Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Генераторы хаотических сигналов. Исследование на низких частотах 25
1.1. Структура генератора на трехточке 26
1.2. Модели транзистора 32
1.3. Программный пакет для анализа систем связи радио- и СВЧ диапазонов 35
1.4. Математическая модель трехточечной схемы генератора 44
1. 5. Моделирование низкочастотных генераторов 46
1.6. Выводы 54
Глава 2. Генерация сверхвысокочастотных хаотических сигналов 56
2.1. Особенности поведения моделей генератора при повышении частоты 56
2.2. Моделирование генераторов хаоса СВЧ диапазона 65
2.3. Выводы 67
Глава 3. Сверхвысокочастотный хаотический генератор на основе трехточечной схемы в диапазоне от 3 до 5 ГГц 68
3.1. Постановка задачи 68
3.2. Хаотические колебания в схеме с идеальными элементами 69
3.3. Замена идеальных элементов на бескорпусные 72
3.4. Замена кремниево-германиевого транзистора на кремниевый транзистор 75
3.5. Учет топологии 77
3.6. Результаты экспериментов 80
3.7. Выводы 83
Глава 4. Очистка хаотического сигнала от шума 85
4.1. Введение 85
4.2. Информационные свойства хаотических сигналов. Дискретный случай 86
4.3. Ограничения, накладываемые теорией информации на очистку хаотических сигналов 94
4.4. Очистка хаотических сигналов от шума 96
4.5. Факторы, влияющие на эффективность алгоритма очистки 101
4.6. Очистка сигналов с малой степенью хаотичности 104
4.7. Выводы 108
Глава 5. Символическая динамика хаотической системы. Непрерывный случай 109
5.1. Информационные свойства хаотических сигналов. Непрерывный случай 109
5.2.Построение символической последовательности 110
5.3.Построение символической последовательности для системы Рёсслера 111
5.4.Восстановление траектории по символической последовательности. 113
5.5.Восстановление траектории системы Рёсслера 115
Выводы 117
Заключение.. 118
Список литературы 119
Приложения 123
- Программный пакет для анализа систем связи радио- и СВЧ диапазонов
- Особенности поведения моделей генератора при повышении частоты
- Замена кремниево-германиевого транзистора на кремниевый транзистор
- Ограничения, накладываемые теорией информации на очистку хаотических сигналов
Введение к работе
Актуальность задачи
Применение динамического хаоса в радиосвязи и радиолокации требует создания источников хаотических колебаний с заданными статистическими, спектральными и другими свойствами. Такие источники будем называть генераторами хаоса. Задача создания источников (генераторов) электромагнитного хаоса включает в себя разработку структуры генератора, математической модели, установление факта возможности хаотического поведения системы, изучение бифуркационных явлений, приводящих к такому поведению. При создании генераторов хаоса наряду с перечисленными задачами должна быть решена задача нахождения условий, при которых генерируемые хаотические колебания обладают приемлемыми с точки зрения решаемой проблемы спектральными и статистическими свойствами.
Из многочисленных источников хаоса, реализуемых в виде электронных устройств, далеко не все могут рассматриваться даже в роли прототипов генераторов хаоса.
Во-первых, большинство из них генерируют хаотические колебания со спектрами мощности, обладающими большой изрезанностью. В то же время, типичным требованием для прикладных задач является равномерность спектральной плотности в полосе генерации.
Во-вторых, многие источники хаоса могут быть реализованы только в области относительно низких частот электромагнитного спектра (до 10-100 МГц) в силу специфики применяемых в них элементов. И хотя прогресс в технологии постепенно сдвигает частотную границу в сторону больших частот, эти ограничения имеют место, и должны быть приняты во внимание.
В-третьих, по практическим соображениям «элементная база» хаотических генераторов должна, в основном, состоять из классических электронных компонентов. В частности, в качестве активных элементов
-5-желательно использовать биполярные и полевые транзисторы.
Ряд таких генераторов СВЧ-диапазона описан в литературе. Эти устройства, как правило, созданы в результате кропотливой экспериментальной работы. Более или менее полные математические модели для них отсутствуют, но даже их упрощенные модели имеют довольно высокую размерность. Отсутствие адекватных моделей серьезно затрудняет создание устройств, пригодных для массового производства, в частности, в виде монолитных интегральных схем (МИМС).
В хаотической динамике традиционно стараются использовать математические модели с минимальным числом дифференциальных уравнений. Такой подход безусловно оправдан при изучении фундаментальных бифуркационных явлений, однако он оказывается недостаточным при разработке генераторов хаоса СВЧ-диапазона. Действительно, пусть генератор состоит из ограниченного числа пассивных компонентов (резисторы, конденсаторы, индуктивности) и единственного активного элемента, например, транзистора. На низких частотах поведение активного элемента может быть описано с помощью статической вольт-амперной характеристики и представляет собой функциональное соотношение вида и = и(і). В этом случае размерность математической модели генератора определяется числом и способом соединения пассивных элементов. Например, для описания трехточечной схемы генератора, которая используется в работе, достаточно трех дифференциальных уравнений первого порядка. Однако положение кардинально меняется при переходе к построению моделей для высоких и сверхвысоких частот. В этих случаях модель активного элемента уже не является элементарной и статической, а описывается системой дифференциальных уравнений высокой размерности. Соответственно и математическая модель всего генератора в целом имеет высокую размерность.
К настоящему времени разработаны и широко используются ряд моделей транзисторов для высоких частот. Эти модели могут быть получены
у компаний-производителей. Они также включены в библиотеки средств разработки электронных схем. Таким образом, становится возможным построение модели хаотического источника в виде комбинации модели, описывающей пассивные элементы, и блока типа «черного ящика», описывающего активный элемент.
Разработка методов анализа и расчета генераторов ВЧ и СВЧ хаотических колебаний на основе подобных моделей в соответствующих программных средах является актуальной задачей. Она решается в диссертации на примере трехточечной схемы генератора.
