Содержание к диссертации
Введение
1. Принципы функционирования радиосистем и самоподобные модели их трафика -3-
1.1. Структура и принципы функционирования радиосистем - 10 -
1.2. Определения и основные свойства самоподобных случайных процессов .. -10 -
1.3. Характеристики самоподобия и способы их вычисления -16 -
1.4. Модели и самоподобные свойства трафика систем передачи информации - 25 -
1.5. Выводы -31 -
2. Вероятностно-временные характеристики функционирования радиосистем -41 -
2.1. Модель подсистем обработки служебных сигналов радиосистемы -43 -
2.2. Вероятностно - временные характеристики стационарного режима функционирования радиосистем -43 -
2.3. Вероятностно - временные характеристики нестационарного режима функционирования радиосистем - 49 -
2.4. Выводы -58 -
3. Характеристики самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем -69-
3.1. Характеристики самоподобия коррелированного гауссовского случайного процесса - 71 -
3.2. Характеристики самоподобия линейных случайных процессов - 71 -
3.3. Характеристики самоподобия трафика одноканальтюй системы с повторными сигналами - 79 -
3.4. Выводы -88 -
4. Моделирование радиосистем и их трафика при наличии повторных сигналов -98 -
4.1. Методы моделирования радиосистем и их трафика - 101 -
4.2. Имитационное моделирование радиосистем при наличии повторных сигналов - 101 -
4.3. Оценка характеристик самоподобия трафика и его моделей - 107 -
4.4. Выводы., - 116 -
Заключение - - 125 - -
Литература - 128-
Приложения - 134 -
- Определения и основные свойства самоподобных случайных процессов
- Вероятностно - временные характеристики стационарного режима функционирования радиосистем
- Характеристики самоподобия трафика одноканальтюй системы с повторными сигналами
- Имитационное моделирование радиосистем при наличии повторных сигналов
Введение к работе
Современные ради оси стемы представляют собой сложные многофункциональные комплексы, предназначенные для решения широкого круга задач. В соответствие со своим предназначением, радиосистемы делятся [1,32, 38, 42,43, 60, 73,78 и др.] на измерительные или информационные, управляющие, системы связи (передачи информации) и др. Как правило, сложные радиосистемы состоят из совокупности систем первичной и вторичной обработки сигналов [1,42,43,73 и др.].
Тенденции, связанные с непрерывным усложнением задач, стоящих перед радиосистемами, приводят к тому, что их функционирование все чаще связано с обработкой не одиночных сигналов, а их потоков [2,6,7,41,42, 62 и др.] достаточно большой интенсивности, наблюдаемых на фоне помех и шумов. В этих условиях описание систем должно быть комплексным, учитывающим как характеристики радиосистемы первичной обработки сигналов, так и характеристики системы вторичной обработки сигналов, а также их взаимовлияние и взаимодействие при функционировании. Это относится к радиолокационным комплексам, системам связи и передачи информации [1, 32, 73 и др.], широко использующим различные методы управления трафиком и дисциплиной обработки сигналов. При проектировании подобных комплексов, исходя из того, что они являются сложными многофункциональными системами, включающими различные составляющие, широко используется системный подход [12,41, 42, 43 и др.].
Исследованию радиосистем приема потока сигналов посвящена достаточно обширная литература [6, 7, 42, 43, 62 и др.] в которой рассматриваются вопросы оптимального и квазиоптимального анализа и синтеза приемных устройств, и, частично [6,7, 62 и др.], устройств управления. С другой стороны, радиосистемы необходимо рассматривать с учетом функционирования их подсистем массового обслуживания [1, 32, 63, 73 и др.], поскольку часто большая интенсивность воздействующего потока сигналов обусловлена наличием повторных сигналов [26 и др.], не обслуженных при первичном поступлении. Они вызывают пульсации трафика радиосистем и приводят к возрастанию пиковой нагрузки, что существенно ограничивает пропускную способность, которая является важнейшим показателем качества их функционирования. Поэтому исследование вероятностно — временных характеристик систем с повторными сигналами и свойств их трафика является важней -4 шей задачей. Несмотря на это в настоящее время известны лишь приближенные аналитические соотношения для вероятностных характеристик систем с повторными требованиями в стационарном режиме [70-72, 87 и др.]. В то время как оказалось, что само подобные свойства трафика определяются именно процессами установления равновесия.
