анализа автоколебательных систем. Приведены классические метод медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения. Разработаны на их основе численная реализация метода ММА с примером использования для расчета характеристик автоколебательных систем и модификация метода усреднения для дискретных автоколебательных систем. Показано, что правые части укороченных уравнений компьютерной версии метода ММА могут рассматриваться как результат фильтрации полигармонических сигналов, генерируемых нелинейностями автоколебательных систем цифровым КИХ-фильтром. Предложена методика и приведены результаты численного моделирования автоколебательных систем с распределенными (волновыми) обратными связями разностным методом.
Во второй главе представлены экспериментальные исследования резонанса в промышленном образце электромеханического резонатора, построена линейная эквивалентная схема струнного ЭМР, методом численной обработки результатов эксперимента определен ряд его параметров. Построена математическая модель автогенератора на основе струнного ЭМР в форме нелинейного интегро-дифференциального уравнения, проведено его численное решение разностным методом, а также на основе модового разложения колебаний проанализирован обнаруженный эффект затягивания гармоник автоколебаний.
В третьей главе построена математическая модель струнного электромеханического резонатора с учетом изменения силы натяжения в процессе колебаний. Проведено решение уравнения Дюффинга ~ одномодового приближения струнного ЭМР методом ММА, рассчитана нелинейная амплитудно-частотная характеристика, построено выражение для нелинейной фазочастотной характеристики с учетом омического сопротивления струны, проведено сопоставление с данными эксперимента. Также проведено решение уравнения Дюффинга численным методом ММА и проанализировано влияние количества мод в модовом разложении на описание струнного ЭМР.
В четвертой главе представлена синтезированная методом импульсной инвариантности модель дискретного автогенератора Ван дер Поля на основе одноименной аналоговой системы прототипа с уравнением движения в форме рекуррентного соотношения. Исследован процесс синхронизации дискретного автогенератора внешним сигналом методом ММА, определены области синхронизации, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики синхронного режима, проведено сопоставление результатов с данными численного эксперимента. Обнаружен и исследован модифицированным методом усреднения для дискретных автоколебательных систем новый режим колебаний на частоте (о1/4. Обнаружен эффект стохастизации автоколебаний дискретного автогенератора, находящегося под действием внешнего гармонического сигнала. Представлен динамический алгоритм частотного детектирования на основе эффекта синхронизации дискретного автогенератора Ван дер Поля и цифровой фильтрации сигналов, приведены результаты детектирования доплеровского смещения частоты акустического сигнала, излучаемого движущимся источником.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Численная реализация метода ММА
Здесь и ниже черта означает усреднение по явно входящему времени t. Уравнения (1.24) часто называют укороченными уравнениями для амплитуд и фаз.
Второе приближение. Здесь мы дадим лишь рецепт получения второго приближения без его достаточного обоснования. Для построения второго приближения подставим в уравнение (1.14) выражение (1.16), причем в вектор-функции X(t,pt, ) вектор , будем считать постоянным. Тогда для с учетом (1.19) получим уравнение
Разлагая правую часть уравнения (1.25) в ряд по р, ограничиваясь членами порядка р и отбрасывая вибрационные члены, получим уравнение второго приближения
Заметим, что такое же уравнение можно получить и из (1.22) путем отбрасывания членов порядка ft3 и усреднения по времени. Выражение для вектора х во втором приближении имеет вид (1.16).
Смысл описанной процедуры состоит в следующем. Из выражения (1.16) видно, что вектор х содержит быструю и медленную составляющие. Уравнения первого приближения получаются при подстановке в правую часть (1.14) только медленной составляющей х, т. е. быстрая составляющая вообще не принимается во внимание. Во втором приближении производится учет влияния быстрой составляющей на изменение медленной составляющей.
Аналогично строятся уравнения третьего и высших приближений. Легко убедиться, что в первом приближении уравнения для амплитуд и фаз, полученные методом усреднения, совпадают с соответствующими уравнениями, полученными методом ММА.
