Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Особенности явлений электронного переноса в полупроводниковых монокристаллах и пленках с анизотропией проводимости ... 13
1.1. Явления электронного переноса в анизотропных токопроводя- щих средах и методы их исследования (обзор литературных данных)... 13
1.2. Теоретический расчет распределения потенциала в ограничен ных анизотропных полупроводниках 16
1.2.1. Распределение потенциала в анизотропных полупроводниках, вырезанных вдоль кристаллографических осей 17
1.2.2. Распределение потенциала в анизотропных полупроводниках, вырезанных под углом к кристаллографическим осям 21
1.3. Компьютерное моделирование распределений электрического поля и линий тока в анизотропных полупроводниках 25
1.3.1. Токовые контакты расположены на оси симметрии кристалла.. 26
1.3.2. Токовые контакты расположены на одной грани образца 29
1.3.3. Моделирование электрического поля в анизотропных полупроводниках при асимметрии граничных условий 31
1.4. Анализ распределения электрического поля в анизотропных по лупроводниках 35
1.4.1. Вихревые токи анизотропии 35
1.4.2. Концентрация линий вектора плотности тока 37
1.4.3. Поперечное напряжение анизотропии 38
1.4. Экспериментальная проверка теоретических расчетов 41
Выводы и результаты первой главы 44
Глава 2. Макроскопическая модель эффектов Холла и магнетосо- противления в анизотропных полупроводниках 45
2.1. Гальваномагнитные явления в полупроводниках и методы их исследования (обзор литературных данных) 45
2.2. Макроскопическая теория эффектов Холла и Гаусса в анизотропных полупроводниках 49
2.2.1. Теоретический расчет распределения потенциала в ограниченных анизотропных полупроводниках при наличии внешнего магнитного поля 50
2.2.2. Эффекты Холла и Гаусса в анизотропных кристаллах и пленках, вырезанных под углом к кристаллографическим осям 56
2.3. Компьютерное моделирование электрического поля в ограни ченных анизотропных полупроводниках при наличии внешнего магнитного поля 59
2.4. Разработка методов исследования эффектов Холла и магнетосо противления в анизотропных полупроводниках 63
2.4.1. Определение компоненты тензора коэффициента Холла в анизотропных полупроводниках, вырезанных вдоль кристаллографических осей 64
2.4.2. Особенности исследования эффекта Холла в анизотропных полупроводниках, вырезанных под углом к кристаллографическим осям 67
2.4.3. Методика исследования величины магнетосопротивления в ограниченных анизотропных полупроводниках 71
2.4.4. Измерение магнетосопротивления при расположении контактов на периметре образцов 72
2.5. Экспериментальная проверка. Практические рекомендации 75
2.5.1. Исследования эффектов Холла и Гаусса в изотропных полупроводниках 75
2.5.2. Экспериментальные данные по исследованию эффекта Холла и Гаусса в анизотропных полупроводниках 76
Выводы и результаты второй главы 81
Глава 3. Разработка методов измерения кинетических коэффициен тов анизотропных полупроводников 82
3.1. Зондовые методы исследования полупроводниковых материалов (обзор литературных данных) 82
3.2. Расчет распределения потенциала электрического поля в анизо тропных полупроводниковых кристаллах пленках 84
3.3. Методика измерения компонент тензора электропроводимости анизотропных полупроводниковых кристаллов и пленок 89
3.3.1. Теоретическое обоснование методики 89
3.3.2. Оценка учета влияния границ анизотропного образца 93
3.3.3. Экспериментальная проверка методики 94
3.4. Методика совместных измерений электропроводимости и коэф фициента Холла анизотропных полупроводниковых кристаллов и пленок 97
3.4.1. Методика определения главных компонент тензора электропроводимости анизотропных полупроводников 97
3.4.2. Измерение компоненты тензора коэффициента Холла 102
3.4.3. Практические рекомендации и экспериментальная проверка методики 104
3.5. Теоретическая разработка методики определения электропроводимости слоистых полупроводниковых материалов 106
3.5.1. Теоретическое обоснование методики 106
3.5.2. Описание методики измерения электропроводимости 109
Выводы и результаты третьей главы 111
Глава 4. Исследование резистивных и контактных явлений в полупроводниках 112
4.1. Значение свойств контактов металл-полупроводник в полупроводниковой электронике (обзор литературных данных) 112
4.2. Измерение сопротивления контактов металл-полупроводник и контроль удельного сопротивления полупроводниковых пленок 114
4.2.1. Теоретическое обоснование методики определения сопротивления контактов к бесконечной полупроводниковой пленке 114
4.2.2. Определение сопротивления контактов к полубесконечной полупроводниковой пленке 120
4.2.3. Определение сопротивления контактов к образцу в виде ленты 121
4.2.4. Оценка учета влияния размера токовых контактов и наличия границ. Практические рекомендации 123
4.2.5. Экспериментальная проверка и апробация методики 124
4.3. Сопротивление растекания в ограниченных анизотропных полупроводниках 127
4.3.1. Сопротивление растекания анизотропного полупроводника, вырезанного вдоль кристаллографических осей...,, 127
4.3.2. Зависимость сопротивления анизотропного образца от ориентации кристаллографических осей 131
4.3.3. Экспериментальная проверка теоретических расчетов сопротивлений анизотропных полупроводников 136
4.4. Моделирование явлений электронного переноса в неоднородных полупроводниках 136
4.4.1. Расчет распределения потенциала в двухслойной структуре 136
4.4.2. Компьютерное моделирование распределения электрического поля в неоднородных полупроводниковых структурах 140
4.4.3. К вопросу об эквипотенциальное омических контактов к полупроводниковым структурам 141
4.4.4. Вихревые токи в неоднородных полупроводниках 142
Выводы ирезультаты четвертой главы 144
Заключение 145
Литература 148
- Теоретический расчет распределения потенциала в ограничен ных анизотропных полупроводниках
- Компьютерное моделирование электрического поля в ограни ченных анизотропных полупроводниках при наличии внешнего магнитного поля
- Экспериментальная проверка. Практические рекомендации
- Методика измерения компонент тензора электропроводимости анизотропных полупроводниковых кристаллов и пленок
Введение к работе
Актуальность работы. Быстрое развитие современной электроники и микроэлектроники создает необходимость разработки методов исследования новых перспективных материалов электронной техники. В настоящее время хорошо разработаны и подробно изучены методы исследования изотропных полупроводниковых материалов, в то же время в современной электронике и микроэлектронике все большее применение находят полупроводниковые соединения, обладающие анизотропией электрофизических свойств [1-4]. В ряде случаев анизотропия физических свойств наблюдается и у атомарных полупроводников под давлением или под влиянием внешних полей [5, 6]. В связи с вышеуказанным возникает необходимость в надежных и легко воспроизводимых методах исследования данных материалов электронной техники.
При разработке методов исследования полупроводниковых материалов очень важны макроскопические распределения потенциала и плотности тока. Учет влияния границ токопроводящих областей на распределение электрического потенциала и плотности тока представляет актуальную физико-математическую и практическую задачу. Проблема здесь, в первую очередь, заключается в сложном характере распределений электрического потенциала и плотности тока в образцах, обладающих анизотропией электрических параметров, что на данный момент в литературе освещено недостаточно.
Явления, возникающие на контактах металл-полупроводник, вызывают интерес у многих исследователей [7-9]. Это не случайно: как известно, рези-ставные и контактные явления остаются одними из наиболее информативных при исследованиях полупроводниковых материалов и структур. В частности, одними из важнейших характеристик контакта являются: сопротивление, омич-ность, эквипотенциальность.
На современном этапе развития приборов микроэлектроники широкое применение получили плёнки различной электропроводимости, которые наносят на изолирующие подложки [10-12]. При исследовании и практическом применении тонких плёнок возникают проблемы контроля их удельного сопротив-
ления, а также качества металлических контактов к ним. Однако на данный момент сохраняется необходимость в теоретическом обосновании и разработке методов исследования полупроводниковых пленок и свойств металлических контактов к ним.
Исследования явлений электронного переноса в анизотропных полупроводниках начались в середине двадцатого века, после того как была построена некоторая элементарная теория для изотропных полупроводников, а также разработана соответствующая математическая база. Одними из первых работ, посвященных гальваномагнитным, явлениям в анизотропных полупроводниках, являются работы Херринга [13, 14]; в них представлены выражения для кинетических коэффициентов электронного переноса на основе элементарных квантовых представлений. На данном этапе подробно разработана теория, позволяющая объяснять своеобразие многих явлений переноса в средах с анизотропией и неоднородностью электропроводимости полупроводниковых материалов [2,15-20].
Однако, необходимо отметить, что некоторые макроскопические эффекты в анизотропных и неоднородных полупроводниках изучены недостаточно. Сохраняется необходимость в надежных и легко воспроизводимых методах исследования данных материалов электронной техники. Кроме того, в настоящее время достаточно мало работ, посвященных компьютерному моделированию явлений электронного переноса с учетом граничных условий на поверхности.
Таким образом, задача исследования кинетических и контактных явлений в анизотропных и неоднородных полупроводниках является актуальной и служит повышению эффективности лабораторных исследований и промышленного контроля качества полупроводниковых материалов.
Цель работы. Изучение особенностей явлений электронного переноса в анизотропных и неоднородных полупроводниках с последующей разработкой методов измерений кинетических коэффициентов электрофизических свойств полупроводниковых материалов электронной техники.
Исходя из поставленной цели, основными задачами исследования являются.
Разработка соответствующего математического метода расчета электрических полей и токов в ограниченных полупроводниковых областях с учетом их анизотропии и неоднородности. Представить полученные распределения потенциала в удобном виде для практического использования с применением современных ЭВМ.
Выполнение теоретического анализа особенностей макроскопических явлений электронного переноса в ограниченных анизотропных и неоднородных полупроводниках.
Получить выражения для распределения потенциала в ограниченных анизотропных полупроводниках при наличии внешнего магнитного поля в ограниченных анизотропных монокристаллах. Выявить особенности измерений эффектов Холла и Гаусса в анизотропных полупроводниках на основе полученных аналитических решений для потенциала.
Разработка и обоснование системы методов измерения и контроля некоторых электрофизических параметров полупроводников (в том числе анизотропных), резистивных и контактных явлений.
Методы исследования. Цели диссертационной работы достигаются путем формулировки и интегрирования соответствующих краевых задач электродинамики методами математической физики с последующим анализом полученных решений с использованием ЭВМ.
Научная новизна теоретических положений и результатов исследования, полученных автором, заключается в следующем.
Разработана методика решения краевых электродинамических задач с граничными условиями в виде наклонной производной путем применения комплексных рядов Фурье.
Получены выражения для распределения потенциала в ограниченных анизотропных проводящих средах, которые позволили исследовать следующие яв-
ления в данных материалах: поперечное напряжение анизотропии, концентрацию тока проводимости, сопротивление растекания контактов к анизотропным полупроводникам. Данные явления объяснены с помощью модели вихревых токов анизотропии. Впервые получены выражения для сопротивления растекания анизотропных полупроводников.
Путем единого теоретического подхода получены выражения для электрического потенциала в анизотропных полупроводниках с точностью до членов, содержащих квадрат индукции внешнего магнитного поля при произвольном положении токовых электродов на периметре прямоугольных образцов. Впервые показано, что в линейном приближении по величине индукции внешнего магнитного поля приближение Ван-дер-Пау справедливо для анизотропных полупроводников. На основе теоретических исследований эффекта Холла в анизотропных полупроводниковых кристаллах и пленках доказано, что в анизотропных образцах на величину э.д.с. Холла оказывает существенное влияние поперечное напряжение анизотропии.
Разработаны и теоретически обоснованы оригинальные методы измерений электрофизических свойств полупроводников: восьмизондовые методы измерений электропроводимости анизотропных полупроводников, комбинированный четырехзондовый метод измерения электропроводимости слоистых полупроводниковых материалов. Предложены методики исследования эффектов Холла и Гаусса в ограниченных полупроводниках с тензорным характером проводимости.
5. Проведено физико-математическое обоснование новых методов исследова
ния свойств контактов к полупроводникам: сопротивления растекания круг
лого контакта, сопротивления металлических контактов к полупроводнико
вым пленкам. Получено выражение для распределения потенциала на кон
такте двух сред с различными электропроводимостями. Показано, что в не
однородных полупроводниках моделирование электрического тока возможно
с помощью вихревых токов неоднородности.
Достоверность результатов исследования обеспечена четкой формулировкой соответствующих краевых задач для потенциала электрического поля в ограниченных полупроводниках и выбором надежных теоретических методов их решения. Выполненные теоретические расчеты распределений потенциала проверены экспериментально, а также подтверждаются результатами, полученными другими авторами.
Практическая и научная значимость результатов диссертационной работы.
В диссертации разработан общий и строгий путь решения определенных типов краевых задач электродинамики в применении к полупроводниковым материалам электронной техники. В частности, разработана оригинальная методика решения задач с граничными условиями в виде наклонной производной на ограниченной плоскости. Представленные аналитические решения позволяют производить анализ распределений потенциала и плотности постоянного электрического тока в ограниченных анизотропных и неоднородных полупроводниках, выполнять компьютерное моделирование соответствующих полей.
Полученные аналитические выражения для распределения характеристик электрического поля позволяют предлагать методики исследований свойств анизотропных материалов электронной техники, а также некоторых контактных и резистивных явлений в полупроводниках.
На защиту выносятся следующие результаты.
Применение оригинального метода, использующего аппарат комплексных рядов Фурье, для решения задач с граничными условиями в виде наклонной производной в ограниченной области.
Решенные на основе разработанного метода оригинальные задачи, позволяющие исследовать анизотропно-резистивные явления в ограниченных анизотропных и неоднородных полупроводниках.
Макроскопическая теория гальваномагнитных эффектов в ограниченных анизотропных полупроводниках, построенная на основе разработанного
способа решения краевых задач электродинамики.
Новые, разработанные автором, методы измерений удельного сопротивления полупроводниковых пленок, определения компонент тензоров электропроводимости и коэффициента Холла анизотропных монокристаллов и пленок.
Предложенные автором новые методы исследования характеристик контактов к полупроводникам, а также резистивных явлений как в изотропных, так и в анизотропных полупроводниках.
Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:
1-ой Российской конференции молодых ученых по физическому материаловедению (Калуга, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 4-7 октября 2001г.);
Международной конференции "Физика электронных материалов -2002" (Калуга, КГПУ, 1-4 октября 2002 г.);
10-ой Всероссийской конференции студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика 2003" (Москва, МИЭТ, 23-24 апреля 2003 г.);
Международном семинаре "Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (МТН - VII)" (Обнинск, ИАТЭ, 16-19 июня 2003 г.);
4-ой Международной конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, СГТУ, 10-12 сентября 2003 г.);
4-ой Международной конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы физики -2003" (Саранск, МГПИ, 16-18 сентября 2003 г.);
2-ой Международной конференции по физике кристаллов "Кристаллофизика 21-го века" (Москва, МИСиС, 28-30 октября 2003 г.);
8) 3-ем Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромаг
нитных процессов физических, химических и технических системах» (Воро
неж: ВГТУ, 22-24 апреля 2004 г.).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 11 научных статей и 8 тезисов докладов конференций различного уровня. Личный вклад автора в работы, опубликованные в соавторстве, состоит в получении теоретических соотношений, компьютерном моделировании, проведении эксперимента и расчетов.
Структура диссертационной работы. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы основного текста, заключение и список использованной литературы. Объем диссертации составляет 160 страниц текста, 54 рисунка, 8 таблиц, оглавление, список цитируемой литературы из 156 наименований.
Теоретический расчет распределения потенциала в ограничен ных анизотропных полупроводниках
В данном параграфе построена математическая модель распределения потенциала электрического поля в анизотропных полупроводниковых монокристаллах и пленках. Полученные выражения позволяют производить расчет ани-зотропно-резистивных явлений в полупроводниках при различных расположениях и размерах токовых контактов в зависимости от параметра анизотропии материала образца. Общий принцип распределения потенциала в ограниченных средах с анизотропной проводимостью рассмотрим на примере тонкого прямоугольного образца. Первоначально рассмотрим случай, когда грани образца параллельны кристаллографическим осям. Будем считать, что толщина образца d значительно меньше его длины а и ширины Ъ (образец является тонким), а токовые контакты 1, 2 изготовлены на периметре образца по всей его толщине (рис. 1.1 на стр. 22). Таким образом, рассматриваем двумерную задачу. В данном случае тензор электропроводимости выглядит следующим образом [55, 56]: Граничные условия для потенциала следуют из требования, что нормальная составляющая плотности тока равна нулю всюду на поверхности образца, кроме точек под токовыми электродами. Для случая расположения контактов 1,2 на противоположных гранях (рис. 1.1а) граничные условия принимают вид: Решение уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5), (1.6) весьма громоздко, поэтому представим лишь основные его этапы. Общее решение уравнения (1.4) удобно представить в виде комплексного Для более лного отражения электродинамических свойств анизотропных полупроводников найдем выражения для плотности тока в анизотропной пленке. Согласно (1.3) находим проекции плотности тока на координатные оси: Рассмотрим случай расположения токовых электродов 1, 2 на одной из граней анизотропного полупроводникового образца (рис. 1.16 на стр. 22). Для данного случая расположения токовых контактов граничные условия для нормальной составляющей плотности тока принимают вид:
Решение дифференциального уравнения (1.4) с граничными условиями (1.17)-(1.19) производится аналогичным предыдущему образом. Для распределения потенциала получаем следующее выражение Согласно (1.3) находим проекции плотности тока на координатные оси: где величины у, (Зп и 5И определяются равенствами: У = д/суЧ Р„=1ш/», 5и=уР„=Л/оу7 7Р„- (1-23) Для наиболее более полного физико-математического анализа распределения электрического потенциала в анизотропных полупроводниках рассмотрим случай произвольного расположения токовых контактов на периметре анизотропного прямоугольного образца. Для двух различных случаев подключения токовых контактов (рис. 1.2 на стр. 22), получаем следующие.выражения. 1. Контакт размером 2с\ нанесен на боковую грань образца х=0 на расстоянии ух от оси Ох, в него втекает ток /. Распределение потенциала создаваемого данным токовым электродом определяется выражением fofo. 2. Контакт размером 2c2 нанесен на боковую грань образца ;;=0 на расстоянии х2 от оси Оу, через него протекает ток -I. Распределение потенциала создаваемого данным токовым электродом удовлетворяет выражению Выражения для распределений потенциала, создаваемых токовыми зондами на противоположных гранях, достигается простым преобразованием координат (в выражении (1.24) (х-а) заменяется на х, а в (1.25) (у-Ь) заменяется нау).
Общее распределение потенциалов, создаваемое несколькими токовыми электродами, определяется алгебраической суммой потенциалов согласно принципу суперпозиции полей. Полученные выражения для потенциала и плотности тока позволяют исследовать электрические свойства анизотропных полупроводников, объяснять другие явления, связанные с переносом в анизотропных полупроводниках (известно, что уравнения для стационарных явлений тепло- и массопереноса в анизотропных средах будут иметь аналогичный вид [2, 40,41]). Согласно полученным выражениям для потенциала и плотности тока нетрудно показать, что в анизотропных полупроводниках, вырезанных вдоль кристаллографических осей, имеют место равенства выражения указывают на то, что в образце существует вихревая составляющая вектора плотности тока j, в то время как электрическое поле Е является потенциальным, безвихревым. Эту составляющую имеет смысл на
Компьютерное моделирование электрического поля в ограни ченных анизотропных полупроводниках при наличии внешнего магнитного поля
Полученные нами аналитические выражения для потенциала и плотности тока позволяют моделировать электрическое поле с помощью ЭВМ. Такое моделирование дает возможность детально исследовать структуру электрического поля в анизотропных образцах. Система компьютерной математики MathCAD позволяет представить выражения для расчета электрического потенциала в виде (2.50) - (2.54), что весьма удобно при практических исследованиях (сокращается время составления расчетных программ). Подробное рассмотрение расчетных блоков, необходимых при выводе распределений электрического поля в виде компьютерных моделей в среде MathCAD, приведено в работе [63]. На рис. 2.5 представлены модели распределения электрического потенциала и токовых линий в полупроводнике в отсутствии магнитного поля. В качестве примера рассмотрим образец со следующими параметрами а/Ь=\.5, 2с=Ш0, b\=b2=b/2; для анизотропного CTI/C2=3 (CdAs2 [29, 62]), =7t/6. Видно, что уже в отсутствие внешнего магнитного поля распределение потенциала и электрического тока в анизотропном образце, по отношению к изотропному, имеет более сложный вид. Как показывает данное моделирование, симметрично расположенные точки 3, 4 анизотропного образца не лежат на одной эквипотенциали - следовательно, между точками 3, 4 анизотропного образца уже при отсутствии внешнего магнитного поля существует некоторая разность потенциалов, обусловленная тем, что электропроводность в анизотропном образце является тензором.
Рассмотрим данный факт несколько подробнее. Из выражения (2.51) непосредственно определяется поперечная разность потенциалов между симметричными точками 3, 4 на гранях у = 0,Ь (рис. 2.56) при отсутствии внешнего магнитного поля при b1=b2=b/2 Этому напряжению соответствует квазихолловское поле напряженностью Еа Так как вследствие малой площади контактов в постановке задачи не учитывается их шунтирующее влияние, то поперечная квазихолловская разность потенциалов (2.55) не зависит от координаты х и геометрических размеров об разца, а определяется лишь параметром анизотропии среды ст /а0. Полученное значение квазихолловской разности потенциалов (2.55) согласуется с экспериментальными данными работы [28]. Более подробно явление возникновения поперечного напряжения анизотропии Ua рассмотрено в 1.4 первой главы настоящей диссертации. Рассмотрим теперь распределение электрического поля в изотропном и анизотропном образцах при совместном действии электрического и магнитного полей. При моделировании величина магнитного поля В выбиралась нами из а) б) Рис. 2.7. Модели электрического поля Е в тонком прямоугольном изотропном образце при отсутствии (а) и наличии (б) внешнего магнитного поля. соображений, чтобы щщВ «\. Выполнение данного требования позволяет представить потенциал в виде (2.50) - (2.54). В выбранном нами случае ai= =l, сії ст2 г2 2 М-і JLX2-S2=0 .02, что вполне удовлетворяет вышеуказанному условию малости внешних магнитных полей. Как и следовало ожидать, при наличии внешнего магнитного поля в изотропном образце при симметричном расположении измерительных контактов 3 и 4 между противоположными гранями образца (рис. 2.6а) существует разность потенциалов, определяемая согласно распределению потенциала (2.51). Данный факт показывает, что противоположные относительно линии контактов грани образца заряжаются и возникает поперечное по отношению к электростатическому полю Ёй электрическое поле Холла Ен. Однако при этом направление токовых линий осталось неизменным. На первый взгляд, данный факт кажется невероятным и ошибочным. Рассмотрим, почему распределение токовых линий имеет данный вид, более подробно. Как уже указывалось выше, наличие э.д.с. Холла обусловлено скоплением на границах образца зарядов противоположных знаков в результате совместного действия электрического и магнитного полей. Из этого следует, что эффект Холла является краевым эффектом. Носители заряда накапливаются на гранях образца до тех пор, пока возрастающее при этом поперечное поле Холла не будет компенсировать действие магнитного поля на движущиеся в образце заряды. Данный факт и подтверждает то, что в установившемся режиме линии тока в магнитном поле имеют тот же вид, что и в его отсутствие. Данное свойство имеют токовые линии в любом ограниченном образце произвольной геометрической формы, при том условии, что на его поверхности отсутствует сток зарядов [77, 95].
Однако для образцов конечных размеров свойственно отклонение эквипотенциалей на угол Холла ф [70], получаемое в результате суперпозиции электростатического поля Е0 и поля Холла и Ен (рис. 2.6). Одной из особенностей распределения потенциала электрического поля в анизотропном образце является то, что для него уже при отсутствии внешнего магнитного поля между нормалью к эквипотенциалям и токовыми линиями существует некоторый квазихолловский угол фо (рис. 2.5 б). При совместном действии электрического и магнитного полей угол между перпендикуляром к эквипотенциали и линиями тока возрастает на величину Аф=фі—фо (рис. 2.6 б). Явление возникновения квазихолловского угла фо в анизотропных полупроводниках обусловлено наличием вихревых токов, действие которых и приводит к возникновению данного угла между токовыми линиями и линиями напряженности уже при отсутствии внешнего магнитного поля На рис. 2.7 рассмотрены модели распределения электрического поля Е в изотропном образце при отсутствии (2.7 а) и наличии магнитного поля (2.7 б). Распределение напряженности электрического поля выбрано именно в изотропном образце для большей наглядности моделирования (как показано выше, распределение электрического поля в анизотропном образце имеет более сложный, несимметричный вид уже в отсутствии магнитного поля). Согласно электростатической теореме Гаусса, линии вектора напряженности электрического поля Е начинаются и заканчиваются на электрических зарядах [59]. На рис. 2.76 видно, что часть линий вектора Е заканчиваются на боковых гранях образца, где скапливаются холловские заряды. Данное моделирование линий вектора напряженности электрического поля наглядно отображает скопление зарядов противоположных знаков на боковых гранях образца, помещенного в поперечное магнитное поле.
Экспериментальная проверка. Практические рекомендации
Методики измерения гальваномагнитных эффектов, предложенные в п.п. 2.4.1 и 2.4.3, первоначально были проверены на изотропных пластинах германия и кремния при комнатной температуре (20С). Из пластин вырезались прямоугольные образцы, к которым электрохимическим путем изготовлялись никелевые токовые электроды. В качестве измерительных контактов использовались как никелевые контакты малой площади, так и прижимные вольфрамовые зонды. Источником тока служил стабилизированный источник питания БСП-45, ток через образец обычно составлял десятки или несколько мА. Напряжение между измерительными зондами определялось с помощью высокоомного вольтметра В2-34, позволяющего производить измерения напряжения компенсационным методом с высокой точностью. Достигнутая относительная погрешность определения величин ро, R и Ар/ро не превышала 4%. В качестве примера в табл. 2.1 представлены результаты экспериментальных измерений э.д.с. Холла BE И относительного магнетосопротивления Ар/р0 в зависимости от индукции внешнего магнитного поля В изотропного образца кремния и-типа с размерами: а=23.8 мм; =25.5 мм; d=3.7 мм; I-10мм. Контакты 1, 2, 3, 4, 5, 6 располагались на данном образце согласно схеме на рис. 2.8 (стр. 70). Ток через образец составлял 1=9 мА, измеренное значение удельного сопротивления ро=5.3 Ом см при концентрации электронов в зоне проводимости 7.8-1014см_3. В таблице 2.1 представлены вычисленные значения холловской подвижности ц.# и подвижности по магнетосопротивлению ЩІэлектронов. Коэффициент а=ця/ц.м определяется характером рассеяния электронов в кристаллической решетке. Полученные значения \хн и \\м хорошо согласуются с соответствующими данными в литературе [36].
Исследования гальваномагнитных явлений в анизотропных полупроводниках нами были проведены на анизотропных монокристаллах диарсенидов кадмия и цинка с заранее известной ориентацией кристаллогафических осей и компонент тензора электропроводимости (значение компонент тензора электропроводимости определялось стандартным двухзондовым методом). Токовыми и измерительными контактами служили оловянные паяные контакты. Измерения гальваномагнитных явлений производилось при токе порядка нескольких десятков мА, напряжения измерялись с помощью высокоомного вольтметра В2-34, или нановольтамперметра Р-341, погрешности измерений не превышали 5%. Согласно измеренным значениям э.д.с. Хола относительного магнетосопротивления были определены холловские подвижности и подвижности по магнетосопротивлению вдоль кристаллографических направлений. Полученные нами экспериментальные значения подвижностей носителей тока полностью согласуются с известными литературными данными [29, 37]. В качестве примера приведем данные по исследованию монокристалла CdAs2, полученного методом синтеза. Образец был ориентирован таким образом, что на рис. 2.8 (стр. 70) осям х, у, z, соответствуют кристаллографические направления [001], [100] и [010], т.е. угол поворота кристаллографических осей относительно границ образца 0=0. Значения электропроводимостей по направлениям [001] и [100] были измерены заранее стандартным двухзондовым спо собом [68, 69] и составляли Gi=cTj=42.1 ОМ" -М" И а2=су=42.1 Ом" м" . Контакты изготовлялись согласно схеме, представленной на рис. 2.8. Параметры прямоугольного образца были следующими: а=15мм, 6=1 Омм, і=10мм, в качестве токовых электродов использовались паяные оловянные контакты размером 2с=1мм, расстояние между измерительными контактами 5, 6 составляло і — 8 мм. Измерения гальваномагнитных явлений производилось при неизменном токе /=20мА с помощью вольтамперметра В2-34. Относительные погрешности измерений э.д.с. Холла и магнетосопротивления не превышали 5%. Измеренные значения сопротивлений образца в отсутствие магнитного поля между контактами 1, 2, а также 5, 6 соответствовали теоретическим в пределах погрешности измерений, что свидетельствует об омичности контактов (К2\ =34.102 Ом, R2 =33.024 Ом, R56 =13.127 Ом, R,6\ =12.832 Ом). Эффекты Холла и магнетосопротивления исследовались в магнитных полях 5=0-7-1.4 Тл шагом 0.2 Тл; на рис. 2.11 и 2.12 (стр. 80) соответственно представлены графики зависимости э.д.с. Холла и магнетосопротивления исследуемого образца от величины индукции внешнего магнитного поля. На рис. 2.11 кружком обозначены значения э.д.с. Холла между контактами 3, 4 при пропускании тока через контакты 1, 2; треугольником - значения э.д.с. Холла между контактами 1, 2 при пропускании тока через контакты 3, 4. Видно, что в пределах погрешностей измерений величина э.д.с. Холла не зависит от положения контактов на периметре образца, что полностью согласуется с результатами работ [29, 37]. Согласно представленным экспериментальным данным получено значение компоненты тензора коэффициента Холла Д=1.8-10 м /Кл. Магнетосопротив-ление данного образца CdAs2 измерялось по описанной нами методике в п. 2.4.3 (согласно схеме на рис. 2.8, стр. 70, между контактами 5, 6), экспериментальные значения измерений представлены на рис. 2.12. Для проверки однородности холловского поля нами на вышеуказанном образце были изготовлены токовые контакты размером 2с=1мм по схеме согласно рис 2.8. Значение холловского потенциала определялось компенсационным методом с помощью высокоомного вольтметра, погрешность измерений не пре вышала 5%.
Соответствующие величины полученных значений коэффициента Холла между контрольными точками образца занесены в табл. 2.2. Э.д.с. Холла измерялось компенсационным методом при неизменном токе /=20мА, в магнитных полях 5=0-г 1.4Тл шагом 0.2Тл. Видно, что отклонения от среднего значения RZ лежат в пределах погрешности измерений, что свидетельствует о высокой степени однородности холловского поля. Некоторые отклонения от среднего значения R при проведении эксперимента объясняется шунтирующим влиянием токовых электродов и неточностью измерительных приборов. Погрешность определения величин гальваномагнитных эффектов складывается из двух составляющих: погрешности метода измерения и погрешности измерительной аппаратуры. Точность, с которой получены выражения (2.64), (2.69)-(2.72) определяется корректностью постановки краевой задачи для потенциала и методом ее решения. В данной работе решение задачи о нахождении потенциала электрического поля проведено непосредственно методом Фурье без каких-либо приближений. В соответствии с этим, при обработке экспериментальных данных по предлагаемым формулам теоретическая погрешность измерений практически отсутствует. Для исключения погрешности от неточного нанесения измерительных контактов э.д.с. Холла SH И разность потенциалов Us,6 целесообразно измерять дважды при противоположных направлениях магнитного поля. Истинное значение SH равно полуразности измеренных напряжений э.д.с. Холла, истинное значение разности потенциалов Us,6 равно полусумме результатов двух соответствующих измерений. С учетом этого погрешность предлагаемой методики зависит в основном от измерительной аппаратуры. В заключение следует отметить, что для уменьшения погрешности измерений эффекта Холла и магнетосопротивления необходимо стремиться к тому, чтобы контакты по возможности располагались на периметре образца и имели малую площадь. Требование к омичности контактов и к величине их сопротивлений не являются жесткими, если измерения разности потенциалов производить компенсационным способом.
Методика измерения компонент тензора электропроводимости анизотропных полупроводниковых кристаллов и пленок
Представленная в пункте 3.2 теория расчета распределения потенциала в анизотропных полупроводниковых пленках может быть применима для разработки методик вычисления параметров анизотропии полупроводников, в частности для определения компонент тензора электропроводимости. В рассматриваемом случае образец прямоугольной формы вырезан так, что его грани параллельны кристаллографическим плоскостям (рис. 3.3). Для определения двух компонент электропроводимости зх, 5У необходимо провести два независимых измерения токов и напряжений при различных положениях зон-дового пробника. Первоначально зондовый пробник с линейным положением зондов расположим на поверхности образца на оси его симметрии, вдоль линии, параллельной оси х, и произведем измерения тока 1и и разности потенциалов [/г,з (рис. 3.3а). Затем располагаем зондовый пробник на той же грани симметрично вдоль линии, параллельной оси у (рис. 3.36), и измеряем ток hz и разность потенциалов Uej. В случае расположения линейного пробника по схеме рис. 3.3а (у-[=у4=Ь/2, xi=a/2-3s/2, X4=a/2+3s/2), согласно (3.8), нетрудно показать, что выражение для распределения потенциала на поверхности пленки принимает вид Рассчитаем величину множителя Li в приближении тонких образцов. В этом случае можно полагать сЬ(гь і)«1; sh / uOwnb и произвести в (3.22) суммирование по "&" [97, 98], а также выделить нулевой член при п=0. В окончательном виде в приближении анизотропных пленок получаем выражение для множителя L\, входящего в формулу (3.17) Аналогично при расположении зондов по схеме рис. 3.36 (xi=.X4=tf/2, yv=b/2-3s/2, y4=b/2+3s/2) получаем выражение для разности потенциалов между зондами 6, 7 при протекании тока через контакты 5, 8 Таким образом, согласно (3.17)-(3.22) получаем выражения для определения компонент тензора электропроводимости исследуемой пленки Здесь a, b, d- длина, ширина и толщина образца; s - расстояние между зонда ми; у = Joy/Gx - параметр анизотропии электропроводимости; L\ , L2. - поправочные множители, которые являются функциями размеров образца, расстояния между зондами и параметра анизотропии у.
Необходимо отметить, что формулы (3.19), (3.22) можно использовать только для тонких образцов, т.е. когда толщина образца много меньше его линейных размеров d«a,b. Как следует из [68, 69], при значении отношения d/s 0.6 образец при четырехзондовых измерениях можно считать тонким с погрешностью не более 1%. Для вычисления поправочных множителей L\ и L2 необходимо знать параметр анизотропии проводимости у. Его можно определить, если воспользоваться отношением Ui lUe,! при равных токах /14=/58- Согласно (3.17) и (3.21) имеем Величина Q может быть вычислена теоретически в зависимости от у. Таким образом, задачей теории зондовых измерений проводимости в данном случае является расчет поправочных множителей L\, L2 и зависимости Q(y). Это может быть получено методами электродинамики путем решения соответствующих краевых задач. Для некоторых значений отношений a/s, b/s нами была построена графическая зависимость отношения VI U T Q ОТ параметра анизотропии у и представлена на рис. 3.4 и таблице 3.1. По данному графику (таблице), зная отношения измеренных напряжений U% и Uej, легко получить значение параметра анизотропии. Таким образом, при известных геометрических размерах кристалла, используя обычный прямолинейный пробник с известным расстоянием между зондами, можно найти значение как параметра анизотропии, так и двух компонент электропроводимости ах и Gy по формулам (3.23). Необходимо отметить, что полученное значение множителя Lx (3.18) может быть применимо также для определения электропроводимости изотропного полупроводника любой толщины d. Несложно показать, что при у = 1 формула (3.18) обретает вид Здесь a, b,d - длина, ширина и толщина образца; s - расстояние между зондами; 1и - сила тока между зондами 1,4; [/2,з - разность потенциалов между зондами 2, 3; L\(als,bls) - поправочный множитель, который является функцией размеров образца и расстояния между зондами. Представляет интерес вычисление величин поправочных множителей L\ и L2 для неограниченного образца (a/s- oo, b/s- x ). Нами выполнен расчет по формулам (3.19), (3.22) на ЭВМ при условиях (a, b)»s. В результате расчетов величин L\ , L2 получено, что в случае бесконечной пленки выражения для определения компонент тензора электропроводимости представляются в виде Отсюда для изотопных образцов (их=ау=с, у=1) получаем хорошо известную формулу для удельного сопротивления при четырехзондовых измерениях с помощью линейного пробника [68, 69] Проанализируем необходимость учета границ при зондовых измерениях тензора электропроводимости. С данной целью произведен расчет погрешностей от применения формул для безграничной анизотропной пленки (3.28) вместо (3.23). На рис. 3.5 (стр. 96) представлены графики зависимостей погрешно стей от применения формул для безграничной анизотропной пленки в зависимости от размера пленки и параметра анизотропии. Как показывает соответствующий расчет, погрешность пренебрежения границ образца значительно меньше в случае расположения пробника вдоль направления с большей электропроводимостью. Данный факт можно объяснить с помощью моделей распределения потенциала представленных на рис. 3.2 (стр. 88).
Видно, что при расположении линейного пробника в направлении с большей электропроводимостью практически весь ток протекает по узкому каналу, поэтому границы в данном случае влияют слабо (рис. 3.26). Т. е. концентрация линий тока проводимости оказывает весьма существенное влияние на погрешности применения- предлагаемого метода расчета тензора электропроводимости в случае учета влияния границ анизотропного образца. Апробация данной методики была проведена на прямоугольных анизотропных образцах диарсенидов кадмия и цинка. На поверхности исследуемых образцов были созданы контакты согласно схеме рис. 3.3. Линейные размеры полупроводников и межзондовые расстояния приведены в табл. 3.2. Через исследуемые образцы пропускался постоянный электрический ток от стабилизированного источника питания Б5-44, разность потенциалов между измерительными зондами измерялась с помощью высокоомного вольтметра В2-34, положение измерительных и токовых контактов контролировалось с помощью микроскопа МБС-10. Первоначально экспериментально было определено отношение разности потенциалов между измерительными контактами U2 Ue,i=Q, значение которого представлено в табл. 3.2, после чего строился график теоретической зависимости Q(y). Таким образом, из эксперимента было определено значение уэксп =Jcy/Gx . После этого по формулам (3.19), (3.22) были определены величины множителей L\ и Li для каждого образца при соответствующих межзондовых расстояниях s. Далее согласно выражениям (3.23) определялись значения 5Х и су в каждом из случаев.
