Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние классических и квантовых эффектов памяти на транспортные свойства двумерных систем . 15
1.1 Аномальное отрицательное магнитоспротивление, вызванное немарковскими процессами 17
1.2 Интерференционная поправка к проводимости, обусловленная когерентным рассеянием на произвольный угол 43
1.3 Выводы 58
2 Квазиклассическое описание спиновой динамики в двумерных системах . 61
2.1 Релаксация спина по механизму Дьяконова-Переля в двумерных полупроводниковых системах 62
2.2 Замедление спиновой динамики, обусловленное немарковскими процессами 70
2.3 Выводы. 77
3 Квантовые спин-зависимые эффекты в двумерных системах . 79
3.1 Влияние квантовой интерференции на спиновую релаксацию 81
3.2 Квантовая аномалия в эффекте Хапле 96
3.3 Слабая локализация и статистика уровней в системе с сильным спин-орбитальным взаимодействием 101
3.4 Выводы. 114
4 Электрон-фононное взаимодействие и туннельные эффекты в квантующих магнитных полях . 116
4.1 Подвижность электрона в квантующих полях, обусловленная электрон-фононным взаимодействием 118
4.2 Полярон в ультраквантовом пределе 130
4.3 Туннелирование в краевое состояние образца, находящегося в режиме дробного КЭХ 140
4.4 Выводы 147
5 Динамика плазменных волн в двумерных системах . 150
5.1 Детектирование терагерцового излучения с помощью плазменных волн 154
5.2 Развитие плазменной неустойчивости в нелинейном режиме 170
5.3 Развитие плазменной неустойчивости в бесстол кновительном режиме. 182
5.4 Кинетический механизм образования волны зарядовой плотности 186
5.5 Выводы 195
6 Подвижные двумерные островки в композитных системах на основе полупроводников и пироэлектриков . 198
6.1 Двумерный электронный островок в полупроводниковой грануле n-типа, помещенной в пироэлектрическую матрицу 199
6.2 Электронные и дырочные островки в гранулированных системах на основе собственных полупроводников и пироэлектриков 204
6.3 Оптические свойства гранулированной среды с подвижными электронными островками 210
6.4 Выводы 215
Приложения 238
- Интерференционная поправка к проводимости, обусловленная когерентным рассеянием на произвольный угол
- Замедление спиновой динамики, обусловленное немарковскими процессами
- Слабая локализация и статистика уровней в системе с сильным спин-орбитальным взаимодействием
- Туннелирование в краевое состояние образца, находящегося в режиме дробного КЭХ
Введение к работе
Впечатляющий прогресс, достигнутый в последние десятилетия в микроэлектронике, связан с использованием низкоразмерных полупроводниковых структур. Успехи современной нанотехнологии позволяют контролируемым образом выращивать структуры с характерными размерами порядка нескольких постоянных решетки. С переходом на такие масштабы вступают в игру квантовые эффекты и становятся важными явления, связанные с дискретностью заряда электрона. В то же время, физика низкоразмерных систем может быть нетривиальна даже на классическом уровне.
Особое место в современной нанофизике занимают двумерные (2D) полупроводниковые структуры. С одной стороны, именно в 2D квантовых ямах был обнаружен ряд ярких фундаментальных явлений, таких как квантовый эффект Холла (КЭХ), задавших магистральное направление развития физики конденсированного состояния. С другой стороны, 2D полевые транзисторы рассматриваются как наиболее перспективные базовые элементы полупроводниковой микроэлектроники. Поэтому изучение 2D полупроводниковых наноструктур чрезвычайно важно как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения.
Простейший способ теоретического исследования транспортных свойств 2D систем основан на использовании кинетического подхода Друде-Больцмана. Этот подход, однако, позволяет лишь частично описать все богатство наблюдаемых в эксперименте явлений. Следует прежде всего отметить, что уравнение Больцмана не учитывает квантовые эффекты интерференции. Кроме того, в кинетическом подходе пренебрегается классическими эффектами "памяти", которые обусловле-
ны немарковским характером движения электронов.
Хотя первые работы, указывающие на важность немарковских эффектов в транспортных свойствах 3D и 2D систем, появились достаточно давно (см. обзор [1] и работы [2, 3]), роль этих эффектов долгое время недооценивалась. В частности, практически незамеченной осталась работа [2], где было показано, что роль эффектов памяти в 2D системах существенно возрастает в магнитном иоле. Всплеск интереса к немарковским транспортным явлениям, наблюдаемый в последние годы [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1С], был в значительной степени инициирован публикацией [5], где было предсказано экспоненциальное подавление проводимости 2D систем с плавным беспорядком в классически сильных магнитных полях. К моменту написания диссертационной работы было ясно осознано, что классические эффекты памяти могут приводить к аномальным транспортным и магнитотранспортным явлениям в 2D системах. Достаточно подробно такие эффекты были изучены в классически сильных магнитных полях. В то же время, теория аномального транспорта в классически слабых полях отсутствовала. Актуальность построения такой теории связана, в первую очередь, с тем, что экспериментальное проявление немарковских эффектов может быть очень похоже па проявление квантовых эффектов. Например, аномальное отрицательное магпито-сопротивление (МС) в слабых полях, обусловленное классическими эффектами памяти [13, 14, 15, 16], очень похоже на отрицательное МС, вызванное эффектом слабой локализации. Однако, в отличие от квантовых явлений, немарковские эффекты не подавляются неупругим рассеянием и могут наблюдаться при достаточно высоких температурах. Для последовательного анализа имеющихся экспериментальных данных необходимо развить строгую теорию немарковских эффектов памяти и проанализировать их связь с квантовыми эффектами, в частности, с эффектом слабой локализации.
Повышенный интерес к изучению спиновой динамики 2D электронов, наблюдаемый в последние годы, связан с возникновением новой области микроэлектроники
- спинтроники, которая ставит своей целью использовать электронный спин наравне с электронным зарядом [17]. Одна из главных задач спинтроники состоит в том, чтобы сохранить неравновесный спин в течении достаточно долгого времени. В наиболее перспективных для микроэлектроники полупроводниках группы А3В5 решить эту задачу непросто, из-за наличия эффективного механизма спиновой релаксации (механизма Дьяконова-Переля [18]), обусловленного спиновым расщеплением зоны проводимости. Согласно этому механизму, скорость релаксации спина растет с увеличением подвижности и максимальна в особенно интересных для приложений структурах с высокими подвижностями. Поэтому представляется актуальным изучить возможные механизмы замедления спиновой релаксации. Такое замедление может быть обусловлено рядом причин, среди которых - пониженная симметрия 2D систем по сравнению с трехмерными, эффекты квантовой локализации, а также классические немарковские эффекты памяти.
Поведение 2D полупроводниковых систем в квантующих магнитных полях при очень низких температурах изучалось в огромном количестве работ, в основном в контексте целочисленного и дробного КЭХ. Значительно менее изучен режим промежуточных температур, когда температура, с одной стороны, еще мала по сравнению с расстоянием между уровнями Ландау, а с другой, уже достаточно высока, так что электрон-фононное рассеяние доминирует над примесным. Актуальность изучения такого режима связана с тем, что в двумерных структурах с рекордными подвижностями, он реализуется в достаточно широком интервале температур (примерно от 10 К до 100 К). К моменту написания настоящей работы, теоретическое описание этого режима отсутствовало.
В баллистических 2D структурах с продольным размером меньше или порядка длины свободного пробега возникает ряд нетривиальных коллективных явлений. В частности, недавно было предсказано, что стационарное протекание тока в баллистическом полевом транзисторе (ПТ) может быть неустойчивым по отношению к возбуждению плазменных колебаний [19]. Кроме того, баллистические ПТ могут
демонстрировать узкий резонансный отклик на внешнее излучение [20J. Резонансы возникают на частотах плазменных гармоник. Для типичных значений параметров характерные частоты этих гармоник попадают в интересный для приложений терагерцовый диапазон. Отсюда ясна актуальность изучения баллистических 2D систем, связанная в первую очередь с возможностью создания эффективных источников и детекторов терагерцового излучения. В качестве одного из экспериментальных фактов, не имевших объяснения к моменту написания настоящей работы, следует отметить резкое (иа два порядка) увеличение чувствительности ПТ, работающего в режиме детектирования, при протекании тока между истоком и стоком [21]. Кроме того, для сравнения теории с недавно появившимися экспериментами но терагерцовому излучению из канала полевых транзисторов (см. [22], а также ссылки в [22] и [А16]), принципиально важно изучить стационарный режим, возникающий в канале транзистора в результате развития неустойчивости. Представляется также актуальным исследовать другие системы, которые могут эффективно функционировать в терагерцовом интервале частот, в частности, гранулированные системы на основе полупроводниковых и пироэлектрических материалов. В таких системах, могут возникать 2D электронные и дырочные островки, частоты коллективных колебаний которых лежат в терагерцовом интервале.
Цель работы: Теоретическое исследование аномального транспорта и сшш-зависимых явлений в 2D системах, а также изучение коллективной динамики двумерного газа в присутствии электрических и магнитных нолей. Более конкретно, предполагалось:
Изучить влияние квантовых и классических эффектов памяти на магнито-трансиортные свойства 2D систем в классически слабых магнитных нолях.
Построить теорию спиновой динамики в 2D полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром. Исследовать роль эффектов памяти в спиновой релаксации.
Изучить особенности электрон-фононного взаимодействия в 2D системе, по-
мещенной в квантующее магнитное поле.
Исследовать коллективную динамику и кинетические эффекты в 2D системах, в частности, динамику развития плазменной неустойчивости. Исследовать возможность применения этих эффектов в терагерцовой электронике.
Изучить свойства 2D электронных и дырочных островков, возникающих в гранулированных системах на основе полупроводников и пироэлектриков.
Научная новизна работы заключается в построении последовательной аналитической теории ряда транспортных, плазменных и спин-зависимых явлений в двумерных полупроводниковых системах.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволили:
Выяснить оптимальные условия для сохранения неравновесной спиновой поляризации в двумерных системах. Это результат важен для практических приложений в области спинтроники.
Определить возможность детектирования терагерцового излучения в баллистических полевых транзисторах и найти ограничение на амплитуду плазменных колебаний, возникающих в результате токовой неустойчивости. Предложить кинетический механизм стратификации двумерного газа. Эти результаты могут быть использованы для создания полевых транзисторов, работающих в терагерцовом интервале частот.
Определить область параметров, при которых частоты коллективных колебаний электронных и дырочных островков в гранулированных системах на основе полупроводников и пироэлектриков оказываются в терагерцовом интервале частот. Это результат может быть использован в терагерцовой микроэлектронике.
Основные положения, выносимые на защиту:
В классически слабых магнитных нолях существует несколько режимов аномального отрицательного магнитосопротивления, обусловленного немарковскими процессами памяти. По мере увеличения поля магнитосопротивление меняется от квадратичного к квазилинейному, а затем насыщается.
Увеличение рассеяния назад, обусловленное эффектом слабой локализации, сопровождается уменьшением рассеяния на другие углы, так что полное сечение рассеяния не меняется.
В двумерных полупроводниках без центра инверсии скорость спиновой релаксации является тензором, компоненты которого зависят от ориентации плоскости квантовой ямы по отношению к кристаллографическим осям.
В системе со снин-расщепленным спектром релаксация спина замедляется эффектами слабой локализации и классической памяти, которые приводят к появлению долгоживущих "хвостов" в спиновой поляризации и к аномалии в эффекте Ханле. В структурах с плавным беспорядком сильное спиновое расщепление приводит к увеличению вдвое интерференционной поправки к проводимости.
В квантующих магнитных полях продольная подвижность электрона, обусловленная электрон-фононным взаимодействием, подавляется при высоких температурах за счет эффекта локализации в фононном потенциале.
Существует эффективный механизм двухступенчатого туннелирования в краевое состояние образца, находящегося в режиме дробного КЭХ, вовлекающий в качестве промежуточного звена локализованные состояния вблизи уровня Ферми. Этот механизм приводит к неомической характеристике туннельного контакта.
Отклик полевого транзистора, работающего в режиме детектирования те-рагерцового излучения, резко возрастает при протекании постоянного тока. Ширина линии детектирования сужается по мере увеличения тока и обращается в ноль на пороге плазменной неустойчивости. Возникновение неустойчивости сопровождается резким скачком дифференциального сопротивления.
В гранулированной системе, состоящей из полупроводниковых гранул, внедренных в пироэлектрическую матрицу, возникают двумерные электронные и дырочные островки, которые могут двигаться как целое по поверхности гранул. Характерные частоты коллективных колебаний таких островков лежат в терагсрцовом интервале частот.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: Международная конференция "Modern Trends in Theoretical Physics", Институт Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау, Москва, Россия (1995) (приглашенный доклад); Международная конференция "Transport and Localization in Semiconductors", Польша, Варшава (1996); Международная школа "Supersymmetry and Trace Formulae", Кембридж, Англия (1997); Международная конференция "ICPS'24, 24-th International Conference on Physics of Semiconductors", Иерусалим, Израиль (1998); Международная конференция "17-th General Conference of the Condensed Matter Division of European Physical Society", Гренобль, Франция (1998); Международная конференция "Physics at the turn of 21-th century", Ст.-Петербург (1998) (приглашенный доклад); Международная школа "Advanced Workshop on Frontiers in Electronics, WOFE", Гренобль, Франция (1999); Международная конференция "International Conference on Low Temperature Physics LT22", Хельсинки (1999); Международная конференция "10th Int. Conf. on THz Electronics", Кембридж, Англия (2002)(приглашенный доклад); Международная школа "The 7th Wide Bandgap Ill-Nitride Workshop", Ричмонд, США (2002); Международные симпозиумы "Nanostructures: Physics and Technology", Санкт-Петербург, Россия (1997, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006); Меж-
дународная школа "NATO Advanced Workshop", Санкт-Петербург, Россия, (2003, приглашенный доклад), (2004, 2005, 2006); а также на семинарах Международного Центра Теоретической Физики (Триест, Италия), НОРДИТы (центр теоретической физики в Копенгагене, Дания), отделов теории твердого тела Университета Лунда и Уинсалы (Швеция), отдела теории твердого тела Университета Карлсруэ (Германия) и на семинарах различных лабораторий ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН.
Исследования в данном направлении были многократно поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грантами ИНТАС, грантами отделений РАН и грантом ведущих научных школ (школа В.И. Переля).
По результатам исследований, составляющих содержание диссертации, опубликовано 29 научных работ, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы и 5 приложений. Объем диссертации составляет 253 страницы, включая 45 рисунков. Список литературы содержит 167 наименования.
В первой главе развита теория немарковского баллистического транспорта в системе с сильными рассеивателями и изучена слабая локализация в баллистическом режиме. Рассмотрены немарковский и интерференционный вклады в аномальное магнитосопротивление (МС). В первой части главы развит последовательный метод расчета немарковских поправок к кинетическим коэффициентам. На основе этого метода построена строгая теория аномального МС в системе с сильными рассеивающими центрами. Предсказано несколько режимов аномального МС, обусловленного немарковскими эффектами. Во второй части главы изучена квантовая поправка к проводимости, связанная с когерентным рассеянием на произвольный угол. Показано, что эта поправка существенна в баллистическом режиме слабой локализации, когда интерференционный вклад в проводимость определяется короткими путями с длиной порядка нескольких длин пробега. Предложен общий подход, позволяющий выразить как квантовые, так и классические поправки к проводимости через неренормировку эффективного сечения рассея-
ния на одной примеси.
Во второй главе изучена классическая релаксация спина в 2D полупроводниках без центра инверсии. Показано, что в классическом приближении скорость спиновой релаксации является тензором, компоненты которого зависят от ориентации плоскости квантовой ямы по отношению к кристаллографическим осям. Продемонстрировано, что в симметричной квантовой яме, выращенной в направлении [110], компонента спина, перпендикулярная плоскости ямы, не релаксирует. Также показано, что спиновая релаксация замедляется нсмарковскими эффектами.
В третьей главе исследован ряд квантовых спин-зависимых эффектов. Обсуждается роль квантовых интереференционных явлений в спиновой динамике. Показано, что эффект слабой локализации приводит к замедлению спиновой релаксации на больших временах. Предсказана аномальная полевая зависимость эффекта Ханле в режиме слабой локализации. Продемонстрировано, что в системе с сильным спин-орбитальным расщеплением спектра квантовая поправка к проводимости, обусловленная эффектом слабой локализации, увеличивается в два раза. Рассчитана функция корреляции уровней в такой системе.
В четвертой главе изучаются эффекты, возникающие в квантующих магнитных нолях. Исследовано электрон-фононное рассеяние на нижнем уровне Ландау. Показано, что продольная подвижность электрона, обусловленная электрон-фононным рассеянием, немонотонно зависит от температуры: при малых температурах подвижность растет, затем стабилизируется на некотором уровне и в дальнейшем медленно падает с температурой. Показано также, что и пределе очень сильных нолей электрон-фононное взаимодействие расщепляет уровни Ландау в серии бесконечно вырожденных подуровней. В конце главы изучено туннелиро-вания в краевое состояние 2D системы, находящейся в режиме дробного КЭХ. Предложен двухступенчатый механизм туннелирования, вовлекающий на промежуточной стадии локализованные состояния в объеме образца.
В пятой главе исследовано влияние тока на детектирование терагерцового из-
лучения плазменными волнами, распространяющимися в канале полевого транзистора. Показано, что даже очень маленький ток приводит к резкому увеличению амплитуды детектирования. Продемонстрировано, что в резонансном режиме ширина линии детектирования сужается по мере увеличения тока и обращается в ноль на пороге возникновения плазменной неустойчивости. Исследован нелинейный режим развития плазменной неустойчивости в канале полевого транзистора. Показано, что нелинейные эффекты ограничивают рост плазменных колебаний. Изучена зависимость амплитуды возникающих стационарных колебаний от инкремента неустойчивости. Продемонстрировано, что при малых инкрементах амплитуда колебаний пропорциональна корню квадратному из инкремента. Также показано, что при больших инкрементах в канале возникает скачкообразное распределение поля и заряда, аналогичное ударной волне в гидродинамике. Предсказана аналогичная неустойчивость в бесстолкновительной плазме. Предложен механизм стратификации электронного газа в сильном электрическом поле.
В шестой главе показано, что сильное встроенное электрическое поле, существующее в гранулированных системах на основе полупроводников и пироэлек-триков, может приводить к образованию двумерных подвижных электронных и дырочных островков. Вычисляется размер этих островков и концентрация электронов в островках. Изучена коллективная динамика островков. Показано, что частоты коллективных колебаний островков лежат в терагерцовом диапазоне. Изучено распространение связанных плазменных и электромагнитных волн в такой системе. Предсказана аномальная дисперсия в терагерцовой области частот.
В диссертации имеется 5 приложений, где представлены технические детали расчетов.
Диссертационная работа выполнена в Секторе теории электрических и оптических явлений в полупроводниках ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН в соответствии с планом научно-исследовательских работ.
Интерференционная поправка к проводимости, обусловленная когерентным рассеянием на произвольный угол
В этом разделе мы обсудим квантовую поправку к проводимости, связанную с эффектом слабой локализации (СЛ). Обычно под слабой локализацией (СЛ) понимают усиление когерентного рассеяния назад, связанное с интерференцией электронных волн, проходящих замкнутые пути в противоположных направлениях. Это явление приводит к своеобразной квантовой "памяти"— скорость электрона после обхода замкнутой петли направлена с большей вероятностью в направлении, противоположном начальному направлению скорости. Как следствие, в корреляционной функции скорости появляется отрицательный долгоживущий "хвост": (v(0)v()) —1/ при t —у оо. Закон І/і обусловлен соответствующей зависимостью от времени вероятности диффузионного возврата в данную точку пространства и, как следствие, вероятности того, что траектория имеет замкнутую петлю. Поскольку коэффициент диффузии электрона пропорционален интегралу от коррелятора скоростей, то эта долгоживущая корреляция является причиной отрицательной интерференционной поправки к проводимости. В настоящем разделе будет показано, что усиление когерентного рассеяния назад сопровождается уменьшением когерентного рассеяния на другие углы. Мы увидим, что оба типа рассеяния можно описать аналогично тому, как это было сделано в случае эффектов классической памяти: путем перенормировки эффективного сечения рассеяния на одной примеси. При этом, в полной аналогии с классическими эффектами памяти, увеличение рассеяния назад сопровождается уменьшением рассеяния на другие углы, так что полное сечение рассеяния не меняется. В то же время, транспортное сечение меняется, что и приводит к появлению поправки к проводимости. Будет также развит общий подход, применимый не только в диффузионном, но и в баллистическом режиме СЛ. Полная поправка к проводимости, обусловленная эффектом СЛ, представля ется в виде суммы по траекториям, содержащим замкнутые петли разного размера. Различные процессы, приводящие к нарушению интерференции, приводят к ограничению на максимальный размер таких петель.
В отсутствие магнитного поля и спин-орбиталыгого взаимодействия, подавление интерференции происходит за счет неупругого рассеяния, эффект которого можно качественно учесть, вводя время сбоя фазы Тф. При низких температурах Тф много больше, чем длина упругого рассеяния т. Поэтому характерный размер замкнутых путей, дающих вклад в СЛ, много больше длины свободного пробега /, и движение электронов можно описать в диффузионном приближении. В этом приближении поправка к проводимости отрицательна и имеет вид [29] Здесь Ьф = (2ЮтфУ12 - длина сбоя фазы, a D = 12/2т - коэффициент диффузии. Большой логарифмический множитель в (1.63) возникает от интегрирования КОрреЛЯЦИОННОЙ фуНКЦИИ СКОРОСТИ ПО Времени ОТ Т ДО Тф. Магнитное поле В разрушает интерференцию для замкнутых путей, имеющих линейный размер больше, чем магнитная длина 1ц = (Нс/еВ)1/2. С увеличением В магнитная длина становится меньше, чем Ьф и, как следствие, поправка к проводимости уменьшается [30]. Для относительно слабых полей, таких что I 1ц С Ьф, выражение (1.63) остается справедливым при замене Ьф длиной порядка 1ц. Для больших полей, когда 1ц «С /, но все еще / «С Rc (Rc - циклотронный радиус), диффузионное приближение становится неприменимым и главный вклад в Дет дают баллистические замкнутые траектории с длиной порядка 1н- Этот случай был рассмотрен в работах [31, 32], где было показано, что в 2D системах при 1Н : / поправка к проводимости имеет вид Асг ос —1цЦ. Количественная теория СЛ основана на разложении проводимости в ряд по малому параметру (kpl)-1, где кр - волновой вектор электрона, имеющего энергию Ферми. Отрицательная поправка к проводимости (1.63) возникает в первом порядке по этому параметру, как результат суммирования диаграмм, показан пых на рис. 1.11а. Считается, что физический процесс, отвечающий диаграммам 1.11а - это когерентное рассеяние электронной волны назад (рассеяние под углом 7г). В случае, когда диффузионное приближение неприменимо, необходимо также учитывать диаграммы, изображенные на рис. 1.11b . Эти диаграммы дают вклад порядка (А; 0-1 но в отличие от диаграмм 1.11а, их вклад положителен (первый порядок по (kpl)-1 имеют также диаграммы изображенные на рис. 1.11с и рис. l.lld, но они в точности сокращают друг друга). Физическая интерпретация диаграмм рис. 1.11b, насколько нам известно, нигде не приводилась. Более того, в [33] утверждалось, что эти диаграммы не допускают квазиклассической интерпретации.
В этом разделе мы дадим квазиклассическую интерпретацию этих диаграмм и покажем, что их вклад выражается через классическую вероятность возврата к начальной точке под определенным углом к начальному направлению движения. изменения дифференциального сечения рассеяния. Угловая зависимость эффективного сечения показана на рис. 1.12 для случая нулевого магнитного поля и короткодействующего рассеяния. Положительный пик при в = 7г отвечает усилению рассеяния за счет диаграмм рис. 1.11а, в то время как диаграммы рис. 1.11b приводят к уменьшению рассеяния на другие углы, причем полное сечение остается неизменным. В то же время, транспортное сечение меняется, что и приводит к поправке к проводимости. Таким образом, в первом порядке но (kpl)-1 эффект СЛ можно учесть путем малого изменения дифференциального сечения рассеяния. Такая интерпретация возможна и в магнитном поле. При этом эффективное сечение зависит от поля. Мы подробно обсудим, что происходит с эффектом СЛ при увеличении магнитного ноля. Как будет показано, в слабых нолях (Ьф, 1Н 3 /), когда справедливо диффузионное приближение, диаграммы рис. 1.11b приводят к появлению в (1.63) дополнительного множителя 1/2 в аргументе логарифма. Поэтому их вклад с логарифмической точностью мал. В сильных полях (1н I) ситуация меняется и вклад диаграмм рис. 1.11а и рис. 1.11b оказывается одного порядка. Вычисления квантовой поправки к проводимости как функции магнитного ноля будут проведены аналитически в предельном случае очень сильных полей и численно при произвольном поле. Основные уравнения. Рассмотрим движение 2D электронов в случайном потенциале V(г) = Yli u(r Rj), где Rj - положение г-ой примеси, а и(г) - потенциал одной примеси, который предполагается короткодействующим. Корреляционная функция V (г) имеет вид
Замедление спиновой динамики, обусловленное немарковскими процессами
Результаты, полученные в предыдущем разделе, были основаны на использовании уравнения (2.7), которое аналогично кинетическому уравнению Больцмана и не учитывает квантовые и классические эффекты памяти. Как уже обсуждалось выше, эти эффекты приводят к ряду аномальных транспортных явлений в 2D системах [1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. В то же время, влияние эффектов памяти на динамику спина в полупроводниках практически не исследовалось. В этом разделе мы обсудим влияние классических эффектов памяти на спиновую динамику в 2D системах со спин-расщепленным спектром (роль квантовых эффектов обсуждается в следующей главе). Обычно классические эффекты памяти замедляют процессы релаксации, приводя к неэксионенциалыюму затуханию корреляционных функций. В частности, коррелятор скорости в 2D неупорядоченной системе имеет степенной долгоживущий "хвост" [57] по контрасту с экспоненциальным затуханием ехр(—t/т), следующим из уравнения Больцмана. Здесь г = l/vp - транспортное время рассеяния, vp - скорость Ферми, а С - коэффициент, зависящий от типа беспорядка: С = 2а/3тг1 [57] для модели Лоренц газа, в которой электроны рассеиваются на жестких дисках радиуса а, случайно разбросанных в 2D плоскости с концентрацией п (па2 -С 1), и С а2/12 [58] для рассеяния на плавном случайном потенциале с характерной длиной корреляции а. Физически этот долгоживущий хвост появляется из-за "немарковской памяти", возникающей при диффузионных возвратах к одному и тому же рассеивающему центру [1] (см. также недавнюю дискуссию [58, 59]). Ниже мы покажем, что в специальном случае, когда индуцированное спин-орбитальным взаимодействием случайное магнитное поле параллельно фиксированной оси (см. конец предыдущего раздела этой главы), динамика спина на больших временах также определяется немарковскими процессами. В результате, спиновая поляризация при t — оо спадает неэкспоненциалыю, по закону І/t2, в полной аналогии с релаксацией скорости.
Задача ставится следующим образом. Рассматривается система, где частота прецессии спина в случайном магнитном иоле, индуцированном спиновым расщеплением спектра, направлена вдоль фиксированной оси z В таких системах z компонента спина не релаксирует (во избежание недоразумений заметим, что, в отличие от обозначений 2.1, оси x,y,z не совпадают теперь с главными осями кристалла). В симметричных (НО)-ямах ось z перпендикулярна плоскости ямы, а в асимметричных (ЮО)-ямах с рашюй силой констант Дрессельхауза и Бычкова-Рашбы ось z лежит в плоскости ямы. Ось х в обеих случаях лежит в плоскости ямы. Изучается релаксация вектора s = (sx,sy), который перпендикулярен случайному магнитному полю (s _L шр). Мы покажем, что долгоживущий "хвост" І/t2 в спиновой поляризации возникает как для сильных рассеивателей, так и в случае плавного примесного потенциала. Специфика рассматриваемого случая состоит в том, что, как видно из уравнения (2.16), угол вращения спина пропорционален р / pxdt и равен нулю для замкнутых путей [42]. Таким образом, при возврате к примеси спин восстанавливает свое начальное направление. Эта "память" о начальном направлении спина и приводит к появлению долгоживущих корреляций. Гамильтониан системы дается выражением (2.4). На классическом уровне динамика спиновой плотности описывается кинетическим уравнением (2.7). Мы рассмотрим вырожденный электронный газ (Г С Ер), полагая что поляризованные но спину электроны имеют энергию близкую к энергии Ферми Ер. Сначала рассмотрим рассеяние на сильных рассеивателях, случайно разбросанных в плоскости со средней концентрацией п. В этом случае где a{9) - дифференциальное сечение рассеяния на одном рассеивателе (для электрона с энергией Е « Ер) и мы использовали сокращенное обозначение s(0) = s(r, р) (9 - угол вектора р). В (2.17) мы пренебрегли неупругим рассеянием.
Его роль мы кратко обсудим в конце раздела. Чтобы учесть классические эффекты памяти, мы используем метод, предложенный в работе [60] (вычисление корреляционной функции скорости с помощью этого метода проведено в [59]). Ключевая идея состоит в том, чтобы сделать в интеграле столкновений следующую замену п - J i ( -Ri) = п + и(т) , где и(т) = Х)г- НГ R ) - п (и(г)) = 0-Здесь угловые скобки означают усреднение по положениям примесей Rj. В результате, интеграл столкновений принимает вид JB —» JB + J , где Далее, с помощью преобразования Для вычисления среднего в (2.22) примем во внимание, что ( (r) (r )) = n 5(r — г ). В результате, получаем /ОО Здесь (70 = f dipa((p) - полное сечение рассеяния, a GB(0, /? — p , t) = GD(r,tp,tp ,t)\T ,o - плотность вероятности для электрона, вылетающего из точки г = 0 в направлении n = (cos р, sin ф), вернуться в начальную точку через время t вдоль направления n = (cos у? , sin у? ) (см. рис. 2.3). Четыре члена в произведении [и{в — р) — JQ6{6 — ф)][а(ір — в ) — то8( р — в )] описывают четыре типа корреляций, показанных на рис. 2.3. На рис. 2.3а изображен процесс, в котором электрон испытывает два реальных столкновения на одной и той же примеси. В (2.25) соответствующий вклад дается членом, пропорциональным а(в — f)cr( p — в ). В процессе, показанном на рис. 2.3Ь, электрон дважды проходит область с размером порядка размера рассеивателя, не испытывая ни одного реального рассеяния. Поскольку электрон "помнит" об отсутствии примеси в определенной области пространства, существует корреляция между двумя проходами этой области, которая учитывается членом, пропорциональным сг 6(в — р)5( р — в ) в (2.25). Интерпретация двух оставшихся членов основана на том, что в больцмановском подходе, который не учитывает корреляции, возможны следующие процессы. Электрон рассеивается
Слабая локализация и статистика уровней в системе с сильным спин-орбитальным взаимодействием
В предыдущих разделах этой главы мы изучили роль квантовых эффектов интерференции в динамике спина в 2D системах с расщепленным по спину спектром. В этом разделе мы обсудим ряд квантовых спин-зависимых явлений, которые могут проявляться в транспортных свойствах 2D электронов. Хорошо известно, что проявление эффектов интерференции в транспортных свойствах 2D систем чувствительно к спин-орбитальному взаимодействию. В частности, в случае сильного спин-зависимого рассеяния на случайном потенциале интерференционная поправка к проводимости, обусловленная эффектом СЛ, меняет знак и уменьшается в два раза но абсолютной величине но сравнению с выражением (1.63) [73]: Такой же результат получается при рассеянии на короткодействующем потенциале в системе с достаточно сильным спин-орбитальным расщеплением спектра, когда Д«ог h (здесь Aso = hup\p=PF - величина расщепления) [74, 75]. Таким образом, наличие в системе спин-орбитального взаимодействия приводит к антилокализа-ционной поправке к проводимости. Время сбоя фазы Тф при низких температурах определяется электрон-электронными столкновениями и обратно пропорционально температуре Т [76]. Поэтому, строго говоря, выражение (3.62) подразумевает возможность металлического поведения системы и, как следствие, возможность перехода метал-диэлектрик (ПМД) в 2D системе. Изучение такого сценария ПМД представляет интерес в связи с недавними экспериментами в Si-MOSFET [77] и других [78] структурах, где была продемонстрирована возможность ПМД в 2D электронных системах в противоречии с общепринятой теорией одноиараметри-ческого скейлинга [79], согласно которой все состояния в неупорядоченной 2D системе должны быть локализованы. Квантовые ямы, использованные в экспериментах были сильно асимметричны, что подразумевает наличие в системе достаточно сильного спинового расщепления [41]. Хотя механизм ПМД, основанный на индуцированном спин-орбитальным взаимодействием изменении знака квантовой поправки, хорошо известен, он никогда серьезно не рассматривался (см., например, обсуждение этого вопроса в [80, 81, 82]), т.к. наряду с положительной интерференционной поправкой суще ствует отрицательная поправка Аронова-Альтшелера [76] связанная с обменным электрон-электронным взаимодействием в синглетном канале, который нечувствителен к спин-орбитальным взаимодействиям. Поправка Хартри в этой ситуации отсутствует, т.к. она возникает благодаря взаимодействию электрона и дырки в триплетном канале и подавляется спин-орбитальным взаимодействием [83].
При низких температурах 5аее + 5awi О, что означает диэлектрическое поведение. В присутствии долинного вырождения уравнение (3.62) Верно При Тф т„, где т„ - время междолинного перехода. В противоположном предельном случае, когда Тф «С т„, долины независимы, интерференционные поправки от каждой долины складываются и выражение (3.62) нужно умножить на число долин Nv. В то же время, выражение для Soее не содержит Nv [76, 84]. В результате, температурная зависимость полной поправки имеет вид Таким образом, наличие нескольких долин может привести к антилокализации в температурном интервале, задаваемом условием TV Sirv. Но в случае Nv = 2 (который отвечает случаю Si-MOSFET структур) долинное вырождение по-прежнему не приводит к к металлическому поведению. Действительно, как видно из (3.64), полная поправка к проводимости не зависит от температуры в этом случае. Этот результат верен, если мы пренебрежем переходами между долинами, т.е. в нулевом порядке по параметру Тф/ть. Можно, однако, показать, что уже в первом порядке по этому параметру проводимость медленно убывает с уменьшением температуры. Другими словами, учет слабых междолинных переходов приводит к изолирующему поведению. В этом разделе мы рассмотрим температурную зависимость квантовой поправки проводимости в системе с плавным беспорядком. Спиновое расщепление будет u»p = /5[p x n] в гамильтониане (2.4). Здесь n - единичный вектор нормали к плоскости. Спектр и волновые функции имеют вид к2 Спиноры Хк зависят только от полярного угла у?к волнового вектора k = p/h и описывают два состояния со спинами поляризованными вдоль векторов ±[кх п], соответственно.
Поэтому система разделяется на две подсистемы (ветви), "+"и " —", в каждой из которых спин электрона жестко связан с импульсом. Корреляционная функция К (г) = {[/(г) [/(0)) плавного случайного потенциала U(г) спадает на масштабе d 2 Щ.1. Потенциал предполагается слабым, так что выполняются следующие неравенства: Ерт Йит d/vF- Он вызывает переходы как внутри каждой ветви, так и между ветвями. Соответствующие времена где Kpvfa) = KXklXk-q)!2- индексы ц и и обозначают тип ветви (+ или —), a K(q) - Фурье образ от К (г). Далее мы считаем, что спип-орбиталыюе расщеп ление As0 = h2pkF мало по сравнению с Ер- В этом случае можно положить т++ — т = т, т+_ = т_+ = г . Минимальный импульс, необходимый для пе рехода между ветвями определяется дельта-функцией в (3.66) и равен mh/3. В короткодействующем потенциале K(q) = const и возможна любая передача им пульса. Как следствие, значение г» того же порядка, что и время перехода в одной ветви (т, т). В плавном потенциале K(q) спадает на масштабе q І/d, где d - радиус корреляции потенциала. Если в дополнении к неравенству Asor К выполняется более сильное условие то переходы между ветвями подавлены но сравнению с переходами внутри одной ветви. В частности, для случая потенциала, созданного ионизованными примесями, находящимися на расстоянии d от 2D слоя, корреляционная функция равна
Туннелирование в краевое состояние образца, находящегося в режиме дробного КЭХ
Этот раздел посвящен изучению туннелирования из металла в краевое состояние образца, находящегося в режиме дробного КЭХ. Мы обсудим возможность туннельного механизма, вовлекающего локализованные состояния около края образца, и покажем, что такой механизм может быть ответственным за расхождение между экспериментом и теоретическими предсказаниями, основанными на представлении о краевом состоянии как о киралыюй латтинджеровской жидкости. Измерение туннельного тока / между нормальным металлом и образцом, находящимся в режиме дробного КЭХ, является одним из часто используемых способов изучения краевых состояний этого образца. Существующая теория краевых состояний основана на модели киралыюй латтинджеровской жидкости [107, 108, 109]. Масштабная инвариантность латтинджеровской жидкости должна приводить к степенной зависимости I от приложенного напряжения V [107]: Основные предсказания теории [107, 108, 109] состоят в следующем: (1) Если система находится в одном из лафлиновских состояний с заполнением v = 1/(2р + 1) (р - целое), то возникает бесщелевая киральная краевая мода. В этом случае туннельная экспонента равна (2) В более общем случае несжимаемой КЭХ жидкости с фактором заполнения Джейна v = N/(2Np + 1) существует iV краевых мод и вычисления, основанные на представлении о краевой латтинджеровской жидкости, дают [107, 108, 109]
Формула (4.84) предсказывает разрыв производной drj/du при v — 1 и и — 1/2. В работе [110] была предложена альтернативная теория расчета сжимаемых состо яний при факторе заполнения близком к 1/2. Выражение для г){и), полученное в пределе нулевой сжимаемости, совпадает с (4.84). Экспериментальные измерения туннельного тока между нормальным металлом и краевым состоянием образца, находящегося в режиме КЭХ [111], подтвердили, что при низких температурах I-V характеристика имеет степенной вид (4.82) при изменении тока на несколько порядков. Это поведение не зависит от того, находится система в сжимаемом или несжимаемом состоянии. Выло также продемонстрировано, что туннельная экспонента 7] меняется непрерывно с v, причем экспериментальные данные хорошо укладываются на линейную зависимость г] = 1/v. Последний результат находится в очевидном противоречии с (4.84). Это расхождение ставит под сомнение теорию краевых состояний, основанную на модели киралыюй латтинджеровской жидкости (см. дискуссию в работах [112, 113, 114]). Ниже мы ограничимся случаем несжимаемых состояний. В этом случае теория [107, 108, 109] предсказывает существование нескольких краевых мод, одна из которых заряженная, а остальные нейтральные. Заряженная мода описывается киральным бозонным полем фо, тогда как нейтральные моды описываются бозонными полями фг,...,фм-\ и могут быть как киральными (т.е. распространяться в том же направлении, что и заряженная мода), так и анти-киральными (т.е. распростроняться в противоположном направлении). Законы дисперсии заряженной и нейтральных мод задаются скоростями Sj,
На классическом уровне заряженная мода представляет собой краевой магни-топлазмон. В пределе длинных волн (qa g. 1) скорость этой моды дается хорошо известным выражением [115] где к - диэлектрическая постоянная, а а - толщина квантовой ямы. Если считать, что распределение электронной плотности обрывается скачком на границе образ ца, то это единственная краевая мода, которая возникает в рамках классического приближения [115]. В моделях, учитывающих конечную ширину скачка концентрации, уже на уровне классического рассмотрения появляется ряд нейтральных мод [116]. Скорости этих мод пропорциональны е2и/кґт, но, в отличие от (4.86), не содержат кулоновского логарифма ln(l/qa) [116]. Разница скоростей заряженной и нейтральных мод связана с кулоновским взаимодействием, которое больше в заряженной моде. Ненулевые значения скоростей нейтральных мод возникают за счет дипольного и мультипольного взаимодействия. Это взаимодействие слабее взаимодействия в заряженной моде как раз в меру множителя In (1/qa). В квантовой теории [107, 108, 109] скорость заряженной моды по-прежнему дается выражением (4.86). Скорости нейтральных мод являются феноменологическими параметрами. Строгого вывода выражений для этих скоростей не существует. Естественно считать, что, так же как и в классическом случае, скорости этих мод определяются дипольным и мультипольным взаимодействием и, соответственно, меньше скорости заряженной моды лишь в меру кулоновского логарифма. Туннельная экспонента т] в I-V характеристике (4.82) связана с асимптотическим поведением одночастичной функции Грина [117]: В рамках стандартной схемы бозонизации электронные операторы, входящие в (4.87), записываются через бозонные ноля cpj [107, 108, 109] а туннельная экспонента равна Здесь Sj - размерности операторов ехр(г ), a rrij - числа, которые возникают из требования, чтобы оператор ф был фермионным. Для нас существенно, что rrij Ф 0 [107, 108, 109]. Именно поэтому в рамках теории [107, 108, 109] туннельная экспонента больше, чем \jv.
Соотношение (4.83) справедливо в ситуации, когда возбуждается только заряженная мода. Иными словами, если пренебречь вкладом других мод, то мы получим экспериментально наблюдаемое значение туннельной экспоненты. Именно так обстоит дело в так называемой модели независимых бозонов (МНБ) [117, 118], где одиночное локализованное состояние взаимодействует электростатически с краевой заряженной модой. Хотя МНБ даст правильное значение туннельной экспоненты, она ничего нет говорит о физической причине возникновения локализованных состояний и поэтому не совсем понятна адекватность этой модели для описания реальной экспериментальной ситуации. Как мы покажем ниже, туннельная экспонента существенно зависит от распределения локализованных состояний по энергии. Совпадение с экспериментом, полученное в работе [118J, предполагает совершенно определенные ограничения на это распределение. Эти ограничения неявно заложены в методе расчета, использованном в [118]. С нашей точки зрения, хорошее согласие между наблюдаемыми I-V характеристиками и МНБ указывает на то, что около края КЭХ образца существуют электронные состояния, отличные от возбуждений киральной латтинджеровской жидкости. Электроны, туннелирующие из металла в эти состояния, электростатически взаимодействуют с заряженной модой. Ниже мы рассмотрим модель в которой туннельный ток протекает в результате двухступенчатого процесса, вовлекающего на промежуточной стадии локализованные состояния в объеме. Этот процесс может привести к экспериментально наблюдаемой I-V характеристике при условии, что функция распределения локализованных состояний по энергии экспоненциально спадает в щель несжимаемых состояний, аналогично случаю целочисленного КЭХ. Ряд хорошо разрешимых плато, наблюдаемых с эксперименте [111], свидетельствует о том, что в щелях несжимаемых состояний существует конечная плотность
Похожие диссертации на Аномальный транспорт и спиновая динамика в двумерных полупроводниковых системах
