Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Поглощение акустических волн в примесных диэлектрических кристаллах со сложной элементарной ячейкой . 34
1. Исходные положения 34
2. Вывод выражения для времени релаксации фононов на примесях в сложном диэлектрическом кристалле 39
3. Свойства функции спектральной плотности квадрата смещения примесного атома 42
4. Анализ зависимостей коэффициента поглощения поперечного звука от характеристик замещающих и замещаемых атомов и от температуры 46
5. Численные оценки для случая двухатомного кристалла 56
ГЛАВА II. К теории поглощения звжа в примесных диэлектрических кристаллах. квантово-механическое рассмотрение 60
1. Исходные уравнения 61
2. Вывод выражений для локальньос тензора давления и плотности энергии 62
3. Связь между коэффициентом поглощения звука и двухчастичной функцией Грина 65
4. Вычисление мнимой части фурье-образа двухчастичной запаздывающей функции Грина 69
5. Анализ полученных результатов 76
ГЛАВА III. Хобенности в частотной и температурной завйсимхтях коэффициента поглощения акус тических волн в диэлектрических кристал лах с примесями 80
1. Поглощение продольного звука в диэлектрических кристаллах с рэлеевскими рассеивающими центрами 81
2. Анализ температурной зависимости коэффициента поглощения продольных акустических волн 88
3. Качественное описание характера поглощения звука в примесных диэлектрических зхристаллах 91
Заключение. 93
Литература
- Вывод выражения для времени релаксации фононов на примесях в сложном диэлектрическом кристалле
- Анализ зависимостей коэффициента поглощения поперечного звука от характеристик замещающих и замещаемых атомов и от температуры
- Вывод выражений для локальньос тензора давления и плотности энергии
- Анализ температурной зависимости коэффициента поглощения продольных акустических волн
Введение к работе
После разработки эффективны?: методов генерации и приема акустических волн (АВ) гигагерцового диапазона частот, экспериментальные работы по гиперзвуку стали интенсивно развиваться. К числу первых экспериментальных работ, посвященных исследованию поглощения АВ СВЧ диапазона, следует отнести эксперименты по изучению температурной зависимости коэффициента поглощения продольных и поперечных АВ в кристаллах кварца / I - 3 / и германия / 4,5 /. Температурнозависимая часть поглощения объяснялась фо-нон-фононным взаимодействием . Эти работы послужили толчком для дальнейшего развития теории взаимодействия упругих волн с тепловыми колебаниями решетки. Результе.ты проведенных исследований открыли новые возможности для получения разнообразной информации о свойствах фононов. Таким образом, был реализован, широко использующийся в настоящее время, новый метод исследования кинетики фононных систем, который заключается в изучении характера распространения когерентной высокочастотной АВ в диэлектричес-
I) ких кристаллах .
Другим, практически важным, аспектом таких экспериментов является то, что гиперзвуковые волны широко используются в различных устройствах обработки информации. Одной из основных причин, препятствующих созданию высокоэффективных приборов, использующих высокочастотные АВ, является большое затухание гиперзвука при комнатных температурах. Поэтому важная прикладная задача
Диэлектрические кристаллы являются наиболее удобным объектом для исследования взаимодействия АВ с тепловыми фононами. В других твердых телах в поглощение АВ может вносить существенный вклад взаимодействие звука с другими различными элементарными возбуждениями. - 5 -теории состоит в разработке рекомендаций для целенаправленного поиска ( либо синтеза ) материалов с высокой гиперзвуковой прозрачностью.
Вывод выражения для времени релаксации фононов на примесях в сложном диэлектрическом кристалле
Из сказанного ясно, что для анализа поглощения звука в рассматриваемых кристаллах можно воспользоваться подходом Мариса / 23 /, несколько модифицированным с учетом зависимости времени релаксации фононов на примесях от волнового вектора / 21,22 /. В этом случае коэффициент поглощения дается формулой (B.I).
Легко показать, что как и в случае поглощения АВ в простых кристаллах, поглощение продольных АВ слабо зависит от наличия примесей в кристалле. Этот результат является общим как для поглощения акустическими, так и оптическими фононами ( т.к. формула (В.І) учитывает и вклад оптических фононов в поглощение звука ). Он вытекает из основного предположения теории Мариса, согласно которому релаксация энергии тепловых фононов обусловлена ангар-монизмом, а рассеяние фононов на примесях является квазиупругим.
Остановимся на этом более подробно. Прямым следствием указанного выше предположения является более сильное изменение поглощения поперечных АВ по сравнению с продольными, т.к. для восстановления полного термодинамического равновесия в системе теп ловых фононов, после того как она была возмущена поперечной АВ, достаточно лишь упругого рассеяния фононов на примесях. Это утверждение было доказано экспериментально / 14 /.
Предположение Мариса справедливо только в том случае, если времена фонон-фононной релаксации меняются слабо при внедрении примесей в кристаллическую решетку матрицы, например, из-за незначительной перенормировки упругш: модулей и плотности кристалла. Если же такое изменение окажется существенным (т.е. j: будет зависеть от концентрации примесей ), то вывод об относительной нечувствительности продольной АВ к наличию примесей в кристалле будет неоправданным.
Как указывалось ранее, экспериментальные результаты по поглощению продольных АВ в примесных кристаллах либо соответствуют выводу теории Мариса, либо обнаруживают отчетливую зависимость коэффициента поглощения продольного звука от концентрации приме" сей. Для объяснения последнего эффекта высказывается несколько предположений:
1. Примеси могут влиять на поглощение продольных АВ через изменение упругих модулей третьего порядка, которые определяют эффективную постоянную ангармонизма, в примесном кристалле по сравнению с матрицей / 21-23 /. Это предположение было исследовано экспериментально / 32 / в твердых растворах замещения на основе Y$ А&5 0-/1 » где показано, что при комнатных температурах зависимость коэффицЪнта поглощения продольных АВ от концентрации примесей в основном определяется изменением эффективной константы ангармонизма. При более низких температурах это изменение оказывается несущественным на фоне общего изменения коэффициента поглощения. Отметим, что перенормировка констант ангармонизма не может привести к особенностям на температурной зависимости коэффициента поглощения.
2. Внедрение примесей может сказаться на процессах неупругого рассеяния тепловых фононов, например, из-за комбинированного фонон-примесного рассеяния / 56 /, что приведет к изменению поглощения продольных АВ в примесных кристаллах по сравнению с матрицей
3. Как показано в / 51 /, причиной указанного поведения про-долного звука может являться влияние примесей на корреляцию в движении фононов. Изменение межфононной корреляции может сказаться на поглощении АВ в примесных кристаллах. Для поперечных АВ, распространяющихся в кристалле вдоль направления высокой симметрии влияние корреляционных эффектов оказывается существенно меньшим, чем для п ольного звука, для которого, несмотря на слабое влияние прямого фонон-примесного рассеяния на поглощение, суммарный эффект может быть значительным / 51 /.
По-видимому, все перечисленные факторы действуют в примесных кристаллах одновременно.
В дальнейшем рассмотрим вопрос о поглощении поперечного звука. В этом случае, воспользовавшись (B.I) и результатами работы / 23 /, в которой мы сохраним зависимость времени релаксации фононов от их квазиимпульса, для коэффициента поглощения поперечной АВ получим
Анализ зависимостей коэффициента поглощения поперечного звука от характеристик замещающих и замещаемых атомов и от температуры
Ограничимся рассмотрением случая, когда возникновения дискретных и квазидискретных колебаний не происходит - происходит лишь относительное увеличение статистического веса колебания примесного атома в той или иной области частот. в (1.8) от позиции на которую происходит замещение. Таким образом, например, для того, чтобы получить наи ножителя
I. Наряду с функцией Р# существенное значение для характеристик рассеяния имеет величине, "константы связи". В отличие от простых кристаллов, величина аффективной константы связи в сложных кристаллах зависит не только от относительного изменения массы ( в рамках изотопической модели дефекта ), но и в силу сом По-видимому, эта ситуация подходит и для твердых растворов замещения
Поведение т&л в зависимости от соотношения масс замещающего ( Д ) и замещаемого ( №хл ) атомов. т&л - сплошная линия; Q-e - пунктир. - 48 -более интенсивное рассеяние тепловых фононов на примесях ( и, следовательно, максимальное уменьшение коэффициента поглощения поперечных АВ в области соответствующих температур ), необходимо одновременно удовлетворить двум условиям: а) выбрать примесь так, чтобы спектр имел максимум в указанной области частот; , б) обеспечить относительно большие значения эффективных констант связи.
Ясно, что для реализации второго условия необходимо замещать атомы, которые колеблются, в основном, в указанном диапазоне частот. Применительно к кристаллам Y 4о P/z это, например,означает, что максимальное уменьшение поглощения при легировании кристаллов атомами редкоземельных элементов вместо / имеет место при температурах, соответствующих спектральной области, в которой в основном локализованы колебания тяжелых атомов Y Замещение же атомов Y гораздо более легкими, для того, чтобы существенно сдвинуть спектр в сторону более высоких частот и, тем самым, обеспечить эффективное уменьшение поглощения поперечного звука в области высоких температур, неэффективно, поскольку наряду с указанным сдвигом будет одновременно происходить ослабление константы связи, поскольку вектора поляризации колебания тяжелого атома Y ьелики лишь в низкочастотной области спектра.
Необходимо отметить, что в принципе возможно получить заметное уменьшение поглощения СДВИГОЕИХ волн в сложных кристаллах по сравнению с матрицей в весьма широкой области температур, где реализуется ахиезеровский механизм поглощения. Для этого, в силу вышесказанного, необходимо надлея:ащим образом выбрать ряд нужных позиций замещения и соответствующий набор примесей замещения.
II. Перейдем теперь к более подробному рассмотрению темпера - 49 -турной зависимости коэффициента поглощения поперечного звука в примесных диэлектрических кристаллах со сложной элементарной ячейкой. По прежнему будем рассматривать кристалл с одним типом замещающих атомов. Предположим, что замещаемый атом "привязан" к акустической части спектра, т.е. максимум функции 2# локализован в сравнительно низкочастотной области фононного спектра вблизи частоты и?с U)0MW Рассмотрим случай, когда примесный атом тяжелее атома матрицы, т.е. M#f /%rf . Согласно замечаниям, сделанным в 3, функция / сдвинута относительно fcf в сторону более низких частот. При температурах 7 Тс ( /- температура, при которой энергия существенных фононов имеет порядок
Аи)с ) основную роль в поглощении звука будут играть фононы с частотами СО сОс , т.к. в области максимума f f времена релаксации фононов при рассеянии на примесях малы ( напомним, что мы считаем, что в достаточно широком интервале частот доминирует рассеяние фононов на примесях ). Таким образом, активные в поглощении звука фононы располагаются в области правого "ската" спектральной линии Если в этой области частот спектра йеу убывает по степенному закону, то среднее время релаксации фононов, определяющее коэффициент поглощения звука ( см.(1.2)) будет возрастать с температурой тоже по степенному закону. Действительно, в силу ус-ловия нормировки функций убывает с ростом с )2- быстрее, чем ой 2 , а быстрее, чем S со . Следовательно, в указанном диапазоне температур, температурная зависимость коэффициента поглощения поперечного звука в примесном кристалле будет гораздо более резкой, чем в матрице. При более высоких температурах, в конце концов, рассеяние фононов на примесях становится неэффективным, а поглощение звука стремится к поглощению в матрице. Это связано с тем, что времена фонон-фононной релаксации, определяющие поглощение звука в матрице, убывают с ростом температуры ( напомним, что в рамках рассматриваемой модели температурная зависимость коэффициента поглощения продольного звука точно такая же, как и в матрице ).
В области температур /V Тс с ростом температуры время релаксации фононов на примесях уменьшается, а соответствующая температурная зависимость ослабляется. Схематически, описанная зависимость изображена на рис.1.3 ( предполагается, что область температур Т 7 с уже соответствует ахиезеровскому режиму поглощения ).
Вывод выражений для локальньос тензора давления и плотности энергии
При исследовании поглощения АВ как в идеальных, так и примесных диэлектрических кристаллах эффективным является использование кинетического метода, основанного на уравнении Больцмана для функции распределения фононов, пределы применимости которого определяются условием hu)s Т / 13,25 /, которое практически всегда выполняется в экспериментальной ситуации. При решении этого уравнения обычно используется t -приближение для интегралов фо-нон-фононных и фонон-примесных столкновений, где в качестве фигурирует некоторое среднее время релаксации фононов.
Однако, вследствие чрезмерной упрощенности Г-приближения, из рассмотрения автоматически исключаются процессы, связанные с перераспределением энергии и квазиимпульса между возмущенными АВ фононными модами ( процессы межфононной корреляции, интерференции между фонон-фононным и фонон-примесным рассеянием и т.д.), что, по-видимому, как показано в / 51 /, является причиной, по которой кинетическая теория не может объяснить различия между временами релаксации фононов, определенных из идентичных экспериментов по поглощению продольных и поперечных АВ )( см.,например,/53, 55/ ).
Для изучения указанных процессов в поглощении АВ особый интерес представляет использование теории, свободной от упомянутых трудностей при применении кинетического метода.
Целью настоящей главы является: во-первых - построение последовательной квантовомеханической теории поглощения АВ в примесных диэлектрических кристаллах ( без учета эффектов межфононной корреляции, интерференции между фонон-фононным и фонон-примесным рассеянием ), справедливой как для продольного, так и для поперечного звука любого частотного диапазона;
Здесь U - смещение частиц среды; о/ - тензор упругих напряжений; Є - вектор поляризации АВ. Полный тензор упругих напряжений запишем в виде: ҐС- = -к - о v/ J J где о-- - его термодинамически равновесное значение, a JV» - до v бавка, обушіовленная неравновесностью фононов.
В общем виде выражение для б/- , удовлетворяющее принци-пам причинности и линейности, имеет вид: где - скорость изменения деформации. В квазистационарном пределе ( t s O ) (2.2) переходит в обычное соотношение: тензор коэффициентов вязкости кристалла.
Предполагая, что затухание АВ является малым на расстояниях порядка длины волны звука и используя стандартную процедуру /12/, для коэффициента поглощения АВ из (2.1), (2.2) получим:
Разложим в ряд Тейлора вблизи -jr и огра ничимся первыми двумя членами разложения. Такая процедура аналогична процедуре сглаживания опер&торов по малым неоднородностям порядка радиуса сил взаимодействия между частицами среды, описанной в / 62 /.
В соответствии с вышесказанным, в (2.21) ( и в последующих формулах для &, ю ) для АВ высоких частот, когда локально--равновесное распределение не успевает установиться, следует формально положить пъв -О (в соответствии с условием:
Независимо от этого, как это непосредственно следует из (2.22), частотная и температурная зависимости коэффициента поглощения АВ определяются свойствами функции
Здесь кресты обозначают привесные вершины, каждой из которых ставится в соответствие определенный матричный элемент; пунктиром обозначена процедура усреднения по конфигурациям примесей, так, что двум вершинам с матричными элементами Af t2J и М{з ) соединенным пунктиром, в диаграмме соответствует выражение символ конфигурационного усреднения ). Сплошным линиям сопостаЕляются полные одночастичные функции Грина.
Анализ температурной зависимости коэффициента поглощения продольных акустических волн
Таким образом, при экспериментальном исследовании /Т по-является возможность определить зависимость с (т) в примесном кристалле. Заметим, что tj весьма сильно зависит от концентрации примесей /31/, поэтому изучение зависимости 2jc (с, Т) представляет интерес.
В заключении этого параграфа отметим, что указанные особенности, по-видимому, наблюдались в экспериментах по исследованию поглощения АВ в твердых растворах замещения на основе алюмоит -триевых гранатов /33,55/.
Отметим, однако, что, как было показано в 1, в кристалле с рэлеевскими рассеивающими центрами, левый скат температурного пика не будет отвечать зависимости 0 (т) .
Фонон-примесное взаимодействие связывает лишь фононы одинаковой частоты ( т.е. принадлежащие одной изоэнергетической поверхности ). Таким образом, любое неравновесное распределение фононов в пределах данной изоэнергетической поверхности релаксирует к равновесному ( опять-таки для данной изоэнергетической поверхности ) за время порядка С0 . Следовательно нужно рассматривать две возможные ситуации:
1. Действие АВ на фононную систему вызывает лишь перераспре деление фононов в рамках каждой изоэнергетической поверхности, так, что энергетический баланс между различными поверхностями остается ненарушенным. Такая ситуация отвечает распространению поперечной АВ вдоль одного из высокосимметричных направлений в кристалле. В этом случае релаксация фононов к равновесному состоянию происходит за счет всех процессов релаксации со временем ( 1 -% -- ). Поскольку »« г , то Ре
2. Возмущение , вносимое АВ , вызывает не только перераспре деление фононов внутри каждой изоэнергетической поверхности , но и нарушает энергетический баланс между ними. Так обстоит дело, ког ца речь идет о распространении в кристалле продольной АВ. В этом злучае фонон-примесное взаимодействие устраняет неравновесность в пределах изоэнергетической поверхности быстро ( за время порядка 0 ), однако, это равновесие является локальным в пространстве энергий фононов. Состояние полного термодинамического равновесия устанавливается за счет обмена фононами между различали изоэнергетическими поверхностями, вследствие фонон-фононного взаимодействия , т.е. за время порядка fcr . Таким образом, поглощение продольных АВ в примесном кристалле будет зависеть не от одного, а от двух сильно различающихся между собой времен релаксации 0 и 2 Представим фононную систему как совокупность квазизамкнутых подсистем, каждую из которых составляют фононы одной изоэнергети-ческой поверхности.
При u)s t0 »У изменения в поглощении АВ в примесном кристалле по сравнению с матрицей являются слабыми. В области более низких частот ( u)s t0 . / ) поглощение; определяется свойствами фонон-ной системы ( и ее подсистем ) в целом. При этом в процесс поглощения вносят вклад два механизма:
а) Поглощение, обусловленное возмущением фононов и их релак сацией внутри каждой подсистемы. Очевидно, что вклад этого меха низма поглощения в оО ( обозначим его сб ) есть во всем диапазоне частот u st0 l б) Поглощение, обусловленное модуляцией фононных чисел за полнения в разных подсистемах относительно равновесных значений. Указанный процесс вносит в поглощение АВ свой вклад ( ), ко торый дается классической формулой релаксационного поглощения: При самых низких частотах ( ukf. 4d. ) доминирует, очевидно, второй процесс ъ ot = сб + at - об &)s f . В области частот Zr u)s (totx) рост 1 с частотой замедляется из-за эффек 7" 77" тивной временной дисперсии; оба вклада и сравнивают ся при г= fetj,) 2. При более высоких частотах fafy)
Отметим, что учет влияния длинноволновых фононов на поглощение АВ несколько изменит данную качественную интерпретацию в соответствии с замечаниями 1.
