Содержание к диссертации
Введение
1 История активных космических экспериментов 16
1.1 Ранний этап исследований - инжекция нейтрального газа . 17
1.2 Первые эксперименты по инжекции плазмы 19
1.3 Современный этап плазменных экспериментов 25
2 Электродинамика искусственного плазменного облака 33
2.1 Постановка задачи динамо-эффекта в'ионосфере 33
2.2 Исходная система уравнений 34
2.3 Квази-двумерная модель генерации полей и токов 38
2.3.1 Излучательные граничные условия 38
2.3.2 Решения и их свойства 40
2.4 Трехмерная модель динамо-эффекта 42
2.4.1 Общее решение для потенциала электрического поля 43
2.4.2 Частные решения для простейших граничных условий 47
2.4.3 Перспективы использования обобщенных сферических функций 51
3 Ионизационно-рекомбинационная динамика плазмы 54
3.1 История исследований быстро расширяющейся плазмы . 54
3.2 Формулировка модели и исходные уравнения 55
3.3 Решения уравнений и их свойства 59
4 Электрические свойства сильно-неидеальной плазмы 63
4.1 Типы сильно-неидеальной плазмы 63
4.2 Функции распределения и эффективная температура . 66
4.2.1 Модель классической сильно-неидеальной плазмы . 66
4.2.2 Многочастичная функция распределения 68
4.2.3 Эффективная температура заряженных частиц . 68
4.2.4 Эффективная одночастичная функция распределения 72
4.3 Концентрация свободных носителей заряда и электропро водность плазмы 78
4.3.1 Концентрация свободных носителей заряда 78
4.3.2 Электропроводность неидеальной плазмы и эффект аномального электрического сопротивления 80
Заключение 83
Основные результаты и выводы работы 83
Благодарности 84
Приложения
Литература 100
- Первые эксперименты по инжекции плазмы
- Исходная система уравнений
- Формулировка модели и исходные уравнения
- Функции распределения и эффективная температура
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Одним из наиболее важных явлений, наблюдаемых при искусственных выбросах плазмообразующих веществ в ионосферу и магнитосферу Земли, является генерация широкого спектра электромагнитных возмущений, изучение которых интересно как само по себе, так и с точки зрения индуцированных ими процессов. Это, например, возбуждение ионосферно-магнитосферного альвеновского резонатора с сопутствующим высыпанием высокоэнергичных частиц, раскачка электростатических колебаний, которые могут приводить к дополнительной ионизации плазмы (так называемый эффект "критической ионизационной скорости") и т.д.
Большинство электродинамических моделей искусственного плазменного облака, разработанных к настоящему времени, предназначены для его описания на сравнительно больших временах после момента ин-жекции. Гораздо меньшее внимание было уделено динамике плазмы на ранней стадии расширения. Так, например, как отмечалось в итоговом отчете по результатам активных космических экспериментов, выполненных в Советском Союзе и России в 1980-х и начале 1990-х годов [1], "диффузионная эволюция искусственных ионных облаков... широко изучалась в нашей стране и за рубежом... За редким исключением, физика начальной стадии при создании искусственных облаков подробно не рассматривалась."
Именно этому кругу вопросов и посвящена настоящая диссертация. Акцент сделан, в частности, на разработке эффективного математического подхода для аналитического решения задачи динамо-
эффекта, т.е. определения электрических полей и токов, генерируемых при разлете плазменного облака. Развитая при этом методика построения точных решений, позволяющая проследить в явном виде их зависимость от параметров плазмы и характера ее движения, открывает широкие возможности для оптимизации активных космических экспериментов, а также позволяет надеяться на возможность ее использования в будущем и для решения обратной задачи динамо-эффекта, т.е. диагностики параметров плазмы по генерируемым при ее разлете (и регистрируемым радиофизическими методами) электрическим полям и токам.
Еще один важный аспект диссертации - более аккуратный расчет параметров ионизованного газа на самой ранней стадии расширения. Из-за возможности возникновения сильно-неравновесных состояний (в частности, со значительной кулоновской неидеальностью), электрические характеристики такого газа могут сильно отличаться от "классических" и, тем самым, требуют специального теоретического анализа.
Цель работы:
1. Разработать аналитические или полуаналитические методы
расчета генерации электрических полей и токов разлетающимся обла
ком плазмы, которые, в частности, могли бы достаточно эффективно
использоваться и для оптимизации активных космических эксперимен
тов (т.е., например, определения параметров плазмы, при которых до
стигается максимальная амплитуда возмущений).
2. Более внимательно изучить физические процессы на самой ран
ней стадии разлета облака (порядка одной миллисекунды от момента
пнжекции), которые могут оказывать существенное влияние на пара
метры плазмы (прежде всего, ее электропроводность), определяющие
характеристики генерируемых электромагнитных возмущений.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработан метод построения аналитических решений уравнений динамо-эффекта, создаваемого сферически-симметричным однородным облаком на начальной (инерционной) стадии разлета, при любой степени анизотропии электропроводности плазмы (т.е. при произволь-
ном соотношении между коэффициентами продольной, педерсеновскои и холловской проводимости).
С помощью вышеупомянутого метода найдены точные решения уравнений динамо-эффекта для конкретных типов граничных условий на поверхности разлетающегося облака.
Установлено, что при определенных соотношениях между основными термодинамическими и кинетическими параметрами инжектируемого газа вскоре после момента образования плазма может перейти и в течение некоторого времени существовать в сильно-неравновесном состоянии со значительной кулоновской неидеальностью. При этом ее электрические параметры, фигурирующие в уравнениях динамо-эффекта, существенно отличаются от их обычно используемых значений, полученных в квазиравновесном приближении.
Предложен метод приближенного вычисления функции распределения электронов в режиме сильной связи, и на основе этой функции сделаны оценки концентрации свободных носителей заряда и других свойств сильно-неидеальной плазмы.
Научная и практическая значимость работы:
Основным достоинством развитого в диссертации метода решения уравнений динамо-эффекта (по сравнению, в частности, с численными методами) является возможность легко проследить зависимость полей и токов, генерируемых в заданной точке пространства, от всех параметров, фигурирующих в исходных уравнениях. Это открывает возможность, с одной стороны, проводить оптимизацию активных космических экспериментов по требуемым параметрам, а с другой стороны, могло бы послужить в будущем основой для построения эффективной методики решения обратной задачи динамо-эффекта, т.е. нахождения коэффициентов электропроводности (а через них и других характеристик плазмы) по измеряемым радиофизическими методами электрическим полям и токам.
Установленная в диссертации возможность перехода искусственно инжектированной в космическое пространство плазмы в состояние со значительным параметром кулоновской связи (на некотором временном интервале вскоре после момента инжекции) может служить еще
одним, наряду с развитием плазменной турбулентности, способом объяснения аномальных электрических свойств плазмы.
3. Найденная в диссертации эффективная функция распределения электронов в режиме сильной кулоновскои неидеальности и основанная на ней методика вычисления концентрации свободных носителей заряда и других характеристик сильно-неидеальной плазмы может быть успешно применена как при описании активных экспериментов в космосе, так п для интерпретации результатов лабораторных опытов с ультрахолодной плазмой в магнито-оптических ловушках, которые активно проводятся в последние несколько лет.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Методика аналитического решения уравнений динамо-эффекта в однородно расширяющемся плазменном шаре с произвольной степенью анизотропии электропроводности, основанная на разложении по обобщенной системе сферических функций.
Классификация возможных типов временного поведения параметра кулоновскои неидеальности плазмы Г* на начальной стадии разлета в зависимости от кинетических и термодинамических параметров газа.
Метод построения эффективной функции распределения электронов в состоянии с сильной кулоновскои неидеальностью; оценки концентрации свободных носителей заряда и других характеристик сильно-неидеальной плазмы с помощью этой функции распределения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции "Space Radiation Environment Modelling: New Phenomena and Approaches" (НИИЯФ МГУ, Москва, 1997 г.), международной зимней школе-симпозиуме по теоретической физике "Коуровка-98" (Кыштым, Челябинская обл., 1998 г.), международном симпозиуме "Space Plasma Studies by In-Situ and Remote Measurements" (ИКИ РАН, Москва, 1998 г.), 2-й международной конференции "Problems of Geocosmos" (СПбГУ, Санкт-Петербург, 1998 г.), XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, Московская обл., 1999 г.),
международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Чебаркуль, Челябинская обл., 1999 г.), II международной конференции "Low Temperature Physics in Microgravity Environment" (Черноголовка, Московская обл., 1999г.), конференции "Physics of Space: Growth Points and Problems" (Парижская обсерватория, Франция, 2000 г.), 33-й научной ассамблее COSPAR (Варшава, Польша, 2000 г.), XXIII международном коллоквиуме "Group Theoretical Methods in Physics" (ОИЯИ, Дубна, Московская обл., 2000 г.), коллоквиуме "Космические взрывы" (ГАИШ МГУ, Москва, 2000 г.), европейской конференции "Hypersonic and Aerothermic Flows and Shocks, and Lasers: Plasma-Radiation-Surface Interactions" (Парижская обсерватория, Франция, 2001г.), XXV международной конференции "Phenomena in Ionized Gases" (Нагоя, Япония, 2001г.), международном семинаре "Formation of Correlations: Nonequilibrium Physics at Short Time Scales VII" (Физический центр Бад-Хоннеф, Германия, 2002 г.), европейской конференции "Hyperbolic Models in Astrophysics and Cosmology", (Математический институт им. И. Ньютона, Кембридж, Великобритания, 2003 г.), осеннем колледже по физике плазмы "Long-Lived Structures and Self-Organization in Plasmas" (Международный центр теоретической физики им. А. Салама, Триест, Италия, 2003 г.), международной конференции и семинаре "Rydberg Physics" (Институт физики комплексных систем им. М. Планка, Дрезден, Германия, 2004 г.), 35-й научной ассамблее COSPAR (Париж, Франция, 2004 г.), трех международных конференциях "Atomic Physics" (Институт физики комплексных систем им. М. Планка, Дрезден, Германия, 2005, 2006 и 2007гг.), летнем колледже по физике плазмы "New Developments" (Международный центр теоретической физики им. А. Салама, Триест, Италия, 2007г.) и конференции "Turbulent Mixing and Beyond" (Международный центр теоретической физики им. А. Салама, Триест, Италия, 2007г.).
Кроме того, материалы диссертации докладывались и обсуждались на рабочих семинарах в ИЗМИР АН (Троицк, Московская обл.), ГАИШ МГУ (Москва) и Калифорнийском университете (Лос-Анджелес, США).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 работ; 13 основных статей приведены в списке литературы в конце диссертации [5, 18, 19, 20, 48, 49, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60]; из них в журналах, входящих в список ВАК, опубликовано 10 статей.
Личный вклад автора. Постановка задачи о генерации электрических полей и токов искусственным плазменным облаком при обсуждаемых в диссертации условиях принадлежит научному руководителю диссертации к.ф.-м.н. В.И. Бадпну и заведующему Лабораторией динамики ионосферы ИЗМИР АН д.ф.-м.н., проф. М.Г. Деминову. Ими же была получена большая часть результатов по репіению уравнений динамо-эффекта в квази-двумерном приближении (т.е. в предположении бесконечной продольной проводимости), обсуждаемых в разд. 2.3 и опубликованных в статье [49]. Разработка метода обобщенных сферических функций и получение конкретных решений трехмерных уравнений динамо-эффекта при произвольной степени анизотропии электропроводности плазмы, изложенные в разд. 2.4 и опубликованные в работах [18, 19, 54, 55, 58], производились диссертантом самостоятельно.
Формулировка проблемы неравновесной ионизационно-рекомбина-ционной динамики на начальной стадии расширения плазменного облака и ее исследование в наиболее важном случае двухэлектронной рекомбинации [5, 48] были проведены диссертантом и его научным руководителем В.И. Бадиным совместно. Общая формулировка этой проблемы pi ее решение для произвольных каналов рекомбинации, а также детальное исследование появляющейся при этом возможности перехода плазмы в сильно-неидеальное состояние, излагаемые в Главе 3 и опубликованные в статьях [57, 59, 60], производились диссертантом самостоятельно.
Разработка излагаемого в Главе 4 метода описания свойств неравновесной сильно-неидеальной плазмы и вычисление на его основе некоторых электрических параметров плазмы, важных для радиофизических приложений [20, 56, 57, 60], производились диссертантом самостоятельно .
Структура п объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитированной литературы. Работа содержит 108 страниц печатного текста, в том числе
11 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 74 наименования.