Частным случаем системы (1.1) является квазилинейная квазиконсервативная автоколебательная система с одной степенью свободы (АКС), или автоколебательная система томсоновского типа [2], которая описывается уравнением: собственная частота порождающей линейной системы, /(.) -функция, учитывающая нелинейности элементов системы, диссипацию энергии и положительную обратную связь в системе, fi - малый параметр.
Для приближенного решения нелинейных уравнений вида (1.27) теория колебаний имеет обширный набор асимптотических и родственных им методов [1, 9, 10]. Среди них наиболее удобными для инженерной практики являются описанные выше методы медленно меняющихся амплитуд и метод усреднения, результатом применения которых в первом приближении является система так называемых укороченных уравнений для амплитуды и фазы (комплексной амплитуды) автоколебаний. Иногда систему укороченных уравнений удается решить аналитически. А так как укороченные уравнения не содержат быстрых осцилляции во времени, то их численное интегрирование возможно при менее жестких требованиях к устойчивости метода, чем те, что необходимы для получения осциллирующих численных решений уравнения движения АКС (1.27).
В любом из перечисленных методов процедура получения приближенных укороченных уравнений из точного уравнения движения — весьма трудоемкий этап решения задачи даже тогда, когда речь идет о не слишком сложной правой части уравнения (1.27). В то же время, совершенно очевидно, что если не предполагается аналитического исследования укороченных уравнений, то их и необязательно записывать в аналитической форме. Для численного интегрирования системы укороченных уравнений достаточно иметь алгоритм расчета ее правых частей при всех допустимых значениях комплексной амплитуды.
Данный алгоритм проиллюстрируем на примере метода медленно меняющихся амплитуд, получив в результате его некую численную реализацию [62, 63].
Решение уравнения движения АКС (1.27) представим в виде функции двух временных аргументов: x(t) = x( r) где аргументы 4 t и г = /tf отражают разные временные масштабы исследуемых автоколебаний. Затем в рамках стандартной процедуры метода ММА выделим в решении осцилляции с частотой У0, имеющие медленные (по сравнению с exp(j0)) амплитуду а(т) и фазу (р{т): (0 = а(г)ехр[уу(,г)]+-а )ехр[-у (,г)] (1,28)
Здесь у/{4 ) = о -\-(р{т) - полная фаза колебаний. Для колебаний (1.28) с точностью до слагаемых порядка ju (слагаемые, имеющие порядок }л2, отбрасываются) имеем где штрихи означают производные по явно указанному аргументу, к.с. — комплексно сопряженные слагаемые.
Подставив выражения (1.28) и (1.29) в уравнение движения АКС (1.27) и сохранив в нем слагаемые порядка малости ju, получим приближенное равенство
Выберем теперь точку 4о такую, что у/(0,т)-0, и выберем на периоде Т0 = 2л1а)й N точек: п=пА, где п = 0,1,...,N \, а А Т0/N, Приращение фазы колебаний при переходе от точки к точке равно Д = (п+1)- (п) = й 0Л = 2яг/ІУ\ В точках дискретизации %„ проведем отсчеты сигналов в обеих частях равенства (1.27). Получим последовательность из /V выборочных значений:
Линейная эквивалентная схема струнного ЭМР и численная обработка результатов эксперимента
На рис. 1.8 в нормированном виде представлен отрезок реализации автоколебаний U0(t) (и=0) - выходной сигнал автоколебательной системы. Для сравнения на рис. 1.9 представлены реализации колебаний U%{t) и U1Q{t) -колебания напряжения в фиксированных точках распределенной ЛС-цепи обратной связи. Моделирование проводилось для N=20 точек разбиения пространственной переменной методом Рунге-Кутта четвертого порядка. На рис. 1.10 представлены пространственные профили волн &„( ) для фиксированных моментов времени f. Малосигнальный коэффициент усиления для представленных реализаций вдвое превышает порог самовозбуждения системы К0 = exp(fc,/)/2, ki = lm(k(o))).
Моделируемый режим представляет собой колебание, образованное нелинейной суперпозицией двух первых мод кольцевой колебательной системы. Причем, если для низкочастотной моды имеет место режим непрерывной генерации, то высокочастотная периодически подавляется.
