Содержание к диссертации
Введение
2. Методы и модели теории горячих носителей в твердых растворах
2.1 Введение Т2
2.2. Полуклассическое приближение в теории горяних электронов 13'
2.3 Решение кинетического уравнения в случае слабых внешних полей
2.4 Методы теории горячих электронов 20
2.5 Взаимосвязь метода итераций и метрда Монте-Карло 27
2.6 Структура зоны проводимости твердых растворов полупроводников А%* 30
2.7 Механизмы рассеяния электронов в ТРП А'Ъ 37
3. Реализация метода монте-карло для изучения вольт-амперных характеристик и низкополево! подвижности в твердых"растворах полупроводников 45
3.1 Введение 45
3.2 Алгоритм вычисления ВАХ полупроводников методом Монте-Карло 45
3.3 Вычисление низкополевой подвижности методом виртуальных электронов 52
3.4 Пакет программ СПЛАВ для изучения кинетических процессов в твердых растворах методом Монте-Карло 61
4. Вольт-амперные характеристики и отрицательная диффе ренциальная проводимость в твердых растворах полупро водников 68
4.1 Введение 68
4.2 Теоретические и экспериментальные исследования проблемы горячих электронов в твердых растворах А%5. 71
4.3 Вольт-амперные характеристики твердых растворов 75
4.4 Функция распределения горячих электронов в непараболической долине 86
4.5 Отрицательная дифференциальная проводимость
горячих электронов в непараболической долине 95
5. Вычисление низкопожвых кинетических коэффициентов с использованием эффективного времени релмсации электронов при рассеянии на полярных оптических фононах 104
5.1 Введение 104
5.2 Температурная зависимость н.изкополевои подвижности при рассеянии на ПОФ Юб
5.3 Вычисление НПКК вариационным методом '. х12
5.4 Эффективное время релаксации при рассеянии на полярных оптических фононах ІГ7
5.5 Пакет программ ПВР для расчета НПКК и анализа соответствующих экспериментальных данных 124
5.6 Вычисление НПКК с использованием ЭВР 129
6. Определение потенциала рассеяния на сплаве по низко полевым кинетическим коэффициентам твердых растворов 138
6.1 Введение 138
6.2 Определение потенциала PC температурной зависимости подвижности и термоэдс 139
6.3 Влияние PC на низкополевые кинетические коэффициенты I5T
7. Заключение 158
Литература
- Решение кинетического уравнения в случае слабых внешних полей
- Вычисление низкополевой подвижности методом виртуальных электронов
- Вольт-амперные характеристики твердых растворов
- Эффективное время релаксации при рассеянии на полярных оптических фононах
Введение к работе
Последнее десятилетие отмечено впечатляющими успехами твердотельной электроники и связанных с ней областей техники [I] . Одним из важнейших факторов, лежащих в основе достижений твердотельной электроники является широкое использование новых полупроводниковых материалов. В первую очередь это относится к полупроводникам группы А% . Однако подробное изучение физических свойств немного-численных бинарных соединений А В показало, что полезными для использования в СВЧ электронике можно считать только 9йЛз и InP . В последние годы большие надежды связываются с использованием твердых растворов полупроводников (ТРП) к Ъ . Практическое освоение одних только тройных ТРП позволит получить огромное разнообразие материалов с самыми разными физическими свойствами. Интересной и очень важной представляется возможность целенаправленного создания кристаллов с наперед заданными- характеристиками.
Широкое и немедленное использование ТРП РРв сдерживается рядом обстоятельств. Разработка технологии получения достаточно качественных кристаллов ТРП является очень сложной задачей, требующей для своего решения значительных затрат времени и средств. Поэтому необходимо сосредоточить усилиятехнологовна получении наиболее перспективных составов ТРП, обладающих преимуществами по сравнению с традиционно используемыми материалами. Возникает проблема выявления оптимальных ТРП и оценки их электрофизических возможностей. Из-за трудностей, связанных с получением качественных ТРП, систематическое изучение свойств огромного многообразия этих веществ чисто экспериментальным путем нельзя признать перспективным направлением в решении проблемы. В связи с этим становится особенно актуальной необходимость построения количественной теории кинетических свойств ТРП с учетом деталей зонной структуры и механизмов рассеяния. На основе этой теории появится воз -5 можность надежного прогнозирования свойств ТИ1 и теоретического выявления наиболее перспективных материалов. Теория кинетических свойств ТРП будет полезна и при решении чисто технологических задач, поскольку знание теоретического "потолка" электрофизических характеристик кристаллов может служить основой при оценке их качества и необходимости дальнейшего улучшения технологии их получения,"
В настоящее время в твердотельной СВЧ электронике занимает заметное место целый ряд приборов, принцип действия которых использует Н - образную вольт-амперную характеристику (ВАХ) некоторых полупроводников. Важнейшим представителем такого рода устройств является диод Ганна, который сам по себе может быть использован как генератор, усилитель и т.д. Улучшение характеристик диода Ганна стимулирует развитие сразу нескольких направлений в СВЧ электронике. В дальнейшем мы сосредоточим свое внимание на изучении возможности использования ТРП Р?Ф Для создания твердотельных элементов типа диода Ганна.
Построение теории полупроводниковых приборов из первых принципов представляет собой сложную задачу. Однако знание зависимости скорости дрейфа электронов от величины приложенного электрического поля Vnn(E) позволяет описать широкий круг явлений в рамках относительно простых феноменологических моделей [2-4]. Поэтому знания V0D(E) достаточно для оценки перспективности данного полупроводникового материала при создании диода Ганна. В настоящей работе мы будем рассматривать только такие ситуации, когда плотность электронного газа в полупроводнике остается постоянной, В этом случае зависимость Vnn(E) принято для краткости называть ВАХ, имея в виду строгую пропорциональность соответствующих величин. Ниже мы будем использовать этот термин, образная ВАХ является нелинейной характеристикой электрон -6 ного газа и возникает только в достаточно сильных электрических полях. Поэтому при расчете ВАХ возникает необходимость рассматривать существенно неравновесные состояния сильно разогретого элект- ронного газа (так называемых горячих электронов). По самой сути задачи прогнозирования свойств ТРП метод расчета должен быть надежным, точным и обладать высокой общностью. Этим требованиям не удовлетворяют традиционные методы кинетической теории, поэтому при решении поставленных выше задач используются современные численные методы теории горячих электронов (главным образом, метод Монте-Карло).
Выбор оптимальных составов ТРП требует изучения кинетических свойств огромного числа материалов. Расчет ВАХ стал стандартной задачей, причем для ее решения все чаще привлекаются специалисты технического профиля. Однако разработка программного обеспечения расчетов на ЭВМ представляет собой непростую задачу и требует как высокого качества программирования, так и применения специальных методов оптимизации программ. Это обусловлено рядом трудностей, на которые наталкивается реализация численных методов.теории горячих носителей. Главной из них является необходимость огромных затрат машинного времени, чтобы эти методы, статистические по своей сути, дали результаты с необходимой точностью. В целом не вызывает сомнения необходимость разработки универсального базового комплекса программ, который решал бы стандартные задачи прогнозирования кинетических свойств ТРП в автоматическом режиме и, кроме того, обладал возможностями постоянного расширения круга решаемых задач.
Наряду с высокой практической ценностью ТРП А%5 вызывают большой интерес с чисто физической точки зрения, Изучаемые твердые растворы изовалентного замещения представляют собой пример слабо неупорядоченной среды. Подробное исследование такого рода промежуточных систем может оказаться полезным при решении общей проблемы разупорядоченных твердых тел.В ТРП А%5 --влияние непериодичности кристаллического потенциала на состояние электрона удается учесть введением дополнительного механизма рассеяния. Это рассеяние на неупорядоченностях кристаллического потенциала принято называть рассеянием на сплаве (PC). Наличие PC, наряду с многообразием зонных структур, представляет собой главное отличие ТРП от бинарных соединений с точки зрения кинетических явлений. Поэтому построение реалистической модели PC и изучение влияния этого механизма рассеяния на процессы переноса становится центральной проблемой при создании теории кинетических процессов в ТРП. Наличие интенсивного PC может приводить не только к количественным изменениям электрофизических характеристик полупроводника, но и способствовать появлению качественно новых эффектов. В частности, в ряде ТРП предсказывается существование нового механизма образования отрицательной дифференциальной проводимости (ОДП) [5-7].
Для не терпящего отлагательства решения задач прогнозирования кинетических свойств ТРП решение сложной проблемы построения точного потенциала PC не является, вообще говоря, необходимым. Поскольку нас в первую очередь интересуют достаточно грубые характеристики состояния электронного газа, то для учета PC в этом случае достаточно простых феноменологических моделей, рассеивающего потенциала. Наиболее распространенной является модель PC, в которой рассеивающий потенциал аппроксимируется прямоугольной сферической потенциальной ямой глубины U , Эффективный потенциал LI является единственным подгоночным параметром теории. Без знания этого параметра невозможно построение количественной теории процессов переноса в ТРП. В настоящее время наиболее реальным путем определения U является анализ имеющихся эксперим&тальных данных по низкополевым кинетическим коэффициентам (НПКК) твердых раство - 8-. ров. Однако реализация этой программы наталкивается на затруднения, которые носят достаточно общий характер.
Хорошо известно, что изучение НПКК, наряду с оптическими измерениями, представляет собой важнейший источник информации об идущих в полупроводнике процессах. Проверка теории всегда в конечном счете сводится к вычислению кинетических или оптических характеристик и сравнению их с экспериментом. Поэтому очень важной становится проблема точного расчета НПКК для конкретных экспериментальных условий. С другой стороны, непосредственному измерению в эксперименте допустимы, как правило,- не сами НПКК, а некоторые производные величины. Дальнейший их перерасчет в определяемые параметры ТРИ производятся на основе элементарной теории, что привносит большие погрешности. Оба затрудения могут быть преодолены только при наличии простого, точного и достаточно общего метода расчета НПКК. Анализ существующих методов расчета НПКК показывает, что ни один из них не удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Поэтому развитие соответствующей процедуры расчета совершенно необходимо для достоверного определения потенциала PC.
По структуре зоны проводимости практический интерес в пер вую очередь представляют 9а 1п х А$ и PaJn #. Экспериментально они изучены лучше других ТРП А%5. Имеющиеся немногочисленные теоретические работы по этим материалам носят предварительный характер и не учитывают важнейший фактор - наличие PC (см.?§ .2).
Целью настоящей диссертационной работы является изучение кинетических характеристик твердых растворов полупроводников АгВг и оценка возможности их применения в твердотельной СВЧ электронике (на примере axIni_xAs и Guy In 36 ). Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих основных задач:
1. Рассчитать BAX твердых растворов (гах1п _хА$ и 9ау In SS для практически интересных ситуаций. Исследовать влияние PC на ВАХ и функцию распределения горячих электронов в этих ТРП.
2. Изучить особенности механизма образования СЩП в непараболической центральной долине зоны проводимости ТРП при наличии PC.
3. Развить эффективный метод расчета основных НПКК в полупроводниках А%5 и ТРП на их основе в рамках приближения времени релаксации. Изучить возможность введения феноменологического времени релаксации при описании рассеяния электронов на полярных оптических фононах.
Исследовать возможность определения потенциала PC по измеренным НПКК твердых растворов.
5. Развить программное обеспечение расчетов ВАХ и НПКК твердых растворов полупроводников А"% .
Диссертация состоит из семи глав, первая - введение, основное содержание излагается в главах со второй по шестую, седьмая глава - заключение.
Во введении обсуждается актуальность решаемых в диссертации задач, формулируются цели работы и основные защищаемые положения.
Вторая глава носит в основном обзорный характер и посвящена обсуждению методов и моделей теории горячих электронов в ТРП. Рассматриваются методы решения кинетического уравнения в случае слабых и греющих электрических полей. Обсуждаются существующие представления о структуре зоны проводимости и механизмах рассеяния в ТРП Рассматривается обнаруженная взаимосвязь основных численных методов теории: метода Монте-Карло и итерационного метода Риса.
В третьей главе описана использованная в расчетах реализация метода Монте-Карло. Предложен метод виртуального электрона для вычисления низкополевой подвижности электронов с минимальными затратами ресурсов ЭВМ. Кратко обсуждается базовый пакет программ
СПЛАВ для изучения кинетических процессов в полупроводниках А%5 и твердых растворах на их основе.
В пятой главе диссертации построено эффективное время релаксации при рассеянии электронов на полярных оптических фононах. Приведены сведения о разработанном пакете программ ПВР для расчета основных НПКК и ПОДРОНКИ некоторых параметров полупроводников по экспериментальным данным.
Шестая глава посвящена определению потенциала PC в 9алІпі_хЛ$ по температурным зависимостям холловской подвижности и термоэдс. Обсуждаются другие возможности определения параметра U .
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, обсуждаются ее возможные применения и дальнейшее развитие исследований.
Защищаемые положения включают следующие основные результаты и выводы работы:
I. Результаты расчета ВАХ твердых растворов ах In _x Js и &а„ In. ,. SS в зависимости от состава, температуры решетки и концентрации ионизированной примеси. Изменения ВАХ под действием внутри- и междолинного PC. Оптимальные для создания диодов Ганна составы этих ТИІ и их электрофизические параметры.
2. Результаты численного расчета двумерной функции распределения горячих электронов в электрическом поле при кейновском законе дисперсии. Показано, что распределение электронов по скоростям имеет следующие особенности:а) почти изотропно; б) подавляющее число электронов имеет скорость, близкую к предельной.
5. По температурной зависимости подвижности нельзя определить потенциал PC и с необходимой точностью. Предлагается подгонять потенциал PC по температурной зависимости магнетосопротивления.
6. Метод виртуальных электронов для расчета низкополевой подвижности.
7. Пакеты программ СПЛАВ и ПВР для расчета ВАХ, функций распределения, основных НПКК и анализа экспериментальных данных по НПКК в полупроводниках АгВ? и ТРП на их основе.
Решение кинетического уравнения в случае слабых внешних полей
Состояние электрона в твердом теле удобнее всего описывать в приближении эффективной массы [8]. В этом приближении движение электрона в строго периодическом кристалле можно рассматривать как свободное и описывать обычным для классической механики образом с заменой массы электрона на эффективную массу и импульса на квазиимпульс. В реальных кристаллах различного рода нарушения периодичности кристаллического потенциала (фононы, примеси, структурные дефекты решетки) являются источниками рассеяния (изменения состояния) частиц. Динамику электрона под действием внешних сил также можно описать полуклассически в приближении эффективной массы. В этом случае внешние поля являются второй причиной изменения состояния электрона.
Полуклассическую кинетическую теорию принято строить в терминах функций распределения (ФР). Для описания газа электронов в отсутствие корреляций между частицами используется одночастичная ФР которая, по определению, равна вероятности заполнения состояния в момент времени квазиимпульс, координаты частицы). Функция распределения позволяет вычислить среднее по ансамблю значение любой микроскопической величины и в этом смысле описывает все кинетические свойства электронного газа.
Как отмечалось выше, основная задача полуклассической кинетической теории сводится к нахождению ФР при различных внешних возмущениях. Неравновесная ФР существенно зависит как от устройства системы (закон дисперсии, механизмы рассеяния электронов так и от вида и величины внешних возмущений), Напротив, равновесная ФР для всех систем фермионов одна и та же, а именно - ФР Ферми-Дирака , где - энергия, энергия Ферми, /( -постоянная Больцмана, f - температура. Неравновесная ФР является решением кинетического уравнения Больцмана, которое представляет собой условие баланса числа частиц в фазовом пространстве [9] где W(k,k ) - интенсивность переходов к — к , F " суммарная внешняя сила, V - г V-r-в - скорость электрона.
Уравнение Больцмана само по себе является приближенным и может быть использовано при выполнении ряда условий. Важнейшим из них является пренебрежение многочастичными взаимодействиями, которое хорошо выполняется для электронного газа полупроводников, где ха-рактерная концентрация электронов 10 ч 10 см . Далее, каждый акт рассеяния должен быть локализован в пространстве и во времени, не должен зависеть от внешних сил и других механизмов рассеяния [10] Выполнение этих условий позволяет получить для Р локальное во времени и пространстве кинетическое уравнение. Рассмотрим те условия применимости полуклассического подхода к теории горячих электронов, которые будут существенны для нас в дальнейшем. Эти условия можно сформулировать следующим образом [9-12]. 1. Для существования разумной Р необходимо, чтобы электрон был достаточно локализован в фазовом пространстве. Другими слова ми, неопределенность в квазиимпульсе и координате должна быть мно го меньше характерных значений этих величин. Это требование огра ничивает время свободного пробега электрона 2.2.2) Характерное значение Т в условиях разогрева 10 1С Ю с,
2. Для того, чтобы в уравнении Больцмана пользоваться не зависящими от времени интенсивностями перехода W (к , ), необходимо, чтобы время соударения Тс « t . Далее, закон сохранения энергии в акте рассеяния будет иметь место, если неопределенность в энергии AS квТ. Объединение этих требований опять приводит к соотношению (2.2.2). Выполнение (2.2.2) обеспечивает возможность классического описания состояния электрона и локализацию во времени и пространстве акта рассеяния.
3. В уравнении Больцмана существенно используется приближение эффективной массы. Область применимости этого приближения ограничивается малыми и медленно меняющимися, по сравнению с полем решетки, внешними электрическими полями [8]. Другими-словами, работа внешнего электрического поля на характерной длине решетки должна быть много меньше характерной энергии спектра
Вычисление низкополевой подвижности методом виртуальных электронов
В настоящее время метод Монте-Карло превратился в основной метод изучения кинетических свойств твердых тел и используется при решении широкого круга задач. Универсальность метода должна находить свое отражение в программном обеспечении расчетов. В этом отношении разумным представляется создание банка программ и соответствующих данных для обеспечения расчетов кинетических свой-ств твердых тел методом Монте-Карло. Наличие банка программ будет полезно в следующих отношения:
1. Разработка оптимизированных и тщательно проверенных программ в рамках метода Монте-Карло является сложной задачей, требующей для своего решения больших затрат времени и средств. Наличие банка программ резко ускорит распространение методов имитационного моделирования в среде исследователей.
2. Банк программ позволит накапливать программы, решающие различные виды задач, и тем самым предоставит все имеющиеся возможности каждому исследователю. Для решения этой задачи необходимо обеспечить совместимость всех программ банка.
3. Расчет кинетических свойств достаточно изученных полупроводников превратился, по существу, в инженерную задачу. По мере освоения ТРП число таких расчетов многократно возрастает. Банк . программ позволит проводить соответствующие расчеты специалистам технического.профиля.
Возможности создания банка программ для расчетов по методу Монте-Карло в настоящее время ограничены. Стремясь уменьшить необходимые затраты машинного времени, большинство исследователей создает достаточно частные, ориентированные на конкретную задачу и конкретную.ЭВМ, программы. Такой подход, хотя и позволяет оптимизировать процесс вычислений, обладает рядом недостатков. 7шіт кальность программ й обилие частных модификаций алгоритма не позволяет использовать эти программы или достаточно большие их части для решения других задач. Отклонения от исходного алгоритма моделирования приводят к потере наглядности программ,- что затрудняет их понимание. Отсутствие структуры программного обеспечения вызывает необходимость постоянных переделок работающих программ при изменении круга решаемых задач.
Имея в виду преодоление отмеченных выше недостатков, мы разработали пакет программ СПЛАВ для расчета кинетических свойств бинарных соединений А%5 и твердых растворов на их основе. Главной особенностью пакета является его модульный характер в целом и последовательно выдержанная структура всех модулей по отдельности. Пакет ориентирован на широко распространенные ЕС ЭВМ, причем проведенная оптимизация программ позволяет эксплуатировать .пакет СПЛАВ на всех моделях этой серии.
В настоящее время пакет программ СПЛАВ позволяет решать следующие задачи: 1. Расчет зависимости Vgp(E) и полевой зависимости средней энергии электронов для многодолинного полупроводника при параболическом и кейновском законах дисперсии, учете широкого набора механищмов рассеяния и произвольной степени вырождения электронного газа. 2. Расчет низкополевой подвижности при тех же условиях. 3- Расчет и анализ двумерных функций распределения электронов в постоянном электрическом поле.
Пакет программ СПЛАВ состоит из 25 подпрограмм, написанных на языке ФОРТРАН-4. Общий объем пакета составляет более 2000 операторов и около 500 строк комментариев. Структура пакета СПЛАВ полностью соответствует структуре алгоритма моделирования методом Монте-Карло (рис. 3.2). Каждый модуль представляет собой относительно независимую физическую подзадачу. Рассмотрим функции отдельных групп модулей.
2. Директивные модули служат для постановки задачи ЭВМ и формирования модели полупроводника. Для постановки задачи следует указать вычисляемые величины, конфигурацию и величину внешних полей. Построение модели полупроводника заключается в выборе модуля для расчета параметров зоны проводимости (тройной или четверной ТРП); выборе числа долин, закона диспзрсии и наиболее существенных механизмов рассеяния.
Вольт-амперные характеристики твердых растворов
Для изучения процессов, приводящих к образованию КОДП, мы рассчитали методом Монте-Карло наиболее информативную характеристику состояния электронного газа - ФР. В случае КОДП наличие верхних долин сказывается, главным образом, на величине VH . Поэтому для изучения явлений в околопороговой области мы ограничились рассмотрением модельной задачи: однодолинной полупроводник с кейновским законом дисперсии в постоянном электрическом поле. Учтено рассеяние на полярных оптических и акустических фононах, PC. Все расчеты проведены для реального твердого раствора - &&05Іп05А$ . Внешние условия выбраны типичными для эксперимента: температура комнатная, величина электрического поля Е =10 кВ/см соответствует середине падающего участка ВАХ.
Вычисление ФР проведено с помощью пакета программ СПЛАВ. Для уменьшения вычислительных погрешностей при расчете ФР вероятности переходов для всех механизмов рассеяния были протабулиро-ваны подробнее (шаг по энергии І0К) и в более широком интервале энергий (0 6 эВ), чем обычно. ФР по квазиимпульсам J (к) вычислялась обычным для метода Монте-Карло методом. Существенная часть зоны Бриллюэна вблизи дна долины разбивалась на 20 10 ячеек таким образом, чтобы ячейки с отличными от нуля вероятностями заполнения составляли примерно 25% от общего числа и были расположены в центре матрицы ФР. Тем самым исключалась зависимость ФР от параметров программы (граничной энергии, выбора матрицы ФР и т.д.:). Всего было рассмотрено 3 10 реальных актов рассеяния, что обеспечило необходимую точность. Расчет занял 30 мин. машинного времени на ЭВМ EC-I033 и требовал стандартный объем оперативной памяти 512 кбайт.
Состояния электронного газа в однородном электрическом поле . обладают аксиальной симметрией, поэтому ФР естественно строить в цилиндрической системе координат. Будем считать, что оси кп и к. ориентированы относительно направления электрического поля Е . Тогда f(kirkj)- ift Fik) , где F(k) -$Рв декартовой системе координат. Все остальные распределения электронов вычислялись по /(к) Здесь и далее под распределением понимается ФР, умноженная на соответствующую плотность состояний.
Для проверки правильности работы программы была вычислена ФР в слабом поле Е =1 кВ/см = сЕп. На рис. 4.10 с помощью линий постоянного значения изображена двумерная ФР J(kink,). Крестиком обозначено максимальное значение f(k ,к.) . Соответствующее распределение по компонентам скорости очень похоже на Як ,к) » поскольку при 7 =30ОК только для % электронов сС 0Д и нелинейность зависимости V(k) роли не играет. На рис. 4.II и 4.12 приведены распределения N(Vn), M(Vj), где по отсутствующим переменным проведено усреднение. Здесь же для сравнения приведены соответствующие равновесные максвелловс-кие распределения. В целом рассчитанная ФР в слабом поле представ ляет собой дрейфующее максвелловское распределение.
Двумерные распределения по компонентам квазиимпульса и скорости в поле Е =10 кВ/см приведены на рис. 4.13 и 4.14. ФР f(k fkjno виду существенно не изменилось (отметим, что масштабы на рис. 4.10 и 4.13 разные). Зато распределение N(V,I VJ) в указанных условиях имеет специфический "саблеобразный" вид (рис. 4.14). Для нас представляют интерес две следующие его особенности. 1. Подавляющее число электронов имеет скорость, близкую по величине кИво(рис. 4.14 и 4.17). 2. Распределение электронов почти изотропно (рис. 4.I4-4.I6).
Наличие выраженного максимума распределения N(VH1Vj) вблизи точки (У„ 0, V-V vi увеличение высоты горбов на рис. 4.16 обусловлено использованием цилиндрической системы координат.
Первая особенность распределения электронов обусловлена не-параболичностью закона дисперсии в условиях сильного разогрева электронного газа. Действительно, при Е=10кВ/см r= MsэВ и ?6 ? =0,43, так что характерная скорость V«» составляет Ъ5% от V .
Изменение анизотропии распределения электронов с ростом поля удобнее всего увидеть на зависимости N(B) , где угол 6- k Е (рис. 4.18). Для равновесных состояний NIQ) ЗІпВ . Из рис. 4.18 следует, что анизотропия распределения электронов в сильных полях уменьшается. Это результат действия сильно хаотизирующего рассеяния на сплаве, интенсивность которого быстро растет с энергией электронов. В результате хаотизации число электронов, движущихся вдоль (6-0) и против (6 = Л) электрического поля, примерно одинаково в сильных полях (рис. 4.I5-4.I6).
Для наших целей представляет интерес изучение влияния PC на ФР. В рассматриваемых условиях средние энергии электронов велики,и PC является преобладающим механизмом рассеяния. Для электронов с энергией 0,2; 0,4;.0,6; 0,8 эВ доля PC составляет 24; 34; 41; 47$ соответственно. Главной особенностью PC с точки зрения кинетических процессов является его хартизирующий характер. Без учета PC распределение.электронов становится заметно анизотропным (рис. 4,15-4.20).
Эффективное время релаксации при рассеянии на полярных оптических фононах
В 5.2 было показано, что низкотемпературное приближение времени релаксации дает близкую к действительной температурную зависимость НП. Однако не следует переоценивать общности полученного результата. Строго говоря, получено, что величина Т10) нужным образом зависит от температуры в широком интервале температур. Отсюда совсем не следует, что и все остальные средние вида Хт Шпу имеют правильную температурную зависимость. Например, фактор Холла, соответствующий времени релаксации f (5.2.3),равен единице и от температуры не зависит, что неверно (см. рис. 5.7). Из результатов 5.2 не следует также, что t можно использовать для расчета НП в присутствии других механизмов рассеяния, так как в этом случае усредняется сложная комбинация времен релаксаций и вклад ПОЗ? не определяется величиной Т
С учетом этих замечаний задачу нахождения ЭВР электронов при рассеянии на ПОФ можно сформулировать следующим образом. Необходимо построить такую функцию 9фф(Т,х) , которая обеспечила бы правильную температурную зависимость для как можно большего числа средних Х $(р(р , Получить правильные значения для всех средних в прин -ципе невозможно, поскольку это свидетельствовало бы о существовании реального времени релаксации для ПОФ. Если Т.$рр позволит получить правильные значения нескольких средних одновременно, то, вероятно, оно имеет в основном правильную температурную и энергетическую зависимости. Это является основанием для его использования в рамках приближения времени релаксации при наличии других механизмов рассеяния. Однако решающим аргументом в пользу широкого применения ЭВР, как и других феноменологических построений такого рода, может служить лишь высокая точность результатов при его практическом использовании.
Попытки получить единое для нескольких НПКК ЭВР предпринимались неоднократно. Первой и наиболее известной является работа Эренрайха [96]. Основной вывод Эренрайха заключался в невозможности введения единого ЭВР для нескольких основных НПКК одновременно и стал на долгое время общепринятой точкой зрения. Из сравнительно новых работ следует отметить результаты Харрисона и Хаузера [Ч2\, Обе эти работы будут подробно обсуждены ниже. Мы не упоминаем здесь целую группу работ, где вид ЭВР постулировался без какого либо серьезного обоснования.
Получим ЭВР в случае параболического закона дисперсии. Искомая функция щф(Т,х) должна переходить в асимптотические времена релаксации Т(о (Т,х) и ї (Т,х) в соответствующих интервалах температур. Удовлетворить это требование можно разными способами. Проще всего представить зірір в виде какой-либо комбинации тм и Г К" Например, выражение дает точные значения НП во всем интервале температур, но, как легко убедиться, приводит к неправильным значениям фактора Холла и термо-эдс. Одна только асимптотическая правильность Гддо не может служить основание для его использования.
ЭВР можно построить по аналогии с временем релаксации для других неупругих (но рандомизирующих) механизмов рассеяния - междолинных и. неполярных оптических фононов. Следуя этому подходу, Харрисон и Хаузер пришли к ЭВР вида [Ч2\ где 8(х) Функция Хэвисайда.
Мы при получении ЭВР опирались на результаты полученные в 5.2. Поскольку низкотемпературное приближение для времени релак -ІІ9 сации имеет широкую область применимости, то естественно выбрать ЭВР в виде Z(0) (5.2.3) с учетом возможной зависимости от энергии. Для большинства механизмов рассеяния характерна степенная зависимость от энергии. Тогда ЭВР можно представить в виде подгоночный параметр, зависящий от температуры, причем известна его асимптотика
Однако тогда при 7—« » Т9фф Т /? , т.е. имеет неправильную высокотемпературную асимптотику. Этот дефект можно исправить если ввести еще один подгоночный параметр f(z) Можно предложить много функций, удовлетворяющих (.5.4.4), например, lfU)-(i+l )2К , где К =1,2,3 ... В любом случае выбор У (г) скажется на зависимости /7/г) . Отметим, что оба подгоночных параметра не зависят от параметров полупроводника и носят универсальный характер.
