Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Плотность состоянии дырок в твердом растворе с вырожденной валентной зоной
1. Введение 26
2. Взаимодействие частицы с флуктуациями состава твердого раствора
3. Метод оптимальной флуктуации для невырожденной параболической зоны 34
4. Энергетический спектр валентной зоны на основе гамильтониана Латтинжера 38
5. Сдвиг вершины валентной зоны в случайном потенциале типа "белый шум" 41
6. Формулировка метода оптимальной флуктуации для вырожденной валентной зоны 45
7. Выражение для предэкспоненпиального множителя 50
Глава 2. Ширина линии экситонного поглощения в твердых растворах
1. Введение 52
2. Экситон в твердом растворе 55
3. Оценка ширины линии экситонного поглощения при больших длинах локализации 57
4. Оценка ширины линии при малых длинах локализации 61
5. Сравнение с экспериментом 64
Глава 3. Рассеяние электронов в бесщелевом полупроводнике
1. Введение 72
2. Метод парциальных волн 73
3. Рассеяние электрона на потенциальной яме . 78
4. Резонансы и их ширины 83
Глава 4. Влияние флуктуации состава на электронные свойства бесщелевых полупроводников. Флуктуационная модель бесщелевого полупроводника
1. Введение 88
2. Экспериментальные особенности бесщелевых твердых растворов и донорно-акцепторная модель бесщелевого полупроводника 91
3. Флуктуационная модель бесщелевого полупроводника 96
4. Концентрация остаточных электронов в рамках флуктуационной модели бесщелевого полупроводника с кейновским спектром 101
5. Вычисление подвижности электронов 104 -
6. Температурная зависимость уровня Ферми 108
7. Сравнение с экспериментом 109
Глава 5. Флуктуационная модель перехода бесщелевой полупроводник - нормальный полупроводник при всестороннем сжатии
1. Введение 112
2. Взаимодействие электрона с флуктуациями состава в узкощелевом полупроводнике , с кейновским спектром 114 -
3. Ширина дырочных флуктуавдонных уровней в узкощелевом полупроводнике с кейновским спектром 117
4. Положение уровня Ферми 121 -
5. Расчет подвижности электронов 122
6. Сравнение с экспериментальными данными . 126
Заключение 130
Приложения 133
Литература
- Взаимодействие частицы с флуктуациями состава твердого раствора
- Сдвиг вершины валентной зоны в случайном потенциале типа "белый шум"
- Оценка ширины линии экситонного поглощения при больших длинах локализации
- Рассеяние электрона на потенциальной яме
Введение к работе
Полупроводниковые твердые растворы замещения привлекают к себе внимание возможностью изменения в широких пределах их параметров при изменении состава. Экспериментальные исследования показали, что несмотря на случайный характер расположения атомов различных сортов в узлах кристаллической решетки, электронный спектр твердых растворов характеризуется сравнительно четко выраженной структурой. Благодаря этому твердые растворы часто описывают в приближении "виртуального кристалла", при котором истинный непериодический потенциал, создаваемый атомами замещения, заменяется на усредненный периодический потенциал. Оказалось, что приближение виртуального кристалла очень хорошо описывает изменение свойств твердых растворов при изменении состава [53,60,95] , что, по-видимому, связано с тем, что твердые растворы, как правило, образуются при изовалентном замещении, когда атомы, замещающие друг друга, принадлежат одной группе периодической системы элементов и обладают сравнительно близкими свойствами.
Тем не менее, неупорядоченность в расположении атомов замещения, то есть флуктуации состава раствора, проявляются в целом ряде свойств полупроводника. Так, флуктуации состава приводят к размытию краев зон и, как следствие, к размытию края оптического поглощения и уширению полос излучения, соответствующих междузонным переходам [9] . Они приводят к уширению линий экситонного отражения [43,44,64,75,80,92] и внутри-примесного поглощения [l4,I5,3l] , сказываются на подвижности электронов [49,63] . Флуктуации состава сильно сказываются на межзонном поглощении света в непрямом полупроводнике (см., например, [40,85] ).
В настоящей диссертации исследуются влияние флуктуации состава на плотность состояний дырок в твердом растворе с вырожденной валентной зоной типа валентной зоны германия, на экситонное поглощение в широкозонном полупроводнике, а также на электронные свойства бесщелевых и узкощелевых полупроводниковых твердых растворов. Общий теоретический метод, применяемый в диссертации, восходит к работе Алферова, Портного и Рогачева [9] . Он состоит в следующем. Рассмотрим для определенности воздействие флуктуации состава на электрон в зоне проводимости. В твердом растворе существуют флуктуации состава всевозможных масштабов. Масштаб, в котором нужно изучать флуктуации состава, определяется чаще всего длиной волны электрона, так как мелкомасштабные флуктуации, характерные длины которых меньше длины волны электрона, как правило, усредняются на длине волны.
В излагаемом подходе считается, что мелкомасштабные флук
туации по этой причине можно не учитывать. Крупномасштабные
флуктуации состава, захватывающие объем, в котором содержится
много атомов всех компонент раствора, можно описывать как
флуктуации концентрации компонент твердого раствора. Реальный
полупроводник представляется как виртуальный кристалл с кон
центрацией компонентов Х(Ъ) , плавно меняющейся от точки к
точке. При этом зонные параметры в точке г совпадают со
значениями для виртуального кристалла с составом эо(г)
Если среднее по некоторому объему значение концентрации отли
чается на величину Sx, от среднего значения концентрации по
всему кристаллу z , то край зоны проводимости Ее в этом
объеме изменился на величину $Et = d 5х,(г) , где
Л = dcc,/(tz . Возникает потенциальный рельеф для
электронов V(t) =
центраций. Условие применимости данного подхода состоит в том, что длина волны частицы (электрона, дырки, экситона и др.) должна быть больше, чем среднее расстояние между атомами замещения с наименьшей концентрацией. В работе Алферова и др. [9] была дана оценка размытия краев зон флуктуациями состава.
Барановский и Эфрос [12] , используя изложенный подход, а также метод оптимальной флуктуации [36,67,97] (подробное изложение можно найти в монографиях [19,37,47J ), провели количественный расчет размытия края зоны флуктуациями состава твердого раствора.
Случайный потенциал V() , обусловленный флуктуациями состава, приводит к появлению хвоста плотности состояний, экспоненциально убывающего в глубь запрещенной зоны. Сами состояния реализуются за счет таких экспоненциально маловероятных конфигураций атомов замещения, которые создают потенциал, содержащий электронный уровень с данной энергией в глубине запрещенной зоны. Авторы[12] методом оптимальной флуктуации определили экспоненциальную зависимость плотности состояний электронов в области хвоста для некоррелированного распределения атомов замещения в твердом растворе. Естественно считать мерой размытия края зоны характерную энергию экспоненциального спада плотности состояний. Оказалось, что размытие должно быть примерно в 200 раз меньше, чем по порядковой оценке Алферова, Портного и Рогачева [э] , благодаря численным множителям, возникающим в методе оптимальной флуктуации.
Вычислению предэкспоненциального множителя плотности состояний в области хвоста для случая некоррелированного случайного потенциала типа "белый шум" посвящены многочисленные работы (см., например, цитируемую в [47] литературу). Энергети-
ческая зависимость предэкспоненты была определена уже в пионерской работе Гальперина и Лэкса в 1966 г. [67j . Ими же был предложен приближенный метод определения константы в предэкс-поненте плотности состояний. Однако уже в следующей работе Гальперин и Лэкс [68] обратили внимание на то, что в трехмерном случае поправки к использованному ими приближению расходятся. Они отметили, что расходимость приводит к сдвигу края зоны, и что полученное в [67] значение числа в предэкспоненте не является надежным. Перенормировка энергии и вычисление числа в предэкспоненте плотности состояний в потенциале типа "белый шум" в области хвоста были проведены Брезиным и Паризи в 1980 г.[54] .
Закон экспоненциального спада плотности состояний в области хвоста в потенциале типа "белый шум" был определен для случая сложной вырожденной зоны в 1982 г. Кусмарцевым и Рашбой [32] (см. также диссертацию Кусмарцева [32j ). Однако вопросы о предэкспоненциальнои зависимости плотности состояний и о роли возникающих в теории расходимостей оставались открытыми. Поэтому в диссертации была поставлена задача об определении предэкспоненты плотности состояний в области хвоста в потенциале типа "белый шум" в рамках метода оптимальной флуктуации для сложной вырожденной зоны.
В диссертации показано, что расходимость, как и в случае простой зоны, приводит к необходимости перенормировки энергии и сдвигу края зоны как целого. Энергетическая зависимость предэкспоненты оказывается такой же, как и в случае простой зоны. В диссертации получено безразмерное линейное матричное дифференциальное уравнение типа уравнения Шредингера, собственные значения которого определяют константу в предэкспо-
ненте плотности состояний.
Барановский и Эфрос в упомянутой уже выше работе [I2J рассмотрели также задачу об экситоне в твердом растворе. Они высказали идею о возможности локализации экситона потенциалом флуктуации состава, действующим как на электрон, так и на дырку, составляющих экситон. Были сформулированы уравнения для экситона в твердом растворе для невырожденных параболических зон с экстремумами в одной точке, даны оценки энергии локализации, характерные размеры волновых функций локализованных состояний.
В последнее время идея о локализации экситона флуктуация-ми состава привлекла внимание многих исследователей и нашла экспериментальное подтверждение [11,44,59,75,86,87] . Наиболее убедительными с нашей точки зрения доказательствами этой идеи служат эксперименты Коэна и Стуржа [59] , а также Пермогорова с сотрудниками [86,87] . По-видимому, в этих работах наблюдался порог локализации экситонов. Если считать экситон бесконечно долго живущим, т.е. пренебречь рекомбинационными процессами, то можно разделить экситонные состояния на локализованные и дело-кализованные. Существует некоторая пороговая энергия E-fch » разделяющая эти состояния (см., например, [47] ).
В указанных работах исследовалась форма линии люминесценции твердых растворов Cd $/_ $е& ПРИ температурах ниже гелиевой в зависимости от энергии монохроматического лазерного возбуждения. При этом регистрировалась люминесценция с фонон-ным повторением ІІ0-фонон). Основная идея этих работ состоит в следующем. При возбуждении в область локализованных состояний возникают острые пики в люминесценции, соответствующие высвечиванию локализованных состояний с энергией равной энергии лазерного возбуждения (напомним, что пики, как и вся люмине-
сценция, наблюдались на фононном повторении). При возбуждении
состояний выше порога локализации острых пиков не возникает, так как за время жизни экситона (по отношению к рекомбинации) он успевает спуститься по энергии в область локализованных состояний и практически совсем не высвечивается на частоте возбуждения.
Таким образом, энергия лазерного возбуждения, при которой впервые возникает пик в люминесценции, соответствует порогу локализации экситонов.
Интересен и следующий результат. При возбуждении высоко в зону коротковолновый край люминесценции совпадает с порогом локализации экситона, определенным по изложенному выше способу. Это еще раз свидетельствует о том, что на пороге подвижности резко падает скорость миграции экситона по энергии.
Пермогоровым с сотрудниками был предложен еще один способ определения порога подвижности, основанный на исследовании зависимости степени поляризации люминесценции от энергии [87] . Пороговая энергия, полученная таким способом, совпадает с энергией, определенной по форме линии люминесценции. Таким образом, есть основание думать, что эти эксперименты действительно доказывают существование порога подвижности экситонов в твердом растворе.
Важным экспериментальным фактом, в котором ярко проявляется влияние флуктуации состава, является уширение линий экситон-ного отражения в твердых растворах [43, 44,64,75,80,92 J . По-видимому, впервые концентрационную зависимость ширины экситон-ной линии исследовали Суслина с сотрудниками [43] и Гёде, Джон и Хенниг [64]. Теория уширения экситонных линий обсуждалась Барановским и Эфросом [l2]. Было отмечено, что ширина
линии определяется той же комбинацией параметров, что и
- II -
характерная энергия локализации экситона. Однако, для количественной оценки ширины линии этого недостаточно, поскольку, как уже говорилось, при исследовании флуктуации состава численные коэффициенты могут быть очень велики.
Кроме того, в [12] были рассмотрены не все случаи соотношений между параметрами зоны проводимости и валентной зоны. В диссертации дана количественная оценка ширины линии экситон-ного поглощения, обусловленной флуктуациями состава твердого раствора при различных значениях параметров зон. Оказывается, если параметры зоны проводимости и валентной зоны одного порядка, то ширина линии примерно в 15 раз больше, чем по оценке Барановского и Эфроса [12 ] . При Щ» Me. ( т^, ^с - массы электрона и дырки) в диссертации предсказан физически новый механизм уширения экситонной линии в случае, когда взаимодействием дырки с флуктуациями состава можно пренебречь. При этом задача аналогична проблеме уширения примесного состояния в твердом растворе [25] . В этом случае удается получить форму линии экситонного поглощения, а с ее помощью - дать анализ линии отражения, которая наблюдается в эксперименте.
В обычных широкозонных твердых растворах флуктуации состава, как правило, слабо сказываются на свойствах полупроводника, так как амплитуда флуктуации состава мала по сравнению с шириной запрещенной зоны. В бесщелевых и узкощелевых твердых растворах, когда амплитуда флуктуации состава сравнима или больше ширины запрещенной зоны, флуктуации состава должны кардинально менять свойства полупроводника. Ввиду этого в диссертации была поставлена задача о влиянии флуктуации состава на электронные свойства бесщелевых и узкощелевых твердых растворов, к которым относятся например, твердые растворы Ho^JAflz
при Z < 0,16 , Kg^x.CdxSe при ^^0,07 и др.
В отличие от обычных твердых растворов в этом случае хвосты плотности состояний валентной зоны и зоны проводимости, обусловленные флуктуациями состава, перекрываются. В связи с этим, а также тем, что масса в валентной зоне т^ таких полупроводников много больше массы в зоне проводимости г^е ,
флуктуации состава, как показано в диссертации, приводят к появлению остаточной концентрации свободных электронов и равной ей концентрации локализованных дырок.
Экспериментально установлено (см., например, [61,79* 83J ), что бесщелевые полупроводники часто при низких температурах обладают остаточными электронами и имеют проводимость металлического типа. Первоначально наличие остаточных электронов объяснялось перекрытием зон, которое допускается симметрией кристалла [13J . Главный довод против этого объяснения состоит в том, что остаточная концентрация сильно меняется от образца к образцу и зависит от способа приготовления образца. Можно предположить, что источником электронов являются неконтролируемые донорные примеси. Однако это предположение противоречит экспериментам по гидростатическому сжатию образцов бесщелевых твердых растворов Гі8,21,62,82,90,93] . При этом воздействии уменьшается эффективная масса электронов, а концентрация электронов меняется таким образом, что примерно неизменным остается положение уровня Ферми. В донорной модели концентрация неизменна.
В работе [62] была предложена донорно-акцепторная модель бесщелевых кристаллов %/-# ^& ^ » объясняющая фиксацию уровня Ферми при всестороннем сжатии. Предполагается, что существуют неконтролируемые концентрации доноров Jvg) и акцепторов Ад , причем Jvя <<с Nа . В связи с тем, что запрещенная зона в бесщелевом полупроводнике равна нулю, акцептор-
- ІЗ -
ний уровень Е ^ оказывается в сплошном спектре зоны проводимости. Считается, что величина Е ^ не зависит от давления. Так как №{,, » їїіе , то возможна ситуация, при которой выполняется условие сильного легирования по донорам, а по акцепторам - нет. Итак, и в этой модели источником электронов являются доноры. Однако, в этих условиях уровень Ферми фиксирован при энергии акцептора р = Ед , если дополнительно предположить, что концентрация электронов в зоне проводимости под уровнем акцептора к (Eh) много меньше концентрации доноров 7) . Недостаток этой модели состоит в том, что примесная акцепторная зона считается чрезвычайно узкой, что не соответствует известным расчетам [48] . Кроме того, оказывается [82,90,93] , что в образцах Hg^^Cd^lt с ДРУГИМИ составами уровень Ферми фиксируется при иных энергиях. Это противоречит предположению о том, что энергия акцепторного уровня Efy не зависит от давления. Дело в том, что зонная структура в
Hai-ocCdxT-C меняется с давлением и составом одинаковым образом (рис. I, см., например, [61,79,83] ).
Б диссертации предложена флуктуационная модель бесщелевого полупроводника, в которой вообще не предполагается существование электрически активных примесей. Остаточная концентрация свободных электронов и локализованных дырок вызвана наличием в образце случайного потенциала гауссова типа. В твердых растворах замещения такой потенциал неизбежно возникает вследствие флуктуации состава раствора, в других случаях он может быть вызван электрически неактивными примесями или дефектами. Уровень Ферми в предложенной модели слабо (логарифмически) зависит от давления. Параметром теории является отношение
Wlfi/me » которое предполагается большим. Особенно велик этот параметр в твердых растворах HQ^.^Cdx^ составом в
Рис. I. Зонные структуры бесщелевого (слева) и нормального (справа) полупроводников. Бея схема иллюстрирует изменение зонной структуры твердого раствора Щ^-х Ux. ' с составом или при всестороннем сжатии $* Масштабы изменения параметра Eg = Ер^ - Ер
с составом: от - 300 мэв для .=0 до + 1,6 эв для X. = I с давлением: dy/cLp~iQ мэв/кбар
ы I
области X = 0,1 -і- 0,16 . Дело в том, что спектр зоны проводимости ttfyi-x.td'X.'Tz ( < 0,16) описывается моделью Кейна с отрицательной величиной Еа , которая представляет собой расстояние между экстремумами зон симметрии Г$ и Г$ (напомним, что эти кристаллы имеют структуру цинковой обманки):
Еа = Ер6~Егя < » а шиРина запрещенной зоны, понимаемая как расстояние между вершиной наивысшей валентной зоны и дном низшей зоны проводимости, равна нулю (рис.1). Такая инверсная по сравнению с обычной зонная структура была предложена, под давлением многочисленных экспериментальных фактов (см., например, [24,27,46 ] ), Гроувсом и Полом в 1963 г. [66]для серого олова, а затем распространена на кристаллы На Те [88] ,HoSe (см., например, [45] ) и на твердые растворы на их основе. Как установлено (см., например, [6l] ), величина Еа для твердых растворов И^.^Ы^Те монотонно зависит от состава, изменяясь от -300 мэв для X = 0 до +1,6 эв для =
= I, проходя через нуль в области составов Х^ 0,16 при низких температурах (рис.1). Масса в зоне проводимости /Пе определяется величиной Е % : Wi t ~/^/, пока характерные энергии малы по сравнению с jEoj так, что отношение М-к/Ше возрастает с уменьшением \Еа\. Конечно, при малых (Eoj необходимо учитывать непараболичность спектра зоны проводимости, однако теория все лучше работает с уменьшением величины lEaj .
В диссертации построена флуктуационная модель с учетом непараболичности зоны проводимости. В случае, если величина
\Е$\ мала, т.е. если мало, независимо от знака, расстояние между экстремумами зон симметрии Г с и ' 8 , влияние флуктуации состава нельзя описать в рамках обычного однозонного приближения. В диссертации построен потенциал взаимодействия электрона с флуктуациями состава для малых fEal, который в
-. 16 - ., :v.
данном случае зависит от параметров обеих зон. Мы полагаем, что флуктуационная модель применима к твердым растворам
Hg^Cdx.Te с высокой подвижностью электронов, в которых концентрация электрически активных центров снижена в результате отжига образцов в парах ртутих, с составами, близкими к переходу в полупроводниковую фазу.
В диссертации проведен анализ различных механизмов рассеяния электронов в рамках флуктуационной модели бесщелевого полупроводника. Показано, что главным является резонансное рассеяние электронов на дырочных флуктуационных уровнях с энергией вблизи фермиевской энергии электрона. Резонансное рассеяние связано с спецификой флуктуационных дырочных уровней в бесщелевом полупроводнике, присущей и примесным дырочным уровням в бесщелевом полупроводнике 23,28J . Дело в том, что потенциал, притягивающий для дырки, образует дырочный уровень энергии , который в бесщелевом полупроводнике, в отличие от нормального полупроводника, попадает в область непрерывного спектра электронов. При этом оказывается, что, если уровень Ферми расположен ниже энергии , т.е. при энергии равной энергии дырочного состояния нет электрона, то потенциал локализует дырку [28] , как и в случае нормального полупроводника. Однако, если при энергии есть электрон, то дырочный уровень становится распадным [28] , приобретая малую по сравнению с энергией уров-ня ширину Г^(те/гпк) 6 «в [23] . Фаза рассеяния электрона при изменении его энергии вблизи энергии дырочного уровня в узком интервале порядка ширины ? изменяется на $С [23J . В рамках флуктуационной модели электрон с фермиевской энергией резонансно рассеивается на дырочных флуктуационных уровнях, энергии которых попадают в интервал Г вокруг энергии Ферми.
х Роль ртутного отжига обсуждается в главе 4.
Оказывается, что именно этот тип рассеяния определяет подвижность электронов в рамках флуктуационной модели.
Для вычисления подвижности электронов в бесщелевом полупроводнике необходим метод парциальных волн для амплитуды рассеяния. В диссертации построен метод парциальных волн для бесщелевого полупроводника, описываемого в рамках сферического гамильтониана Латтинжера. Получены аналитические выражения для фазы, амплитуды и сечения рассеяния электрона на сферически симметричном прямоугольном потенциале в зависимости от параметров потенциала и энергии электрона, энергии и ширины дырочных уровней в пределе ЇЇІе,/їїІ^ *2СІ.
В диссертации получено выражение для подвижности электронов в рамках флуктуационной модели бесщелевого полупроводника, найдена связь концентрации и подвижности электронов. Численные значения подвижности, расчитанные для М$<-х. &Lz Те , оказываются порядка наблюдаемых экспериментально [62,82,90,93] для отоженных образцов.
Предложенная в диссертации флуктуационная модель бесщелевого полупроводника позволяет описать переход бесщелевой полупроводник - нормальный полупроводник при гелиевых температурах, происходящий при гидростатическом сжатии отоженных образцов твердых растворов HOi.^Cd^Te . Указанный переход можно наблюдать в растворах с составом х> ~- 0,1 - 0,16 , когда величина Еу < 0 , \Еа / ~ 10 мэв, при давлениях в несколько килобар. Дело в том, что во всех полупроводниках с структурой цинковой обманки (и в алмазоподобных) зона симметрии Р6 при гидростатическом давлении сдвигается по энергии вверх быстрее, чем зона rg . В твердых растворах Щі-тс. ^cLz Те величина dEa /d 5 составляет величину порядка 10 мэв/кбар. Таким
образом, величина [Еа( монотонно уменьшается с ростом давления, достигая значения ноль при давлении несколько килобар в растворах с составом в указанных пределах. При дальнейшем увеличении давления величина Eg. становится положительной - появляется запрещенная зона, а роль зоны проводимости исполняет уже, как в обычном полупроводнике, зона симметрии Г . На рис. I приведена схема, иллюстрирующая изменение зонной структуры при гидростатическом сжатии.
В отоженных в парах ртути образцах ^у-^^Те с высокой подвижностью электронов при гелиевых температурах оказывается, что при всестороннем сжатии концентрация электронов падает с давлением, так что уровень Ферми слабо зависит от давления, а подвижность электронов немонотонно зависит от давления: до перехода в нормальную фазу растет с давлением, а далее резко падает. Обзор экспериментальных работ по давлению в твердых растворах На^йЖ^Те, можно найти в [52] . Отметим, что в донорно-акцепторной модели [62] не удается описать немонотонную зависимость подвижности от давления.
В рамках флуктуационной модели бесщелевого полупроводника удается качественно описать зависимости концентрации и подвижности электронов от давления при переходе бесщелевой полупроводник - нормальный полупроводник. Проведенный в диссертации анализ зависимости подвижности от давления показывает, что при переходе происходит смена механизма рассеяния. Как мы уже отмечали, главным в бесщелевой фазе является резонансное рассеяние электронов на дырочных флуктуационных уровнях. Оказывается, что в нормальной фазе доминирующим становится нерезонансное рассеяние электрона на кулоновском потенциале флуктуационных дырок.
Спектр зоны проводимости в этих условиях сильно непараболический. Поэтому необходимо составить представление о рассеянии электрона в полупроводнике с кейновским спектром зоны проводимости на кулоновском центре.
К сожалению, в рамках предложенной модели не удается описать поведение отоженных образцов ^/.^ при азотных температурах. По-видимому, в этом случае проявляются электрически активные примеси или дефекты.
Целью настоящей диссертации является:
Исследовать влияние флуктуации состава на плотность состояний дырок в твердом растворе с вырожденной валентной зоной.
Дать оценку ширины линии экситонного поглощения в широкозонных твердых растворах, обусловленную флуктуациями состава, при различных значениях параметров невырожденных параболических зоны проводимости и валентной зоны.
Исследовать влияние флуктуации состава на электронные свойства бесщелевых полупроводников.
Исследовать роль различных механизмов рассеяния электрона в рамках флуктуационной модели.
В рамках, флуктуационной модели описать переход бесщелевой полупроводник - нормальный полупроводник при гидростатическом сжатии образцов бесщелевого полупроводника Но^^СсіхУе.
Построить потенциал взаимодействия электрона с флуктуациями состава для узкощелевого полупроводника, когда амплитуда флуктуации состава сравнима с шириной запрещенной зоны.
7., Для вычисления подвижности в бесщелевом полупроводнике построить * метод парциальных волн для амплитуды рассеяния электрона, дать анализ рассеяния электрона на сферически симметричном прямоугольном потенциале.
Научная новизна и научно-практическая ценность. Найдена для случая вырожденной валентной зоны энергетическая зависимость предэкспоненты плотности состояний дырок в глубине запрещенной зоны твердого раствора. Произведена перенормировка энергии, устраняющая расходимости, возникающие в методе оптимальной флуктуации. Сформулирована процедура для нахождения константы в предэкспоненте плотности состояний.
Впервые дана количественная оценка ширины линии экситон-ного поглощения, обусловленной флуктуациями состава раствора, при различных значениях параметров зон. Предсказан физически новый механизм уширения экситонной линии и получено аналитическое выражение для формы линии в случае, когда флуктуации состава слабо воздействуют на валентную зону, масса в которой значительно больше массы в зоне проводимости.
Впервые показано, что в бесщелевых и узкощелевых твердых растворах флуктуации состава приводят к появлению остаточной концентрации свободных электронов и равной ей концентрации локализованных дырок. Предложена флуктуационная модель бесщелевого полупроводника, не содержащего электрически активных центров. Остаточная концентрация свободных электронов и локализованных дырок вызвана наличием в образце гауссова потенциала случайного типа. В твердых растворах замещения такой потенциал возникает вследствие флуктуации состава раствора, в других случаях он может быть вызван электрически неактивными примесями или дефектами. В рамках модели удается объяснить слабую зависимость уровня Ферми от давления при всестороннем сжатии образцов твердых растворов ^Q^^U^e при гелиевых температурах.
С целью анализа подвижности электронов в бесщелевом полупроводнике построен метод парциальных волн для амлитуды рассеяния. Ползгчено аналитическое выражение для фазы, сечения рассея-
ния электрона, энергии и ширины дырочных уровней для сферически симметричного прямоугольного потенциала в ршжах гамильтониана Латтинжера. Дан анализ различных механизмов рассеяния электрона в рамках модели. Показано, что в рамках флуктуационной модели удается качественно описать переход бесщелевой полупроводник - нормальный полупроводник, наблюдаемый при гидростатическом сжатии образцов твердых растворов ^/. с высокой подвижностью электронов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзном совещании с участием ученых социалистических стран "Экситоны в полупроводниках - 82" (Ленинград, 1982), IX Одесском симпозиуме по теоретической физике (Одесса, 1983), УІ Всесоюзном симпозиуме "Полупроводники с узкой запрещенной зоной и полуметаллы" (Львов, 1983), Одиннадцатом совещании по теории полупроводников (Ужгород, 1983) и на семинарах лаборатории теоретической физики ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР.
Основное содержание диссертации.
В первой главе изучается плотность состояний дырок в твердом растворе с вырожденной валентной зоной в глубине запрещенной зоны, когда эта плотность состояний экспоненциально мала. Задача решается с использованием метода оптимальной флуктуации для некоррелированного распределения атомов замещения в узлах соответствующей подрешетки. В разделе 2 построен потенциал взаимодействия дырки с флуктуациями состава, показано, что для некоррелированного распределения атомов замещения потенциал является гауссовой случайной функцией типа "белый шум". Константа белого шума связана со скоростью изменения положения вершины валентной зоны с составом. В разделе 3 приведен способ получения плотности состояний квази-
частиц в простой зоне в потенциале типа "белый шугл", предложенный Барановским и Эфросом [12] . Построена вариационная волновая функция квазичастицы в оптимальной флуктуации, с помощью которой можно приближенно вычислять интегралы, зависящие от этой функции. Далее отмечается, что в случае вырожденной зоны плотность состояний в глубине запрещенной зоны, как показано в работе \32 ] , формируется из оптимальных флуктуации, которые не являются сферически симметричными функциями координат.
В разделе 4 приводится описание спектра 4-х кратно вырожденной валентной зоны типа валентной зоны германия на основе гамильтониана Латтинжера [7б] .С целью дальнейшего использования приведены функции Грина оператора Латтинжера [27J .
Использование некоррелированного потенциала типа "белый шум" имеет определенные математические удобства. Однако, как показано в разделе 5, вторая поправка теории возмущений к энергии дырки по потенциалу флуктуации состава расходится. Эта расходимость связана с взаимодействием с мелкомасштабными флук-туациями. В случае простой зоны также существует расходящаяся поправка [68] , которая приводит к однородному сдвигу края зоны в глубь запрещенной зоны [54,68] .
В разделе 5 показано, что и в случае вырожденной зоны расходимость приводит к сдвигу точки отсчета энергии, сформулирована задача о сдвиге. В разделе 6 получена энергетическая зависимость плотности состояний дырок в глубине запрещенной зоны.
В разделе 7 сформулирована процедура получения константы в предэкспоненте плотности состояний.
Вторая глава посвящена вычислению ширины линии экситонного поглощения в твердых растворах. В разделе 2 сформулировано уравнение Шредингера для движения центра масс
экситона в твердом растворе [12] . Теория, построенная в этой главе, предполагает, что характерная энергия взаимодействия экситона с флуктуациями состава мала по сравнению с энергией связи экситона. В разделе 3 получена оценка ширины . линии экситонного поглощения для больших длин локализации экситона, а в разделе 4 - для малых длин локализации. Рассмотрены случаи при различных значениях параметров зоны проводимости и валентной зоны. Обе зоны считались невырожденными, параболическими, с экстремумами в одной точке зоны Бриллюэна. Раздел 5 посвящен сравнению построенной теории с экспериментом.
Третья глава посвящена теории рассеяния электронов в бесщелевом полупроводнике. Теория кинетических эффектов в бесщелевых полупроводниках строится, как правило, на основе борновского приближения (см., например, [22,96] ). Однако, как показано в этой главе, условие применимости борновского приближения в данном случае носит весьма специфический характер. Это связано с тем, что электроны и дырки в бесщелевых полупроводниках имеют резко отличающиеся друг от друга массы М^/^ц.« I ( W&J W-h, - массы электрона и дырки соответственно). Благодаря этому зависимость сечения рассеяния медленных электронов от энергии оказывается совсем не такой, как в обычной теории рассеяния, причем эта зависимость не описывается в рамках борновского приближения (раздел 3).
В главе 3 предлагается точное решение о сферически симметричном прямоугольном потенциале в рамках гамильтониана Латтин-жера. Это решение позволяет составить представление о характере рассеяния на потенциалах широкого класса, которые можно приближенно аппроксимировать прямоугольными ямами или барьерами. В этом мы и видим ' основную цель настоящей главы.
Для нахождения амплитуды рассеяния необходим метод парци-
альных волн, который построен для бесщелевого полупроводника в разделе 2.
Как отметили Гельмонт и дьяконов [23J , притягивающий для дырки потенциал в бесщелевом полупроводнике приводит к появлению резонансных пиков в зависимости сечения рассеяния электрона от энергии. Положения и ширины резонансов проанализированы в разделе 4.
Четвертая глава посвящена исследованию влияния флуктуации состава на электронные свойства бесщелевых полупроводников. В разделе 2 приведены некоторые экспериментальные особенности твердых растворов бесщелевых полупроводников //^у_;с UzT-c - наиболее исследованных из бесщелевых полупроводников. Там же обсуждается предложенная Эллиотом и др. [62 ] донорно-акцепторная модель бесщелевого полупроводника. Показано, что эта модель не свободна от недостатков.
Твердые растворы бесщелевых полупроводников часто обладают остаточными электронами и имеют проводимость металлического типа. В разделе 3 показано, что источником остаточных электронов могут быть флуктуации состава. Случайный потенциал, обусловленный флуктуациями состава или электрически неактивными центрами, приводит, как показано в разделе 3, к появлению в образце свободных электронов и локализованных дырок в равном количестве. Предлагается флуктуационная модель бесщелевого полупроводника, не содержащего электрически активных центров. Концентрация последних в системах Hq^x^-jt^ может быть снижена в результате ртутного отжига. Этот вопрос обсуждается в разделе 2.
В разделе 4 флуктуационная модель распространена на случай кейновского спектра зоны проводимости.
В разделе 5 вычислена подвижность электронов в рамках
предложенной модели и ее зависимость от давления при всестороннем сжатии. Получено соотношение, непосредственно связывающее подвижность с концентрацией электронов.
В разделе 6 вычислена температурная зависимость уровня Ферми в рамках флуктуационной модели.
Сравнению теории с экспериментом появящен шестой раздел.
Пятая глава посвящена исследованию влияния всестороннего сжатия на электронные свойства твердых растворов бесщелевых полупроводников. При всестороннем сжатии в системах
'-х UxT& происходит переход бесщелевой полупроводник -нормальный полупроводник (см., например, [61] ). Для описания указанного перехода флуктуационная модель распространена на случай узкощелевого полупроводника.
В разделе 2 построен потенциал взаимодействия электрона с флуктуациями состава в узкощелевом полупроводнике, когда характерная энергия флуктуации состава сравнима с шириной запрещенной щели. Показано, что в этом случае нельзя ограничиться обычным однозонным приближением, и что потенциал взаимодействия зависит от параметров как зоны проводимости, так и валентной зоны.
В разделе 3 получено выражение для ширины дырочных уровней в узкощелевом полупроводнике.
В разделах 4,5 получены зависимости концентрации и подвижности электронов от величины всестороннего сжатия в узкощелевой фазе.
Шестой раздел главы посвящен сравнению теории с экспериментальными данными по всестороннему сжатию бесщелевых твердых растворов Huj-ozCcLj^Je .
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей [l-8] .
Взаимодействие частицы с флуктуациями состава твердого раствора
Рассмотрим для простоты взаимодействие с флуктуациями состава частицы в параболической невырожденной зоне, например, электрона в зоне проводимости. Допустим, что в данной под-решетке атом А может замещаться атомом В , так что состав этой подрешетки определяется формулой Ах & 4-х , где ОС -относительная концентрация атомов А (0 эс ) Введем функцию Ее, (ос) , представляющую собой энергию дна зоны проводимости в растворе с составом х , отсчитанную от фиксированного вакуумного уровня.
Отклонение относительной концентрации атомов А от среднего значения может быть разным в разных точках образца Зависимость величины J (В) от отношения масс В = легкой и тяжелой дырок в 4-х кратно вырожденной параболической зоне [32] . Расчет проведен в предположении, что оптимальная флуктуация имеет цилиндрическую симметрию.
Выражение (1.8) описывает взаимодействие электрона с флу-ктуациями состава. Вид потенциальной энергии !/() получен здесь на основе качественных соображений без обращения к уравнению Шредингера. В приложении I приведен формальный вывод выражения (1.8). Обобщение на случай вырожденной зоны проведено в главе 5.
Функция 1;(г) - случайная функция, которая должна задаваться корреляционными соотношениями. Формулировка этих соотношений является наиболее сложной и наименее разработанной задачей теории твердых растворов, поскольку эти соотношения должны отражать характер взаимодействия атомов в процессе изготовления образца. В теоретических работах, как правило это взаимодействие не учитывается, т.е. считается, что корреляция в расположении атомов А и 6 отсутствует. Тогда корреляционное соотношение для функции (t) имеет вид [12,25] Множитель cA/ перед fr -функцией представляет собой концентрацию атомов /4 . При X « I флуктуации определяются именно этими атомами. В обратном предельном случае I -«1 флуктуации определяются атомами В , концентрация которых есть (4-x.)h/ . Корреляционное соотношение в случае невырожденной зоны для случайного потенциала V(z) получается при подстановке (1.9) в (1.8),"имеет вид (I.I). Константа "белого шума" связывается с параметрами твердого раствора Ч = -jp- Х(4-Х) (1.10)
Как видно из формулы (1.6) параметр L представляет собой скорость изменения энергетического положения дна зоны проводимости с составом. Экспериментально его величину можно определить следующим образом. Если считать, что энергетическое положение дна зоны изменяется с составом линейно, т.е. значение du не зависит от X , то параметр dL равен разности энергетических положений дна зоны проводимости при X. = 0 и X = I. При приведении полупроводников с = 0 и X = I в контакт, на границе возникают разрывы зон. Разрыв зоны проводимости А Ее представляет собой параметр оіс
Экспериментальные работы по определению разрывов зон на границе между различными полупроводниками были выполнены недавно [58,73,74] . Величины разрывов в них определялись из анализа спектра фотоэлектронов , возникающих при возбуждении гетероперехода рентгеновским излучением.
Как показано в Приложении I, представление потенциала взаимодействия частицы с флуктуациями состава в виде (1.8) с константой cL (1.6), равной скорости изменения экстремума зоны с составом, возникает из-за учета разности потенциалов атомов, замещающих друг друга. Однако, в таком представлении не учитываются упругие деформации, которыми сопровождаются флуктуации состава в твердом растворе, как показано Райхом и Эфросом [41] . Флуктуации состава приводят не только к сдвигу экстремума зоны, но меняют постоянную решетки & .
Расчет Барановского и Эфроса существенно опирался на па-раболичность и, главное, на невырожденность спектра электронов. Вычисление плотности состояний в области хвоста с экспоненциальной точностью для вырожденных параболических сферических зон было проведено Кусмарцевым и Рашбой [32] . Они показали, что оптимальная флуктуация в данном случае, в отличие от случая невырожденной зоны, не является сферически симметричной функцией координат. Это обстоятельство связано с эффектом Яна - Тел-лера. Вырождение зон формально вводится в теорию как спин частицы J . Волновая функция является 2 J + I компонентным вектором. В свободном гамильтонианес" существенным является спин - 37 орбитальное взаимодействие. Предположим, что оптимальная флуктуация является сферически симметричной. Основное состояние "спиновой" частицы в сферически симметричном потенциале (2 J + I) -кратно вырожденно.
Наряду с сферически симметричным потенциалом "оптимальной" флуктуации подействуем на частицу слабым несимметричным потенциалом возмущения, также связанным с флуктуациями состава. Тогда в первом порядке по слабому потенциалу вероятность флуктуации (I.I2) не изменится, однако уровень энергии в искаженном потенциале можно понизить в первом порядке теории возмущений, подбирая из 2 J + І штук волновых функций соответствующую линейную комбинацию. Таким образом, предположение о сферичности оптимальной флуктуации не является самосогласованным.
Сдвиг вершины валентной зоны в случайном потенциале типа "белый шум"
В свободном гамильтониане (1.25) данной энергии Е и направлению импульса к - &/\Щ соответствуют четыре собственных функции: где спиноры /г - ЛЪ являются собственными функциями оператора сшральности (%, Т )
Интеграл (1.37), понимаемый в смысле главного значения, линейно расходится при больших /с . Эта расходимость связана с 5 -функционным приближением в формуле (І.І). В случае невырожденной зоны впервые на подобную расходимость было обращено внимание в работе Гальперина и Лэкса [68] , где было отмечено, что она приводит к сдвигу края зоны. Благодаря тому, что t не зависит от спиральности i. , и в сложной зоне расходимость: приводит к сдвигу края зоны. Для того, чтобы показать это, следует применить процедуру, аналогичную перенормировке массы в квантовой электродинамике. Роль "затравочной" энергии в данном случае играет энергия, отсчитанная от края зоны Ey(z), а все определяемые экспериментально величины в результате перенормировки зависят от энергии, отсчитанной от сдвинутого края зоны. Воспользуемся диаграмным представлением для функции Грина. Невозмущенная функция Грина в импульсном представлении 6- (к.) (1.29) изображается сплошной линией. Взаимодействие с случайным потенциалом изображается волнистой линией, которой соответствует множитель t[ и Jd ty/ХЇЇК) ; fy - импульс передачи, соответствующий волнистой линии. Единственная расходящаяся неприводимая диаграмма для собственно энергетической части изображена на рис. 5 . Ей соответствует величина
Величину Е P =Е будем называть физической энергией, а оставшуюся в уравнении Шредингера величину Г наряду со случайным потенциалом будем рассматривать по теории возмущений, Тогда в невозмущенной функции Грина следует заменить энергию Е на физическую энергию Е . В любой диаграмме каждую неприво-димую собственно энергетическую часть 2 следует дополнить слагаемым Г I , так что она превращается в величину стремящуюся к конечному пределу при & — 0. Поэтому и во всех диаграммах можно устремить параметр а к нулю. Единствен-ной величиной, зависящей от (L , является сдвиг Г . Вычисляя интеграл (1.40), получим ? = -fcr І? ( +т ) (1.42)
Как уже говорилось, во всех диаграммах для функции Грина величину Г можно устремить к бесконечности и, как видно из формул (1.46), (1.47), все физические величины зависят только от параметра . В частности, плотность состояний во всем интервале энергий зависит лишь от перенормированной физической энергии В + Р = В , отнесенной к Во .
В дальнейшем рассматриваются дырочные состояния с энергией глубоко в запрещенной зоне ( 0, / 1 I). Основная трудность, возникающая при применении метода оптимальной флуктуавди к трехмерной системе с некоррелированным потенциалом, состоит в устранении расходимости, связанной со сдвигом Г .
Мы будем считать, что решение этого уравнения известно, а также, что решение является невырожденным вследствие эффекта Яна - Теллера. Напомним, что Кусмарцев и Рашба [32J нашли вид и вероятность оптимальной флуктуации, предположив, что эффект Яна - Теллера понижает симметрию оптимальной флуктуации в вырожденной зоне лишь до цилиндрически симметричной.
Тогда функциональный интеграл (I.5I) сведется к обычному интегрированию по коэффициентам CL . Функцию o(z) удобно выбрать, как функцию той же симметрии, что и основной потенциал оптимальной флуктуации H0fz).
Все диагональные элементы (&Г/ъ)оо P НУ-3113 nP & 0-Как будет видно из дальнейшего, при / »1 в интеграле по &о » стоящем в числителе (I.5I), благодаря выбору COo(l) в виде (1.55), существенны CL0 d /. Поэтому в (1.56) отброшены члены вида d0 и &о&п. .По этой же причине при подстановке формулы (1.54) в показатель экспоненты (I.5I) следует отбросить слагаемое пропорциональное d0 .
Следует, однако, иметь в виду, что если некоторые собственные числа оператора С обращаются в ноль или бесконечность, то интегрирование по соответствующим им коэффициентам CL нельзя провести. В приложении 2 проведена процедура регуляризации оператора k , аналогично случаю простой зоны [7Ї], устраняющая указанные особенности. Там показано, что три собственных числа оператора С , соответствующие собственным функциям Jz. - Sfjy (С =Х)у)ъ ; lic J . УIУ dh / обращаются в нуль. Интегрирование по соответствующим коэффициентам Ь &іу )&f% с точностью до множителя (2% Iu 1 ) эквивалентно интегрированию по координатам центра оптимальной флуктуации и дает без-размерный объем сттетищ0 І и 1) О.»
Оценка ширины линии экситонного поглощения при больших длинах локализации
При вычислении интеграла (2.24) методом оптимальной флуктуации следует учитывать лишь основное состояние в яме с потенциалом V(j . Метод позволя-ет найти наиболее вероятный вид потенциала V (&) » реализующий экситонное состояние с энергией . Кроме того, определяется волновая функция У (&) основного состояния экситона в потенциале V(). Метод оптимальной флуктуации, по существу, представляет метод перевала в функциональном пространстве. В рамках этого метода множитель [ JV6-(Xjtf3 j следует вынести за знак функционального интегрирования в перевальной точ-ке, т.е. при г с - Ч . Эта операция законна, так как в рас-сматриаемой области энергий основной вклад в интеграл (2.24) дают флуктуации с потенциалом V((L) , очень близким к оптимальному потенциалу Т(Ю .
Как уже говорилось, изложенная выше теория справедлива при условии, что длина, характеризующая взаимодействие эксито-на с флуктуациями состава /6 /, - Ь/ іИй, велика по сравнению с радиусом экситона &б. Только при этом условии справедливо корреляционное соотношение (2.20), являющееся основой предыдущей теории. Теперь мы рассмотрим другие возможные случаи, возникающие при различных соотношениях между параметрами.
Если їїіе и / имеют сравнимую величину, то условие И ь »# 5 эквивалентно условию Д ех, которое мы будем считать выполненным. Если же /я »/# , то в принципе может существовать механизм уширения экситонной линии за счет флуктуации состава, отличающийся от описанного выше. Представим мысленно, что масса дырки М постепенно увеличивается. При некотором ее значении величины 2 и dg сравниваются, но энергия связи экситона остается больше величины Д , поскольку энергия связи Є-&Х определяется массой электрона. При дальнейшем увеличении /п оказывается, что движение электрона вокруг дырки охватывает гораздо большую часть пространства, чем движение самой дырки. Теперь экситон напоминает донорный атом. Существенная разница между этими системами состоит в том, что флуктуации энергии донорного уровня связаны лишь с взаимодействием электрона с флуктуациями состава, в то время как энергия экситона смещается также за счет воздействия флуктуации состава на дырку /формула (2.9)/. Дырка локализована в меньшей области пространства, чем электрон, поэтому флуктуации состава могут воздействовать на нее гораздо сильнее. Именно так и происходит, если d и Л - величины одного порядка. В этом случае при изложенная выше теория применима, но параметр do в формуле (2.20) следует заменить на Lk. , т.е. учитывать только потенциал, действующий на дырку.
Допустим теперь, что величина L fa столь мала, что взаимодействием дырки с флуктуациями состава можно пренебречь (соответствующее ограничение на величину at fa будет получено ниже). В уравнении Шредингера для движения центра тяжести экси-тона фигурирует только потенциальная энергия Ye. (&) , определяемая формулой (2.8). Если i dB , то Ve(fc)% Ve,(&) и применима изложенная выше теория с d. - d . Однако при /, &всглаживание мелкомасштабных флуктуации, происходящее при переходе от Ve(&) к Ve to , весьма существенно. Зкси-тон движется в потенциале, самый мелкий масштаб которого порядка ай .
Количественное сопоставление полученной ширины экситонной линии поглощения с экспериментом затруднено по нескольким причинам. Первая состоит в том, что известные нам экспериментальные данные относятся не к поглощению, а к отражению. Ширина линии отражения определяется той областью линии поглощения,где поглощение имеет максимум. Именно в этой области нами использована интерполяционная формула во всех случаях, кроме донорного. Пересчет поглощения в отражение по формулам Крамерса-Кронига возможен лишь для донорного случая, когда известна форма линии поглощения. Кроме того, для твердых растворов именно в таких системах проведен эксперимент - недостаточно известны величины масс экситонов, а параметры & и oil известны, как правило, лишь из теоретических работ; экспериментально измерены лишь параметры do - Lf k = /dx Попытка количественного сопоставления теории с экспериментом была предпринята в работе [43] .
Наша цель сейчас - связать ширину линии экситонного отражения 5 для донорного случая с шириной линии поглощения Л . Экспериментально измеряемая линия отражения имеет вид симмет ричной кривой с двумя экстремумами, расстояние между которыми и определяется как ширина отражения f . Схема расчета следующая : зная коэффициент поглощения d(u/) , определим мнимую часть диэлектрической проницаемости . С помощью соотношений Крамерса-Кронига определим вещественную часть диэлектрической проницаемости 8 . Затем выразим коэффициент отражения R-
Рассеяние электрона на потенциальной яме
Кроме того, предполагалось, что У " . При V Е выражение (3.24) сохранит свой вид при условии, что в (3.24а) сделана замена . Соотношение между 2? & и е & может быть произвольным. Если st CL -е& , то в выражении (3.24) следует положить V = 0. Можно показать, что формула (3.24) с 1/=0 остается справедливой и при afe& i (но / 1). При V 0 знаменатель формулы (3.24) обращается в нуль при некоторых значениях энергии, что приводит к резонансным пикам в энергетической зависимости сечения рассеяния. Положения - 80 и ширины резонансов рассмотрены в следующем разделе, а сейчас мы рассмотрим области энергий, далекие от резонансов. Как видно из (3.24), при е& -Ї можно ограничиться лишь одной фазой с моментом F = 3/2. В случае простой зоны условие iCg&«i также означает, что можно ограничиться одной фазой, соответствующей рассеянию с нулевым орбитальным моментом. Как известно, сечение рассеяния дается в этом случае выражениями f-.kXd1 , V»tZ/ tried1 (3.25) Г. р( )\ V p (3.26) Формула (3.25) соответствует рассеянию на жесткой сфере. Формула (3.26) получается в борновском приближении, а условие V «%г/гп &ь - есть условие его применимости при (?#- Ї Анализ формулы (3.24) показывает, что для рассеяния электронов в бесщелевом полупроводнике выражения (3.25) и (3.26) неприменимы. Оказывается, что борновским приближением можно пользоваться лишь при выполнешш гораздо более жесткого условия у « ym hd% при Е«ЪУтн(ьг или V -E при "hx/irih&z & Е - Ъл /м-е(Ъл . В этом случае из формул (3.24) и (3.17) получим 0 Т" [ t3- I (3.27) что в два раза меньше, чем в случае простой зоны. Этот же результат получен в приложении 4, где построено борновское приближение для рассеяния электрона в бесщелевом полупроводнике на потенциале произвольного вида.
Вклад в сечение рассеяния при &# » определяется большим числом фаз рассеяния с разными моментами f7. Таким образом, в рассматриваемом приближении можно написать откуда и следует формула (3.30). Конечно, все эти рассуждения теряют силу применительно к тем членам, для которых F " е& и где неправомерна ни одна из употребленных нами аппроксимаций функций Тр и Np . Однако чем больше величина е& и чем больше членов содержит сумму (3.35), тем меньшую роль играет эта небольшая группа членов и тем, следовательно, меньше ошибка нашего приближения в целом. На рис. 9 приведена схема, на которой указано, чему равно сечение рассеяния при всех значениях энергии и параметрах ямы.
Зонная структура наиболее изученного из этих материалов - твердого раствора /$/-»& ;& - в приближении виртуального кристалла описывается моделью Кейна с величиной Воь , представляющей расстояние между экстремумами зон симметрии Гб и /V , монотонно изменяющейся в зависимости от состава X от Еа - -300 мэв для X = 0 до В а =+1,6 эв для X = 1 (рис. Ї, см., например, [61,79,83 ] ). Величина Еа меняет знак в области составов Z ъ 0,16 при низких температурах. В бесщелевой фазе, т.е. при # 0,16, в приближении виртуального кристалла при нулевой температуре уровень Ферми проходит через точку касания валентной зоны и зоны проводимости, - в идеальном кристалле при нулевой температуре нет носителей. Между тем, учет флуктуации состава, как показано в разделе 3 настоящей главы, приводит к появлению в образце свободных электронов и локализованных дырок в равном количестве. Это связано с тем, что в бесщелевом полупроводнике хвосты плотности состояний валентной зоны и зоны проводимости, обусловленные флуктуациями состава, перекрываются. В бесщелевых полупроводниках эффективная масса в в валентной зоне ть много больше эффективной массы в зоне проводимости Ме Следовательно, хвост плотности состояний валентной зоны гораздо мощнее хвоста плотности состоянии зоны проводимости. Поэтому в твердом растворе уровень Ферми поднимается в зону проводимости вследствие условия электронейтральности. В образце появляются свободные электроны и локализованные дырки.
Реально твердые растворы бесщелевых полупроводников часто обладают остаточными электронами и имеют проводимость металлического типа. Существование остаточных носителей может быть объяснено наличием в образце соответствующего количества электрически активных центров - доноров и акцепторов. Однако, как показано в разделе 2, такая донорно-акцепторная модель, предложенная Эллиоттом и др. в 1972 г. [62], содержит ряд противоречий.
