Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 11
1.1 Плазменные волны в идеальной плазме 11
1.2 Теория равновесной неидеальной плазмы 12
1.3 Моделирование равновесной неидеальной плазмы 15
1.4 Стохастические свойства 19
1.5 Неравновесная неидеальная плазма: теория и моделирование 22
1.6 Экспериментальные исследования неидеальной плазмы . 26
Глава 2. Столкновения в равновесной плазме 30
2.1 Моделирование неидеальной плазмы методом молекулярной динамики 31
2.2 Статические свойства неидеальной плазмы 35
2.3 Расчет проводимости из автокоррелятора тока 37
2.4 Эффективная частота столкновений 41
Глава 3. Плазменные волны в равновесной плазме 48
3.1 Ленгмюровские плазменные волны в идеальной плазме . 49
3.2 Динамический структурный фактор идеальной и неидеальной плазмы 51
3.3 Дисперсия и затухание ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазме 55
Глава 4. Стохастические свойства равновесной плазмы 63
4.1 Экспоненциальное разбегание траекторий электронов . 64
4.2 Экспоненциальное разбегание траекторий ионов 67
4.3 Время динамической памяти 69
Глава 5. Релаксация энергии в неизотермической плазме 77
5.1 Основные стадии релаксации в идеальной и неидеальной плазме 78
5.2 Длительность неэкспоненциальной релаксации 83
5.3 Характерное время экспоненциальной релаксации 85
Глава 6. Коэффициент отражения от плоского слоя плазмы 91
6.1 Обсуждение экспериментальных данных 92
6.2 Расчет коэффициента отражения методом МД 94
6.3 Определение профиля электронной концентрации на фронте ударной волны 95
6.4 Влияние неравновесности на поглощение излучения . 100
Заключение 104
Список цитированной литературы 106
- Неравновесная неидеальная плазма: теория и моделирование
- Расчет проводимости из автокоррелятора тока
- Дисперсия и затухание ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазме
- Основные стадии релаксации в идеальной и неидеальной плазме
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому исследованию плазменных волн и характера столкновений частиц в двухкомпонентной неидеальной плазме, состоящей из электронов и однократно заряженных ионов, на основе компьютерного моделирования методом молекулярной динамики (МД).
Актуальность работы определяется тем, что развитие экспериментальной техники в последнем десятилетии привело к возможности получения и исследования вещества в экстремальных состояниях, в частности, неидеальной плазмы. Неидеальная плазма изучается экспериментально в ударных волнах в газах и твердых телах, при электровзрыве проводников, при воздействии мощных электронных пучков и коротких лазерных импульсов на твердотельные и газовые мишени. Стоит также упомянуть неидеальную плазму, получаемую при взаимодействии мощных электронных пучков с микроструктурами, капиллярный и искровой разряды, астрофизические задачи описания атмосферы звезд.
В работах по измерению проводимости, времени релаксации энергии в неизотермической плазме, коэффициента отражения были обнаружены эффекты, которые не удается описать на основе имеющейся теории. Поэтому интерес к построению теоретических моделей неидеальной плазмы в настоящее время достаточно велик.
Теория идеальной плазмы развивается достаточно давно (Лифшиц, Питаевский, Арцимович, Сагдеев, Александров, Богданкевич, Рухадзе [1-3]). В рамках этой теории были построены модели для диэлектрической проницаемости и проводимости плазмы, обнаружены и изучены различные виды плазменных волн в равновесном и неравновесном случаях. Эти модели подтверждаются многочисленными экспериментами. Существование плазменных волн обуславливает практически все многообразие явлений в идеальной плазме. Многие из этих явлений имеют широкое практическое применение (распространение радиоволн в атмосфере, диагностика плазмы излучением, плазменные барьеры и др.).
К сожалению, экстраполяция результатов теории идеальной плазмы в область неидеальности для большинства задач приводит к неправиль- ным результатам и существенным расхождениям с экспериментальными данными. Все основные результаты этой теории получены в предположении о том, что сфера дебаевского экранирования содержит большое число частиц, а столкновения частиц являются слабыми с рассеянием на малые углы. В неидеальной плазме, напротив, экранирование происходит уже на расстояниях, сравнимых со средним межчастичным расстоянием [4], дебаевская сфера формально содержит меньше одной частицы (десятые и даже сотые доли частицы), а взаимодействие частиц принимает характер короткодействующего с рассеянием на большие углы. Поэтому именно столкновительные процессы играют главную роль в теории не идеальной плазмы, и построение адекватной модели столкновений является основной задачей этой теории. Без создания такой модели невозможно корректное рассмотрение следующих вопросов: статическая и динамическая проводимость; область существования и декремент затухания плазменных волн; характер релаксационных процессов и время установления равновесия в неизотермической неидеальной плазме; поглощение энергии электромагнитного поля в плазме.
Особое место в этом списке занимают плазменные волны. Вследствие неправильного учета характера столкновений и экстраполяции результатов теории Ландау за область ее применимости можно придти к выводу о невозможности плазменных волн в неидеальной плазме. Такое утверждение можно встретить даже в широко известных монографиях по физике плазмы (Арцимович, Сагдеев [2]). Впоследствии в некоторых теоретических работах (Валуев, Норман, Каклюгин, Куриленков, Берковский [5-7]) и работах по компьютерному моделированию (Валуев, Хансен, Мак Дональд, Цвикнагель, Пшивул, Рёпке, Вирлинг, Райнхольц [8-10]) было показано, что ленгмюровские и ионно-звуковые плазменные волны все-таки могут существовать в равновесной неидеальной плазме. Однако, эта точка зрения так и не стала общепризнанной. Свойства этих волн, в частности, их дисперсия и декремент затухания, остаются сравнительно мало исследованными.
Несмотря на то, что формула Ландау для релаксации энергии в двух-температурной системе [1] выводилась в приближении слабого столкнови-тельного затухания, многие экспериментаторы применяют ее или ее аналоги для оценки скорости релаксации в неидеальной плазме (Нг, Райли,
Селье, Форсман, Мак Шерри, Вивер, Нарди [11,12]). В результате в указанных работах были выявлены существенные (на несколько порядков величины) расхождения экспериментальных данных с теорией. Анализ экспериментальных данных по проводимости неидеальной плазмы (Дихтер, Зейгарник [13]) указывает на наличие неравновесности на временах, существенно больших, чем время релаксации, определенное по формулам для идеальной плазмы.
Для описания неравновесных систем многих частиц в настоящее время активно развиваются теории на основе квантовой статистики (Зубарев, Морозов, Репке, Климонтович [14,15]), однако, результаты этих явлений являются настолько общими, что их применение в каждом конкретном случае требует специального исследования, сопряженного, как правило, с применением численных методов. Точные аналитические результаты удается получить лишь в приближениях слабого взаимодействия или для слабого отклонения системы от равновесия. В то же время для проектирования экспериментов и анализа их результатов требуются простые формулы, дающие оценку хотя бы по порядку величины. Поэтому в последнее время публикуется много работ (Дхарма-Вардана [16]), в которых вычисляются поправки к скорости релаксации, связанные с неидеальностью плазмы. С учетом этих поправок теоретические результаты [16] гораздо лучше согласуются с экспериментальными данными, чем формула Ландау,
Диагностика излучением является важным методом определения концентрации идеальной плазмы в эксперименте. В то же время, коэффициент отражения от неидеальной плазмы на фронте ударной волны в ксеноне, измеренный в работах [17,18], не удалось объяснить на основе существующих теоретических моделей.
Основной подход к описанию столкновительных процессов в неидеальной плазме заключается в построении модельных интегралов столкновений, которые затем применяются для аналитического или численного решения кинетических уравнений. В этом направлении достигнуты определенные успехи (Райнхольц, Редмер, Рёпке, Вирлинг, Шлангес, Борнат, Хилее, Кремп, Бониц, Оде, Эссер [19-22]). В то же время указанный подход имеет и серьезные ограничения. Во-первых, в указанных работах учитываются лишь парные столкновения частиц. Во-вторых, коллективные эффекты в плазме часто вообще не принимаются во внимание. Во-третьих, в основе кинетического уравнения лежит гипотеза о том, что за время свободного пробега частица успевает "забыть" свое прежнее состояние, поэтому столкновения частиц являются статистически независимыми. Эта гипотеза основана на представлениях о динамическом хаосе (Заславский,
Герценштейн, Кравцов [23-25]). Однако, в случае неидеальной плазмы с сильными столкновениями, время забывания прежнего состояния может оказаться достаточно большим по сравнении с временем свободного пробега и с характерными временами релаксации импульса и энергии. Проверка этой гипотезы может быть осуществлена с помощью компьютерного моделирования.
Среди методов компьютерного моделирования неидеальной плазмы особое место занимают методы Монте-Карло и молекулярной динамики (МД). По сравнению с численным решением уравнений для функции распределения или системы гидродинамических уравнений они обладают гораздо большим быстродействием, поскольку не используют вычислительной сетки в пространстве координат или скоростей. Кроме того, эти методы дают наиболее полную картину о состоянии плазмы на микроскопическом уровне. В отличии от метода Particle-in-cell, применяемого в основном для бесстолкновительной плазмы, столкновения частиц в методах Монте-Карло и МД учитываются точно. Метод Монте-Карло предназначен в основном для определения термодинамических характеристик и стационарных функций распределения равновесной плазмы, в то время как МД с успехом используется и для описания динамики процессов, в том числе, в сильнонеравновесных средах.
Настоящая работа посвящена двум взаимосвязанным вопросам: исследованию столкиовительных процессов в неидеальной плазме и определению области существования и дисперсионных характеристик ленгмюров-ских плазменных волн. Основным способом получения исходных данных для теоретической обработки является компьютерное моделирование методом МД.
Результатами данной работы являются интерполяционные формулы и таблицы значений эффективной частоты столкновений, дисперсии и декремента затухания ленгмюровских плазменных волн, скорости релаксации энергии в неизотермической плазме, времени динамической памяти, проводимости плазмы, коэффициента отражения от плоского слоя плазмы. Указанные результаты могут использоваться для построения более полной теории неидеальной плазмы, для проектирования новых экспериментов или интерпретации уже полученных экспериментальных данных.
В связи с относительной простой и большим количеством работ по теории идеальной плазмы весьма перспективными представляются поиски таких параметров, модификация которых позволила бы применить эту теорию для решения широкого круга задач неидеальной плазмы. Понятно, что свободными параметрами должны быть величины, связанные со столкновениями частиц. В настоящей работе в качестве такого параметра рассматривается комплексная эффективная частота столкновений, значения которой определяются из МД моделирования. Этот параметр связан простыми арифметическими соотношениями с проводимостью и диэлектрической проницаемостью плазмы.
Отдельное исследование посвящено анализу области существования ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазмы и исследованию их дисперсионных характеристик. Наличие плазменных волн в неидеальной плазме открывает путь к применению богатого теоретического арсенала, разработанного для идеальной плазмы. Благодаря этому эффекты, связанные с плазменными волнами, которые были подробно изучены теоретически и экспериментально для случая идеальной плазмы (например, взаимодействие частиц с плазменными волнами [26,27] или перенос излучения через плазменные барьеры), могут иметь место и в неидеальной плазме. Для их количественной оценки требуется лишь набор характеристик, таких как дисперсия и декремент затухания. Указанные характеристики в настоящей работе рассчитываются на основе МД моделирования. В работе показано, что для слабонеидеальной плазмы дисперсионные характеристики ленгмюровских плазменных волн могут быть описаны теорией идеальной плазмы с модифицированной частотой столкновений, о которой уже было сказано. Это еще больше облегчает применение теории для решения конкретных задач.
Результаты, полученные на основе численного моделирования, сравниваются с имеющимися теоретическими моделями. Однако, как уже было отмечено, кинетическая теория перестает работать на временах меньших, чем время возникновения стохастичности в системе. Поэтому изучению стохастических свойств неидеальной плазмы посвящена отдельная глава диссертации. В частности, изучается на каких этапах процессы релаксации импульса и энергии могут быть описаны кинетической теорией (стохастический режим), а на каких динамическими уравнениями движения (динамический режим).
С помощью метода МД исследуется также характер и длительность релаксационных процессов в неизотермической неидеальной плазме. Выделяются основные этапы релаксации. Поскольку в релаксации энергии так же, как и в релаксации импульса, основную роль играют столкновения частиц, результаты МД лучше согласуются с экспериментальными данным, чем теория идеальной плазмы. В работе приводятся интерполяционные формулы, позволяющие определить характерные времена релаксации в плазме с различными типами начальной неравновесности, различной массой ионов и степенью неидеалыюсти. Эти формулы дают возможность экспериментаторам быстро оценить температуру компонент плазмы в различные моменты времени, что особенно важно для экспериментов с временным разрешением в нано- и пикосекундном диапазонах.
В первой главе приводится обзор литературы по имеющимся теоретическим и экспериментальным методам исследования неидеальной плазмы. Отдельно рассматриваются методы и результаты компьютерного моделирования плазмы. Обсуждаются области применимости рассмотренных моделей.
Во второй главе подробно описывается метод моделирования, используемый в этой и последующих главах. Проверяется обоснованность и применимость данного метода. Исследуются статические свойства неидеальной плазмы, такие как бинарные функции распределения частиц, эффективное взаимодействие и радиус экранирования. Результаты для статической проводимости сравниваются с имеющимися теоретическим и экспериментальными данными. Определяется значения статической и динамической эффективной частоты столкновений, зависящей от частоты возмущающего воздействия.
В третьей главе рассчитывается динамический структурный фактор неидеальной плазмы. С его помощью исследуется дисперсия и декремент затухания ленгмюровских плазменных волн. Решается задача нахождения параметров, варьируя которые можно добиться совпадения аналитических результатов теории идеальной плазмы и результатов МД моделирования для неидеальной плазмы. В частности, рассчитываются значения эффективной частоты столкновений, с помощью которой плазменные волны в неидеальной плазме могут быть описаны стандартной теорией Ландау. Определяется область применимости такого подхода.
В четвертой главе изучается экспоненциальное разбегание изначально близких траекторий в неидеальной плазме, определяются показатели Ляпунова для электронов и ионов. Вводится понятие времени динамической памяти, характеризующее переход от динамического движения к хаосу. Исследуется влияние шумов на скорость забывания начальных условий. Выводится универсальная формула, связывающая время динамической памяти, показатель Ляпунова и уровень флуктуации полной энергии в системе.
В пятой главе рассмотрена релаксация в неизотермической неидеальной плазме для трех типов начальной неравновесности с различным соотношением температур электронов и ионов. Выделяются этапы экспо- ненциальной и неэкспоненциальной релаксации. Находятся характерные времена, определяющие различные этапы релаксации, а также зависимости электронной и ионной температур от времени на этих этапах. Рассматривается процесс установления равновесных функций распределения по энергиям в электронной и ионной подсистемах.
В шестой главе рассмотренный в предыдущих главах метод применяются для анализа экспериментов по коэффициенту отражения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне. Рассматриваются три фактора, влияющие на коэффициент отражения: поглощение на нерезкой границе среды, зависимость эффективной частоты столкновений от плотности плазмы и эффекты, связанные с неравновесным состоянием плазмы.
Приведем набор параметров плазмы, используемых на протяжении всей диссертации. В настоящей работе исследуется двухкомпонентная классическая система однократно заряженных частиц — электронов и ионов с массами гаиМ, соответственно. Основными параметрами плазмы являются параметры неидеальности Г и вырождения 6: /47гтгД1/3в2 квТ ^ 2т квТ \ В J kBT' eF (37T2ne)2/3ft2' где пє — концентрация электронов, е — заряд электрона, Т — температура, кв — постоянная Больцмана. Значения параметра неидеальности варьируются в пределах 0,1 < Г < 4. Плазма предполагается невырожденной (9 > 1). Это соответствует электронным концентрациям пе ~ (1019 - 1022) см"3 и температурам Т ~ (104 - 105)К.
Электронная плазменная частота шр и дебаевская длина rD определяются стандартными формулами /4тгпее2 / квТ
Неравновесная неидеальная плазма: теория и моделирование
Неравновесная неидеальная плазма является еще менее изученным объектом, чем равновесная. Нас будет интересовать неизотермическая, в среднем пространственно однородная плазма. Простая экстраполяция результатов теории идеальной плазмы [1,3] в область неидеальности приводит к существенному расхождению с экспериментальными данными по скорости релаксации энергии в неизотермической плазме. Эта модель перестает работать при значениях параметра неидеальности Г = 0,3, т. е. когда число частиц в сфере Дебая становится порядка единицы. Существуют различные попытки модифицировать формулы для идеальной плазмы, изменив пределы интегрирования в интеграле столкновений Ландау. Такие модели позволяют получать разумные результаты до Г = 1.
Методы статистического описания неравновесных систем в настоящее время развиваются довольно активно. Здесь стоит упомянуть метод неравновесного статистического оператора [14,15]. Однако, статистические методы, как правило, описывают обобщенную систему многих частиц и в определенной степени формальны, что затрудняет их использование для расчетов конкретных моделей. Точные аналитические результаты удается получить лишь в приближениях слабого взаимодействия или для слабого отклонения системы от равновесия. Ни то ни другое неприменимо к сильнонеравновеной неидеальной плазме. В этом случае приходится прибегать к численным методам. В дальнейшем мы рассмотрим именно такие работы.
В работе [22] теоретически рассмотрена релаксация температур электронов и ионов в двухкомпонентной неизотермической водородной плазме. Расчет производился с помощью решения системы уравнений двухжид-костной гидродинамики с учетом процессов ионизации и рекомбинации. В уравнения входят концентрации электронов, ионов и атомов, а также температуры электронов и тяжелых частиц. Для значений внутренней энергии введена поправка на неидеальность. Интегралы столкновений для частиц различного типа, а также частота ионизации, определялись численно. При этом изучалась роль упругих и неупругих (с ионизацией) столкновений. Результаты дают представление о характере изменения температур компонент только на временах существенно больших, чем характерное время столкновений. Рассмотрены два начальных состояния, когда температура электронов превышает ионную и наоборот. Полученное в результате расчетов время релаксации по порядку величины совпадает с модифицированной теорией Ландау-Спитцера и примерно на порядок превышает значения, определенные по стандартным формулам [1]. Зависимости от отношения масс компонент плазмы и от заряда ионов не изучались.
Теоретическая работа [16] посвящена получению формулы для скорости релаксации в двухтемпературной системе в наиболее простой форме, пригодной для анализа экспериментальных данных, Вместо классической теории, основывающейся на расчете парного столкновения двух частиц с последующим усреднением по равновесным функциям распределений, в [16] используется квантово-механическое сечение Ферми. При этом взаимодействие частиц заменяется на взаимодействие плазменных мод, которые разделяются на коллективные и индивидуальные. Скорость релаксации в конечном итоге выражается через квантово-механический интеграл, согласно правилу Ферми, и через равновесные функции спектральной плотности для плазменных мод.
Необходимо отметить, что область применимости метода [16] весьма ограничена. Во-первых, борновское приближение по взаимодействию не учитывает сильных столкновений и для силыюнеидеальной плазмы Г 1 это может вносить существенную погрешность в результат. В подтверждение этому можно привести сравнение расчета эффективной частоты столкновений, сделанного в борновском приближении и из уравнения для Т-матрицы [34]. Во-вторых, определение спектральной плотности равновесных плазменных мод в неидеальной плазме является отдельной, пока еще не вполне пока решенной задачей. Именно этой задаче, в частности, посвящена отдельная часть настоящей диссертации. Кроме того, в неравновесной плазме спектр коллективных мод может иметь свои особенности. Однако, несмотря перечисленные недостатки, представленная в [16] модель дает на порядок более низкую скорость релаксации по сравнению с формулой Ландау, что уже лучше согласуется с экспериментом.
В работе [60] представлено более систематическое изложение методов и идей, использованных в [16], а в дополнение к этому изложен еще один теоретический подход сильно связанных колебаний, применимый в отличие от предыдущих методов к системам с быстрым обменом энергией. Большое внимание уделено определению квазиуравнений состояния (quasiequation of state) электронной и ионной подсистем, вычислению динамических структурных факторов. Результаты численных расчетов указывают на нелинейность (неэкспоненциальность) некоторых этапов релаксации. Скорость релаксации рассчитывается для вырожденной алюминиевой плазмы. Результаты демонстрируют отличие от теории (приближение Спитцера-Бриска) на 3 или 4 порядка в зависимости от выбранного метода в сторону уменьшения скорости релаксации.
Моделирование релаксации в неизотермической неидеальной плазме методом МД выполнено в [61] для однокомпонентной и в [62] для двухком-понентной моделей. В [61] изучаются процессы установления равновесной бинарной функции распределения для электронов и одночастичного макс-велловского распределения по скоростям. В первом случае приготовляется ансамбль МД систем, в котором электроны имеют равновесное распределение по скоростям и нескоррелированное пространственное распределение (д(г) — 1). Во втором случае начальным условием является равновесная МД конфигурация, в которой распределение по скоростям деформировано со сдвигом максимума в сторону меньших скоростей. В обоих случаях рассчитывается релаксация средней потенциальной и кинетической энергии на одну частицу, а также релаксация энтропии системы. В результате расчетов обнаружено, что при увеличении неидеальности плазмы скорости обоих релаксационных процессов становятся сравнимыми.
В [61] были обнаружены осцилляции средней кинетической энергии в зависимости от времени при Г 0,5. Осцилляции происходят на частотах, близких к плазменной частоте и становятся все более выраженными при увеличении Г. Характер релаксации изучается только по усредненным термодинамическим величинам, искажения и релаксация самих функций распределения не приводятся. Основное ограничение области применимости результатов данной работы накладывается однокомпонентной моделью плазмы. Как было показано ранее в [4], эта модель неточно описывает даже равновесную функцию бинарного распределения при Г 0,5. Кроме того, процессы релаксации в пространстве координат и скоростей взаимосвязаны и не могут быть разделены такой простой процедурой.
Расчет проводимости из автокоррелятора тока
Стоит отметить, что влияние короткодействующей части потенциала на результаты расчетов сравнительно невелико. Среднее межчастичное расстояние а — (47гпе/3)-1/3, выраженное в длинах Ландау, равно а = Г_1г . Как видно из рис. 2.1, даже для Г = 4, среднее расстояние а 0,2brL и взаимодействие частиц описывается в основном кулоновской частью потенциалов (2.1) и (2.3). Это подтверждает и расчет динамического структурного фактора, о котором подробнее будет сказано в 3.2.
При расчете сил, действующих на частицы, применяются периодические граничные условия (метод ближайшего образа). Число ионов в элементарной МД ячейке составляет N = 128 — 5000. Оно выбирается таким образом, чтобы результат оставался неизменным при дальнейшем увеличении N. Ограниченный размер МД ячейки означает, что потенциал взаимодействия обрезается на расстояниях г L, где L ребро ячейки. Фактически, из-за эффекта экранирования зарядов в плазме это обрезание вносит лишь незначительную погрешность в суммарную силу, если L т о, где го — эффективный радиус экранирования (см. 2.2),
Здесь необходимо отметить, что экранирование не содержится в явном виде в потенциалах (2.1)-(2.3). Оно возникает автоматически при выводе МД системы на равновесие. Понятно, что по мере увеличения плотности плазмы радиус экранирования уменьшается и размер МД ячейки можно также уменьшать [44]. По этой причине метод МД хорошо работает именно в неидеальной плазме, где радиус экранирования сопоставим со средним межчастичным расстоянием. Переход к случаю идеальной плазмы требует больших вычислительных затрат, т.к. размер ячейки приходится увеличивать. При этом число частиц растет как N L3, а время вычислений как N2 LG. Небольшой выигрыш в производительности здесь может быть получен за счет применения алгоритма TreeMD [32].
Шаг интегрирования по времени выбирается таким образом, чтобы полная энергия МД системы сохранялась с точностью не хуже 0,1%. Более подробно о шаге интегрирования см. 4.3. Для того, чтобы вывести МД систему на равновесие с заданным значением температуры, используется следующая схема. 1. Начальная конфигурация частиц в пространстве выбирается случайно. При этом, необходимо исключить попадание какие-либо двух частиц в область сильного взаимодействия между ними. 2. Решаются уравнения движения частиц с дополнительными ланжеве-новскими силами: случайным источником и силой трения, пропорциональной скорости. Амплитуда случайной силы и коэффициент трения согласованы по флуктуационно-диссипационной теореме так, чтобы в результате их действия система была выведена в состояние с заданной температурой. На этом этапе электроны и ионы имеют равные массы, что способствует быстрейшему установлению равновесия в ионной подсистеме. Поскольку координаты частиц в конфигурационном пространстве равновесной системы не зависят от массы, полученные состояния можно в последующем использовать в расчетах с ионами произвольной массы. 3. Когда температура системы достигает заданного значения, ланжеве-новские источники отключаются и производится тестовый МД расчет замкнутой системы. Если в течение достаточно долгого времени, определяемого временем релаксации энергии (см. главу 5), температуры электронов и ионов не отклоняются от заданной более чем на величину термодинамических флуктуации, пропорциональных viV, то равновесие считается установленным. 4. После достижения равновесия производится масштабирование скоростей ионов в соответствии с их массой (v — v/y/M). Это сохранят изотермичность плазмы, однако для полной уверенности в том, что равновесие не нарушено, производится еще один тестовый МД расчет уже с требуемым соотношением масс. -35 Если на каком либо из этапов тестирования наблюдается отклонение температуры электронов или ионов на величину большую, чем величина термодинамических флуктуации, процедура установления равновесия повторяется с этапа 2. Как показывают вычисления, полученное таким образом состояние МД системы имеет максвелловское распределение электронов и ионов по скоростям. Температуры подсистем, распределения по скоростям и бинарные функции распределения не изменяются при дальнейшем решении уравнений движения. Равновесные МД траектории, рассчитанные для систем, полученных указанным выше способом, используются во всех последующих главах для определения статических и динамических свойств неидеальной плазмы.
Статические свойства неидеальной плазмы, такие как энергия взаимодействия, бинарные функции распределения, структурный фактор, изучались во многих предшествующих работах методами МД и Монте-Карло (см., например, [4,9,42]). Тем не менее, эти расчеты стоит повторить по двум причинам. Во-первых, они являются хорошей тестовой задачей для используемой программы моделирования. А во-вторых, возросшие компьютерные возможности позволяют сейчас получать указанные величины с гораздо большей точностью.
Для определения бинарных корреляционных функции рассчитывается достаточно длинная равновесная МД траектория. Типичная длина траектории составляет Т = 200—1000те, где те = 2я/и р — период электронных плазменных колебаний). На этой траектории выбирается / = 5000 — 20000 конфигураций частиц, по которым производится усреднение бинарных кор: реляционных функций
Результаты для gcd{ ) и Ucd{r) представлены на рис. 2.2. На рисунках видно, что по мере увеличения степени неидеальности распределение электронов все сильнее отличается от однородного gee(r) = 1 в области малых расстояний. На распределении ионов при Г = 3.84 видно появление небольшого максимума на расстоянии г = ЪЛгв = 1.6а. При дальнейшем увеличении Г этот максимум становится все более выраженным, что свидетельствует о ближнем порядке в ионной структуре. Однако, в исследуемом нами диапазоне Г этим эффектом можно пренебречь. На зависимостях gei(r) и Uei(r) хорошо видно, что при Г 0,13 экранирование заряда иона происходит не на дебаевской длине rD, а на среднем межчастичном расстоянии а. При слабой неидеальности Г = 0,13 экранировка близка к дебаевской. Как видно из рисунка 2.2 эффективный потенциал ион-ионного взаимодействия (синие точки) практически совпадает с кривой Uu(r) = fexp{-r/rD}.
Дисперсия и затухание ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазме
Стоит отметить, что влияние короткодействующей части потенциала на результаты расчетов сравнительно невелико. Среднее межчастичное расстояние а — (47гпе/3)-1/3, выраженное в длинах Ландау, равно а = Г_1г . Как видно из рис. 2.1, даже для Г = 4, среднее расстояние а 0,2brL и взаимодействие частиц описывается в основном кулоновской частью потенциалов (2.1) и (2.3). Это подтверждает и расчет динамического структурного фактора, о котором подробнее будет сказано в 3.2.
При расчете сил, действующих на частицы, применяются периодические граничные условия (метод ближайшего образа). Число ионов в элементарной МД ячейке составляет N = 128 — 5000. Оно выбирается таким образом, чтобы результат оставался неизменным при дальнейшем увеличении N. Ограниченный размер МД ячейки означает, что потенциал взаимодействия обрезается на расстояниях г L, где L ребро ячейки. Фактически, из-за эффекта экранирования зарядов в плазме это обрезание вносит лишь незначительную погрешность в суммарную силу, если L т о, где го — эффективный радиус экранирования (см. 2.2),
Здесь необходимо отметить, что экранирование не содержится в явном виде в потенциалах (2.1)-(2.3). Оно возникает автоматически при выводе МД системы на равновесие. Понятно, что по мере увеличения плотности плазмы радиус экранирования уменьшается и размер МД ячейки можно также уменьшать [44]. По этой причине метод МД хорошо работает именно в неидеальной плазме, где радиус экранирования сопоставим со средним межчастичным расстоянием. Переход к случаю идеальной плазмы требует больших вычислительных затрат, т.к. размер ячейки приходится увеличивать. При этом число частиц растет как N L3, а время вычислений как N2 LG. Небольшой выигрыш в производительности здесь может быть получен за счет применения алгоритма TreeMD [32].
Шаг интегрирования по времени выбирается таким образом, чтобы полная энергия МД системы сохранялась с точностью не хуже 0,1%. Более подробно о шаге интегрирования см. 4.3. Для того, чтобы вывести МД систему на равновесие с заданным значением температуры, используется следующая схема. 1. Начальная конфигурация частиц в пространстве выбирается случайно. При этом, необходимо исключить попадание какие-либо двух частиц в область сильного взаимодействия между ними. 2. Решаются уравнения движения частиц с дополнительными ланжеве-новскими силами: случайным источником и силой трения, пропорциональной скорости. Амплитуда случайной силы и коэффициент трения согласованы по флуктуационно-диссипационной теореме так, чтобы в результате их действия система была выведена в состояние с заданной температурой. На этом этапе электроны и ионы имеют равные массы, что способствует быстрейшему установлению равновесия в ионной подсистеме. Поскольку координаты частиц в конфигурационном пространстве равновесной системы не зависят от массы, полученные состояния можно в последующем использовать в расчетах с ионами произвольной массы. 3. Когда температура системы достигает заданного значения, ланжеве-новские источники отключаются и производится тестовый МД расчет замкнутой системы. Если в течение достаточно долгого времени, определяемого временем релаксации энергии (см. главу 5), температуры электронов и ионов не отклоняются от заданной более чем на величину термодинамических флуктуации, пропорциональных viV, то равновесие считается установленным. 4. После достижения равновесия производится масштабирование скоростей ионов в соответствии с их массой (v — v/y/M). Это сохранят изотермичность плазмы, однако для полной уверенности в том, что равновесие не нарушено, производится еще один тестовый МД расчет уже с требуемым соотношением масс. -35 Если на каком либо из этапов тестирования наблюдается отклонение температуры электронов или ионов на величину большую, чем величина термодинамических флуктуации, процедура установления равновесия повторяется с этапа 2. Как показывают вычисления, полученное таким образом состояние МД системы имеет максвелловское распределение электронов и ионов по скоростям. Температуры подсистем, распределения по скоростям и бинарные функции распределения не изменяются при дальнейшем решении уравнений движения. Равновесные МД траектории, рассчитанные для систем, полученных указанным выше способом, используются во всех последующих главах для определения статических и динамических свойств неидеальной плазмы. Статические свойства неидеальной плазмы, такие как энергия взаимодействия, бинарные функции распределения, структурный фактор, изучались во многих предшествующих работах методами МД и Монте-Карло (см., например, [4,9,42]). Тем не менее, эти расчеты стоит повторить по двум причинам. Во-первых, они являются хорошей тестовой задачей для используемой программы моделирования. А во-вторых, возросшие компьютерные возможности позволяют сейчас получать указанные величины с гораздо большей точностью. Для определения бинарных корреляционных функции рассчитывается достаточно длинная равновесная МД траектория. Типичная длина траектории составляет Т = 200—1000те, где те = 2я/и р — период электронных плазменных колебаний). На этой траектории выбирается / = 5000 — 20000 конфигураций частиц, по которым производится усреднение бинарных кор: реляционных функций
Результаты для gcd{ ) и Ucd{r) представлены на рис. 2.2. На рисунках видно, что по мере увеличения степени неидеальности распределение электронов все сильнее отличается от однородного gee(r) = 1 в области малых расстояний. На распределении ионов при Г = 3.84 видно появление небольшого максимума на расстоянии г = ЪЛгв = 1.6а. При дальнейшем увеличении Г этот максимум становится все более выраженным, что свидетельствует о ближнем порядке в ионной структуре. Однако, в исследуемом нами диапазоне Г этим эффектом можно пренебречь. На зависимостях gei(r) и Uei(r) хорошо видно, что при Г 0,13 экранирование заряда иона происходит не на дебаевской длине rD, а на среднем межчастичном расстоянии а. При слабой неидеальности Г = 0,13 экранировка близка к дебаевской. Как видно из рисунка 2.2 эффективный потенциал ион-ионного взаимодействия (синие точки) практически совпадает с кривой Uu(r) = fexp{-r/rD}.
Основные стадии релаксации в идеальной и неидеальной плазме
На левых рисунках 3.8 проведены теоретические кривые (сплошные зеленые линии) для полуширин ДСФ идеальной плазмы 5 , в которых свободный параметр и выбирался таким образом, чтобы эти кривые наиболее точно, по методу наименьших квадратов, описывали МД данные. Небольшой загиб теоретических зависимостей #hw (зеленые линии) вверх относительно затухания Ландау Si (пунктир) при больших к обусловлен смещением нуля є (но — г5) к) с действительной оси и соответствующей разницей между полушириной hw и декрементом 5} о чем уже было сказано выше. Найденные значения v являются основным результатом анализа зависимостей $hw(&) Обратимся теперь к зависимости положения пика ДСФ wmax от волнового числа к, представленной на рис. 3.8 справа. Дисперсия в бесстолкно-вительной идеальной плазме w(Ar), показанная рис. 3,8 черной пунктирной линией сильно расходится с результатами МД. Однако, используя полученные ранее из зависимостей ShW(k) значения и, можно аналитически определить смещение максимума ДСФ относительно w(k) и построить кривые max( ) с учетом этого эффекта. Эти кривые показаны на рис. 3.8 справа сплошными зелеными линиями. Как видно из графиков, при Г = 0,64 и Г — 1,28 теоретически найденная дисперсия итах(к) хорошо совпадает с данными МД.
Смещение максимума ДСФ относительно ш(к) объясняет также тот факт, что по мере увеличения к пик ДСФ исчезает раньше, чем достигается граница области существования плазменных волн ко ((&о) = w(feo))-Результаты МД указывают на исчезновение пика ДСФ не при к = ко, а при wmliX(k) — 0.
Приведенная модель хорошо работает при Г 3, однако, при Г = 3,84 расчетная кривая и данные МД не совпадают. Из этого можно сделать вывод о том, что формулы для идеальной плазмы даже с правильно подобранной эффективной частотой столкновений становятся непригодными для описания дисперсии плазменных волн в сильнонеидеальной плазме. Согласно результатам МД частота ленгмюровских плазменный волн в неидеальной плазме смещается в область меньших частот при больших & и в область больших частот при малых к. Для Г = 3,84, krD = 0,64 эта частота в оказывается в два раза меньше, чем дает модифицированная теория идеальной плазмы.
В заключение рассмотрим зависимость эффективной частоты столкновений, полученной из затухания ленгмюровских плазменный волн, v = 25с от параметра неидеальности, и сопоставим эту зависимость с частотой столкновений V(LJ), найденной из автокоррелятора тока в 2.6. Из рис. 3.9 видно, что значения v (красные кружки) находятся ближе к частоте столкновений, взятой на плазменной частоте и(шр) (синие треугольники). Это указывает на согласованность обоих методов расчета.
Заметные отличия v от и(ир) наблюдается при минимальном Г = 0,26 и максимальном Г = 3,84 значениях параметра неидеальности. В первом случае это отличие скорее всего связано с недостаточной точностью полученных результатов, а во втором — неприменимостью выражений для диэлектрической проницаемости идеальной плазмы, использованных при определении 25с. Напомним, что для столь высокой степени неидеальности существенные расхождения наблюдались и при расчете дисперсии ленгмю-ровских плазменных волн.
Общий характер зависимостей г/, проходящих через максимум при Г л; 2, полностью соответствует качественным представлениям, описанным в работе [7]. Асимптотика v Г-1/2 полученная в [7] для Г 1 также не противоречит результатам МД.
Отклонение ь (0) и v(u)p) вверх при Г = 3,84 может быть связано с релаксацией импульса электронов при коллективном характере взаимодействия. В работах [6,30] показано, что при большой степени неидеальности плазма является средой с коллективными степенями свободы, где релаксация импульса электронов обусловлена в основном не столкновениями отдельных частиц, а взаимодействием с коллективными модами. В работах [7,64] дана количественная оценка этого явления, показанная на рис. 3.9 штрих-пунктирной фиолетовой линией. Как видно из рисунка, при Г = 3,84 именно этот механизм релаксации (согласно оценке [7]) становится доминирующим, что, возможно и определяет некоторый рост v в МД расчете. Конечно, единственной точки (Г = 3,84) еще недостаточно, чтобы сделать окончательный вывод, поэтому более обстоятельное численное сопоставление столкновительного и бесстолкновительного механизмов релаксации является предметом дальнейших исследований.
Подводя итог следует отметить следующее. Хотя экстраполяция теории идеальной плазмы с интегралом столкновений Ландау предсказывает отсутствие плазменных волн в неидеальной плазме [2], с помощью метода МД ленгмюровские плазменные волны были обнаружены во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности Г = 0,13 — 3.84, что находится в соответствии с теоретическими оценками [6, 7, 30] и результатами компьютерного моделирования других авторов [8,9,64]. Рассчитаны дисперсионные характеристики ленгмюровских плазменных волн, анализ которых проводился с использованием формул [3] для идеальной плазмы, в которых частота столкновений и рассматривалась как свободный параметр. Показано, что при Г 3 дисперсию и декремент затухания можно описать соответствующими теоретическими кривыми, но при Г 3 этот подход перестает работать. В этой области частота плазменных волн оказывается для k/rD 0,3 выше, а для k/rD 0,3 ниже частоты, полученной из модифицированной теории идеальной плазмы.
Найденные значения v при Г — 0,13 — 3 хорошо согласуются с расчетами динамической частоты столкновений v{bS) из автокоррелятора тока, что говорит о самосогласованности модели. Правильность работы МД алгоритма подтверждается также независимостью результатов от числа частиц в МД ячейке и поведением ДСФ на высоких частотах, соответствующим аналитическим расчетам. В случае слабонеидеальной плазмы (Г Г 1) найденные обоими методами значения и близки к частоте столкновений, используемой в теории идеальной плазмы [1], а при Г 3 соответствуют теоретическим оценкам [7]. Результаты данной главы опубликованы в [70,71,73,74].