Краткое содержание работы
Первые эксперименты по инжекции плазмы
В начале 1960-х гг. встала задача перенесения описанной в предыдущем разделе методики, нацеленной первоначально на исследование нейтральной атмосферы, также и на изучение плазменной оболочки (т.е. ионосферы и магнитосферы) Земли. Для этого было необходимо разработать методы создания искусственных газовых облаков с достаточной степенью ионизации. Значительный объем пионерских работ в этом направлении был проведен в те годы в Институте космической физики и астрофизики им. Макса Планка (Мюнхен, ФРГ) [16, 63].
Основной акцент с самого начала был сделан на разработке техники выброса видимых облаков плазмы, поскольку для экспериментальной аппаратуры тех лет их оптическое наблюдение с поверхности Земли было наиболее легким.
Как известно, в естественных условиях космическая плазма состоит из частиц, обладающих чрезвычайно малым сечением рассеяния света. В пределах Солнечной системы имеются лишь два исключения из этого правила. Первый случай — это солнечная корона, которую можно наблюдать во время солнечных затмений. Второй случай видимой разреженной плазмы - это плазма хвостов комет.
Любопытно отметить, что наиболее привлекательной задачей для первых экспериментаторов были даже не геофизические исследования, а именно моделирование хвостов комет. Поэтому поначалу казалось наиболее естественным использовать для создания искусственных облаков плазмы ионизованные молекулы, типичные для кометных хвостов, например, окись углерода. Однако вскоре был сделан вывод, что легче и экономнее работать с тяжелыми металлами, поскольку их ионы имеют сечения рассеяния света на три порядка больше, чем сечения рассеяния молекулярных ионов в хвостах комет.
Далее, с самого начала было понятно, что самым дешевым источником ионизации и возбуждения атомов в искусственном плазменном облаке может служить солнечное излучение. Но для использования этого излучения необходимо удовлетворить двум основным требованиям. Первое из них состоит в том, чтобы вероятность ионизации нейтральных атомов ультрафиолетовым солнечным излучением была бы достаточно высока. Во-вторых, возникающие при этом ионы должны обладать резонансными линиями, расположенными в оптической части спектра.
Второе требование налагает жесткие ограничения на выбор элементов, используемых для ионизации. Большинство однократно ионизованных атомов либо имеют резонансные линии в ультрафиолетовой части спектра, так что они остаются вообще невидимыми, либо обладают слишком незначительными вероятностями переходов в видимом диапазоне. Элементами, в наибольшей степени удовлетворяющими обоим требованиям, оказались щелочноземельные металлы - стронций и барий, а также редкоземельные металлы — иттербий и европий.
Поскольку свободные атомы и ионы поглощают и испускают толь ко свет, соответствующий лишь нескольким спектральным линиям, светимость даже достаточно плотного искусственного плазменного облака ожидалась весьма низкой. Чтобы иметь возможность отличить его от фонового излучения неба, эксперименты было необходимо проводить в сумерках, когда облако еще освещено Солнцем, а наблюдатели уже оказались в тени Земли. Облака предполагалось наблюдать с двух или более станций, достаточно удаленных друг от друга, так что положение облака можно было бы определить с помощью триангуляции. Станции оборудовались разнообразными камерами, спектрографами и другими инструментами.
В первых экспериментах, проведенных в 1963 г., на каждой из запущенных ракет помещалось несколько килограммов стронция. Ракеты поднимались на высоту от 150 до 200 км. Испарение стронция производилось путем химической реакции. Затем стронций выбрасывался в атмосферу. К сожалению, при этом наблюдались лишь облака неиони-зованного стронция; никаких следов ионизации обнаружено не было.
После неудачи первых экспериментов группа исследователей Института им. Макса Планка стала испытывать новые методы испарения более тяжелого щелочного металла - бария. В предварительной программе подробных спектрографических исследований было выяснено, что барии обладает значительно большей вероятностью ионизации солнечным излучением, чем стронций, что связано с различием в структуре энергетических уровней бария и стронция.
К ноябрю 1964 г. была подготовлена новая серия экспериментов с использованием бария, которая оказалась гораздо более успешной. Уже 10 минут спустя после выпуска парообразного вещества облако ионизованного бария стало видимым с Земли даже невооруженным глазом. Фактически, переход от неионизованного состояния облака к ионизованному мог быть прослежен безо всяких приборов, потому что во время этого перехода бариевое облако меняло и цвет, и форму. Неионизованное облако — в основном, зеленое. (На самом деле, оно излучает несколько линий видимой части спектра — зеленые, желтые и красные; однако самое сильное излучение приходится на зеленый участок спектра.) Ионизованный барий излучает в фиолетовой, синей и красной частях видимого спектра, и в целом это дает пурпурную окраску. Помимо различия в цвете, нейтральное и ионизованное облака легко различить и по изменению их формы с течением времени. Нейтральное облако имеет сферическую форму и довольно быстро расширяется. Это расширение в конце концов замедляется из-за столкновений атомов бария с атомами и молекулами окружающен атмосферы, после чего нейтральное облако увеличивает свои размеры значительно медленнее.
Между тем, ионизованная часть облака эволюционирует совсем иным путем, поскольку заряженные частицы захватываются магнитным полем Земли. По этой причине расширение облака плазмы происходит только вдоль силовых линий магнитного поля. В результате, ионизованное облако приобретает сигаровидную форму, значительно отличающуюся от облака нейтрального газа. (Впоследствии, однако, за счет влияния неоднородных электрических полей может произойти существенное искажение сигарообразной формы.)
Визуально наблюдался и еще один эффект. Барий, использовавшийся в этих экспериментах, всегда содержал небольшую примесь стронция (не более 1%). Так как стронций не ионизовался, то его нейтральное облако, светившееся синим цветом, оставалось видимым даже после того, как все атомы бария были уже ионизованы.
Большинство первых экспериментов (1964-1968 гг.) проводилось в ионосфере в интервале высот 150-240 км. Эти высоты были выбраны по двум основным причинам. Во-первых, они могли быть достигнуты с использованием небольших п сравнительно недорогих ракет. Во-вторых, в силу эффекта вмороженности силовых линий в плазму, движение плазменных облаков дает информацию не только о той области ионосферы, где они были созданы, но также и о значительно более удаленных частях магнитосферы.
Исходная система уравнений
Как уже было отмечено во вводной части настоящей диссертации, разнообразные динамические процессы, происходящие на достаточно поздних стадиях разлета плазменных облаков (в том числе, и генерация электромагнитных возмущений), уже были неоднократно рассмотрены различными авторами. Среди работ, посвященных электродинамическим процессам, можно отметить, например, статью Борисова, Ораев-ского и Ружина [9]. В ней были произведены детальные расчеты генерации как альвеновскои, так и магнитозвуковои моды возмущений с учетом возможной связи между ними для моментов времени At 0,1 с после инжекции, что соответствует характерным размерам облака в несколько сотен метров. Нас же в данной главе будут интересовать процессы, происходящие на существенно меньших пространственных и временных масштабах.
Таким образом, видно, что при малом размере облака основной будет радиальная компонента электрического поля, а по мере расширения начнет доминировать азимутальная. Так, например, согласно приведенным в [9] оценкам для конкретного эксперимента "Сполох", проводивше-гося в ИЗМИР АН, переход между двумя вышеупомянутыми режимами происходит при Rcl 10 м. Поскольку основной целью настоящей работы является исследование динамики облака на самой ранней стадии его расширения, мы будем рассматривать в дальнейшем именно первый случай, когда азимутальной (вихревой) компонентой можно пренебречь; т.е. электрическое поле является с достаточной точностью потенциальным.
Подчеркнем еще раз, что одно из основных допущений при формулировке уравнений (2.2)-(2.5) состоит в том, что магнитное поле В0 и поле скоростей газа V являются заданными внешними параметрами. Второе важное предположение заключается в "квазистационарности" электродинамических процессов.1 Иными словами, в уравнении непрерывности электрического тока (2.2) мы пренебрегли возможностью накопления электрических зарядов (т.е. положили др/dt = 0), а в обобщенном законе Ома (2.3) были проигнорированы эффекты инерционности в движении носителей заряда (т.е. члены с производными по времени, ответственные за частотную дисперсию электропроводности).
Подчеркнем, что выражения (2.8)-(2.10) относятся лишь к случаю идеальной или слабо неидеальной плазмы. Как будет показано далее, в Главе 3, на самой ранней стадии разлета газового облака при определенных условиях может возникнуть сильно неравновесное (по отношению к ионизационно-рекомбинационным процессам) состояние плазмы,
Подчеркнем, что зависимость от времени, безусловно, будет входить в искомые решения уравнений динамо-эффекта за счет временных зависимостей фигурирующих в этих уравнениях параметров. в котором параметр кулоновской неидеальности Г принимает значения порядка единицы.
Это должно сказаться на электропроводности двояким образом. Во-первых, некоторая часть электронов будет квазилокализована около близлежащих ионов, так что под N в вышеприведенных формулах нужно будет понимать уже лишь оставшуюся часть "квазисвободных" электронов. Во-вторых, сам механизм проводимости за счет "квазисвязанных" электронов приобретет качественно иной, "прыжковый", характер. Это приведет, как минимум, к совершенно иному определению фигурирующих в формулах (2.8)-(2.10) эффективных частот столкновений ие и щ (которые в этом случае было бы уже правильнее называть частотами "перескоков"). Более того, при высоких степенях неидеаль-пости написанные выше функциональные зависимости могут стать неприменимы в принципе. Обсуждению соответствующих вопросов посвящена Глава 4.
Рассмотрение конкретных случаев динамо-эффекта в искусственном плазменном облаке мы начнем с квази-двумерной модели [49], весьма похожей на модели, предложенные в работах и ряда других авторов. Ее главное достоинство - это возможность описать в сравнительно компактной форме динамо-эффект в случае "излучательных" граничных условий, т.е. излучения альвеновских волн во внешнюю среду с поверхности расширяющегося облака. (В случае более строгой трехмерной модели, излагаемой далее в разд. 2.4, соответствующие формулы становятся, к сожалению, гораздо более громоздкими.)
С физической точки зрения, излучательные граничные условия реализуются, когда внешняя плазма, окружающая облако, полностью за-магничена и не взаимодействует с фоновым нейтральным газом.
Обратимся теперь к рассмотрению выписанных ранее уравнений (2.2)-(2.7) для электродинамических процессов внутри облака. В данном разделе мы ограничимся упрощенным случаем бесконечно большой продольной проводимости (а0 — оо). Тогда электрическое поле Е не имеет компоненты в направлении z. Используя введенную выше цилиндрическую систему координат, мы предполагаем, что все величины не зависят от азимутального угла ср. Более того, как уже упоминалось в самом начале разд. 2.2, мы считаем, что потенциальная часть электрического поля внутри облака существенно больше вихревой части, и пренебрегаем последней. Следовательно, электрическое поле имеет лишь радиальную компоненту Ер, являющуюся функцией единственной переменной р.
Далее, мы интегрируем уравнение непрерывности (2.2) при фиксированном р по z от экваториальной плоскости облака до его границы, расположенной на высоте z = h(p). Величина продольного тока на границе облака jz(p,h(p)), возникающая в процессе такого интегрирования, может быть выражена через радиальное электрическое поле Ер, используя условия непрерывности для нормальной компоненты электрического тока и тангенциальной компоненты электрического поля на границе.
Формулировка модели и исходные уравнения
Изменение со временем концентрации заряженных частиц в расширяющемся облаке слабоионизованной плазмы может быть описано хорошо известным уравнением непрерывности, в правой части которого стоит член, учитывающий потери частиц в результате рекомбинации. Здесь N - концентрация заряженных частиц (т.е. электронов либо положительных ионов1), п — концентрация нейтрального газа, Т - температура "тяжелых" частиц (т.е., ионов и нейтралов), Те - температура электронов, ve - поле скоростей плазмы, т - характерное время рекомбинации в покоящейся плазме, которое может быть определено по соответствующему коэффициенту рекомбинации (см., например, далее формулу (3.3)), а к, к, 77 и ту — параметры, характеризующие рассматриваемый канал рекомбинации. Индексом "О" обозначены значения соответствующих величин в начальный момент времени.
Фактически, в правой части уравнения (3.1) должна быть взята сумма по всем возможным каналам; однако для простоты дальнейшее рассмотрение будет ограничено случаем, когда учитывается лишь один лидирующий канал рекомбинации.
Следует также подчеркнуть, что степенной закон рекомбинации в правой части уравнения (3.1) при соответствующем выборе - фигурирующих в нем параметров может дать удовлетворительное описание практически всех основных каналов рекомбинации атомарных ионов с электронами; однако он неприменим в случае сложных молекулярных или отрицательных ионов (см. подробнее, например, 4 Главы 4 в [43]).
Здесь и всюду в дальнейшем отрицательные ионы не рассматриваются. Рис. 3.1: Возможные типы геометрии расширяющегося облака в зависимости от параметра v.
Прежде чем переходить к решению уравнения (3.1), необходимо конкретизировать фигурирующее в нем поле скоростей v(r, t). С этой целью мы будем использовать весьма простую, однако обладающую достаточной общностью модель однородного расширяющегося облака, граница которого движется по линейному закону: R(t) = R0 + u0t. (3.4)
С физической точки зрения, такой закон движения отвечает асимптотической стадии инерционного разлета, когда основная часть внутренней тепловой энергии газа перешла в кинетическую энергию его макроскопического движения, а влияние внешней среды остается пренебрежимо малым. (Подробное обсуждение соответствующих формул приведено в Приложении А, а также, например, в [5, 26].)
Для упрощения дальнейших выкладок мы будем рассматривать три идеализированных случая геометрии расширяющегося облака, характеризуемых параметром и, а именно: трехмерное радиальное расширение сферически-симметричного облака (z/ = 3), двумерное расширение цилиндрического облака вдоль его радиуса [у = 2) и одномерное расширение цилиндрического облака вдоль его оси [у = 1), как это проиллюстрировано на Рис. 3.1. Так как облака нейтральных и ионизованных компонент могут расширяться, вообще говоря, независимо друг от друга, то мы будем характеризовать их параметрами v и v соответственно.
При отсутствии процессов рекомбинации временная вариация плотности каждой компоненты (которая предполагается однородной в пространстве) может быть определена из очевидных геометрических соображений; например, для нейтрального газа: п{і) = п{і-У=по(і+жУ- (з-5) Подставляя (3.5) в уравнение непрерывности ить — + div(nv) = 0 , (3.6) найдем дивергенцию поля скоростей:2 diw=-!i„„w=Sy. з-7 Она потребуется нам далее для решения уравнения (3.1). Отметим во избежание недоразумений, что само поле скоростей, даже при однородном распределении плотности, будет конечно же функцией не только времени, но и пространственных координат. Однако во все последующие формулы будет входить лишь его дивергенция, которая, как видно из (3.7), зависит только от времени. Наконец, что касается поведения со временем температур электронов и тяжелых частиц, то каждая из них будет описываться своим законом адиабаты (т.е., выделение энергии в процессе рекомбинации мы не принимаем во внимание):где 7 - эффективный показатель адиабаты для тяжелых частиц (который фактически равен показателю адиабаты для нейтрального газа, поскольку вклад ионов в термодинамические свойства слабоионизован-ной плазмы пренебрежимо мал); a v и v — геометрические показатели расширения для электронов и нейтральных частиц, соответственно. Во избежание недоразумений отметим, что реальный показатель расширения ионной компоненты, конечно же, совпадает с показателем расширения для электронов (так как электронейтральность плазмы не может быть нарушена); однако ввиду достаточно малой концентрации ионов и их эффективного теплообмена с нейтральными частицами поведение ионной температуры фактически будет определяться поведением температуры нейтрального газа. Подчеркнем также, что облако ионизованных компонент предполагается здесь совпадающим либо находящимся внутри облака нейтрального газа (если движение заряженных частиц дополнительно ограничено влиянием магнитного поля).
Функции распределения и эффективная температура
Большими кружками обозначены ноны, маленькими — электроны, штриховыми линиями - траектории электронов щегося плазменного облака могут реализоваться режимы с резким нарастанием параметра кулоновской неидеальности. При этом, когда Г достигнет значения порядка единицы, использованные там формулы, относящиеся к идеальному газу, станут уже более неприменимы.
Детальный расчет термодинамических и кинетических параметров такой системы сильновзапмодействующих частиц, вообще говоря, требует обширного численного моделирования. Однако некоторые важные свойства (прежде всего, приблизительный вид одночастичной функции распределения и концентрация свободных носителей электрического заряда) могут быть найдены в рамках чисто аналитического подхода, описанию которого и будет посвящена оставшаяся часть настоящей главы. 4.2.2 Многочастичная функция распределения
Отметим, что из-за очень сложного вида потенциальной энергии U в режиме сильного межчастичного взаимодействия введенная формулой (4.1) функция распределения / сама по себе совершенно непригодна для практического расчета каких-либо макроскопических параметров плазмы. Однако, как будет показано ниже, на ее основе может быть построена приближенная одночастичная функция распределения, представляющая собой эффективный инструмент для вычислений.
Одним из ключевых моментов для дальнейшего рассмотрения является установление связи эффективной температуры Teff с остальными параметрами системы. Как уже было отмечено выше, это не может быть сделано путем "прямолинейного" статистического усреднения с использованием функции (4.1), поскольку нет никакого разумного способа вычисления интегралов вида J..ex.p[—U/(ksTes)]drei... йтц в режиме сильной кулоновской связи. Эту проблему можно, однако, обойти с помощью некоторой "косвенной" процедуры, состоящей из трех основных шагов, описываемых ниже.
Хотя это выражение формально совпадает со случаем идеального газа, оно имеет очень общий характер, совершенно не зависящий от конкретного вида и величины потенциальной энергии U, фигурирующей в (4.1). Это связано с тем, что при вычислении среднего значения кинетической энергии интегралы по пространственным координатам в числителе и знаменателе автоматически сокращаются, а интегралы по скоростям сводятся к гауссовым квадратурам.
Отметим, что, строго говоря, теорема вириала применима лишь к величинам, усредненным по времени, а не по ансамблю. Поэтому при выводе (4.3), вообще говоря, необходимо было сделать также и предположение об эргодичности (т.е. считать, что динамические характеристики системы, усредненные по времени, равны соответствующим величинам, полученным усреднением по ансамблю). Мы, однако, не будем останавливаться на этом вопросе более подробно, поскольку в типичных плазменных системах эргодичность всегда предполагается имеющей место.
Таким образом, согласно (4.6), эффективная температура заряженных частиц оказывается зависящей только от их концентрации. Этот результат, на первый взгляд, кажется довольно странным, так как он совершенно игнорирует зависимость температуры от начальной кинетической энергии системы. На самом же деле, интерпретация такого поведения весьма проста - она связана с "вириализацией" скоростей заряженных частиц в режиме сильной кулоновской связи. А именно, средняя кинетическая энергия частицы (например, электрона) может быть сколь угодно велика по сравнению со средней потенциальной энергией, но не может быть сколь угодно мала по сравнению с ней. Даже если такое малое значение и было бы задано в некоторый начальный момент времени, то соответствующий электрон начал бы очень быстро ускоряться при своем движении в поле ближайшего иона; так что его кинетическая энергия, усредненная по достаточно большому интервалу времени (нескольким оборотам вокруг иона), достигла бы значения, даваемого теоремой вириала. Этот эффект хорошо виден, в частности, в численных расчетах, представленных в Приложении С на Рис. С.2.
Зависимость температуры от времени в сферическом облаке холодной плазмы, созданном в магнито-оптической ловушке (рисунок 3(a) из работы [61]). Ромбиками показаны экспериментальные значения, горизонтальные черточки указывают интервалы погрешности измерений; сплошная и штриховая кривые - результаты модельных расчетов, не учитывающих переход плазмы в сильно-неидеальное состояние и эффект "вприализации" скоростей заряженных частиц. для слабо-неидеального одноатомного газа). И именно такое поведение, согласующееся с (4.6), было блестяще подтверждено в недавнем эксперименте [61].
Микроскопические облака холодной плазмы (размер - доли миллиметра, температура - несколько Кельвинов, степень ионизации - десятки процентов) создавались авторами процитированной выше работы с помощью магнитооптической ловушки, и далее изучалось их поведение при свободном разлете в вакуум. (Общее обсуждение подобных экспериментов см. также в [70].) Измеренные значения температуры показаны на Рис. 4.2 ромбиками с соответствующими интервалами ошибок. Сплошная и штриховая кривые представляют собой попытки подгонки этих экспериментальных данных в рамках моделей слабо-неидеальной плазмы, не учитывающих эффект "вприализации" скоростей заряженных частиц. Как видно из приведенных графиков, реально измеренные значения температуры изменяются со временем по гораздо более плавному закону, и их эмпирическая аппроксимация вышеупомянутыми ав торами привела к зависимости вида t n с п = 1, 2 ± 0,1. Учитывая, что исследуемые облака плазмы имели не резкую границу (как это предполагалось в рассмотренной нами модели), а плавный, приблизительно гауссов профиль плотности, согласие между экспериментально полученным значением п и нашим теоретическим предсказанием п = 1 следует считать очень хорошим.