Хаотические колебания, рассматриваемые как сигналы для передачи информации, обладают рядом специфических черт. В частности, они весьма чувствительны к возмущениям - любое возмущение сигнала экспоненциально увеличивается со временем. Следствием этого является то, что хаотические системы сами по себе содержат информацию. Данное обстоятельство может быть конструктивно использовано при их обработке.
В диссертации эта задача решается на примере очистки хаотического сигнала от шума.
Целями работы являются:
Разработка принципов компьютерного моделирования СВЧ генератора хаоса.
Компьютерное симулирование и дизайн СВЧ генератора хаоса на основе трехточечной схемы.
Создание алгоритмов очистки (фильтрации) хаотического сигнала с учетом его информационных свойств.
Научная новизна работы:
Разработаны принципы моделирования транзисторных генераторов хаоса в сверхвысокочастотном диапазоне.
Проанализирована адекватность применения простых моделей транзисторов для описания работы генератора путем сравнения с результатами моделирования генератора со сложными моделями
-7-транзистора.
С использованием разработанных методов симуляции СВЧ генераторов создан макет транзисторного генератора хаоса с сосредоточенными элементами в СВЧ диапазоне.
Предложен алгоритм очистки хаотического сигнала, основанный на обратном итерировании динамической системы.
Установлены пределы применимости этого алгоритма, накладываемые теорией информации.
Достоверность научных выводов работы подтверждается результатами физического эксперимента, математического моделирования, моделирования в компьютерном пакете разработки систем связи, а также сравнением с известными из литературы данными.
Основные положения, выносимые на защиту:
Методика моделирования транзисторного генератора хаоса, допускающая изменение частоты колебаний, с сопоставлением режимов для широкого спектра моделей: от простых, включающих одну нелинейность, до сложных иерархических моделей, соответствующих реальным электронным компонентам.
Методика компьютерной разработки транзисторного генератора сверхвысокочастотных хаотических сигналов в пакете разработки систем связи.
Алгоритмы очистки (фильтрации) зашумленного хаотического сигнала, генерируемого хаотической системой, и анализ ограничений, накладываемых теорией информации на характеристики этих алгоритмов.
Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию:
Предложенные и проанализированные в диссертационной работе
подходы к моделированию СВЧ генераторов хаоса позволяют
создать экспериментальные макеты генераторов хаоса на основе
-8-трехточечной схемы с необходимыми характеристиками.
Предложенные алгоритмы очистки сигнала могут послужить основой для разработки систем приема хаотических сигналов.
Полученные результаты и созданные методические материалы используются в учебном процессе студентами и аспирантами МФТИ.
Апробация работы и публикации
Материалы диссертационной работы были представлены на 7-й
международной конференции по нелинейной динамике электронных систем
NDES'1999 (Дания, 1999); на международной конференции по управлению
колебаниями и хаосом СОС'2000 (Санкт-Петербург, Россия, 2000); на
международном симпозиуме по синхронизации хаотических и
стохастических колебаний, с приложениями в физике, биологии, медицине SYNCHRO-2002 (Саратов, Россия, 2002); на Всероссийской научной конференции-семинаре «Сверхширокополосные сигналы в радиолокации и акустике» СРСА'2003 (Муром, Россия, 2003); на 12-й международной конференции по нелинейной динамике электронных систем NDES'2004 (Португалия, 2004); на Второй международной конференции ШЕЕ «Цепи и системы для телекоммуникаций» ICCSC2004 (Москва, 2004).
По теме диссертации опубликованы 19 печатных работ (12 докладов на конференциях, 1 препринт; 1 электронная публикация; 5 статей в отечественных и зарубежных журналах).
Структура и объем работы: диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, приложений и списка цитированной литературы. Работа содержит 174 страницы текста, 72 рисунка. Список цитированной литературы содержит 44 наименования.
Краткое содержание работы.
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, изложены положения, выносимые на защиту и краткое содержание работы.
В первой главе рассматривается генератор на основе трехточечной
схемы. Обсуждаются принципы расчета генераторов в области низких частот на основе низкоразмерных моделей транзистора. Проведено сравнение динамических режимов генератора с тремя моделями транзистора - моделью с экспоненциальной характеристикой, моделью из пакета SPICE и моделью Гуммель-Пуна. Отмечено хорошее соответствие на низких частотах динамики генератора с моделью Гуммель-Пуна, достаточно точно передающей поведение реального транзистора, и динамики генератора с простой моделью транзистора, описываемой экспоненциальной характеристикой. Для моделирования используется специализированный программный пакет.
Рассматривается схема генератора на основе активного элемента и пассивного четырехполюсника. Затем эта схема конкретизируется до модели генератора с биполярным транзистором в качестве активного элемента. Наконец, приводится схема генератора на трехточке, используемая в дальнейших главах (Рис. 1).
Ri і Ус
К -К»
7«() Фс3
Рис. 1. Схема генератора на трехточке с источником тока в цепи эмиттера.
Обсуждается инструментарий моделирования - пакет программ для анализа систем связи радио- и СВЧ диапазонов. Дается краткое описание функциональности пакета. Особое внимание уделяется описанию представления транзисторов в пакете, их параметров и области применимости. В частности, описываются модели для низкочастотного транзистора 2N2222 и высокочастотного транзистора BFP620.
Затем описывается математическая модель трехточечной схемы генератора.
ю.
dV,
Q dT = ~a?f{-V^ + IL
О)
C2 ^- = (1-^)/(-^) + ^-/0
(2)
Lf = ~VcrVc2-RIL+Vcc
(3)
Здесь Vc - напряжение на емкости Сг, Vc - напряжение на емкости С2, IL - ток через индуктивность, / - нелинейная характеристика транзистора, aF - отношение тока коллектора к току эмиттера (величина,
близкая к 1 для большинства транзисторов).
Рассматривается задача моделирования транзисторов 2N2222 и BFP620 на низких частотах. Приведены результаты моделирования трехточечной схемы генератора для этих двух транзисторов. Проведено сопоставление спектров мощности, фазовых портретов и временных реализаций для трехточечных схем с различными моделями транзистора.
