Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спектры энергий и оптического поглощения мелких акцепторов в кубических полупроводниках 8
1.1. Правило сумм для сечения оптического поглощения мелких примесей в кубических
полупроводниках 8
1.2. Методы расчёта связанных состояний и состояни непрерывного спектра акцепторов в линейном приближении по параметру гофрировки 12
1.3. Спектры энергий и оптического поглощения мелких акцепторов в Ge 23
1.4. Влияние гофрировки валентных зон на Га состояния мелких акцепторов 26
1.5. Спектры рз/2 акцепторов III группы в кремнии 36
Глава 2. Основное состояние пары акцепторных примесных центров в кубическом полупроводнике 44
2.1. Поляризуемости и квадрушльные моменты примесей Ш группы в Ge 44
2.2. Основное состояние пары акцепторных примесных центров 52
Глава 3. Решения одночастичного уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов с кулоновским слагаемым 63
3.1. Система уравнений для радиальных волновых функций 64
3.2. Поведение решений в окрестности точки г = 0 67
3.3. Решение. Окрестность регулярной особенности г = 0 71
3.4. Вычисление матриц 75
3 .5. Построение решений в окрестности иррегулярной сингулярности Г = оо 77
3.6. Сшивка решений. Сингулярная задача на собственные значения 82
3.7. Уравнение Шредингера в случае гамильтониана Латтинджера. Сферическое приближение 85
Глава 4. Влияние заряда глубокой примеси на оптические переходы в сложную валентную зону 96
4.1. Факторы Зоммерфельда при оптических переходах в сложную валентную зону 96
4.2. Сравнение с экспериментом 107
Глава 5, Спектры акцепторов в квантовых точках и дырочные состояния в квантовых ямах со сложным профилем потенциала 115
5.1. Оптические спектры акцептора в полупроводниковой квантовой точке 115
5.2. Дырочные состояния в квантовых ямах со сложным профилем потенциала J28 Заключение 143
Литература 147
- Методы расчёта связанных состояний и состояни непрерывного спектра акцепторов в линейном приближении по параметру гофрировки
- Влияние гофрировки валентных зон на Га состояния мелких акцепторов
- Основное состояние пары акцепторных примесных центров
- Поведение решений в окрестности точки г = 0
Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивные исследования кулоновских состояний дырок (в частности, состояний мелких акцепторов) в объемных кубических полупроводниках и в низко размерных полупроводниковых гетероструктурах, размерно-квантованных состояний дырок в структурах с квантовыми ямами ведутся уже много лет, и интерес к их изучению не ослабевает. Это связано, во-первых, со сложностью проблемы. Хорошо известно, что для зонной структуры кубических полупроводников с решеткой алмаза и цинковой обманки характерна сложная структура валентной зоны, а именно, вырожденный её максимум, наличие нескольких ветвей - зоны тяжелых и легких дырок и. спин-орбитально отщепленной зоны. Наличие кулоновского потенциала, создаваемого примесными центрами, или разрывов потенциала в низкоразмерных гетероструктурах, приводит к смешиванию дырочных состояний, относящихся к разным подзонам, что, в свою очередь, ведет к крайне сложному характеру уравнений приближения эффективной массы, решения которых дают энергии и волновые функции связанных состояний, волновые функции непрерывного спектра. Во-вторых, с развитием технологии получения все более чистых полупроводниковых материалов, все более совершенных и разнообразных низкоразмерных структур, в результате совершенствования методов исследования и появления новых методов возникает целый ряд нояых проблем, например, при интерпретации спектров, особенно в области высоковозбужденных состояний (многие вновь разрешённые линии обозначались просто буквами, например, ЗА, ЗВ - ранее разрешался только переход, обозначаемый цифрой 3), при объяснении новых эффектов.
Связь между состояниями мелких примесей - примесей, состояния которых определяются кулоновским потенциалом примесного иона - и зонной структурой полупроводника была установлена Киттелем и Мит-челом [1), Латтинджером и Коном [2], которыми был разработан метод ^аффективной массы и установлен гамильтониан приближения эффективной массы (1-3} (в случае дырочных состояний его принято называть гамильтонианом Латтинджера). уравнение Шредингера с которым описывает кулоновские состояния дырок в кубическом полупроводнике. Необходимо отметить, что до настоящего времени этот метод является наиболее эффективным (например, с точки зрения объяснения экспериментальных данных) методом описания состояний носителей заряда как в объемных полупроводниках, так и в низкоразмерных гетерострукту-рах.
С тех пор, как был получен гамильтониан эффективной массы для мелких акцепторов в кубических полупроводниках, многократно в разных приближениях решалась задача об энергии их основного и первых возбуждённых состояний [4-13]. Фактически, до момента написания работ, составляющих диссертацию, единственным методом расчета куло-новских состояний дырок был вариационный метод, с помощью которого были вычислены энергии основного и нескольких первых возбужденных уровней мелкого акцептора в ряде кубических полупроводников [13). Существует, однако, большой круг проблем, для решения которых необходимо знать не только энергии связанных состояний, но и - с хорошей точностью, - соответствующие волновые функции, а также волновые функции непрерывного спектра: вычисление интенсивностей спектральных линий (они необходимы, в частности, для надежной интерпретации наблюдаемых оптических спектров), спектров сечения фотоионизации, вероятностей термической ионизации возбуждённых состояний, поляри-зуемостей, констант деформационного потенциала и т.д.
Известно, что вариационный метод позволяет получать довольно точные значения энергий уровней, но при этом с меньшей (и, фактически, неопределенной) точностью - соответствующие волновые функции, кроме того, вариационный метод не позволяет определять волновые функции непрерывного спектра. Таким образом, появляется самостоятельная задача построения прямых невариационных методов решения соответствующих уравнений приближения эффективной массы, позволяющих решать их с заранее определённой точностью, что фактически сводится к решению значительно более общей проблемы - задачи о построений решений уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов с кулоновским потенциалом, т.е решений сингулярной задачи на собственные значения.
Это определяет как актуальность избранной темы, так и цели работы.
Научная новизна Являются новыми и выносятся на защиту следующие основные результаты:
Установлено правило сумм для сечения дипольного оптического поглощения мелких примесей в кубических полупроводниках.
Развит численный невариационный метод расчета энергий и волновых функций связанных состояний и волновых функций непрерывного спектра мелких акцеторов в кубических полупроводниках в линейном приближении по параметру несферичности дырочных зон. Предложена модель и развит метод расчета волновой функции основного состояния акцептора с учетом поправки на центральную ячейку. Вычислены энергии уровней, силы осцилляторов наиболее интенсивных оптических переходов, спектры сечения фотоионизации и дана интерпретация наблюдаемых оптических спектров мелких акцепторов в Ge.
Получены уравнения для радиальных функций и вычислены спектр энергий и силы осцилляторов дшшльных оптических переходов акцепторов III групны (В, А1, Ga, In) в Si с учетом как гофрировки валентных зон, так и конечной величины спин-орбитально расщепления валентных зон. Дана полная интерпретация наблюдаемых спектров рз/2 примесей
Ill группы в Si.
4. Вычислены поляризуемости и квадрупольные моменты основного и первого возбужденного состояния мелких акцепторов в Ge. Установлено, что при возбуждении акцептора из основного в первое возбужденное состояние его поляризуемость растет более, чем на порядок, что говорит в пользу существования нримеспого фотодиэлектрического эффекта в р- Ge. В сферическом приближении точно решена задача о молекулярных термах и волновых функциях пары мелких акцепторов, возникающих при больших расстояниях между ними из-за квадруполь-квадрупольного и дисперсионного взаимодействий.
Развит численно-аналитический метод решения одночастичного уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов, являющихся квадратичной формой импульса и содержащих кулоновский потенциал. Метод основан на сшивке точных решений, построенных как алгебраические комбинации степенных функций, степенных рядов и логарифмической функции, и асимптотических разложений решений в окрестности г = оо и позволяет вычислять с заданной точностью энергии и волновые функции дискретного спектра, волновые функции непрерывного спектра и резопансиые состояния. Получаемые; волновые функции выражаются в аналитическом виде.
Показано, что влияние заряда глубокого центра на спектральную зависимость его сечения о)ютоионизапии при переходах в сложную валентную зону может быть учтено путем умножения парциальных сечений фотоиереходов в подзоны тяжелых и легких дырок, соответствующих нейтральному фотовозбужденному центру, на соответствующие факторы Зоммерфельда. Вычислен спектр сечения фотоионизации глубокой примеси Нд~ в Ge с учетом влияния зарядового состояния примеси и электрон-фононного взаимодействия и показано, что учет совместного влияния этих двух факторов позволяет объяснить как наблюдаемую температурную, так и спектральную зависимость сечения фотоионизации, включая область длинноволнового края примесного поглощения.
7. Развит численно-аналитический метод расчета размерно - квантованных состояний и состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами со сложным профилем потенциала, описываемых связанными уравнениями Шредингера. Исследовано рассеяние дырок на квантовых ямах. Построена S-матрица в случае многоканального рассеяния и вычислены зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок, а также времен задержки от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины компоненты квазиимпульса fcj, параллельной гетерограницам. Установлено, что при ненулевой величине kt в интервале энергий, в котором закрыт канал с превращением "тяжелой" дырки в распространяющуюся "легкую", рассеяние "тяжелой" дырки на. квантовой яме имеет резонансный характер, что связано с появлением резонансных состояний.
Научная и практическая ценность работы заключается в том, что развитые методы позволяют определять с высокой и наперёд заданной точностью различные характеристики дырочных состояний как в объемных полупроводниках, так и в низкоразмерных полупроводниковых гетероструктурах: энергии и волновые функции связанных состояний акцепторов и размерно-квантованных состояний, интенсивности спектральных линий, волновые функции непрерывного спектра, в том числе, резонансных состояний, спектры сечения фотоионизации. Это, в частности, необходимо при интерпретации наблюдаемых спектров, для определения вероятностей термической ионизации уровней, для расчета спетров приемников излучения, при расчетах параметров полупроводниковых лазеров. Полученные в работе результаты позволили объяснить ряд экспериментальных данных, в частности дать интерпретацию наблюдаемых оптических спектров акцепторов. Кроме того, разви- тые численно-аналитические методы пригодны но только для построения решений систем связанных уравнений Шредингера, рассматриваемых в физике полупроводников, атомной и ядерной физике и квантовой химии, но и для рассмотрения более общего круга проблем - построения решений многокомпонентных сингулярных задач на собственные значения.
Методы расчёта связанных состояний и состояни непрерывного спектра акцепторов в линейном приближении по параметру гофрировки
В том случае, когда величина спин-орбитального расщепления валентных зон велика, т.е., когда Л Ь\, где Ei - энергия ионизации акцептора, гамильтониан приближения эффективных масс акцептора можно представить в виде [13]: Я = р2- (PW . j(v} в [Р х J]1? + р [Р х JW}{ } + [Р{2) х № (10) где ,7 2 - неприводимый сферический тензорный оператор, составленный из компонент Л момента количества движения с J — 3/2. Практически для всех кубических полупроводников параметр S в (10), характеризующий гофрировку валентных зон, мал: 6 1 (важное исключение- кремний) и теория возмущений, основанная на малости слагаемых кубической симметрии в гамильтониане, т.е. слагаемых, пропорциональных 5, достаточно эффективна. В сферическом приближении, т-с. при д = 0 полный момент количества движения дырки F = L+ J, где L - орбитальный момент количества движения, a J - квазиспиновый, сохраняется, и волновые функции дырки можно представить в виде [12]: V,.FFAT) = ІШ \UFFZ) + HL (r) \L + 2, JFFZ), (11) где ЯЦг), Ri,+?{r) - радиальные функции, \LJFFZ) - известные функции в схеме L — J связи, F в fг - квантовые числа полного момента и его проекции. Учет- слагаемых кубической симметрии в (10) понижает симметрию задачи и приводит к тому, что теперь состояния акцептора следует классифицировать по двузначным представлениям группы Та х 6V Максимальную размерность (равную четырем) имеет представление Гв группы Td, поэтому при учете этих слагаемых состояния (11) (вырожденные по Fz) с F 3/2 расщепляются. В линейном приближении но S волновые функции, преобразующиеся по представлениям Tf, і = 6,7,8, следует искать в виде: Ф( Тп)(г) = HLPT(r) (LFrn) 4 HL+2,Fr(r) &(L 2, FVn), (12) где Г - одно из указанных представлений, индекс п нумерует функции, принадлежащие данному представлению, t (LFTn = C{FTFxn) \LJFFZ). (13) Матрицу коэффициентовC{FTF,n) легко найти для каждогоF и Г, воспользовавшись выражением для матричного элемента члена кубической симметрии Ht, (пропорционального б) в гамильтониане (10), которое следует из теоремы Вигнера-Эккарта (см, 22().
В общем случае уравнение Шредингера для гамильтониана (10) можно свести к бескопечной системе связанных уравнений для радиальных волновых функций. Идея численного невариационного метода решения систем уравнений (15) для радиальных функций состоит в следующем: отдельные решения из фундаментальной системы решений (15) находятся в окрестности точки г — О в виде алгебраических комбинаций степенных рядов и логарифмической функции, затем с помощью численного интегрирования уравнений (15) находятся собственные значения энергий и константы в таких линейных комбинациях этих решений, которые ведут себя правильно при Г —+ ОО.
Тем самым мы получили асимптотики радиальных функций. Для того чтобы понять, как изменяются асимптотики при изменении Е и М (см. (20), рассмотрим их поведение, считая, что Е близко к некоторому собственному значению EQ, а М - к соответствующему правильному значению Л/о и пусть SE — Е — Е0, SM — М — М$. Здесь Giyh{E) и Fhчі(Е) - не зависящие от г факторы, штрих сверху обозначает дифференцирование по энергии, А;?, — [—JfcJ/(1 ±ц)]1 2, т,к — \-Е[1±цТ1/2. Можно подобрать значение М так, чтобы коэффициенты в асимптотиках RL и RL+2 при быстро растущей ("тяжёлодырочной") экспоненте схр(Алг) в (26) обратились в нуль при данной величине .Е. Обозначим это значение М через М(Е). Тогда асимптотическое поведение функций Ri и RL+2 определяется лишь медленно расгущей ("легкодырочной") экспонентной exp(Afr), причем коэффициент при ней пропорционален /? и изменяет знак при прохождении Е через собственное значение. Следует обратить внимание на то, что коэффициенты при ехр(А г) имеют в Й[ и RL+2 один и тот же знак, а коэффициенты при схр(А;г) - разные знаки. Тот факт, что при М М(Е) коэффициент при ехр(Алг) подавлен (с АОрошей точностью), легко увидеть при численном интеїрировании уравнений по тому, что асимптотики R и RL+2 имеют при этом противоположные знаки.
Допустим, что мы изменяем Е с некоторым гаагом, каждый раз находим величину М = М(Е) дли подавления коэффициента пряехр(А г) и следим за знаком асимптотик Rj, и Я/,+2. Тогда при прохождении Е через некоторое EQ знаки асимтотик Rj, и RLJ-Ч изменяются на противоположные. Это значение Е есть искомое собственное значение эпергии, а соответствующее значение М есть искомое значение М = М0.
Влияние гофрировки валентных зон на Га состояния мелких акцепторов
Как отмечалось в разделе 1.2., в сферическом приближении, в котором пренебрегают гофрировкой, полагая 6 = 0, полный момент количества движения F — L + J сохраняется, состояния акцептора классифицируются по величине F и вырождены (2F 1-І) - кратно по величине проекции Fz. При учете слагаемого кубической симметрии в гамильтониане совокупности функций с определенным F (и разными Ft) распадаются на неприводимые представления точечной группы Т, : F = \/2 - Г0, F = 3/2 - Г8, F = 5/2 - Г7 + Г8, F = 7/2 -» Г6+Г7+Г8, F = 9/2 - Гв+2Г8, F =11/2- Г6 + ГТ-Ь2Г8,.. (35) При добавлении к 7 центра инверсии следует различать четные и нечетные представления Г+ и Г (мы пренебрегаем малыми эффектами, связанными с отсутствием центра инверсии у полупроводников с решеткой цинковой обманки).
Два нижайших состояния акцептора, преобразующихся по представлению Г " (основное состояние ITg" и возбужденное состояние 2Fg"), и сферическом приближении характеризуются полным моментомF — 3/2 (состоянию ЗГ " в сферическом приближении соответствует F = 5/2 [25) и орбитальным моментом L = 0. Ранее считалось (см., например, [13]), что поскольку практически у всех полупроводников с решеткой алмаза и цинковой обманки отношение &ffi 1 (исключением является 5г, у которого б/fj. 0.5), а гофрировочная поправка (ГП) для состояний с F = 3/2 появляется лишь во втором порядке теории возмущений, ГП к знеріиям этих состояний очень мала и учет этой поправки необходим лишь при вычислении таких величин, как р-фактор [26, неличина которого в сферическом приближении есть малая разность больших чисел. Отличие же наблюдаемых энергий Г J -у ровней от вычисляемых в сферическом приближении связывали с центрально-ячеечными поправками [27], с поляроннымм эфдЬектами [28}, с неточностью экспериментального определения параметров Латтинджера валентной зоны (параметра ц) [29]. Представляется интересным вычислить энергии нижайших Гр"-уровней в различных кубических полупроводниках с использованием прямых невариационных методов решения соответствующих уравнений и выяснить, к какого порядка поправкам приводит учет влияния гофрировки валентных зон и как они соотносятся с поправками к приближению эфхрективной массы, определяемым в сферическом приближении.
Второе уравнение получаем из этого, поменяв мостами индексы к и I. Индекс F ф Fт и индекс: г опущены для краткости. Если рассматривать поправки второго порядка по 6 к энергиям состояний, происходящих из состояний cF = 3/2, то можно пренебречь диагональными по F (линейными но 6) поправками в уравнениях с F 3/2. Тогда коэсрфици-енты при вторых производных в левых частях уравнений (41) равны: и A,/iw = і ± /І. Для большинства кубических полупроводников характерно значение ft 1 (0 1 — (і « 1), поэтому в уравнениях (41) имеется два малых параметра: 1 — fj- и 6, причем 1 — ft - фактор при старшей производной (F), ай - при всей правой части, т.е. и при старшей производной. Считаем 6 « 1 — ft 1, что и соответствует реальным полупроводникам. Как легко увидеть, все остальные коэффициенты в (41) (в том числе и коэффициент I + fj. при F") не малы и слабо зависят от \i при (і 1. Собственные значения энергии в сферическом приближении, т.е. соответствующие парам уравнений (41) с данными F, определяются массой тяжелой дырки - величиной, обратной как раз малому параметру при fPFh/dr. Так энергия основного состояния, измеряемая в единицах (1 —//)-1, изменяется от — 1(/І = 0) до ы -4/9(// — I) (11]. Её величина (в единицах Яо) при всех р, хорошо аппроксимируется функцией —f I —/І.2)-1 . Таким образом, при 6 ф 0 поправки к энергии определяются малыми поправками не к величине порядка fi 1, а к малой же величине (1 — /і), обратной массе тяжелой дырки. При этом малый параметр есть не Sffi 5. а д/(1 — fi) о". Этот параметр можно явно выделить в правых частях уравнений (41) и избавиться от особенностей в зависимостях коэффициентов в левых частях (41) от \ — ft, с помощью замены Е! = Е{\ — ц), г = г/(1 — 1-і). Аналогично, условия ограниченности решений уДг) при г — оо (когда Е 0) может быть записано в виде N уравнений для 2N величин УІ{ГОО) в достаточно далекой точке гж [33]- С помощью уравнения (44) условия, определенные в точках го и Гоо, могут быть перенесены в некоторую промежуточную точку Г]: г0 і"! гж. В результате имеем систему 2N однородных уравнений цдяуі(гі). "Стрельбой"по величине энергии Е находим такие значения, при которых детерминант этой системы проходит через нуль (изменяет знак), т.е. находим собственные значения энергии. После этого соответствующие волновые функции вычисляются с помощью обратной прогонки.
В таблице представлены результаты расчета энергий уровней 1ГJ и 2Г мелких акцепторов в кубических полупроводниках при различных значениях зонных параметров // и S, соответствующих различным кубическим полупроводникам. Для сравнения приведены также наиболее точные значения энергий этих уровней, полученные ранее в сферическом приближении. Как и следовало ожидать, ГП понижает энергию рассматриваемых уровней (поправка во втором порядке теории возмущений), причем её относительная величина больше для 2Г "-уровней. ГП может превосходить центрально-ячеечную поправку даже для основного уровня наиболее мелких акцепторов (например, для примеси В в Ge, [26]), тем существеннее она становится для возбужденных состояний, центрально-ячеечная поправка для которых существенно меньше. Так, ГП для уровня 2Г превосходит ЦЯП для всех мелких акцепторов в Ge (см. измерения [34]).
Основное состояние пары акцепторных примесных центров
Если у уравнения имеется хотя бы один кореньрт такой, что Rep! О, то первое регулярное в нуле решение всегда имеет вид степенного ряда по степеням г, первый член которого пропорционален rPi, вид же остальных регулярных в нуле решений зависит от соотношений между корнями. Если все разности pt — pi между корнями (87) не равны целому числу, то нее решения имеют вид степенных рядов, начинающихся сгр, где р - соответствующие корни (87). Однако в рассматриваемом случае квадратичных по р гамильтонианов реализуется другая, наиболее сложная ситуация, когда все разности pt — pt равны целым числам, причём среди корней могут быть кратные. Ниже мы покажем это и найдём явные выражения для всех корней р; определяющего уравнения (87), т.е. найдём поведение волновых функций для квадратичных по р матричных гамильтонианов в окрестности г = 0 для произвольного числа тл уравнений в системе (т.е. для произвольнога числа членов разложения полной волновой функции по функциям угловых переменных).
В рассматриваемых гамильтонианах "оператор кинетической энергии" (часть гамильтониана, квадратичная пор) всегда можно представить как линейную комбинацию (коэффициенты в которой не зависят от г) р2 и компонент неприводимого сферического тензорного оператора второго ранга Р ,{q — 0,±1,±2), составленных обычным образом [22] из компонент симметричного тензора Р,& = PiPk — І/Збікр2, Тогда все существенные, зависящие от г и от производных nor, слагаемые в радиальном гамильтониане, которые определяют поведение волновых функций вблизи г — 0, происходящие из полного гамильтониана после интегрирования по угловым переменным есть, согласно теореме Вигнера-Эккарта, линейные комбинации приведённых матричных элементов (1/р(2 /л. Структуру матрицы Г(р) (113) можно понять, зная результат действия этих операторов на функцию гр.
Как видно из (88) матрица имеет, вообще говоря, "квазитрёхдиагональ-лый вид". Имеется в виду следующее. Обозначим компоненты вектора R через Ra (а = 1, ...,тг). Каждому значению а соответствует некоторое значение углового момента L. Будем считать, что значению а: = 1 соответствует L — Li, а при увеличении номера о: соответствующие величины L не убывают. Кроме того, поскольку оператор (88) сохраняет чётность, можно считать, что все значения L имеют одинаковую четность.
В матрице (89) отличны от нуля только элементы по трём диагоналям, показанным звёздочками, причём каждый последующий элемент на каждой диагонали получается из предыдущего изменением индексов у констант a,ij и увеличением значения L в выражениях в круглых скобках на 2. Сразу видно, что первые два нуля детерминанта матрицы (89) определяются значениями pi = Lb / = L\ — I, т.е. теми значениями р, при которых становится равным нулю первый элемент на главной диагонали. Здесь 6iJt - соответствующие элементы матрицы (89) после подстановки указанного выше значения р. Видно, что в і-том столбце имеется всего один отличный от нуля элемент. Тогда, совершай преобразования подобия - вычитая из (г — 1) и (г — 2)-го столбцов г -тый, умноженный, соответственно im bi-ii-ifbi-i.i и bt-i.i-2/ J»-i.ii и Т-Д-, последовательно, начиная от г-того и кончая первым столбцом, - получаем матрицу, у которой первый столбец состоит из одних нулей. Совершенно аналогично, подставляя в (89) значение р — —1 — Li — 2(г — 1), получаем, что в г-той строке имеете» талько один ненулевой элемент, совершая далее преобразования подобия, начиная от г-той и кончая первой строкой, приходим к матрице, у которой первая строка состоит из одних нулей.
Рассмотрим теперь случай, когда индекс а имеет "структуру", т.е. когда различным значениям а могут соответствовать одинаковые значения L. Матрицу Г(р) в этом случае можно получить из матрицы (89) следующим образом. Обозначим через v{L) число индексов а, которым соответствует одинаковое значение L. Тогда матрица Г(р) получается из матрицы (89), если после строки и столбца, соответствующих первому из этих индексов, вставить, соответственно, v(L) строк и u(L) столбцов, отличающихся от предыдущих только изменением индексов у коэффициентов aik (т.е. имеющих ту же зависимость от р). Ясно, что решения уравнения (87) для полученной таким образом матрицы Г(р) будут даваться формулой (90), однако у корней, отвечающих указанным а появится кратность, ранная i (L).
В [57] нами было доказано, что если в матричном уравнении; = Ах матричная функция А(х) = YlT-o A-k%k голоморфна при \х\ R и формальные решения вида (99) этого ураннения содержат коэффициенты f7r(r), удовлетворяющие рекуррентным соотношениям вида (102), то степенные ряды в (99) сходятся при \х\ R а определяют решения этого уравнения. Следовательно, степенные ряды в выражении (99) для функций Ur{r) сходятся равномерно на всем интервале (0, ею), а каждый столбец d х ,-размерной матричной функции Ys(r) есть точное линейно-независимое решение у(г) уравнения (95).
Таким образом, очевидно, что для того чтобы вычислить радиальные волновые функции с любой заданной точностью в любой данной точке 0 г оо, достаточно учесть только конечное число N членов в степенных рядах в (99). Понятно, что величина N определяется возможностями компьютера и ошибками округления в процессе расчета.
Поведение решений в окрестности точки г = 0
Решение задачи на собственные значения основано на сшивке решений, определённых выше в окрестностях особых точек г =0,оо. Линейно-независимые "левые"решения (93) и их производные образуют 2/1 х 2п матрицу Ф(г) в некоторой точке г. Решения, ведущие себя правильно, соответствуют первым щ столбцам Ф(г). Обозначим эту подматрицу размером In У. IIQ через Фо(г). Допустим, что мы вычислили с нужной точностью ряды в "левых"решениях Фо(? ) в некоторой точке г Є (0, ас), и пусть Фо = Фо( ) Линейно-независимые "правые"решения (93) и их производные образуют In х In матрицу ФОО(Ї ) в точке ) , имеющую при г —» ос вид: Ф» (адг),П+И,11о(г),П_(г)) где размерности подматрицїсю,+,о,- равны 2тгхп_, 2nxn_,_, 2тгхті_ и 2пх п+} соответственно (здесь «-, п+ - количества отроицательных и поло жительных собственных значений матрицы и. 1Ям, п — п- +«+) Столбцы Гж(г) соответствуют экспоненциально расходящимся решениям, а столбцы i\(r) - убывающим экспоненциально решениям при Г —і- со. Столюцы П±(г) соответствуют решениям, осциллирующим при г — ОС. Предположим мы вычислили "правые"рещения с нужной точностью в точке г, выбранной на достаточно большом расстоянии от начала координат. В случае, если мы интересуемся декретным спектром, мы должны вычислить матрицу U0 = 0( )5 если же мы хотим определить полный спектр (дискретный и непрерывный), то необходимо вычислить матрицы
В некоторых случаях невозможно вычислить с нужной точностью млевые"и пправые"реп1ння в точке г, тогда необходимо использовать либо степенное разложение для фундаментальной матрицы в окрестности (тях) некоторых промежуточных точек, либо стандартное численное интегрирование (93) на интервале, не имеющем особых точек.
Полученные выражения ((124)-(128)) полностью определяют волновую функцию, соответствующую гамильтониану (121) во всех спектральных диапазонах. Для того чтобы найти собственные энергии и соответствующие волновые функции дискретного спектра (121) нужно сшить в некоторой точке гт линейную комбинацию двух ограниченных в нуле "левых,,решений (124) (вместе с производными) с линейной комбинацией двух, ограниченных на бесконечности "правых"решений (127). Из условия нетривиальной совместности получающейся системы 4 линейных однородных алгебраических уравнений находим энергии уровней, а решения этих уравнений при найденных значениях энергий полностью определяют соответствующие волновые функции на всем интервале (0, со). В таблице 3.1 представлены результаты расчета энергий десяти нижайших четных состояний симметрии Г " мелких акцепторов в Ge. Отметим, что все циф Таблица 7: Энергии (в единицах Ra) дискретных состояний (F — 3/2, L = 0). "Материальные"параметры: Z = 1, ц — 0.7 Номер уровня 1 2 3 4 5 настоящий метод[18], [25] -2.2637 -2.264 -0.6728 -0.673 -0.3453 -0.2107 -0.1424 -0.347 Номер уровня 6 7 8 9 10 настоящий метод -0.1026 -0.0881 -0.0764 -0.0599 -0.0481 ры в результатах расчёта - значащие, что легко контролировать в рамках данного метода: результаты должны быть неизменны при изменении точки сшивки гт. Рассмотрим асимптотическое поведение радиальных функций Д,; при г —+ оо, поскольку оно важно, например, для решения задач о прыжковой проводимости по акцепторным примесям, и поскольку ранее эта асимптотика определялась неправильно.
Известно, что при наличии кулоновского потенциала н гамильтониане в фазе асимптотики (г - ж) радиальной волновой функции появляется характерная логарифмическая функция - кулоновский логарифм (см. (127)). Интересно отметить, что как следует из полученных выше результатов, наличие кулоновского слагаемого в матричном гамильтониане приводит к появлению логарифмических членов и в точной волновой функции (см. (124)). В случае скалярного радиального уравнения Шре-дингера для атома водорода такой член отсутствует в регулярном в нуле решении, однако он есть во втором, расходящемся в нуле решении, в случае же рассматриваемого нами матричного гамильтониана этот член имеется уже для регулярного в нуле решения.
То, что логарифмическое слагаемое в функции (124) имеет кулонов-скую природу можно понять из анализа соотношений (125) и матрицы (??) (уравнениям (123) соответствует матрица из четырех элементов в верхнем левом углу матрицы (??)). Простой анализ соотношений (??) показывает, что коэффициент К при логарифмической функции в (124) пропорционален степени Z, т.е. в отсутствие кулоновского слагаемого в гамильтониане точные решения соответствующего радиального уравнения Шредингера не содержит логарифмической функции, а являются чисто степенными рядами. То же относится и к остальным двум решениям из фундаментальной системы решений уравнений (123). ПриІГ = О они имеют вид степенных рядов и содержат конечное число членов, пропорциональных отрицательным степеням г, так как им соответствуют следующие корни уравнения detTo(p) = 0: рз — — , р4 — — L — 2. То обстоятельство, что при Z = 0 коэффициенты при логарифмических функциях в точных "левых"решениях уравнений (123) равны нулю, и все решения из фундаментальной системы имеют вид степенных рядов, содержащих конечное, заранее известное число слагаемых, пропорциональных отрицательным степеням г, позволяет находить в этом случае всю фундаментальную систему решений в виде элементарных функций прямо из "правых"решений. Действительно, так как при Z — 0 і = О, то, разлагая экспоненту в (127) в ряд, получаем представление решений в виде ряда по всем отрицательным и положительным степеням г. Поскольку это разложение удовлетворяет уравнениям (мы его искали в таком виде), а точные "левые"решения также им удовлетворяют, они должны совпадать, т.е. полученные "правые"решения должны обрываться при известных отрицательных степенях г. Из сказанного сразу следует в каком виде нужно искать решения. Рассмотрим уравнения (123) в случае F = 3/2, L = 0. Эти значения выбраны потому, что уравнения (123) в этом случае описывают состояние глубокого дефекта h-типа в рамках приближения нулевого радиуса [60.
