Содержание к диссертации
Введение
Глава I Геометрическое моделирование и реконструкция поверхностей - 9
1.1. Методы снятия оцифрованных данных с поверхности объекта 12
1.2. Обработка данных 15
1.3. Подгонка поверхности по облаку точек 18
1.3.1. Соотношение между компактностью, точностью и гладкостью 19
1.3.2. Способы представления поверхности 20
1.4. Краткий обзор существующих систем реконструкции поверхно- 23
стей объекта
Выводы 27
Глава II Nurbs-представление поверхности 29
2.1. Краткий исторический обзор 30
2.2. Математическое определение NURBS-поверхности 36
2.3. Аналитические и геометрические свойства 37
2.4. Однородные координаты 39
Выводы 40
Глава III Формирование nurbs-представления по верхностей на основе оцифрованных данных - 42
3.1. Методы параметризации поверхностей 42
3.1.1. Методы параметризации регулярной сети данных 42
3.1.2. Параметризация облака точек с помощью базовой поверхности 51
3.2. Квадратичная подгонка поверхности 54
3.3. Двух шаговый алгоритм интерполяции и оптимальной подгонки NURBS-поверхностью 58
3.3.1. Постановка задачи 59
3.3.2. Шаг 1: Идентификация NURBS весов управляющей сети поверхности - 61
3.3.3. Шаг 2: Построение вершин управляющей сети реконструируемой поверхности 66
3.4. Реконструкция поверхности по последовательности поперечных сечений
3.4.1. Достижение совместимости сечений по степени 70
3.4.2. Достижение совместимости сечений по узловому вектору 81
Выводы 83
Глава IV Практическое использование разработанных подходов реконструкции по верхностей - 85
4.1. Реконструкция геодезической поверхности 86
4.2. Моделирование поверхности корабельного корпуса 90 Выводы 96 Заключение 98 Список используемой литературы
- Подгонка поверхности по облаку точек
- Математическое определение NURBS-поверхности
- Параметризация облака точек с помощью базовой поверхности
- Достижение совместимости сечений по узловому вектору
Введение к работе
Современные достижения в области измерительной технологии, например, такие как лазерное сканирование, предоставляют возможность цифрового описания исследуемых объектов с достаточно высокой степенью точности. Это обстоятельство обусловило значительное повышение спроса на создание математических моделей, сгенерированных по данным, полученным в результате измерений, в таких областях как медицина, геология, археология, компьютерная графика и автоматизированное проектирование. При оцифровке поверхности бесконтактные сенсоры с высоким разрешением позволяют получить свыше 100000-500000 исходных точек. Представление той же поверхности параметрической математической моделью гораздо более экономичное, так как требует всего 50-500 параметров. Кроме того, параметрическое представление дает возможность простого редактирования формы поверхности путем изменения небольшого количества параметров, таких как управляющие точки, узловые вектора или весовые коэффициенты. Построение математического описания формы физических поверхностей является сравнительно новой областью исследования под названием реконструкция поверхности. Процесс преобразования дискретных оцифрованных точек в гладкую поверхностную модель представляет собой главную составляющую часть инженерного анализа - RE (Reverse Engineering). В области моделирования поверхностей за последние 30 лет создано множество методов, начиная от классических методов аналитической и дифференциальной геометрии, кончая современными методами сплайновой геометрии [72],[73],[126],[127]. Однако в инженерном анализе задача прямой генерации геометрической модели из
дискретных оцифрованных точек по-прежнему не решена полностью, поскольку в процессе реконструкции поверхностной модели невозможно минимизировать численную ошибку, одновременно повысив гладкость поверхности [80],[89],[92].
Существует два основных подхода к реконструкции поверхности по облаку точек, представляющему модель объекта, - интерполяция и аппроксимация [99],[10Щ106]. Интерполяционный тип подгонки поверхности использует каждую точку исходных данных в реконструируемой поверхности, тогда как при аппроксимации поверхности отыскивается наилучшая подгонка гладкой поверхностью к оцифрованным данным с минимальным отклонением. Для минимизации численной ошибки с одновременным повышением гладкости поверхности в процессе моделирования широко используется среднеквадратичная аппроксимация.
Таким образом, основная задача реконструкции поверхности формулируется следующим образом - необходимо найти оптимальную подгонку неизвестной поверхности так, чтобы минимизировать погрешность измерения, возникающую из-за ограничения по точности в измерительных приборах, или из-за недостаточного качества поверхности физической модели.
Поставленная задача требует своего кардинального разрешения в таких прикладных областях как подгонка поверхностей корпусов судов и кузовов автомобилей к набору дискретных точек; реконструкция геологической, геодезической и т.д. поверхности, полученной в результате лазерного сканирования; реконструкция поверхности сложной формы по сечениям, полученным в результате компьютерной томографии, магнитно-резонансного или ультразвукового сканирования. Решение перечисленных
задач является в настоящее время актуальным, так как большинство существующих систем реконструкции поверхностей не являются совершенными и не всегда доступными.
Объектом исследования является оптимальная реконструкция поверхности по облаку дискретных оцифрованных точек с использованием NURBS-аппроксимации и интерполяции. В геометрическом моделировании реконструкция поверхностей является эффективным инструментом для преобразования физических объектов в математическое представление для последующих исследований и компьютерной доработки. Использование для этих целей NURBS обусловлено тем, что они приводят к классу наиболее гибких дискретных методов интерполяции и аппроксимации.
Цель исследования состоит в создании эффективного математического аппарата, предназначенного для решения проблем геометрического моделирования, возникающих при реконструкции поверхностей по облаку дискретных точек, в частности:
на основе обобщения теоретических основ реконструкции поверхностей по облаку дискретных точек разработать двух шаговый алгоритм аппроксимации и интерполяции поверхности для случая положительных NURBS весовых коэффициентов, в частности, разработать полный набор алгоритмов для реконструкции поверхности сложной формы по набору пространственных сечений произвольной формы;
разработать компьютерные процедуры, реализующие указанные методы реконструкции поверхности, для различных задач геометрического
моделирования;
доказать эффективность разработанного компьютерного
инструментария для решения практических задач геометрического моделирования.
В соответствии с целью исследования решались следующие задачи:
Обосновать возможность достижения положительной интерполяции и наилучшей положительной подгонки при построении поверхности по облаку дискретных точек.
Сформулировать двух шаговый алгоритм для поиска положительных NURBS весовых коэффициентов для подгонки поверхности по облаку дискретных точек.
Показать преимущества сформулированного двух шагового алгоритма при решении выделенного класса задач по сравнении с В-сплайновой подгонкой.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
Разработан математический аппарат для оптимальной реконструкции поверхности по облаку дискретных точек с использованием NURBS, обеспечивающий эффективное решение разнообразных задач, возникающих при моделировании поверхностей.
Доказана применимость данного метода реконструкции поверхности и его эффективность, по сравнению с другими способами геометрического моделирования, при построение гладких поверхностей судового корпуса по дискретному набору точек; при реконструкции формы поверхности геодезических объектов по результатам лазерного сканирования.
*
Праістическая ценность исследования заключается в разработке специализированных алгоритмов и компьютерных процедур, реализующих возможности алгоритма реконструкции поверхности, для конструирования и сглаживания поверхностей судового корпуса, построенных по дискретному набору точек; восстановления формы поверхности геодезических объектов по результатам лазерного сканирования. На базе созданных алгоритмов и компьютерных процедур разработаны специализированные системы КЗ-Ship (автоматизированное проектирование, геометрическое моделирование и модификация поверхностей и конструкций судового корпуса), КЗ, КЗ-Design (реконструкция и моделирование поверхностей произвольной формы с использованием NURBS). Системы являются законченными коммерческими программными продуктами, используемыми отечественными и зарубежными судостроительными (Польши, Норвегии и Нидерландов) и промышленными предприятиями.
Апробация работы.
Материалы диссертационной работы представлялись на Международной конференция по компьютерной графике и визуализации ТРАФИКОН-1994" (Нижний Новгород, 1994), ИГРАФИКОН-200Г (Нижний Новгород, 2001), Всероссийской конференции КОГРАФ-95 (Нижний Новгород, 1995), КОГРАФ-96 (Нижний Новгород, 1996). Разработанное программное обеспечение демонстрировалось на Международных выставках "SoftTool-2000", "SoftTool-200r\ "SoftTool-2002" и "НЕВА-200Г.
На защиту выносятся следующие положения:
Двух шаговый алгоритм оптимальной реконструкции поверхности по облаку дискретных точек, предоставляющий принципиально новые способы моделирования и реконструкции поверхностей.
Применение указанного алгоритма для решения ряда задач геометрического моделирования, позволяющее достигать цели более эффективными способами. К решаемым задачам относятся: подгонка сложных поверхностей судового корпуса к дискретному набору точек; формирование геодезических поверхностей по результатам лазерного сканирования.
Созданный компьютерный инструментарий применительно к решению практических задач, возникающих при геометрическом моделировании.
Подгонка поверхности по облаку точек
Цель этапа подгонки поверхности - конструирование гладкой, точной и компактной модели физической поверхности. Существующие методы подгонки поверхности к множеству дискретных данных делятся на интерполяционные методы и аппроксимационные методы.
Интерполяционные методы конструируют поверхность, которая точно проходит через все точки данных, тогда как аппроксимационные методы требуют от поверхности лишь близости к исходным данным. Поскольку исходные данные при реконструкции поверхностей обычно содержат некоторый шум, вызванный ошибками оцифровки и дефектами поверхности исходного объекта, то аппроксимационные методы позволяют получить более приемлемый с точки зрения гладкости результат. Соотношение между компактностью, точностью и гладкостью. Соотношение между компактностью, точностью, и гладкостью зависят от конкретного приложения и того, как и где будет в дальнейшем использована эта поверхность.
Компактность может быть определена объемом информации, необходимым для хранения представления подогнанной поверхности. Компактность представления модели позволяет не только сэкономить компьютерную память, но, что более важно, повысить скорость выполнения таких сложных и часто используемых операций с поверхностью как рендеринг, вычисление касательных, пересечений поверхностей и т.д.
Точность подгоняемой поверхности определяется близостью между физической поверхностью и подогнанной поверхностью. Поскольку физическая поверхность известна только посредством множества измеренных точек, то существует некоторое ограничение на точность подгонки поверхности, при достижении определенной степень гладкости этой подгонки [92]. Это, в первую очередь, вызвано тем, что поверхность аппроксимирует не только саму физическую поверхность, но и шум, полученный при оцифровке.
Необходимость компромисса между точностью подгонки и гладкостью подгоняемой поверхности во многих приложениях RE привело к отказу от интерполяции как метода реконструкции поверхности, ведущего к нестабильности [91], и использованию среднеквадратичной подгонки как наиболее эффективного пути для достижения удовлетворительных результатов [65Ц9Щ138].
Выбор способа представления поверхности существенно зависит от того, где данная поверхность будет использоваться в дальнейшем. Например, если поверхность реконструируется для CAD/CAM-приложений, математическое представление этой поверхности должно быть связным, непрерывным и, кроме того, совместимым с форматом представления поверхностей в наиболее известных CAD-пакетах. В современных RE-системах для математического описания реконструируемых поверхностей наиболее часто используются:
Сеть; Дискретное регулярное множество точек в плоскости (х,у), каждой из которых приписано некоторое значение z. Сеть может быть относительно легко построена, однако для вычисления промежуточных точек, не совпадающих с узлами сети, должен применяться интерполяционный процесс [157]. Поэтому в RE сеть обычно используется как промежуточное представление реконструируемой поверхности, являющееся основой для последующего более сложного представления.
Триангулированная (полигональная) сеть: Это некоторая упорядоченная структура, описывающая набор треугольных граней, вершинами которых являются 3)-точки, лежащие на реконструируемой поверхности [62],[92],[105],[122]. Данное представление поверхности является непрерывным, но негладким. Триангулированная сеть - наиболее распространенное представление поверхности со сложной, заранее неизвестной топологией. Такое представление дает хорошую аппроксимацию физической поверхности большой кривизны при достаточно густой сети. Этот способ представления поверхности чаще всего используется для визуализации реконструируемой поверхности.
Разделяющаяся поверхность: Это сеть с приписанными к ней правилами, в соответствии с которыми происходит рекурсивное деление сети бесконечное число раз [49],[66],[93]. Степень гладкости поверхности, описанной таким способом, зависит только от заранее заданных правил. Этот способ подходит для представления гладкой или кусочногладкой поверхности со сложной геометрией и топологией. Однако большим недостатком такого представления является то, что точки, лежащие на поверхности, не задаются явным образом.
Явное представление поверхности: Поверхность, заданная таким способом, в общем случае может быть записана как z=f(x,y). Подгонка поверхностей такого вида очень проста [38]. Однако, лишь небольшое число физических поверхностей может быть смоделировано с помощью данного представления.
Математическое определение NURBS-поверхности
Математическое определение NURBS-поверхностей относительно простое. NURBS-поверхность это рациональное обобщение нерациональной В-сплайновой поверхности тензорного произведения [28],[128],[148],[149]. Уравнение, определяющее такую поверхность, может быть записано в следующей форме: л т 1-0 у-о где wtJ - вес в соответствующем узле; Р/у -вершиныуправляющее сети; N ,p(u\Nfa(v) - нормализованные 2?-сплайны степени р и q в и направлении и v-направлении соответственно. Базисные функции Nlp(u\N/w(v) находятся по рекуррентной формуле [55],[60]: Ui p Щ иі р І мі \ f1 если и, ийиы Ni0(u) = \ 10 в противном и определены на узловых векторах вида:
Следует отметить, что поверхность, определяемая уравнением (2.2.1), была получена обобщением поверхности тензорного произведения, однако, в общем случае, NURBS-поверхность не является поверхностью тензорного произведения. 2.3 Аналитические и геометрические свойства. Уравнение (2.2.1) может быть записано в следующей эквивалентной форме: S(«,v) = Xi v w,(«,v) 1-0 /-0 где (p;/ (w,v) - рациональная базисная функция от двух переменных, определенная как: R (MV)= ejjmjM
Аналитические свойства этой функции определяют геометрическое поведение поверхности. Важнейшими свойствами данной функции являются [28],[128]: Рациональная базисная функция является обобщением базисных полиномов Бернштейна и нормализованных В-сплайнов, поскольку, если wv=l,V/,y,TO Blf(u)BM(v) если U = {0 ,1 }, V-ig l J} KtMtJ&i» І.Р.ІЯ p- \ p \ q \ 9 1 N, p(u)N, (у) в противном случае где Bip(u\Bj (v) - базисные полиномы Бернштейна степени рад, определяющие кусок Безье; Nlp(u)9Nj (v) - нормализованные В-сплайны степени р и q, определяющие В-сплайновую поверхность. Сумма базисных функций рациональной поверхности равна: ZZ v)=l,V«,V[0,l] /-0 0
Каждая базисная функция рациональной поверхности Д/л/л(м,у) = 0 если « [И/ »і+р і) или v фрч х). Если р 0 и q 0, то каждая базисная функция рациональной поверхности имеет ровно один максимум. Внутри узлового интервала каждая базисная функция рациональной поверхности является бесконечно непрерывно дифференцируемой, в узле базисная функция имеет непрерывную производную р-к порядка, где к -кратность узла в узловом векторе. Из этих аналитических свойств базисных функций вытекают геометрические свойства NURBS-поверхности: NURBS-поверхность является обобщением нерациональных и рациональных кусков Безье и нерациональных В-сплайновых поверхностей. Свойство локальной модификации: если передвигается одна из вершин Р,j управляющей сети поверхности или изменяется весовой коэффициент wtj в этой вершине, то воздействие коснется только прямоугольника из (p+l)x(q+l) вершин управляющей сети. Свойство строгой выпуклости: если иє[і/ ,и4+) и УЄ[УЛ,УЛ+І), то поверхность S(M,V) лежит внутри выпуклой оболочки управляющей сети, образованной вершинами Р0,/ = i0- AW = j0 -q,j0. NURBS-поверхность инвариантна относительно аффинных и перспективных преобразований. 2.4 Однородные координаты. Более логично представить NURBS-поверхность, используя модель, которая отображает проективное я-мерное пространство в Евклидово (п+1) мерное пространство [28],[31],[61],[132], Таким образом, каждая точка в координатной системе X,Y,Z,W может быть записана как: J( w,уw,zwtw) если w О \(x,y,zfl) если w = 0 и отображена в ID-мерное Евклидово пространство при помощи перспективного проецирования: ( У А I—,—,— I если w p(x,y,ztw) = (2.4.1) [(x9y9z) Тогда в 41 -мерном пространстве NURBS-поверхность запишется как: Sw(«,v) = XIP/: P(") (v) (2.4.2) где P,j ={wljXij,wijyiJ,wIJzlj wIJ}- вершины управляющей сети поверхности в -мерном пространстве. Отображение данной поверхности в iD-мерное пространство S(K,V) = {SW(M,V)} дает описание поверхности в форме (2.2.1). Следует отметить, что S (w,v) - поверхность тензорного произведения в 4D-мерном пространстве, тогда как S(u,v) - только кусочно-гладкая рациональная поверхность в ЗО-мерном пространстве, поскольку RlpJ/J(utv) не является инвариантным произведением базисных функций. Использование однородных координат позволяет создавать эффективные вычислительные алгоритмы построения и работы с NURBS-поверхностями. ВЫВОДЫ.
1. Создание NURBS-представления кривой или поверхности достаточно быстро и вычислительно недорого.
2. NURBS использует общее математическое представление как для стандартных аналитических кривых и поверхностей (конус, куб, поверхности вращения и т.д.), так и для кривых и поверхностей свободной формы. Это унифицирует процесс нахождения точек и линий пересечения для кривых и поверхностей,
3. NURBS обладают свойством локальной модификации и инвариантны относительно аффинных преобразований.
4. В настоящее время NURBS являются частью таких национальных и международных стандартов как IGES(USA), SET(France), VDAFS(Germany), STEP(ISO) и другие.
5. NURBS-моделирование активно используется как в программах для промышленного проектирования (CATIA, Pro/Engineer, Solid Works, Гемма, Компас-ЗБ), так и в пакетах художественного моделирования (3DSMAX, Maya, Softimage3D, SolidThinking).
Параметризация облака точек с помощью базовой поверхности
Следует отметить, что в приложениях, связанных с реконструкцией поверхностей, исходные точки чаще всего произвольно расположены в пространстве. По этой причине приведенные выше методы параметризации не применимы. Для построения гладкой параметрической поверхности по дискретному набору произвольно расположенных точек В.Ма и Крусом была предложена концепция базовой поверхности [107],[108],[109].
Базовая поверхность является грубой аппроксимацией неизвестной подгоняемой поверхности, ее первым приближением. Стратегия использования базовой поверхности заключается в проецировании на нее произвольно расположенных оцифрованных точек таким образом, чтобы проекциям можно было назначить параметрические значения для последующей среднеквадратичной подгонки.
Важнейшим этапом данного метода параметризации дискретных точек является создание начальной базовой поверхности. В большинстве случаев форма базовой поверхности может быть определена по нескольким характеристическим кривым, аппроксимирующим исходные дискретные точки. Например, в качестве базовой поверхности может выступать кусок Кунса, построенный по характеристическим кривым, выбранным как границы куска [73]. Следует отметить, что для сложных поверхностей поиск базовой поверхности представляет собой итерационный процесс, где подогнанная поверхность используется в качестве базовой поверхности на следующей итерации.
Идея базовой поверхности получила дальнейшее развитие в работах Гао [88]. Он предложил использовать триангулированные (полигональные) сети в качестве базовой поверхности при вычислении локальных параметров точек неструктурированного облака, описывающих поверхность со сложной геометрией и заранее неизвестной топологией. Поскольку триангулированная сеть не является параметрической поверхностью, возникает необходимость отображения сети на параметрическую поверхность. Данная проблема была разрешена Гриммом и Хьюгесом, которые предложили методику "копирования" трехмерной полигональной сети в двумерную параметрическую поверхность с сохранением топологии [86]. Проекция оцифрованных точек на базовую поверхность выполняется минимизацией функции расстояния: d?(ul,vl) = mmdf(uyv) м где (MMV,)- значение параметра спроецированной точки, соответствующей исходной точке Р, = [х л» П ; d, - расстояние от точки поверхности P(w,v) = [x(w,v),y(w,v),r(w,v)]r (расположенной на базовой поверхности) до оцифрованной точки Р,, измеренное по нормали к поверхности; либо, если направление проецирования зафиксировано, это расстояние от точки поверхности до соответствующей ей оцифрованной точки Р вдоль вектора проецирования, соединяющего эти точки (Рис. 7). результирующая поверхность оцифрованные точки Г)а іоікія поверхность Рис. 7 Проекции оцифрованных точек на базовую поверхность.
Известно, что эффективная и корректная параметризация должна удовлетворять следующим трем условиям:
1) свойство взаимно однозначного отображения: Всегда существует проективный вектор, взаимно однозначно отображающий ту область подгоняемой поверхности, где расположены оцифрованные точки, на базовую поверхность. 2) гладкость: Базовая поверхность должна быть максимально гладкой и простой и, по возможности, походить по форме на подгоняемую поверхность. 3) параметризация базовой поверхности: Параметризация базовой Ф поверхности должна полностью соответствовать параметризации подгоняемой поверхности.
В силу того, что параметризация при помощи базовой поверхности полностью удовлетворяет этим условиям, она может быть эффективно использована в процессе реконструкции поверхности по произвольным дискретным точкам. Кроме того, в своих работах Ма и Крус показали, что их метод позволяет параметризовать не только неструктурированное облако т точек, но, зачастую, дает более приемлемый результат при параметризации структурированного облака по сравнению с классическими методами параметризации.
Квадратичная подгонка поверхности.
В настоящее время в большом количестве приложений (производство кузовов автомобилей, судовых корпусов, крыльев самолетов, обтекателей, трубопроводов и т.д.) для реконструкции поверхностей используются данные, полученные в результате измерений. Очевидно, что часть этих данных ошибочна из-за погрешности измерений. По этой причине, поверхность, интерполирующая исходные данные, может иметь неоправданные осцилляции. Кроме того, она будет иметь огромное число узлов управляющей сети, что затрудняет ее последующее редактирование. Наилучшим решением возникающих всвязи с этим проблем - использование аппроксимации исходных данных вместо их интерполяции. Под аппроксимацией исходных данных понимается генерация поверхности, проходящей вблизи исходных точек и только через некоторые из них.
Достижение совместимости сечений по узловому вектору
Формирование трехмерных твердотельных геометрических моделей проектируемых изделий, как главной составной части электронных моделей изделий, является базовой концепцией практически всех систем автоматизированного проектирования, существующих в мире. В отличие от традиционных технологий, получивших название "бумажных", использование которых предполагает выпуск чертежно-конструкторской документации в полном объеме на всех этапах проектирования, в том числе и в судостроительной отрасли, данный подход обладает целым рядом существенных преимуществ:
многократное сокращение сроков проектирования за счет эффективного и высокопроизводительного инструментария создания и редактирования геометрии твердотельных моделей;
исключение возникновения ошибок и несовершенств конструкций уже на ранних стадиях проектирования, в то время как основная их часть при традиционных подходах зачастую выявляется на стадии постройки;
сокращение объемов натурного и масштабного макетирования за счет высококачественных средств отображения и визуализации электронных моделей изделий;
значительное снижение трудоемкости и сокращение сроков при решении задач компоновки механизмов, агрегатов и пр., прокладки трубопроводов, электросистем, воздуховодов и т.д.;
существенное снижение объема чертежно-конструкторской документации при повышении ее качества с одновременной возможностью выдачи информации для автоматизированного изготовления и сборки деталей и узлов, что создает предпосылки для перехода на полностью "безбумажные" технологии проектирования и постройки.
Первым этапом создания электронных моделей проектируемых изделий в судостроении является построение поверхности наружной обшивки корабельного корпуса. В судостроительной практике чаще всего возникает задача построения корабельной поверхности по существующему набору дискретных точек, заданных в координатной системе "Теоретические шпангоуты - Теоретические ватерлинии". На Рис. 9 приведена схема, отражающая идеологию использования RE-технологии и методологии в процессе геометрического моделирования поверхностей судового корпуса. Ю Анапо Г ХККТИ-роваїїие Былроепрогогайп. ч. Модель судового KEpnvca \ Л .„і„. Т ка — Облаю точек Модель поверхности —» Твердотельная мжль ТеоретичеюсЧЄРЇЄМОІ і.. __«»_. _. шЛ \ \ CAF САМ САІ ., .... . Рисунок 9. Схема использования RE-технологии и методологии в судостроении.
Полученная в результате поверхность затем используется для построения разнообразных геометрических моделей, в зависимости от назначения которых формируются требования к форме поверхности, ее гладкости и редактируемое (Табл. 3). Использование сформированной поверхности и требования, предъявляемые к ее качеству.
Формирование конструкции (разметка набора, пробивка конструктивных шпангоутов, раскладка листов) Результирующая поверхность должна быть максимально гладкой с монотонным изменением кривизны.
Проведение аналитических и численных расчетов (гидростатика, гидродинамика, прочность и т.д.), когда требования к гладкости Поверхность может быть близка или точно подогнана к существующему набору точек, поскольку вдальнейшем она не будет поверхности не носят приоритетного характера. редактироваться. Количество вершин управляющего многогранника не имеет значения; гладкость поверхности не критична.
Проектное моделирование, когда форма корпуса может меняться в процессе оценки различных вариантов Гладкость результирующей поверхности гораздо важнее, чем точная подгонка к существующему набору точек; для удобства дальнейшего редактирования моделируемой поверхности управляющий многогранник не должен содержать большое количество вершин.
В настоящее время разработано большое количество систем и алгоритмов для генерации поверхности на основе облака дискретных точек, например, такие как CAD системы Pro/Engineer, Autodesk s AutoSurf, Intergram EMS, а также специализированные программы моделирования поверхностей судового корпуса. Однако, в большинстве этих программ при моделировании поверхности корпуса судна возникают две основные проблемы:
в процессе подгонки используются только шпангоуты. В то же время, набор шпангоутов наиболее адекватно определяют поверхность только в средней части корабельного корпуса, где, как правило, присутствует цилиндрическая вставка, но в корме и к носу, где форма поверхности интенсивно изменяется, для адекватного моделирования поверхности необходимо использовать ватерлинии;
результирующая поверхность имеет слишком много управляющих точек, поскольку при прямой подгонке поверхности к набору дискретных точек каждой исходной точке соответствует вершина управляющей сети. Редактирование такой поверхности вручную практически невозможно. Кроме того, при построении поверхности должны быть учтены топологические особенности поверхности, что при полностью автоматическом построении поверхности невозможно.
Подгонка поверхности судового корпуса NURBS-поверхностью тензорного произведения наиболее гибкий инструмент моделирования, поскольку позволяет выбирать степень моделируемой поверхности и число управляющих вершин в каждом направлении. Наибольшее влияние на распределение управляющих вершин и общую геометрию результирующей NURBS-поверхности имеет базисный узловой вектор и назначение параметров для каждой исходной декартовой точки. Если построение узловых векторов в основном формализованный процесс, то для полностью автоматического вычисления параметров в данном классе задач простых алгоритмов не существует [27]. Это приводит к необходимости активного участия проектировщика в процессе моделирования для построения наиболее эффективной NURBS-подгонки исходных точек. Проектировщик создает теоретическую поверхность с учетом всех ее топологических особенностей. Затем, в автоматическом режиме могут быть вычислены параметрические значения всех декартовых точек и построена интерполяция или оптимальная NURBS-подгонка этих точек. При необходимости проектировщик может легко отредактировать полученную поверхность вручную. Надо отметить, что такой полуавтоматический способ построения судового корпуса позволяет формировать поверхности, хорошо удовлетворяющие предъявляемым требованиям (Рис. 10).