Для сравнения динамических режимов также рассчитаны бифуркационные диаграммы (Рис. 2, Рис. 3).
/0, мА
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для трехточечной схемы с SPICE моделью транзистора 2N2222. Область частот - килогерцы. Параметры схемы: Q-0,5 пФ, С2=0,5 пФ, L = 9,1 мГн, R =80 Ом, Vcc=3 В.
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма для трехточечной схемы с моделью с экспоненциальной характеристикой для транзистора 2N2222. Область частот- килогерцы. Параметры схемы: Cj=0,5 пФ, С2=0,5 пФ, L = 9,l
мГн, Я = 80 Ом, Fcc=3B.
В целом, на низких частотах отмечено определенное соответствие в развитии динамических режимов в схеме генератора для различных моделей транзистора.
Показано, что изучение простейших моделей оправдано с той точки зрения, что они дают ключ к пониманию работы схемы и с более сложными моделями транзистора.
Во второй главе обсуждается переход к высоким частотам в трехточечной схеме, и исследуются динамические режимы высокочастотных генераторов хаоса.
Описывается процедура увеличения основной частоты колебаний в трехточечной схеме.
С'2 = Сг/у (4)
L' = L/y
Показывается, что для простой модели транзистора с экспоненциальной характеристикой предложенная процедура сохраняет динамические режимы в схеме. Этот вывод проверяется для транзистора 2N2222 в интервале частот от единиц килогерц до единиц мегагерц, и для транзистора BFP620 в интервале частот от килогерц до гигагерц.
12'
Действительно, сравнение спектров мощности и бифуркационных диаграмм говорит о сохранении динамики в широком интервале увеличения частоты колебаний (Рис. 4).
S,aB
S,AB
О 1D 20 30 АО 50 60 70 80 90 100 Частота, КГц
(б)
Э.ДЕ
Б.дБ
г" '^/ЦуУ
.^WWl
0.0 0.2 0.4 0.6 0,8 1.0
Частота, МГц
(в)
Частота, МГц
(г)
Рис. 4. (а) - (г). Изменение спектра мощности при увеличении частоты от единица килогерц (а) до единиц мегагерц (г) в трехточечной схеме с SPICE моделью транзистора 2N2222. Параметры схемы для рис. (а) (7=2): =0,5 пФ, С2=0,5 пФ, = 9,1 мГн, Я = 80 Ом, Vcc=3 В,
/0=1,951 мА.
Затем изучаются характеристики генератора хаоса СВЧ диапазона на основе трехточечной схемы. Рассчитаны бифуркационная диаграмма и
спектр мощности хаотических колебаний вблизи частоты 1,5 ГГц (Рис. 5).
S,flB
Частота, ГГц
Рис. 5. Спектр мощности для трехточечной схемы с моделью Гуммель-Пуна для транзистора BFP620. Параметры схемы: у=10б, Cj =0,5 пФ, С2=0,5 пФ, L = 9,l мГн, R =80 Ом, Vcc=3 В, /0 =4,475 мА.
В третьей главе описывается компьютерная разработка сверхвысокочастотного хаотического генератора на основе трехточечной схемы в диапазоне от 3 до 5 ГГц. Она включает в себя моделирование принципиальной схемы с идеальными элементами, затем - с неидеальными навесными элементами, и, наконец, с учетом электромагнитных эффектов топологии макета.
Обсуждается постановка задачи и резюмируются полученные в предыдущих главах результаты для высокочастотной трехточечной схемы. Рассматривается модель генератора с идеальными элементами в программном пакете. Частотный диапазон модели - приблизительно от 3 до 5 ГГц. Рассчитаны бифуркационная диаграмма и спектр мощности для режима вблизи частоты 3,7 ГГц с полосой около 600 МГц.
VC,B
Рис. 6. Бифуркационная диаграмма для генератора на основе трехточечной схемы с транзистором BFP620 в области частот от 3 до 5 ГГц. Параметр - напряжение источника VC. Выходное напряжение снимается с коллектора.
-14-Затем в этой главе обсуждается замена идеальных элементов в трехточечной схеме на реальные бескорпусные. Для этого используются модели реальных устройств в программном пакете. Таким образом, трехточечная схема рассчитывается как гибридная интегральная схема. Для получившейся системы рассчитаны бифуркационные диаграммы и проведено сравнение с режимами в схеме с идеальными элементами. Констатировано наличие сложных режимов в гибридной интегральной схеме.
if!--' ' I * ' -~*
4-t
TV ^-^
0~
1 ' !
6 7
VE,B
Рис. 7. Бифуркационная диаграмма для генератора на основе трехточечной схемы с транзистором BFP405 в области частот вблизи 4 ГГц. Параметр - напряжение источника VE. Выходное напряжение снимается с коллектора.
freq, GHz
Рис. 8. Спектр мощности колебаний в трехточечной схеме с транзистором BFP405. VE = 7,75 В.
Анализируется возможность замены кремниево-германиевого транзистора на кремниевый транзистор. Дело в том, что использованный ранее транзистор BFP620 создан по кремниево-германиевой технологии.
-15-Однако кремниевая технология имеет ряд преимуществ перед кремниево-германиевой (в частности, цена). В качестве альтернативы используется модель транзистора BFP405. Для полученной схемы получены хаотические режимы в диапазоне от 2,8 ГГц до 4,8 ГГц.
Рис. 9. Топология трехточечной схемы.
Следующий раздел этой главы посвящен учету электромагнитных эффектов топологии. Для этого в программном пакете предусмотрена возможность задания топологии макета. В работе приведена топология и результаты расчета. Исследована динамика системы в области частот около 5 ГГц.
VE,B
Рис. 10. Бифуркационная диаграмма для генератора на основе трехточечной схемы с транзистором BFP405 в области частот вблизи 5 ГГц. Параметр - напряжение источника VE. Расчет с учетом топологии и идеальных навесных элементов.
Четвертая глава посвящена задаче очистки хаотического сигнала от шума. Рассматривается система, состоящая из ведущей и ведомой систем и канала с шумом. В ведущей системе сигнал генерируется одномерным
хаотическим отображением.
Описана задача очистки хаотического сигнала от шума и приведен обзор подходов к ее решению. В простейшей форме задача очистки (фильтрации) может быть сформулирована следующим образом. Имеется источник хаоса (ИХ), который посылает сигнал х(к) в коммуникационный канал, где к сигналу добавляется аддитивный шум w(k). Далее имеется некоторое устройство, которое будем называть приемником хаоса (ПХ), на вход которого поступает смесь хаоса с шумом z(k)=x(k)+w(k), а на выходе необходимо получить хаотический сигнал как можно более близкий к выходному сигналу передатчика хаоса х(к) (Рис. 11).
w(k)
Рис. 11. Схема очистки хаоса от шума: ИХ - источник хаоса, ПХ -приемник хаоса, х(к) - хаотический сигнал; w(k) - шум; z(k)= х(к)+ w(k); х(к) - оценка хаотического сигнала.
Обсуждаются ограничения, накладываемые теорией информацией на
очистку хаотических сигналов. Суть ограничений сводится к соотношению
между пропускной способностью канала и скоростью производства
информации отображением, генерирующим сигнал:
С>Х. (5)
Для количественного анализа применяется теорема о пропускной способности канала с шумом:
„ ттг1 S + N
C^Wlog,-^, (6)
откуда можно вывести максимально допустимый уровень шумов в канале, при котором еще возможна очистка.
Рассматриваются три метода очистки хаотических сигналов от шума,
-17-проиллюстрированные для отображения сдвига Бернулли.
Суть первого метода состоит в преобразовании зашумленной хаотической последовательности на входе приемника в символическую последовательность. п членов символической последовательности, полученные из п членов принятого хаотического сигнала, позволяют, при определенных условиях, получить оценку хаотического отсчета с точностью до п двоичных знаков.
Второй метод основан на использовании отображения, обратного к отображению сдвига Бернулли (Рис. 12).
0.5 Is Ф+і)
Рис, 12. Отображение, обратное к сдвигу Бернулли.
Обратное отображение применяется к полученным в приемнике зашумленным хаотическим отсчетам. В силу растягивающих свойств отображения сдвига Бернулли обратное отображение будет сжимающим. Этот факт позволяет уменьшить шумовую компоненту полученного в приемнике сигнала. Поскольку обратное отображение двузначно, для выбора нужной ветви обратного отображения используется знак отсчетов, полученных в приемнике.
В этом методе точность оценки значения отсчета, также как и в первом методе, повышается вдвое при каждой итерации обратного отображения. Однако в случае малых шумов исходная неопределенность для первого метода равна 1 /2, а для второго - порядка шумовой компоненты. Поэтому при одинаковой точности оценки второй метод требует меньшего числа итераций (запаздывания).
Согласно третьему методу выбор ветви при обратной итерации производится на основе значения предыдущего отсчета, полученного в
-18-приемнике, а не символической последовательности.
Для количественной оценки эффективности рассмотренных методов были проведены численные эксперименты по очистке хаотических сигналов, генерируемых отображением сдвига Бернулли при гауссовском шуме в канале. В качестве критерия качества очистки сигнала в расчетах использовался логарифмический коэффициент очистки
К = Ш~
1^
V ' е (О
- С/Швх (дБ),
(7)
С/Швх=10ЛГ
-і
; О
(8)
Результаты экспериментов приведены на Рис. 13, Рис. 14.
40 С/Ше„ дБ
Рис. 13. Зависимость коэффициента очистки от уровня шума в канале. Сравнение эффективности методов очистки 1-3 для отображения сдвига Бернулли («=10, гауссовский шум).
40 С/Шех% дБ
Рис. 14. Зависимость доли ошибок от уровня шума в канале. Сравнение эффективности методов очистки 1-3 для отображения сдвига Бернулли («=10, гауссовский шум).
Сравнение показывает, что третий метод наиболее эффективен и начинает действовать при больших уровнях шума. Первый и второй методы при соответствующем выборе числа шагов почти эквивалентны.
Далее обсуждаются факторы, влияющие на эффективность алгоритма очистки. Во-первых, обсуждаются характеристики алгоритма для tent-отображения. Сравнение с характеристиками для отображения сдвига Бернулли показывает существенное ухудшение эффективности алгоритма. Анализируются причины этого эффекта и показывается, что причина заключается в геометрии отображения.
Следующая серия экспериментов проводилась с логистическим отображением. Результаты численного эксперимента говорят об улучшении эффективности алгоритма очистки для логистического отображения по сравнению с "tent''-отображением при низких значениях сигнал/шум в в канале, и наличие для логистического отображения спадающего участка на графике качества очистки при больших значениях С/Швх вместо эффекта насыщения (Рис. 15).
О 25 50 75 100
С/Шех, дБ
Рис. 15. Зависимость коэффициента очистки от уровня гауссовского шума в канале для сигналов, генерируемых симметричным "tent''-отображением (кривая 1) и логистической параболой (кривая 2) при и=10.
Анализ причин различия результатов приводит к выводу, что неравномерность локального ляпуновского показателя хаотического сигнала может приводить к ухудшению эффективности рассматриваемого метода очистки.
Затем обсуждаются подходы к очистке сигналов с малой степенью
-20-хаотичности с помощью рассмотренных методов. Малая степень хаотичности означает малую скорость производства информации хаотическим отображением. В частности, это означает, что сигналы с меньшей степенью хаотичности могут быть очищены при большем уровне шумов в канале, чем сигналы с большей степенью хаотичности. Для проверки этого вывода используется модельное отображение с параметризованной скоростью производства информации:
x(n + l) = (x(n)/fi)modl, (9)
и несимметричное tent-отображение:
х//л, <ц.
f{xtli) = 1^ (10)
1-М
Основное отличие этих отображений друг от друга - ранее упоминавшийся "геометрический" фактор. Для этих отображений рассчитана плотность распределения скорости производства информации.
Проведен численный эксперимент и проанализирована зависимость коэффициента очистки от уровня шума в канале (Рис. 16).
ее Sc
С/Швх, дБ
Рис. 16. Зависимость коэффициента очистки от уровня гауссовского шума для сигналов, генерируемых отображениями (9) (кривая 1) и (10) (кривая 2) и при п=20.
Констатируется улучшение очистки для отображения (9) по сравнению со сдвигом Бернулли. С геометрической точки зрения это объясняется тем, что у модельного отображения расстояние между ветвями больше, чем
-21-расстояние между ветвями сдвига Бернулли. Поэтому правильный выбор ветви возможен при большем уровне шума.
Для несимметричного tent-отображения результаты очистки существенно хуже, чем для симметричного tent-отображения. Во-первых, алгоритм начинает работать при больших отношениях сигнал/шум в канале. Во-вторых, не достигается теоретическое значение коэффициента очистки. Возможным объяснением является неравномерность плотности распределения для несимметричного tent-отображения и малая вероятность попадания траектории на участок с большим растяжением при малом числе итераций.
Пятая глава посвящена задаче очистке хаотического сигнала от шума в применении к системам с непрерывным временем. Задача решается на модельном примере осциллятора Ресслера.
Суть применения разработанного выше алгоритма состоит в разбиении фазового пространства системы на отдельные области. Каждой области ставится в соответствие определенный символ. После этого траектория системы может рассматриваться как последовательность символов, соответствующих последовательному прохождению траектории через определенные области фазового пространства. При определенном выборе разбиения фазового пространства получающаяся последовательность называется символической.
Аналогия с рассмотренным выше случаем отображений с дискретным временем заключается в том, что ранее фазовое пространство также разбивалось на две области (например, слева и справа от вершины tent-отображения).
Для систем с непрерывным временем рассматривается алгоритм очистки сигнала методом «обратного итерирования», аналогичный рассмотренному выше.
Вначале рассматриваются характеристики алгоритмы очистки в применении к системе Ресслера. Этот алгоритм может быть применен к
-22-осциллятору Колпитца, который эквивалентен трехточечной схеме.
Результаты работы алгоритма указывают на применимость предложенного алгоритма для систем с непрерывным временем.
Основные результаты и выводы диссертации;
Разработаны принципы компьютерного моделирования СВЧ генераторов хаоса.
Предложены и апробированы методы компьютерного симулирования и дизайна СВЧ генератора хаоса на основе трехточечной схемы.
Созданы алгоритмы очистки (фильтрации) хаотического сигнала с учетом его информационных свойств.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:
Дмитриев А.С., Касьян Г.А., Хилинский А.Д., Широков М.Е. "Предельная эффективность очистки хаотического сигнала от шума", Радиотехника и электроника, 1999, Т. 44, № 9, с. 1120-1130.
Dmitriev A.S., Kassian G., and Khilinsky A. Limit efficiency of chaotic signal cleaning off noise, Proc. 7th Int. Workshop NDES-99, 1999, Ronne, Denmark, pp. 187-190.
Dmitriev A.S., Kassian G., and Khilinsky A. "Chaotic synchronization. Information viewpoint", International Journal of Bifurcation and Chaos, 2000, vol. 10, No. 4, p. 749-761.
Dmitriev A.S., Kassian G.A. and Khilinsky A.D. Information viewpoint on chaotic synchronization, Proc. Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos (COC-2000), StPetersburg, Russia, July 5-7, 2000, vol. 2, pp. 335-338.
Дмитриев A.C., Касьян Г., Хаслер М., Хилинский А., "Хаотическая синхронизация двумерных динамических систем на основе передачи информации об их состояниях", Радиотехника и электроника, 2001, Т. 46, № 5, с. 566-575.
A.S. Dmitriev, М. Hasler, G.A. Kassian, and A.D. Khilinsky, Chaotic
-23-Synchronization of 2-D Maps Via Information Transmission, Proc. of Int. Symp. NOLTA'2001, Miyagi, Japan, October 28 - November 1, 2001, vol. 1, pp. 79-82.
Дмитриев A.C., Касьян Г.А., Хилинский А.Д. «Хаотическая синхронизация отображений Хенона. Информационный подход». Письма в ЖТФ, 2002.TOM 28. выпуск 9. с. 36-41
A.S. Dmitriev, М. Hasler, G.A. Kassian, and A.D. Khilinsky, "Noise-resistant chaotic synchronization of nonhyperbolic maps via information transmission", Proc. 10th Int. Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-2002), June 21-23, 2002, Izmir, Turkey, p. 3-17.
A.S. Dmitriev, G.A. Kassian, and A.D. Khilinsky, «Information transmission and transformation in chaotic synchronization process of 2D maps», Proc. Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations, Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002), September 22-28,2002, Saratov, Russia, p.36.
Khilinsky A.D. «Emerging Information Properties of Chaotic Synchronization of 2D-maps» II Attractors, Signals and Synergetics. Proceedings of 3rd European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis 'Euroattractor-2002', June 18-27, 2002, Warsaw, Poland
Dmitriev A.S., Hasler M., Kassian G.A., and Khilinsky A.D., "Noise-resistant chaotic synchronization of nonhyperbolic maps via information transmission", Proc. Int. Symp. Signals, Circuits and Systems (SCS-2003), July 10-11, 2003, Iasi, Romania, pp. 5-8.
Дмитриев A.C., Ефремова E.B., Хилинский А.Д. Принципы компьютерного моделирования транзисторных генераторов хаоса в программном пакете// Препринт ИРЭ РАН № 5(633), 2003.
Касьян Г.А., Хилинский АД. «Предельная эффективность очистки хаотического сигнала от шума» // Труды Всероссийской конф. "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации и акустике (СРСА-2003)", 2003, 1-3 июля, Муром. Россия. С. 343-347.
Касьян Г.А., Хилинский А.Д, «Хаотическая синхронизация через передачу минимальной информации», Труды Всероссийской конф. "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации и акустике (СРСА-2003)", 2003, 1-3 июля, Муром. Россия. С. 307-310.
A.S. Dmitriev, E.V. Efremova, A.D. Khilinsky «Modelling microwave transistor chaos generators», ICCSC2004, Moscow.
A.S. Dmitriev, E.V. Efremova, A.D. Khilinsky «Synthesis of single-transistor chaotic oscillators», NDES'2004, Portugalia.
A.S. Dmitriev, M. Hasler, G.A. Kassian, and A.D. Khilinsky, Chaotic Synchronization Via Minimum Information Transmission, 2002, (Cornell e-print archive).
A.S. Dmitriev, E.V. Efremova, A.D. Khilinsky «Single-transistor chaotic oscillators with preassigned spectrum», ICCSC'2004, Moscow.
Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., Efremova E.V., Khilinsky A.D., Kuzmin L. V. "Qualitative theory of dynamical systems, chaos and contemporary communications", Int. J. Bifurcation and Chaos, 2005, vol. 15, No. 11, pp. 3639-3651.
Программный пакет для анализа систем связи радио- и СВЧ диапазонов
Сравнение показывает, что третий метод наиболее эффективен и начинает действовать при больших уровнях шума. Первый и второй методы при соответствующем выборе числа шагов почти эквивалентны.
Далее обсуждаются факторы, влияющие на эффективность алгоритма очистки. Во-первых, обсуждаются характеристики алгоритма для tent-отображения. Сравнение с характеристиками для отображения сдвига Бернулли показывает существенное ухудшение эффективности алгоритма. Анализируются причины этого эффекта и показывается, что причина заключается в геометрии отображения.
Следующая серия экспериментов проводилась с логистическим отображением. Результаты численного эксперимента говорят об улучшении эффективности алгоритма очистки для логистического отображения по сравнению с "tent -отображением при низких значениях сигнал/шум в в канале, и наличие для логистического отображения спадающего участка на графике качества очистки при больших значениях С/Швх вместо эффекта насыщения (Рис. 15). (кривая 1) и логистической параболой (кривая 2) при и=10.
Анализ причин различия результатов приводит к выводу, что неравномерность локального ляпуновского показателя хаотического сигнала может приводить к ухудшению эффективности рассматриваемого метода очистки.
Затем обсуждаются подходы к очистке сигналов с малой степенью -хаотичности с помощью рассмотренных методов. Малая степень хаотичности означает малую скорость производства информации хаотическим отображением. В частности, это означает, что сигналы с меньшей степенью хаотичности могут быть очищены при большем уровне шумов в канале, чем сигналы с большей степенью хаотичности. Для проверки этого вывода используется модельное отображение с параметризованной скоростью производства информации: Основное отличие этих отображений друг от друга - ранее упоминавшийся "геометрический" фактор. Для этих отображений рассчитана плотность распределения скорости производства информации. Проведен численный эксперимент и проанализирована зависимость коэффициента очистки от уровня шума в канале (Рис. 16). Констатируется улучшение очистки для отображения (9) по сравнению со сдвигом Бернулли. С геометрической точки зрения это объясняется тем, что у модельного отображения расстояние между ветвями больше, чем -21-расстояние между ветвями сдвига Бернулли. Поэтому правильный выбор ветви возможен при большем уровне шума. Для несимметричного tent-отображения результаты очистки существенно хуже, чем для симметричного tent-отображения. Во-первых, алгоритм начинает работать при больших отношениях сигнал/шум в канале. Во-вторых, не достигается теоретическое значение коэффициента очистки. Возможным объяснением является неравномерность плотности распределения для несимметричного tent-отображения и малая вероятность попадания траектории на участок с большим растяжением при малом числе итераций. Пятая глава посвящена задаче очистке хаотического сигнала от шума в применении к системам с непрерывным временем. Задача решается на модельном примере осциллятора Ресслера. Суть применения разработанного выше алгоритма состоит в разбиении фазового пространства системы на отдельные области. Каждой области ставится в соответствие определенный символ. После этого траектория системы может рассматриваться как последовательность символов, соответствующих последовательному прохождению траектории через определенные области фазового пространства. При определенном выборе разбиения фазового пространства получающаяся последовательность называется символической. Аналогия с рассмотренным выше случаем отображений с дискретным временем заключается в том, что ранее фазовое пространство также разбивалось на две области (например, слева и справа от вершины tent-отображения). Для систем с непрерывным временем рассматривается алгоритм очистки сигнала методом «обратного итерирования», аналогичный рассмотренному выше. Вначале рассматриваются характеристики алгоритмы очистки в применении к системе Ресслера. Этот алгоритм может быть применен к осциллятору Колпитца, который эквивалентен трехточечной схеме. Результаты работы алгоритма указывают на применимость предложенного алгоритма для систем с непрерывным временем. Основные результаты и выводы диссертации; Разработаны принципы компьютерного моделирования СВЧ генераторов хаоса. Предложены и апробированы методы компьютерного симулирования и дизайна СВЧ генератора хаоса на основе трехточечной схемы. Созданы алгоритмы очистки (фильтрации) хаотического сигнала с учетом его информационных свойств.
Особенности поведения моделей генератора при повышении частоты
В левой части Рис. 1.13 приведен спектр мощности, в правой части показаны временная реализация, фазовый портрет, а также фрагмент временной реализации и соответствующий фрагмент фазового портрета.
Рассмотрим результаты расчета в деталях. Спектр мощности, фазовый портрет и фрагмент временной реализации приведены на Рис. 1.14-32 соответственно. Спектр мощности (Рис. 1.14) состоит из основной гармоники на частоте /0 =3,4 КГц, ее гармоник на кратных частотах /)=2/0, 3/0, ..., субгармоники на частоте f =-/0 и кратных ей нечетных компонент -/0, Фазовый портрет и временная реализация (Рис. 1.14) демонстрируют режим с двухтактным циклом. По графикам в таком масштабе можно, в принципе, идентифицировать одно-, двух- и многотактные циклы, чем мы будем пользоваться в дальнейшем. Для того чтобы идентифицировать область параметров с определенным режимом, используется бифуркационная диаграмма. Такая диаграмма строится для выявления разных типов динамического поведения системы при изменении определенного параметра. На бифуркационной диаграмме отмечаются точки экстремума колебательного процесса при изменении так называемого бифуркационного параметра. Это позволяет легко увидеть циклы и окна хаотического поведения. В качестве бифуркационного параметра выбран ток /0 источника тока. В дальнейшем будут сравниваться динамические режимы генератора с различными моделями транзистора. Поэтому интересно взглянуть на фрагмент бифуркационной диаграммы, где наблюдается сложное поведение. Для этого на Рис. 1.16 приведен фрагмент бифуркационной диаграммы для значения бифуркационного параметра IQ от 0,5 мА до 3 мА. Из нее следует, что развитие колебательных режимов в модели генератора при увеличении тока источника происходит следующим образом. После возбуждения автоколебаний наблюдается как минимум три бифуркации удвоения периода и переход к хаосу в области 10 «1,2 мА. Затем происходит срыв в режим двухтактного цикла с повторным переходом к хаосу в области 70 «1,8 мА. Далее области хаотического и регулярного поведения чередуются. Рассмотрим результаты расчета модели с экспоненциальной характеристикой для транзистора 2N2222. Это необходимо для того, чтобы сравнить, насколько модель с экспоненциальной характеристикой будет соответствовать SPICE модели транзистора 2N2222. Модель генератора с экспоненциальной характеристикой транзистора 2N2222. На Рис. 1.17 приведены спектр мощности, временная реализация и фазовый портрет для этой модели. Сравнение с Рис. 1.14 говорит о подобии спектров мощности для транзистора 2N2222 и для модели с экспоненциальной характеристикой. По-прежнему выделяется частота 3,4 КГц. Как и для фазового портрета трехточечной схемы с SPICE моделью транзистора (Рис. 1.14), фазовый портрет для модели с экспоненциальной характеристикой (Рис. 1.17) напоминает режим двухтактного цикла, хотя и с более «угловатыми очертаниями», чем для SPICE модели транзистора. На Рис. 1.17 приведен фрагмент временной реализации для модели с экспоненциальной характеристикой. По характеру временной реализации можно сделать вывод, что в системе присутствует многотактный цикл (по-видимому, 5-тактный цикл). На Рис. 1.18 приведена бифуркационная диаграмма для модели с экспоненциальной характеристикой для 2N2222 в рассматриваемой области частот. Из сопоставления диаграмм на Рис. 1.16 (для SPICE модели) и на Рис. 1.18 (для модели с экспоненциальной характеристикой) видно определенное соответствие в развитии динамических режимов в обеих моделях с увеличением тока. В частности, в обоих случаях усложнение колебательных режимов начинается как минимум с двух бифуркаций удвоения периода колебаний. Общим моментом в обеих диаграммах является также наличие достаточно широких областей хаотического поведения. Однако в структуре диаграмм имеются и существенные различия. Например, в интервале значений тока от 1,25 мА до 1,75 мА в первом случае реализуется режим регулярных колебаний, а во втором перемежаются области хаотического и регулярного поведения.
Замена кремниево-германиевого транзистора на кремниевый транзистор
Бескорпусные элементы представляют собой миниатюрные резисторы, конденсаторы и т.д. (chip resistors/conductors/inductors), используемые как навесные элементы в гибридных интегральных схемах.
Программный пакет снабжен моделями реальных бескорпусных элементов с дискретным набором номиналов. Параметры модели предоставляются производителями электронных компонентов. В Приложении приведен обзор соответствующих моделей и возможностей расчета в программном пакете.
Идеальные элементы были заменены близкими по номиналу компонентами бескорпусных элементов. В таблице 12 приведены значения идеальных элементов и номиналы соответствующих бескорпусных элементов. Заметим, что для резисторов удалось подобрать аналоги довольно точно. Для конденсаторов отличие между номиналом идеального компонента и ближайшим номиналом бескорпусного элемента составляет до 90%. Области применимости всех рассматриваемых компонентов не выше 6 ГГц. бескорпусными компонентами вместо идеальных компонентов. Поскольку при замене идеальных компонентов номиналы немного изменились, полезно иметь для сравнения результаты расчета схемы с идеальными компонентами с новыми номиналами. На Рис. 3.9 приведена бифуркационная диаграмма для трехточечной схемы с идеальными элементами с номиналами, равными номиналам навесных компонентов. Заметны определенные отличия в ассортименте динамических режимов по сравнению с бифуркационной диаграммой для схемы на идеальных компонентах (см. Рис. 3.3). Например, исчезло окно регулярного поведения в области VC = 0,09 В. Возможно, это окно сдвинулось в область VC = 0,16 В (см. Рис. 3.9 (а)). Однако в системе по-прежнему наблюдаются интересные сложные режимы. Это позволяет считать рассматриваемые номиналы компонентов приемлемыми для хаотического генератора. На Рис. 3.9 (б) приведена бифуркационная диаграмма по параметру VC для схемы с навесными неидеальными компонентами. Как видно, произошло заметное обеднение режимов. Для поиска динамически более богатых режимов мы в дальнейшем будем менять два параметра - напряжения источников VC и VE. Именно они наиболее легко изменяемы в экспериментальном макете. Транзисторы на основе кремниево-германиевой технологии (SiGe) обладают рядом преимуществ по сравнению с транзисторами на основе кремниевой технологии (Si). В частности, кремниево-германиевые транзисторы более высокочастотные. Однако кремниевые транзисторы более дешевы и распространены. Технология их производства хорошо освоена промышленностью. По этой причине представляет интерес возможность реализации СВЧ генератора хаоса на кремниевом транзисторе. Наша цель - исследовать генератор на кремниевом транзисторе и оценить возможность получения хаотических режимов в рассматриваемом диапазоне. Рассмотрим транзистор кремниевый транзистор BFP405. Основные характеристики этого транзистора: п-р-п кремниевый транзистор; Частота fT =25 ГГц; Предназначен для осцилляторов на частотах до 12 ГГц. Для начала, интересно взглянуть на результаты расчета трехточечной схемы с теми же номиналами, что и для кремниево-германиевого транзистора BFP620. На Рис. 3.10 приведена соответствующая бифуркационная диаграмма. Сравнение с бифуркационной диаграммой для генератора на BFP620 (Рис. 3.3) показывает, что режимы значительно изменились, чего, впрочем, и следовало ожидать с заменой транзистора. Исследуем область параметров генератора на BFP405 на наличие сложных динамических режимов. Как оказалось, параметр VE удобен для исследования бифуркационной диаграммы в данном случае. На Рис. 3.11 -представлена бифуркационная диаграмма со сложными динамическими режимами. Параметры схемы представлены в таблице 13. На Рис. 3.12 приведен спектр мощности при значении бифуркационного параметра VE = 7,75 В. Как видно, спектр простирается от частот 2,8 ГГц до 4,8 ГГц. Таким образом, в первом приближении можем констатировать наличие хаотической динамики в генераторе на трехточке с кремниевым транзистором в рассматриваемом диапазоне частот. В предыдущих разделах данной главы при моделировании трехточечной схемы были получены сложные хаотические режимы в области частот от 3 до 5 ГГц в генераторе с кремниевым или с кремниево-германиевым транзисторами. Моделирование проводилось в программном пакете для принципиальной схемы, т.е. для схемы без учета электромагнитных эффектов контактных площадок и печатной платы. Однако создание экспериментального макета требует более точного расчета электромагнитных эффектов топологии. Итак, наша нынешняя цель -промоделировать печатную плату с навесными элементами в СВЧ области. Следующий шаг - экспериментальная реализация генератора в виде монолитной интегральной схемы (ММІС).
Ограничения, накладываемые теорией информации на очистку хаотических сигналов
Свойства траекторий этого отображения удобно рассматривать, используя двоичное представление переменной х(к). Если траектория отображения стартует с начального значения, лежащего внутри интервала (0,1) и представленного в виде то в двоичной системе счисления х(0) = 0,я0я,.... Действие отображения (4.2) на начальное условие (4.3) заключается в сдвиге мантиссы х(0) на единицу влево и отбрасывании первого члена aQ. Таким образом
При достаточно длинном итерировании результат будет зависеть от вида начального условия. Если оно состоит из конечного числа цифр, строка цифр будет конечной, если рационально - строка станет периодической и если - иррационально, строка будет бесконечным неповторяющейся.
На практике, начальное значение х(0) всегда известно только с некоторой конечной точностью s в машинном представлении и содержит # = -log2(e) бит информации. Приращение информации в точке х отображения у = f[x), определяется наклоном кривой отображения в этой точке
В случае отображения сдвига Бернулли наклон касательной совпадает с тангенсом угла наклона отрезков, образующих отображение, и df/dx=2 везде, кроме точки разрыва х=1/2. Таким образом, каждый малый интервал увеличивается вдвое в размере при однократном итерировании. Если в начальный момент времени неопределенность в положении начальной точки была є, то после первой итерации она станет равной Is. Изменение в информации о положении точки при этом составит и не будет зависеть от интервала неопределенности є. То есть после каждой итерации один новый бит доступен для измерения, соответственно изменяется знание о значении переменной.
Увеличение неопределенности в значении проитерированной переменной означает увеличение информации, которое не связано ни с влиянием каких-либо внешних факторов, ни с неопределенностью в начальных условиях. Следовательно, эта дополнительная информация порождается самим отображением.
После w log(s) итераций отображения начальная неопределенность є приводит к неопределенности в пределах всего отрезка [0,1] и данные о начальном условии полностью теряются.
В этом простом частном случае отображение эргодично, т.е. все траектории, не принадлежащие множеству нулевой меры периодических орбит, с течением времени проходят снова и снова сколь угодно близко около каждой точки. Более того, для таких типичных траекторий х плотность вероятности Р(х) - константа. Для других видов отображения ни то, ни другое не обязательно. Например, если наклон отображения не везде превышает единицу, то существуют участки отображения, которые преобразовывают заданный интервал неопределенности в меньший интервал. Примером такого отображения может служить отображение
Для него неопределенность є в значении переменной будет после каждой итерации уменьшаться вдвое (Рис. 4.3). При этом система на каждой итерации будет "поглощать" информацию, содержащуюся в начальных условиях. Предельное состояние здесь, так же как в случае сдвига Бернулли, не будет зависеть от начальных условий. Разница, однако, заключается в том, что если в первом случае положение х(п) полностью неопределенно для п -log2(s), то предельное состояние во втором случае полностью определено. переменной уменьшается вдвое после каждой итерации.
Если отображение (4.1) имеет наклон везде больше, чем единица, оно будет эргодическим, по меньшей мере, на некоторой части единичного интервала. Любой интервал неопределенности будет увеличиваться в df/dx раз, и это будет происходить в каждой точке отображения. Следовательно, начальный интервал неопределенности вокруг любой точки х(0) будет, в конце концов, покрывать все части единичного интервала, доступные действию отображения.
Близлежащие траектории, там, где они существуют, будут в дальнейшем расходиться друг от друга с каждой итерацией. Для эргодического отображения можно записать функциональное уравнение для плотности вероятности где оператор G(.) - оператор Фробениуса-Перона [41-42]. Различные точки хь х2,... являются прообразами точки 7 под действием отображения, т.е.
Величина плотности траекторий, попадающих на некоторый малый интервал dy вокруг точки у, равна сумме плотностей в точках Х] и х2 -прообразах этой точки, нормированных на наклон в этих точках (Рис. 4.4). Уравнение (4.9) следует из условия сохранения вероятности. Абсолютное значение берется поскольку важна только скорость разбегания траекторий. Стационарное решение уравнения (4.9) дает плотность вероятности Р(х).