Изучение сильно флуктуирующего трафика в сетях передачи информации привело к установлению его само подобной структуры, наличия долговременной зависимости и утяжеленных хвостов в распределенияусвязанных с ним случайных величин. Свойства трафика, его различные модели и характеристики самоподобия активно исследуются в зарубежной научной печати. Число работ, посвященных различным аспектам свойств трафика и его моделям в системах и сетях передачи информации очень велико и быстро растет. Достаточно сказать, что обзор [140], опубликованный в 1996 году, содержит 420 ссылок. Возрастающая активность в этом вопросе появляется и в отечественной научной печати. Так, в 2003 году появилась монография [85]. Активное изучение свойств трафика связано с тем, что они не соответствуют классическим результатам теории массового обслуживания, согласно рекомендациям которой рассчитывались пропускные способности и размеры накопителей систем передачи информации со свободным доступом, В частности трафик систем демонстрирует долговременную зависимость, что связано с показательным (а не экспоненциальным) убыванием его коэффициента корреляции. Поэтому, как впервые было установлено с помощью измерений [119], при увеличении размера буфера на входе канала вероятность потерь падает значительно медленнее, чем по экспоненциальному закону, свойстве]гному широко используемым классическим моделям телетрафика. Следовательно, таким образом рассчитанные накопители не обеспечивают достижение предполагаемой вероятности потерь.
Есть основания предполагать, что подобными само подобными свойствами обладает и трафик систем с повторными сигналами. В этой связи представляет интерес исследование их простейших моделей. Кроме того, исследование систем с повторными сигналами позволяет получить строгие результаты при анализе пропускной способности радиосистем со свободным множественным доступом (протокол «Алоха»),
Само подобные модели процессов и полей широко используются в современном естествознании, что связано с само подобием различных структур, существующих в природе.
Наряду с детерминированными, широкое распространение получили и модели с использованием самоподобных случайных процессов. Один из примеров таких процессов - вигнеровский процесс (броуновское движение). В последнее время активно используется обобщенное броуновское движение и другие модели случайных процессов, применяемые для описания различных процессов и явлений в физике и радиофизике.
Важнейшим параметром детерминированных и случайных самоподобных процессов является фрактальная размерность, характеризующая локальные свойства изрезанности траектории процесса и являющаяся мерой сложности реализаций процесса. Ее различные виды и способы определения обсуждаются в разделе 1.3. Здесь же более подробно остановимся на необходимости введения этого параметра.
Современный этап развития науки характеризуется широким использованием новых геометрических фрактальных моделей. Причиной этого является нелинейность всех явлений природы, а
- фракталы являются предельными множествами (аттракторами) многих нелинейных (сложных, хаотических) динамических систем;
- фракталы возникают там, где существенны степенные законы, описывающие явления, не имеющие собственного характерного размера (масштаба).
Последние возникают [74,75] как следствие общего неспецифического закона эволюции сложных нелинейных динамических систем - возникновения эффекта перемежаемости в ходе эволюции.
Фрактальные размерности идентифицируют фрактальные структуры и являются основной характеристикой новых геометрических моделей [4, 5, 47, 64, 105, 127 и др.]. Она позволяет выделить самоподобные (детерминированные и случайные) структуры среди всех остальных и различать их между собой. Фрактальная размерность и другие характеристики самоподобия отражает симметрию геометрических структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности может служить характеристикой изучаемых систем.
В [74,75] фрактальные размерности реализации эволюции сложной динами -6 ческой системы предлагается использовать в качестве характеристик свойств динамической системы (например динамических систем, порождающих фликер-шум). Тогда по изменению фрактальной размерности во времени можно судить об изменении состояния системы и разрабатывать методики прогноза ее эволюции. Это относится и к динамическим системам реализующим состояния «самоорганизованной критичности» и «стохастического резонанса».
Фрактальная размерность может использоваться при несостоятельности или малой эффективности выборочных оценок моментов процессов для их характери-зации, в том числе и для процессов, описывающихся распределениями с утяжеленными хвостами.
Предложен метод статистического анализа многомерных данных, основанный на определении их фрактальной размерности. Она характеризует внутреннюю размерность многомерных данных и предсказывает возможность анализа и сжатия данных. Таким образом, знание фрактальной размерности необходимо при решении широкого круга задач современной радиофизики.
Вычисление фрактальной размерности для рекурентного фрактала, когда задан его способ построения, не представляет особых затруднений, В литературе приведено множество примеров расчета фрактальных размерностей искусственных структур с заданными правилами построения (снежинка Кох, ковер Серп и некого и т.д.). Иное дело для случайных процессов, задаваемых лишь своими вероятностными характеристиками.