Обратим внимание на одно из возможных применений рассмотренной здесь автоколебательной системы. Изготовив ЛС-линию на основе фоточувствительного полупроводника, можно получить автогенератор с частотой колебаний, зависящей от освещенности. Таким образом, распределенный ЯС-генератор может выполнять функции частотного датчика освещенности.
1. Представлены два наиболее удобных для инженерной практики и распространенных асимптотических метода исследования квазилинейных квазиконсервативных систем - метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) и метод усреднения, позволяющие получить укороченные уравнения для амплитуды и фазы колебаний в явном виде, которые могут быть решены аналитически или численными методами.
2. Представлена компьютерная версия метода медленно меняющихся амплитуд, предназначенная для моделирования переходных процессов и стационарных режимов в автоколебательных системах томсоновского типа. Приведены примеры применения метода к расчету характеристик квазигармонических автоколебаний в генераторе на операционном усилителе для двух видов аппроксимации его передаточной характеристики.
3. Показано, что правые части укороченных уравнений компьютерной версии метода ММА могут рассматриваться как результат фильтрации полигармонических сигналов, генерируемых нелинейн остями автоколебательных систем цифровым КИХ-фильтром.
4. Предложена модификация метода усреднения для дискретных автоколебательных систем томсоновского типа, позволяющий получить укороченные уравнения для комплексной амплитуды колебаний.
5. Предложена методика моделирования автоколебательных систем с распределенными обратными связями использующая гибридную вычислительную схему, в которой разностная аппроксимация производных проводится лишь по пространственной переменной. Приведены примеры применения методики к расчету автоколебаний генератора с ЯС-линией в цепи обратной связи. Показано, что в системе наблюдается сложный динамический режим автоколебаний с периодическим возбуждением и подавлением высокочастотной моды кольцевой автоколебательной системы.
Для экспериментального исследования резонанса в электромеханическом резонаторе была проведена серия экспериментов по изучению амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик резонатора [74-81].
В качестве экспериментального образца электромеханического резонатора использовался промышленный элемент, который представляет собой струну из вольфрамового сплава длиной 6 мм и диаметром 0.1 мм, расположенную в зазоре между полюсами самарий-кобальтового магнита (рис. 2.1). Ширина зазора 0.5 мм.
Блок-схемы экспериментальных установок для измерения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик показаны на рис. 2.2 и 2.3 соответственно.
В качестве входного возбуждающего сигнала использовался гармонический ток /s(/), пропускаемый через струну, выходным сигналом являлось напряжение V(t), снимаемое на концах струны (рис. 2.1). В качестве исследуемых АЧХ и ФЧХ выступал импеданс струны, измеренный на ее выводах Z{m).
При малых амплитудах сигнала возбуждения (порядка 0.5-1 мА) амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики струнного электромеханического резонатора имеют вид соответствующих АЧХ и ФЧХ линейного колебательного контура. Линейная АЧХ струнного резонатора при токе возбуждения /s=0.5 мА показана на рис. 2.4, соответствующая ФЧХ - на рис. 2.5. Значения напряжения К на концах струны и разность фаз Ад между входным и выходным сигналом показаны на рисунках точками.
Нелинейная фазочастотная характеристика струнного ЭМР
В правой части этого неравенства символом Q\ обозначена собственная добротность основной моды колебаний струны: Q] - 7tj25 . Заметим, что левую часть неравенства следует рассматривать как обратную величину добротности, вносимой в моду колебаний струны замкнутой петлей обратной связи. Для третьей моды неравенство, аналогичное (2.16), имеет вид
Здесь Q2 - Зя"/2 5 - собственная добротность третьей моды колебаний струны. Из сопоставления неравенств (2.16) и (2.17) следует, что, несмотря на большую добротность, условия самовозбуждения третьей моды более жесткие, чем первой. Физически это объясняется меньшей эффективностью переноса энергии цепью обратной связи в третью моду, чем в первую, за счет наличия в третьей моде участков струны, колеблющихся в противофазе. Понятно, что условия самовозбуждения для высших мод: у 28/хгт Угп-5,7,9,... - еще более жесткие. Поэтому струнный генератор возбуждается из нулевого начального состояния на основной моде ЭМР.
Система нелинейных дифференциальных уравнений (2.15) не имеет точных аналитических решений. Таким образом, для дальнейшего исследования автоколебаний в струнном генераторе следует либо использовать метод усреднения (или другие, родственные ему асимптотические методы теории нелинейных колебаний), либо численно интегрировать систему (2.15). Для обеспечения высоких динамических характеристик при изменении параметров резонатора генератор должен работать при высоких уровнях возбуждения. В этих условиях метод усреднения дает, как правило, лишь качественные результаты. Количественные характеристики автоколебаний удается получить лишь путем численного интегрирования системы (2.15). Очевидно, что вычислительные затраты при этом напрямую связаны с числом уравнений в системе - количеством мод в представлении (2.14) колебаний струны.
Интересно отметить, что в одномодовом приближении система (2.15) содержит единственное уравнение которое хорошо известно в теории нелинейных колебаний как уравнение Рэлея, описывающее автоколебательную систему с одной степенью свободы — осциллятор Рэлея. Но осциллятор Рэлея не может быть адекватной моделью струнного автогенератора. Дело в том, что кубическая нелинейность АЭ является источником нечетных гармоник колебаний основной частоты, в первую очередь - третьей гармоники. Третья гармоника находится в резонансе с третьей модой ЭМР, которая имеет высокую добротность. Взаимодействие мод и гармоник должно быть учтено в модели струнного автогенератора. Это можно сделать в рамках неполного трехмодового приближения U(X, Т) = Ах (T)sm(xX) + А3 (T)smQnX)
Здесь вторая мода резонатора не учитывается, исходя из предположения о симметрии магнитного поля В(Х) . В данном приближении система уравнений (2.15) принимает вид
Уравнения (2.19) можно интерпретировать как уравнения движения двух осцилляторов Рэлея, взаимодействующих через общую цепь обратной связи [74-77].
На рис. 2.22 изображены графики зависимости частоты автоколебаний от параметра глубины обратной связи у, полученные на основе моделей (2.18), (2.19). Частоты определялись методом спектрального анализа отрезков реализаций установившихся автоколебаний.
Как видно из графиков, одномодовая модель - осциллятор Рэлея (на графике отмечены точками) не может быть адекватной моделью струнного автогенератора, а результаты полученные на основе трехмодовой модели практически совпадают с результатами, полученными численным моделированием.
Рассчитаем частотную характеристику электромеханического резонатора - колебательной системы, лежащей в основе струнного автогенератора и описываемым уравнением (2.7). Входным сигналом для резонатора является ток /(/), протекающий по струне, выходным - напряжение на концах струны V{t). Наиболее наглядной частотной характеристикой будет импеданс струны, измеренный на ее выводах Z(J(o).
Используя модовое разложение (2.14) для уравнения (2.7) после процедуры нормировки аналогичной для уравнения (2.12) нетрудно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для модовых коэффициентов Ат(Т):
Стохастизация автоколебаний неавтономного ДВ-генератора
В результате численного эксперимента установлено, что автономная система генерирует квазигармонические колебания (при малых значениях коэффициента при нелинейной части) [60], нелинейный характер которых увеличивается с увеличением параметра g.
Также установлено, что синхронизация наблюдается, как и в случае НВ-генератора, при попадании частоты внешнего воздействия в окрестность собственной частоты колебаний, причем, чем больше амплитуда входного воздействия, тем шире ширина области синхронизации [83]. На рис. 4.2 показана реализация синхронизированных колебаний, на рис. 43 — соответствующий спектр (Cll 0.2,Ajrs=0.2,g=3, Q=30, П-0.21). амплитуде внешнего воздействия: сплошной линией - при непрерывном увеличении частоты входного воздействия, пунктиром - при уменьшении. На рис. 4.5 показана ФЧХ дискретного автогенератора в области синхронизации.
Частота колебаний измерялась путем спектрального анализа сигнала методом быстрого преобразования Фурье, амплитуда и фаза колебаний определялись методом преобразования Гильберта [55, 83].
Как видно из графиков, амплитудная характеристика синхронного режима в общих чертах сходна с АЧХ неизохронного НВ-генератора: она несимметрична, наблюдаются скачки амплитуды и гистерезисные явления. Общий вид графиков позволяет сделать вывод о хорошем качественном совпадении данных численного эксперимента с АЧХ НВ-автогенератор а с запаздывающей обратной связью [84].
Получим уравнение для амплитуды стационарных колебаний в синхронном режиме. Для этого решение уравнения (4.5) будем искать в виде: y[n] = LaZ:+la-Z;n (4.6) Здесь а — комплексная амплитуда, Zs - комплексное число, лежащее на единичной окружности с центром в начале координат Z-плоскости [60]. При этом частота стационарных синхронных колебаний Cls определяется как axg(Zs) = 2nls
Подставляя решение (4.6) в разностное уравнение (4.5) и пренебрегая в его правой части третьей гармоникой основного сигнала, получим комплексное уравнение для расчета амплитуды:
На рис. 4.6 показана теоретическая АЧХ дискретного автогенератора — график решения уравнения (4.7) относительно \а\ (Q) (здесь учтено, что a = jajexpC/p)), точками нанесены значения квадрата среднеквадратичной амплитуды, полученные в результате численного эксперимента. На рис. 4.7 показана теоретическая ФЧХ в области синхронизации - р{р) (П(=0.2,Л,=0.2,г=3,Є=30).
Как видно из графиков, в области синхронного режима наблюдается достаточно хорошее соответствие результатов теории и эксперимента.
Для исследования динамики колебаний применим обобщенный на дискретные системы метод медленно меняющихся амплитуд [60]. В этом случае решение разностного уравнения (4.5) будем искать в виде: y[n \ A[n\Z" +±A [n\Z-n (4.8) где А[п] - медленно меняющаяся комплексная амплитуда колебаний. Подставляя (4.8) в (4.5) и, пренебрегая третьей гармоникой основного сигнала, с учетом медленности А[п] получим укороченное уравнение первого порядка для расчета амлитуды: А[п\ = А[п - l]F(z, \А[п - if)+ /Ц, -— (4.9)
Следует заметить, что в данном случае укороченное уравнение имеет наиболее простую форму- рекуррентного соотношения. установления автоколебаний от начального значения А[0] - 0.3 при частоте внешнего воздействия О, 0.185. Там же показан отрезок реализации переходного процесса осциллятора. Сопоставление представленных временных зависимостей позволяет сделать вывод о хорошем качественном и количественном соответствии решения укороченного уравнения результатам численного эксперимента.
Если в уравнении (4.9) положить Л[и]- А[п-1] = а „ то получим уравнение (4.7). На рис. 4.9 показано изменение поправки на частоту автоколебаний Ag)[n] (arg(A[n])-arg(A[n-\]))/27r в синхронном режиме для отрезка колебаний, изображенного на рис. 4.8. Рассмотрим устойчивость найденного синхронного режима. Для этого запишем уравнения для малых отклонений от стационарного состояния;
Подставляя (4.10) в (4.9) после линейного приближения и разделения действительных и мнимых частей получаем следующее векторное уравнение относительно малых отклонений: Принципиальным отличием дискретного осциллятора Ван дер Поля является эффект стабильного генерирования частоты QUi, равной четверти частоты дискретизации [85, 86]. Это имеет место лишь при близости собственной частоты и частоты внешнего воздействия к [/4. АЧХ в этом случае разбивается на две зоны, совпадающие с АЧХ неизохронного НВ-генератора, между которыми находится область стабильного генерирования частоты Ои4, АЧХ в этой области испытывает резкий скачок (рис. 4.11).
Существование режима генерации частоты Ol/4 зависит также от величины амплитуды внешнего воздействия Ain и величины параметра превышения над порогом генерации g. Явление генерации ї1/4 объясняется самосинхронизацией дискретного генератора: подмененная третья гармоника поподает в область частоты П,/4, и, синхронизируя генератор, приводит к генерации этой частоты.
Для исследования режима установившихся колебаний в режиме генерации частоты П1М, а также процессов его установления, используем описанный в главе I метод усреднения для дискретных автоколебательных систем. Уравнение (1.51) в данном случае будет иметь вид:
