Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы по методам электродинамического анализа задачи дифракции на неоднородных и периодических диэлектрических структурах
1.1. Применение интегральных уравнений для исследования диэлектрических структур 8
1.2.Методы расчета диэлектрических структур
1.2.1. Проекционные методы 22
1.2.2. Метод дискретных источников 25
1.2.3. Диаграммные и поверхностные интегральные уравнения ...26
1.2.4. Метод частичных областей 27
1.2.5. Метод приближенных граничных условий 29
1.3. Подповерхностная локация 34
1.4. Периодические структуры 37
1.5.Металлическиеструктуры 42
Глава 2. Дифракция электромагнитных волн на трехмерных неоднородных телах 47
2.1. Сведение решения краевой задачи к решению объемных интегральных уравнений относительно напряженности электрического поля 48
2.2. Сведение решения краевой задачи к решению объемных интегральных уравнений относительно напряженности магнитного поля 51
2.3. Сведение решения краевой задачи к решению объемных интегральных уравнений относительно потенциалов Дебая 52
2.4. Решение объемных интегральных уравнений методом коллокации с выделением особой части ядра 55
2.4.1. Первый способ преобразования 57
2.4.2.Второй способ преобразования 59
2.5. Метод полуобращения
2.5.1. Идея метода 60
2.5.2. Применение метода полуобращения для решения двумерных интегральных уравнений 61
2.5.3. Применение метода полуобращения для решения трехмерных интегральных уравнений 63
2.6.Численные результаты
2.6.1 .Исследование внутренней сходимости методов 67
2.6.2.Дифракция на уединенных диэлектрических телах 70
Глава 3. Дифракция электромагнитных волн на периодических структурах
3.1.Решение задачи дифракции на многослойной дифракционной решетке методом объемных интегральных уравнений 88
3.1.1. Исследование внутренней сходимости 90
3.1.2.Численные результаты исследований 91
3.2. Решение задачи дифракции на многослойной дифракционной решетке модифицированным методом частичных областей 99
3.2.1. Исследование внутренней сходимости метода 108
3.3.Решение задачи дифракции на металлических периодических наноструктурах 110
3.4. Дифракция на решетке из нелинейных диэлектрических цилиндров 119
3.4.1. Дифракция на нелинейном диэлектрическом цилиндре, расположенном в прямоугольном волноводе 123
3.4.2. Дифракция на нелинейных металлодиэлектрических цилиндрах 124
Глава 4. Применение приближенных граничных условий для решения задачи дифракции электромагнитных волн на периодических
структурах 127
4.1.Интегральные уравнения относительно поля на импедансных полосках 128
4.2. Интегральные уравнения относительно поля между импедансными полосками 132
4.3. Исследование металлических периодических наноструктур методом приближенных граничных условий 138
4.3.1.Сравнение с результатами, полученными строгими методами 141
4.3.2.Сравнение с результатами для идеально проюдяших металлов... 146
Глава 5. Распространение волн в цилиндрических дифракционных решетках
5.1.Сведение векторной краевой задачи к решению системы интегро-дифференциальных уравнений 151
5.2.Численно-аналитический метод решения интегро-дифференциальных уравнений 153
5.3.Численные результаты 156
Заключение 164
Литература 169
- Диаграммные и поверхностные интегральные уравнения
- Сведение решения краевой задачи к решению объемных интегральных уравнений относительно потенциалов Дебая
- Решение задачи дифракции на многослойной дифракционной решетке модифицированным методом частичных областей
- Исследование металлических периодических наноструктур методом приближенных граничных условий
Введение к работе
Изучение дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных и периодических диэлектрических структурах является одним из основных направлений в современной радиофизике. Развитие радиолокации, в том числе подповерхностной, радионавигации, томографии, систем волоконно-оптической связи и ряда других направлений требуют всестороннего исследования процессов излучения, отражения и дифракции волн с учетом неоднородности среды. Кроме традиционных приложений теории дифракции на диэлектрических телах, в последние годы появилось новое - исследование в оптическом диапазоне наноструктурированных металлических пленок. Как известно, в этом диапазоне металл можно представить как диэлектрик с отрицательной действительной частью диэлектрической проницаемости, причем мнимая и действительная части одного порядка. Это, естественно, приводит к тому, что приближение идеально проводящего металла для этих структур не справедливо и возникает необходимость рассчитывать поля внутри металлических пленок.
Большое число противоречивых требований, предъявляемых к электродинамическим методам исследования, разнообразие структур, используемых в оптическом, СВЧ и КВЧ диапазонах, привело к созданию большого числа методов их расчета.
Наиболее универсальны прямые численные методы, такие как метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Рунге-Кутта. Они достаточно широко используются для электродинамического анализа неоднородных диэлектрических волноводов (ДВ), при этом минимальны ограничения, накладываемые на геометрию исследуемой структуры. Недостатком использования прямых численных методов является то, что при их использовании затруднено решение задачи дифракции на неоднородностях, так как необходимо моделировать граничные условия для бесконечных слоев. Существующие алгоритмы решения требуют больших аппаратных и временных затрат.
Более эффективны при численной реализации численно-аналитические методы. Если в численных методах сразу получается окончательное матричное уравнение, то в численно-аналитических предварительно проводится ряд аналитических преобразований. Получающиеся в результате решения матричные уравнения имеют обычно лучшую внутреннюю сходимость, более физически наглядны, позволяют провести оценку погрешности результатов. К численно-аналитическим методам относятся различные варианты метода полуобращения (МПО), модификации метода факторизации для конечных структур.
Методы исследования дифракции на диэлектрических телах, основанные на решении объемного интегрального уравнения (ОИУ) отличаются своей универсальностью и простотой. Они не накладывают ограничений на форму и количество рассеивателей, естественным образом учитывают неоднородность объекта, условия излучения на бесконечности входят автоматически в ядро интегрального уравнения. Одним из достоинств метода ОИУ является возможность его применения к нелинейным диэлектрическим телам.
Однако применение метода ОИУ для расчета структур в резонансной области и продвижение в сторону увеличения электрических размеров тела ограничивается большой размерностью результирующих систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Ослабить это ограничение призваны численно-аналитические методы решения ОИУ, которые приводят к решению систем алгебраических уравнений (САУ), порядок которых сопоставим с порядком САУ, получающихся при решении поверхностных интегральных уравнений (ПИУ), при гораздо более простом виде матричных элементов. В основу метода положена следующая идея: при решении ОИУ нужно выделять и аналитически преобразовывать особую часть ядра ОИУ. Такой метод решения приводит к САУ небольших порядков.
Для решения интегральных уравнений (ИУ) применим МПО, являющийся одним из наиболее эффективных численно-аналитических методов решения краевых задач высокочастотной электродинамики. В основе метода лежит обращение главной сингулярной части операторного уравнения. В результате операторное уравнение 1-го рода проебразуется в уравнение 2-го рода. Существуют различные способы обращения сингулярной части оператора. В большинстве случаев обращаемый оператор описывает ключевую структуру, для которой решение краевой задачи существует в замкнутом виде (дифракция на полубесконечных экранах и т.д.), поэтому применение МПО можно начинать с нахождения ключевой структуры.
При решении краевых задач очень широкое применение нашел метод частичных областей (МЧО), не столь универсальный как метод ОИУ, и в своей аналитической части более сложный, но приводящий к алгоритму, сокращающему время счета по сравнению с методом ОИУ. МЧО применен для решения задач дифракции плоской электромагнитной волны на периодических многослойных диэлектрических решетках.
При расчете дифракции и распространения электромагнитных волн в структурах, содержащих неидеально проводящие тела, сверхпроводники, тонкие диэлектрические слои, часто используются приближенные граничные условия (ПГУ). Применение ПГУ позволяет избежать трудоемкого процесса расчета поля внутри проводников или диэлектриков, однако во многих случаях требует подтверждения, основанного на сравнении с результатами, полученными более строгими математическими методами, либо экспериментально.
Все вышеизложенное делает актуальным разработку эффективных методов расчета электродинамических характеристик неоднородных и периодических диэлектрических структур.
Целью работы является теоретическое исследование процессов распространения и дифракции электромагнитных волн в неоднородных и периодических диэлектрических структурах, основанное на разработке эффективных методов решения двух- и трехмерных краевых задач электродинамики.
Для реализации данных целей необходимо решить следующие общие задачи:
1.Разработать эффективный численно-аналитический метод электродинамического анализа дифракции электромагнитных волн на периодических диэлектрических и металлических наноструктурах и трёхмерных телах.
2.Исследовать дифракционные свойства периодических
диэлектрических и металлических наноструктур.
3.Исследовать дифракционные свойства диэлектрических трёхмерных тел с однородным и неоднородным заполнением.
4.Выявить физические закономерности влияния на
• дифракционные характеристики формы и размеров неоднородных тел;
• коэффициент передачи параметров диэлектрических решеток;
• дисперсионные характеристики параметров диэлектрических структур.
Объектами исследования в данной работе являются:
а) трехмерные диэлектрические тела конечного размера;
б) многослойные диэлектрические дифракционные решетки;
в) наноструктурированные металлические решетки;
г) диэлектрические волноводы с дифракционной решеткой на границе раздела сред.
Научная новизна диссертационной работы обусловливается поставленными задачами, представленными методами их решения и впервые полученными результатами: для трехмерной задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах разработан новый способ получения интегральных уравнений, представлен модифицированный метод коллокации решения трехмерных интегральных уравнений для диэлектрических тел, основанный на выделении и аналитическом преобразовании сингулярной части ядра, разработан метод полуобращения для трехмерных интегральных уравнений, основанный на обращении сингулярной части операторного уравнения, для задачи дифракции электромагнитной волны на двухмерных многослойных периодических структурах представлен модифицированный метод частичных областей, для исследования дифракции на нелинейных диэлектрических телах разработан модифицированный метод колллокации, обоснована возможность применения метода приближенных граничных условий для тонких металлических пленок в оптическом диапазоне на примере решения задачи дифракции волны на наноструктурированных металлических дифракционных решетках, впервые теоретически исследована дифракция волн оптического диапазона на металлических наноструктурах, разработаны оригинальные численные алгоритмы и программное обеспечение на основе теоретических алгоритмов, выявлены физические закономерности влияния на интенсивность рассеяния формы и размеров трехмерных диэлектрических тел, влияния на коэффициент передачи изменения формы и геометрических параметров неоднородностей диэлектрических решеток, исследованы физические свойства собственных волн в периодических диэлектрических структурах, показано существование окон прозрачности и непрозрачности, а также обратных волн. Практическая значимость полученных в диссертации результатов определяется, прежде всего, пакетами программ для ПЭВМ, разработанным на основе оригинальных численных методов и алгоритмов электродинамического анализа распространения и дифракции электромагнитных волн на трехмерных диэлектрических телах, на многослойных диэлектрических дифракционных решетках с неоднородностями сложной формы, на наноструктурированных металлических периодических решетках. Эти программы составляют конкуренцию существующим дорогостоящим программам, реализующим прямые численные методы, и не менее дорогостоящей и длительной экспериментальной обработке.
Разработанные пакеты программ и результаты исследований могут быть непосредственно использованы в научно-исследовательских организациях и на предприятиях, занятых разработкой и производством СВЧ компонентов, а также радиотехнических, радиолокационных, радионавигационных комплексов и систем радиосвязи.
Практическую ценность представленных результатов повышает тот факт, что, некоторые результаты работы включены в рабочие программы лекционных курсов и специальных практикумов, входящих в учебный план физического факультета РГУ.
Обоснованность и достоверность теоретических результатов, полученных в диссертации, обеспечиваются использованием строгих математических методов решения краевых задач электродинамики, выбором математических моделей, адекватных реальным физическим объектам. Все основные результаты диссертационной работы подтверждены анализом внутренней сходимости используемых математических методов решения, сравнением с результатами полученными в работе другими методами, с экспериментальными результатами и с результатами, полученными другими авторами.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Электродинамические методы анализа дифракции электромагнитных волн на трехмерных диэлектрических телах конечного размера, основанные на численно-аналитическом преобразовании сингулярной части интегрального уравнения - модифицированный метод коллокации и метод полуобращения.
2. Применение метода объемных интегральных уравнений к задаче дифракции электромагнитных волн на нелинейных диэлектрических телах.
3. Модификация метода частичных областей для экспресс-анализа дифракции электромагнитной волны на периодических многослойных структурах.
4. Обоснование возможности применения метода приближенных граничных условий для расчета металлических периодических наноструктур.
5. Результаты исследования дифракционных характеристик: трехмерных диэлектрических тел; многослойных дифракционных решеток сложной формы; металлических периодических наноструктур в оптическом диапазоне.
6. Результаты исследования свойств собственных волн в периодических диэлектрических структурах (дисперсионные кривые, существование окон прозрачности и непрозрачности, обратных волн). Апробация диссертационной работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
• Международная научная конференция «Излучение и рассеяние ЭМВ», ИРЭМВ-2003 г. Таганрог, Россия, 16-20 июня 2003.
•X международная конференция «Mathematical methods in electromagnetic theory «MMET 2004», Днепропетровск, Украина, 12-17 сентября 2004.
• Международная конференция «Modern Problems of Computational Electrodynamics «MPCE-2004», Санкт-Петербург, Россия, 2004.
• Международная конференция «International Conference on Advance Optoelectronics and Lasers «CAOL-2005», г.Ялта, Украина, 12-17 сентября 2005. •1-ая, 2-ая, 3-я межведомственные научно-практические конференции «Телекоммуникационные технологии на транспорте России «ТелекомТранс-2003», Сочи, Россия, МПС России, Минтранс России, 2003, 2004, 2005.
•Научно-теоретическая конференция профессорско-преподавательского состава «Транспорт 2003», Ростов-на-Дону, Россия, РГУПС, 2003.
• II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» г.Анапа, Россия, 2-5 октября 2005.
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе: 6 статей и 12 тезисов докладов на международных и всероссийских конференциях.
Структура и объем диссертационной работы.
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав и заключения. Она содержит 185 страниц текста, 70 рисунков, 8 таблиц, список использованных источников, включающий 183 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены ее цели и задачи, показана практическая ценность и новизна полученных в работе результатов, сформулированы основные положения и результаты, выносимые на защиту, представлено краткое содержание работы.
В главе 1 проведен обзор литературы по методам электродинамического решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерных и двухмерных диэлектрических телах. Отмечены основные преимущества и существующие недостатки современных методов анализа.
Показано, что метод ОИУ является перспективным методом решения задач данного класса.
В главе 2 решена задача дифракции электромагнитных волн на сложных трехмерных структурах, которые представляют собой неоднородное диэлектрическое тело сложной формы. Необходимость решения такого рода задач обусловлена различными фундаментальными и прикладными исследованиями. Сложность поставленной проблемы заключается как в неоднородности тел, так и в их геометрических формах и отсутствии симметрии.
Приведен вывод ОИУ дифракции электромагнитных волн на трехмерных неоднородных диэлектрических телах, в том числе расположенных в многослойной среде. ИУ получены для:
- напряженности электрического поля внутри и на поверхности тела;
- напряженности магнитного поля внутри и на поверхности тела;
- относительно потенциалов Дебая.
Исследована внутренняя сходимость разработанных электродинамических методов, получены численные результаты моделирования задачи дифракции на уединенных диэлектрических телах. Построены полярные диаграммы направленности (ДН) рассеяния линейно поляризованного света диэлектрической сферой, прямой треугольной призмой, кубом и т.д.
