Содержание к диссертации
Введение
1 . Состояние исследований и применения геометрического подхода в кинематике пространственных рычажных механизмов и ее компьютерном моделировании 16
1.1. Классические исследования в области кинематики пространственных рычажных механизмов 16
1.2. Современные теоретические и компьютерные исследования в области одноконтурных структурных групп 27
1.3. Исследования в области кинематики многоповодковых структурных групп на примере платформы Стюарта 42
1.4. Исследования в области автоматизации построения очертания огибающих, образованных движением поверхностей 47
1.5. Исследования фундамента систем геометрического моделирования пространственных объектов и движений 51
1.6. Исследование рынка программ и систем для моделирования движения на основе рычажных механизмов 54
Выводы к главе 1 59
2. Теория явных решений основной задачи кинематики на классе одноконтурных групп пространственных рычажных механизмов 60
2.1. Геометрические основы подхода 60
2.2. Последовательности собственных и несобственных точек как составляющие модели структурной группы 64
2.3. Основные геометрические свойства введенных моделей и их связь со структурой кинематической цепи 66
2.4. Явные решения задачи о положениях на основе цепи направлений. Класс групп Добровольского 72
2.5. Явные решения на основе свойств контура точек. Класс групп Баранова 75
Выводы к главе 2 82
3. Уравнения замкнутости и численное решение задачи о положениях. классификация одноконтурных структурных групп 83
3.1. Понятие разрешимых кинематических цепей 83
3.2. Уравнения замкнутости группы на замкнутых векторных контурах собственных и несобственных точек 84
3.3. Численное решение уравнений замкнутости. 88
3.4. Полный атлас и "идеальная" классификация одноконтурных структурных групп пространственных рычажных механизмов 89
Выводы к главе 3 94
4. Метод группы нулевого порядка и его приложение к однородным семействам структурных групп ПРМ 95
4.1. Содержание метода для одноконтурных структурных групп пространственных рычажных механизмов 95
4.2. Группы 3 класса 1 порядка со сферической парой 100
4.3. Группы 3 класса 1 порядка без сферической пары 106
4.4. Группы 3 класса 2 порядка. Семейства вида (Сп,2В,2Г) 109
4.5. Группы 3 класса 3 порядка. Расчет положений группы 6Г на основе системы 3 нелинейных уравнений замкнутости 112
Выводы к главе 4 124
5. Обобщение метода группы нулевого порядка и решение задач кинематики для платформ стюарта 125
5.1. Содержание метода для платформ Стюарта. Платформа Стюарта нулевого порядка 125
5.2. Платформа Стюарта бСп-ЗС. Геометрия малых перемещений в кинематических цепях платформы нулевого порядка 130
5.3. Платформа Стюарта бСп-бС 135
5.4. Классификация платформ Стюарта ряда 6-N по признаку порядка 139
Выводы к главе 5 143
6. Эффективные методы моделирования очертания огибающей однопараметрического семейства конгруэнтных поверхностей вращения 144
6.1. Два закона прикрепления и способа параметризации характеристики огибающей семейства поверхностей вращения 145
6.2. Два закона прикрепления и способа параметризации контурной линии поверхности вращения при ортогональном проецировании 149
6.3. Общий случай движения. Очертание огибающей при произвольной и радиусографической образующей 152
6.4. Виды движений и классы поверхностей вращения, допускающие явное решение задачи об очертании огибающей 156
Выводы к главе 6 159
7. Вычислительно-геометрические основы системы для моделирования и проектирования кинематики пространственных механизмов 161
7.1. Понятие геометрической машины 162
7.2. Аксиоматический принцип построения геометрической машины 165
7.3. Реализация геометрической машины для геометрии группы движений в системе кинематика 170
7.4. Концепция построения системы кинематика для моделирования и проектирования кинематики пространственных механизмов 177
Выводы к главе 7 183
Заключение 185
Список литературы 188
Приложение 212
- Современные теоретические и компьютерные исследования в области одноконтурных структурных групп
- Основные геометрические свойства введенных моделей и их связь со структурой кинематической цепи
- Уравнения замкнутости группы на замкнутых векторных контурах собственных и несобственных точек
- Содержание метода для одноконтурных структурных групп пространственных рычажных механизмов
Современные теоретические и компьютерные исследования в области одноконтурных структурных групп
Наряду с работами Г.Г.Баранова и В.В.Добровольского заметное место в теории ПРМ занимает работа В.А.Зиновьева (1951) [52], в которой предложен метод замкнутого векторного контура. Здесь замкнутый векторный контур (рис. 1.5) является основной моделью кинематической цепи, критерием ее замкнутости и источником для построения основного уравнения метода: где ui,si - направление и величина переноса в паре ; (для В пар st = 0); rii+x векторы, соединяющие центры соседних пар; fln - известный замыкающий вектор. Основное уравнение дополняется соотношениями, выражающими геометрические инварианты движения звеньев следующего вида: Все уравнения записываются для внешних координат (x,y,z) векторов. Число неизвестных и уравнений зависит от структуры механизма: для группы 6В - 27 неизвестных и 27 нелинейных алгебраических уравнений (5 векторов riM и 4 вектора ц); для групп ЦЦЦ и ВСпС - 12 неизвестных и 12 уравнений, допускающих декомпозицию на 4 системы по 3 уравнения и аналитическое решение. Очень удобный формальный подход, дополняющий результаты В.А.Зиновьева, предложен Ю.Ф.Морошкиным [87] (1953). Морошкин считает необходимым, чтобы основные уравнения геометрии механизма выражали факт равенства суммарного операторного преобразования, Морошкин называет два основных уравнения: уравнение замкнутости цепи по преобразованиям поворота в парах (обобщающее россыпь уравнений геометрических инвариантов движения в одно уравнение) и уравнение замкнутости по переносам в парах и вдоль звеньев (основное уравнение замкнутости по Зиновьеву). Неизвестных здесь 6, - ими являются внутренние параметры положения структурной группы {ф,, }. Спустя год эти два уравнения обобщены Морошкиным в одно уравнение для однородных координат в матрицах (4x4) [88]. Подход Ю.Ф.Морошкина положен в основу многих более поздних отечественных и зарубежных исследований. Вопросы классификации Основы классификации рычажных механизмов заложены отечественным ученым Л.В.Ассуром (1878-1920), который в 1914 г. впервые сформулировал основной принцип образования механизмов путем последовательного наслоения входных звеньев и структурных групп. Хотя его исследование относилось к плоским стержневым механизмам с низшими парами [11], но оно во многом сохраняет свое значение и для пространственных механизмов.
Наибольшее влияние на современную классификацию механизмов оказал академик И.И.Артоболевский, известный как автор многих учебников [9] и справочников [10 и др.]. Согласно введенной им классификации классификационными признаками механизма являются класс и порядок. Классификация механизма в целом определяется наиболее сложной из его групп. Порядок группы определяется числом поводков, которыми группа присоединяется к механизму. Класс группы равен наибольшему числу звеньев, образующих контур внутри группы. Эти признаки очень слабо связаны с реальной сложностью кинематического анализа механизма и очень сильно изменяются в зависимости от выбора входного (начального) звена. Так, если в плоском механизме, показанном на рис.1.6., в качестве входного звена взять звено 2, то механизм распадается на 3 группы из следующих звеньев: {3,4,5,6}, {7,8} и {9,10}. Такой механизм относится к 3 классу. Если же в качестве входного звена взять звено 5, то механизм распадается на 4 группы: {4,6}, {2,3}, {7,8}, {9,10} и относится ко второму классу. Внес вклад в классификацию и Баранов (1952) [13]. Однако, его вклад более интересен той задачей, которую он поставил перед классификацией, но не смог решить при жизни. Важнейшие основания для классификации механизмов он увидел в способе решения задач их кинематического исследования. В более позднем "Курсе теории механизмов и машин" [14] он пишет: "Идеальная классификация должна охватывать все возможные труппы Ассура и учитывать не только внешний вид этих групп, но и способ их исследования. При этом каждому классу труппы Ассура должен соответствовать определенный способ исследования". Классификация долгое время считалась для теории механизмов решенным вопросом, и публикации на эту тему отсутствовали. Значительной современной работой по классификации является работа Э.Е.Пейсаха (1991) [103]. В работе содержится попытка систематизации структурных схем одноконтурных пространственных рьиажных механизмов и их классификация по числу поступательных подвижностей в группе, которая действительно очень сильно влияет на сложность решения задачи о положениях (1991) [103]. Отсчет современных исследований целесообразно начать со времени постепенного вхождения компьютера в практику исследования кинематики пространственных механизмов. Использование компьютера позволило исследователям не бояться как высоких степеней полиномов при замкнутой форме решения, так и сложных матричных преобразований. Сегодня практически все работы в области теории пространственных механизмов, так или иначе, предполагают использование компьютера. В этот период исследования можно условно разделить на два направления: 1) поиск адекватного и, в то же время, достаточно общего математического описания геометрических свойств и геометрической замкнутости механизма с целью построения универсальных численных методов анализа кинематики ПРМ для компьютеров. 2) поиск механизмов и структурных групп, для которых решение задачи о положениях можно найти аналитически и использовать далее как готовое;
Основные геометрические свойства введенных моделей и их связь со структурой кинематической цепи
Для вычисления ошибок І67 из 12 скалярных уравнений, соответствующих ненулевым элементам матриц (4x4) уравнения (1.14), выделяются не 6, а 9 линейных уравнений с шестью, а чаще и менее, неизвестными. Три уравнения, соответствующие элементам первого столбца, эквивалентны замкнутому векторному контуру. Другие три представляют элементы подматрицы вращения, контролирующие замкнутость преобразований вращения. И третья тройка соответствует диагональным элементам подматрицы вращения, контролирующим сходимость произведения (А]А2А3...Ап) к единичной матрице.
Авторы метода отказались от поиска точного решения системы 6 нелинейных уравнений, которая может быть и вырожденной. Вместо этого они ищут решение системы 9 уравнений, на каждом шаге приближения наилучшее в смысле среднеквадратического критерия, контролируя сходимость тремя дополнительными уравнениями. При этом на каждом шаге итерационного процесса выполняется обращение матрицы коэффициентов уравнения (9x9), требующее существенных затрат.
На вычислительные потери авторы здесь идут сознательно ради полноты метода, делающей доступным программе расчет любого (даже вырожденного) механизма. При построении программы, ориентированной на наиболее сложный семизвенный механизм IV или 7В, можно было бы построить итерационный процесс на решении системы только 6 линейных уравнений, как это было сделано с использованием винтовых координат Дижечко, Кислицыным (1965) в [38], Фрейденштейном и др. (1971) в [241,242] и с использованием вещественных матриц Албала, Пессеном (1983) в [5]. Вырожденные случаи такой программе могут оказаться недоступными.
В 1972г. на основе метода [229] была реализована программа IMP [222], снабженная языком описания структуры механизма [221]. На момент публикации она обеспечивала кинематический анализ сложных пространственных механизмов с количеством замкнутых контуров к 5, пар р 31, звеньев п 27.
Этот же подход повторен и программно реализован позднее в России Павловым Б.И. (1979, 1983) [98,99].
Метод численного решения, предложенный Юанем (M.S.С.Yuan), Фрейденштейном (F.Freudenstein), By (L.S.Woo) (1971) [241,242], использует формализм винтовых координат и решение системы 6 линейных дифференциальных уравнений для малых перемещений методом прогноза и коррекции. Работоспособность метода показана авторами на примере расчета механизма 7Г.
Были также попытки решить проблему за счет применения методов поисковой оптимизации (Шариков, 1965) [159], (Петухов, 1977) [105], (Джолдасбеков, Петухов, 1980) [36], но они существенно проигрывают IMP в универсальности и вычислительной эффективности подхода.
В последние годы увеличилась доля публикаций, которые в основном повторяют то, что было сделано ранее, поддерживая существование того или иного научного направления, и которые можно было бы назвать квалификационными работами. К таковым можно отнести работы: Youm Y.G., Huang Т.С. (1990) [240]; Premkumar P., Kramer S. (1990) [217]; Hiller M., Moller M. (1990) [197]; Dizioglu B. (1990) [186]; Dietmaier P. (1992) [185]; Han R.P.S., Tsuyuki R. (1993) [196]; Zekovic D.N. (1993) [243]; Ananthasuresh G.K, Kramer S.N. (1994) [166]; Yang Y.N., Chieng W.H., Lee A.C. (1995) [239]; Zhou Y.B., Buchal R.O., Fenton F.G., Tan F.R. (1995)[245j; Lee DY, Youm YG, Chung WY (1996) [210]; Zou H, AbdelMalek KA, Wang JY (1997) [246]; Attia H.A. (1999) [168]; Wong CM, Chan КС, Zhou YB (1999) [233], Dhingra A.K., Almadi A.N., Kohli D. (2000) [187], (2001) [188].
Более интересны работы Besseling J.F., Gong D.G. (1994) [169], где метод конечных элементов применен для моделирования гибких звеньев пространственного механизма робота, а также серия работ Cheng Н.Н., Thompson S. (1995) [175], (1997) [176], где внутри языка программирования высокого уровня построен класс дуальных чисел и совокупность операций с этими числами. Построенная библиотека операций использована для решения задач кинематического анализа пространственных механизмов. Показано, что применение дуальных преобразований (3x3) ускоряет решение задачи в 2.18 раза, по сравнению с обычными матрицами (4x4).
Наиболее интересна из работ последних лет работа Soylu R., Akbulut М.В. (1997) [225]. В работе предложен новый метод для анализа положения произвольного одноконтурного пространственного механизма. За счет известного подхода условного удаления звена метод генерирует четыре нелинейных уравнения с наименьшей возможной степенью. Эти уравнения преобразуются в алгебраические, которые решаются аналитически, основываясь на методе результантов. Решения свободны от посторонних корней, так как такие корни распознаются и удаляются методами предложенными автором. Обращено внимание на наличие звеньев с параллельными или перпендикулярными соседними осями и нулевыми длинами. Предложен алгоритм, повышающий эффективность анализа положений механизмов в этих случаях.
Несмотря на достигнутые успехи, осталось немало нерешенных проблем. Ф.М.Диментберг в одном из обзоров указывает, что "хотя, благодаря достаточно разработанным общим методам составления уравнений, задачи о положениях ПРМ решены принципиально, однако число фактически решенных до конца примеров пока не велико, и, вероятно, не все возможности эффективного решения еще использованы". Исследователям так и не удалось установить для пространственных механизмов и выразить количественно общие закономерности, определяющие возможность решения задачи о положениях в явном виде, построить "идеальную", в определении Г.Г.Баранова [14], классификацию ПРМ.
На наш взгляд причина кроется в незавершенности геометрического исследования ПРМ. Нами проведены исследования [146]-[149] посвященные поиску основных (фундаментальных) уравнений геометрии ПРМ и построению теории, которая для одноконтурных структурных групп пространственных рычажных механизмов с {В, П, Г, Ц, Сп, Пл, С} парами позволила бы связать возможность решения задачи о положениях группы в явном виде с её структурой и параметрами относительного положения пар. Одновременно решаются и вычислительные проблемы построения эффективных алгоритмов кинематического анализа и решения базовых геометрических задач. Вопросы эффективности остаются и сегодня актуальными, т.к. при оптимальном проектировании траекторий движения пространственных механизмов [131,132,136] для получения одного значения целевой функции необходимо вычислить порядка 10-20 положений каждой из нескольких структурных групп механизма.
Уравнения замкнутости группы на замкнутых векторных контурах собственных и несобственных точек
Отсчет целесообразно начать с появления в 1972 г. программы IMP (Integrated Mechanisms Program, University of Wisconsin) [222], поддерживаемой до настоящего времени [223]. Программа обеспечивала расчет положений достаточно сложных пространственных механизмов: с количеством замкнутых контуров - к 5, количеством пар - р 31 и количеством звеньев - п 27. Не допускалось задание в качестве исходных положений особых положений механизма. Описание структуры и координат механизма выполнялось в текстовой форме на специальном языке пользователя. Программа IMP разработана и используется для целей исследования кинематики и динамики [223] механизмов и отделена от процесса проектирования механизмов.
В 1975 г. [171] представитель французской фирмы, проектирующей летательные аппараты, сообщает, как о заметном достижении, об автономном расчете по уникальной программе положений проектируемого шасси и последующем вводе координат положений в систему геометрического моделирования EUCLID, позволяющую воспроизвести рассчитанные положения на чертеже. В 1980 г. та же фирма сообщает об успешном проектировании кинематики шасси с помощью программы, включенной в состав EUCLID [169]. О потенциальных возможностях программы кинематического анализа не сообщается. В 1980 г. нами выполнена [129] программная реализация для ЕС ЭВМ погруппной формы векторного метода в виде пакета программ, работающего под управлением интерпретатора команд входного языка. Эта версия первоначально предназначалась для механизмов, состоящих из тех структурных групп, для которых А.Г.Овакимовым были получены аналитические решения [93,94]. Она обеспечивала высокую скорость решения задачи, не боялась особых исходных положений механизмов, не налагала количественных ограничений на механизм, обеспечивала графическое воспроизведение положений схемы механизма на чертеже. В дальнейшем, после проделанного нами исследования номенклатуры кинематических схем шасси и значительного развития входного языка, уже система, названная КИНЕМАТИКА, не потеряв высокое быстродействие, была дополнена структурными группами (в том числе - требующими численного решения: ВСпГСп, ПВВС, ВВВС, ВВСВ, ВВСпВВ), средствами геометрического моделирования и синтеза механизма и среды его перемещения, средствами, обеспечивающими полное количественное исследование перемещения механизма в пространстве с графической регистрацией механизма и функций положения [116,130]. КИНЕМАТИКА получила распространение в ведущих КБ авиастроения, с ее помощью выполнены проекты шасси, механизации крыла, механизмов управления ряда самолетов. Система экспонировалась на двух выставках и адаптирована (силами НИЦ АСК) как ППП в БПИО АСК (см. приложение). В настоящее время имеется ее версия для PC [108]. Недостатком системы были ограниченность списка типовых групп и отсутствие программы универсальной по отношению к структуре группы. Универсальная программа, построенная В.К.Петуховым в период 1977 1980 гг. [105,36], решала задачу о положении пространственного механизма методами поисковой оптимизации. Программа не имела количественных ограничений на сложность механизма, однако по вычислительной эффективности многократно проигрывала IMP. В 1984 г. Б.И.Павловым создан аналог IMP [98,99,25]. Программа получила название АСПРОМ. В последние годы также появляются публикации и о создании новых программ, пытающихся возместить, по месту их создания и мере конкретной необходимости, отсутствие общедоступных и достаточно мощных средств кинематического анализа пространственных механизмов. Гак сообщается о: -программе для автоматической генерации передаточной функции для произвольного пространственного рычажного механизма Dietmaier Р (1992) [185]; -пакете программ кинематического и динамического анализа пространственных механизмов Sacks Е., Joskowicz L. (1993) [220] с широкими возможностями в определенном классе механизмов; -использовании среды математических систем Maple (Brutti С, Pennestri Е, Urbinati, 1998) [171] и Mathematica (Cheng НН, Gonzalez Р, 1998) [177] путем создания библиотек стандартных функций; -методиках использования средств обычных CAD-систем для решения отдельных задач анализа и синтеза кинематики (Liang Z.M., 1995) [211], (Chen F.Z., Tsai M.J., 2000) [174]. Для полноты картины следует упомянуть и сообщения о создании систем для кинематического анализа: Каган В.М. (1979) [56,57]; Wesley М. (1980) [234]; Никитин, Попов, Пустыльник (1980) [90]; Романцев А.А. (1983) [111]; Krouze J.K. (1983) [207]; Головин А.А. (1987) [29]; Пустыльник Г.М. (1987) [ПО]; Kim S.M. (1989) [205]; Hundt К. (1991) [200]; Матеева К. (1991) [84] и оптимизационного синтеза Dresig Н., Pausch Е. (1974)[189]; Пейсах Э.Е. (1988) [102] плоских рычажных механизмов. Одна из отечественных систем, в виде модуля WinSlider в составе системы АРМ WinMachine, взята на вооружение российской компанией «НТЦ АПМ» и успешно эксплуатируется в условиях рынка в настоящее время.
Содержание метода для одноконтурных структурных групп пространственных рычажных механизмов
Вместо непосредственно ко, будем использовать величину KD=kD-mm(pjsP5)=pT-3=:3-ph (0 KD 3), которую назовем классом группы. Она является оценкой числа нелинейных уравнений в системе, исходя из длины цепи направлений mCho группы за вычетом цепи Добровольского. По величине Ко весь класс двухповодковых групп делится на 4 больших части. Такое деление близко (но обратно по нумерации) к делению по количеству П пар, принятому Э.В.Пейсахом в работе [103]. Класс 0 в нашей классификации соответствует введенному нами выше Дстр.
Наивысший класс пары в группе является оценкой числа нелинейных уравнений положения в системе исходя из условий замкнутости цепей точек и направлений в данной кинематической паре. Поскольку берется пара наивысшего в группе класса, то эта оценка в известном смысле минимальна. Она лишь не учитывает положений изложенного выше метода.
Третья характеристика - т, порядок группы, определяет разрешимые группы, если она 0, или дает минимальное число нелинейных уравнений необходимое для численного решения задачи о положениях группы. Полный атлас групп и их классификация по названным выше признакам показаны в таблице 3.1.
Настоящий атлас насчитывает 969 групп и дополнен 12 группами 2 класса 1 порядка: (2Сп,П,В)6 и (2Сп,П,Г)6, пропущенными в предшествующих публикациях. Максимальный порядок группы, равный номеру класса, понижен по сравнению с числом степеней свободы пары, с минимальным числом степеней свободы, за счет цепей Добровольского. Показан полный состав (216 групп) класса 0 = ДС7р, являющегося источником этих цепей.
Величина порядка ряда групп внутри каждого класса оказывается пониженной, по сравнению с его номером, за счет цепей Баранова. Группы нулевого порядка, принадлежащие подмножеству Бстр (всего 16), представлены в классах 1-3. Из 969 структурных групп только 49 групп 3 порядка (требуют решения системы 3 нелинейных уравнений), причем из них только одна группа 6В не имеет Г пар. Всего в 3 классе из 115 групп оказался понижен порядок 66 групп (3 групп - до 0, 22 групп - до 1, 41 групп - до 2). Во 2 классе понижен порядок 47 групп (3 групп - до 0, 44 групп - до 1).
Среди всех групп с С парой: групп 3 порядка нет; групп 2 порядка 8 (2 семейства); 1 порядка - 49; 0 порядка - 13. Классификация хорошо разделяет группы по способу построения уравнений для численного решения: в случаях, когда класс и порядок группы совпадают, следует использовать цепи Добровольского, в остальных - цепи Баранова.
Таким образом, построен полный атлас одноконтурных структурных групп и на основе созданных формальных зависимостей построена идеальная, по выражению Г.Г.Баранова, классификация, охватывающая весь названный класс и связывающая структуру группы с явным или эффективным численным способом решения задачи о положениях и необходимым для этого числом нелинейных уравнений.
.Предложены уравнения геометрической замкнутости группы, отличающиеся от традиционных тем, что условия замкнутости для векторного контура точек определены на замкнутом контуре направлений, а для векторного контура направлений - на замкнутом контуре точек. Для решения уравнений построен численный метод с квадратичной сходимостью.
Необходимое число нелинейных уравнений снижено с 6-4, в универсальных методах, до 3-1: до 3 - для 49 групп, до 2 - для 283 групп, до 1 -для 405.
Определен объем (969) класса одноконтурных структурных групп рычажных механизмов, состоящих из пар всех семи возможных типов {В,П, Г,Сп,Ц,С,Пл}, построен полный атлас класса и классификация по необходимому числу нелинейных уравнений для решения задачи о положениях.
Выше доказано, что число (т) независимых параметров положения и нелинейных уравнений положения группы равно числу степеней свободы, необходимых для дополнения разрешимой кинематической цепи до разрешимой группы: При решении задачи о положениях с помощью разрешимых цепей мы получаем возможность включения явных решений разрешимых групп Добровольского и Баранова в правую часть нелинейных уравнений положения. Истинному положению исходной группы при этом соответствуют нулевые значения перемещений по степеням свободы, дополняющим разрешимую цепь до разрешимой группы. Использование цепи Добровольского (т 3) гарантирует замкнутость контура направлений и полностью снимает необходимость использования уравнения замкнутости для направлений. Фактически можно говорить об уравнениях замкнутости группы на замкнутом контуре направлений (несобственных точек). При использовании цепей Баранова (т 2) возможно дополнение разрешимой цепи до разрешимой группы тремя способами:
