Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование пространственно-временного хаоса в дискретно нелинейных системах 21
1.1. Построение и анализ БД и расчет показателя Ляпунова на примере импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа 21
1.1.1. Хаос в импульсной силовой электронике 21
1.1.2. Математическая модель повышающего импульсного стабилизатора напряжения в режиме управления по току
1.1.3. Основные принципы построения бифуркационных диаграмм применительно к дискретно-нелинейным системам 25
1.1.4. Вычисление показателя Ляпунова для математических моделей 27
1.1.5. Анализ бифуркационных диаграмм и краткое теоретическое обоснование полученных результатов 29
1.1.6. Перемежаемость первого рода 31
1.1.7. Кризисы [2] 33
1.1.8. Влияние внешнего шума на внешний вид БД 35
1.1.9. Основные итоги применения локальных хаотических мер к ИСН-2 35
1.2. Экспериментальное исследование хаотических явлений в импульсном
стабилизаторе напряжения повышающего типа 36
1.2.1. Динамический хаос в реальных нелинейных устройствах 36
1.2.2. Описание экспериментальной установки повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению 37
1.2.3. Исследование устойчивой работы стабилизатора 38
1.2.4. Исследование хаотического режима работы стабилизатора 42
1.2.5. Результаты эксперимента 43
1.3. Детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения
повышающего типа в режиме управления по току с дополнительной обратной
связью по напряжению
1.3.1. Хаос и информационная безопасность 46
1.3.2. Математическая модель повышающего ИСН в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению 46
1.3.3. Хаос в ИСН. Влияние дополнительной обратной связи по напряжению на устойчивость системы
1.3.4. «Ползучий» хаос. Временные бифуркационные диаграммы 52
1.3.5. Влияние напряжения компенсации на работу ИСН 55
1.4. Влияние учета активных потерь на детерминированный хаос в
импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа 58
1.4.1 Особенности моделирования импульсных стабилизаторов напряжения 58
1.4.2 Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа с учетом активных потерь
1.4.3. Построение математической модели работы ИСН-3 в режиме управления по току дросселя 62
1.4.4. Получение бифуркационных диаграмм ИСН-3 65
1.4.5. Результаты построения бифуркационных диаграмм ИСН-3 70
1.5. Исследование стохастической работы ИСН понижающего типа при учете
потерь на элементах силовой части при помощи фрактальных мер 72
1.5.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИСН-1 72
1.5.2. Общее понятие фрактальной размерности [13] 72
1.5.3. Основные обобщенные фрактальные размерности D и спектр Реньи [15]... 76
1.5.4. Основные свойства размерностей D0 и D, [3] 78
1.5.5. Корреляционная размерность D2 и метод Грассбергера-Прокаччиа 79
1.5.6. Метод восстановления фазового пространства и вычисление корреляционной размерности. Теорема Такенса 80
7.5.1. Математическая модель ИСН-1 с учетом различных потерь 83
7.5.5. Построение модели ИСН-1 86
7.5.9. Построение БД для ИСН-1 с учетом активных потерь
1.5.10. Сравнение бифуркационных диаграмм повышающего и инвертирующего ИСН 90
1.6. Применение фрактальных мер к анализу стохастической работы ИСН
повышающего типа при учете потерь в элементах силовой части 93
1.6.1. Исходные задачи исследования бифуркационных диаграмм ИСН-2 93
1.6.2. Математическая модель ИСН-2 с учетом различных потерь 93
1.6.3. Построение математической модели ИСН-2 с учетом различных потерь 96
1.6.4. Построение БД для ИСН-2 с учетом активных потерь 99
1.7. Влияние параметров составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, на его стохастическую работу 101
1.7.1. Особенности составных стабилизаторов 101
1.7.2. Математическая модель связанных ИСН-1 с учетом различных потерь 101
1.7.3. Построение БД для связанных ИСН-1 с учетом различных потерь 107
1.7.4. Внешний вид странных аттракторов связанных ИСН и их фрактальные размерности 107
1.7.5. Результаты фрактального анализа стохастичной работы связанных ИСН
при различных значения основных параметров НО
1.8. Выводы по главе 1 ПО
Глава 2. Исследование скейлинга и мультифрактальных свойств дискретно нелинейных систем на примере ИСН-3 115
2.1. Математическая модель ИСН-3 и ее фрактальные свойства 115
2.1.1. Бифуркационные диаграммы ИСН-3 с учетом активных потерь 115
2.1.2. Спектр фрактальных размерностей Реньи для ИСН-3 с учетом активных потерь 117
2.1.3. Эволюция странного аттрактора ИСН-3 с точки зрения размерностей Реньи 122
2.2. Показатель массы и мультифрактальный скейлинг-спектр 124
2.2.1 Введение в мулътифракталъные меры [5] 124
2.2.2. Последовательность показателей массы т(а) [5] 125
2.2.3. Показатель массы для аттрактора ИСН-3 129
2.2.4. Функция мультифрактального спектра f(a) [15] 131
2.2.5. Геометрические свойства f(a) [15] 134
2.2.6. Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр и показатель Липшица-Гёлъдера для странных аттракторов ИСН-3 137
2.3. Канторовское множество и чёртова
лестница 140
2.3.1. «Чёртова лестница» [5] 140
2.3.2. «Чёртова лестница» мультипликативного процесса [3] 141
2.3.3. Чёртова лестница странного аттрактора ИСН-3 143
2.3.4. Основные результаты применения мулътифрактальных мер к импульсным стабилизаторам напряжения 145
2.4. Фрактальность геометрической структуры аттракторов импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа 145
2.4.1. Диссипативные системы и скеилинг 145
2.4.2. Параметры модели импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа для синтеза аттракторов с геометрическим самоподобием 148
2.4.3. Геометрическое самоподобие поверхности сечения 148
2.4.4. Вертикальный скеилинг отображения Пуанкаре для выходного напряжения инвертирующего импульсного стабилизатора 149
2.4.5. Масштабная инвариантность отображения Пуанкаре для тока дросселя инвертирующего импульсного стабилизатора 149
2.4.6. Геометрическая фрактальность структуры аттракторов ИСН-3 152
2.5. Выводы по главе 2
Глава 3. Разработка фрактального метода выявления временного лага и фазового сдвига для дискретно-нелинейных систем по фрактальным временным рядам 153
3.1. Анализ существующих методов выбора временной задержки г применительно к дискретно-нелинейным системам 154
3.1.1. Метод автокорреляционной функции [3] 157
3.1.2. Метод взаимной информации [3] 157
3.1.3. Модифицированный метод взаимной информации [3] 158
3.1.4. Метод основанный на вычислении спектра мощности 158
3.1.5. Метод среднего отклонения [3] 160
3.2. Предварительный фрактальный анализ хаотических сигналов в импульсных стабилизаторах напряжения 162
3.2.1. Применение метода нормированного размаха Хёрста к расчету временной выборки инвертирующего ИСН 162
3.2.2. Метод восстановления фазового пространства и теорема Такенса 162
3.2.3. Метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционного интеграла... 164
3.2.4. Некоторые практические аспекты и оценка Экмана-Рюэля 165
3.2.5. Вычисление корреляционной размерности Dc и размерности пространства вложения тс для ИСН 166
3.2.6. Метод ложных ближайших соседей [3] 168
3.3. Разработка фрактальных методов выявления временного лага дискретно нелинейных систем 170
3.3.1. Применение показателя Хёрста к выявлению временного лага г дискретно-нелинейных систем 170
3.3.2. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа к выявлению временного лага t дискретно-нелинейных систем 173
3.3.3. Применение метода ближайших ложных соседей к выявлению временного лага г дискретно-нелинейных систем 185
3.4. Применение фрактальных методов к выявлению «фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем 187
3.4.1. Применение методов Грассбергера-Прокаччиа и показателя Хёрста к выявлению «фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем 187
3.4.2. Алгоритм нахождения величины временной задержки т для хаотических сигналов порожденных дискретно-нелинейными системами 195
3.5. Выводы по главе 3 197
Глава 4. Разработка полного алгоритма построения модели неравновесной системы предсказывающей ее поведение по ее временному ряду на основе нейронной сети 198
4.1. Теоретические основы построения математической модели неравновесной системы на основе нейронных сетей 200
4.1.1. Теорема Колмогорова-Арнольда [83] 200
4.1.2. Работа Хехт-Нильсена [83] 200
4.1.3. Следствия из теоремы Колмогорова-Арнолъда-Хехт-Нилъсена [83] 201
4.2. Построение предсказывающих нейронных сетей динамической системы на основе ее предварительного фрактального анализа 203
4.2.1. Выбор структуры предсказывающей НС 204
4.2.2. Выбор функций активации нейронов ПНС и предварительная обработка данных 207
4.2.3. Выбор количественных характеристик ПНС 208
4.2.4. Обучение полученных сетей 209
4.2.5. Восстановление аттракторов 212
4.2.6. Полный алгоритм предварительного фрактального анализа временных рядов.. 214
4.3. Метод вычисления спектра ЛХП и горизонта прогнозирования 217
4.3.1. Алгоритмы вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей [27] 218
4.3.2. Энтропия Колмогорова. Метод определения К-системы [8] 222
4.3.3. Среднее время предсказуемости хаотической системы [8] 223
4.3.4. Алгоритм вычисления спектра Ляпунова нейросетевым методом [86] 224
4.3.5. Результаты применения метода вычисления спектра ЛХП и горизонта прогнозирования к дискретно-нелинейным системам 228
4.4. Выводы по главе 4 231
Глава 5. Разработка и применение методов фрактального анализа к различным хаотическим сигналам к различным экономическим системам 232
5.1. Анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD с помощью фрактальных мер 232
5.1.1. Исследуемые отношения Euro/USD 232
5.1.2. Сравнение количественных характеристик отношений Euro/USD 233
5.7.1. Качественный анализ различия ежеминутных и ежедневных значений отношения Euro/USD 236
5.1.1. Применение метода БЛС для анализа отношения Euro/USD 236
5.1.2. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа отношения Euro/USD 236
5.1.3. Итоги применения фрактальных мер к отношению Euro/USD 237
5.2. Применение фрактальных методов к выявлению глобальных экономических кризисов 241
5.2.1. Временные экономические зависимости, позволяющие выявить глобальный
кризис 241
5.2.2 Применение метода нормированного размах к анализу возникновения кризиса... 243
5.2.3. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа кризиса 244
5.2.4. Оценка точности результатов, полученных методом Грассбергера-Прокаччиа и оценка Экмана-Рюэля 247
5.2.5. Применение метода ЛБС к ценам на нефть-сырец 248
5.2.6. Модификация метода ЛБС применительно к анализу цен на энергоносители... 250
5.2.7. Основные итоги применения фрактальных методов к выявлению глобальных экономических кризисов 252
5.3. Фрактальный анализ динамики цен на драгоценные металлы и авторский
метод выявления глобальных экономических кризисов 253
5.3.1. Особенности рассматриваемых в параграфе временных рядов 253
5.3.2. Особенности авторского метода анализа для выявления глобальных экономических кризисов 253
5.3.3. Результаты применения метода 254
5.3.4. Выводы о применении авторского метода к анализу цен на драгоценные металлы 259
5.4. Выводы по главе 5 260
Глава 6. Разработка и применение методов фрактального анализа к различным хаотическим сигналам к различным биологическим системам 261
6.1. Фрактальный анализ электрогастроэнтерографического сигнала 261
6.1.1. Применение метода нормированного размаха Хёрста к расчету временной выборки электрогастроэнтерографического сигнала 264
6.1.2. Анализ спектра мощности электрогастроэнтерографического сигнала 265
6.1.3. Нахождения временного лага электрогастроэнтерографического сигнала с помощью метода автокорреляционной функции 266
6.1.4. Метод взаимной информации и его применение для нахождения временного лага электрогастроэнтерографического сигнала 266
6.1.5. Применение метода ложных ближайших соседей к анализу ЭГЭГ сигнала 266
6.1.6. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа и оценки Экмана-Рюэля к ЭГЭГ сигналу 268
6.1.7. Результаты применения фрактального анализа к ЭГЭГ сигналу 269
6.2. Применение фрактальных анализа к электрогастроэнтерографическим
сигналам с целью диагностирования проблем ЖКТ 270
6.2.1. Современная проблематика диагностирования функциональности ЖКТ 270
6.2.2. Радиотехнический комплекс для регистрации биопотенциалов ЖКТ 272
6.2.3. Результаты клинических испытаний 274
6.2.4. Результаты использования авторского алгоритма фрактального анализа для диагностирования расстройств органов ЖКТ 275
6.3. Разработка алгоритма фрактального анализа применительно электроэнцефалограммам при полисомнографии 276
6.3.1. Введение в проблематику современной сомнологии 277
6.3.2. Некоторые сведения из клинической электроэнцефалографии [158] 278
6.3.3. Постановка задачи разработки метода автоматизированного распознания стадий сна 279
6.3.4. Аппроксимационная энтропия для коротких временных рядов 280
6.3.5. Результаты применения фрактальных методов к анализу ЭЭГ сигналов 280
6.3.6. Заключение по результатам применения фрактальных методов к анализу
ЭЭГ сигналов 284
6.4. Выводы по главе 6 284
Литература
- Влияние параметров составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, на его стохастическую работу
- Показатель массы и мультифрактальный скейлинг-спектр
- Вычисление корреляционной размерности Dc и размерности пространства вложения тс для ИСН
- Алгоритм вычисления спектра Ляпунова нейросетевым методом [86]
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Построение прогнозирующих моделей для предсказывания дальнейшего поведения наблюдаемой величины является крайне актуальной задачей. При этом наблюдаемая величина будет являться результатом работы какой-либо самоорганизованной системы. Но для построения адекватной модели, предсказывающей дальнейшее изменение какой-либо величины, необходимо знать принципы работы системы. Однако, в природе мы часто сталкиваемся с само-организованными системами, принцип работы которых очень сложен и на момент исследования в принципе не известен. Примеров таких самоорганизованных систем можно привести целое множество, однако следует ограничиться теми, которые рассмотрены в данной диссертационной работе. В частности, рынки энергоносителей и драгоценных металлов являются самоорганизованными системами (принцип формирования мирового рынка предполагает его самоорганизацию). Однако, даже математически описав все законы функционирования данных рынков, придется столкнуться со множеством неизвестных величин, без учета которых модель будет не полная и достоверного прогноза не даст. Следующими примерами хаотических систем являются рассмотренные в данной работе такие биологические системы, как желудочно-кишечный тракт человека и человеческий мозг. Эти системы также, безусловно, являются самоорганизованными, поскольку сам человеческий организм самоорганизуется из хромосомного набора еще в утробе матери и в этом процессе участие предыдущего поколения, кроме энергетического обеспечения, крайне минимально. Все эти системы чрезвычайно сложны, и полные модели этих систем построить практически невозможно. Однако, на практике чаще всего приходится сталкиваться с еще более сложной задачей. И самой сложной и интересной из них является, по мнению автора диссертации, построение прогностической модели самоорганизованной системы на основании одного лишь наблюдения за изменением поведения во времени одной лишь выходной величины системы. Это так называемая задача построения модели «черного ящика», внутри которого заключена неравновесная нелинейная самоорганизованная система. Причем основной информацией об этой системе является только временной ряд, представляющий собой зависимость выходной величины системы от времени. Для рассмотренных систем такие величины следующие: для рынка фьючерсов - цены на основные энергоносители, для рынка мировых товаров -цены на основные драгоценные металлы, для валютных рынков - соотношение евро к доллару (ежедневные значения для продолжительных торгов и ежеминутные значения для внутридневного трейдинга), для желудочно-кишечного тракта человека - электроэнтерографический (ЭГЭГ) сигнал, для человеческого мозга - электроэнцефалограмма (ЭЭГ).
Кроме вышеперечисленных, в работе уделено внимание таким техническим системам, как различные разновидности импульсных стабилизаторов напряжения. Это во многом уникальные системы. Во-первых, они являются
реально существующими системами, которые обладают натурной моделью, и при учете достаточного количества параметров их математические модели могут с высокой степенью точности описать (или предсказать) их работу. Причем ни один из параметров не является математической абстракцией и абсолютно реален. Во-вторых, эти системы, несмотря на то, что описываются относительно небольшим числом уравнений, демонстрируют весьма сложные нелинейные эффекты. Это похоже на то, как простое популяционное логистическое уравнение дает сложнейшую нелинейную динамику при изменении одного лишь его коэффициента (бифуркационного параметра), что, в свою очередь, позволяет построить бифуркационную диаграмму, отражающую большинство бифуркационных явлений, отождествляемых с катастрофами.
Построение предсказывающих моделей и методов для рассмотренных выше систем является крайне актуальной задачей. Необходимо разработать или преобразовать алгоритм, позволяющий анализировать сигнал или временной ряд, поступающий от неравновесной нелинейной системы, и построить по результатам этого анализа прогностическую модель, дающую прогноз дальнейшего поведения этой системы. Соответственно, данный алгоритм также необходимо адаптировать к каждой конкретной области с учетом ее особенностей.
Один из основных этапов данного алгоритма, требующий наиболее пристального внимания - метод выявления временного лага. Эта задача особенно актуальна при анализе временных выборок, представленных достаточно большим количеством отсчетов, к коим, например, относится рассматриваемый в работе электрогастроэнтерографический сигнал. Как будет показано в работе, существующие на данный момент методы определения временного лага не дают вразумительных результатов даже для аналитических моделей дискретно-нелинейных систем. Поэтому одной из главных целей данной диссертационной работы будет являться разработка фрактального метода выявления временного лага.
Вплоть до появления работ с участием автора данной диссертационной работы не поднималась задача об установлении начального отсчета исходного временного ряда для выборки с известным временным лагом. Данный номер первого отсчета при восстановлении псевдофазового пространства можно рассматривать как аналогию с фазовым сдвигом для гармонических сигналов. Это наиболее актуально для рассматриваемых в работе дискретно-нелинейных систем, у которых моменты переключения внутреннего тактового генератора наиболее полно отражают динамику их работы. Таким образом, актуальной является задача разработки метода выявления так называемого фазового сдвига применительно к дискретно-нелинейным системам.
Построение прогностических моделей для экономических систем было и будет являться крайне актуальной задачей. На данный момент существует множество методов для примерного предсказания поведения каких-либо экономических рядов. Современная тенденция такова, что наиболее хорошо при
менительно к некоторым сегментам рынка работают модели, учитывающие максимально возможное число параметров. В частности, модели, построенные на нейронных сетях, должны, согласно современным требованиям, учитьшать даже природные факторы, такие как погода и время года (не говоря уже о сезонных распродажах) [Л1]. Возможно, такой переизбыток информации и полезен для рынка продаж бытовых товаров и товаров повседневного спроса. Однако, данные модели разрабатываются целыми закрытыми институтами и являются крайне дорогостоящими продуктами, ориентированными на ограниченное число заказчиков. Соответственно, для нашей страны получение таких моделей также не является возможным из-за коммерческой тайны.
В данной диссертационной работе предложен совершенно иной подход. Он предлагает произвести анализ сложности динамики какого-либо экономического процесса на основании одного лишь временного ряда. Цель такого анализа - выявление момента качественного изменения поведения исследуемой экономической системы (т.е. кризиса в терминологии теории катастроф). С помощью фрактальных методов анализа и предложенных автором их модификации, возможно определить моменты качественного изменения в поведении системы и, соответственно, предсказать их дальнейшее поведение в относительно долгосрочной перспективе. В рамках данного подхода самой актуальной задачей, решаемой разрабатываемыми методами, является выявление момента наступления крупных экономических кризисов (таких, например, как в 2008г.), то есть их предсказания в краткосрочной перспективе для конкретных рынков энергоносителей и драгоценных металлов.
Однако, для некоторых практических задач, и рассмотренных в данной диссертационной работе систем, построение прогностической модели не является главной целью. В частности, для биологических систем наиболее актуально дифференцировать ЭГЭГ сигналы, поступающие от нормально и не нормально функционирующих систем между собой, а для ЭЭГ сигналов классифицировать их отдельные участки для выявления функционального состояния мозга в диагностических целях.
Поскольку в работе рассматриваются самоорганизованные системы, разрабатываемые методы их анализа должны быть фрактальными, что наиболее хорошо согласуется с их природой.
Таким образом, решение вышеперечисленных проблем является крайне актуальной задачей.
Цели и задачи исследования
Основные цели и задачи можно свести к следующим пунктам:
построение математических моделей импульсных стабилизаторов напряжения для имитации их работы в неравновесном состоянии с учетом различных активных потерь;
проведение разностороннего анализа пространственно-временного хаоса в дискретно-нелинейных системах с помощью фрактальных мер детерминированного хаоса и исследование их фрактальных и мультифрактальных
свойств); -разработка метода выявления временного лага для неравновесных нелинейных систем и его апробирование на примере дискретно-нелинейных систем;
разработка метода предсказания качественной смены поведения системы применительно к рынкам драгоценных металлов и энергоносителей;
применение разработанных методов фрактального анализа к выявлению нарушений в работе ЖКТ путем анализа биопотенциальных сигналов;
разработка фрактального метода анализа биопотенциалов головного мозга с целью выявления фазы сна и построения гипнограммы.
Объект исследования. Первоначальными объектами исследования явились дискретно-нелинейные системы, которые были представлены импульсными стабилизаторам напряжения различных типов и структур, а также с различным видами обратных связей. Следующими объектами исследования явились системы мирового ценообразования на основные энергоносители. В частности, исследовались рынки фьючерсов на нефть-сырец и отопительную нефть. Также исследовались рынки ценных металлов, таких как платина, золото и палладий. Кроме того, исследовались такие экономические системы, как мировые валютные рынки. В частности, рассматривались ежедневные и ежеминутные курсы соотношения единой европейской валюты (Euro) к американскому доллару (USD). Также в рамках диссертационной работы исследовались биологические системы. Были рассмотрены последовательности биоэлектрических потенциалов в виде эквидистантных временных рядов, поступающих от желудочно-кишечного тракта человека. Также были рассмотрены биоэлектрические потенциалы человеческого мозга в различных стадиях его функционирования. Таким образом, было проведено исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и явления самоорганизации в неравновесных физических, биологических и экономических системах.
Предмет исследования. Предметом исследования в дискретно нелинейных системах явились их выходные сигналы, представленные в виде эквидистантных временных рядов. Поскольку в качестве дискретно-нелинейных систем выступали импульсные стабилизаторы напряжения, то рассматривалось их выходное напряжение. Основное внимание уделено исследованию данных систем в неравновесном состоянии, когда их фазовое пространство демонстрировало проявление пространственно-временного хаоса, на фоне которого явственно прослеживалось явление самоорганизации, выраженное во фрактальных и мультифрактальных свойствах сигналов, поступающих от исследуемых систем.
Для данных систем решалась задача выявления временного лага и фазового сдвига для корректного вычисления фрактальных характеристик. Затем данные характеристики использовались для построения нейронных сетей, предсказывающих дальнейшее поведение данных систем. Показано на конкретном примере, каким образом можно использовать данные прогнозирующие системы для вычисления спектра ляпуновских характеристических пока-
зателей и определения горизонта прогнозирования с помощью энтропии Колмогорова.
Для экономических систем были исследованы временные ряды фьючерсных цен на такие энергоносители, как нефть-сырец и отопительная нефть, и решалась задача разработки фрактального метода предсказания приближающейся смены тенденции. Та же самая задача решалась и применительно к ценовым рядам стоимости таких драгоценных металлов, как платина, золото и палладий. Также было проведено исследование ежедневных и ежеминутных соотношений Euro/USD с целью выявления корреляции между их фрактальными свойствами.
Одним из предметов исследования биологических систем явился низкочастотный сигнал, поступающий от ЖКТ человеческого организма. Задачей исследования ставилось выявление различий во фрактальных свойствах сигналов здоровых людей и пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Для решения данной задачи был применен метод, разработанный на основе фрактального анализа дискретно-нелинейных систем. Другим предметом исследования биологических систем была электроэнцефалограмма человеческого головного мозга, находящегося в различных стадиях бодрствования и сна. Задачей исследования данного предмета была разработка фрактального метода выявления стадии сна на основании одного лишь биоэлектрического сигнала, снятого с кожного покрова головы. На основании полученных результатов строится гипнограмма, позволяющая специалисту диагностировать различные расстройства здоровья, связанные со сном.
Методологическая и теоретическая основа исследования
Методы исследования. Бенуа Мандельброт - математик, впервые предложивший термин «фрактал» применительно к самоподобным структурам, является одним из основателей фрактальной методологии. Используемый в работе метод нормированного размаха Хёрста (R/S анализ) впервые широко был применен к фрактальным одномерным рядам различного происхождения именно Мандельбротом. Фрактальность многих биологических и экономических систем создается за счет явления самоорганизации. Наиболее основательно теорию самоорганизации впервые рассмотрел Герман Хакен, развив целую отрасль науки, названную им впоследствии «синергетика». В рамках синергетики, Хакен выявил и исследовал используемый в данной диссертационной работе принцип подчинения, позволяющий сложнейшие хаотические процессы описать относительно небольшим числом независимых переменных. Извлечение максимальной информации о фрактальных свойствах систем на основании только лишь одномерного ряда на их выходе стало возможным благодаря теореме Такенса и его методу восстановления аттрактора в псевдофазовом пространстве. Впоследствии к этому аттрактору становятся применимы такие методы, как метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления коре-ляционной размерности, метод ложных ближайших соседей, метод аппрокси-мационной энтропии и различные методы определения спектра фрактальных
размерностей Реньи с помощью различных методов покрытия фазового пространства. Определение странности аттрактора производится с использованием определения устойчивостей по Ляпунову и Пуассону. Определение спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) производилось по модифицированному алгоритму Бенеттина с использованием стандартного метода ортогонализации Грама-Шмидта. Для рассматриваемых временных рядов это стало возможным благодаря предложенному В. А. Головко методу вьиисления спектра ЛХП с использованием нейросетевого моделирования [Л2]. Построение нейронных сетей производилос ь на теоретических базах теоремы Колмогорова-Арнольда и работы Хехт-Нильсена. Предлагаемые в работе прогнозирующие нейронные сети полностью отвечают требованиям объединенной теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена, вытекающим из ее следствий. Для обучения нейронных сетей применялись такие методы, как стандартный метод обратного распространения ошибки и градиентный метод Левенберга-Марквардта. Определение горизонта прогнозирования производилось с помощью вычисления энтропии Колмогорова через положительные члены спектра ЛХП.
Применение результатов фрактального анализа к экономическим системам производилось на основании предложенной Петерсом теории фрактального рынка. Практические аспекты конкретных реализаций некоторых вышеперечисленных методов можно найти в работах Анищенко.
Информационная база исследования. В качестве основной методологической и информационной базы исследования использовались методы и данные из научных книг и статей, а также иностранных научных статей по исследуемой тематике на языке оригинала. Также, в работе использовались данные, взятые из докладов на различных международных конференциях. Основой диссертационной работы являются данные, взятые автором из материалов собственных расчетов и исследований, основные результаты которых опубликованы в виде монографий и статей, а также доложены на различных всероссийских и международных конференциях. Исследуемые в рамках диссертационной работы финансовые временные ряды брались из открытых бесплатных источников сети Интернет. Рассматриваемые в работе биоэлектрические сигналы мозга и желудочно-кишечного тракта были получены в результате их клинического съема с пациентов-добровольцев, проводившегося на базе кафедры неврологии при СОКБ им. Калинина и в городской больнице №8 г. Самары соответственно.
Научная новизна работы состоит в разработке теоретических положений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в теории анализа самоорганизованных неравновесных технических, экономических и биологических систем, а именно:
впервые введено понятие «фазового сдвига» применительно к эквидистантным временным рядам различного происхождения и предложен фрактальный метод его выявления;
предложена модификация метода БЛС применительно к финансовым вре-
менным рядам, которая впервые применена в качестве индикатора, предсказывающего качественное изменение в поведении исследуемой экономической системы;
впервые применен разработанный алгоритм фрактального анализа к электро-гастроэнтерографическому сигналу с целью выявлению нарушений в работе ЖКТ;
впервые применен фрактальный метод нормированного размаха к выявлению стадий сна при полисомнографии;
впервые проведен мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем;
впервые проведено обобщение для неравновесных технических, экономических и биологических систем с точки зрения теории самоорганизации (синергетики) для определения сложности происходящих в них динамических процессов.
Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:
использованием обоснованных физических моделей и строгих математических методов решения поставленных задач;
сравнением отдельных полученных результатов с расчетными данными, приведенными в научной литературе;
-сравнением некоторых результатов математического моделирования с результатами исследования построенного макета.
Практическая значимость работы
Разработанные в диссертационной работе фрактальные методы выявления временного лага и фазового сдвига могут найти широкое применение в прикладных и теоретических областях науки, связанных с анализом хаотических временных рядов. Это области исследования нелинейной динамики, прикладной физики, синергетики фрактального анализа. Разработанные методы для экономических систем могут быть применены в экономических областях, связанных со стратегическим планированием торгово-экономической политики. Разработанные методы анализа электрогастроэнтерограмм совместно с прикладным оборудованием могут быть применены не только в стационарах, где находятся послеоперационные пациенты, но и во всех широкопрофильных поликлиниках. Разработанный метод анализа электроэнцефалограмм может быть использован в любых медицинских учреждениях, связанных с неврологией. На базе методологии могут быть разработаны малогабаритные или мобильные приборы регистрации ЭЭГ с автоматизированным построением гип-нограмм для широкого спектра задач.
Основные положения, выносимые на защиту:
Фрактальный и мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем.
Фрактальный метод выявления временного лага и фазового сдвига хаотических временных рядов.
Алгоритм построения прогнозирующих нейронных сетей по результатам фрактального анализа временных рядов.
Фрактальный метод прогнозирования экономических кризисов по финансо-
вым временным рядам.
Алгоритм фрактального анализа электрогастроэнтерографического сигнала.
Фрактальный метод определения фазы сна по электроэнцефалографическому сигналу.
Апробация результатов исследования
Результаты диссертационной работы апробировались на IX Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2002 г.), X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2003 г.), IX Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж, 2003 г.), II Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2003 г.), XI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2004 г.), III Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 2004 г.), IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.), XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2005 г.), V Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.), VI международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.), VII Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2008 г.), XVI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара,
г.), X Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникации» (г. Самара, 2009 г.), XVII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2010 г.), IX Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Челябинск,
г.), XVIII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2011г.).
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 183 наименований и содержит 300 страниц текста, в том числе 182 рисунка.
Публикации
По материалам диссертации опубликована 61 работа, в том числе 20 статей в журналах, включенных в перечень ВАК, и монографии «Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах» и «Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети». Автор имеет 9 единоличных публикаций, в том числе статью в журнале, включенном в перечень ВАК.
Влияние параметров составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, на его стохастическую работу
Объект исследования. Первоначальными объектами исследования явились дискретно-нелинейные системы, которые были представлены импульсными стабилизаторам напряжения различных типов и структур, а также с различным видами обратных связей. Следующими объектами исследования явились системы мирового ценообразования на основные энергоносители. В частности, исследовались рынки фьючерсов на нефть-сырец и отопительную нефть. Также исследовались рынки ценных металлов, таких как платина, золото и палладий. Кроме того, исследовались такие экономические системы, как мировые валютные рынки. В частности, рассматривались ежедневные и ежеминутные курсы соотношения единой европейской валюты (Euro) к американскому доллару (USD). Также в рамках диссертационной работы исследовались биологические системы. Были рассмотрены последовательности биоэлектрических потенциалов в виде эквидистантных временных рядов, поступающих от желудочно-кишечного тракта человека. Также были рассмотрены биоэлектрические потенциалы человеческого мозга в различных стадиях его функционирования. Таким образом, было проведено исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и явления самоорганизации в неравновесных физических, биологических и экономических системах. Предмет исследования. Предметом исследования в дискретно нелинейных системах явились их выходные сигналы, представленные в виде эквидистантных временных рядов. Поскольку в качестве дискретно-нелинейных систем выступали импульсные стабилизаторы напряжения, то рассматривалось их выходное напряжение. Основное внимание уделено исследованию данных систем в неравновесном состоянии, когда их фазовое пространство демонстрировало проявление пространственно-временного хаоса, на фоне которого явственно прослеживалось явление самоорганизации, выраженное во фрактальных и мультифрактальных свойствах сигналов, поступающих от исследуемых систем.
Для данных систем решалась задача выявления временного лага и фазового сдвига для корректного вычисления фрактальных характеристик. Затем данные характеристики использовались для построения нейронных сетей, предсказывающих дальнейшее поведение данных систем. Показано на конкретном примере каким образом можно использовать данные прогнозирующие системы для вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей и определения горизонта прогнозирования с помощью энтропии Колмогорова.
Для экономических систем были исследованы временные ряды фьючерсных цен на такие энергоносители, как нефть-сырец и отопительная нефть, и решалась задача разработки фрактального метода предсказания приближающейся смены тенденции. Та же самая задача решалась и применительно к ценовым рядам стоимости таких драгоценных металлов, как платина, золото и палладий. Также было проведено исследование ежедневных и ежеминутных соотношений Euro/USD с целью выявления корреляции между их фрактальными свойствами.
Одним из предметов исследования биологических систем явился низкочастотный сигнал, поступающий от ЖКТ человеческого организма. Задачей исследования ставилось выявление различий во фрактальных свойствах сигналов здоровых людей и пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Для решения данной задачи был применен метод, разработанный на основе фрактального анализа дискретно-нелинейных систем. Другим предметом исследования биологических систем была электроэнцефалограмма человеческого головного мозга, находящегося в различных стадиях бодрствования и сна. Задачей исследования данного предмета была разработка фрактального метода выявления стадии сна на основании одного лишь биоэлектрического сигнала, снятого с кожного покрова головы. На основании полученных результатов строится гипнограмма, позволяющая специалисту диагностировать различные расстройства здоровья, связанные со сном. Методологическая и теоретическая основа исследования.
Методы исследования. Бенуа Мандельброт - математик, впервые предложивший термин «фрактал» применительно к самоподобным структурам, является одним из основателей фрактальной методологии. Используемый в работе метод нормированного размаха Хёрста (R/S анализ) впервые был применен к фрактальным одномерным рядам именно Мандельбротом. Фрактальность многих биологических и экономических систем создается за счет явления самоорганизации. Наиболее основательно теорию самоорганизации впервые рассмотрел Герман Хакен, развив целую отрасль науки, названную им впоследствии «синергетика». В рамках синергетики, Хакен выявил и исследовал используемый в данной диссертационной работе принцип подчинения, позволяющий сложнейшие хаотические процессы описать относительно небольшим числом независимых переменных. Извлечение максимальной информации о фрактальных свойствах систем на основании только лишь одномерного ряда на их выходе стало возможным благодаря теореме Такенса и его методу восстановления аттрактора в псевдофазовом пространстве. Впоследствии к этому аттрактору становятся применимы такие методы, как метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционной размерности, метод ложных ближайших соседей, метод аппроксимационной энтропии и различные методы определения спектра фрактальных размерностей Реньи с помощью различных методов покрытия фазового пространства. Определение странности аттрактора производится с использованием определения устойчивостей по Ляпунову и Пуассону. Определение спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) производилось по модифицированному алгоритму Бенеттина с использованием стандартного метода ортогонализации Грама-Шмидта. Для рассматриваемых временных рядов это стало возможным благодаря предложенному В.А. Головко методу вычисления спектра ЛХП с использованием нейросетевого моделирования. Построение нейронных сетей производилось на теоретических базах теоремы Колмогорова-Арнольда и работы Хехт-Нильсена. Предлагаемые в работе прогнозирующие нейронные сети полностью отвечают требованиям объединенной теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена, вытекающим из ее следствий. Для обучения нейронных сетей применялись такие методы, как стандартный метод обратного распространения ошибки и градиентный метод Левенберга-Марквардта. Определение горизонта прогнозирования производилось с помощью вычисления энтропии Колмогорова через положительные члены спектра ЛХП.
Применение результатов фрактального анализа к экономическим системам производилось на основании предложенной Петерсом теории фрактального рынка. Некоторые практические аспекты конкретных реализаций многих вышеперечисленных методов можно найти в работах Анищенко.
Информационная база исследования. В качестве основной методологической и информационной базы исследования использовались методы и данные из научных книг и статей, а также иностранных научных статей по исследуемой тематике на языке оригинала. Также в работе использовались данные, взятые из докладов на различных международных конференциях. Основой диссертационной работы являются данные, взятые автором из материалов собственных расчетов и исследований, основные результаты которых опубликованы в виде монографий и статей, а также доложены на различных всероссийских и международных конференциях. Исследуемые в рамках диссертационной работы финансовые временные ряды брались из открытых бесплатных источников сети Интернет. Рассматриваемые в работе биоэлектрические сигналы мозга и желудочно-кишечного тракта были получены в результате их клинического съема с пациентов-добровольцев, проводившегося на базе кафедры неврологии при СОКБ им. Калинина и в городской больнице №8 г. Самары соответственно.
Показатель массы и мультифрактальный скейлинг-спектр
Влияние напряжения компенсации на работу ИСИ. Как было отмечено выше, одной из целей данной работы являлось исследование влияния введения напряжения компенсации на работу ИСН. По внешнему виду бифуркационных диаграмм при наличии напряжения компенсации (рис. 1.22) и без него (рис. 1.21) был сделан вывод о том, что при добавлении сигнала напряжения компенсации диапазон устойчивой работы по величине опорного напряжения существенно расширяется (с 2.04 В до 2.795 В при вышеприведенных параметрах системы). Другой целью работы являлось исследование возможности возникновения «ползучего» хаоса в ИСН с помощью временных бифуркационных диаграмм. Было показано, что при наличии малых пульсаций в цепи источника опорного напряжения ток в цепи дросселя и напряжение на выходе ИСН будут периодически выходить в хаотический режим в зависимости от величины амплитуды пульсаций. Причем для качественного изменения поведения системы достаточно пульсаций, вызванных электромагнитными помехами. Средняя периодичность появления хаотических всплесков будет зависеть от частоты пульсаций, и, чем она ближе к частоте работы задающего генератора, тем реже будут появляться эти всплески. Таким образом, можно утверждать, что если даже на некотором временном интервале работа ИСН является устойчивой, может оказаться, что на больших интервалах времени появятся хаотические всплески выходного напряжения и тока в цепи дросселя.
Термин «временная бифуркационная диаграмма» был введен авторами для того, чтобы показать, что подобная диаграмма может быть получена в режиме «реального» времени на экране осциллографа и, хотя время является независимой переменной, реальный бифуркационный параметр UIs{(t)- переменное опорное напряжение, зависит от времени. 2.86
Особенности моделирования импульсных стабилизаторов напряжения. Как в зарубежных, так и в большинстве отечественных источниках литературы уравнения состояния для импульсного стабилизатора напряжения (ИСН) инвертирующего типа (ИСН-3) приведены без учета активных потерь на реактивных элементах силовой части. Есть разрозненные работы, где отдельно учитываются активные потери либо на дросселе, либо на конденсаторе. Автор не встретил ни одной как отечественной, так и зарубежной работы, где бы учитывались эти потери вместе. Кроме того, не следует забывать, что современная элементная база, хотя и достаточно продвинулась за последнее время, всё ещё далека от идеальной [30]. Именно поэтому автор считает, что учёт активных потерь в полупроводниковых элементах силовой части импульсных стабилизаторов может зачастую играть не менее важную роль при синтезе различного рода, чем учёт активных сопротивлений реактивных элементов. Тем более, что потери эти на качественном уровне влияют на работу схемы точно также, и зачастую сопоставимы на количественном уровне с активными потерями на реактивных элементах. И, наконец, самым главным является учёт активного сопротивления датчика тока. За последнее десятилетие, ИСН с обратной связью по максимальному току дросселя в качестве доминирующей на ОС по выходному напряжению устойчиво захватили как зарубежный, так и отечественный рынок контроллеров питания. Во многих контроллерах данного типа стоит внутренний опорный источник для сигнала с тока дросселя напряжением в 1В. Это значит, что при входных значениях тока в десятки Ампер сопротивление датчика тока может составлять от десятых долей до нескольких единиц Ом. Конечно, это при условии, что в качестве датчика тока не будет использован специальный трансформатор тока. Однако использование такого датчика как усложнит производство, так и повысит стоимость самого стабилизатора. Кроме того, стабильность работы стабилизатора ухудшится из-за возникновения импульсных помех в обмотках датчика тока выполненного по принципу трансформации. Именно поэтому автор предлагает учитывать сопротивление датчика тока, которое на 1-3 порядка может превосходить активное сопротивление дросселя.
В настоящее время не существует единого мнения относительно уравнений состояния для импульсных стабилизаторов инвертирующего типа. Чаще всего, не совпадают знаки элементов матриц коэффициентов уравнений состояния. На наш взгляд, это в первую очередь связано с тем, что разными авторами по-разному выбираются знаки выходного напряжения и направления тока в реактивных элементах схемы. В данной работе мы будем придерживаться наиболее распространенного в научном мире на данный момент мнения, что поскольку стабилизатор является инвертирующим, то напряжение на выходе должно быть отрицательным. Для устранения всех неясностей в данном вопросе ниже будут приведены исходные уравнения, из которых были получены уравнения состояния.
Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа с учетом активных потерь. На рис. 1.29 приведена функциональная схема ИСН-3 в режиме управления по максимальному току дросселя с учетом активных потерь реактивных элементов. Здесь -активное сопротивление дросселя, гс-активное сопротивление конденсатора, .-активное сопротивление датчика тока, rti(t)-сигнал, поступающий с датчика тока на компаратор (Комп.) для сравнения с напряжением опорного источника Uon. При достижении этим сигналом уровня опорного источника поступает импульс на R -вход RS -триггера. В начале каждого периода работы силового ключа VT на S -вход RS -триггера поступает сбрасывающий сигнал от тактового генератора с частотой /. Выход Q RS -триггера управляет затвором силового ключа VT периодически переводя схему ИСН из одного состояния в другое. Во всех зарубежных работах посвященных обратной связи по максимальному току дросселя показано, что на компараторе (Комп.) происходит сравнение тока дросселя i(t) с источником опорного тока I0I7(Iref). Однако на самом деле происходит сравнение напряжения датчика тока с источником опорного напряжения UОП. Кроме того, в большинстве современных контроллеров, этот источник встроен в сам контроллер и его напряжение, как уже говорилось ранее, составляет 1В. Это является логичным и оправданным, поскольку уже достаточно давно доказано [3], что при меньшем уровне этого напряжения устойчивость импульсных стабилизаторов напряжения резко падает из-за помех возникающих при коммутации силового ключа. Поэтому в данной работе считается, что момент переключения силового ключа настаёт при достижении сигналом датчика тока rti{t) величины внутреннего опорного источника контроллера Uon = 1В. Эквивалентная схема силовой части ИСН-3 с учетом потерь на силовом транзисторе (рис. 1.30,а) при открытом ключе изображена на рис. 1.30,6. Силовой ключ VT имеет как постоянные потери по напряжению UT, так и зависящие от тока условно-линейные активные потери гт . Уравнение для напряжений для этой схемы согласно законам Кирхгофа будет иметь следующий вид:
Вычисление корреляционной размерности Dc и размерности пространства вложения тс для ИСН
Бифуркационные диаграммы ИСН-3 с учетом активных потерь. Математическая модель данного стабилизатора подробно рассмотрена в предыдущей главе. Все основные бифуркационные диаграммы представлены там же. Для проверки правильности работы этой модели с её помощью была построена БД с параметрами взятыми из [31]. Основные параметры модели ИСН-3 остались прежними, то есть имеют следующие значения: напряжение входного источника / = 5 В, сопротивление нагрузки Я = 20 Ом, индуктивность дросселя = 1мГн, ёмкость конденсатора С = 4 мкФ, период работы силового ключа Т = 50 мксек, сопротивление дросселя г=0.2Ом, активное сопротивление конденсатора гс=0.Юм, активное сопротивление базы диода rD =0.1 Ом, активное сопротивление базы транзистора гт =0.4 Ом, прямое падение напряжения на диоде UD = 0.7 В, прямое падение напряжения на силовом ключе UT = 0.2 В, сопротивление датчика тока rt варьировалось от 0.1 до 1.5 Ом.
Рассмотрим только некоторые БД. Одна из них представлена на рис. 2.1,а - зависимость напряжения конденсатора в конце каждого периода установившегося состояния и(пТ) от гп Эта же БД, но нормированная по положительному среднему значению выпрямленного напряжения ыср(г,) показана на рис. 2.1,6. Тут необходимо отметить, что для нормировки данной диаграммы можно брать как модуль среднего значения выходного напряжения, так и расчетное значение (определяемое по формуле без учета того факта, что ИСН работает в хаотическом режиме). Качественно это картину не меняет. Для того, чтобы диаграмма не была зеркально повернута относительно оси параметра бифуркации, в данной работе решено использовать функцию модуля, так как это существенно улучшает её восприятие и позволяет произвести визуальное сравнение с ненормированной. Собственно сама нормировка для бифуркационной диаграммы по выходному напряжению особой роли не играет, однако для БД по току дросселя, подобная нормировка является необходимостью. Если взглянуть на бифуркационную диаграмму для тока дросселя i(nT), показанную на рис. 2.2,а, то станет ясно, что без нормировки картина перехода к хаосу не достаточно информативна. Нормировка по среднему току дросселя гс/,(г() позволяет явственно выделить сценарий перехода к хаосу через бифуркацию кратного увеличения периода, что видно из рис. 2.2,6.
Спектр фрактальных размерностей Реньи для ИСН-3 с учетом активных потерь. Для определения фрактальных размерностей аттрактора необходимо разбить фазовое пространство, в котором находится аттрактор на элементарные ячейки, то есть кубы различной размерности. Для обеспечения соответствия размерностей переменных фазового пространства в данной работе предлагается избавиться от размерностей вообще, вписав аттракторы в многомерный куб единичного объёма. Тогда все аттракторы, полученные в совершенно различных системах будут поставлены в одинаковые условия. После нормировки единичный фазовый объём разбивается на N" кубов со стороной є, где п -размерность фазового пространства. В этом случае размерности Реньи будут определены выражением [42,32]: корреляционный интеграл по методу Грассбергера-Прокаччиа. Справедливость выбранных приоритетных размерностей спектра Реньи проверялась на известных значениях различных размерностей для известных аттракторов, изображенных на рис. 2.3,а-в. В частности, на рис. 2.3, я изображен аттрактор Эно для двумерного отображения при значениях а = 1.4 , Ъ = 0.3, а на рис. 2.3,6 аттрактор этого же отображения, но при а = 1.2, 6 = 0.3. На рис. 2.3,в представлен аттрактор логистического отображения при Я = Ях =3.5699456. На рис. 2.3,г показана секущая поверхность с изображением представлены отображения Пуанкаре ИСН-3 для напряжения и тока соответственно при тех же значениях сопротивления датчика тока. Для всех аттракторов, изображенных на рис. 2.3, были построены спектры Реньи, представленные на рис. 2.4. Значения всех основных и специальных размерностей спектра Реньи для этих аттракторов сведены в табл. 3.2. Отдельным столбиком в табл. 3.2 выделена энтропия Колмогорова, особенностью значений которой является инвариантность относительно размера, и соответственно количества минимальных ячеек, которыми покрывается множество точек, представляющих собой аттрактор. Формула для данных значений энтропии была взята из [54], где она называлась информационной энтропией и отличалась от обычного представления [38,2] наличием основания логарифма, зависящего от полного количества ячеек, содержащих в себе хотя бы одну точку аттрактора:
Алгоритм вычисления спектра Ляпунова нейросетевым методом [86]
Неравновесные технические, а тем более экономические и биологические системы являются самоорганизованными структурами [89]. Для большинства биологических и экономических систем невозможно построить макета или натурной модели для анализа их работы и предсказания их поведения. Однако, можно построить математическую модель, описывающую поведение этих систем. В данной главе предлагается решение крайне интересной, на взгляд автора, задачи - построения математической модели нелинейной неравновесной системы на основании одного лишь временного ряда, порожденного данной системой. Т.е. создание реконструкции динамической системы (ДС).
На практике чаще всего нет возможности измерить зависимость от .времени всех координат состояния системы. Типична ситуация, когда доступной для измерения является только одна из характеризующих процесс величин, одна из координат состояния a(t). Зависимость величины, описывающей состояние системы, от некоторой независимой переменной, которая чаще всего является временем или пространственной координатой, называется (наблюдаемой) реализацией системы. Ситуация, при которой единственный способ получения представления об устройстве интересующей ; нас системы состоит в изучении ее реализаций, а любая другая информация является недоступной, привела к возникновению понятия «черного ящика» (рис. 4.1). Этим термином стали называть любые системы, единственной информацией о которых является сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, измеряемый на выходе, причем существование первого сигнала не является обязательным. Зависящая от времени реализация (наблюдаемая), дискретизированная с некоторым шагом At, называется одномерным временным рядом a{iAt) - at, і = 1,2,...,N . Реконструкция ДС собственно и состоит в восстановлении модельной системы по экспериментальному временному ряду at.
В настоящее время проблема реконструкции ДС охватывает достаточно широкий круг научных задач, решение которых направлено на получение частичной или возможно максимальной информации о свойствах «черного ящика» по одномерному временному ряду а,, регистрируемому в эксперименте. К этой проблеме относятся задачи реконструкции (восстановления) аттракторов, топологически эквивалентных аттрактору исходной системы; определения ряда количественных характеристик режима функционирования системы
(размерность аттрактора, показатели Ляпунова, вероятностная мера и др.) и. наконец, задача глобальной реконструкции изучаемой ДС. Глобальная реконструкция подразумевает восстановление модельных уравнений анализируемой системы, которые с заданной точностью способны воспроизводить экспериментально полученный временной ряд.
Поскольку, рассматриваемые системы являются самоорганизованными структурами, для решения задачи построения модели исследуемых систем автором была привлечена теория самоорганизации - синергетика [89]. Синергетика сегодня представляется одним из наиболее популярных и перспективных междисциплинарных подходов [76]. Вводя термин «синергетика», его автор Герман Хакен вкладывал в него два смысла. Первый - теория возникновения новых свойств у целого, состоящего из взаимодействующих объектов. Второй -подход, требующий для своей разработки сотрудничества специалистов из разных областей.
Синергетика - раздел науки, позволяющий делать прогнозы развития различных явлений. «Будущее... - это самое главное». Оттого, насколько ясно мы его представляем, зависят и наши сегодняшние усилия и научные стратегии [76]. Прогнозы - дело неблагодарное, хотя и совершенно необходимое [76].
При изучении процессов и явлений в окружающем нас мире исследователи постоянно оказываются в ситуации, когда в силу объективных причин нет возможности получить полную информацию о внутреннем устройстве и принципе функционирования изучаемого объекта. Более того, эволюции состояния ДС во времени в общем случае могут соответствовать случайные, детерминированные процессы или их суперпозиция. При формулировке понятия ДС необходимо все это учитывать.
Под динамической системой мы понимаем реально существующую систему [76], для которой возможно ввести понятие состояния в каждый момент времени и предположить, что существует непрерывный или дискретный оператор, приближенно описывающий его эволюцию (во времени и/или в пространстве). При этом, под шумом можно понимать внутренние пли внешние флуктуации или воздействие большого количества факторов, оказывающих слабое влияние на повеление системы и по этой причине не учтенных при задании состояния. Тогда минимальное количество независимых координат, достаточное для описания состояния системы в заданном приближении, можно назвать, ее размерностью.
Идея того, что любая самоорганизованная система должна обладать размерностью, под которой автор будет понимать количество независимых факторов влияющих на ее поведение, легла в основу предлагаемого автором полного алгоритма описанного в этой главе. Для выявления количества степеней свободы, в данной работе привлечен фрактальный анализ временного ряда, порожденного исследуемой системой. Зная размерность исследуемой системы, легко определить размерность математической модели описывающее ее поведение.
Это особенно актуально, если строить мат. модель на основе прогнозирующих нейронных сетей (ПНС), как предлагается в данной работе. Далее, будут приведены теоретические обоснования применения ПНС в качестве основы для построения предсказывающих мат. моделей.
Здесь необходимо отметить, что наличие связи между фрактальной размерностью аттрактора исследуемой системы и степенью ее свободы с параметрами ПНС также предполагалась в работах Головко В.А. [86,90-92], где он использовал для анализа известные системы Лоренца, Эно и Ресслера. Однако, используемые в этих работах стандартные методы выявления временного лага показали свою нежизнеспособность применительно к дискретно-нелинейным системам, как это было показано в предыдущей главе. Также, в данных работах не было проведено полномерного исследования зависимости конкретных характеристик ПНС от результатов фрактального анализа с точки зрения их оптимальности. В данной же диссертационной работе, автор установил конкретные зависимости оптимальной конфигурации параметров ПНС от фрактальных характеристик сигнала системы. Для решения данной задачи были построены различные ПНС, на базе многослойного персептрона с различным количеством элементов входного слоя и с различным количеством нейронов скрытого слоя и произведен их анализ. В данной главе показан полный алгоритм построения ПНС на примере конкретной дискретно-нелинейной системы - импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа, поскольку фрактальный анализ его временного рада наиболее полно представлен в предыдущей главе.