В настоящее время активно разрабатываются методы расчета характеристик самоподобия случайных процессов, широко используемых в качестве моделей в различных областях радиофизики и теории телетрафика [83, 85, 91, 93, 96, 100, 102, 103, ПО, 120, 121, 123, 124, 130, 133 и др.]. Однако в известной автору литературе рассматривается достаточно ограниченный класс случайных процессов.
Такие величины, как показатель Херста, фрактальные размерности и др., с одной стороны, характеризуют локальное поведение (изрезанность) реализаций случайных процессов на основе их вероятностных свойств, а с другой - задают некоторые удобные для анализа параметры в тех ситуациях, когда распространенные характеристики (например вероятностные моменты) могут не существовать. Последнее относится, например, к активно используемым в последнее время в радио -7 физике моделям на основе устойчивых случайных процессов.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки методов расчета характеристик самонодобия широкого класса случайных процессов и анализа самоподобных и вероятностно - временных характеристик трафика радиосистем при наличии повторных сигналов.
В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие задачи
- исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радио систем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;
- разработка методов расчета характеристик самонодобия достаточно широкого класса случайных процессов, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;
- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;
- оценка параметров самоподобия различных СП и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.
Учет повторных сигналов (требований на обслуживание) в системах передачи информации представляет собой актуальную задачу [28, 29, 30,31,70,71,72,90, 87, 115 и др.], которая в настоящее время решается различными численными и приближенными способами. При этом применяются методы теории массового обслуживания, использующие полное вероятностное описание системы. К сожалению, подобный подход обычно приводит к соотношениям не позволяющим найти точное решение полученной системы уравнений даже в стационарном состоянии.
В диссертации получены новые более простые аналитические соотношения для вероятностей, характеризующих функционирование одноканальной системы с повторными сигналами. С их использованием установлено, что поток источников повторных сигналов является отрицительно-биномиальным. Дана интерпретация этого потока как условно-пуассоновского.
Для нестационарного режима работы получены точные аналитические соотношения для первых двух статистических моментов интенсивностей обслуженной и повторной нагрузок в одноканальной системе с повторами. Проанализированы процессы установления стационарного режима. Исследованы флуктуации нагрузок и трафика в стационарном и нестационарном режимах работы рассматриваемой системы. Разработаны способы расчета самоподобной и самоафинной фрактальных размерностей гауссовского и линейного случайного процессов и рассмотрены различные примеры, в том числе устойчивых случайных процессов. С использованием разработанной методики рассчитана фрактальная размерность трафика повторных сигналов одноканальной системы.
Все основные полученные в работе результаты верифицировались посредством имитационного и статистического моделирования. Разработанный набор программ позволял
- осуществлять имитационное моделирование одноканальной системы с повторами;
- рассчитывать характеристики самоподобия трафика систем по результатам моделирования;
- моделировать случайные процессы с заданными характеристиками самоподобия и вычислять их фрактальные размерности.
Практическая значимость результатов работы состоит в расчете характерного времени установления стационарного состояния по среднему значению и дисперсии трафика, его флуктуации, показателя Херста и других величин для обоснованного выбора параметров радиосистем при наличии повторных сигналов;
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.
В первом разделе рассмотрена классификация радиосистем и их подсистем, приведены причины возникновения повторных сигналов. Даны определения самоподобных случайных процессов, рассмотрены различные характеристики самоно-добия, обсуждаются причины использования и области применения рассматриваемых случайных процессов в качестве моделей. Проанализированы методы вычисления фрактальных размерностей различных случайных процессов и способы определения характеристик самподобия по экспериментальным данным.
Во втором разделе рассмотрена структура подсистем обработки служебной информации радносистемы и выделен объект исследования. Получены вероятностные характеристики интенсивностей повторной и обслуженной нагрузок в стационарном режиме и первые два их момента в нестационарном. Исследуются скорости установления стационарного состояния по средним значениям, дисперсиям и флук-туациям интенсивностей нагрузок.
В третьем разделе развивается метод расчета самоподобной и самоафинной размерностей реализаций случайного процесса. Общие результаты получены для гауссовского и линейного случайных процессов. Найдены размерности случайных процессов, наиболее часто используемых в качестве моделей в радиофизических приложениях. Исследованы характеристики трафика одноканальной системы с повторными сигналами.
В четвертом разделе описано моделирование радиосистем и их трафика при наличии повторных сигналов. Описан созданный набор программ, предназначенный для того, чтобы
- осуществлять имитационное моделирование одноканальной системы с повторами;
- рассчитывать характеристики самоподобия трафика систем по результатам моделирования;
- моделировать случайные процессы с заданными характеристиками самоподобия и вычислять их фрактальные размерности.
