Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Геометрические модели нечетких образов 14
1.1 Анализ способов геометрических интерпретаций нечетких множеств 14
1.2 Формализации нечетких лингвистических описаний и нечетких лингвистических заданий геометрических образов . 17
1.3 Изображение нечетких линейных образов 19
1.3.1 Сравнительный анализ изображения основных объектов пространства классической и интервальной геометрии 19
1.3,2. Нечеткие точки и прямые 26
1.3.3 Нечеткие плоскости 43
1.3.4 Некоторые свойства линейных образов 47
1.3.5 Графоаналитическое решение системы нечетких уравнений 54
1.4 Интерпретация нечетких геометрических условий 56
1 А 1 Условия инцидентности 57
[ .4.2 Интерпретация расстояний между нечеткими объектами 63
1.4.3 Нечеткие афииныс условия 66
1.4.4 Нечеткие метрические условия 74
1.4.5 Условия нечеткого касания 76
1.5 Нечеткие преобразования плоскости 79
Выводы по главе 1 89
Глава 2 Задачи инженерной геометрии с нечеткими образами 92
2.1 Задача установления математической модели по экспериментальным данным 92
2.2 Интерполяция нечетких лингвистических данных 97
2.2.1. Постановка задачи нечеткой интерполяции 98
2.2.2 Геометрическая интерпретация нечетких лингвистических данных интерполяции 98
2.2.3 Классификация задач интерполяции по нечетким точкам 104
2.3 Задача нечеткой классификации 110
2.3.1 Постановка задачи нечеткой классификации 110
2.3.2 Геометрическая модель классификации, основанная па методах разнесенных плоскостей и полей проекций 114
2.4 Применение нечетких точек разных типов для решения задач 118
Выводы по главе 2 127
Глава 3 Применение нечетких геометрических образов в прикладных задачах 130
3.1 .Оценка качества знаний студентов с применением нечеткой классификации методом разнесенных плоскостей проекций 130
3.1.1 Анализ современных средств опенки знаний 131
3.1.2 Рейтинговая система с применением нечеткого геометрического моделирования FuzzyRating 139
3.2 Формирование геометрической модели поверхности ката ния вагонной колесной пары 145
3.2.1 Математическая модель поперечного сечения 148
3.2.2 Геометрическая модель поверхности катания колеса 150
3.2.3 Применение модели поверхности катания колеса для контроля нарушений таметрических параметров колесных пар 152
3.3 Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диагностики уровня пространственного фактора интеллекта 159
Выводы по главе 3 173
Заключение 175
Библиографический список 176
Приложение
- Формализации нечетких лингвистических описаний и нечетких лингвистических заданий геометрических образов
- Геометрическая интерпретация нечетких лингвистических данных интерполяции
- Геометрическая модель классификации, основанная па методах разнесенных плоскостей и полей проекций
- Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диагностики уровня пространственного фактора интеллекта
Введение к работе
Моделирование сложных систем часто связано с необходимостью учета нечетко заданных параметров или неточной технологической информации, возникающие вследствие разного рода причин: недостаточной изученности объектов, из-за участия в управлении системой человека, наличия качественных характеристик, лингвистической неопределенности и т,д. Поэтому точный количественный анализ, вносящий определенность туда, где ее в действительности не существует для реальных слабоформализованных систем, не имеет практического значения [6].
В настоящее время существуют различные методы обращения с неточно известными величинами. Постепенно становится ясным, какие подходы к разного рода неопределенностям, в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать [39]. Например, если для элементов множества заданы соответствующие вероятностные характеристики, то имеет место стохастическая неопределенность и следует применять теорию вероятностей. Если известны только граничные элементы множества, то существует интервальная неопределенность, используются интервальные методы [51].
При задании для элементов множества соответствующей степени принадлежности к этому множеству применяют теорию нечетких множеств [66.109].
Операции с нечеткими множествами являются одними из основных в новой общей теории анализа неопределенностей [39], которая объединяет весь комплекс новых теорий и методов обращения с неточно известными величинами. Об этом свидетельствуют работы многих ученых, которые находят взаимосвязи между тем или иным направлением [6,17,39,46,63,104,128,132,139],
Этот процесс начался с появлением теории нечетких множеств, которая была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. и изначально предназначалась для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек. [45]. С тех пор теория бурно развивается, формируются новые научные по-
нятия и ее прикладные направления:, находятся взаимосвязи между различного рода неопределенностями.
В 1970-е годы были развиты понятия лингвистической переменной, Е. Мамдани сформулировал основные идеи нечетких регуляторов [143]. В 1978 г. Л. Заде предложил вариант исчисления неопределенностей, опирающийся на неаддитивную меру возможности, т.е. на интерпретацию нечеткого множества как функции распределения возможностей, В 1979 г. он же ввел теорию приближенных рассуждений [44,45,149],
Наиболее значимыми из работ в области развития теории нечетких множеств отмечают публикации Л. Заде, Д, Дюбуа, и А. Прада по теории нечеткой меры и меры возможности, Е. Мамдани, М. Сугено по нечеікому выводу и нечеткому интегралу, Дж. Беждека по нечеткой кластеризации и распознаванию образов, Р. Ягера по нечеткой логике [11,14,42,44,143,149]. Исследованием экспертных систем посвящены работы ученых А. Н. Аверкина, А. Н. Борисова, Л. А. Заде, А. Кофмана, Дж. Клира, Е. А. Мамдани, Д. А. Поспелова и других. [3,20,60,101,143]. Появился новый класс адаптивных нечетких моделей. В них параметры нечеткой модели подбираются в процессе обучения на экспериментальных данных. Исследованиям в этой области посвящены работы Ч. Карра, Б. Коско, О. Кордона, Т. Фукуда, Ф. Херреры, Р. Янга и других [140,141,142].
Научная школа но нечетким множествам в нашей стране создавалась еще во времена СССР, а в перестроечный период практически все исследования по направлению нечетких множеств были свернуты из-за недостатка средств. Однако интерес к нечетким системам не угас и на постсоветском пространстве продолжает развиваться и укрепляться научная школа общей теории нечетких множеств и многочисленных приложений, Следует отметить большой вклад в развитие науки отечественных ученых: А. Н, Аверкина, А, Н. Борисова, И. 3, Батыршина, В. В. Круглова, А. В. Лсонснкова, А. О. Недосекина, А. И. Орлова, С, А. Орловского, В, В. Подиновского, Д, А. Поспелова, А. П. Рыжова, Н. Г. Ярушкиной и других [3,19,20,66,84,92,93,96,101,107,109,128],
В настоящее время отмечается тенденция развития гибридных интеллектуальных систем, в которых используются нечеткие множества и нечеткая логика. Гибридизация представляет собой интеграцию методов и технологий на глубинном, а не на внешнем уровне, когда различные блоки системы взаимодействую! между собой [62,63,87,104,128,150].
За период существования теории нечетких множеств этой теме были посвящены тысячи книг и статей, появилось новое направление в математической кибернетике - теория нечеткости, выходит международный журнал «Нечеткие множества и системы», по этой теории проводятся конференции за рубежом и в нашей стране, Существуют стандартные программные комплексы, использующие нечеткую логику в расчетах для различных прикладных задач, К таким системам относятся: MATLAB и fuzzyТЕСН [66].
Появился ряд новых научных дисциплин: теория возможностей и теории свидетельств Демстера-Шефера, частными случаями которой являются аксиоматики теории возможностей и классической теории вероятностей. Эти направления не отрицают, а обобщают традиционные представления. Так, например, в работе [39] показано, что теория вероятностей является частным случаем теории возможностей, В свою очередь математической основой последней является теория нечетких множеств, В работе [6] отмечено, что даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, удобнее оперировать с ней методами теории нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей.
Более того, согласно теореме FAT (Fuzzy Approximation Teorem), доказанной Б. Коско в 1993 г. любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике [141]. Понятие нечеткости позволяет «удвоить математику» [92]: заменяя обычные множества нечеткими, можно каждому математическому термину поставить в соответствие его нечеткий аналог. Рассматривают, например, нечеткие классификации, упорядочения, логики, теоремы, алгоритмы, правила принятия решений и т.д. и т.п.
Основоположник теории нечетких множеств Лотфи Заде в 2005 году в статье «Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU) An Outline» [150] дает основные понятия Обобщенной Теории Неопределенности (Generalized Theory of Uncertainty (GTU)), в которой он отмечает как взаимосвязи, так и различия разного рода неопределенностей, предлагает новый язык для их описания -Обобщенный Язык Ограничения (The Generalized Constraint Language (GCL)).
Обобщенный Язык Ограничения играет ключевую роль в GTU, служа формализованным языком для суждений, команд и вопросов, выраженных на естественном языке. Обобщенное ограничение - ограничение формы X isr R, где X - ограниченная переменная, R. - отношение ограничения и г - переменная индексации, которая идентифицирует метод ограничения. Основные ограничения: возможность (possibilistic) (r=blank); вероятность (probabilistic) (г = р): правдивость (veristic) (i^v); обычность (usuality) (r^u)> случайный набор (random set) (r=rs): нечеткий граф (fuzzy graph) (r=fg), бимодальный (bimodal) (r=bm); и группа (group) (r=g).
Процесс объединения в общую теорию анализа неопределенностей еше не завершен и требует своею развития. Из всего многообразия новых теорий и методов оперирования с неопределенностями наибольшее распространение и интерес в практических приложениях получили методы теории нечетких множеств и прикладного интервального анализа, которые находятся в тесной взаимосвязи и уже прочно занимают свои позиции в науке и в решении многих прикладных задач [109]. Идея представления нечетких множеств в виде совокупности а-уровней оказалась очень продуктивной в приложениям, поскольку она позволяет использовать при оперировании с нечеткими числами методы интервальной арифметики [6,39,122]. Можно заметить взаимосвязи в способах изображения объектов, которые характеризуют нечеткие и интервальные величины. Общими следует считать изображения объектов теории нечетких множеств, поскольку помимо интервальной характеристики у них существует и функция принадлежности, изменяющаяся на интервале 0 < ц < 1, тогда как у
9 интервальной величины при необходимости можно ввести значение функции принадлежности ц=1,
В настоящее время теория нечетких множеств широко используется при решении различных слабо формализованных задач, поскольку нечеткое множество является формализацией нечеткой информации, необходимой для построения математических моделей (Приложение 1). В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать к данному множеству с различной степенью.
Теория нечетких множеств - перспективное направление в науке. Однако недостаточно изучена ее графическая (синтетическая, конструктивная) реализация, адекватная четким конструктивным построениям и аналитическим выражениям, описывающая нечеткие объекты: фигуры, условия, преобразования; слабоформализованные отношения между объектами. В настоящее время не существует общепризнанной теории геометрической интерпретации нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, конструктивных методов решения прикладных алгоритмов и данная область остается не проработанной.
Имея в виду геометрическую или конструктивную сторону проблемы, утверждаем, что необходимо изучить конструктивные свойства тех геометрических образов, которые могут быть сопоставлены с нечеткими множествами. Нечеткая геометрическая модель, основанная на нечетких образах, може-і позволить получить приближенные к реальности изображения объектов, исследовать геометрические параметры объекта. А операиии с геометрическими объектами могут явиться более наглядными и представлять самостоятельный метод для решения прикладных задач.
Объект исследования - геометрические средства, методы и образы, которые могут использоваться в задачах геометрического моделирования систем и объектов с нечетко определенными параметрами.
Цель диссертационной работы - исследование геометрических образов, наиболее полно удовлетворяющих требованиям учета нечеткой информации, разработка алгоритмического и методического обеспечения, определяющего условия применения в задачах инженерной геометрии.
В соответствии с целью поставлены следующие научные и практические задачи:
выполнить анализ современного состояния вопроса, касающегося изображения нечетких множеств, применяемых при решении задач и обосновать необходимость развития теории изображения нечетких геометрических множеств;
разработать методы моделирования нечетких геометрических множеств на плоскости и показать существование их аналитических и синтетических моделей,
доказать применимость нечетких геометрических образов для решения задач геометрического моделирования систем с нечетко определенными параметрами;
разработать алгоритмы, программные средства и методическое обеспечение для решения ряда прикладных задач этого класса.
Методы исследования: При решении поставленных задач использовались методы начертательной, аналитической и вычислительной геометрии, теории интервального анализа и интервальных вычислений, теории нечетких множеств и нечеткой логики, классических способов геометрических построений и компьютерной визуализации,
Общей теоретической базой исследований послужили работы:
по вопросам теории нечетких множеств: А. Н. Акеркина, А. Е. Алгунина, Д. Дюбуа, Л, Заде, Б, Коско, А, Кофмана, А. В. Леоненкова, Е. А. Мамдани, А, И. Орлова, С. А. Орловского, А. П. Ротштейна, А. П. Рыжова, Н. Сугено, СД.Штовбыидругих[ЗА14,42,4М5,60,91,93,104Д09Д22Д28Д41Д43П49,150].
по вопросам геометрического моделирования: Г. С. Иванова, А, Г. Ивах-ненко, Н. Пратта, Ф. Препарата, 3. А. Скопеца, П. В. Филиппова, А. Фокса, Н. Ф. Четвертина, М. Шсймоса и других [18,28,48,49,65,76,83,103,117],
Научная новизна работы:
предложена конструктивно-геометрическая интерпретация интервальных и нечетких множеств геометрических объектов в евклидовом пространстве;
дана конструктивно-геометрическая интерпретация понятий «нечеткий объект», «нечеткое преобразование», «нечеткое условие»;
предложены алгоритмы решения метрических и позиционных задач евклидовой геометрии в условиях нечеткой информации и нечетких исходных данных;
разработаны методика и алгоритмы построения статических аналитических моделей многопараметрических систем при нечеткой исходной информации.
Практическая значимость работы заключается в разработке алгоритмического, методического и программного обеспечения, реализующего аналитические и конструктивные методы моделирования нечетких геометрических множеств, в частности:
разработан геометрический модуль онешш качества нечетко определенных объектов при помощи нечеткой рейтинговой системы, создано программное обеспечение геометрического модуля;
предложен метод развития и метод оценки визуального мышления, адаптированный к современным интеллектуальным автоматизированным системам обучения. Разработан алгоритм его реализации;
разработана методика анализа геометрических параметров поверхностей катания вагонных колесных нар, алгоритм построения их геометрических моделей и методика принятия решения об их качестве»
Основные положения, выносимые на защиту:
метод визуализации нечетких геометрических объектов, условий, преобразований евклидовой плоскости;
методика и алгоритмы построения моделей систем при нечеткой исходной информации;
нечеткий классификатор как метод оценки качества при помощи нечеткой рейтинговой системы;
методика геометрического моделирования поверхностей катания вагонных колесных пар;
методика развития и оценки визуального мышления в интеллектуальных автоматизированных системах обучения.
Внедрение результатов работы. Результаты работы используются:
в учебном процессе ОГИС для рейтинговой системы оценки качества успешности обучения по дисциплинам «Информационные технологии в социально-культурном сервисе и туризме. Оргтехника» и «Оборудование гостиничных комплексов и техника безопасности их эксплуатации» на кафедре «Социально-культурный сервис и туризм»;
в учебном процессе СибАДИ и в научной работе на кафедре «Начертательной геометрии, инженерной и машинной графики» для создания автоматизированной обучающей системы развития и оценки визуального мышления;
в ОмГУПС результаты диссертации приняты для использования в научных и учебных целях на кафедре «Вагоны и вагонное хозяйство» при диагностировании геометрических параметров колесных пар подвижного состава;
в ГУП ЦЕНТР «ТРАНСПОРТ» для научной работы по созданию автоматизированной системы контроля нарушения геометрических параметров колесных нар в процессе эксплуатации.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на международных конференциях: «Актуальные проблемы подготовки специалистов для сферы сервиса» (Омск, ОГИС, 2003), «Проблемы совершенствования качественной подготовки специалистов высшей квалификации» (Омск, ОГИС, 2004 г.), «Современные тенденции и перспективы развития образования в высшей школе» (Омск, ОГИС, 2005), III международного технологического конгресса «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения» (Омск, ОмГУ, 2005), Международной научно-практической конференции «Туризм: подготовка кадров, проблемы и пер-
ІЗ спективы развития» (Москва, 2006); Украйно-российской научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (Харьков, 2005), а также на ежегодных межвузовских научно-практических конференциях студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (2002-2006).
Публикации* Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах [34,35,36,68,69,70,71,72,73,125,126,1271.
Структура и объем работы. Диссертационная: работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 218 страницах машинописного текста и включает в себя 106 рисунков, 8 приложений. Библиографический список содержит 152 наименования.
Автор выражает искреннюю благодарность проректору по УР ОГИС, заведующему кафедрой социально-культурного сервиса и туризма, к.плт, профессору Гулиеву Новрузу Амирхаповичу за систематические консультации и оказанную помощь в подготовке диссертации.
Формализации нечетких лингвистических описаний и нечетких лингвистических заданий геометрических образов
Для описания задачи формализации применительно к нечетким геометрическим образам необходимо сначала определить понятие нечеткого лингвистического описания (НЛО) таких образов.
В общем случае нечеткое лингвистическое описание есть структурированное и снабженное смыслом упорядоченное множество нечетких лингвистических переменных, имеющее корректную геометрическую интерпретацию.
Значения нечетких лингвистических переменных могут представлять собой предложения, образованные конкретными геометрическими понятиями: точка, прямая, окружность, треугольник и т.д., отрицанием «не», союзами «и», «или», «но», словами типа «очень», «примерно», «около» и т,п. НЛО можно рассматривать как соответствие между множеством геометрических терминов и областью рассуждений. Это соответствие связывает с каждым термином и каждым элементом области рассуждений степень принадлежности, которая характеризует применимость термина к рассуждению.
НЛО, являясь не формализуемым в целом, может содержать некоторую «часть», допускающую формальное представление. Нечеткий геометрический образ представим в виде множества отдельных четких образов. Поэтому можно говорить о некотором множестве всех геометрических образов, таком, в котором каждый конкретный образ получается в результате выбора некоторого подмножества НЛО.
Примеры НЛО некоторых нечетких геометрических образов; - нечеткая окружность - более или менее непрерывное множество точек плоскости, расстояние от которых до некоторой окружности достаточно малы по сравнению с радиусом этой окружности; - нечеткое преобразование - преобразование с нечеткими образами или преобразование, примерно сохраняющее свои инварианты. Так, например, аф финным нечетким преобразованием называется преобразование, сохраняющее примерно параллельность и простое отношение; - нечеткое условие - нечеткая фиксация тем или иным способом опреде ленного числа параметров геометрического объекта. Нечеткое лингвистическое задание (НЛЗ) геометрического объекта есть снабженное смыслом множество нечетких геометрических условий, выделяющее из множества четких объектов нечеткое подмножество. Например, НЛЗ точки есть выражение «около точки», геометрическим образом которого является нечеткая точка. Последнюю можно интерпретировать как упорядоченное множество чисел (дД i-\,n, из которых хотя бы одно является нечетким, или как множество точек пространства, расстояние которых от заданной точки не превышает заданного расстояния, а принадлежность заданной точке определяется соответствующей функцией. Эти два НЛЗ определяют разные нечеткие точки. Еще более заметна разница между НЛЗ и заданием геометрических объектов Б классической геометрии для более сложных объектов. Так, например, в классической геометрии существует взаимно-однозначное соответствие {конструктивное задание} о {аналитическое задание} При этом все аналитические задания эквивалентны, т.е. могут описывать одну и ту же прямую, НЛЗ прямой, как будет показано ниже, во-первых, не эквивалентны, а во-вторых, не соответствуют множеству аналитических заданий. Например, существуют следующие НЛЗ прямой; - прямая проходи-]1 примерно через данную точку в примерно указанном направлении. Уравнение такой прямой у-у -k(x-xr)- частном случае это может быть нечеткая точка (0, «около уо») и иаправлеіше с нечетким угловым коэффициентом А, что соответствует уравнению у=кх-у . Но свойства этой прямой будут отличаться от свойств первой. - прямая проходит через нечеткие заданные точки А(ха уа), Щь.уь). В ча стном случае, когда А(ха,0), (0..) ей соответствует уравнение в нечетких от - нечеткая прямая может быть задана в виде ax + byVc -0, где 5, b, с - не четкие числа, но НЛЗ для такого случая отсутствует. Таким образом, задача формализации применительно к геометрии нечетких образов может быть поставлена в виде четырех определенных подзадач: - формализация лингвистических переменных, характеризующих нечеткие отношения, условия и образы; - описание геометрического образа в виде совокупности исходных данных (чисел, отношений, более простых образов и т.д.); - определение класса математических средств, пригодных для обработки описанного геометрического образа; - описание нечеткого результата как совокупности четких результатов с функцией принадлежности, С целью определения области применения нечеткой геометрии, рассмотрим ее особенности, отличающие ее от классической и интервальной. Выбор данных видов геометрий для сравнения обусловлен рядом причин.
В классической геометрии существуют наиболее известные и изученные способы построения объектов, и они рассматривается нами как базовые для дальнейшего исследования. На практике классическая геометрия применяется в том случае, когда точно известны все параметры изучаемых объектов, в резуль тате чего все геометрические объекты (фигуры, условия, преобразования) основаны па четких множествах и алгоритмах.
Анализ источников информации, посвященных теории нечетких множеств, позволяет выявить следующее: методы интервальной математики наиболее часто рассматриваются в качестве сравнения с хметодами, применяемыми в теории нечетких множеств [6,80,122], а также применяются при различных операциях с нечеткими множествами, разложенными по ct-уровням (Приложение А).
Из всего многообразия новых теорий и методов оперирования с неопределенностями наибольшее распространение и интерес в практических приложениях получили именно методы теории нечетких множеств и прикладного интервального анализа, которые находятся в тесной взаимосвязи и уже прочно занимают свои позиции в науке и в решении многих прикладных задач [6]. Идея представления нечетких множеств в виде совокупности а-уровней оказалась очень продуктивной в приложениях, поскольку она позволяет использовать при оперировании с нечеткими числами методы интервальной арифметики [46,51,104,122]. Можно заметить взаимосвязи в способах изображения объектов, которые характеризуют нечеткие и интервальные величины. Общими следует считать изображения объектов теории нечетких множеств, поскольку помимо интервальной характеристики у них существует и функция принадлежности, изменяющаяся на интервале.
Геометрическая интерпретация нечетких лингвистических данных интерполяции
Задачу построения нечеткой функциональной зависимости рассмотрим на конкретных примерах и покажем алгоритм действий для построения геометрической интерпретации модели нечеткой интерполяции. Для примеров возьмем интерполяцию по трем точкам, которая аналитически представляет собой функцию - многочлен второй степени. Рассмотрим следующие случаи: Первый случай заключается в том, что значения переменной х четкие, а коэффициенты и свободный член интерполяционного многочлена нечеткие, что приводит к нечеткости у. Рассмотрим конструктивное решение задачи интерполяции на примерах. Очевидно, что эти модели легко могут быть обобщены на случай любого числа заданных нечетких точек, путем применения: полиномов /7-ой степени или других функций достаточно высоких степеней. Второй случай заключается в том, что все параметры нечеткой точки представляют собой нечеткие числа. Естественно, нечеткой будет функция от этих переменных. В этом случае возникает проблема, выходящая из предположения смысла нечеткой точки. Возможны два варианта интерпретации нечеткой точки: 1) это геометрическое место возможного прохождения кривой, но тогда в итоге, после построения, оказывается, что нечеткость по у больше, чем задан ная (рисунок 2.7),
Поэтому в данном случае возникает проблема: область опре деления нечеткого у будет превышать заданную. Данный способ подходит для тех случаев, когда ограничения по у условны и не имеют большого значения; 2) нечеткая точка - результат, полученный от четкой зависимости у - /(?). причем заданы такие значения нечеткого параметра у, которые не следует превышать на области определения х. Данный способ интерпретации подходит для тех случаев, когда известны предельные значения процессов (рисунок 2 J), Как видно из рисунка 2.7, два варианта различаются и по геометрической интерпретации, и по алгоритму построения функциональной зависимости. Рассмотрим примеры по первому и второму вариантам и выведем алгоритмы действий для каждого случая. Первый вариант. Алгоритм построения функциональной зависимости может быть следующим: 1. Предварительный анализ расположения точек А, В, С. 2. Строится функциональная зависимость для ядер нечетких точек по трем точкам (хьуі), (х2,у2), бЗДз) в виде jYx}=ax2+bx+c. 3. Построение верхней и нижней границ нечеткой функциональной зависимости по такому принципу, когда все нечеткие точки являются внутренними в данной нечеткой кривой. Второй вариант. Алгоритм построения функциональной зависимости может быть следующим: 1.
Предварительный анализ расположения точек А, В, С. 2. Строится, функциональная зависимость для ядер нечетких точек по трем точкам (хьуі), (хъу2), (х3їуз) в виде (х;=ах2+Ъх+с. 3. Построение верхней и нижней границ нечеткой функциональной зави симости по таком} принципу, чтобы нечеткая кривая при определенном нечет ком х нс превышала заданной нечеткости по у. Предварительный анализ расположения точек показывает, что имеются варианты. Возможны следующие случаи: Ввиду большого числа вариантов, рассмотрим на типичных примерах. Пример 4. Пусть заданы три нечеткие точки: А {«около Х]», «около у і»); В («около х2»; «около у2 ); С («около х »; «около у3») как геометрические места возможного прохождения кривых. Понятие «около» выражается, как и прежде нечетким числом, представляющим собой нечеткую точку, в виде по этим точкам. Как сказано выше, рассматриваются два варианта развития событий, в зависимости от смысловой интерпретации нечеткой точки. Первый вариант позволяет построить кривую, изображенную на рисунке 2.7. Второй вариант имеет меньшую нечеткость, ограниченную по у (рисунок 2.7). В результате получаем два вида нечетких кривых, хотя условия для их построения одинаковы. Анализ двух случаев интерполяции по нечетким точкам показывает, что в случае четкого х и нечеткого у достаточно просто найти функциональную зависимость. Но в случае задания нечеткости как: но х так и по у, возможны различные требования к изображению кривой в зависимости от интерпретации смысла к&ч$тквх точек: как области, геометрического места возможного про хождения точных кривых через одноточечные множесгва, из когорых состоит данная нечеткая точка; либо как четкого ограничения области допустимых значений по х и у9 которые нельзя превышать. Таким образом, задача нечеткой интерполяции может адекватно решаться только тогда, когда даются условия: какого типа нечеткие точки используются и какое они имеют смысловое значение.
Геометрическая модель классификации, основанная па методах разнесенных плоскостей и полей проекций
Можно предложить более наглядную графическую модель многомерного пространства, основанную на методе разнесенных плоскостей проекций [18], где каждая плоскость является двумерным континуумом по двум параметрам, а функции принадлежности каждого параметра спроецированы на плоскость, параллельную плоскости параметров. Количество плоскостей проекций будет /?=н-/, гдегс- число параметров. Например, распознавание объекта по распознавательным признакам (в системах распознавания слабоструктурированных образов) осуществляется сравнением с образцовыми объектами сначала по грубому признаку, затем по точному [78]. Сравнение по грубому признаку состоит в возможности попадания объекта в допустимый интервал для класса (носитель нечегкого множества). На этом этапе грубого сравнения поле поиска сужается до нескольких классов и далее сравнение по точному признаку состоит в сопоставлении значений функций принадлежности. Интересно, что в случае треугольных профилей функций принадлежности к различным классам выбранных термов при сравнении объекта по грубому признаку всегда не больше двух (по одному параметру). Поэтому выбирается не больше двух термов по каждому распознавательному признаку. Это упрощает задачу выбора, поскольку можно создать алгоритм сравнения по другим параметрам, сузив поиск только по классам, включающим данные термы.
Графическая интерпретация решения данной задачи также проста: выбирается столько областей двумерного континуума, и только те, которые содержат данные классы (в общем случае, когда вес распознавательные признаки содержат информацию по всем классам, выбираются все области). Области двумерного континуума представляют собой плоскости, на которые проецируются значения параметров объектов. Но для нахождения их степени принадлежности к какому-либо классу следует спроецировать это значение на область функции принадлежности для каждого иарамеїра, которая на самом деле расположена перпендикулярно плоскости этих двух параметров, а ее изображение развернуто па плоскость, параллельную плоскости параметров. Задача. Нечеткий классификатор построен по следующим правилам: ііслїї X] - низкий, х2 - низкий, х3 - низкий, Х4 - низкий, х5 - низкий, то «класс 1»; Если X] - низкий, х2 - высокий, х3 - низкий, Х4 - низкий, х5 - низкий, то «класс 2», Если хі - низкий, х2 - низкий, хз - высокий, Х4 - низкий. х5 - низкий, то «класс 3», Если X] - высокий, х2 - низкий, х3 - низкий, Х4 - низкий, х5 - низкий, то «класс 4». Если Xi - высокий, х2 - высокий, хз - низкий, х4 - низкий, х5 - низкий, то «класс 5». Если X! - высокий, х2 высокий., Хз - высокий, Х4- низкий, Х5 - низкий, то «класс 6». Если Xi - высокий, х2 - низкий, Хз - низкий, х - низкий, х5 - высокий, то «класс 7». Если xi - высокий, х2 - высокий, хз - низкий, х+ - низкий, хз - высокий, то «класс 8». Если X] - высокий, х2 - высокий, хз - высокий, X4 - высокий, х5 - низкий, то «класс» 9. Если X! - высокий, х2 - высокий, х3 - высокий, х4 - высокий, х5 - высокий, то «класс 10», Параметры хь х2, Хз, х4, х5 - лингвистические переменные, каждая из которых для простоты имеет по два терма Хц=«пизкий» и хЕ=«высокий».
Области определения (универсум) данных переменных Х1=[0;1]; Х2=[0;1]; ХЗ=[0;1];Х4-[0;1];Х5=[0;1]. Термы «низкий» и «высокий» определены на следующих нечетких значениях параметров (носителями нечетких .множеств) и соответствующих функций rt -j г принадлежности: хЬ е[0;0,75]? причем// =——— и хв є[0, 25;1], при- Найти степени принадлежности объектов А и В пересекающимся классам, если известны их. положения в пространстве параметров - координаты точек, соответствующие данным объектам: А(0,6; 0,8; 0,4; 0,2; 0,9); В(0,1; 0,2; 0;9; 0,3; 0,3). Решение, Областями для построения методом разнесенных плоскостей проекций являются проекции па плоскости по двум параметрам и их комбинации. Это плоскости: Л, (xi;x2), ГТ2 (х2;х3), П3 (х3;х4), Пд (х4;х5) (рисунок 2Л8). Для однозначного определения места объекта достаточно двух плоскостей проекций и одного поля проекций с применением построения методом разнесенных полей проекций (рисунок 2.19), но данный вид менее нагляден, однако менее громоздкий и более прост в исполнении. Найдем положения точек А и В по их координатам. Спроецируем эти точки на каждую ось проекций для нахождения степени принадлежности каждому классу по каждому параметру. Решение о наиболее значимом соответствии какому-либо классу можно принять, используя самые распространенные в таких случаях способы: по максимальной степени принадлежности к одному из классов, по наиболее значимому параметру по результатам вычислений единой функции принадлежности, которая зависит от всех функций принадлежности по всем параметрам. Однако как видно из рисунка графически легко определить принадлежность точек классам. Точка А принадлежит с большей степенью принадлежности к классу 8, а точка В -к классу 3.
Нечеткая геометрия в автоматизированных системах развития и диагностики уровня пространственного фактора интеллекта
Пространственный фактор интеллекта - это индивидуальные способности, проявляющиеся в умении оперировать пространственными формами, их отношениями и свойствами, как в статике, так и в динамике [81],
Принципиальное значение в системе пространственного фактора интеллекта отводится умению формировать и преобразовывать мысленные образы, которое играет ключевую роль почти во всех сферах деятельности человека. Лучшего инструмента для развития визуального мышления, чем геометрия, особенно конструктивная геометрия, пока не найдено, поскольку она демонстрирует наглядность объектов и методов решения геометрических задач.
В развитии пространственного фактора интеллекта в условиях широкого внедрения компьютерных технологий, играет заметную роль визуальные средства компьютерной графики, которые в настоящее время интенсивно развиваются [88Д 00]. Некоторые авторы утверждают появление новой дисциплины -визуальной науки [130,144].
Возможности компьютерной техники и конструктивной геометрии следует использовать не только в целях развития пространственного фактора интеллекта, но и для диагностики уровня развития визуального мышления человека, а также для контроля знаний алгоритмов решения конструктивных задач, создавая автоматизированные интеллектуальные системы контроля и обучения.
Анализ современного состояния данной области, показывает, что в настоящее время существует проблема создания эффективного метода развития и контроля пространственного фактора интеллекта, метода, адаптируемого к современным компьютерным технологиям. [23]. Существующие результаты тестирования, например, тесты мысленного сечения и гесты мысленного вращения, указывают на низкий уровень развития визуального мышления, однако эти тесты, как и многие другие, реализуются на основе классической геометрии четких образов, что не позволяет адекватно оценить визуальное мышление человека, оперирующего нечеткими образами (приблизительными размерами, формами фигур и пр.) Для решения этой проблемы необходимо найти формальную модель визуального мышления и описать её доступными математическими средствами. Другими словами, мы ставим задачу найти соответствие между геометрическими образами как объектами некоторого реального пространства и мыслимыми геометрическими образами пространства образного мышления. Первые обладают своими характеристиками и могут быть описаны аналитически, изображены графически, преобразованы в другие и т. д. Формализация геометрических образов с помощью различных математических методов открывает широкие перспективы, например, к созданию алгоритмов конструктивной многомерной геометрии, адаптированных к компьютерным технологиям.
Однако одно лишь знание алгоритмов решения геометрической задачи не способствует развитию пространственного представления. Это понимал еще Я. Штейнер, читая свои лекции по геометрии в полной темноте и этим, вынуждая слушателей мысленно формировать геометрические образы и отношения между ними.
Можно освоить все тонкости сложнейших алгоритмов и с их помощью решить почти любую геометрическую задачу, но совершенно не представлять себе, например, взаимное расположение исходных объектов задачи в пространстве. Данное противоречие возникает из-за того, что мысленные образы сохраняются только в пространстве воображения (двух- , трех- мерном, в зависимости от задачи), а методы начертательной геометрии действуют только на плоских изображениях пространственных геометрических объектов, Если человек не обладает способностями представлять положения объектов в пространстве, то у него низкий уровень развития пространственного факгора интеллекта, однако может быть высоким уровень знания алгоритмов решения геометрических задач,
Поэтому для разработки интеллектуальных автоматизированных систем мы должны это учитывать и разделять цели их применения, которые могут быть направлены либо для измерения уровня развития пространственного фак тора интеллекта, либо на контроль знаний алгоритмов решения задач. Тем не менее, в некотором смысле, контролируя знания алгоритмов решения задач тестируемого, но без предоставления ему каких-либо точных измерительных инструментов, таких как линейка, транспортир и т.д., тоже можно делать вывод о его пространственном воображении, когда для решения задачи ему нужно мысленно представить длину, направление, размеры объектов и пр., участвующих в построениях, требуемых алгоритмами. Данные геометрические мысленные образы будут, конечно же, нечеткими. По степени близости этих нечетких геометрических образов к четкому изображению, полученному с помощью четких построений, можно судить о некоторых способностях к визуальному мышлению тестируемого. Например, характеризовать его уровень способности к визуальному мышлению как достаточный для выполнения простых задач.
Гораздо сложнее по плоскому изображению пространственных объектов представить себе картину в целом, и без каких-либо промежуточных построений указать на геометрическое место на чертеже, соответствующее решению задачи.
Для подтверждения того, что человек оперирует нечеткими образами, приведем простой пример из планиметрии, который легко решается конструктивно с помощью чертежа и линейки. Однако, если условия задачи заданы одним текстовым описанием и нельзя пользоваться никакими геометрическими моделями, то мысленное решение задачи становится довольно сложным и нечетким.
Задача. Пусть требуется ответить на следующие вопросы, не пользуясь никакими моделями: 1. Каковы координаты центра окружности, проходящей через точки (10, 30), (50, 10} и (60, 100)? 2. Чему равен радиус этой окружности? 3. Пересекает ли эта окружность ось абсцисс? Ось ординат? Можно придумать еще много подобных вопросов, но совершенно очевидно, что от человека даже с очень развитым визуальным мышлением нельзя получить определенных и четких ответов. Ответы на эти и другие вопросы будут принадлежать к классу нечетких, то есть: «Центр окружности находится примерно в точке (50, 55)», «Радиус окружности - около 45», «Окружность, возможно5 пересекает ось ордииат, а ось абсцисс, скорее всего, нет» и т. п. Человек с неразвитым визуальным мышлением ответить на эти вопросы вообще не сможет. Отсюда следует вывод: в пространстве образного мышления человек оперирует нечеткими образами.
