Развитие теории неоклассических тиринг мод в токамаках Широков Максим Станиславович

Содержание к диссертации

Введение 5

1 Влияние бутстреп тока на динамику НТМ 33

1. Исходные плазмодинамические уравнения 33

2. Преобразование уравнений для возмущении іемпераіурьі 37

3. Строгие выражения для возмущений температуры в дальней области 41

4. Возмущение температуры в ближней обласні 45

5. Случаи сюлкновителыюго, конвекційного и инерционного механизмов 45

6. Случай вращательного механизма 46

5. Модельные профили возмущения 'іемпераіурьі 49

6. Вычисление вклада бу гстреп тока в обобщенное уравнение Разерфорда для ширины магшн ною ос ірова 52

1. Кинетический подход к вычислению возмущенною бутстреп тока при наличии сильною поперечного переноса 52

2. Зкеїраноляционньїе выражения для Д^ при произвольном поперечном переносе тепла 55

3. "Бутстреп-драйв" для модельных профилей возмущения температуры 56

1.7 Некоторые разновидности транспортных пороговых моде
лей НТМ 57

1.8 Обсуждение результатов 62

Влияние магнитной ямы на динамику НТМ 65

2.1 Исходные уравнения для расчёга эффек'ы млі ни і ной ямы GG

4. Случай большого поперечного переноса тепла . 66

5. Относительная роль -эффекта магнитной ямы и "бутстреи-драйва" при малом поперечном чеплопе-реносе 69

2.2 Расчёт эффекта магнитной ямы при наличии сильною по
перечного переноса 70

6. Вычисление параметров к"_ш для г і рої их профилей температуры 70

7. Модельные выражения для k^_w 74

8. Базисные выражения для А"/,,, при сильном поперечном переносе 75

3. Двухканальная модель эффекча магнитной ямы 76

4. Выражения для ДІ** 77

5. Стабилизирующий компаунд-эффект 78

6. Обсуждение результатов 81

Транспортная пороговая модель НТМ при наличии ано
мальной поперечной вязкости 84

3.1 Двужидкостной анализ 85

1. Исходные уравнения 85

2. Общая структура возмущённого 6} и і реп тоїч.і . . 86

3. Структура продольного уравнения движения плазмы при учёте как продольной, так и поперечной вя i-костей 86

4. Предельный случай малой поперечной ионной вязкости 87

3.1.5 Гидродинамическая трактовка зависимости во сму
щённою буїсгреп тока о г возмущения злекіриче-

скої о поля острова 88

6. Качественная зависимость возмущенного бу^гк і реп 'кжа от поперечной вязкости ионов 89

7. Модель НТМ, учитывающая поперечную вяликп» ионов 90

3.2 Кинетический подход 90

1. Посі'ановка задачи в рамках кинетического подхода 90

2. Нахождение кинетического выражения для иоиної о вклада в бутстреп юк и вычисление¹ кинетическою "бутстреп-драйва" 99

3.3 Обсуждение результатов 106

Заключение 108

Приложение А ПО

Приложение Б 113

Приложение В 114

Приложение Г. Профильная функция Разерфорда 117

Литература 118

Введение к работе

Диссеріация посвящена развитию теории неоклассических іириш мод, НТМ, в 'іокамаках.

Важность исследования реак і оров-т окамаков ж на из тою, чю реакторы эюго гипа являются одним из наиболее перепек і ивных і ішов іер-моядерных установок, применяемых для создания и исследования высокотемпературной плазмы.

Анализ энергетического баланса показывает, чю реализация энергетически выгодного термоядерної о реак'іора на основе токамака возможна лишь при достаточно большом отношении давления плазмы к давлению магнитного поля (парамеїр /?). Акіуальнос іь исследования HTM ясна из того, что они ограничивают предельно досіижимое дав іение плазмы (параметр /?) в токамаке и чем самым являюіся серьезным препятствием на пути к осуществлению управляемою іермоядерною син-іеза в установках типа ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) [1].

Впервые магнитные острова наблюдались на усіановке TFTH [2]. В дальнейшем на многих установках типа токамак бы ю показано, чю при низких часютах сюлкновений предельно досі ижимое значение параметра (3, определяемое возбуждением НТМ, существенно меньше, 4(41 предел, предсказываемый идеальной МГД.

В н<н юящее время существует несколько пороюиых моделей НТМ, т.е. моделей, позволяющих предсказывать порог возбуждения по параметру <1 Одно из основных направлений теоретиче( кої о описания > помя- ну і ого выше порога представляют собой іраиспоріньїе пороювие модели, описывающие влияние процессов переноса на динамику ІГГМ _г [л п>-нейшему развитию эюго направления посвящена диссертация.

Прежде чем излагать конкретное содержание работы, дадим об юр предшествующих исследований по НТМ и сформулируем её це пі и структуру.

1. Первоначальное развитие пороговых моделей НТМ

Прежде всего огмеїим работу [3], в которой, в частости, была сформулирована первоначальная версия уравнения эволюции неу( іойчивосіи тиринг моды ^-^ (1) dt 4 ' ^{[ Ч} называемого уравнением Разерфорда. Здесь w полуширина шринг моды, А' — стандартный параметр сшивки теории шринг мод [4], определяемый профилем равновесного продольного юка. Знак пропорциональное і и означает, что правая часть ур. (1) должна быть домножеиа на положительный коэффициент, который може і быть найден в [3]. В рамках подхода [3,4] из ур. (1) следует, что рост тиринг моды можно подавлять, создавая "благоприятный" профиль равновесного продольною юка, i.e. такой, при котором

Д' < 0. (2)

Далее мы будем всюду считать, чю неравенство (2) удовлеіворено.

Дальнейшее развитие теоретических исследований тиринг' моды в работах [5,6] (см. также работу [7], явившуюся продо іжением [5]) иоказа-лоо, что рост тиринг моды возможен даже при благоприятном профиле равновесного тока, Д' < 0, если учесть неоклассический -крфекі бутсі реп юка. Тем самым [5,7] сформулировали первоначальную теорию неоклассических тиринг¹ мод (НТМ). Эю заключение подтвердило* ь жс-перименгами на установке TFTR [2].

Согласно [5,6], качественно, вклад бутстреп і ока, Дь₄, оказался дестабилизирующим (так называемый "бутсіреп-драіїв"'), Д^ > 0, и определяется выражением Аьз — Р_рСь/т, где fi_p — по юидалыюе бе і а на резонансной магии і ной поверхности, Q, — некоюрая конеіаніа ^гГаким образом, авторы рабог ]5,6] пришли к следующей версии обобщенною уравнения Разерфорда dw А' (5_РС_{Ь (гЛ} —— ~ . о) dt 4 w ^w

Видно, что теория [5,6] позволяег получить выражение для максимально возможной полуширины острова как функцию полоидального бе і а: w_max = 4ft_pC_b/(-A').

Помимо уномянуюй выше возможное і и роста ПТМ при благоприятном профиле равновесного продольною тока, экспери.мешальные данные свидетельствовали о чом, чю сущесівуег некоюрый по\юг возбуждения ПТМ но парамеїру (3, при превышении котрого происходи і нарастание НТМ. Указанная же выше теория не позво іяла вычисли і ь пороговое (критическое) значение параметра /З_р. Из )юго вы і екала необходимость разработки более полной теории НТМ, предсказывающей наличие критического /Зр.

Наряду с эффектом бутсіреп тока, в теорию магнитных осіровов (нелинейная стадия эволюции НТМ) был "инкорпорирован" эффем поляризационного тока, что было сделано в рабоїах Смолякова [8,9]. При этом рассматривались вращающиеся острова. В ука ынных рабоїах было использовано приближение плоской геометрии с учёюм диамапппных дрейфовых эффектов. В результате автор рабог [8.9] получил следующую версию обобщенного уравнения Разерфорда где величина А_р характеризует вклад поляризационного тока и с ючно-с!ыо до положительного множшеля означает А_р ~ —l/wⁱ < 0. Таким образом, в рамках указанных выше предположений рабої |8, 9] поля- ризационный ток оказался стабилизирующим. Такой же результат был получен в работе [10].

Следующим важным шагом в развшии теории магниіньїх (кіровов явилась работа [11]. В эюй работе было произведено обьединение \помянутых выше направлений исследования влияния буїстреп- и по іяри-^ационного токов на эволюцию НТМ. Причём, в о і нічиє о і рабої |8,9], испольювавших приближение плоской геометрии, в [11] был прогпведён неоклассический расчёт вклада поляризационного і ока в уравнение Ра-зерфорда для режима бананов с ошосиїельно большой ча( иной ( тлк-новений. При эюм оказалось, ч^гю, в отличие от случая плоской геометрии, поляризационный ток является дестабилизирующим. Таким образом, аналогично [5-7], теория, развитая в работе [11]. позволяла по і\ чшь максимально возможную ширину острова, но не пошоляла вычисли і ь порог возбуждения НТМ по параметру fi_p.

Пороговая модель поляризационного тока

Одна и? первых пороговых моделей НТМ описана в работе [12]. В ной работе, как и в [11], рассматривался эффект поляри їационною тока її режиме бананов, однако, в отличие ог [И], где была рассмотрена об ідеїь этого режима с относительно большой частотой столкновений, в [12] рассматривался случай редких столкновений. В резулыаю авторы [12] пришли к выводу, аналогичному [8-Ю], то есть к заключению, чю по гири-зационный ток является стабилизирующим А_р = —і^Ср/ю⁶ < 0. Результаты работ [5-7,12] были обобщены в [13], в резульїаіе чего авторы [13] пришли к следующей версии обобщенної о уравнения Разерфорда ''"' ^Д' 4. Я (^{Cb С}Л (U

Важным следствием рассматриваемой модели явилось указание на сущееівование порога возбуждения HTM

В связи с этим уравнение (5) было названо пороговой моделью поіяри-зационного тока [1].

Значение давления плазмы, соотвеїсгвуюіцее порогу (G), оказл юсь меньше предельного значения давления, предсказываемою идеальной МГД, 'ю есть следующие из работы [13] условия ( іабильшк їй оказались более жёсткими, чем сооївеїсгвующие условия по Тройоиу [14]. Более юго, авторы работы [13] заключили, ч'іо экс перимены іьньїе данные, полученные на установках ASDEX Upgrade, COMPASS-I) и DIII-D, успешно описываются их моделью. В эюм контексіе исследования ПТМ стали считаїься более важными, чем исследования идеальной стабильности для изучения предела но параметру бета в юкамаке-реакторе.

Отметим также, чю на начальной стадии своею развишя порою-вая модель поляризационного гока содержала в себе иекоюрыо спорные момешы, касающиеся в частности вычисления час юты вращения острова и профиля скорости плазмы вблизи сепаратрисы острова. Однако в настоящей работе мы не будем касаться зі их вопросов. Их подробное описание может быть найдено в [15].

Первоначальная транспортная пороговая модель НТМ

В первоначальной работе Фитцпатрика но соответеі вующей проблематике [16] предполагалось, что "бутстреп-драйв" определяйся мокіронной компонентой плазмы. Эю предположение являє і ся резонным в случае плазмы, температура электронов которой велика по сравнению с юмпе-ратурой ионов (плазма с горячими электронами). При лом рассмаїрива-лась конкуренция между поперечной и продольной іеплоироводінк 1Ы0 электронов в рамках столкновителыюй гидродинамики Брагинского [17]. Транспортную пороговую модель НТМ, учитывающую лишь указанный конкурирующий процесс ("механизм"), можно назван, "моде іью ^1>піц-патрика", "электронной стандартной транспортной моделью" или, для просплы, ''сюлкновиїельной моделью". В рамках ілкой модели )но по-ция млі питного осірова описьіваеіся следующим уі)авнением dw a; p_pc_bw dt ~ 4 W² + W?' ^{[ ]} где W₄r_e ~ (хіе/хце) ~ критическая ширина осірова, \u и \|< " коэффициенты поперечной и продольной теплопроводное їй -э іекіронов, а индекс Т_е у W_c учитывает, что речь идет о процессах, определяющих возмущенную температуру электронов.

В работе [16] отмечалось также, что предположение о сто ікнови і ель-ном характере продольной теплопроводности не удов іегворяеіся при не слишком малой іемперагуре электронов, поскольку при эюм их д шна свободного пробега оказывается большой по сравнению с их "протеїной длиной" VT_e/L_s, где Vfe — тепловая скорость злекіронов, Ь_ь — д шна шира. При этом, согласно [16], в качестве процесса, конкурирующею с поперечной электронной теплопроводноеіью, вмесю продольной ІЄІІЛО-проводности следует брать так называемую "бессюткновительную продольную конвекцию" электронов. Эта идея [16] была подхвачена исс іедо-вателями, проводившими эксперименты на усіановке COMPASS-I) [18] (см. также [15[). В результате было сформулировано преде іавление о транспо{)тной ио})оговой модели НТМ, которую можно назва і ь "моделью Фитцпатрика-Гейтса", "электронной конвекгивно-транспоріноіі моделью" или, для простоты, "конвективной моделью" В рамках -мои модели критическая ширина острова W_c имеет функциональную зависимость вида W_c,_Tt ~ Х±с-

2. Экспериментальные исследования НТМ

Сущееівование НТМ было показано во многочисленных экснеримешах. В таблице 1 указаны установки, на которых были зафиксированы НТМ.

Эксперименты на указанных усіановках показа ш, что ПТМ имеют порог возбуждения по параметру /?, иредсіавляющему собой о і ношение давления плазмы к давлению магнитного поля. В качестве примера жс-перименов, указывающих на эют порог, можно обрліиться к резулыа-там, помученным на установках TFTR и ASDEX Upgiade. Можно видеіь [2], что, несмотря на постоянный нагрев плазмы, в некоюрый момент времени рост параметра /3 (давления плазмы) замедляется, а за і ем и вовсе прекращается. Возможная причина прекращения этою рос і а іак-же может быть видна из следующего: момент замед іения ро( і а дав іения плазмы совпадает с моментом появления МГД активности (ПТМ) в плазме токамака. Из графика эволюции профиля элекфонной темпера і \ры можно видегь, чю профиль температуры уплощаеіся, свидеіельеівуя о появлении магнитного острова.

3. Современные теоретические исследования НТМ

Первоначальное представление об эффекте "бессю ікновиїе іьной продольной конвекции" было интуитивным [16,18,19] Затем в [20] было развию кинеіическое описание данного эффекта. Эю описание ос новы-валось на дрейфовом кинетическом уравнении вида f||V||/-X±^2=0, где Xi ~~ коэффициент поперечного переноса, х радиальное оікло-нение о г сингулярной поверхноеіи, v — скоросіь частицы, индекс | — обозначает проекцию на суммарное магнитное но ie, / — функция распределения частиц. В резулыате был найден модельный профиль іем-пера'іурьі для случая конвективной модели.

В дальнейшем в рабо і с [21] было разъяснено, чю для гидродинамическою описания "бесстолкновительной продольной конвекции" необходимо учитывать бессюлкновительный продольный поток 'іеила (см. подробнее подраздел 1.1.2) эд = у/^1;||^у2/^^у> ^гД^е ^ ^— масса чаешцы, а функция / удовлетворяет дрейфовому кинетическому уравнению (8), го есть использовать вместо гидродинамики Брагинского [17|, исио п/ю-вавшейся в [22], более общее описание плазмы, например гидродинамику типа Г\)ща (см. подробнее [21]). В результаїе в рабо і е [21] было иол\ чено уравнение Разерфорда для конвективной транспоріной моде ти, аналогичное (7) с W_t вида W_(jTc ~ х/,' » качесівешю нодіверждаюіцее ре?уль-тат рабоїьі [22].

В работах [16,18,23] считалось, что осірова являются невращающи-мися, и = 0, где и — частота вращения островов. Исследование транспортных пороговых моделей вращающихся НТМ, ш ф О, было начаю в рабоїе [22]. Авторы этой работы исходили из уравнения теплопроводности вида no^ = --V-q, (9) где q = — % (хц^|| + Х±^±) 7\ ⁿo - равновесная плотное 11> пла*мы, d/dt = д/dt + V V, V — скорость плазмы, Vjj и V_l — coo і век і пенно продольный и поперечный (по о:ношению к суммарному магнипюму полю) градиенты, хц и х± соотвеїствеино коэффициенты іі])одольноіі и поперечной теплопроводпостсй. Уравнение (9) огличаеіся от исходною уравнения работы Фитцпатрика [16] отличной от нуля прон шодіюіі по времени, что отражает факт вращения островов.

При этом поперечный перенос ассоциировался с поперечной іеилопро- водное і ью. Являє] ся ли эга теплопроводность элеырошюй или ионной — этот вопрос не конкреіизировался, хоія при ана ш к- физичес ки\ < іед-сівий, вытекающих из эгой модели, отмечалось, чю -эта ген юпронод-ноегь являеіся ионной. В качестве эффекта, конкурирующею с поперечным переносом, рассматривался "вращательный перенос*" тепла, характеризуемый членом с временной производной уравнения теплопроводности. Соответствующая модель была названа "вращаіельно-іранспорі ной пороговой моделью". В рамках эгой модели также по іучалось уравнение эволюции вида (7), а функциональная зависимосіь \V₍ оказалась с кугу-ющей W_c~(_Xl/uf². (10)

Затем в [24] было разъяснено, что модель [22] относится к іак называемым "сверхзвуковым НТМ", т.е. к таким, коюрые вращаюкя с час ю-іами и большими, чем характерная часто і а звуковых волн, wj, = rjc ₍jj, и > u_s, где c_s — скоростъ звука, k^_Pff — характе})ное ("эффективное") продольное волновое число. В связи с этим в [24] было предложено называть "вращателыю-транспоргную модель" рабо і ы [22] "сверхзвуковой транспортной пороговой моделью". Ниже для upot юты мы будем называть её также "вращательной моделью". При меньших час юіах вращения острова, со < ил,, доминирующим эффектом, конкурирующим с поперечным транспортом, являеіся перенос тепла, описываемый членом с иродочьным градиентом продольной скорости п'ы'мы Vj| в уравнении теплопроводности Poc^VyV^-^V.q. (И)

Это порождает еще одну разновидность транспортных порейовы\ моделей НТМ, которая была названа в [24] "дозвуковой транспоріной пороговой моделью". В свою очередь, согласно уравнению продольною движения плазмы, продольная скорость плазмы Vjj онределяекя балансом между продольной инерцией плазмы и продольным градиепюм давле- ния пла?мы

РвЩ/dt = -n„V|,7\ (12)

Позі ому при и < uj_s в задаче об ослаблении бутсі реи 'і ока оказываемся "задействованной" продольная инерция плазмы (см. подробнее¹ подра $дел 1.1.2). В сооїветствии с этим "дозвуковая модель" может бьпь на шана "инерционной пороговой моделью". Для проем01 ы мы будем называть её также "инерционной моделью". Согласно [24], в рамках ж)й модели получается функциональная зависимость W_c~(uj_X±)^l/i. (13)

Кроме того, в [24] оценивались условия, при коюрых должны не поль-зоватьея инерционная или вращаіельная модели. При этом учшыва юсь, чю минимальным значением ширины магнитного ое ірова W_mm явчяегся величина порядка ширины "ионного банана" рь ~ pq/c¹/², W_mm ~ pi„ где /; — ларморовский радиус ионов, q — коэффициеш запаса, с — обрапюе аспектное отношение, и что характерным значением чаемоіьі вращения острова является дрейфовая частот w*. Тогда, согласно [24], дошукешая модель должна применяться при описании НТМ е- W/W_mm > Г¹/², (14) а сверхзвуковая — при

К W/W_mtn < е-¹'². (15)

Из контекста ясно, что дозвуковая модель должна ассоциирования с "ионным каналом". В значительной степени то же¹ касаеіся и вращательной модели, хотя не исключено, что она можем иметь 01 ношение» и к "электронному каналу". Конвективная же модель должна прежде¹ всего ассоциироваться с "электронным каналом". Может ли она имемь о і ношение к "ионному каналу", — эют вопрос пока не расематриватея.

К какому из указанных каналов имеем' отношение емолкновиїе шная модель, в настоящее время остается неясным. Как оімечалось выше, при первоначальном анализе этой модели, произведенном в [16], предполагалось, что она характеризует "электронный канал". Однако, согласно вышесказанному, она в этом случае "неконкуренч ос пособна" по о і ношению к конвективной модели [16,18]. Эюобсюятельс пюучшьшаекя при интерпретации экспериментальных данных но НТМ в плазме с юрячими электронами [18,19,25,26]. В [24] обсуждался вопрос о применимости стоткновшельной модели для описания "ионною канала" "бук і реи-драйва" при и ф 0. При эюм отмечалось, что в ном случае ак і ильным являеіся выяснение относительной роли указанной моде чи и инерционной модели. Согласно [24], инерционная модель более важна, чем сюлкновительная модель при условии, что инерционный перенос сильнее переноса обусловленного продольной теплопроводностью. Эю уловне означает

Х||« < ^/". (16)

С друюй стороны, согласно [24], при конечных ш имеет мес ю оценка х„, * —4т1' ⁽¹⁷) где u_tefj — эффективная частота ионных столкновений. Из (17) вы і екает, что в рамках столкновительной гидродинамики, zv// > М» У⁽'-^И)вие (16) следует считать выполненным. Эю означает, чю столкиовиїе іьная модель неприменима для описания "ионного канала" "бутстреп-драйва". Таким образом, столкновительная модель неприменима для описания "ионною канала" "буїсіреп-драйва" НТМ и вряд ли применима в с іучае "электронного канала". Тем не менее ее анализ преде гавляеіся важным но крайней мере по двум причинам. Во-первых, она являє к я єдине і ионной из всех, которая ранее анализировалась численно. В з і ом смысле она до некоторой сіепени являє і ся "эталонной": то іько с немо и можно сопоставлять аналитические расчеты. Во-вторых, "удельный вес" е стременных работ по транспортным моделям, имеющим дело с эюй моде\чыо, являекя доминирующим. Потому игнорирование ной модели В НД( 10-ящее время представляется нецелесообразным.

Как отмечалось ранее, точное решение уравнения чеплопроводшкчи было найдено лишь в рабо і е [22], описывающей вращательную модель. Для осіальньїх же трёх моделей в рабоїах [16,21,24] были найдены шшь модельные решения. Позднее в рабоїе [27[, резулыагы ко юрой суммированы в главе I диссертации, был установлен тої факт, что и для і рёх последних моделей возможно получение точных аналитических решений уравнений теплопроводности, соотвеїсівующих каждой модеми.

Перечисленные выше четыре модели можно назвать "одноканатьиы-ми" в том смысле, что в них учигьшаеіся вклад в '*б> і с треп-драйв" лишь от градиента температуры электронов. При более общей посчановке задачи следует иметь дело с "трехканальными" моделями, т.е. такими, в которых учишвается "бутстреп-драйв", обусловленный градиеными іем-пературы злекіронов и ионов, а іакже градиенюм плотное ш платы. Например в работе [28] было показано, что при слабом поперечном переносе бутстреп ток определяется градиентами ионной и электронной темпераіур и градиентом плотности плазмы

У/²с .//„ = -2.46- {%_е + То,) -х- + 0.40п„-^ - ().17п₀^ ах ах ах где Во — полоидальное магниіное поле при г = r_s, s — шир, ііц плотность плазмы, Т_п Т_г, — сооївеїсівешю, температуры -лекіронов и ионов, штрих — производная по радиусу, "крышка" обозначаеі возмущение. Первым шагом в разработке "трехканальных" моделей яв гяегся работа [23]. Кроме того, важной в рассматриваемом контексче являемся работа [29], в которой было разъяснено, что величина Д^, харакіеризу-ющая '"бутстреп-драйв", должна иметь следующую с груктуру

А=п_е,Т_е,Т, где "Л" означает "А-й канал", ^Ab>^A ~ ^(ll"'^Aw* + wh' ⁽²⁰⁾ Ubs,A ~ Некоторые ЧИСЛеїШЬіе КОЭффиЦИеНТЫ, Wd,A ~~ НЄК0ЮрЬІЄ эффеК- швные кричические ширины острова, с точностью до численных ко-эф-фициенюв совпадающие с критическими ширинами W_c^ дія случаев столкновительной и конвективной моделей. Суммирование но А в (19) означает, что за ослабление "буї сі pen-драйва" могу і бьпь оівеїсівенньї іри разновидности аномальною переноса: аномальная поперечная диффузия (А — п_с), и аномальные поперечные теплопроводности ) іекіроиов {А = Т₍) и ионов [А = Т_г).

Опюсительно каждой из чеіьірех обсуждаемых моделей можно сказать, чю каждая из них являеіся "моделью одного механизма" (''hingle-mechanism model") в том смысле, что они основывакнся на учеіе лишь какого-либо одного конкурирующего процесса ("механизма") усыновления профиля возмущенной температуры. Поэтому, вообще говоря, к ним следуем относиться как к фрагментам более сложных "одноканальных моделей".

Модель Фитцпатрика [16] сіала "встраиваться" в более общие¹ (т.е. в так называемые "обобщенные") модели [29,30], учшывающие -эффект поляризационного тока [11,12,15] и эффект маши той ямы (эффект Глассера-Грина-Джонсона) [31], в качесі не "канала", харакіери зующею всю плазму в целом, т.е. в качестве некого "общепла змеиного кана і а".

В указанном виде модель Фитцпатрика [16] использовалась дня ин-терпреіации экспериментальных данных и в "прогнозирующих" це іях в большом числе работ (см. напр., [30,32-35]). Эта же модель послужила 01 нравным пунктом для последующего развития более сложных пороговых моделей, учитывающих влияние поперечного переноса на эффект маши той ямы [36,37] и эффек і ивное увеличение поперечной 'іенлонро-водногш, обусловленное внешними винтовыми почями [38].

Очевидно, чю "общеплазменное" применение модели Фиіцпаїрика можно было бы считать до определенной степени оправданным, если бы роль "общеплазменного канала" играл канал электронной іеплопро-водносіи. Однако, во многих работах и, в час пик їй, в рабо і ах і рупп, ориеніируюіцихся на приложения теории к экспериментам на усмлнов-ках ASDEX-U [34] и DIII-D [35] предполагалось, чю іемпераіурд ионов не менее существенна, чем температура электронов І Іоо і ому в ука$ан-ных работах фактически делалось предположение¹, чю "двухканальные" процессы могу г быть описаны в терминах "одноканлльных" с исио іьзо-ванием выражения для Аь₃ вида [ср. с (19), (20)] ^Abs~ ^absw^wf ⁽²¹⁾

Иначе юворя, фактически предполагалось, что вместо выражений іи-па W_c,a ~ (х±,л/Х||,л) » ^lW А — (^е7^г)) можно исиользовліь выражение типа W_c ~ (х±/хц) ) ^гД^е Х± ^и Х|| ^— коэффициенты поперечной и продольной теплопроводности плазмы, означающие¹ \ч = max(x±,, уіг) и Х|| = max (хц_г, хц,) . Однако, как правило, max(x±_f ,А и) = Yin max (х ,,X||i) = Х\\е Поэтому, фактически, ^~(хі_г/Х||е)^1/4. (22)

Формулу (22) можно было бы считать оправданной в случае досі а і очно сильного теплообмена между электронами и ионами. Тогда можно использовать приближение единой (общей) темпераіурьі нлдшы и путем сложения злекіронного и ионного уравнений ісчілопроводносіи получить единое уравнение теплопроводное і и. В эк< иеримеиыльных же условиях теплообмен является слабым. Поэтому соответствующие "об-щеплалменные" модели следует расемаїривать как не вполне¹ адекватные.

Согласно предыдущему изложению, устойчивой і» НТМ определяемся их "бу істреп-драйвом" [5,7] и воздействием на них ряда друшх оффек- чов, в том числе эффекта магнитной ямы (эффекта криви шы магші і ного ноля) [27,31]. Работа Фитцпагрика [16] сїимулировала исследование проблемы о том, в какой мере сильный поперечный перенос ослабляет влияние магнитной ямы на НТМ. Первоначальное исследование *юй проблемі)! было интуитивным [29]. При этом в [29] бы ю выдвинуто предположение, что указанное ослабление происходи і но ыком\ же мкону, как и ослабление "бутстреп-драйва". Это предположение было сформулировано в [29] в терминах множителя hf(W) = W²/{W² + Wl_GGJ)₁ (23) коюрый должен появляться при члене с магнитол ямой в обобщённом уравнении Разерфорда. Здесь W₍i,aaj понимаекя как некоюрая величина порядка W₍i, а нижний индекс "GGJ" означает "Сіаььег-Сіееие-.lohnsoii", что представляет собой ав юрский кол лем ив рабо і ы ]23], посвященной линейным резистивным модам. Мы добавили верхний индекс ^%'5" при h\ (W), означающий первую букву первого автора рабо і ы [29]. В дальнейшем зависимость вида (23) использовалась в рабоїах [39,40]. При этом в качестве W^ggj бралась эффективная кришческая длина Wj, входящая в выражение для "буї с треп-драйва". Как ( іедствие уравнения (23) возникла точка зрения, что относительная ро п> эффокюв мшнит-ной ямы и "бутстреп-драйва" не зависит от поперечного переноса. При этом, в частности, следовало, что при произвольном поперечном переносе и в стандартных условиях круглою юкамака с большим аспекшым отношением эффект магнитной ямы должен быть ыведомо слабее, чем "буїсіреп-драйв".

Однако, в [36,41] отмечалось, что аномальный поперечный перенос [16,23] ослабляет влияние магнитной ямы на НТМ в меньшей степени, чем их "бутстреп-драйв". Эю замечание подводит к идее о том, что при достаточно сильном поперечном переносе эффект магнитной ямы может пересилить "буїстреп-драйв" и тем самым полное і ыо стабилизировать HTM. Исследование возможное і и реализации эюп идеи преде і лв іяег собой ещё один предмет насюяіцей рабоїьі. Исследуемый з-ффекі мы на-5ываем стабилизирующим "компаунд-эффекюм" ('Чошрошкі suppieisioii effect").

Важность отмеченного выше замечания работ [30,41] сое юиі в і ом, что в отличие от предположения [29], из них следовало, что при сильном поперечном переносе эффект магнитной ямы зависиі от W,i как W/W₍i. Поэтому при достаточно большом отношении W_f//U' он может превзойти "бутстреп-драйв" HTiM. Эш и обуеловтивает стабили шрую-щий "компаунд-эффект".

К выводу о'іом, что с ростом поперечного перенос л эффект магшпной ямы должен ослабляїься не сюль сильно, как "буи іреп-драив", можно прий'іи без каких-либо вычислений, если принять во внимание¹ следующие два обстоятельства, вьпекающие из предшествующих же іедовлний но НТМ. Во-первых, согласно [16,23], возмущённое давление плазмы при сильном поперечном переносе является осциллирующей функцией циклической переменной островов. Во-вторых, "букчреп-драйв" определяйся усреднением бутстреп тока по этой переменной [16,23], тогда как эффект магнитной ямы связан с осциллирующей частью возмущённого давления плазмы (см., напр., [27,42]). Кроме тою, следует учес п., что усреднение осциллирующей функции по магниінои поверхнос їй ос ірова приводит к дополнительной малое і и порядка W/\\\ Тогда можно предсказать, что, поскольку ослабление "буїегреп-дрлйвл" харамеріп\егся отношением (W/W_c) , эффект магнитной ямы должен ослаб тя їм я как W/W_c. Этот качественный результат и был получен в [36,41].

Работа [41] была посвящена анализу качественной зависимости эффекта магнитной ямы от поперечного переноса. В оіличие от [11], в работе [36] интересующий нас эффект анализировался количес івенно Её главный результат может быть выражен в терминах парамеїрл А',,, заменяющего собой стандартный параметр линейной іеории іиринг мод A' [4]. При эюм в [36] было получено для ДІ*, выражение вида

Д'_е// = (Д'_р//)^LW = А' + 2'VD_R/W₍, (24)

Здесь Оц — "резисшвный пересіановочньїй парамеїр", введенный в [43], а верхний индекс "LLG" означает первые буквы фамилий авюров [36]. Приведенный резулыат [36] был нов горен в [37].

Из сказанного о работах [36,37] можно было бы сделать вывод, что проблема влияния аномального поперечного переноса на эффект маї ниг-ной ямы полностью исследована. Между тем, согласно скапанному выше, сюлкновшельный механизм, факіически pau моїренньїіі в [30.37], не является единственным механизмом установления профи тя возму-іцения іемиературьі. Кроме того, согласно [27], экп механизм имеем в основном иллюстративный характер и вряд ли может быть практически реализован. Выяснению того, к каким выражениям для Д',, приводят конвективный, вращательный и инерционный мехами змы была нос вяще-на работа [44], резулыаты которой представлены в і лаве II діксеріации.

Как отмечалось в [20,45], указанные выше "трехканальные" модели, харакіеризуемьіе выражениями для Ai,_s типа (19), (20), не являются наиболее общими транспортными пороговыми моделями. В рабо і ах [20,45] было показано, что исходное выражение для возмущенного б> іеіреп тока, определяемое продольной вязкостью электронов, своди к я к с\мме вкладов ог градиентов температуры электронов и ионов и шюиюеги плазмы лишь в пренебрежении поперечной вязкое іью ионов. При конечной же поперечной вязкосіи ионов обнаруживаемся допо пппельное семейсіво более общих транспортных моделей, обсуждаемых в работах [20,45], которые можно назвать "чегырёхканальными" (см. подробнее ниже). При этом роль "четвёртого канала" играет так называемый "#-канал", характеризующий вклад в "бутстреп-драйв" возмущенного элекіричесного поля острова. В работах [20,45] бы ю показано, чт, в отличие от устоявшегося мнения, бутстреп ток может не то іько дес іа- билизировать магнитные острова, но и стабилизировать осірова, вращающиеся в направлении ионного диамагнитного дрейфа при на шчии аномальной поперечной ионной вязкое їй. Однако, в них рабоїах была допущена ошибка в знаке перед вязкостным вкладом в уравнение 1\пер-форда, іак ч'іо в действительности при аномальной поперечной вя шхти бутстреп ток оказывает стабилизирующее влияние на острова, вращающиеся в направлении диамагниіного дрейфа элекфонов и дес і аби нни-рующее на острова, вращающиеся в обратном направлении Ука данное замечание учтено в диссертации. Результаты рабої [20,45] суммированы в главе III диссертации.

4. Цель диссертации

Развитие трансиоріньїх пороговых моделей неок іассических тиринг мод, с целью построения как можно более общих іаких моделей, учи-швающих градиенты температур ионов и электронов, анома іьн>іо поперечную ионную вязкосіь и рассматривающих ра мичные мехашпмы установления профилей температуры.

5. Новизна работы

Большинство результатов диссертации получено впервые. Найдены і очные аналитические решения уравнений теплопроводности для столкно-вителыюго [16], конвективного [21], вращательной) [22] и инерционного [24] механизмов установления профиля темпера і уры. Получено уравнение эволюции острова для каждого из механизмов. Построены "диух-канальные" транспортные модели НТМ, учитывающие аномальную поперечную теплопроводность электронов и ионов. Проанализировано влияние аномального поперечного переноса на вклад маї нитной ямы в \ равнение Разерфорда. Построена "двухканальная модеть" зффекіа маї нитной ямы для четырёх указанных выше механизмов. Исследован (іаби-лизирующий "компаунд эффект", являющийся следеівием тою, чю сіа- билизирующий вклад магнитной ямы в уравнение Разерфордл в ( іед-слвие аномального поперечною переноса ослабляекя в меньшей сіепени по сравнению с дестабилизирующим вкладом в 'ж> уравнение 6} к і реп юка, и при достаточно сильном поперечном порошне вклад маїшиной ямы превосходит вклад бутеїрен тока. Получен кршерий подчинения HTM (ілбилизирующим "компаунд эффектом". Проанализировано в ш-яние аномальной поперечной ионной вязкости на вклад бук і реп юка в уравнение Разерфорда. Установлено, что зіа вязкое іь обусловливаем существование "Е'-канала" бутстреп тока. Показано, чю знак вязкое того вклада буїстреп юка в уравнение Разерфорда завшит от направ іения вращения магнитного острова, и при достаточно большой поперечной ионной вязкосіи бутстреп 'юк оказывается стабили шрующим дтя ск іро-вов, вращающихся в направлении электронного дилмагнипюю дрейфа и дестабилизирующим в противном случае.

6. Научная и практическая ценность работы

В диссертации получены точные аналитические профили іемпердіур для чешрёх конкурирующих с поперечным переносом механи шов. Кроме того получены более простые модельные выражения. Последние¹ отличаю! ся от точных профилей лишь количественно, поэтому мої} і быть использованы в "качественных" теоретических исследованиях но млі нит-ным ос іровам. В тоже время, пракіическую ценное іь иредсілвтяюі і очные профили іемпоратурьі, использование которых необходимо при нн-териреіации экепериментльных данных, для предсказания поведения НТМ в токамаках следующего поколения и при кчіировании чиє чен-иых кодов. Критерий подавления НТМ стабилизирующим "компаунд -эффектом", полученный в главе II, указывает на возможность подав іения НТМ -л им эффектом, причём указанный критерий станови к я ещё более блаюприяїньїм при наличии "шейпинга", а также при оперировании во второй зоне устойчивости идеальных баллонных мод. Кроме тою, в coo і во і сі ви и с результатами главы III, возможно появление 1ІТМ вязкостным вкладом бутсіреп тока при организации вращения оирова в сторону электронного диамагниіною дрейфа.

7. Основные результаты, выносимые на защиту

Точные аналитические выражения для профіпей темнораі\рі>і в случаях их усыновления при конкуренции поперечной теплопроводное ги с продольной теплопроводностью, продольной конвекцией, продольной инерцией и вращением ІІТМ. "Днухканальные" трансиоріньїе пороговые модели НТМ. >чшы-вающие зависимость "бутстреп-драйва" от градиента юмиердцры ионов и элекхронов, для различных механизмов установ юния профилей темпера іурьі.

Выражения, описывающие влияние аномальною поперечного переноса на эффект магнитной ямы для четырёх механизмов усыновления профилей температуры.

Критерий подавления НТМ стабилизирующим "компаунд-эффектом".

Формулировка представления о"чеіьірехкана іьньїх" модо іях НТМ, подразумевающею зависимое і ь'їЗу і стреп-драйва"' ното іькооі іра-диционных каналов градиентов температуры и плоіносіи, по п от возмущённого радиального электрическою поля осірова (""-канал).

Обобщённое уравнение Разерфорда для эволюции ширины маїпитною острова с учётом аномальной поперечной ионной вя жех і и

Указание на возможность подавления НТМ вязкостной часіью вктада бутстреп тока в уравнение Разерфорда. вращающихся в направлении электронного диамапппного дрейфа

8. Вопросы рассмотренные в диссертации

Похожие диссертации на Развитие теории неоклассических тиринг мод в токамаках

Развитие теории экранирования заряженного тела в низкотемпературной плазмеДербенев, Иван Николаевич

Развитие теории экранирования заряженного тела в низкотемпературной плазмеДербенева Ивана Николаевича

Развитие квазиклассической теории радиационных свойств низкотемпературной атомарной плазмыДьячков Лев Гавриилович

Проблема нулевых мод в квантовой теории солитонаЗлатев, Стоян Иванов

Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение парГельфер, Евгений Григорьевич

Симметрия нормальных мод и их использование в теории фазовых переходов в кристаллахСыромятников, Владимир Николаевич

Локализованные моды и корректность постановок линейных задач теории поверхностных волнМотыгин Олег Валерьевич

К теории нелинейных трехволновых резонансных взаимодействий электромагнитных мод в неравновесной плазме (асимптотическое приближение)Чернова, Елена Анатольевна

Статистическая теория коллективных возбуждений в жидкостях: подход обобщенных коллективных модМриглод, Игорь Миронович

Экспериментальное исследование порождения и развития мод нестационарной гёртлеровской неустойчивости пограничного слояМищенко, Дмитрий Алексеевич