Приведены результаты тестирования разработанных программ, а также верификации посредством имитационного и статистического моделирования основных полученных в работе аналитических соотношений.
В заключении подводятся итоги проведенного анализа, сформулированы выводы по работе в целом.
В приложениях приведены тексты программ.
Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских и международных конференциях и опубликованы в работах [16 - 25J.
В диссертационной работе принят следующий порядок нумерации формул и рисунков. Формулы внутри параграфа нумеруются последовательно. При ссылке на формулу другого параграфа в пределах раздела его номер отделяется от номера формулы точкой. При ссылке на формулу другого раздела, его номер, номер параграфа и номер формулы разделяются точками.
Определения и основные свойства самоподобных случайных процессов
В радио системах различного назначения можно выделить радиотехнические подсистемы и подсистемы массового обслуживания. При этом с выхода радиотехнической подсистемы поступает поток сигналов, прошедших первичную обработку, а подсистема массового обслуживания (ГТМО), в соответствии с различными дисциплинами, организует их последующую обработку. Радиосистемы функционируют в условиях интенсивного потока поступающих сигналов. Возрастание интенсивности потока поступающих сигналов возможно из-за появления внешних факторов, осуществляющих синхронизацию активности поступления первичных сигналов от абонентов. В приложениях к системам связи к подобным событиям относятся моменты возникновения различных катаклизмов и различных массовых мероприятий. В этих условиях нагрузка на систему передачи информации может существенно превосходить расчетную, что, при непринятии соответствующих мер, приведет к долговременной потере работоспособности системы. Причиной этого является наложение сигналов служебной информации, обычно достаточно маловероятное. Аналогичные явления, но с меньшей вероятностью, могут возникать во время нормального функционирования системы передачи информации за счет колебаний интенсивности нагрузки в течение суток (существование часа наибольшей нагрузки [44,73,87 и др.]).
Существенное влияние на возникновение описанных режимов и вообще на интенсивность потока поступающих на радиосистему сигналов, оказывает поведение абонента при отказе ему в обслуживании и использовании различных способов управления трафиком. Наиболее общая модель, описывающая функцию настойчивости абонента, связана с заданием вероятностей Hj, і появления повторных сигналов при отказе в доступе на / -ой попытке. Более простая, используемая при анализе систем с повторными вызовами модель (а, /7 - настойчивый пользова тель), получается из общей, если Н\—а, Hi = J3, і = 2 Причиной появления повторных сигналов может быть как ошибка в приеме служебного сигнала (кодограммы), так и занятость устройства регистрации (обработка предыдущей кодограммы), а также отсутствие свободного канала передачи сообщения и различные причины отказов, свойственные, например, телефонным каналам, при их использовании совместно с радиоканалами.
В системах передачи информации могут быть использованы различные способы управления трафиком и дисциплиной обслуживания, что приводит к нелинейным зависимостям интененвностей потоков входных и обслуженных сигналов. Эти факторы в настоящее время, могут быть корректно учтены лишь при имитационном моделировании. Однако, при всем многообразии их влияние сводится к увеличению интенсивности потока сигналов, поступающих на систему. Таким образом, реалистическая модель системы передачи и обработки информации учитывает наличие повторных сигналов.
Системы с повторными сигналами активно исследуются в теории массового обслуживания ввиду их большой практической значимости. Для их описания используется аппарат теории дискретных марковских процессов, который позволяет записать рекуррентные дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. К сожалению, в большинстве случаев даже стационарные варианты этих уравнений (не содержащие зависимоста от времени) могут быть решены только численно.
Определенное упрощение в описании систем достигается при высокой интенсивности потоков поступающих и повторных сигналов. В этом случае систему рекуррентных обыкновенных дифференциальных уравнений можно свести к уравнению в частных производных (например типа уравнений Фоккера-Планка) с заданными начальными и граничными условиями. Например, нормированная длина очереди в системе с пуассоновским входным потоком сигналов и экспоненциальным распределением времени их обработки в одном обслуживающем приборе сходится к диффузионному процессу (решению уравнения Фоккера-ГГланка) с отражением в нуле [3,39,65 и др.]. Такое приближение соответствует замене случайного блуждания, моделирующего изменение состояний системы, непрерывным случайным процессом с бесконечно малым изменением состояния за бесконечно малое время. В математической литературе строго доказана возможность такой аппроксимации, обсуждаются условия сходимости полученных решений к точным и найдены асимптотические оценки скорости этой сходимости [3, 65 и др.]. Естественно, что в этом приближении описываемые процессы будут непрерывными марковскими, в частности винеровскими.
Определенной альтернативой рассматриваемому строгому подходу являются методы, предлагаемые синергетикой и системотехникой [12,54,81 и др.]. Синерге-тический подход описания сложных систем предполагает использование законов сохранения для построения их моделей. Исследование полученных соотношений позволяет щучить качественный характер перестроек (катастроф [11,57 и др.]), происходящих в системе и приводящих к ее самоорганизации при неспецифическом [81] изменении внешних условий. Важнейшая особенность получаемых моделей состоит в том, что на их основе можно найти макроскопические переменные (параметры порядка) и их критические значения при переходе через которые система меняет свою структуру. Применительно к рассматриваемой задаче, эти параметры порядка должны содержать характеристики качества функционирования обеих подсистем радиоенстемы и описывать влияние их изменения на устойчивость и качество работы системы в целом. К сожалению, в рассматриваемой предметной области не установлены глобальные законы сохранения, тина закона сохранения энергии. В этом случае системотехника предлагает на основе теории размерностей или иных соображений установить некоторые инварианты, играющие роль локальных законов сохранения. С их помощью можно попытаться решить задачу описания поведения сложной системы и определения критических значений ее параметров.
Для систем с повторными вызовами, моделирующих работу ПМО радиосистемы и описывающихся совокупностью рекуррентных дифференциальных уравнений, роль таких инвариантов могут играть инварианты системы уравнений. Они выражают законы сохранения среднего числа поступающих и обработанных первичных и повторных сигналов и служат для вычисления нагрузки системы. Нагрузка - это широко используемый в литературе термин теории телетрафика характеризующий пропускную способность устройств обработки потоков сигналов,
Поскольку в литературе [44,87 и др.] имеются некоторые разночтения в определении нагрузки коммуникационных систем, приведем эти определения в том виде, как они используются в дальнейшем и докажем некоторые утверждения,
При обслуживании потока вызовов коммуникационной системой каждый вызов занимает выход системы на некоторый промежуток времени. Если, например, выход одновременно обслуживает только один вызов, то загрузка выхода может характеризоваться суммарным временем обслуживания всех вызовов, а коэффициент полезного действия или использование выхода можно оценивать отношением суммарного времени обслуживания всех вызовов ко времени действия выхода. В теории телетрафика [44,87 и др.] суммарное время обслуживания вызовов принято называть нагрузкой.
Вероятностно - временные характеристики стационарного режима функционирования радиосистем
При моделировании подсистем массового обслуживания систем передачи информации широко используется точечный пуасссоновскии процесс. С одной стороны он является марковским процессом, с другой - предельной формой независимых точечных процессов (при слабых предположениях сумма независимых точечных процессов сходится к пуассоновскому). Другие точечные процессы не проявляют этих свойств и следовательно не могут быть описаны законом распределения с одним параметром.
Полезным обобщением пуассоновского процесса, широко используемым в различных приложениях, является условно-пуассоновский процесс. Его распределение получается путем усреднения пуассоновского распределения по параметру, являющемуся непрерывной случайной величиной на положительной полуоси.
Для моделирования точечных процессов, обладающих самоподобными свойствами, используется частный случай условно-пуассоновского процесса - двойной стохастический гтуассоновский процесс, построенный на основе фрактальных шумов с малым временем корреляции. При этом интенсивность результирующего процесса является профильтрованным пуассоновским процессом I(t), а импульсная передаточная характеристика формирующего фильтра рациональна: гдеіУ(/)- формирующий стационарный пуассоновский процесс; {jK/f- совокупность независимых случайных величин.
Двойной пуассоновский процесс позволяет формировать кластерные само-нодобные потоки. При этом случаен сам момент появления кластера а также число и моменты появления событий, входящих в кластер. Такая структура потока требований качественно соответствует структуре потоков в пакетной связи, когда каждое сообщение (кластер) содержит случайное число пакетов, которые могут передаваться в случайные моменты времени. В модели учитываются и самоподобные свойства трафика, проявляющиеся во вложенности кластеров различных масштабов друг в друга.
Сложности моделирования подобных процессов па ЭВМ связаны с возможностью формирования пуассоновского процесса с переменной интенсивностью.
Упомянем модели, основанные на использовании процессов восстановления и их суперпозиции [93, 120, 121, 124, 126, 138, 139 и др.]. В литературе предложены модели самоподобных случайных процессов для описания трафика систем передачи информации на основе процессов восстановления. Рассматривается попеременно обновляющийся процесс, описывающий трафик между подстраивающимися друг к Другу источником и приемником. Эта модель в некоторой степени учитывает обмен служебной информацией между источником и приемником, характерные для протоколов передачи сообщений, и качественно верно характеризует реальный трафик современных высокоскоростных систем передачи информации.
Модели процессов, полученных с использованием вейвлет-преобразований рассмотрены в [107, 128, 142, 143 и др.]. Поскольку базисные функции, используемые в вейвлет-анализе, сохраняют свой вид при согласованном изменении масштаба и времени, т.е. являются самоподобными, постольку они могут служить естественным базисом для формирования самоподобпых случайных процессов. Поэтому ССП могут быть относительно просто синтезированы на ЭВМ как непосредственно-заданные случайные процессы на основе соответствующей совокупности независимых случайных величин.
Модели процессов, основанные на использовании динамических систем. Известно много нелинейных динамических систем, обладающих хаотическим поведением, Это означает, что их предельное множество в фазовом пространстве имеет фрактальную структуру. Использование этого факта позволяет генерировать на ЭВМ квазислучайные самоподобные процессы с заданными характеристиками и использовать их для моделирования трафика систем передачи информации.
Наиболее перспективными для моделирования трафика современных высокоскоростных систем передачи информации представляются двойной пуассонов-скнй процесс и суперпозиция процессов восстановления а также модель трафика, предложенная в [82, 137] для которой сформулированы необходимые и достаточные условия самоподобия. Необходимость использования подобных моделей для описания трафика систем передачи информации должна быть обоснована на основе исследования свойств потоков, циркулирующих в реальных системах или их имитационных моделях.
На рисунках ТЗО] приведены результаты измерения трафика систем и их моделирования. В первом столбце представлено число пакетов прошедших через сеть в зависимости от времени для различных интервалов дискретизации по времени (от 100 сек. на верхнем рисунке до О.ОІсек. на нижнем). Масштаб времени при переходе к каждому следующему рисунку изменяется в 10 раз. Видно, что реальные данные демонстрируют самоподобие: при изменении масштаба на пять порядков качественная структура кривых не изменяется. Во втором столбце представлена попытка моделирования этих данных с использованием классических предположений (пуассоновский поток) для тех же иптервалов дискретизации по времени. Из сопоставления рисунков следует, что если при малых интервалах дискретизации можно наблюдать некоторое качественное подобие экспериментальных данных и результатов моделирования, то при больших интервалах согласование отсутствует. В третьем столбце приведены результаты моделирования трафика на основе генерирования самоподобных случайных процессов. Наблюдается хорошее качественное согласование с экспериментальными данными.
Характеристики самоподобия трафика одноканальтюй системы с повторными сигналами
Во втором разделе рассмотрена структура подсистем (радиотехнической и подсистемы массового обслуживания) обработки служебной информации радиосистемы. Основное внимание уделяется их изучению при наличии повторных сигналов. Получены вероятностные характеристики интенсивностей повторной и обслуженной нагрузок в стационарном режиме и первые два их момента в нестационарном. Исследуются скорости установления стационарного состояния по средним значениям, дисперсиям и флуктуациям интенсивностей нагрузок. Рассматривается взаимодействие подсистем радиосистемы, а также влияние радиотехнической подсистемы, связанных с наличием шумов в канале передачи служебной информации.
Исходя из результатов раздела 1.1, простейшая модель радиотехнической системы передачи сообщений с учетом взаимодействия ее описанных подсистем, должна содержать радиотехническую подсистему передачи служебной информации и подсистему массового обслуживания (ПМО) служебной и неслужебной информации. Соответствующая система выделена на рис.1 сплошными линиями. Такое выделение объекта исследования в работе позволяет описать функционирование радиосистемы с учетом взаимодействия и взаимовлияния ее подсистем.
Рассмотрим структуру описываемой системы, например, применительно к радиотелефонной системе связи (рис.2). Здесь 1 - источник первичных сигналов (нагрузки), 2 — приемник служебных сигналов, 3 - одноканальное устройство обработки первичных сигналов служебной информации (регистрации , кодограмм), 4 -многоканальное устройство передачи неслужебных сигналов (линия).
Ввиду наличия шумов в радиоканале, радиотехническая система передачи служебной информации подвержена ошибкам. Их вероятность Р определяется отношением сигнал-шум в канале передачи информации и принятым способом кодирования служебного сообщения. Другая причина возникновения ошибок при передаче кодограмм связана с возможным совпадением во времени сигналов различных абонентов. Возникновение ошибки передачи кодограммы приводит к тому, что абонент не может быть авторизован. Таким образом, наличие ошибок передачи служебной информации является причиной появления повторных сигналов в системе. Повторные сигналы появляются также в связи с занятостью одноканального устройства регистрации кодограмм (блок 3) и отсутствием свободного канала передачи информации (блок 4).
Подобная схема взаимодействия радиотехнической подсистемы передачи служебной информации и ПМО свойственна и некоторым другим радиосистемам [42,43,62,63 и др.], так что рассмотренная структура обладает достаточной общностью.
В схеме рис.2 считается, что источник генерирует пуассоновский поток первичных сигналов с интенсивностью А., которые обслуживаются устройством регистрации случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром равным единице (ju = 1). Если устройство регистрации занято, то возникают повторные сигналы. Для описания поведения абонента при отказе в обслуживании используем модель a,j3 настойчивого пользователя [72,87 и др.] (повторяющего требование после первого отказа с вероятностью а, а после повторных - с вероятностью /3) до тех пор, пока оно не будет обслужено. Число повторных сигналов в единицу времени задается соотношением Y = KY2, где К - число источников повторных сигналов, а І2 - число сигналов в единицу времени, создаваемых одним источником, генерирующим пуассоновский поток с интенсивностью V .
Таким образом, поток повторных требований представляет собой сумму случайного числа К пуассоновских потоков с интенсивностью v, поэтому он не является пуассоновским. Следует отметить, что аналогичная модель возникает при исследовании пропускной способности протокола «ЛЛОХЛ» систем случайного множественного доступа. При этом в литературе используются приближенные методы анализа, основанные на предположении о пуассоновости суммарного потока повторных вызовов.
Для и - канального устройства 3, в отсутствии блоков 2,4 рис.2 для вероятности наличия в системе в момент времени t 0 к о источников повторных сигналов и занятости 0 j п линий, может быть записана система рекуррентных дифференциальных уравнений [98,65 и др.] где точкой сверху обозначено дифференцирование по времени. Как уже упоминалось, аналитическое решение этой системы уравнений возможно лишь в стационарном состоянии (p{n,k\t)-, р(п,к; х ) р(п,к)), при л = 1. Аналогичное утверждение можно сделать и относительно системы уравнений для усредненных характеристик работы системы - зависимостей среднего числа занятых устройств обслуживания (линий) от времени. Эти уравнения получаются на основе усреднения приведенной системы. Даже при п = 1 уравЕїения для средних характеристик представляют собой бесконечную систему в которую входят вероятностные моменты случайных величин всех порядков. Один из возможных способов ее решения состоит в получении вначале замкнутой системы уравнений для конечного числа моментов. Для этого необходимо пренебречь вероятностными моментами высоких порядков. Из литературы [46 и др.] известно, что гораздо лучших результатов на этом пути можно добиться, если такой прием используется относительно уравнений не для моментов, а для кумулянтов. Однако в любом случае полученное решение будет приближенным, а его точность зависеть от размерности и способа получения замкнутой системы уравнений.
Имитационное моделирование радиосистем при наличии повторных сигналов
Соотношения (9), задают отрицательно-биномиальное распределение. Таким образом распределенная случайная величина интерпретируется как число неудач до г-ого успеха в биномиальной схеме. Отрицательно-биномиальная случайная величина является безгранично-делимой, что позволяет ввести понятие отрицательно - биномиального потока и соответствующего случайного процесса, имеющего независимые приращения [7]. Однородный отрицательно-биномиальный поток можно интерпретировать как условно - пуассоновский со случайной интенсив ностью имеющей центральное % распределение с г степенями свободы [9]. Таким образом, рассматриваемый поток есть сумма г независимых геометрических (отрицательно-биномиальное распределение с г = 1) потоков. Все линейные функционалы, построенные на основе числа повторных сигналов в рассматриваемой системе являются линейными случайными процессами [49, 50 и др.] для которых в настоящее время разрабатываются методы анализа самоподобных свойств. Следует отметить, что отрицательно-биномиальные потоки фотоотсчетов возникают при описании регистрации слабого оптического r-модового гауссовского случайного сигнала в полуклассическом приближении.
Полученные соотношения при v — оо переходят в характеристики системы массового обслуживания М \ М \ 1 в стационарном состоянии. Действительно, случай V — оо соответствует тому, что требование на повторное обслуживание фактически становится в очередь и может быть обработано сразу при освобождении устройства обслуживания. Поскольку при У — оо г — 1, соотношения (9) переписываются в виде
Эти производящая функция и вероятность описывают характеристики оче реди в системе Л/"М1. Соотношение (10) задает вероятность того, что из к +1 сигналов, поступивших в систему за среднее время обслуживания одного сиг нала, к находятся в очереди. Производящая функция и распределение (9) являются результатами кратной свертки соответствующих функций (10). Следо вательно, для системы с повторными сигналами их число представляется как сумма г случайных величин, каждая из которых есть число требований в системе М\М\\. Таким образом, в системе с повторами находится, грубо говоря, в г раз больше требований, чем в системе с ожиданием.
Проанализируем характеристики числа источников повторных сигналов, существенно влияющие на свойства описанного процесса. Приведем результаты расчета по полученным соотношениям зависимостей средиеквадратического отклонения и флуктуации трафика повторных сигналов от Л при фиксированных v = l и V = 5. На рис.1 приведены зависимости среднеквадратичного отклонения числа источников повторных сигналов, рассчитанные с использованием (8) от Я при v = 1 (верхняя кривая) и V = 5 (нижняя кривая). Медленное возрастание среднеквадратичного отклонения числа источников повторных сигналов при малых Л сменяется быстрым при Л 0.6 -0.7. На рис.2 приведены зависимости флуктуации -yJD(K)/ К числа источников повторных сигналов от Л (V I- нижняя кривая, v = 5 - верхняя). Хотя флуктуации быстро ослабевают с увеличением Л, тем не менее, они все еще остаются значительными ( 1) при А 1. Поэтому реализация рассматриваемого случайного процесса имеет большой размах относительно среднего значения и убывает в некоторые моменты времени практически до нуля. Таким образом, трафик рассматриваемых систем имеет резкие перепады интенсивности, что качественно совпадает с результатами экспериментального измерения трафика в локальных сетях передачи данных [82, 137 и др.].
При анализе трафика систем передачи информации с повторными сигналами существенный интерес представляет исследование зависимости числа К повторных сигналов в системе от времени. Одномерные статистические характеристики этого процесса могут быть получены с использованием приведенных соотношений, учитывая, что он является условно — пуассоновским, что и сделано в разделе 3.3. На рис.3 приведены зависимости среднеквадратичного отклонения числа повторных сигналов, рассчитанные с использованием (3.3.20) от Л при v—\ (нижняя кривая) и к = 5 (верхняя кривая). Среднеквадратическое отклонение получено путем дифференцирования точного выражения (3.3.20) для характеристической функции. Медленное возрастание среднеквадратичного отклонения числа повторных сигналов при малых Л сменяется быстрым при Л 0.6 — 0.7. На рис.4 приведены зависимости флуктуации D(K )f К числа повторных сигналов от Л ( V = 1 - сплошная кривая, v = 5 - штриховая), рассчитанные с использованием точных соотношений (3.3.19), (3.3.20). Для того, чтобы применить эти формулы надо положить в них q = Л, r = Xfv +1, AS = v. Рисунки показывают, что качественное поведение начальных вероятностных моментов числа повторных сигналов и их источников совпадает. Таким образом, существенное упрощение известных из литературы соотношений для вероятностей в одноканальнои системе с повторными вызовами позволило - получить простое явное выражение для распределения числа источников повторных сигналов и дать этому соотношению полезную интерпретацию; - сравнить полученные соотношения с характеристиками длины очереди в системе М [ М11 и на основе этого сопоставить показатели функционирования систем; - установить факт безграничной делимости распределения числа источников повторных сигналов в одноканальнои системе с повторами. Из полученных результатов можно сделать следующие выводы 1. Характеристическая функция числа источников повторных сигналов является г - ой степенью характеристической функции системы М \ М 11. При целых г соответствующее распределение представляется в виде свертки, а структуру системы можно интерпретировать в виде параллельного соединения систем с ожиданием. 2. Число источников повторных сигналов является условно - пуассонов-ский случайной величиной со случайной интенсивностью имеющей центральное х распределение с г степенями свободы. 3. Из результатов расчетов следует, что хотя флуктуации числа повторных сигналов и их источников быстро ослабевают с увеличением Л, тем не менее, они все еще остаются значительными ( 1) при X 1. Поэтому реализации рассматриваемых случайных процессов имеют большой размах относительно среднего значения и убывают в некоторые моменты времени практически до нуля. Таким образом, трафик рассматриваемых систем имеет резкие перепады интенсивности, что качественно совпадает с результатами экспериментального измерения трафика в локальных сетях передачи данных.
