Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Метод производящих функций в решении спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных хаотических отображений 14
1.1 Определение оператора Перрона-Фробениуса и его основные свойства 14
1.2 Постановка спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса. Общие свойства собственных функций оператора 16
1.3 Определение производящей функции собственных функций оператора. Свойства производящей функции 20
1.4 Производящая функция для оператора Перрона-Фробениуса сдвигов Бернулли. Решение спектральной задачи 24
1.5 Производящая функция для операторов Перрона-Фробениуса отображений «палатка» и «N-образное». Решение спектральной задачи 28
ГЛАВА 2 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса пилообразных кусочно-линейных отображений с произвольным числом линейных ветвей 38
2.2 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса пилообразного отображения с нечетным числом линейных ветвей 43
2.3 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отобраоїсения с четным числом ветвей монотонности 47
2.4 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отобраоїсения с нечетным числом ветвей монотонности 49
ГЛАВА 3 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием линейных ветвей 54
3.1 Класс кусочно-линейных отображений с произвольным чередованием наклона
полных ветвей монотонности на отрезке[-\,\], для которых модуль тангенса угла
наклона всех ветвей одинаков. Решение спектральной задачи 54
3.2 Исследование особенностей решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства 63
3.3 Связь между собственными функциями исходного и инвертированного кусочно-линейных отображений с полными ветвями монотонности и одинаковым модулем тангенса угла наклона. 67
3.4 Автокорреляционные функции орбит для кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных линейных ветвей. 70
3.5 Корреляционные функции наблюдаемых в форме степенных функций от реализаций кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных
линейных ветвей 72
ГЛАВА 4 Спектральная задача для отображения Реньи 75
4.1 Решение спектральной задачи для фи-отображения методом производящих функций 77
4.2 Свойства собственных чисел и собственных функций ОФП для фи-отображения 84
4.3 Трёхступенчатое инвариантное распределение 85
4.4 Множество точек бифуркаций параметра бета - отображения 95
4.5 Инвариантное распределение для отображения Реньи 103
4.6 Корреляционные функции наблюдаемых в форме функций от реализаций отображения Реньи, допускающих разложение по собственным функциям модифицированного оператора Перрона-Фробениуса. 106
Заключение 109
Список литературы
- Постановка спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса. Общие свойства собственных функций оператора
- Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отобраоїсения с четным числом ветвей монотонности
- Исследование особенностей решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства
- Трёхступенчатое инвариантное распределение
Введение к работе
Актуальность работы. Простейшими моделями хаотических процессов, как известно, являются динамические системы с дискретным временем - одномерные отображения, описываемые разностными уравнениями вида
*„+i = <Р(хп Д)>" = 0,1,2,.»» хп є (a,b), (Bl)
где (р - нелинейная или кусочно-линейная итеративная функция, сохраняющая меру в области определения отображения; Я - параметр, определяющий особенности динамики отображения [1-9]. Со временем они не утратили своего и научного, и методологического значения для нелинейной науки. Собственно, первые серьезные шаги на пути ее изучения и начинаются со сценария М. Фейгенбаума перехода к хаосу [10-12], обнаруженного впервые именно для одномерных отображении. Второй важный концептуальный пример связан с развивавшейся коллективом авторов во главе с И.Р. Пригожиным фундаментальной концепцией относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (необратимости физических процессов при наличии обратимого характера уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории простейшего диадического отображения (сдвига Бернулли) [13]. Интересен, далее, тот факт, что парадигма детерминированного хаоса заняла свою нишу в общей теории относительности, когда была открыта хаотическая осцилляция компонент метрического тензора согласно одномерному отображению Гаусса в однородной анизотропной космологической модели типа IX по Бианки вблизи особенности (Mixmaster Universe -"Перемешанный мир") [14-19].
Конкретные применения моделей "малоразмерной нелинейной динамики" для анализа нерегулярных процессов продолжаются и по сей день, причем в разнообразных отраслях знания - в физике (от механики до космологии), в информационных технологиях, экономике, финансовой математике и т.д. [1-9, 20-22], но научная значимость подобных «простых» моделей заключается, прежде всего, в возможности (в определенных случаях) точного аналитического вычисления основных траекторных, вероятностных и спектральных характеристик изучаемого хаотического процесса. Исследование же численными методами более сложных
чувствительных к изменениям начальных условий систем в связи с особой структурой машинных чисел и нарушением правил «обычной» арифметики может сталкиваться с большими проблемами, вплоть до появления результатов, на самом деле являющихся машинными "фантомами" [23-25].
В этой ситуации представляет несомненный интерес глубокое математическое исследование "классики" нелинейных явлений как собственно математического объекта, так и как возможного инструмента для анализа новых нелинейных явлений.
