Введение к работе
Актуальность темы. Дисперсионный (негауссов, субдиффузионный) перенос носителей заряда наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой1: в аморфных полупроводниках, в пористых твёрдых телах, в поликристаллических плёнках, жидкокристаллических материалах и др. Сопоставление результатов экспериментов свидетельствует о наличии универсальных свойств переноса, не зависящих от детальной атомной и молекулярной структуры вещества. Интерес к различным подходам описания негауссова переноса в полупроводниках и диэлектриках недавно возобновился в связи с наблюдением дисперсионного переноса в наноструктурах: нанопористом кремнии, в легированных квантовыми точками стёклах и др.
Существует несколько различных теоретических моделей дисперсионного переноса. В 1975 году Шер и Монтролл2 успешно интерпретировали экспериментальные данные время-пролётного эксперимента. Главный пункт их модели - гипотеза о степенном распределении времён пребывания носителей в локализованных состояниях с бесконечным средним значением времён ожидания. Последний факт обуславливает неприменимость центральной предельной теоремы и модели случайного гауссовского процесса. В результате дисперсионный перенос не описывается стандартным кинетическим уравнением Больцмана, законом Фика и классическим диффузионно-дрейфовом уравнением.
В 1983 году Архиповым, Поповой и Руденко была выражена связь концентраций подвижных и локализованных носителей при дисперсионном переносе через дробный интеграл Римана-Лиувилля. В их последующих работах чаще встречается другое приближённое соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции. Вывод этого уравнения содержит предположение о резкой границе между "мелкими" и "глубокими" ловушками. Основное уравнение Архипова-Руденко приводит к диффузионному уравнению неравновесного переноса с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью. Это уравнение не переходит в уравнение для нормального переноса при устремлении дисперсионного параметра к единице, не описывая, тем самым, переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении температуры, наблюдаемого экспериментально во многих неупорядоченных полупроводниках.
В ряде работ3 для описания дисперсионного переноса используются урав-
ХИ. П. Звягин. Кинетические явления в неупорядоченых полупроводниках.- М.: Мир, 1984, 192с.
2 Я. Scher, Е. W. Montroll. Phys. Rev. В 12 (1975) 2455.
3См. напр. Е. Barkai. Phys. Rev. Е 63 (2001) 046118-1. J. Bisquert. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 010602-1.
нения с производными дробного порядка по времени. Подход, основанный на уравнениях с дробными производными, позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос, даёт возможность вероятностной интерпретации процессов, раскрывает причины универсальных свойств дисперсионного переноса в различающихся по своей структуре полупроводниках.
В связи с вышесказанным разработка теории дисперсионного переноса на основе дробно-дифференциальных уравнений является актуальной проблемой. В упомянутых работах не проводился сравнительный анализ результатов дробно-дифференциальной модели и результатов существующих теорий дисперсионного переноса. Не составлены уравнения амбиполярного дисперсионного переноса. В дробно-дифференциальных уравнениях для концентраций носителей не учитывалась рекомбинация, распределение дисперсионного параметра, усечение степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях. Небольшое количество работ4 посвящено расчёту дисперсионного переноса в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.
Цель диссертационной работы - разработка и апробация теоретической модели дисперсионного переноса на основе уравнений с производными дробного порядка. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Разработать теоретическую модель дисперсионного переноса на основе
дробно-дифференциальных уравнений для прыжковой проводимости, для мно
гократного захвата с учётом мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации
за счёт туннельных переходов.
2. Провести расчёты переходного тока в неупорядоченных полупро
водниках и структурах на их основе и сравнить результаты дробно-
дифференциального подхода с результатами других моделей дисперсионного
переноса (модели Шера-Монтролла, модели многократного захвата Шмидлина-
Нуланди-Тиджи, подхода Архипова-Руденко5).
3. На основании полученных уравнений и методов их решения рассчитать
частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для
неупорядоченных полупроводников и диода на их основе при малом уровне
инжекции.
Научная новизна полученных автором результатов:
1. Впервые показано, что универсальность кривых переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при дисперсионном переносе и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца свидетельствуют о дробно-дифференциальной кинетике, т. е. о том, что распространение
4См. напр. V. R. Nikitenko et al. J. Appl. Phys. 81 (1997) 7514. 5 V. I. Arkhipov, A. I. Rudenko. Philos. Mag. В 45 (1982) 189.
пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.
Связь дисперсионного переноса с моделью случайного устойчивого процесса Леви позволила вывести количественные условия дисперсионного переноса для механизма многократного захвата и прыжковой проводимости.
Впервые в рамках дробно-дифференциального подхода найдены выражения для частотных зависимостей проводимости и диффузионной ёмкости полупроводникового диода на основе неупорядоченных полупроводников при дисперсионном переносе, управляемом захватом на распределённые по энергии локализованные состояния.
Впервые обнаружено, что переход от дисперсионного типа переноса к нормальному при увеличении размеров образца или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах является следствием усечения степенных распределений времён пребывания носителей в локализованных состояниях.
Практическая значимость.
При описании дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках на основе уравнений с дробными производными требуется меньше подгоночных параметров, чем в модели Шера-Монтролла и в модели многократного захвата Шмидлина-Нуланди-Тиджи. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение неравновесного переноса Архипова-Руденко.
Два составленных алгоритма моделирования дисперсионного переноса, основанные на конечно-разностном методе и стохастическом методе Монте-Карло, позволяют численно находить пространственные распределения неравновесных носителей заряда и токи проводимости, моделировать пространственно-временные траектории носителей, а также рассчитывать темп рекомбинации, управляемой дисперсионным переносом.
Дробно-дифференциальные уравнения диффузии-дрейфа, вид которых не зависит от механизма переноса, описывают одновременно и нормальный и дисперсионный перенос (в рамках единого формализма). Этот факт может использоваться для предсказания эффектов, связанных с переходом от нормального типа переноса к дисперсионному, в структурах на основе неупорядоченных полупроводников.
Положения, выносимые на защиту:
Универсальность кривых переходного тока во время-пролётных экспериментах и степенная зависимость времени пролёта носителей от толщины образца при дисперсионном переносе свидетельствуют о том, что распространение пакета неравновесных носителей описывается уравнением с дробной производной по времени.
Диффузионно-дрейфовое уравнение с производной по времени дробного порядка точнее описывает кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем уравнение нестационарного переноса Архипова-Руденко. Подход, основанный на дробно-дифференциальных уравнениях, позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос.
Условия дисперсионного переноса, полученные с помощью обобщённой предельной теоремы:
— в случае многократного захвата перенос является дисперсионным, ес-
ли средний квадрат флуктуации энергии локализованных состояний of превышает среднюю энергетическую глубину залегания ловушек, умноженную на больцмановскую температуру кТ;
— в случае прыжковой проводимости перенос будет дисперсионным, если
квадрат флуктуации расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.
В результате учёта мономолекулярной рекомбинации в диффузионно-дрейфовых уравнениях с дробной производной рассчитана частотная зависимость комплексной проводимости диода при дисперсионном переносе в случае малого уровня инжекции. На проводимость и диффузионную ёмкость в области высоких частот не влияют ни захват носителей на локализованные состояния в хвостах зон, ни рекомбинация носителей через глубокие центры.
Усечённые степенные распределения времён пребывания носителей в локализованных состояниях являются причиной перехода от дисперсионного типа переноса к нормальному во время-пролётных экспериментах при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля. Дисперсионный перенос соответствует временам пролёта їт ^> 7-1 (7 - параметр усечения), нормальный перенос - іт <С 7-1-
Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были доложены на IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003); VII Всероссийской молодёжной конф. по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2005); VIII Международной конф. "Опто-, наноэлектроника, нанотехнология и микросистемы" (Ульяновск, 2006); Международной конф. "Critical Phenomena and Diffusion in Complex Systems" (Нижний Новгород, 2006); Всероссийской конф. с международным интернет-участием "От наноструктур, наноматериалов и нанотехноло-гий к наноиндустрии" (Ижевск, 2007); Ежегодных научных конф. студентов-физиков Ульяновского государственного университета (Ульяновск, в 2004 и 2005 годах научная работа автора удостаивалась 1-го места).
Сообщения представлялись также на V, VI, VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, 2005; Кисловодск, 2006), VI Международной конф. "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2005), V Международной конф. "Аморфные и микрокристаллические полупроводники" (Санкт-Петербург, 2006), IX Международной конф. "Арсенид галлия и полупроводниковые соединения группы III-V" (Томск, 2006), VI Международной научно-практической конф. "Моделирование. Теория, методы и средства" (Новочеркасск, 2006), Международной конф. "Nonlinear Science and Complexity" (Пекин, 2006).
В 2005 г. научная деятельность автора удостоена студенческой стипендии Правительства РФ. В 2005-2006 г. автор получал стипендию по итогам конкурса среди студентов-физиков, проводимого фондом "Династия".
Личный вклад автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором В. В. Учайкиным. Вывод аналитических выражений, проведение конкретных расчётов, сравнение с экспериментальными данными, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно.
Достоверность результатов. Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории преобразования Лапласа, асимптотического анализа, теории вероятностей и случайных процессов. Достоверность некоторых результатов подтверждается согласием с экспериментальными данными. Правильность аналитических выражений в рамках конкретных моделей проверяется численным моделированием методом Монте-Карло. Кроме того, показана согласованность некоторых результатов, полученных с помощью дробно-дифференциального подхода и результатов других теорий дисперсионного переноса. В ходе работы постоянно проверялось выполнение принципа соответствия, согласно которому результаты, полученные для дисперсионного переноса, при устремлении дисперсионного параметра к едини-
це должны переходить в результаты теории нормального (гауссова) переноса.
Публикации. В ходе выполнения исследований по теме диссертации опубликовано 22 научных работы, 8 из которых - в журналах из списка ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объём работы: 122 страницы, включая 30 рисунков, 4 приложения и список литературы из 125 наименований.