В главе 3 решена двухмерная задача дифракции электромагнитных волн на многослойной диэлектрической дифракционной решетке (ДДР) с неоднородностями сложной формы.
Для этой цели применен разработанный в главе 2 метод решения ОИУ. В этом случае ОИУ переходят в ПИУ, интегрирование ведется по поперечному сечению. Ядро ИУ имеет логарифмическую особенность. В ИУ используется функция Грина (ФГ), полученная для произвольного числа слоев. Преобразования сингулярной части аналогичны преобразованиям, проведенным в главе 2.
Проведено исследование внутренней сходимости решения. Показано, что достаточно 30 членов ряда Флоке в разложении ФГ и четыре квадратурных узла по обеим переменным для расчетов с погрешностью порядка 10"6.
Для получения экспресс информации о результатах измерений параметров рассеяния от многослойной диэлектрической решетки (ДР) в режиме реального времени был разработан модифицированный метод частичных областей (ММЧО). Данный метод не столь универсальный как метод ОРТУ, в своей аналитической части более сложный, но который приводит к алгоритму, сокращающему время счета на порядок по сравнению с методом ОИУ.
Расхождение между результатами, полученными методами МЧО и ОИУ не превышает 10"4, при различии времени счета до 10 раз.
Эти методы использованы при теоретическом исследовании многослойной ДР и металлических периодических наноструктур. Исследованы дифракционные характеристики многослойной (число слоев 20) ДДР. Показана возможность получить в широком диапазоне частот коэффициент отражения, близкий к единице. Исследовано влияние формы и размеров ДР на частотные характеристики. Отмечена возможность получения большого коэффициента трансформации отраженной волны в минус первую пространственную гармонику.
Исследованы зависимости коэффициентов прохождения по мощности (Т), отражения по мощности и потерь энергии от длины волны для металлических периодических наноструктур.
Разработанный метод решения ИУ, в отличие от метода ПИУ, позволяет рассчитывать и нелинейные диэлектрические неоднородности. Приведены результаты численного моделирования задачи дифракции на решетке из нелинейных диэлектрических цилиндров; на нелинейном диэлектрическом цилиндре, расположенном в прямоугольном волноводе; на уединенном нелинейном металлодиэлектрическом цилиндре. Исследованы зависимости коэффициента прохождения от размеров цилиндра, частоты падающей волны и периода (для решетки). Для одиночного цилиндра изучен поперечник рассеяния с изменением размера неоднородности, частоты падающей волны и диэлектрической проницаемости цилиндра.
Глава 4 посвящена применению ГТГУ для решения задачи дифракции электромагнитных волн на периодических диэлектрических многослойных структурах.
В теории дифракции на идеальных металлических телах используются как ИУ, сформулированные относительно токов на металле, так и ИУ относительно напряженности электрического поля на отверстиях в металлических телах. Выбор вида ИУ прежде всего определяется геометрией ключевой задачи.
В диссертационной работе два вида ИУ получены и для задачи дифракции на многослойных импедансных решетках. Первое ИУ относительно токов на импедансных полосках получено двумя способами: - на основе приближенного решения ОИУ (приведенного в предыдущих главах); -на основе использования традиционных ПТУ для тонких диэлектрических слоев.
Выделена и аналитически преобразована особая часть ИУ. В результате получено ИУ 2-го рода, которое решено методом коллокации. При решении учтено возрастание токов на краях полосок. Полученные ИУ справедливы и для идеально проводящих полосок.
ИУ решено методом Галеркина. Решение найдено в виде ряда по взвешенным полиномам Чебышева первого рода, ИУ спроектировано на взвешенные полиномы Чебышева второго рода. В результате получена СЛАУ, которую решаем методом редукции.
Проведено сравнение результатов, полученных методом МПГУ и строгими методами, а также для идеально проводящего металла.
1 Показана адекватность математической модели металлических наноструктурированных дифракционных решеток, использующей ПГУ для тонких диэлектрических пленок. Это обосновывает возможность применения МГПУ для исследования более сложных металлических структур оптического диапазона и позволит в дальнейшем рассчитывать трехмерные наноструктуры.
В главе 5 исследованы собственные волны в цилиндрическом ДВ со сформированной на границе раздела сред цилиндрической дифракционной решеткой (ЦЦР). Поставленная задача актуальна в связи с созданием управляемых оптоэлектронных устройств. Краевая задача для исследуемой структуры является векторной, в отличие от математической модели планарного волновода.
Для упрощения решения краевой задачи использованы ПГУ. Получена система интегродифференциальных уравнений относительно продольной и поперечной составляющих напряжённости электрического поля на диэлектрических полосках. В интегральных уравнениях использовалась ФГ, полученная для произвольного числа цилиндрических диэлектрических слоев. Выделены и аналитически преобразованы сингулярные члены тензорной ФГ. Затем применен метод Галеркина. В качестве базисных функций использовались 5-функции при аппроксимации поперечной составляющей и полиномы Чебышева для продольной составляющих напряжённости электрического поля.
Адекватность применения МШУ подтверждена сравнением с результатами расчета постоянных распространения осесимметричных волн Hoi, полученных методом ОИУ.
Диаграммные и поверхностные интегральные уравнения
Наиболее перспективным для электродинамического анализа задач распространения дифракции электромагнитных волн в неоднородных диэлектриках является использование численно-аналитических методов, основанных на решении ИУ. Наиболее распространены ИУ трех типов: диаграммные, поверхностные и объемные. Метод диаграммных уравнений (МДУ) характеризуется весьма высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, позволяет для некоторого множества значений параметров задачи получать явные аналитические решения, обладающие высокой достоверностью, однако, в случае, когда рассеиватель является неоднородным диэлектриком, использование МДУ достаточно затруднено. Для записи как поверхностных, так и объемных ИУ (соответственно ПИУ и ОРТУ) используется ФГ [48-51].
Метод поверхностных интегральных уравнение во временной области [52], основанный на записи электрического поля, использован для расчёта временного рассеяния на проводящих и диэлектрических телах, состоящих из сложных структур произвольной формы. Решение основано на методе моментов и включает моделирование структуры произвольной формы в сопряжении с базисными функциями треугольной сетки. Описан полный метод решения связанных интегральных уравнений, выведенный с использованием принципа эквивалентности непосредственно во временной области. Обычные поздние нестабильности, связанные с интегральными уравнениями во временной области, исключены с использованием полной схемы. Математические детали и численные результаты приведены.
Менее универсальны по сравнению с методами ОИУ, но более эффективны при расчете планарных ДВ (ПДВ) различные модификации МЧО в декартовых или цилиндрических координатах. МЧО с учетом особенности на диэлектрическом ребре достаточно подробно изложен в [53-55].
МЧО для решения краевой задачи применен в [56] при расчете собственных волн ПДВ с использованием экранированной модели. Диэлектрический стержень прямоугольного поперечного сечения помещался в металлический экран. ПДВ на диэлектрической подложке конечной толщины, или Т-образный диэлектрический волновод, рассмотрен в [57]. Для исследования собственных волн данной направляющей структуры выполняется частичное экранирование путем введения двух проводящих плоскостей, параллельных границе раздела диэлектрических сред и удаленных от нее на достаточно большие расстояния. При этом упор делается на анализ краевых волн, поля которых преимущественно сосредоточены вблизи указанной границы.
МЧО в [58] использован для формулировки краевой задачи с представлением рассеянных полей рядами Фурье; при решении задачи дифракции плоской электромагнитной волны в случае Н-поляризации на периодической решетке из прямоугольных металлических брусьев, размещенных над планарным диэлектрическим волноводом, экранированным «гребенкой» с прямоугольными канавками. Предложена процедура переразложения модальных функций, описывающих поля в выделенных частичных областях, по базисам примыкающих областей.
В [59] в строгой электродинамической постановке решена задача дифракции на скачкообразном переходе в ДВ, расположенном симметрично на диэлектрической подложке и заключенном в идеально проводящий экран прямоугольной формы. Задача дифракции представляется в виде объединения двух следующих задач: о нахождении собственных волн поперечно-неоднородных ДВ разной ширины и о вычислении матрицы рассеяния стыка этих волноводов друг с другом. Обе задачи решаются МЧО. Показано, что двузначные участки дисперсионных кривых распространяющихся волн, возникающих в стыкуемых друг с другом регулярных волноводах различной ширины, оказывают существенное влияние на электродинамические характеристики перехода. Уставлено, что перенос энергии электромагнитного поля вдоль стыкуемых волноводов производится положительным и отрицательным продольными потоками, взаимодействующими друг с другом. При продвижении вдоль продольной оси волновода продольные потоки разных знаков ослабляются или усиливаются одновременно таким образом, что суммарный поток энергии через поперечное сечение остается постоянным.
Для расчета потерь в линиях передачи СВЧ, вызванной конечной проводимостью проводников, существуют разные подходы. Наиболее строгим является метод, основанный на рассмотрении электромагнитного поля, как вне сверхпроводника, так и внутри его [60, 61]. Однако этот метод сопряжен со значительными вычислительными затратами, что серьезно затрудняет его практическое применение. Для того чтобы избежать рассмотрения поля внутри сверхпроводника применяют импедансные граничные условия (ИГУ) [62]. При применении ИГУ возникают две трудности.
Известно что, использование ИГУ в методе возмущений для планарных линий с бесконечно тонкими проводниками приводит к появлению неинтегрируемой особенности. В [63] при расчете потерь в проводниках сверхпроводящего KB эта трудность обойдена в соответствие с методом, предложенным в [64, 65], и получены формулы для определения потерь в ТЕМ-приближении. Суть метода в том, что при интегрировании необходимо отступить от ребра на некоторое расстояние, которое находится численно и зависит от формы ребра, толщины полоски и свойств материала полоски.
Более строгий подход - использование ИГУ при постановке краевой задачи [67, 68]. Но здесь возникает, так же как и в методе возмущений, проблема корректности ИГУ, которые получены для слоя сверхпроводника конечной толщины, но бесконечного по двум другим координатам. Оценка обоснованности переноса ИГУ на пленки конечной ширины может быть проведена только сравнением с результатами строгих методов или эксперимента. Так в [69] ИГУ применены для расчета диэлектрических резонаторов. Оказалось, что метод дает точные результаты в широком диапазоне изменения параметров.
Сведение решения краевой задачи к решению объемных интегральных уравнений относительно потенциалов Дебая
В связи с тем, что в оптическом диапазоне частот металл имеет конечную комплексную диэлектрическую проницаемость, причем мнимая и действительная части отрицательны и одного порядка [136]. Металл можно представить как плазму твердого тела, образованного свободными электронами с плазменной частотой, лежащей в ультрафиолетовом диапазоне. Поэтому на границе раздела металл - диэлектрик может распространяться поверхностная волна (поверхностный плазмон), которая в оптическом диапазоне имеет малые потери. Все это, естественно, приводит к изменениям свойств решеток по сравнению с решетками в идеальном металле.
Металлические наностуктуры являются в настоящее время одним из наиболее популярных объектов исследования в физике твердого тела и физике поверхности. Наибольший интерес вызывает изучение факторов, влияющих на спин-зависящий транспорт в мультислойных наноструктурах и обуславливающих гигантский магниторезистивный эффект. Эффективным инструментом исследования являются экспериментальные методы, использующие высокочастотные электромагнитные волны. Среди них наибольшее распространение получили методы магнитного резонанса [137, 138]. Показано, что мультислойные наноструктуры имеют существенные особенности физических свойств по сравнению с другими пленочными материалами. В частности, в них возможно возбуждение неоднородных мод в дополнение к обычным симметричной и антисиммтеричной. Другая группа электродинамических методов исследует гигантский магниторезистивный эффект (ГМРЭ). Его микроволновый аналог впервые был описан в [139]. Метод прямого наблюдения ГРМЭ был предложен в [140] и применен для исследования сверхрешеток (Fe/Cr)n. Этот метод состоит в измерении модуля коэффициента прохождения электромагнитной волны через сверхрешетку. Позднее были использованы методы, в которых измеряется коэффициент отражения волн от металлической наноструктуры. Эти методы были использованы для исследования сверхрешеток (Fe/Cr)n [141] и наноструктур Со/Си [142]. В упомянутых выше работах наноструктура помещалась в волновод ИЛИ резонатор таким образом, что высокочастотные токи протекали вдоль плоскости слоев. В [143] была предложена методика эксперимента, в которой токи направлены перпендикулярно плоскости слоев. Наноструктру помещали в квазистационарный резонатор в область электрического поля таким образом, чтобы направление вектора электрического поля было перпендикулярно плоскости слоев.
Использование в экспериментах взаимодействия металлической наноструктуры с бегущей вдоль нее электромагнитной волной предоставляет определенные преимущества. Во-первых, взаимодействие происходит в течение более длительного времени, чем в методиках, где измеряют коэффициенты прохождения и отражения. Следовательно, есть возможность увеличения эффекта. Во-вторых, применение различных мод в электродинамических системах дает возможность исследовать высокочастотные токи, различным образом ориентированные в наноструктуре. Наноструктура имеет толщину, существенно меньшую, чем глубина скин-слоя на частотах сантиметрового и миллиметрового диапазонов. Поэтому, если образец помещен в волноводе таким образом, что ось лежит в плосоксти образца, как правило, оказывается не слишком значительным, так что для описания можно воспользоваться теорией возмущений [144]. Теория возмущений для волновода, содержащего неоднородность вдоль его оси, детально разработана в [144-146]. Рассмотрены электромагнитные поля и волны в полых системах с ферритами [147, 148]. Изучены дисперсионные характеристики волноводов с полупроводниковым заполнением [149]. Решение задачи о тонкой диэлектрической пластине, помещенной в прямоугольный волновод, общеизвестно [150]. Оно имеет практическое значение для проектирования аттенюаторов, фазовращателей и других волноводных устройств. Рассматриваемый в [150] случай очень тонкой металлической пластины, помещенной в волновод, имеет существенное отличие от рассмотренных выше. Структура поля в металле кардинально отлична от конфигурации поля в пустом волноводе и диэлектрике. Поскольку толщина наноструктуры меньше толщины скин-слоя, то обычный для металла скин-эффект здесь не проявляется. Если силовые лини электрического поля нормальны к поверхности металла, то реализуется динамический аналог электростатического экранирования.
В [151] рассмотрено распространение сверхвысокочастотных электромагнитных волн в прямоугольном волноводе, в котором параллельно его оси помещена мультислойная металлическая наноструктура, так что плоскость слоев наноструктуры перпендикулярна меньшей стороне волновода. Методом теории возмущений получено выражение для добавки к комплексной постоянной распространения. Определена частотная зависимость коэффициентов отражения и прохождения. Выполнены эксперименты по измерению коэффициента стоячей волны и коэффициента прохождения миллиметровых волн через волновод, содержащий мультислойную наноструктуру (Fe/Cr)n. В [152] поляризованное оптическое волокно получено с помощью тонкой никелевой пленки и волокна с полированным торцом. Для Н-волны наблюдаются минимальные потери, для Е волны наблюдается эффективное распространение. В [153] предложен численный метод для определения дисперсионных отношений для планарных металлических пленок. Расчеты проведены для всех четырех мод. Для них вычислено пространственное распределение. Из уравнений Максвелла выведено дисперсионное соотношение, с помощью граничных условий получено решение в немагнитной среде.
В [154] методом линий изучается дифракция поверхностного плазмона-поляритона на диэлектрической металлической поверхности. В[155] поверхностный плазмон распространяется вдоль тонкой металлической пленки расположенной между двумя магнитными полупроводниками. Толщина пленки меняется от 100 до 10 нм. Предполагая, что волна не зависит от у, из уравнений Максвелла получены выражения для падающих электрического и магнитного полей полей для двух мод, также получено дисперсионное уравнение.
В [156] подробно описан резонанс поверхностного плазмона от трехмерной поверхности. Представлена модель прохождения и отражения светового пучка от поверхности. В [157] методом линий изучается прохождение и отражение поверхностного плазмонп от разрывной поверхности. Сначала берется двумерное уравнение Гельмгольца, составляется матрица и исследуется решение в различных областях.
Из проведенного обзора можно сделать вывод о том, что более эффективны при численной реализации численно-аналитические методы. В отличие от прямых численных методов, для которых сразу получается окончательное матричное уравнение, в численно-аналитических методах предварительно проводится ряд аналитических преобразований. Получающиеся в результате решения матричные уравнения имеют обычно лучшую внутреннюю сходимость, более физически наглядны, позволяют провести оценку погрешности результатов.
Кроме прямых численных и полуаналитических методов можно выделить приближенные и комбинированные методы. Их отличительная особенность заключается в том, что при создании электродинамической модели делаются предварительные допущения и приближения, уменьшающие точность решения, но позволяющие упростить модель. Полученная модель решается с помощью прямых численных или полуаналитических методов, или их комбинации. К приближенным относятся: метод геометрической оптики, метод распространения луча, решения с использованием теории связанных волн.
Решение задачи дифракции на многослойной дифракционной решетке модифицированным методом частичных областей
Видно, что при увеличении относительного объема ДН имеют наибольшее расхождение для призмы по сравнению с кубом и сферой, причем при увеличении данного объема разница становится заметнее и появляется различие между сферой и кубом. Поэтому для определения формы рассеивающей поверхности необходимо рассматривать тела большого электрического размера.
На рис.2.18, 2.19 приведены полярные диаграммы направленности рассеяния линейно поляризованного света диэлектрической неоднородной сферы радиуса R. Диэлектрическая проницаемость внутри сферы меняется по закону: Б{Г) = — г + є0, где є0 - диэлектрическая проницаемость в центре сферы, Єх- диэлектрическая проницаемость на границе сферы, 0=2.0, =1.5625. Стрелкой показано направление падения волны.
Из рис. 2.18., 2.19. видно, что интенсивность рассеяния неоднородной сферой уменьшается быстрее с увеличением относительного размера сферой по сравнению с однородной сферой.
Из приведенных ДН видно, что наибольшие значения рассеяния достигаются на прямом (#=0) и обратном направлениях (#=180), наименьшие же в плоскости, перпендикулярной плоскости (#=90) направления распространения света. ДН не меняются для сферы и параллелепипеда как при угле падения 0, так и при 90. Полярные ДН симметричны относительно плоскости, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к направлению распространения падающей волны.
В данной главе применен метод объемных интегральных уравнений для решения задачи дифракции электромагнитных волн на трехмерных неоднородных телах конечных размеров. Получены три вида интегральных уравнений для неоднородных диэлектрических тел: интегральное уравнение относительно напряженности электрического поля Ё неоднородного трехмерного диэлектрического тела; относительно напряженности магнитного поля й; относительно потенциалов Дебая.
Изложены разработанные численно-аналитические метод решения ОИУ, описывающие рассеяние на неоднородном диэлектрическом теле. Приведены два способа численно-аналитического преобразования сингулярной части интегрального уравнения.
Приведены результаты исследования внутренней сходимости разработанных электродинамических методов и результаты теоретических исследований дифракции на трехмерных диэлектрических телах. Построены ДН линейно поляризованного света диэлектрическими трехмерными телами конечных размеров. ДН, полученные в работе для однородного шара, находятся в полном соответствии с результатами, полученными в [168]. При длине волны много больших, чем характерный размер объекта, ДН практически одинакова для фигур различной формы и одинакового объема. Поэтому информацию о форме объекта можно получить при длинах волн близких к размеру. При увеличении относительного объема ДН имеют наибольшее расхождение для призмы по сравнению с кубом и сферой, причем при увеличении данного объема разница становится заметнее и появляется различие между сферой и кубом. Интенсивность рассеяния неоднородной сферой уменьшается быстрее с увеличением относительного размера сферой по сравнению с однородной сферой.
В разделе З.1., разработанный в главе 2 метод решения ОИУ, применен к решению двухмерной задачи дифракции при падении плоской электромагнитной волны на многослойные ДДР с неоднородностями сложной формы [169]. В этом случае ОИУ переходят в ПИУ, интегрирование ведется по поперечному сечению. Ядро ИУ имеет логарифмическую особенность. В ИУ используется ФГ, полученная для произвольного числа слоев. Преобразования сингулярной части аналогичны преобразованиям, проведенным в главе 2. Проведено исследование внутренней сходимости.
В разделе 3.2. для получения экспресс информации о результатах измерений параметров рассеяния от многослойной диэлектрической решетки в режиме реального времени был разработан ММЧО. Данный метод не столь универсальный как метод ОИУ, в своей аналитической части более сложный, но который приводит к алгоритму, сокращающему время счета по сравнению с методом ОИУ.
В разделе 3.3. разработанные в разделах З.1., 3.1. методы применены для решения задачи дифракции волн оптического диапазона на металлических периодических наноструктурах. Как известно в оптическом диапазоне длин волн металл имеет комплексную диэлектрическую проницаемость, причем действительная и мнимая части одного порядка [136]. Металл можно представить как плазму твердого тела, образованного свободными электронами с плазменной частотой, лежащей в ультрафиолетовом диапазоне. Все это естественно, приводит к изменениям свойств исследуемых устройств по сравнению со структурами с идеальным металлом. Изменяются и электродинамические методы их расчетов, так как при изучении дифракции электромагнитной волны оптического диапазона на металлическом объекте необходимо учитывать поле внутри образца. Одним их достоинств метода ОИУ является возможность его применения к нелинейным диэлектрическим телам. В разделе 3.4. приведены результаты численного моделирования задачи дифракции на решетке из нелинейных диэлектрических цилиндров; на нелинейном диэлектрическом цилиндре, расположенном в прямоугольном волноводе (раздел 3.4.1); на уединенном нелинейном металлодиэлектрическом цилиндре (раздел 3.4.2).
Исследование металлических периодических наноструктур методом приближенных граничных условий
В данной главе решена задача дифракции электромагнитной волны на многослойной дифракционной решетке с конечной проводимостью методами ОРТУ и ММЧО. Получены выражения для падающей мощности, прошедшей мощности и отраженной мощности. Проведен анализ внутренней сходимости решения ИУ, который показал наличие быстрой внутренней сходимости решения в зависимости от количества элементов в рядах при разложении ФГ. Приведены результаты численного моделирования задачи дифракции на нелинейных диэлектрических цилиндрах, на решетке из нелинейных диэлектрических цилиндров.
Для решения задачи дифракции электромагнитной волны в многослойной планарной структуре, применен численно-аналитический метод решения ОИУ, который приводит к решению САУ, порядок которых сопоставим с порядком САУ, получающихся при решении ПИУ, при гораздо более простом виде матричных элементов. При решении ОИУ выделена и аналитически преобразована особая часть ядра ОИУ. Это приводит к САУ меньших порядков, чем метод, основанный на дискретизации тела на малые ячейки. Это особенно важно при решении обратных задач дифракции.
Исследована дифракция на многослойной ДДР с неоднородностями сложной формы методом ОИУ. Показана возможность получения в широком диапазоне частот коэффициент отражения близкий к единице.
Показана возможность МОИУ для решения задачи дифракции на нелинейных диэлектрических телах. Приведены результаты численного моделирования дифракции на нелинейных структурах. Показано влияние амплитуды электрического поля на коэффициенты отражения и прохождения.
Для задач дифракции плоской электромагнитной волны на периодических многослойных металлических и диэлектрических решетках разработан ММЧО. Данный метод не столь универсальный как метод объемных интегральных уравнений, в своей аналитической части более сложный, но который приводит к алгоритму, сокращающему время счета на порядок по сравнению с методом ОИУ. Исследована дифракция на металлической периодической решетке. Выявлены зависимости между дифракционными свойствами решетки и ее геометрическими размерами.
Исследована дифракция на металлических периодических наноструктурах МШУ. Показана возможность высокой передачи через металлические периодические наноструктуры.
При расчете дифракции и распространении электромагнитных волн в структурах, содержащих неидеально проводящие тела, сверхпроводники, тонкие диэлектрические слои часто используются приближенные граничные условия (ПГУ) [173]. Применение ПГУ позволяет избежать трудоемкого процесса расчета поля внутри проводников или диэлектриков, однако во многих случаях требует подтверждения, основанного на сравнении с результатами, полученными более строгими математическими методами, либо экспериментально. Поэтому, одной из целей настоящей работы является разработка и обоснование адекватности применения метода ПГУ для расчета диэлектрических структур, содержащих тонкие диэлектрические слои.
В теории дифракции на идеальных металлических телах используются как ИУ, сформулированные относительно токов на металле, так и ИУ относительно напряженности электрического поля на отверстиях в металлических телах. Выбор вида ИУ прежде всего определяется геометрией ключевой задачи. В диссертационной работе два вида ИУ получены и для задачи дифракции на многослойных импедансных решетках. В разделе 4.1. ИУ, описывающее дифракцию на многослойных импедансных решетках, относительно токов на импедансных полосках получено двумя способами: - на основе приближенного решения ОИУ (приведенного в предыдущих главах); -на основе использования традиционных ПГУ для тонких диэлектрических слоев. Выделена и аналитически преобразована особая часть ИУ. В результате получено ИУ 2-го рода, которое решено методом коллокации. При решении учтено возрастание токов на краях полосок. Полученные ИУ справедливы и для идеально проводящих полосок. В разделе 4.2. ИУ записано относительно поля между импедансными полосками. ИУ решено методом Галеркина. Решение найдено в виде ряда по взвешенным полиномам Чебышева первого рода, ИУ спроектировано на взвешенные полиномы Чебышева второго рода. В результате получена СЛАУ, которая решена методом редукции. Получены значения для падающей, прошедшей и отраженной мощностей. Исследована внутренняя сходимость решения. В разделе 4.3. МПГУ исследованы металлические периодические наноструктуры. Проведено сравнение результатов, полученных методом ПТУ и строгими методами, а также для идеально проводящих металлов. Показана адекватность математической модели металлических наноструктурированных дифракционных решеток, использующей ПТУ для тонких диэлектрических пленок.