В последнее время доминирующим в подобных исследованиях является операторный подход, основанный на анализе спектральных свойств линейного, несамосопряженного, положительно определенного оператора Перрона-Фробениуса, который описывает динамику плотностей вероятностных мер под действием отображения [26-31]. Генезис вероятностного описания хаотических динамических систем связан с рассмотрением начального значения х0 и рекуррентно вычисляемых точек
траектории (реализации) хп как случайных величин, соответственно
обозначаемых как Х0 и Хп. Подобная экспликация оправдана тем, что
совокупность значений хп при любом начальном значении х0 демонстрирует
идентичные распределения по области определения, а случайная вариация начального условия системы, чувствительной к этому параметру, позволяет делать прогнозы о ходе траектории исключительно в вероятностном ключе. В общем виде оператор Перрона-Фробениуса имеет вид
Pf(x)=\f(t)S(x-
где S(x) - дельта-функция Дирака. В вероятностной трактовке (В2) - это обычное правило преобразования вероятностных плотностей при нелинейном преобразовании случайной величины (Хп+1 =<р(Хп,А)), которое может быть в силу фильтрующих свойств дельта-функции преобразовано от
интегрального уравнения с сингулярным ядром к функциональному уравнению. Для кусочно-линейных отображений оно имеет вид линейной комбинации функции f(x) при различных значениях аргумента вида ах + Ь.
А наличие неподвижной точки оператора Перрона-Фробениуса (В2), называемой инвариантной плотностью, служит доминантным признаком как раз детерминированного хаоса, развивающегося в системе (В1).
Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках рассмотреть асимптотические процессы в динамической системе, описывающей процесс разложения случайного иррационального числа в непрерывную дробь (задача Гаусса) [32]. Общие свойства # оператора Перрона-Фробениуса рассмотрены в работах таких авторов как D. Ruelle, D.H. Mayer, A. Lasota, М.С. Mackey, V.Baladi, М. Iosifescu, S. Isola, М.Л. Бланк. Вопросы спектрального разложения оператора Перрона-Фробениуса изучались в работах М. Dorfle, И.Р. Пригожина (I.Prigogine), I. Antoniou, D. Driebe, P. Gaspard, H.H. Hasegava, G. Nicolis, W.C. Saphir, S.Sucanecki, S. Tasaki, D. MacKernan, R.F. Fox, Ю.А. Куперина, А.Ф. Голубенцева.
Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов.
В 90-е годы спектральная задача была решена для сдвигов Бернулли xn+l = Gxn mod 1, где G - произвольное целое положительное число [33-39], и пирамидального отображения (tent map) [40]. Был предложен метод нахождения полиномиальных собственных функций оператора Перрона-Фробениуса на основе построения производящих функций для этих полиномов и найдены выражения (в форме представления через гиперболические функции) для производящих функций операторов отображений с 3-6 линейными участками итеративной функции [41-42].
Что же дает знание спектральных свойств оператора Перрона-Фробениуса, его собственных функций и собственных чисел для исследования хаотической динамики, для радиофизики, в частности? При изучении как стохастических («истинно» случайных), так и хаотических процессов принципиальную (иногда даже говорят, «критическую») роль в радиофизике, а также в статистической физике играет анализ корреляционных функций процесса, оценка скорости убывания или «расцепления» корреляций, оценка динамики релаксационных процессов, установления равновесного состояния. Автокорреляционная функция преобразованием Фурье связана, как известно, с энергетическим спектром (Винера-Хинчина), который является характеристикой, нашедшей широкое применение в прикладных задачах. В литературе, кстати, отмечается, что спектрально-корреляционные свойства нерегулярных колебательных
режимов динамических систем в настоящее время изучены явно недостаточно [43].
Общий вид корреляционной функции для процессов U, V, ассоциированных с реализацией случайного процесса X:
R(n) = (u(a)V [ср" {a)))- (U(a)) (v [cp" (a))), (ВЗ)
где усреднение в стационарном (асимптотическом) случае ведется по инвариантной плотности. Поскольку хп = <р"(х0) = (р"А((р(х0)), соотношение (ВЗ) можно представить в виде
R(n) = (u(x)P"V(
х))) - (U(x))(v (х)), ' (В4)
где Pf(x) = P(p(x)f(x))/p(x) - модифицированный оператор Перрона-
Фробениуса, р(х) - инвариантная плотность. В ряде работ выражение (В4)
адаптировано для конкретных видов отображений и топологически сопряженных отображений [42,44].
Собственные числа оператора (В2) и модифицированного оператора совпадают, а собственные функции отличаются множителем р(х). Отсюда
становится ясным, что ключевым моментом при расчете асимптотических, корреляционных свойств одномерных хаотических отображений является нахождение решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса исследуемого отображения. Особый интерес в этой связи вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена аналитически. Соответственно аналитически может быть решена и задача расчета скорости релаксационных процессов (установления инвариантного распределения) и спада корреляций. Именно такой класс операторов (и "порождающих" их отображений) изучается в настоящей диссертации.
В диссертационной работе впервые полностью решается задача аналитического нахождения полиномиальных собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса для целого класса кусочно-линейных отображений [45-55]. Речь идет, в частности, об отображениях, итерируемая кусочно-линейная функция которых имеет полные ветви (т.е. каждый участок монотонности отображается своей линейной функцией на весь интервал), тангенс угла наклона линейных
ветвей одинаков по модулю для всех участков монотонности, число же и
чередование наклонов ветвей произвольно. В работе удалось унифицировать
и обобщить процедуру решения спектральной задачи для данного класса
отображений и отображений с неполными ветвями (отображений Реньи) с
помощью введения производящей функции для собственных функций
оператора. '
Цели и задачи исследования. Основная цель работы - развитие аналитических методов решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса и аналитическое исследование на этой базе асимптотических свойств ряда моделей хаотической динамики. В этом контексте в работе решены задачи: а) развитие и практическая реализация аналитического метода нахождения собственных функций и собственных чисел оператора посредством нахождения производящей функции для кусочно-линейных хаотических отображений пилообразного типа (с упорядоченным чередованием ветвей отображения) и отображений с произвольным чередованием ветвей; б) анализ эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи хп+х - f3xn mod 1 с диапазоном изменения (нецелого)
параметра 1
одномерных хаотических отображений) автокорреляционных функций реализаций и корреляционных функций наблюдаемых, ассоциированных с отображениями, в частности, в форме степенных функций.
Научная новизна работы
1. Предложен аналитический метод решения спектральных задач для
оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических
отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом
наклона линейных составляющих, основанный на факторизации
производящих функций для собственных функций оператора и методе
степенных рядов.
2. Данным методом определены полиномиальные собственные
функции и собственные числа оператора для следующих классов кусочно-
линейных отображений:
а) отображений с последовательным чередованием наклона полных линейных ветвей (собственные функции представляются линейными комбинациями полиномов Бернулли и Эйлера);
б) отображений с произвольным чередованием наклона полных
линейных ветвей (получены рекуррентные соотношения для коэффициентов
полиномиальных собственных функций);
в) отображения Реньи при трех значениях параметра, обеспечивающих
наличие трехступенчатой инвариантной плотности (получены представления
для кусочно-полиномиальных собственных функций с коэффициентами
полиномов, выражаемыми через рекуррентные соотношения).
3. Исследованы особенности динамики и вероятностных свойств
малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, хп+1 - fixn mod 1,
для области значений параметра 1 < /3 < 2:
а) показано, что существуют счетное множество значений параметра
Р, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в
форме кусочно-постоянных функций (ступенчатая инвариантная плотность),
б) построен алгоритм вычисления значений параметра отображения,
обеспечивающих существование инвариантной плотности с заданным
числом ступенек;
в) для остальных значений параметра отображения, образующих
континуум, показано, что соответствующая инвариантная плотность
представима в виде бесконечной суммы характеристических функций
вложенных отрезков.
4. Получены выражения для автокорреляционных функций реализаций
дискретных хаотических процессов, задаваемых исследуемыми в
диссертации отображениями, а также корреляционных функций
наблюдаемых, в частности, в форме степенных функций точек хаотической
траектории (посредством выявления результатов многократного действия
оператора Перрона-Фробениуса (модифицированного оператора Перрона-
Фробениуса) на соответствующие функции независимой переменной и
интегрирования этих результатов по инвариантной плотности).
Научная и прикладная значимость. В диссертации развит аналитический метод исследования спектральных свойств несамосопряженного линейного оператора Перрона-Фробениуса, определяющих и объясняющих динамику дискретных хаотических моделей, в контексте «термодинамического формализма». Выявлен класс функциональных уравнений, допускающих аналитическое решение,
позволяющее определить производящую функцию для полиномиальных собственных функций данного оператора. Эти результаты, как представляется, вносят вклад в развитие теории линейных несамосопряженных операторов, теории разностных уравнений, функционального анализа, современной теории динамических систем, методов моделирования хаотических процессов.
В работе сформулированы и апробированы конкретные алгоритмы аналитических расчетов автокорреляционных функций траекторий хаотических процессов на основе решения спектральных задач для операторов Перрона-Фробениуса соответствующей модели (отображения). Выявлены закономерности изменения эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи с изменением значения параметра, обусловливающим перестройку структуры его инвариантной плотности. В прикладном аспекте полученные результаты представляют интерес для решения задач статистической радиофизики, связанных с исследованием асимптотических спектрально-корреляционных свойств хаотических процессов, в том числе, аналитического исследования перемешивающих (релаксационных) свойств отображений на основе представления начальных распределений разложениями по собственным функциям оператора1; формирования алгоритмов хаотической передачи и обработки информации, построения конкретных моделей нейронной активности на базе отображения Реньи.
Далее, решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных отображений открывает путь и для аналитического решения аналогичных задач для топологически сопряженных отображений и многомерных отображений, образованных декартовым произведением одномерных отображений2.
*
Личный вклад. Задачи исследования были сформулированы научными руководителями работы, которые оказывали консультативное содействие и осуществляли верификацию результатов в процессе
1 Исследование процессов релаксации в дискретных динамических системах может быть проведено
и на основе представления начального распределения формулой Эйлера-Маклорена с последующим
частичным замещением в ней полиномов Бернулли полиномами Эйлера [56].
2 Собственные числа при сопряжении отображений обратимых дифференцируемых преобразований,
являются инвариантами, а в выражениях для собственных функций соответствующим образом меняется
лишь аргумент [41].
выполнения работы в направлении двух специальностей (радиофизика, математическое моделирование). Автору диссертации принадлежат аналитические результаты по модификации метода производящих функций для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса, выяснению степени эффективности метода в зависимости от вида отображения, конкретные расчеты собственных функций и собственных чисел оператора, а также корреляционных характеристик рассмотренных моделей дискретных хаотических процессов.
Достоверность результатов диссертации. Все результаты, представленные в работе, получены сугубо аналитическими методами. В пользу их корректности свидетельствуют: совпадение аналитических решений, найденных различными способами; непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнения для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т.д.); возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам; сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на всероссийских школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» 2005 и 2006 гг., международных конференциях SPIE 2005 и 2007 гг., на научных семинарах, проводившихся на физическом и механико-математическом факультетах Саратовского госуниверс,итета и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Аналитический метод решения спектральных задач для оператора
Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических
отображений, основанный на факторизации производящих функций для
собственных функций оператора и методе степенных рядов.
2. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для
пилообразных отображений, вне зависимости от количества линейных
ветвей, представляются полиномами Бернулли, полиномами Эйлера или их
комбинациями.
3. Базис инвариантного подпространства оператора Перрона-
Фробениуса отображения Реньи в зависимости от значения параметра /?
формируется из конечного (для счетного, всюду плотного множества
значений /3) или бесконечного множества характеристических функций
вложенных отрезков.
4. Значения автокорреляционных функций R{n) реализаций любых
кусочно-линейных отображений с полными ветвями определяются величиной, равной и-й степени первого собственного числа соответствующего оператора Перрона-Фробениуса.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ: 4 статьи, включая 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, и 7 публикаций в трудах всероссийских и международных конференций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы из 80 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации -128 страниц, она иллюстрируется 29 рисунками и содержит 2 таблицы.
В главе 1 даются общие сведения о вероятностном подходе к исследованию одномерных отображений, вводится понятие производящей функции собственных функций оператора Перрона-Фробениуса, даются некоторые общие свойства оператора. Используя производящие функции, воспроизведены известные результаты для отображений «сдвиги Бернулли», «палатка», «N-образное» отображение.
В главе 2 последние два отображения («палатка» и «N-образное») обобщаются до произвольного количества линейных ветвей с регулярным чередованием их наклонов. Они рассматриваются как частные случаи пилообразного отображения, для которого решается спектральная задача. Вводится операция инвертирования, и решается спектральная задача для инвертированного пилообразного отображения.
В главе 3 пилообразные отображения предстают как частный случай более универсального отображения. Одновременно в целях упрощения математических выкладок и повышения наглядности некоторых особенностей решений выполнен переход с единичного на симметричный отрезок [-1,1]- Решается спектральная задача для класса кусочно-линейных
отображений с произвольным чередованием наклона полных ветвей монотонности, исследуются особенности решения. Установлено, каким образом операция инвертирования итерируемой функции влияет на решение спектральной задачи.
В главе 4 класс исследуемых отображений расширяется. В рассмотрение вводятся кусочно-линейные отображения с не полными ветвями (модуль тангенса угла наклона которых по-прежнему одинаков). Самым простым из отображений данного класса является отображение Реньи [57-59], которое и составляет предмет исследования 4-й главы. Ставится и решается вопрос о виде инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробениуса при значениях параметра отображения, лежащих в интервале (1,2). Для некоторых частных случаев - конкретных значений параметра
отображения - решается спектральная задача с использованием слегка модифицированного метода производящих функций. Получено аналитическое выражение для плотности инвариантного распределения отображения Реньи при произвольном значении параметра отображения из интервала (1,2).
*
Постановка спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса. Общие свойства собственных функций оператора
Спектральная задача для оператора Перрона-Фробениуса (ОПФ) состоит в отыскании его собственных функций и чисел, определяемых известным соотношением: Рф) = &.( ) (1-2.1) Собственная функция, соответствующая единичному собственному числу, обозначим его \ = 1, является неподвижной точкой оператора: Р(р0{х) = (рй(х).
Наблюдая за эволюцией плотности вероятности р0(х) начального значения х0, которая описывается соотношением (1.1.5), в некоторых случаях (если итерируемая функция сохраняет меру) можно обнаружить, что последовательность плотностей вероятности р0(х),р1(х),р2(х),...рп(х),... с ростом п стремится к определенному пределу - плотности р(х), которая называется инвариантной плотностью и совпадает с неподвижной точкой оператора, то есть с низшей (нулевой) собственной функцией: Рр(х) = р(х).
Если в спектре оператора есть собственные числа, равные нулю, то соответствующие им собственные функции составляют т.н. нуль-пространство оператора и определяются соотношением: ( ) = 0. (1.2.2)
Замечание. Если какой-либо оператор обладает следующим свойством: Рр(х) = Рр(-х). (зі) то любая нечетная функция входят в его нуль-пространство. Действительно, пусть у/ (х) - нечетная функция, т.е. у(-х) = -уг(х). (з2) Подействуем на эту функцию оператором (зі): Pj/(x) = Р (-!/(- )) =-/У (-х). С другой стороны, поскольку оператор обладает свойством (зі): Ру/(х) = Ру/(-х). (зЗ) Сравнивая два последних равенства, можно записать: Р(-х) = -Р{-х), поэтому Ру/(х) = 0. (з4)
Или, в другой формулировке, если ядро интегрального оператора K(x,t) обладает свойством K(x,t)=K(x,), то все нечётные функции составляют нуль-пространство оператора. В ряде публикаций найдены собственные функции ОПФ для конкретного вида итерируемой функции /О). Так, в [33-35] показано, что собственными функциями ОПФ для отображения, называемого сдвигом Бернулли, являются полиномы Бернулли Вп(х). Нетрудно установить (см., например, [70]), что для данных полиномов выполняется равенство: \вп{х)йх = 8пй, (1.2.3) о где дтп - символ Кронекера. В [27] справедливость соотношения, аналогичного (1.2.3), доказана для отображения Гаусса. Сказанное выше позволяет предположить, что в достаточно общем случае собственные функции ОПФ удовлетворяют соотношению: і fy„(x)dx=S„fi, (1.2.4) о которое можно трактовать как ортогональность собственных функций единице. Докажем [47,49] справедливость соотношения (1.2.4), используя условие xe[0,l]= f(x)e[0,\), (1.2.5) Для доказательства подставим в (1.2.4) вид ОПФ (1.1.6) и проинтегрируем результат по единичному отрезку, тогда получим: ! 1 1 A„fr„(x)dx= j \S{x-№)dtdx. (1.2.6) 0 0 0 Меняя в правой части (1.2.6) порядок интегрирования и учитывая, что при выполнении (1.2.5) і \S(x-№)dx = \t если, є [0,1], о получаем: 1 X„\y/n{x)dx=\\i/n(t)d%, о о откуда и следует справедливость соотношения (1.2.4). Аналогичным образом доказывается справедливость следующих равенств: і і 0 о 1 n\m{ )n{x)dx=\m(f{x))n(x)dx. (1-2.8) о о Следует подчеркнуть, что соотношения (1.2.4), (1.2.7) и (1.2.8) выполняются для любого отображения.
Ниже приведены результаты, которые относятся только к кусочно-линейным отображениям с полными ветвями. Для них собственные функции ОФП ищутся в виде кусочно-полиномиальных функций. Под кусочно-полиномиальными функциями будем понимать линейные комбинации индикатрис (характеристических функций отрезков) с полиномиальными коэффициентами. При этом набор индикатрис в таких комбинациях есть базис инвариантного подпространства для данного оператора Перрона-Фробениуса. В работах [71-73] показано, что для всех кусочно-линейных отображений с полными ветвями минимальное инвариантное подпространство состоит из индикатрисы единичного отрезка (другими словами, инвариантным распределением является равномерное), поэтому собственные функции оператора Перрона-Фробениуса в данном случае имеют вид:
Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отобраоїсения с четным числом ветвей монотонности
Полиномы для собственных функций строятся в соответствии с соотношением (1.3.11). В случае полиномов четных номеров для чисел \ используется выражение (1.5.22), в случае нечетных - (1.5.23). Подсчитав несколько первых чисел, нетрудно заметить, что числа (1.5.22) совпадают с числами Бернулли Ь„ = Вп(0), если задать /z,(l) = -0.5, а числа (1.5.23) совпадают с Еп (0) (т.е. с полиномами Эйлера в нуле, числа же Эйлера по определению есть еп = Е„ (0.5)). В итоге получается результат, совпадающий с (1.5.21).
Таким образом, предлагаемая методика применения производящих функций при решении спектральных задач для кусочно-линейных отображений с ветвями одного (по модулю) наклона состоит в следующем:
1) записывается уравнение для собственных функций оператора
Перрона-Фробениуса; 2) используя полиномиальный вид собственных функций, записывается выражение для собственных чисел;
3) осуществляется переход от уравнения для собственных функций к уравнению для производящих функций (или уравнениям для четной и нечетной ее частей, если выражения для собственных четных и нечетных номеров чисел различаются);
4) поставляя в уравнения для производящей функции ее факторизованные представления, получаем уравнения для вспомогательных функций;
5) решаем полученные уравнения методом степенных рядов, в качестве решения получаются рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения искомых функций в степенные ряды, начальное значение для рекуррентной формулы дает условие нормировки (в ряде случаев уравнения для вспомогательных функций допускают довольно простые решения в явном виде);
6) полиномы для собственных функций выражаются через полученные в п.5. коэффициенты формулой (1.3.11).
Анализ, проведённый в главе 1, позволяет сделать следующие выводы.
1. При вероятностном описании одномерных отображений весьма плодотворным способом решения спектральной задачи для ОФП является построение производящей функции. Установлены некоторые общие свойства производящей функции, что позволило в некоторых частных случаях без труда найти решение спектральной задачи.
2. На примере двоичного и обобщённого сдвигов Бернулли показано, что увеличение количества элементов, из которых «сконструирована» итерируемая функция, меняет только собственные числа ОФП, собственные функции не меняются. В рассмотренном примере, когда итерируемая функция содержит одинаковые линейные участки с положительным наклоном, собственные функции ОФП содержат в качестве сомножителя только полиномы Бернулли.
3. Наличие у итерируемой функции линейных ветвей с отрицательным наклоном при чётном количестве линейных ветвей (пирамидальное отображение) приводит к появлению нового свойство - нуль-пространства ОФП. Собственные функции являются линейной комбинацией полиномов Бернулли и Эйлера.
4. При анализе отображения, итерируемая функция которого имеет три линейных участка при регулярном чередовании знака наклона прямых (N -образное отображение) обнаружено вырождение по собственным числам: одному значению собственного числа соответствуют две различных собственных функции. При этом все собственные функции являются линейными комбинациями полиномов Бернулли и Эйлера.
В данной главе рассмотренные ранее отображения («палатка» и «N-образное») естественным образом обобщаются до произвольного количества линейных ветвей с регулярным чередованием их наклонов [45,52]. Спектральная задача решается для чётного и нечётного числа участков монотонности итерируемой функции. Кроме того, вводится операция инвертирования итерируемой функции, и исследуются , свойства инвертированного пилообразного отображения.
Прежде всего, необходимо сделать несколько предварительных замечаний. Кусочно-линейное отображение с полными ветвями, первая из которых имеет положительный наклон, и любые две соседние ветви, при произвольно заданном их числе (начиная с двух), имеют разные наклоны, будем называть пилообразным отображением. Если же при тех же условиях первая ветвь отображения имеет отрицательный наклон, то такое отображение будем называть инвертированным пилообразным.
Учитывая результаты первой главы, разделим пилообразные отображения на два класса - с четным числом линейных ветвей (наиболее простым из них является отображение «палатка»), и с нечетным числом ветвей (здесь простейшее - «N-образное» отображение). Такое разделение с неизбежностью возникает в процессе решения спектральной задачи, особенности того и другого случаев обсуждаются ниже. Независимо от числа монотонных участков g итерируемой функции пилообразное отображение можно записать в виде:
Исследование особенностей решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства
Нетрудно видеть, что первый набор собственных чисел, соответствующий четным индексам, зависит только от общего количества линейных ветвей, в то время как для второго набора появляется зависимость от количества ветвей с разными наклонами. Обратим внимание на две особенности, которые возникают при определенном соотношении между числом «положительных» (мы обозначили его как Р) и «отрицательных» (обозначено как N) ветвей. В случае, когда ветвей с разными наклонами равное количество, т.е. P-N = 0, второй набор собственных чисел (3.1.106) обращается в нуль. Это соответствует образованию нуль-пространства оператора Фробениуса-Перрона. В случае P-N = \ имеет место вырождение по собственным числам, оба набора (3.1.10а) и (3.1.106) при этом совпадают, за исключением единичного собственного числа, соответствующего и = 0: любому, кроме единичного, значению собственного числа соответствуют две собственных функции, одна из которых имеет четный номер п, другая -нечётный номер п-\.
Для решения уравнения (3.1.6) воспользуемся вновь методом производящих функций. Напомним, что в рамках этого метода для четных и нечетных п получаются разные функциональные уравнения. Кроме того, в (3.1.6) необходимо разбить сумму на две части - в первой сумме будут слагаемые, соответствующие ветвям с положительным наклоном, а во второй - с отрицательным. Такое разбиение облегчает переход к производящим функциям. Особые случаи P-N = 0 и P-N = \ будут рассмотрены отдельно.
Подставив (3.1.19) в (3.1.23), после несложных преобразований получаем: H2(t) = H2(), (3.1.24) т.е. вторая вспомогательная функция четная, следовательно, при разложении ее в степенной ряд остаются только четные степени и, соответственно, четные числа h , а нечетные числа обращаются в нуль. Но, согласно (3.1.22), для нечетных по номерами полиномов (п - нечетно), нечетные числа (равные нулю) являются сомножителями при четных степенях аргумента у, т.о. в полином рп (у) при нечетном п входят только нечетные степени, а поскольку 0-и (У) - в-\,\ { У) » то и соответствующая собственная функция является нечетной: Ы = - ) » = и,5,..., (ЗЛ.25) независимо от чередования наклона ветвей монотонности (исключая особые случаи P = N и P-N = \). Этот результат понадобится нам в дальнейшем при выявлении связи между решениями спектральных задач для прямого и инвертированного отображений, а также при исследовании особенностей решений.
В свете изложенного, отображение (3.1.1), рис. 3.1, приведенное в начале главы в качестве примера, обладает, очевидно, особенностью P-N = l - число положительных наклонов ветвей у него на 1 больше числа отрицательных. Это приводит к вырождению по собственным числам и, как будет показано в следующем пункте текущей главы, к обращению в ноль всех четных по номерам собственных полиномиальных функций (это следствие отсутствия симметрии при наличии особенности в решении).
Любопытно, что отображение, инвертированное к (3.1.1) особенностями уже не обладает, и полиномиальные собственные функции для него получаются, используя выражения (3.1.16), (3.1.21), (3.1.22). На рис. 3.2. приведен график этого отображения, а на рис. 3.3, 3.4 (несколько собственных функций, построенных по рекуррентным формулам.
Случай образования нуль-пространства оператора Перрона-Фробениуса вследствие одинакового количества ветвей разного наклона (P-N = 0). Для определения функций из нуль-пространства оператора будем решать функциональное уравнение вида
Решение данного уравнения представляет предмет отдельного исследования. Необходимо отметить, что даже в случае двоичного сдвига Бернулли подобное уравнение имеет не полиномиальные решения. Однако здесь можно ограничиться поиском решения этого уравнения только в классе нечетных по номерам полиномиальных функций для случая P = N. Применим наработанную методику к данной задаче. Уравнение (3.2.1) с учётом явного вида итерируемой функции отображения (3.1.3) приобретает вид:
Легко обнаружить, что равенство выполняется, если итерируемая функция является симметричной относительно середины своего отрезка определения - оси ординат, и, соответственно, четной f(x) = f(-x). В этом случае первая и последняя, вторая и предпоследняя и т.д. ветви отличаются знаком наклона.
Таким образом, в случае, когда итерируемая функция симметрична относительно оси ординат, получаем нетривиальное решение уравнения (3.2.1), которое означает, что в нуль-пространство оператора входят любые полиномы нечетных степеней (вспомогательная функция #2(/) - любая четная функция). Если же итерируемая функция не является симметричной, то все полиномообразующие числа для второго набора собственных функций равны нулю (вспомогательная функция Я2 (/) = О).
Следует подчеркнуть, что здесь не исследуется вопрос о существовании нуль-пространства в случае P N, речь идет о нуль-пространстве, возникающем вследствие обращения в нуль собственных чисел с нечётными номерами.
Случай?-N= 1 (число ветвей с положительным наклоном на единичку больше числа ветвей с отрицательным наклоном). Уравнение для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса имеет вид (3.1.12). Если искать решение в виде полиномов, то собственные числа определяются соотношением (3.1.10), а соответствующие полиномы - уравнением
Трёхступенчатое инвариантное распределение
Очевидно, что условие равенства нулю всей суммы будет выполняться, если итерируемая функция обладает симметрией относительно оси ординат. При этом первая и последняя, вторая и предпоследняя и т.д. ветви должны иметь одинаковый наклон.
Таким образом, в случае, когда P-N = \ и исследуемое отображение не обладает симметрией, в классе полиномов находятся только собственные функции, соответствующие нечетным номерам собственных чисел. А собственные функции (и числа) с четными номерами обращаются в нуль. Если же итерируемая функция отображения симметрична относительно оси ординат, то собственные функции (и числа) с четными номерами вычисляются с использованием (3.1.16) при от = 2,3,4... Нулевое число определяется из условия нормировки (оно равно 1/2), а первое /z,w задается произвольно. Это соответствует вырождению по собственным числам -одному и тому же собственному числу соответствуют две собственные функции - полином четной степени фп (х) и нечетной, на единичку меньшей степени p„-i(x), следовательно, любая их линейная комбинация фп(х) = а-(рп(х)+Ь-(рпА(х) тоже является собственной функцией. Поскольку собственные функции определены с точностью до произвольного множителя, можно записать фп{х) = (рп(х)+с-(рпА(х), где с = —. «Произвол» в выборе константы с соответствует произвольному значению первого полиномообразующего числа \. Ничто не мешает задать с = 0 и работать только с одним набором полиномов.
В пункте 2.3, 2.4 второй главы были исследованы инвертированные пилообразные отображения. Операция инвертирования заключается в замене на противоположный наклона всех участков монотонности итерируемой функции (ИФ), т.о. ИФ fi{x) получившегося отображения связана с ИФ f{x) исходного отображения соотношением (2.3): fi(x) = \-f{x), если отображение задано на отрезке [0,1 ]. ,
При сравнении результатов исследования пилообразных отображений (см. Приложение «А», Таблица 1) было обнаружено, что в случае нечетного числа ветвей собственные функции исходного и инвертированного отображений совпадают, а в случае четного числа ветвей собственные функции связаны соотношением (2.4.12): i//nfi(x) = i//nf(l-x).
Как связаны собственные функции исходного и инвертированного отображений в случае произвольного чередования полных ветвей кусочно-линейного отображения? Подобное исследование гораздо удобнее производить на симметричном отрезке [-1;1], поскольку в этом случае операция инвертирования заключается просто в смене знака итерируемой функции: МУ)=-/(У)- (3.3.1) Запишем оператор Перрона-Фробениуса исходного отображения: PfP{y)=)s(y-f(t))p(t)dt, (3.3.2) -і и оператор Перрона-Фробениуса инвертированного отображения: PfiP(y)=)s(y-fi{t))p{t)dt. (3.3.3) -і Рассмотрим действие последнего оператора на функцию р(-у): Р.А-У)= )s(-y-fi{t))p(t)dt. (3.3.4) -і Подставим в это выражение связь между итерируемыми функциями (3.3.1): Pfip(-y)= ls(-y+f{t))p(t)dt, -і и используем четность дельта-функции Дирака: PfiP(-y)=\s{y-f(t))p(t)dt, -і
Сравнивая последнее выражение с (3.3.2), находим, что если итерируемые функции отображений связаны соотношением (3.3.1), то операторы Перрона-Фробениуса этих отображений связаны соотношением:
В первой главе данной работы мы получили, что для всех кусочно-линейных отображений с полными ветвями, независимо от конкретного вида итерируемой функции, нулевые (константы) и первые (линейные) собственные полиномиальные функции одинаковы и для единичного отрезка [0,1] имеют вид (1.2.11), (1.2.12). Для симметричного отрезка [-1,1], соответственно, выражения для этих функций запишутся в виде:
Поскольку на симметричном отрезке интеграл (3.4.2) обращается в ноль, то можно записать окончательное выражение для автокорреляционной функции рассматриваемых отображений: R(n)= jxA1"xdx = -Al", -і э Л(и)=л", (3.4.7) где выражение для собственного числа определяется видом конкретного отображения. Для кусочно-линейных отображений, имеющих одинаковый по модулю тангенс угла наклона ветвей, первое собственное число, в соответствии с (3.1.10), имеет вид P-N g Нетрудно получить аналогичные результаты и для единичного отрезка [0,1], в этом случае интеграл (3.4.2) равен -, а х выражается через линейную собственную функцию (1.2.12), х = у/х{х)+-. Тогда автокорреляционная функция запишется в виде: R(n) ", (3.4.9) где \ имеет тот же смысл, что и в (3.4.7) и для случая кусочно-линейных отображений, имеющих одинаковый по модулю тангенс угла наклона ветвей, записывается как (3.4.8). Итак, автокорреляционные функции кусочно-линейных отображений с полными ветвями определяются и-й степенью первого собственного числа (соответствующего конкретному виду итерируемой функции) и множителем, зависящим от отрезка определения отображения.:
