Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДВУ-ДВУЗНАЧНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ! НА ПЛОСКОСТИ 31
1.1. Дву-двузначное квадратичное соответствие совмещенных полей 31
1.2. Аналитическая связь между образом и прообразом 34
1.3. Некоторые свойства дву-двузначного квадратичного преобразования плоскости 35
1.4. Частные случаи дву-двузначного квадратич ного преобразования плоскости поля 37
1.5. Алгоритмы построения соответственных точек
и вывод формул преобразования в случав, ког
да полюсы несобственные, фундаментальные .
коники заданных поляритетов вырожденные 46
1.6. Связь между угловыми коэффициентами Я; и Х-„ фундаментальных прямых ., 52
1.7. Варьирования значения координат точек 60
1.8. Исследование образов прямых 65
1.9. Исследование образов.кривых 73
. Выводы к первой главе 93
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДВУ-ДВУЗНАЧНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 94
2.1. Дву-двузначные квадратичные преобразования пространства 94
2.2. Аналитическая связь между образом и прообразом
2.3. Некоторые свойства двузначного квадратичного преобразования пространства 100
2.4. Частные случаи дву-двузначного квадратичного преобразования пространства 101
2.5. Исследование образа плоскостей 104
2.6. Исследование образов прямых и кривых 112
2.7. Исследование образов поверхностей ИЗ
2.8. Решение некоторых задач при помощи изучаемых дву-двузначных квадратичных преобразований пространства 122
Выводы ко второй главе 134
ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТ0.ПА ДВУ-ДВУЗНАЧНОГО КВАДРАТИЧНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ЭВМ 135
3.1. Описание программы 136
3.2. Конструирование кривых типа "шпангоут" 140
3.3. Площади, ограниченные кривыми, полученными. квадратичными преобразованиями 147
3.4. Конструирование поверхностей технических форм 149
Выводы к третьей главе 160
ОСНОВНЫЕ ВЫШЛИ И РЕШМЕВДАЦИИ 161
ЛИТЕРАТУРА 163
ПРИЛОЖЕНИЯ 1
Введение к работе
Научно-техническая революция, начавшаяся в 50-х годах, сделала науку ещз более мощной производительной силой. Было бы немыслимо без ее участия решение важнейших народно-хозяйственных задач.
Современное развитие науки и техники сопровождается усложнением объектов производства, в том числе изделий машиностроения. Значительно повышаются требования к процессу проектирования нового изделия, особенно на ранних этапах.
Немалое актуальное значение приобретают также вопросы конструирования сложных технических форм поверхностей, решение ряда прикладных задач и вопросы их использования в быстродействующей вычислительной технике. Эффективное решение этих задач в современных условиях осуществимо только комплексным применением математических методов и средств вычислительной техники.
В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-85 годы и на период до 1990 года", принятых на ХХУІ съезде КПСС, указывается на необходимость расширения автоматизации проектно-конструкторских работ с применением электронно-вычислительной техники, развития и совершенствования математического обеспечения [і.і].
Формирование геометрической подсистемы САПР базируется на современных достижениях в области начертательной геометрии и инженерной графики. Развитие прикладной геометрии, как одной из составных частей прикладной математики, проходит под знаком усиления связей классических разделов геометрии с практикой.
На данном этапе решение ряда инженерных задач строительства и архитектуры, авиа-, судо-, авто-, турбостроения и других отраслей техники осуществляется методами прикладной геометрии, в развитие которых значительный вклад внесли советские ученые, В.А. Н.Ф.Четверухин [з.49] , И.И.Котов [з.27,4.49] , Н.Ы.Рыжов 4.89] , С.А.Фролов [3.45,3.47], В.Е.Михайленко [з.31,4.63 Осипов Гз.33,4.77], А.В.Павлов [4.80,4.81], Ш.П.Филиппов [3.43], А.Л.Подгорный [2.1,3.35], К.И.Вальков [з.11,3.12], И.С.Джапаридзе [4.27] и др.
Особенно большое прикладное значение получил один из разделов геометрии, посвященный прикладной геометрии поверхностей [3.19,4.49,4.52,4.53,4.54,4.78,4.87,4.88,4.90,4.98,4.105,4.109]. Дня конструирования поверхностей, исследования их свойств, построения линии их пересечения и т.д., кроме многих известных методов [3.5,3.9,3.13,4.1,4.2,4.3,4.5,4.9,4,10,4.11,4.15,4.17,4.19, 4.20,4.23,4.35,4.39,4.41,4.66,4.73,4.99,4.112] применяются также метода геометрических преобразований, в том числе квадратичные и другие алгебраические преобразования высших порядков [2.2,3.29, 4.4,4.22,4.29,4.37,4.43,4.45,4.57,4.58,4.59,4.92,4.93,4.102, 4.ЮЗ]. Широкое применение нашли линейные преобразования плоскости и пространства. Интересные результаты в этом направлении были получены И.И.Котовым, И.С.Джапаридзе, К.И.Вальковым, Л.Н. Лихачевым, Е.А.Мчедлипшили, В.С.Обуховой, И.М.Холдеевым, Д.Н. Борисовым, И.М.Малунцевым и многими другими.
Кремоновы преобразования и, в частности, однозначные квадратичные преобразования нашли применение в прикладной и начертательной геометриях в работах 3.14,3.54,4.26,4.37,4.40,4.42, 4.48,4.64,4.67,4.95,4.116,4.120].
Многозначные, в частности, дву-двузначные квадратичные соответствия используются в основном:
а) для получения алгебраических кривых высших порядков и исследования их свойств [з.З,3.4,3.59,3.60,4.60,4.68,4.72,4.74, 4.82] ;
б) для моделирования плоскостей и поверхностей в методе двух изображений [4,31,4.32,4.ЗЗ]; ,
в) для решения технических задач [4.71,4.97,4.100,4.ІІз] и задач начертательной геометрии [4.28,4.56,4.96,4.99,4,1001 и т.д.
Рассмотрим состояние вопроса, связанного с разработкой теории и созданием способов практического использования квадратичных, в частности, дву-двузначных квадратичных преобразований.
Однозначное или другого типа квадратичное соответствие между элементами двух плоских полей (двух пространств) может быть установлено при помощи свойств проективной геометрии.
При этом:
1. а) Ряду первого порядка соответствует ряд второго порядка; б) пучку прямых первого порядка соответствует пучок - ряд второго порядка (для точечного соответствия).
2. Пучку прямых первого порядка соответствует пучок прямых второго порядка (в случаях, когда прямой одного поля соответствует определенная прямая другого поля).
3. Прямолинейному ряду точек соответствует пучок прямых второго порядка (в случаях, когда точке одного поля соответствует прямая другого поля).
Условия, сформулированные в пп.1 и 2, представляют колли-неарные, а в п.З - коррелятивные квадратичные соответствия.
Понселе [3.55І в 1820 г. изучал квадратичные преобразования на плоскости синтетическим образом.
